1

Unidad 7: Trigonometría.

7.1 Medida de un ángulo.

7.1.1 Ángulo.

Es la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen un punto en común, llamado

vértice.

Los ángulos se representan por: ∠𝐴, ∠𝐵𝐴𝐶, â o con las letras del alfabeto griego.

7.1.2 Sistemas de medición de ángulos.

7.1.2.1 Sistema sexagesimal.

En este sistema se divide a la circunferencia en 360 partes llamadas grados, el grado en sesenta

minutos y el minuto en sesenta segundos.

1° = 60′ ; 1′ = 60"

7.1.2.2 Sistema cíclico o circular.

Este sistema tiene como unidad fundamental el radián es el ángulo central subtendido por un

arco, igual a la longitud del radio del circulo y se llama valor natural o valor circular del ángulo.

Lado inicial

Lado final

A B

C

â

A

B

O r

r

r

a

2

7.1.3 Conversión de grados a radianes y radianes a grados.

▪ Para convertir grados en radianes se multiplica el número en grados por el factor 𝜋

180°,

el resultado se simplifica, de ser posible.

▪ Para convertir radianes en grados se multiplica el número en radianes por el factor 180°

𝜋,

el resultado se simplifica, de ser posible.

Ejemplos:

1.- 60° en radianes se expresa como:

a) 𝜋

4 rad b)

𝜋

3 rad c)

𝜋

6 rad d)

𝜋

2 rad

Solución:

▪ Se multiplica 60° por el factor 𝜋

180°:

60 (𝜋

180°) =

60°𝜋

180=

1𝜋

3=

𝜋

3 rad

2.- 5𝜋

6 en grados, se expresa como:

a) 120° b) 60° c) 150° d) 225°

Solución:

▪ Se multiplica 5𝜋

6 por el factor

180°

𝜋 :

(5𝜋

6) (

180°

𝜋) =

900°𝜋

6𝜋= 150°

7.2 Razones trigonométricas.

7.2.1 Triángulo rectángulo.

Es el triángulo que tiene un ángulo recto (90°); a los lados que forman el ángulo recto se les

llama catetos y el lado que se opone a dicho ángulo se llama hipotenusa.

3

7.2.1.1 Teorema de Pitágoras.

Establece la relación de los lados de un triángulo rectángulo.

(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2

Ejemplos:

¿Cuál es el valor de lado 𝑥 en el siguiente triángulo?

a) 12 b) 17 c) 24 d) 28

Solución:

▪ Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:

(hip)2 = (cat 1)2 + (cat 2)2 → (25)2 = (7)2 + (𝑥)2 → 625 = 49 + 𝑥2

625 − 49 = 𝑥2

576 = 𝑥2

𝑥 = √576 = 24

A

B C x

7 25

4

7.2.1.2 Razones trigonométricas.

Abreviatura Abreviatura

Seno =cateto opuesto

hipotenusa

sen 𝜃 Cotangente =cateto adyacente

cateto opuesto cot 𝜃 = ctg 𝜃

Coseno =cateto adyacente

hipotenusa

cos 𝜃 Secante =hipotenusa

cateto adyacente sec 𝜃

Tangente =cateto opuesto

cateto adyacente

tan 𝜃 = tg 𝜃 Cosecante =hipotenusa

cateto opuesto csc 𝜃

En el triángulo 𝐴𝐵𝐶 los catetos se designan de acuerdo al ángulo del que se desea obtener sus

razones trigonométricas.

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es el coseno del ángulo 𝐵 en el siguiente triángulo?

a) 6

10 b)

8

6 c)

10

6 d)

8

10

A

B C a

b c

Para el ángulo A: c = hipotenusa a = cateto opuesto b = cateto adyacente

Para el ángulo B: c = hipotenusa b = cateto opuesto a = cateto adyacente

A

B C 8

6 10

5

Solución:

▪ Para el ángulo 𝐵:

cateto opuesto = 6 cateto adyacente = 8 hipotenusa = 10

▪ Luego:

cos 𝐵 =cateto adyacente

hipotenusa=

8

10

2.- De acuerdo con la figura, la razón 𝑞

𝑝 corresponde a la función:

a) tan 𝑄 b) sen 𝑃 c) cos 𝑄 d) sec 𝑃

Solución:

▪ Para el ángulo 𝑄

cateto opuesto = 𝑞 cateto adyacente = 𝑝 hipotenusa = 𝑟

▪ La razón 𝑞

𝑝 es:

𝑞

𝑝=

cateto opuesto

cateto adyacente= tan 𝑄

3.- En el siguiente triángulo el seno del ángulo 𝑀 y la secante de 𝑁 son:

Q

P R q

p r

M

N R 2

√3 7

6

a) √3

7,

7

2 b)

2

7,

7

2 c)

7

√3,

√3

2 d)

√3

2,

7

√3

Solución:

▪ Para el ángulo 𝑀:

cateto opuesto = 2 cateto adyacente = √3 hipotenusa = 7

▪ La razón trigonométrica seno se define por:

sen 𝑀 =cateto opuesto

hipotenusa=

2

7

▪ Para el ángulo 𝑁:

cateto opuesto = √3 cateto adyacente = 2 hipotenusa = 7

▪ La razón trigonométrica secante se define por:

sen 𝑀 =hipotenusa

cateto adyacente=

7

2

7.3 Solución de triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de los ángulos y lados faltantes en función

de los datos proporcionados.

▪ Para resolver un triángulo se utiliza tanto el teorema de Pitágoras como las funciones

trigonométricas.

7.3.1 Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables 0°, 90°, 180°, 270° y

360°.

Radianes 0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2 𝜋

3𝜋

2 2𝜋

Grados 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝟏𝟖𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎°

Seno 0 1

2

√2

2

√3

2 1 0 −1 0

Coseno 1 √3

2

√2

2

1

2 0 −1 0 1

Tangente 0 √3

3 1 √3 ∞ 0 −∞ 0

7

Ejemplos:

1.- El valor de los lados 𝑥, 𝑦 y el ángulo 𝐵 es:

Solución:

▪ La suma de ángulos agudos es 90°:

∠𝐴 + ∠𝐵 = 90° → 30° + ∠𝐵 = 90°

∠𝐵 = 90° − 30°

∠𝐵 = 60°

▪ Para el ángulo 𝐴 = 30°

cateto opuesto = 2 cateto adyacente = 𝑥 hipotenusa = 𝑦

▪ El valor de 𝑥 se obtiene utilizando la función trigonométrica que relacione el cateto

opuesto y el cateto adyacente:

tan 30° =2

𝑥

→ 𝑥 tan 30° = 2 → 𝑥 =

2

tan 30°=

2

√33

=6

√3

▪ El valor de 𝑦 se obtiene utilizando una función trigonométrica que relacione el cateto

opuesto y la hipotenusa:

sen 30° =2

𝑦

→ 𝑦 sen 30° = 2 → 𝑥 =

2

sen 30°=

2

12

= 4

2.- En el siguiente triángulo:

A

B C 2

x y 30°

8

El valor de 𝑥 se obtiene con la expresión:

a) tan 40°

3 b) 3 sen 40° c) 3 tan 40° d)

sen 40°

3

Solución:

▪ Para el ángulo 𝐴 = 40°:

cateto opuesto = 𝑥 y cateto adyacente = 3

▪ Se elige la función que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tan 𝐴 =cateto opuesto

cateto adyacente

→ tan 40° =𝑥

3 → 𝑥 = 3 tan 40°

3.- Si cos 𝐴 =2

5 , el valor de sen 𝐴 es:

a) 5

2 b)

√21

5 c)

√21

2 d)

2

√21

Solución:

▪ La razón coseno se define por:

cos 𝐴 =2

5=

cateto adyacente

hipotenusa

▪ Se construye un triángulo con ∠𝐴 uno de los ángulos agudos y se colocan los datos:

A

B C x

3 y 40°

A 2

x 5

9

▪ Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar el valor del lado restante:

52 = 𝑥2 + 22 → 𝑥2 = 25 − 4 → 𝑥2 = 21 → 𝑥 = √21

▪ Por consiguiente, la función seno se define como:

sen 𝐴 =cateto opuesto

hipotenusa=

𝑥

5=

√21

5

7.4 Ley de los senos y ley de los cosenos.

Se aplican para la resolución de triángulos oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un

ángulo de 90°.

7.4.1 Ley de los senos.

La razón que existe entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho

lado, es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.

Se aplican si se conocen:

▪ Dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados.

▪ Dos ángulos y un lado opuesto a uno de esos ángulos.

Ejemplos:

1.- El valor de 𝑎 en el triángulo, se resuelve con la operación:

A

B C a

b c

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶

10

a) 15 sen 60°

sen 50° b)

sen 50°

15 sen 60° c)

sen 60°

15 sen 50° d)

15 sen 50°

sen 60°

Solución:

▪ Por la ley de los senos 𝑎

sen 50°=

15

sen 50°=

𝑏

sen 𝐵, se toma la primera igualdad para despejar

𝑎, entonces:

𝑎

sen 50°=

15

sen 50°

→ 𝑎 =

15 sen 50°

sen 50°

2.- El ángulo 𝐶 se obtiene con la expresión:

a) sen 𝐶 =9 sen 75°

11 b) sen 𝐶 =

11 sen 75°

9 c) sen 𝐶 =

9

11 sen 75° d) sen 𝐶 =

11

9 sen 75°

Solución:

▪ Por ley de senos 𝑎

sen 𝐴=

11

sen 75°=

9

sen 𝐶, se toma la igualdad

11

sen 75°=

9

sen 𝐶 y se despeja

𝐶:

11

sen 75°=

9

sen 𝐶

→ 11 sen 𝐶 = 9 sen 75° → sen 𝐶 =

9 sen 75°

11

A

B C a

b 15 30°

60°

A

B C a

11 9

75°

11

7.4.2 Ley de los cosenos.

El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los

lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al

lado buscado.

Se aplica si se conocen:

▪ Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

▪ Tres lados.

Ejemplos:

1.- El valor del lado 𝑐 en el siguiente triángulo, se obtiene con la expresión:

a) 𝑐 = √(9)2 − (12)2 − 2(9)(12) cos 55° b) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 79°

c) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 55° d) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 + 2(9)(12) cos 55°

Solución:

▪ El lado 𝑐 se obtiene con la fórmula:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 → 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶

A

B C a

b c a = √𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 → cos 𝐴 =𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

b = √𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 → cos 𝐵 =𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

c = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 → cos 𝐶 =𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

A

B C a = 9

b = 12 c

79° 55°

12

▪ Por tanto, 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 55°

2.- En el triángulo 𝐴𝐵𝐶, el valor del ángulo 𝐴 se obtiene con la expresión:

a) cos 𝐴 =(6)2+(7)2−(10)2

2(6)(7) b) cos 𝐴 =

(10)2+(7)2−(6)2

2(10)(6)

c) cos 𝐴 =(10)2+(6)2−(7)2

2(10)(6) d) cos 𝐴 =

(10)2+(7)2−(6)2

2(10)(7)

Solución:

▪ En el triángulo se conocen los tres lados, el ángulo 𝐴 se obtiene con la fórmula:

cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

▪ Por consiguiente, cos 𝐴 =(10)2+(7)2−(6)2

2(10)(7)

7.5 Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.

7.5.1 Signos de las funciones trigonométricas.

I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante

Seno + + - -

Coseno + - - +

Tangente + - + -

Cotangente + - + -

Secante + - - +

Cosecante + + - -

A

B C a = 6

b = 10 c = 7

13

7.6 Funciones para ángulos mayores a 90°.

Cualquier función trigonométrica de un ángulo mayor a 90° se expresa en la forma (𝑛 ∗ 90° ±

𝜃), conservando el signo correspondiente a la función dada, donde 𝑛 es un entero positivo y 𝜃

es un ángulo cualquiera, el cual equivale a:

▪ La misma función de 𝜃 si 𝑛 es un número par.

▪ La cofunción correspondiente de 𝜃 si 𝑛 es un número impar.

Ejemplos:

1.- El valor de cos 150° es equivalente a:

a) −cos 30° b) cos 60° c) −cos 60° d) cos 30°

Solución:

▪ El ángulo de 150° se encuentra en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo,

luego:

150° = (2 ∗ 90° − 30°)

▪ El número que multiplica a 90° es par, el resultado se expresa con la misma función, por

tanto:

cos 150° = −cos 30°

2.- El valor de 300° es equivalente a:

a) sen 60° b) sen 30° c) −cos 30° d) −cos 60°

Solución:

▪ El ángulo de 300° se encuentra en el cuarto cuadrante, donde coseno es positivo,

luego:

300° = (3 ∗ 90° + 30°)

Función seno

tangente secante

Cofunción coseno

cotangente cosecante

14

▪ El número que multiplica a 90° es impar, el resultado se expresa con la cofunción:

cos 300° = sen 30°

3.- El valor de tan 135° es equivalente a:

a) √2 b) −1 c) −√2 d) 1

Solución:

▪ El ángulo de 135° se encuentra en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa,

por tanto:

tan 135° = tan(2 ∗ 90° − 45°) = − tan 45° = −1

7.7 Identidades trigonométricas básicas.

Son las relaciones que existen entra las razones trigonométricas y se dividen en:

a) Identidades recíprocas

sen 𝜃 ∗ csc 𝜃 = 1 tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1 cos 𝜃 ∗ sec 𝜃 = 1

b) Identidades del cociente

tan 𝜃 =sen 𝜃

cos 𝜃 cot 𝜃 =

cos 𝜃

sen 𝜃

c) Identidades pitagóricas

sen2θ + cos2θ = 1 tan2θ + 1 = sec2θ cot2θ + 1 = csc2θ

Ejemplos:

1.- La expresión sen 𝜃 es equivalente a:

a) 1

cos 𝜃 b)

1

sec 𝜃 c)

1

csc 𝜃 d)

1

sec 𝜃

Solución:

▪ De la expresión sen 𝜃 ∗ csc 𝜃 = 1, se despeja sen 𝜃:

15

sen 𝜃 =1

csc 𝜃

2.- La expresión cos 𝜃 es equivalente a:

a) tan 𝜃

csc 𝜃 b)

cot 𝜃

csc 𝜃 c)

1

sen 𝜃 d)

sen 𝜃

cot 𝜃

Solución:

▪ Se comprueba cada uno de los incisos:

tan 𝜃

csc 𝜃=

sen 𝜃cos 𝜃

1sen 𝜃

=sen 𝜃 ∗ sen 𝜃

cos 𝜃=

sen2θ

cos 𝜃, no es la respuesta correcta.

cot 𝜃

csc 𝜃=

cos 𝜃sen 𝜃

1sen 𝜃

=sen 𝜃 ∗ cos 𝜃

sen 𝜃= cos 𝜃 , la respuesta es correcta.

1

sen 𝜃=

1

1cos 𝜃

=cos 𝜃

1, la respuesta no es correcta.

sen 𝜃

cot 𝜃=

1cos 𝜃cos 𝜃sen 𝜃

=sen 𝜃

cos2θ, la respuesta no es correcta.

3.- Una expresión equivalente a cot 𝜃 es:

a) 1

√sen2θ−1 b) √sen2θ − 1 c)

1

√1−sen2θ d) √1 − sen2θ

Solución:

▪ De la expresión tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1, se despeja cot 𝜃, entonces cot 𝜃 =1

tan 𝜃

▪ De la expresión tan2θ + 1 = sec2θ, se despeja tan 𝜃:

tan2θ + 1 = sec2θ → tan2θ = sec2θ − 1 → tan 𝜃 = √sec2θ − 1

▪ Por tanto:

cot 𝜃 =1

tan 𝜃=

1

√sec2θ − 1

16

7.8 Funciones trigonométricas.

7.8.1 Función seno (y = sen x).

Gráfica:

Propiedades

Dominio = (−∞, ∞)

Rango= [−1, 1]

Periodo = 2𝜋

Amplitud = 1d

Es creciente en el intervalo (0,𝜋

2) ∪ (

3𝜋

2, 2𝜋)

Es decreciente en el intervalo (𝜋

2, 𝜋) ∪ (𝜋,

3𝜋

2)

17

7.8.2 Función coseno (y = cos x).

Gráfica:

Propiedades

Dominio = (−∞, ∞)

Rango = [−1, 1]

Periodo = 2𝜋

Amplitud = 1

Es creciente en el intervalo (𝜋, 2𝜋)

Es decreciente en el intervalo (0, 𝜋)

18

7.8.3 Función tangente (y = tan x).

Gráfica:

Propiedades

Dominio = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠𝜋

2(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍}

Rango = (−∞, ∞)

Periodo = 𝜋

Asíntotas = {𝑥 =𝜋

2(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍}

Es creciente para todo 𝑥 ∈ 𝐷f