unidad 3 sistemas lineales
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La notación acostumbrada para un sistema algebraico
lineal que consta de m ecuaciones con n incógnitas es el
siguiente:
en donde el primer subíndice de cada coeficiente aij
indica en la ecuación el renglón y el segundo subíndice
denota la columna en que esta.
SISTEMA ALGEBRAICO LINEAL
La notación matricial del mismo sistema es:
Ax=b
en la cual A es una matriz m por n, x es una matriz columna
n por 1 y b es una matriz columna m por 1. Dados A y b, el
problema es determinar el vector x que satisfaga el sistema
lineal.
SISTEMA ALGEBRAICO LINEAL
donde:
En el caso de un sistema cuadrado (n=m) y sea A una
matriz no singular, entonces A se puede reducir a la
Forma Triangular, mediante el uso de las siguientes
operaciones por renglones:
I.- Cambiar el orden de los renglones
II.- Multiplicar un renglón por una constante distinta de
cero.
III.- Sumar un múltiplo de un renglón a cualquier otro.
ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer paso del proceso de eliminación consiste en aplicar la
operación de renglones III n-1 veces para eliminar (ai1= 0) los
registros situados abajo de la diagonal en la primera columna de
A.
Sea A(1) la matriz inicial
donde:
ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer paso del proceso de eliminación requiere (n-1)
divisiones, (n-1)2 multiplicaciones y (n-1)2 adiciones.
El segundo paso, si a22≠0, entonces se puede utilizar como
elemento pivote para eliminar . Para k=3,…,n,
hágase
y réstese mk2 veces el segundo renglón de A(2) del k-ésimo
renglón. La nueva matriz que se obtiene será:
ELIMINACIÓN DE GAUSS
El segundo paso del proceso de eliminación requiere (n-2)
divisiones, (n-2)2 multiplicaciones y (n-2)2 adiciones.
Después de n-1 pasos terminaremos con una matriz triangular
U=A(n). El numero de operaciones de todo el proceso se puede
obtener de la siguiente manera:
Divisiones:
Multiplicaciones:
Adiciones y (o) sustracciones:
ELIMINACIÓN DE GAUSS
El proceso de eliminación se resume en el siguiente algoritmo:
ELIMINACIÓN DE GAUSS
ELIMINACIÓN DE GAUSS
Resuelva por eliminación de Gauss el siguiente sistema
La matriz aumentada del sistema es:
ELIMINACIÓN DE GAUSS
TRIANGULARIZACION
Al sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a la segunda, y a la
primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera resulta
Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera se obtiene la
matriz
ELIMINACIÓN DE GAUSS
En términos de sistemas de ecuaciones la matriz anterior quedaría como
sigue:
Utilizando un proceso de sustitución regresiva produce el resultado buscado,
como sigue:
ELIMINACIÓN DE JORDAN
Es posible extender el método anterior, de modo que las
ecuaciones se reduzcan a una forma en que la matriz
coeficiente del sistema sea diagonal y ya no se requiera la
sustitución regresiva
La matriz aumentada del sistema es:
ELIMINACIÓN DE JORDAN
DIAGONALIZACION
Al sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a la segunda, y a la
primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera resulta
Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera, y la segunda
ecuación multiplicada por (9/0.5) a la primera, se obtiene la siguiente matriz
ELIMINACIÓN DE JORDAN
Sumando la tercera fila multiplicada por (92/10) a la primera, y la tercera
ecuación multiplicada por (5/10) a la segunda, se obtiene la siguiente matriz
Que escrita como sistema de ecuaciones da
Donde el resultado final se obtiene fácilmente
MAL CONDICIONAMIENTOConsidérese el siguiente sistema
Donde su solución exacta es:
La cual si se redondea a cuatro espacios decimales, la solución es:
Ahora si se resuelve el mismo sistema utilizando aritmética decimal de punto
flotante de tres dígitos, la solución que se obtiene es:
En la solución anterior existe un error del 100%
MAL CONDICIONAMIENTO
Por otra parte, si intercambiamos renglones para evitar el pequeño pivote,
entonces la aritmética decimal de tres dígitos produce:
Por lo tanto si el pivote aii es pequeño en valor absoluto, los multiplicadores
mki=aki/aii serán grandes en valor absoluto, donde los multiplicadores grandes
contribuyen a la propagación del error. Ahora bien si se eligen
cuidadosamente los elementos pivote se puede mantener multiplicadores
menores que 1 en modulo.
Ahora bien para evitar el mal condicionamiento se buscara el pivote candidato
con modulo máximo de todos los posibles candidatos para ser el elemento
pivote.
y se intercambiaran los registros i-esimo y j-esimo.
MÉTODOS ITERATIVOS
Gauss-Seidel
Se parte de Ax=b para obtener la ecuación
Ax-b=0 (1)
Se busca ahora una matriz B y un vector c, de manera que la ecuación
vectorial
x=Bx+c (2)
sea una solución de la otra.
La ecuación 2 correspondería a x=g(x). Para iniciar la solución del sistema se
propone un vector x(0) como primera aproximación al vector solución x. Luego
se calcula con la ecuación 2 la sucesión vectorial x(1), x(2),…., de la siguiente
manera
X(k+1)=B X(k) + c, para k=0,1,2
Donde
X(k)=[x1k x2
k ….. xnk]T
La forma como se llega a la ecuación 2 define el algoritmo y su convergencia.
Dado el sistema Ax=b , la manera más sencilla es despejar x1 de la primera
ecuación, x2 de la segunda ecuación, etc. Por obvias razones los elementos aii
deben de ser diferentes de cero.
MÉTODOS ITERATIVOS
Gauss-Seidel (Método)
Sea entonces
Con a11, a22, a33 diferentes de cero.
Se despeja x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda ecuación y x3
de la tercera, con lo que se obtiene:
MÉTODOS ITERATIVOS
Gauss-Seidel (Método)
Que en forma matricial queda:
ITERACIÓN de Gauss-Seidel
En este método los valores que se van calculando en la
(k+1)-esima iteración se emplean para calcular los valores
faltantes de esa misma iteración; es decir, con x(k) se
calcula x(k+1) de acuerdo con:
ITERACIÓN de Gauss-Seidel
O bien, para un sistema de n ecuaciones
El proceso iterativo se va a detener cuando:
Los valores absolutos , sean todos menores a un
número pequeño e definido por el usuario.
Si el numero de iteraciones ha excedido un máximo
predeterminado.
ITERACIÓN de Gauss-Seidel
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema por el método de
Gauss-Seidel
MATRIZ
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR