UNIDAD 5

La Integral

“La Integral Indefinida, Métodos de Integración, La integral Definida”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:

Interpretar el concepto de la Integral.

Calcular la integral de funciones específicas.

Utilizar el concepto de integral para calcular áreas.

El cálculo integral es un campo de las matemáticas muy amplio, y su aplicación se extiende a una gran cantidad de áreas del conocimiento.

En general, podemos clasificar las integrales como indefinidas o indefinidas, las cuales hacen referencia a sustituir valores numéricos en el resultado o dejarlo en términos de la variable independiente. Básicamente, el procedimiento para resolverlas es idéntico hasta antes de realizar la sustitución. Las principales diferencias entre la integral indefinida y definida se encuentra en su aplicación, ya que a través de esta última, podemos calcular áreas y volúmenes, lo cual es muy útil en muchos casos prácticos.

5.1 La Integral Indefinida.

Y está definida por la propiedad

Lo opuesto a una derivada es una antiderivada o integral indefinida.

La integral indefinida de una función f(x) se denota como

5.1 Integral indefinida

Esto quiere decir que la integral es la operación inversa de la derivada.

• Para resolver una integral, solo debemos aplicar la fórmula que coincida con la estructura de la función.

• Sin embargo, para que la función coincida con la fórmula, debemos asegurarnos de que el término dx sea la diferencial de x. De no ser así, debemos “completar” la integral. Por ejemplo,

Existen dos aspectos muy importantes que debemos tomar en cuenta para resolver integrales:

La diferencial de x es dx, por lo tanto la integral está “completa” y podemos aplicar la fórmula correspondiente.

La diferencial de 2x es 2dx. Para que la integral esté “completa” le falta un 2 a dx y es necesario completarla. Si colocamos un 2 como numerador, debemos agregar también un 2 como denominador para que la función no se altere. Es decir, es como si multiplicáramos la función por 1 (en este caso, 2/2). La función quedaría de la siguiente forma después de completarla:

• Si la integral fuera

La diferencial de -2x es -2dx. Para que la integral esté “completa” le falta un -2 a dx y es necesario completarla. Si colocamos un -2 como numerador, debemos agregar también un -2 como denominador para que la función no se altere. La función quedaría de la siguiente forma después de completarla:

• Cuando calculamos la integral de una función, suponemos que dicha función es el resultado de una derivada, así que lo que estamos obteniendo mediante la integral es la función original antes de derivarla.

• Debido a que la derivada de una constante es cero, no es posible saber si existía o no alguna constante dentro de la función original.

• Es por eso que una función tiene un número infinito de integrales, que difieren por una constante aditiva. Por eso al resultado siempre le debemos sumar una constante C. En las diapositivas siguientes aprenderemos más sobre esta propiedad.

Otro aspecto muy importantes que debemos tomar en cuenta es que si

donde C es una constante arbitraria.

La integral indefinida de una función cuya derivada es idénticamente cero

La integral indefinida de una función idénticamente cero es una constante

La integral de una función idénticamente cero.

Función constante

La integral indefinida de una constante.

La integral indefinida de la función constante:

Donde c es una constante.

La integral indefinida de la función identidad:

La integral indefinida de la función identidad.

Donde c es una constante arbitraria.

La integral indefinida de la función es:

La integral indefinida de una potencia de x.

Donde c es una constante arbitraria.

La integral indefinida de una potencia de 1/x.

Para una función de la forma

Dado que

Entonces:

2xxf Miembros de la familia de antiderivadas de

33

3

x

23

3

x

13

3

x

3

3x

13

3

-x

23

3

-x

x

Interpretación geométrica:

Por eso siempre debemos agregar al resultado una constante C, debido a que no sabemos exactamente a qué curva representa el resultado.

En la siguiente diapositiva encontrarás algunas fórmulas inmediatas de integración, sin embargo, para poder continuar, es necesario que tengas una tabla de integrales más completa, la cual puedes encontrar en cualquier libro de cálculo o en algún manual de fórmulas matemáticas.

Fórmulas de antiderivadas

C xdxx

ln 1

C edxe xx

C xxdx sen cos

C xxdx tan sec2

C xxdxx sec tansec

C xdxx

12

sen 1

1

C xdxx

12 tan 1

1

C xxdx cos sen

C nxdxx

nn

1 1

1n

Propiedades de la Integral

PRIMERA

La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos.

Es decir:

[ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx + .. k (x) dx.

Ejemplos

[ 3.x2 + 2.x + 4] dx = 3.x2 dx + 2.x dx + 4 dx = x3 + x2 + 4.x + C

[ cos x – sen x] dx = cos x dx + – sen x dx = sen x + cos x + C

[ ex + 2x ] dx = ex dx + 2x dx = ex + (2x / ln 2) + C

[ 7.x6 + 3x – cos x – 9] dx = 7.x6 dx + 3x dx – cos x dx – 9 dx = = x7 + (3x / ln3) – sen x – 9.x + C

Propiedades de la integralSEGUNDA

La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x) es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función f (x).

Simbólicamente:

k .f (x) dx = k f(x) dx

Ejemplos(Ya resueltos al ser integrales inmediatas)

3.ex dx = 3. ex dx = 3.ex + C

5.cos x dx = 5. cos x dx = 5.sen x + C

(5 / x) dx = 5. (1 / x) dx = 5. ln x + C

(7 / 16.√x) dx = (7 / 8). (1 / 2.√x) dx = (7 / 8).√x + C

Sea la función polinómica f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9.

Dicha función es la suma de las funciones f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x 2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9

Según las propiedades previas : [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx = = 11. x5 dx + 5. x3 dx - 7. x2 dx + 7x dx + 9 dx = 11. x6 5. x4 7. x3 7. x2 = ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C 6 4 3 2

ax dx =

ax

ln a + C, para cualquier a > 0

Para a = e se obtiene

ex dx = ex + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0

x2 ex3 dx =

13

3x2 ex3 dx =

13 ex3

+ C

sen x dx = – cos x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

e3x sen (e3x + 5) dx = 13

3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C

cos x dx = sen x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

e7x cos (e7x + 5) dx =17

7 e7x cos (e7x + 5) dx =

17 sen (e7x + 5) + C

2

1 arcsen( )1

dx x Cx

Tipo general

Ejemplo:

g '(x)

1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C

e3x

1 – e6x dx =

e3x

1 – (e3x)2 dx =

13

3e3x

1 – (e3x)2 dx =

13 arcsen e3x + C

1

1 + x2 dx = arctg x + C

2

f ( ) arctg( )1 f ( )

x dx x Cx

Tipo general

11 + 2x2 dx =

Ejemplo:

11 + ( 2x)2 dx = 1

2

21 + ( 2x)2 dx =

1 arctg 2x2

C

5.2 Métodos de Integración.

Todas las integrales que coinciden con alguna de las fórmulas de integración, se resuelven directamente. Solo debemos asegurarnos de que la integral está completa. Sin embargo, existen algunos problemas en los cuales no podemos aplicar directamente alguna fórmula, en cuyo caso, debemos recurrir a algún método de integración como los que se presentan a continuación.

Integración por partes

De esta forma, la fórmula de la integral por partes queda de la siguiente forma:

Cuando necesitamos obtener la derivada de un producto de funciones:

Para simplificar la expresión, es común hacer un cambio en la notación:

Ejemplos de integración por partes:Algunas ocasiones es necesario aplicar más de una vez la integral por partes para poder llegar al resultado:

= x2 ex – 2[xex –

ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C

x2 ex dx =

dvux2 ex –

ex 2x dx = x2 ex – 2

x ex dx =

dvu

u = x2 du = 2x dxdv = ex . dx v = ex

u = x du = dx

dv = ex . dx v = ex

Ejemplos de integración por partes:

u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –

sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda:

x . sen (ln x) –

cos (ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

u dv

u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

u dv

sen(ln x) . dx = 1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

Integración por sustitución o cambio de variable:

1 x ln x dx

Cambio ln x = u dx / x = du dx = x. du = et du

x = eu

= 1 eu . u eu . du =

1 u du = ln | u | + C

deshacer el cambio

= ln | ln x | + C

Para calcular una integral por cambio de variable:

• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.

• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.du = g'(x) dx

• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

Ejemplos de integración por sustitución o cambio de variable:

deshacer el cambio

x3 x4 + 2 dx =14

4x3 x4 + 2 dx =

Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du

14

u du = 14

u1/2

12 + 1

+ C = 14 (x4 + 2)3 + C

Ejemplos de integración por sustitución o cambio de variable:

sen3 2x . cos 2x dx =12

t3 . dt =

Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt

= 1

8 sen4 2x + C12

t4 4 + C

deshacer el cambio

5.3 La Integral Definida.

La Integral Definida:

Si f es positiva, la integral definida nos da el área de

la región comprendida entre la curva y=f(x) y el eje X, en el intervalo [a, b].

b

a

dxxf

RAdxxfb

a

y = f (x)

0

y

x

R

a b

Es decir, si sustituimos los límites señalados en la integral definida, podemos determinar el área debajo entre la curva de la función y el eje x

La Integral Definida:Para calcular la integral definida de una función, el procedimiento es, en un principio, idéntico al de la integral indefinida, solo que una vez aplicada la fórmula de integración correspondiente, debemos sustituir los límites señalados en la integral. A continuación analizaremos un ejemplo, y, a manera de procedimiento, plantearemos los siguientes pasos :

1. Resolver la integral:

Dada la integral:

2. Sustituir la variable independiente por el límite superior y hacer lo mismo con el límite inferior. Restar ambos resultados:

2. Simplificar:

Ejemplos de Integral Definida: