UNIDAD I:LÓGICA MATEMÁTICA

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I. LÓGICA MATEMÁTICA.

I.1 Lógica.

Definición.

La lógica estudia métodos de razonamiento, específicamente, métodos que separan los razonamientos válidos de los no válidos. En muchas disciplinas se han establecido resultados por razonamiento lógico. Para demostrar los teoremas en matemáticas es necesario razonar correctamente en la prueba de ellos. En las ciencias de la computación deben proporcionarse razonamientos para mostrar que los programas realicen lo que se pretende. La lógica es el estudio de los métodos y principios utilizados para separar el razonamiento correcto del que no lo es. Asimismo se suele definir como la ciencia de las leyes del pensamiento, si bien es preferible no hacerlo dado que existen otras disciplinas que también trabajan con esas leyes, como la Psicología. Además el pensamiento contiene muchas cosas más que razonamientos (verdaderos objetos de estudio de la lógica). Por lo tanto esa definición estaría ampliando incorrectamente el campo de la investigación lógica.

Su verdadera ocupación consiste, en fin, en determinar si un razonamiento es correcto o incorrecto. Para ello, estudia sus estructuras, despojadas de toda vestimenta a través de un procedimiento que se denomina abstracción. Se encarga de analizar premisas, conclusiones y falacias.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

Investiga:

¿Cómo se utiliza la lógica en tu carrera?

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1.2 Proposición.

¿Qué es una proposición?

Las proposiciones son pensamientos en los que se afirma algo y que se expresan, por ello, mediante enunciados u oraciones declarativas. Recuerde que la oraciones ( conjuntos de palabras que expresan pensamientos completos ) se dividen en declarativas, imperactivas, interrogativas y exclamativas. Sólo de las oraciones declarativas puede decirse que transmiten una proposición que, por ser una afirmación, es verdadera o falsa.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:VERDADERO (V) o FALSO (F).En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa.Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

p : 15 + 5 = 21 (F)q: Sonora es un estado de méxico. (V)r: El número 15 es divisible por 3. (V)s: El perro es un ave. (F) Ejemplos de proposiciones: De las siguientes oraciones, sólo las tres primeras, que son declarativas, nos comunican un proposición, verdadera o falsa. Y las tres ultimas no transmiten una proposición, pues las ordenes, preguntas o exclamaciones no son verdaderas o falsas ( son en todo caso justas o injustas, adecuadas o absurdas, sinceras o fingidas, etc). Proposiciones: 1.- El ácido sulfúrico corroe la madera.2.- Dos mas dos es igual a tres.3.- La tierra es el único planeta que tiene vida.4.- Se prohíbe comer chicharrones en los conciertos.5.- ¿Qué comen los marcianos?.6.- ¡Maldita sea mi suerte!.

 

Partimos, pues de definir una proposición como el significado de una oración declarativa, significado que puede ser verdadero o falso por ser una afirmación.

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1.3 Lógica proposicional.

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación prima del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo:

Y (and) : conjunción O (or): disyunción

Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una oración simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (v) o falso (f). Ejemplo:

Proposición.(sentencia simple)

Valor asociado.(f o v)

Hoy es viernes.

Ayer llovió.Hace frío.

Nota: La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso

para la sentencia completa. No tiene facilidad para analizar las palabras individuales que componen las

sentencias. Por este motivo, la representación de las sentencias como proposiciones es la siguiente:

Hoy_ es _ viernes.Ayer_ llovió.Hace_ frió.

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Las proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos.

Por ejemplo:Hoy_ es_ viernes “y” hace_ frió.Nota:Conectivo “y”: conjunción

A la proposición anterior dada como ejemplo, se le denomina formula bien formada. Una formula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógico involucrados.

1.4 Conectivos lógicos.

Los conectores básicos de la lógica proposicional son los siguentes:

Nombre Conector SímboloConjunción. Y Disyunción. O Negación. NO Implicación. (condicional) SI..... ENTONCES Equivalencia.(bicondicional)Igual

Si y sólo si

Sentencia simple + sentencia simple = sentencia compuesta

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1.5 Tablas de verdad.

Operadores lógicos.

1) Conector conjunción ().Cuando la conectiva “y” es empleada para enlazar dos proposiciones, tiene el sentido de afirmación que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo, al decir: “ Londres es la capital de Inglaterra y cuba es una isla”, la conectiva “y” tiene la función de indicar que las dos proposiciones conjuntadas, son igualmente verdaderas.

“ Londres es la capital de Inglaterra y cuba es una isla” r s

se lee......... “r y s”.

Puesto que la conjunción de dos proposiciones cualesquiera (proposiciones simples) indica la verdad simultanea de ambas, la proposición compuesta resultante es verdadera si efectivamente son verdaderas ambas proposiciones simples. En otro caso, la proposición resultante será falsa.

............Checar el ejemplo anterior con la tabla de verdad para el conectivo conjunción. “Londres es la capital de Inglaterra y cuba es isla”.

r S r s V V V

Tabla de verdad para el conectivo conjunción.

p q pqV V VV F FF V FF F F

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2) Conector disyunción ().

La conectiva “o” tiene la función de enlazar dos proposiciones, indica que al menos una de ellas es verdadera (aunque también pueden serlo ambas); por ejemplo:“3 es un número primo o 3 es un número natural”. r s

r s rsV V V

En general, dada una proposición compuesta cuya conectiva es una disyunción , como rs, será verdadera si al menos una de las alternativas es verdadera ( por supuesto cuando las dos sean). Será falsa sólo cuando las dos alternativas sean falsas.

Tabla de verdad para el conectivo disyunción.p q pqV V VV F VF V VF F F

En una disyunción las alternativas pueden ser tanto proposiciones simples como compuestas; por ejemplo, podemos poner en la disyunción la proposición simple p, con la proposición compuesta pq, resultando p (pq). El paréntesis tiene la función de indicarnos que pq se toma como un todo, del cual tenemos que averiguar primero su valor de verdad, antes de ponerlo en relación con p. Su tabla de verdad seria:

p q pq P (pq)V VV FF VF F

p q (pq) P (pq)V V VV F FF V FF F F

p q (pq) P (pq)V V V VV F F VF V F FF F F F

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Pasos a seguir:

1. Anotar las combinaciones de los valores de verdad de p y q.2. Determinar la conectiva principal: la disyunción.3. Anotar el valor de verdad de las alternativas.4. Anotar el valor de verdad de la conectiva principal.

Por otra parte, conviene aclarar que hemos utilizado la disyunción en el sentido inclusivo, pues indica que algunas de las alternativas es verdadera, o incluso ambas lo son. Sin embargo, algunas veces se utiliza la expresión “o” en el sentido exclusivo, como en la proposición:“ El protón tiene carga positiva o el protón tiene carga negativa”.

Cuyo sentido es que sólo una de las alternativas es verdadera, en tanto que la otra es falsa. Se excluye la posibilidad de que ambas sean verdaderas, pero también de que ambas sean falsas.

Conector negación.Podemos construir una proposición compuesta que represente el sentido exclusivo de la disyunción.

Si presentamos:Con p: “El protón tiene carga positiva”.Con q: “El protón tiene carga negativa”

Y considerando el sentido de la proposición 1 como:

“se da p y no se da q, o no se da p y se da q”.

La proposición resultante será.( p q ) ( p q )

Cuya interpretación sería:

“El protón tiene carga positiva y no negativa, o bien el protón no tiene carga positiva y tiene negativa”.

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3) Conectivo negación ().

Dada una proposición, es posible negar su sentido en varias formas; por ejemplo, la proposición simple “ El plomo es radioactivo” puede ser negada mediante las siguientes proposiciones compuestas:

a).- “ No es el caso que el plomo sea radioactivo”.b).- “No es cierto que el plomo es radioactivo”.c).- “No ocurre que el plomo es radioactivo”.d).- “ El plomo no es radioactivo”.En general, la negación puede reducirse a la palabra NO , que es una conectiva lógica.La proposición: “el plomo es radioactivo”. qSu negación sería: q (.....se lee “ no q “)

Negar una proposición es indicar que es falsa. Si negamos a p, siendo p verdadera (primera posibilidad), obtendremos una proposición falsa; si por el contrario, negamos a p, siendo p falsa (segunda posibilidad), obtendremos una proposición verdadera. Es decir:

Si p es verdadera, p es falsa.Si p es falsa, p es verdadera.

Esto suele representarse mediante una tabla de verdad, la cual muestra los posibles valores de verdad ( verdadero o falso ) de una proposición compuesta:

P pV FF V

Aclaremos, por ultimo, que no solo es posible negar proposiciones simples sino también las compuestas. Por ejemplo: podemos negar la proposición “El plomo es radioactivo”, que representamos con q, obteniendo así la proposición q (no-no q).Obsérvese que:q es falsa (“El plomo es radioactivo”). q es verdadera (“El plomo no es radioactivo”). q es falsa (“No es cierto que el plomo no es radioactivo”).

Tabla de verdad de la negación.p p pV F VF V F

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4) Conector implicación (condicional).

En proposición compuesta:

“Si marte es un planeta, entonces marte brilla con luz refleja”.

La expresión “si ……entonces” es la conectiva llamada condicional, que se simboliza con el signo “→, el cual se escribe entre las dos proposiciones relacionadas por esta conectiva. El ejemplo anterior se puede simbolizar entonces:

Si marte es un planeta, entonces marte brilla con luz refleja”. r s r → s ( se lee”si r, entonces s”)

Al relacionar dos proposiciones con esta conectiva es muy importante distinguir la proposición que queda a la izquierda del signo “→” , se llama antecedente, en tanto la proposición que queda a la derecha del signo se llama consecuente.

r → sAntecedente Consecuente

El sentido de esta conectiva es señalar, que si la proposición antecedente es verdadera, también lo es la proposición consecuente; es decir, basta o es suficiente que el antecedente sea verdadero, para que el consecuente también sea verdadero. De aquí que una proposición compuesta en la que la conectiva es condicional, será falso si siendo verdadero el antecedente, es falso el consecuente. La proposición será verdadera en los demás casos, en los que no ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

La tabla de verdad del conectivo implicación (condicional).

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Ahora formemos una proposición compuesta que tenga el mismo sentido, es decir que exprese lo mismo que una proposición condicional.

Tomemos las siguientes proposiciones elementales:

“ 2 es factor de 8” ( que representamos con p), y“ 8 es par” ( que representamos con q).

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La proposición compuesta condicional será:

“si 2 es factor de 8, entonces 8 es par”.Simbólicamente: p → q .En otra proposición compuesta tiene el sentido:

“No ocurre que: 2 sea factor de 8 y 8 no es par.Simbólicamente: ≈ ( p ^ ≈ q )

5) Conector Bicondicional.

La expresión “si y sólo si” es una conectiva lógica que se simboliza con el signo “ “ , y que al relacionar dos proposiciones indica que el valor de verdad de ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así, p q ( se lee: “p si y sólo si q”) es una proposición que significa que si p es verdadera, entonces q también es verdadera, y si q es verdadera, entonces p también es verdadera.

p q (p→q) (q→p) (p→q) ^(q→p)V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Tabla de verdad del conector bicondicional.

p q pqV V VV F FF V FF F V

Ejercicio:

p: Hoy es lunes q: Está lloviendo

a) Haga la tabla de verdad para la siguiente proposición p (pq)b) Haga la tabla de verdad para la siguiente proposición p (qp)c) Haga la tabla de verdad para la siguiente proposición p (p→q)d) Formule verbalmente, las expresiones simbólicas que se tienen en los ejercicios

anteriores.

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1.6 Equivalencias lógicas.

Tabla de equivalencias de la lógica proposicional.

Denominación. Representación lógica.Leyes equipotenciales. A→ B = AB

AA = FAA = V

Leyes conmutativas. AB = BAAB = BA

Leyes distributivas. A(BC) = (AB) (AC)A(BC) = (AB) (AC)

Leyes Asociativas. A(BC) = (AB) CA (BC) = (AB) C

Leyes Absortivas A (AB) = AA (AB) = A

Leyes de Demorgan (AB) = AB (AB)= AB

1.7 Tautologías, contradicciones y contingencias.

Examínense las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

p q (p q) p → (p q)

V V V VV F V VF V V VF F F V

p q p (pq) (pq) pV V F V FV F F F FF V V F FF F V F F

p q q p ↔ qV V F FV F V VF V F VF F V F

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Encontramos que:

a).- La primera proposición p → (p q) es verdadera en todos los casos.

b).- La segunda proposición (pq) p es falsa en todos los casos.

c).- La tercera proposición p ↔ q es verdadera en dos casos y falsa en los otros dos.

De proposiciones como las anteriores se dice que son, respectivamente, tautológicas, contradictorias o indeterminadas (llamadas también contingentes).

Una proposición tautológica es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor verdad de sus proposiciones simples componentes. Las proposiciones tautológicas (o tautológica) es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples componentes.Como veremos más adelante, las tautologías son proposiciones sumamente útiles, justamente porque no se da en ellas la falsedad bajo ninguna circunstancia, como lo prueban las tablas de verdad correspondientes.

Una proposición contradictoria es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. Igual que en la tautológica, la proposición contradictoria ( o contradicción) es siempre falsa por su forma lógica, independientemente del valor de verdad y del contenido de las proposiciones simples que en ella intervengan.

Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición al negar la tautología obtendremos una contradicción y viceversa: al negar una contradicción obtendremos una tautología. Así al negar la tautología p → (p q) obtendremos la contradicción [p → (p q)], que es una proposición falsa en todos los casos, como podremos comprobar mediante su respectiva tabla de verdad.

Al negar la contradicción (pq) p Obtendremos la tautología [ (pq) p ], que es una proposición verdadera en todos los casos, como igualmente lo podemos comprobar mediante una tabla de verdad.

p q p → (p q) [p → (p q)]

V V V FV F V FF V V FF F V F

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p q (pq) p [ (pq) p ]

V V F VV F F VF V F VF F F V

Una proposición indeterminada (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otros, dependiendo del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes.

Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdaderas o falsas y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes.

Ejercicio: Utilizando las tablas de verdad, determínese cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas, contradictorias o indeterminadas(contingentes).

1.- p q

2.- (p q) → p

3.- [(p q) → p]

4.- p ↔ p

5.- p p

6.- q → q

7.- (p p) (q → q)

8.- (p ↔ p) (p p)

9.- (p↔ p) (p p)

10.- ( p q) ↔ (p → q)

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1.8 Validez e implicación lógica.

Aunque los argumentos están constituidos por proposiciones, no son verdaderos o falsos, sino correcta o incorrectamente construidos, validos o no validos. En realidad, sólo nos ocuparemos de analizar la validez de los argumentos deductivos, caracterizados por que en ellos la conclusión se obtiene necesariamente de la premisas.En un argumento tenemos la posibilidad de obtener una proposición nueva ( la conclusión), a partir de proposiciones previamente establecidas (las premisas). Los argumentos nos permiten así ampliar nuestro conocimiento de la realidad, pues podemos obtener nuevas proposiciones verdaderas a partir de las que ya hemos aceptado como verdaderas. Precisamente en esto consiste la validez de un argumento: en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que partimos, sea falsa a la conclusión a la que llegamos. Es decir, un argumento no es valido si: siendo verdaderas las premisas, es falsa la conclusión. En todos los demás casos el argumento es valido, o sea: cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es verdadera, cuando las premisas son falsas y la conclusión es verdadera, y cuando las premisas son falsas y la conclusión es falsa.

Resumiendo:

Si las premisas son..... Y la conclusión es...... El argumento es...........Verdaderas Verdaderas VálidoVerdaderas Falsas No válidoFalsas Verdaderas VálidoFalsas Falsas Válido

Este esquema recuerda la tabla de verdad de la condicional:

p q p→qV V VV F FF V VF F V

En efecto, todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional cuyo antecedente son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión. p→q

Por ejemplo, el argumento:

1.- Si venus es un planeta, entonces venus brilla con luz refleja.2.- Venus es un planeta. Luego........3.- Venus brilla con luz refleja.

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Que podemos simbolizar en su forma como

1.- r → s2.- r Premisas (P).3.- s Conclusión.

Lo que se indica en este argumento es que si se tienen las premisas (P) de las lineas 1 y 2, entonces puede obtenerse la conclusión (C) de la linea 3 ( o que si las premisas son verdaderas, también lo es la conclusión):

P→C

P representa a las premisas r→s y r, o sea: r→s ^ r P

C representa la conclusión s, por lo que el argumento se puede representar mediante la proposición compuesta.

[(r→s) ^ r] →s P CCon el argumento:

1.- r → s2.- r Premisas (P).3.- s Conclusión.

Hemos construido la proposición.

[(r→s) ^ r] →s

De la cual podemos hacer la tabla de verdad que nos muestre si hay algún caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si ello no ocurre , entonces el argumento no es válido.

r s (rs) (rs) r [(rs) r ] →s

V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V

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La proposición [(rs) r ] →s resulto ser una tautología, por lo que en ningún caso las premisas fueron verdaderas y la conclusión falsa. Es decir, el argumento respectivo es valido.

En general, todo argumento es válido si al ser transformado en una proposición condicional, está resulta ser tautológica.

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Conjunción Disyunción Negación

Condicional Bicondicional

p q pqV V VV F FF V FF F F

p q pqV V VV F VF V VF F F

P pV FF V

p q p → qV V VV F FF V VF F V

p q pqV V VV F FF V FF F V

Tablas de verdad

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Repaso:

1.- Define que es lógica._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.- Define que es una proposición_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.- Da diez ejemplos de proposiciones simples, relacionados con tu carrera._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.- Formule verbalmente las expresiones simbólicas que se tienen en los ejercicios.

p: algo suyo se quema

q: usted es descuidado

a) q P b) Pq c) p (pq)

d) p (p q) e) q p f) p (pq )

a)_________________________________________________________b)_________________________________________________________c)_____________________________________________________________d)_________________________________________________________e)___________________________________________________________f)__________________________________________________________

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5.- Realice las siguientes tablas de verdad con las proposiciones dadas y determine cuales son tautológicas, contradictorias y contingentes (indeterminadas).

a) q ( p q ) b) q (qp) c) (pq) p

d) [(pq) (p q)] e) (q q) (qp) f) p (p q )

a)p qV VV FF VF F

b)p qV VV FF VF F

c)p qV VV FF VF F

d)p qV VV FF VF F

e) f)

6.- Explica cuando resulta ser valido un argumento. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

p q V V V FF VF F

p qV VV FF VF F