Unidad 4: Distribuciones fundamentales de muestreo Poblacin: Conjunto total de elementos en discusin y sobre los cuales se quiere tener alguna informacin.

Muestra aleatoria: Una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin con funcin de densidad de probabilidad f es un conjunto de n variables aleatorias independientes, cada una con idntica distribucin de la poblacin IID, es decir, que tienen la misma funcin de probabilidad.Simblicamente esto se indica:

Donde indica el o los parmetros poblacionales y son las n observaciones de las variables aleatorias.De acuerdo con las propiedades de las distribuciones de probabilidad conjunta, para n variables aleatorias independientes la funcin de probabilidad conjunta viene dada por:

Parmetro: Un parmetro es una caracterizacin numrica de la distribucin de la poblacin de manera que describe, parcial o completamente, la funcin de densidad de probabilidad de la caracterstica de inters. En consecuencia un parmetro es un nmero, y se simboliza con la letra .

Estadstico: Un estadstico es cualquier funcin de las variables aleatorias que se observan en la muestra de manera que esta funcin no contiene cantidades desconocidas. En consecuencia, un estadstico es, por ser funcin de v.a., otra variable aleatoria. Se simboliza con la letra .

Ejemplo de estadstico: es un estadstico es un valor observado del estadstico, o un valor puntual del estadstico T1 Distribucin muestral: La distribucin de muestreo de un estadstico es la distribucin de probabilidad que puede obtenerse como resultado de un nmero infinito de muestras aleatorias independientes, cada una de tamao n, provenientes de la poblacin de inters.

Estadsticos particulares y sus distribuciones muestralesDistribucion de muestreo de la media muestral:El promedio de las variables de la muestra es un estadstico, llamado media muestral.Media muestral:

Si representan una muestra aleatoria de tamao n, entonces la media de la muestra se define mediante la estadstica:

Propiedad reproductiva de la distribucin normal:

Sean variables aleatorias, cada una con distribucin normal, con media y varianza respectivamente. Entonces la variable aleatoria tiene distribucin normal siendo su media:

Y su varianza:

En el caso de la media muestral .Si se toma una muestra aleatoria de n observaciones de una poblacin normal con media y varianza 2, cada observacin tendr entonces la misma distribucin normal que la poblacin que se muestrea. Por propiedad reproductiva de la distribucin normal se concluye que:

Tiene distribucin normal, con media:

Y varianza:

De manera que:

Por lo que si defino a Z como:

Esta sigue una distribucin normal:

Media de la muestra tomada de una poblacin normal:

Si la muestra proviene de una poblacin con distribucin normal con media y varianza , entonces la media muestral tiene distribucin normal y su media y varianza son:

Correccin de la varianzaSi el tamao N de la poblacin es finito, y este nmero no es muy grande con respecto al tamao n de la muestra (5%), se debe usar la siguiente frmula para corregir la varianza muestral:

Teorema del lmite central:

Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad con media y varianza 2 finitas, si se toma una muestra aleatoria de tamao n y se obtiene , se puede definir una nueva variable aleatoria Z como sigue:

La distribucin de Z tiende a una distribucin normal estndar cuando , es decir, es asintticamente normal con media y varianza .

Este teorema se puede aplicar a una muestra aleatoria de cualquier distribucin, siempre que y 2 sean finitos y el tamao de la muestra sea grande. En general la aproximacin es buena si .Resumiendo: Si la distribucin de X es normal, la distribucin de la media muestral ser normal, cualquiera sea n (propiedad reproductiva de la distribucin normal). Si , la distribucin de la media muestral se puede tratar como normal, cualquiera sea la distribucin de X (teorema del lmite central). Si , la distribucin de la media muestral ser normal, solo si la distribucin de X es normal.

Diferencia de medias muestrales:

Sean y variables aleatorias independientes que representan poblacin normales con medias y y desviaciones estndar finitas y respectivamente. Si se toman muestras de tamao y y se obtienen y , entonces a partir de ellas se puede definir

La distribucin de Z tiende a la distribucin normal estndar cuando

Distribucin de muestreo de la varianza muestralTeorema: Si son n variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrado con grados de libertad respectivamente, entonces la variable aleatoria tiene distribucin ji-cuadrado con grados de libertad respectivamente.

Corolario: Sean variables aleatorias con distribucin normal idntica, entonces la variable aleatoria tiene distribucin ji-cuadrado con grados de libertad

Varianza muestral:Sea una muestra aleatoria de una poblacin con funcin de densidad de probabilidad f, la varianza muestral se define como:

DEMOSTRACION QUE NO SESi es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n que se toma de una poblacin normal con varianza entonces la estadstica :

tiene una distribucin ji-cuadrado con grados de libertad.

es el valor de tal que el rea a la derecha es igual a :

Distribucin t de studentLa distribucin t de student es una funcin de probabilidad con forma tipo campana simtrica. Su aplicacin ms importante se describe a continuacin.Suponer que se toma una muestra aleatoria de tamao de una poblacin con distribucin normal con media y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria Z. En su lugar debe usarse otro estadstico denominado t de student.Este estadstico es til cuando por consideraciones practicas no se puede tomar una muestra aleatoria grande y se desconoce la varianza poblacional. Pero es necesario que la poblacin en estudio sea normal.Distribucin T

Sean y la media y varianza de una muestra aleatoria de tamao tomada de una poblacin normal con media y varianza desconocida, entonces la variable aleatoria

tiene distribucin T con grados de libertad