unidad 2 sistemas lineales(4)

1

Algebra lineal

Capitulo 2 SISTEMAS LINEALES

Mara Cristina Meja

Prez

2

CONTENIDO 1. DETERMINANTES ................................................................................ 3

1.1 MENOR Y COFACTOR ....................................................................................................................................................................... 4 1.1.1 MENOR ........................................................................................................................................................................................................................ 4

1.1.2 COFACTOR ................................................................................................................................................................................................................... 6

1.2 DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3................................................................................................................................................ 7 1.2.1 Teorema de expansin de determinantes:.................................................................................................................................................................. 7

1.2.2 Teorema sobre una fila o columna de ceros ............................................................................................................................................................... 9

2. SISTEMAS LINEALES ....................................................................... 11 2.1 SISTEMA ES HOMOGNEO ............................................................................................................................................................. 12

2.2 Solucin por el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan .............................................................................................................. 13

3. SUBESPACIOS LINEALES .................................................................. 15 3.1 ESPACIO VECTORIAL ....................................................................................................................................................................... 15

3.1.2 ejemplos de espacios vectoriales .............................................................................................................................................................................. 15

3.2 SUBESPACIO ................................................................................................................................................................................... 17 3.2.1 ejemplos de subespacios vectoriales ........................................................................................................................................................................ 18

4. DIMENSION Y BASE DE UN ESPACIO LINEAL .................................... 19 4.1 DEFINICIN DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE UN SUBESPACIO. ...................................................................................... 19

4.2 COMBINACIONES LINEALES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES ............................................................................ 20

4.3 Sistema generador de un espacio vectorial ................................................................................................................................... 24

4.4 Envoltura lineal .............................................................................................................................................................................. 26

4.5 Base de un espacio vectorial .......................................................................................................................................................... 26

5. REFERENCIAS ................................................................................. 28

3

1. DETERMINANTES

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un nmero llamado determinante de A. Determinante de A se puede escribir de dos formas:

A Determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un nmero real)

Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusin.

Una matriz es de primer orden cuando nicamente tiene un solo elemento y 11aA y definimos la determinante de A cmo 11aA . Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que

2221

1211

aa

aaA es una matriz cuadrada de segundo orden.

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

2221

1211

aa

aaA A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )

Ejemplo:

Encuentre A si 58383241314

23

A

EJERCICIO I

multiplicar multiplicar

RESTAR

multiplicar multiplicar

RESTAR

4

Hallar el determinante de las siguientes matrices:

1) 12

31

A

2) 35

13

A

3) 46

23B

4) qp

nmC

1.1 MENOR Y COFACTOR

1.1.1 MENOR

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n 1 obtenida al suprimir la fila i-sima y la columna j-sima de A. Asi, para

1

2

2 3

4

7 5 1

6 A =

5

Para hallar el menor M11: a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi b) tomamos los nmeros que no quedan tapados (los nmeros rojos) c) Tercero hallamos el determinante Hallar los menores M12, M22 y M32

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 =

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 = 75

64

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 = 23028657475

64

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M12 = 8614617271

62

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M22 = 437137171

31

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M32 = 066326162

31

6

1.1.2 COFACTOR

El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por ijjiij MA 1 El cofactor nos da como resultado es el signo del menor. Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores

MENOR COFACTOR

M11 = -2 22121211 211 ijjiij MA

M12 = 8 88181811 321 ijjiij MA

M22 = 4 44141411 422 ijjiij MA

M32 = 0 0011 23 ijjiij MA En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

EJERCICIO II

Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.

1) 20

13A 2)

01

53

B

3) 41

23

C 4)

423

210

412

D

7

5)

031

242

523

D

1.2 DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3

Definicin: el determinante de A de una matriz cuadrada de tercer orden se define as:

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

En esta definicin se establece un patrn de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar A . A

ste proceso se le conoce como expandir A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquier fila o columna.

1.2.1 TEOREMA DE EXPANSIN DE DETERMINANTES:

El determinante de una matriz A de orden 2nn puede evaluarse multiplicando cada entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos resultantes. Ejemplo:

Hallar el determinante de A

321

542

356

A

8

Primero hallamos los cofactores de la primera fila

Cofactor de 11A 616166211



Luego hallamos los menores de la primera fila

32

54 M

321

542

356

11A

31

52 M

321

542

356

12A

21

42 M

321

542

356

13A

Ahora lo colocamos como la definicin

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

21

423

31

525

32

546

321

542

356

A

9

Ahora operamos

412231532525346

7755132

03115226

1.2.2 TEOREMA SOBRE UNA FILA O COLUMNA DE CEROS

Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces .0A

Ejemplo: Calcule el determinante de

523

405

301

A

2215420045

312

53

310

53

450A

523

405

301

A

Ejemplo 2: Calcule el determinante de:

6251

0032

4010

3001

A

Desarrollamos A

Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la segunda columna.

Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la tercera columna.

10

43

43332313

4343333323231313

2

2000

A

AAAA

AaAaAaAaA

6251

0032

4010

3001

A

032

410

301

22 43A

32

103

02

400

03

411122

34

43A

12626122301212

EJERCICIOS

Hallar el determinante de la matriz dada.

1)

136

524

213

A 2)

043

310

201

A 3)

324

613

152

A

Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43 as

11

4)

543

010

053

A 5)

214

401

372

A 6)

032

011

123

A

7)

112

043

152

A 8)

602

723

145

A 9)

214

401

372

A

2. SISTEMAS LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales de mXn es un conjunto de ecuaciones lineales (recuerda la ecuacin de la lnea recta) sobre un cuerpo o un anillo conmutativo, de la forma

Donde Al trmino b se le llama independiente Cada amn y cada bi son nmeros reales y las xi son incgnitas que en otras ocasiones las hemos llamado, x, y, z.

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables (xi) que satisfacen todas las ecuaciones

12

2.1 SISTEMA ES HOMOGNEO

Si todas las b del sistema de ecuaciones lineales presentado anteriormente, fueran cero como se representa

Entonces se dice que es un sistema homogneo

En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solucin una de estas tres posibilidades: una solucin nica, ninguna solucin o un nmero infinito de soluciones. Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogneo hay dos posibilidades: cero como solucin (llamada solucin trivial) o un nmero infinito de soluciones adicional a cero como solucin (llamada solucin no trivial). Algunos ejemplos de sistemas homogneos pueden ser

Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales homogneo tiene un nmero infinito de soluciones si n > m.

13

2.2 Solucin por el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan

Los sistemas homogneos SIEMPRE tienen solucin ya que X1= x2= x3= = xn= 0 Es siempre una solucin del sistema, sta solucin es llamada la solucin trivial, o solucin cero, as un sistema homogneo de ecuaciones lineales tiene solucin nica o tiene una infinidad de soluciones no triviales. Ejemplo 1: Sistema homogneo que solo tiene la solucin cero

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucin.

Luego, x = y = z = 0, el sistema tiene solucin nica, la solucin trivial. Ejemplo 2: Sistema homogneo con un nmero infinito de soluciones

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

14

Solucin.

De donde:

Hacemos z = t , y la solucin se expresa como:

En ste caso el sistema tiene una infinidad de soluciones

15

3. SUBESPACIOS LINEALES Antes de hablar de subespacios lineales debemos hablar de espacios vectoriales

3.1 ESPACIO VECTORIAL

Definicin: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas que se enuncian a continuacin

1. si x V y y V, entonces x + y V (cerradura de la adicin) 2. si x, y y z son elementos cualesquiera de V, entonces (x + y) 3. existe un vector 0 V tal que para todo x V, x +0 = 0 + x =x (al 0 se le llama vector cero o identidad

aditiva) 4. si x V, existe un vector x en V tal que x + (- x)=0 (-x recibe el nombre de inverso aditivo de x) 5. si x y y estn en V, entonces x + y = y + x (ley de conmutatividad de la adicin vectorial) 6. si x V, y es un escalar entonces x V(cerradura ante la multiplicacin por un escalar) 7. si x y y estn en V y es un escalar entonces (x + y) = x + y (primera ley de distribucin) 8. si x V y y son escalares, entonces ( + )x= x +x (segunda ley de distribucin) 9. si x V y y son escalares, entonces (x)= ()x (ley de la asociatividad de la multiplicacin por un

escalar) 10. para todo vector x V, 1x =x (al escalar 1 se le llama identidad multiplicativa)

3.1.2 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES

1) , la recta numrica, con las operaciones habituales de adicin y multiplicacin.

2) Sea N el conjunto de los nmeros naturales.

Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xi N}, con la adicin y multiplicacin por escalares definidas por:

(x1, x2,, xn )+(y1,y2,,yn ) = (x1+y1, x2+y2,, xn+yn )

16

( x1, x2,, xn ) = ( x1 , x2 ,, xn )

3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo ,que denotamos por a bo

,. Es decir,

a b

o

,={f|f es continua en [a,b]}.

Las operaciones son:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

( f)(x)= f(x)

f ,ga b

o

,,x [a,b] , .

Este es uno de los espacios de funciones ms importante en Anlisis Matemtico.

4) mxn mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:

A+B=C,a ij+bij=ci j ,

B= A,bi j= aij ,

A,B,C mxn,( i , j ) 1,m]x[1,n], .

5) El espacio de las sucesiones reales

l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): xnn

2

1

< }, con las operaciones:

i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)

ii) 1 , x2 , ..., xn, 1 2 n, ...)

1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..) 2

La verificacin que todas las propiedades para la adicin y multiplicacin por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizs en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la nica dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es tambin una

sucesin en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) estn en l2 , entonces

n

1

|xn|2 < ,

n

1

|yn|2 <

Para la sucesin suma :

n

1

|xn + yn|2 x yn n

n

2

1

17

=n

1

|xn|2 + 2

n

1

|xn| |yn| +n

1

|yn|2

Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:

| xn |2-2|xn||yn|+|yn|

2 >0

|xn|2+|yn|

2 >2|xn||yn|

as: n

1

|xn + yn|2

n

1

|xn|2 + (

n

1

|xn|2 +

n

1

|yn|2 ) +

n

1

|yn|2

= 2 n

1

|xn|2 + 2

n

1

|yn|2 <

6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): xxlim nn

}, con las operaciones:

i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)

ii) 1 , x2 , ..., xn, 1 2 , .....)

1,x2,.....), (y1,y2,.....)

7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): 0xlim nn

}, con las operaciones del ejemplo 6.

8) El conjunto de todas las sucesiones numricas acotadas m={v=(x1,x2, ...): xi , para algn x }, con las operaciones del ejemplo 6.

9) El conjunto ={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las operaciones del ejemplo 6.

3.2 SUBESPACIO

Dado un espacio vectorial , diremos que un subconjunto EH es un subespacio vectorial si ese conjunto tiene estructura de espacio vectorial.

18

Existe una caracterizacin que nos facilita comprobar si un subconjunto de un espacio vectorial es o no subespacio vectorial: Dado espacio

vectorial y dado EH , diremos que es un subespacio vectorial de , si y solamente si, se cumple:

escalares, para todo par de vectores

y se verifica:

3.2.1 EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES

1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea vV, fijo, v0 . El conjunto

U = {v : } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es subespacio propio si la dimensin de V es mayor que 1.

La verificacin de que U es subespacio es rpida. En primer lugar U, luego si u ,wU, , , entonces:

u + w =(1v )+ (2v )

=(1+2) v U

2) El espacio a b

o es un subespacio (de dimensin infinita), del espacio de todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y

discontinuas).

3) U={v n:x1=0} es un subespacio propio de n, sin embargo,

U ={v n:x1 = x2+1} no lo es (Por qu?).

4) Sea U = {u a b

o : u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio de a b

o

, y de dimensin finita.

5) l2 es un subespacio propio de c0.

6) c0 es un subespacio propio de c.

19

7) c es un subespacio propio de m.

8) m es un subespacio propio de .

4. DIMENSION Y BASE DE UN ESPACIO LINEAL

4.1 DEFINICIN DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE UN SUBESPACIO.

Hemos visto la definicin de espacio vectorial, vamos ahora a concretar algunas propiedades que tiene la operacin externa.

Propiedades de la operacin

Sea (E,+,) un espacio vectorial. Entonces, se verifica: 1.

2.

3.

4.

5.

20

6.

Simplificacin de escalares:

7.

Simplificacin de vectores:

De la estructura de espacio vectorial sabemos que si sumamos dos vectores el resultado va a ser un vector. Tambin sabemos que si multiplicamos un escalar por un vector, el resultado ser un vector. Uniendo estos resultados, llegamos a las siguientes definiciones:

4.2 COMBINACIONES LINEALES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE

VECTORES

Decimos que un vector es combinacin lineal de los vectores

Si existen unos escalares

De forma que

Por ejemplo, el vector (1,3,6) es combinacin lineal de los vectores )}7,5,3(),2,1,1(),2,1,0{( , pues existen los escalares 21 , 11 01 ,

verificndose

Diremos que los vectores

21

Son linealmente independientes si la igualdad

Es nicamente cierta cuando los escalares

Son todos iguales a cero. Entonces se dice que forman un sistema libre. En caso contrario se dir que los vectores son linealmente dependientes, o que forman un sistema ligado.

Por ejemplo, en

(Con las operaciones usuales + y ), se tiene que los vectores(1,0) y (0,1) son linealmente independientes, ya que si buscamos los escalares ,

tales que

Haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser

.

Como sabemos, dos vectores son iguales si lo son componente a componente, lo que implica, automticamente, que y

22

Luego, segn la definicin, son linealmente independientes.

Sin embargo, tambin en

Los vectores (1,3) y (2,6) no son linealmente independientes, pues al buscar los escalares ,

tales que

Haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser

.

Aplicando de nuevo que dos vectores son iguales si lo son componente a componente, obtenemos

Es decir, nos hemos trasladado al mundo de la resolucin de sistemas de ecuaciones. Ahora, con lo que sabemos sobre sistemas lineales, resolviendo se tiene que

y

23

.

Qu me dice esto sobre los vectores? Que son linealmente dependientes. Es claro que si decimos , entonces, automticamente ,

Lo que podra conducirnos a concluir (errneamente) que los vectores son linealmente independientes. Sin embargo, la definicin nos dice que

y

Han de ser nicos. Ahora, si hacemos , automticamente

y

tambin verifican la relacin

,

Lo que nos hace ver que no son nicos y, por tanto, los vectores no son linealmente independientes.

Lo importante de aqu es darse cuenta de que el concepto de dependencia e independencia lineal se ha trasladado al estudio de las soluciones de un cierto sistema de ecuaciones homogneo. La existencia de una nica solucin (que, por ser homogneo el sistema, ser la nula) me dice que los vectores son linealmente independientes, y la existencia de ms de una solucin, que los vectores son linealmente dependientes.

24

Mencionamos unas propiedades referentes a dependencia/independencia lineal de un conjunto de vectores, y despus introduciremos tres conceptos importantes: sistema generador de un espacio vectorial, envoltura lineal de un conjunto de vectores y base de un espacio vectorial.

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems. 2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo slo unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente tambin lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y slo si tiene algn vector que es combinacin lineal de los dems, si metemos este conjunto de vectores en otro ms grande, seguimos teniendo el vector que es combinacin lineal de otros, por tanto, el conjunto ms grande sigue siendo linealmente dependiente.

4.3 Sistema generador de un espacio vectorial

Decimos que un conjunto de vectores

es un sistema generador del espacio vectorial al cual pertenece si cualquier vector de dicho espacio se puede poner como combinacin lineal de ellos.

Por ejemplo, los vectores (1,0) y (0,1) forman un sistema generador de

(+, las operaciones usuales), ya que si cogemos cualquier

de igualar

25

se tiene enseguida que ha de ser y

Por ejemplo, si (x,y) = (1,3), tendremos y

.

No todos los conjuntos de vectores forman un sistema generador de un espacio vectorial. Por ejemplo, los vectores (3,-1,2) y (1,0,-1) no forman un sistema

generador de .

Si lo fueran,

tales que

Pero esto implica, escribindolo como un sistema, que:

Es decir, tenemos que

Por tanto, sustituyendo en la primera ecuacin,

26

Como debe verificarse cada ecuacin, sustituyendo y en la ltima tenemos que, para que

sea sistema generador de se ha de cumplir la relacin

Evidentemente, esto no es cierto para todos los vectores del espacio. Si tomamos, en particular, el (0,0,1), vemos que la coordenada no verifica la

relacin. Por tanto, el sistema dado no es un sistema generador de .

4.4 Envoltura lineal

Al conjunto de todos los vectores que son combinacin lineal de los vectores

Se le llama envoltura lineal de los vectores

Y se representa

.

4.5 Base de un espacio vectorial

Decimos que los vectores

Son base del espacio vectorial al cual pertenecen si cumplen dos condiciones:

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Han de ser linealmente independientes.

Han de formar un sistema generador del espacio vectorial .

Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo nmero de elementos, al que se le llama dimensin del espacio vectorial. La siguiente base del

espacio vectorial es la conocida como base cannica:

Hay que notar que un sistema generador de un espacio vectorial de dimensin debe tener al menos vectores, pero si tiene no tiene por qu ser un sistema generador.

Un ejemplo simple e inmediato lo vemos con el espacio

Siendo + y las operaciones usuales, y escogiendo los vectores

.

Estos dos vectores, al ser proporcionales, generaran nicamente una recta, pero no todo el plano.

28

5. REFERENCIAS PITA RUIZ, CLAUDIO DE J. Algebra lineal. Mc Graw -Hill. Interamericana de Mxico,1991.

GROSSMAN, STANLEY I. lgebra lineal con aplicaciones. 6 Ed.Mc Graw-Hill, Mxico. 1994.

KOLMAN BERNARD. lgebra lineal con aplicaciones. 8 Ed.Prentice -Hall, Mxico. 2006.

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=541 viernes 20 de enero 2012

http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf

www.sectormatematica.cl/media/NM3/DETERMINANTES.doc miercoles 25 de enero 2012

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