Unidad Temática 1:

Unidad 3

Probabilidad

Temas 6 y 7

Definiciones:

1- La probabilidad estudia la verosimilitud

de que determinados “sucesos o eventos”

ocurran o no, con respecto a otros

sucesos o eventos (Norman y Streiner).

2- Los hechos cuya frecuencia se

expresan en términos de probabilidad,

miden la incertidumbre previa sobre la

ocurrencia del hecho en un caso

particular (Taucher).

Probabilidad

Probabilidad

Un poco de historia:

❖En el siglo XVII nace la Teoría dela Probabilidad de la consultarealizada al matemático BlasPascal por jugadores que utilizabany entendían que el azar participabaen los juegos que participaban.

Probabilidad

❖Posteriormente aportaron al temalos matemáticos Gauss, Bernoulli,Laplace, Poisson y otros.

❖Recién en el siglo XX es cuandose desarrollan las verdaderas teoríasmatemáticas en donde sedesarrollan: definiciones,axiomas y teoremas de laprobabilidad.

Probabilidad

❖También en este siglo secomienzan a aplicar las teorías de laProbabilidad en las ciencias:

Biológicas, Administración deEmpresa, Medicina y Psicología.

Modelos Matemáticos:

❑ DETERMINISTICOS

❑ PROBABILISTICOS

INTRODUCCION

Probabilidad

Modelo Determinístico:

Es aquel en que, cuando lascondiciones bajo las cuales serealiza un experimento sonconocidas o estipuladas deantemano, unívocamente elresultado siempre es el mismo.

Por ejemplo: la distancia recorridapor un móvil que viaja a 100 km/h

Probabilidad

INTRODUCCION

Modelo Probabilístico o aleatorio o

estocástico:

Es aquel en que los resultados nopueden predecirse de antemano,está determinado por la casualidad,ya que no está sujeto a leyes fijas.Iguales condiciones no aseguranuna igualdad de resultados.

Probabilidad

Modelo Probabilístico o aleatorio:

Ejemplos: a) el lanzamiento de unamoneda o un dado,

b) sembrar 10 semillas y esperar sunacimiento,

c) muestrear 20 pollos de la mismaraza, edad y remesa y observar supeso corporal.

Probabilidad

CONCEPTOSProbabilidad

Experimento Aleatorio:

Es un proceso que tiene lassiguientes propiedades:

➢ El proceso se efectúa de acuerdoa un conjunto bien definido dereglas.

➢ Es de naturaleza tal que se puederepetir varias veces con resultadosdiferentes.

CONCEPTOS

Probabilidad

➢ El resultado de cada ejecuciónestá sujeto a la “casualidad” o seaque no puede ser controlado y por lotanto no puede predecirse suresultado

➢ Hay regularidad estadística;esto significa que realizado en unainfinidad de veces, la frecuenciarelativa de un resultado tiende a serconstante.

CONCEPTOS

Probabilidad

Variable Aleatoria:

Es toda variable cuya respuesta antela acción de un experimento, no sepude predecir o esperar undeterminado resultado.

CONCEPTOS

Probabilidad

ejemplo: Al exponer 3 animales a laacción de una sustancia queestimula la Frec. Cardíaca (FC);podemos esperar que en cada unotenga una respuesta diferente sobrela variable FC.

Si lanzamos varias veces un dado nopodemos predecir el resultado decada lanzamiento en particular.

Espacio Muestral: Dado un

experimento E; que llamaremossuceso simple S, llamaremosEspacio Muestral a los resultadosposibles de E que no se puedendescomponer en otros sucesos.

ejemplo: al lanzar un dado el espaciomuestral serán las 6 caras delmismo. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Elementos de la ProbabilidadProbabilidad

Elementos de la Probabilidad

Probabilidad

Evento o Suceso (A):

Dado un experimento E; llamaremosevento o suceso seguro alsubconjunto o elementoseleccionado. Del ejemplo: la caradel dado;A = 3. También llamado evento osuceso “éxito”.

Elementos de la Probabilidad

Probabilidad

Punto Muestral: Dado un experimento

E; llamaremos Punto muestral acada suceso simple S.

Por ejemplo: Una de la caras delmencionado dado;S = 3 o cualquiera.

Elementos de la Probabilidad

Probabilidad

Si en el experimento E, A = 3 serállamado evento o suceso “éxito”.

En el mismo experimento E;llamaremos suceso Ā (no A) acualquiera de las otras cinco caras; Ā= 1, 2, 4, 5, 6. También llamadoevento o suceso “fracaso”.

Probabilidad

Método Empírico: De una determinada

ocurrencia de eventos o sucesos

conocidos, se puede expresar o

pronosticar que es de esperar que ocurra

tal suceso.

Usado en DEPORTES

Distintos métodos de estimación de Probabilidad

Probabilidad

Método Teórico o Clásico: (a-priori)

Si un experimento o evento puede ocurrir

en “h” maneras diferentes de un número

total de “n” maneras posibles, entonces la

probabilidad “p” del evento es:

p = h/n (Spiegel).

Usado en juegos de AZAR

Probabilidad

Método Frecuentista: (a-posteriori).

Si después de n repeticiones de un

experimento, la frecuencia relativa de A

“fA”, se observa que un evento ocurra fi

veces, entonces la probabilidad será

fi = fA/n.

Usado en MEDICINA

Probabilidad

❑ En todo experimento aleatorio hay

siempre incertidumbre sobre si ocurrirá

un evento en particular.

❑ Como una medida de oportunidad o

probabilidad, con que esperamos que

ocurra cierto evento, es conveniente

asignar un número que va del 0 al 1.

Método Teórico o clásico

Probabilidad

❑ Si estamos seguros que el evento

ocurrirá y decimos que tiene 100% de

probabilidad, entonces se le asigna el 1

❑ y ante la seguridad de que el evento

no ocurra, el valor asignado será 0.

Método Teórico o clásico

Probabilidad

❑Por ejemplo si al realizar un

experimento nos da una probabilidad de

1/4, estamos diciendo que la oportunidad

de que ocurra el evento es de p = 0,25,

tiene una probabilidad de éxito del 25% y

una probabilidad de que el evento no

ocurra de 0,75 (q = 0,75). Es lo mismo

que decir que hay una relación de 3 a 1

que el evento no ocurra .

Método Teórico o clásico

Probabilidad

❑La probabilidad de fracaso o evento

fracaso “q”, quedará expresada de la

diferencia de 1 menos p, es decir:

q = 1 - p

Método Teórico o clásico

Probabilidad

Axiomas de la Probabilidad

El enfoque empírico y el clásico de la

probabilidad presentan inconvenientes al

momento de expresarlos formalmente.

Para evitar formas de expresión de la

probabilidad “vagas o indefinidas”, la

matemática propone el enfoque axiomático

de la probabilidad.

En este caso tendremos tres axiomas

básicos, como sigue:

ProbabilidadAxiomas de la Probabilidad

Axioma 1: Para cada evento A en el

conjunto de eventos, en donde asociamos

a un número real que irá de 0 a 1 para la

probabilidad de A, es:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Axioma 2: Para el evento cierto o seguro

S, el mismo siempre será:

P(S) = 1

ProbabilidadAxiomas de la Probabilidad

Axioma 3: Para cualquier número de

eventos mutuamente excluyente;

La probabilidad de A1, A2, ..., An en el

conjunto de eventos, será:

P(A1 ,A2 …An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Probabilidad

Generalización de los axiomas de la Probabilidad

SUCESOS INCOMPATIBLES:

Dos sucesos (A1 o A2) son incompatibles

si el hecho que ocurra uno, conlleva a la

imposibilidad de que ocurra el otro. Para

el caso del experimento de lanzar una

moneda, el hecho que ocurra cara, ya no

puede ocurrir seca.

Probabilidad

Ejemplo: al lanzar el dado. ¿Cuál es la

probabilidad que se de un dos o un

cinco?.

Espacio Muestral: S = (1, 2, ...,6)

Eventos: A1 = 2 y A2 = 5

Aplicando la ecuación:

P(2; 5) = P(2) + P(5) = ...33,03

1

6

2

6

1

6

1===+

Probabilidad

TEOREMA DE LA SUMA: o “Regla de la

Suma”

“Si X o Y son incompatibles entre sí, la

probabilidad de X o Y es la probabilidad de

X más la probabilidad de Y”. Esto queda

expresado por la ley o el teorema de la

suma:

P(X o Y) = P(X) + P(Y)

TEOREMA DEL PRODUCTO o “Regla del

Producto” o “Ley de la multiplicación”

“Si X e Y son sucesos independientes

entre sí, la probabilidad de que ambos

ocurran simultáneamente es la probabilidad

de “X” por la probabilidad de “Y”. Esto

queda expresado por la ley o teorema del

producto:

P(X y Y) = P(X) * P(Y)

Probabilidad

TEOREMA DEL PRODUCTO o “Regla del

Producto” o “Ley de la multiplicación”

Calcular la probabilidad de obtener dos

sietes al sacar dos cartas de un mazo de

poker.

Calcular la probabilidad de obtener dos

cincos al arrojar un dado dos veces.

Calcular la probabilidad de arrojar dos

dados y que el resultado sume ocho.

Probabilidad