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UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N° 5: LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA

Tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Entre las distracciones más comunes que utilizan las personas están: los programas de televisión, el cine, conciertos, los cuales se encuentran llenos de la magia de la animación y audio. Muchos espectadores comentan sobre lo bueno o malo que resultó la animación de la caricatura o lo inolvidable de los efectos de audio, como ecos, distorsiones o simulaciones. Para la producción de esta magia, los expertos se valen de programas de computadoras que usan funciones matemáticas denominadas splines, en el subcampo matemático del análisis numérico. Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, el siguiente es un ejemplo gráfico:

Fuente: Elaboración propia. Caracas 2007

Así como la animación y el audio, otros fenómenos requieren del uso de las matemáticas, para lo cual es necesario utilizar un lenguaje específico para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguaje posee varios componentes:

Las funciones matemáticas están conformadas por expresiones que generalizan las operaciones aritméticas, empleando números, letras y signos; donde, cada letra o signo

Vocabulario

Gráficos

COMPONENTES Símbolos o Signos

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representa simbólicamente un número u otra entidad matemática, a éstas se les denominan Expresiones Algebraicas.

Expresiones Algebraicas

Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

a) 58x− c) 932 ++ yay

b) ( )( )bybxc −+2 d) ( ) 3817 xx ++⋅

e) 683

1 ++

++ x

yy

x

Términos

Es una expresión algebraica, donde interviene sólo los signos de multiplicación, división, potenciación y radicación. Se puede diferenciar un términos de otro, ya que se separan entre sí únicamente por los signos de adición (+) y sustracción (-). Así, para los ejemplos anteriores tenemos:

El ejemplo (a) tiene un solo término, 58x−

El ejemplo (b) tiene un término: ))(2( bybxc −+ (*)

El ejemplo (c) tiene tres términos: 9,3,2 yay

El ejemplo (d) tiene dos términos: ( ) 38,1 xxa +

El ejemplo (e) tiene dos términos: 683,

1 ++

+ xy

yx

Los términos están formados por los siguientes componentes:

Signo: Es el que precede al término, puede ser positivo (+) o negativo (-), si éste no aparece, el signo del término es positivo.

Variable de un término: es aquella sobre la cual se define el término o expresión algebraica e indica que su valor va variando. Por lo general se toman las últimas letras del

NOTA:

(*) La expresión ))(2( bybxc −+ así como está, sin resolver tiene un término, mientras que si aplicamos la propiedad distributiva obtenemos: 22 22)22())(2( cbybcxbcxycbybxbxycbybxc −+−=−+−=−+ y esta expresión tiene 4 términos.

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alfabeto en minúsculas: .,,,, etcwzyx . Las expresiones algebraicas pueden ser de una, dos o varias variables.

Coeficiente: Es el factor que acompaña a la parte variable, y su valor no cambia, es constante. Los coeficientes pueden ser de carácter numérico o literal. Por lo general los coeficientes literales se representan con las primeras letras del alfabeto en minúscula: .,,,, etcdcba

Exponente: Es el número que se encuentra en la parte superior derecha de la variable.

Así para el ejemplo (a): 58x− , las variables, los coeficientes y los exponentes son:

58x−

En el ejemplo (b), “ ))(2( bybxc −+ ” es de dos variables: x e y, el coeficiente es 2c, -2cb, cb; el exponente: 1. En este caso para determinar los coeficientes y exponentes es necesario resolver el producto.

Para el ejemplo (e): 683

1 ++

++ x

yy

x, los términos son dos:

1+yx

+ 683

++

xy

Haz lo mismo para el segundo término.

Términos Semejantes

Son términos cuya parte variable son iguales y además tienen el mismo exponente. Observa los siguientes ejemplos:

Variable

Exponente

Coeficiente Signo

1+yx

Signo Variable Coeficiente Exponente

Numerador + x 1 1

Denominador + y 1 1

Términos Para determinar los componentes de cada uno de los términos, como ambos son fracciones, analizaremos tanto el numerador como el denominador, así:

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a) 2222 4,21,5,3 xxxx −

b) 3xy, 2xy, xy43−

c) 22 3, xyyx

d) yxyx

yxyx

++

22 3,4

e) 935,93 ++ xxa

Es de suma importancia reconocer términos semejantes cuando se quiere reducir una expresión algebraica, ya que estos pueden sumarse (o restarse) y, por consiguiente reducirla. Si dos o más términos no son semejantes, éstos no pueden sumarse ni restarse. También es de utilidad para calcular el mínimo común denominador entre expresiones racionales.

Ejemplo 1: Reducir la expresión algebraica 222 52)( xxxxP +−= .

Solución: 222 52)( xxxxP +−=

( ) 2521)( xxP +−=

24)( xxP =

Respuesta: 24)( xxP =

Ejemplo 2: Reducir la siguiente expresión algebraica, agrupando términos semejantes. 22 325)( xxyxyxxP −+−= .

Solución:

Son semejantes por grupos. Si agrupamos tendremos:

)2()35()( xyxyxxxP +−+−=

xyxxP )21()35()( +−+−=

xyxxP += 22)(

Son términos semejantes ya que todos contienen 2x

Son términos semejantes ya que todos contienen xy

No son términos semejantes ya que 22 xyyx ≠

Son términos semejantes ya que todos contienen yx

yx+

2

Son términos semejantes ya que todos contienen 93 +x

Son términos semejantes ya que todos contienen 2x , se agrupan y suman los coeficientes y se

coloca una vez el factor que se repite.

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Respuesta: xyxxP += 22)(

Ejercicios propuestos:

1. Señale cuál de las siguientes expresiones no corresponde a una expresión algebraica. Justifique su respuesta.

(a) 125

5634512 −+ (b)

xxx

7453 2−

(c) 5

245 3 +x

2. Para los ejemplos c y d, dados al inicio de esta lectura, identifique los términos y cada componente de los mismos, si es posible.

3. En cada una de las siguientes expresiones señale los términos y sus componentes:

(a) 6182 3 +− xx (b) x

xxx3

121153 −+−−

(c) 39127

xx −

(d) 416

3413 2

+−

xxx

4. Diga si los términos yxyxyx 222

21,2, −

− son semejantes. Justifique su respuesta.

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LECTURA N° 6: TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS


Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M., (2006). Expresiones Algebraicas, Caracas: UNEFA.

Las expresiones algebraicas son de gran utilidad para expresar matemáticamente comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cada comportamiento tiene una expresión algebraica que lo representa. Algunos ejemplos son:

a) El crecimiento de una bacteria puede estar dado por la expresión 12+xe , observe que el

exponente es una expresión que contiene a la variable x .

b) El costo total para construir una cerca para un área rectangular con ciertas condiciones

dadas, esta representada por la expresión algebraica x

x 432003 + .

En virtud de lo expuesto y de las características propias de cada expresión algebraica, éstas se clasifican en: Enteras, Racionales, Radicales y Combinadas.

Expresiones Algebraicas Enteras o Polinómicas.

Son también llamadas polinómicas y se definen como toda expresión algebraica en la que las potencias son de exponente natural, es decir, los exponentes de las variables son números enteros positivos.

Ejemplos: bxzyxyx 3232 )(32,4,53 ++

Las expresiones algebraicas enteras, a su vez se clasifican en monomios, binomios, trinomios

y polinomios, dependiendo del número de términos que posea.

Monomio, expresión que consta de un solo término, por ejemplo: bax 22

32,3

Binomio, expresión que consta de dos términos, ejemplos:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 5232 2

21,42,3 bbayxyx

Trinomio consta de tres términos, así como en los siguientes ejemplos:

( )232 +− xx , ( )2/125 2 −+ yy , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 223

21 yxxy

52

Así, en general podemos definir, que un Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: 12,696,4 223 +−+−+−+ xxxxxyxb , en el conteo de términos sólo se cuentan los términos que no tienen como coeficiente el número cero.

Ejemplo 1: Determinar si la expresión algebraica xxxxP 232)( 23 −+= − es un polinomio.

Justifique su respuesta.

Solución:

No es un polinomio, porque tiene un exponente negativo en 32 −x . Los exponentes deben ser enteros y no negativos.

Ejemplo 2: Determinar si la expresión algebraicas 223)( xxxP −= es un polinomio.

Justifique su respuesta.

Solución:

223 xxxP −=)( equivale a 221 23 xxxP −= /)(

No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario. Los exponentes deben ser enteros y no negativos.

Características de los Polinomios

• Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es una expresión algebraica.

• El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable del polinomio.

• Los términos de un polinomio se clasifican en:

NOTA: Observe que de acuerdo a la definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios.

NOTA:

Si bien es cierto, los ejemplos 3 y 4 no son considerados como polinomios, pero sí son expresiones algebraicas

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Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Así, para el polinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , el término independiente del polinomio Q es el término ab .

Término Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable. Así, para el polinomio )(xQ = abbxax ++ 23 85 , los términos dependientes del polinomio )(xQ son:

23 8,5 bxax .

• Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos los exponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. Así, el polinomio:

)(xP = 635 2345 +−++− xxxxx es completo con respecto a su variable x , porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo (0), ( 066 x= ).

El polinomio =)(aQ 3223 2 babbaa +−+ es completo con respecto a la variable “a”. Note que si definimos como variable del polinomio "" a bQ , )(bQ = 3223 2 babbaa +−+ , éste también es un polinomio completo. El polinomio )(xR = 623 34 ++− xxx no es un polinomio completo, ya que el término 2x no está, es decir el coeficiente de 2x es cero.

• Diremos que un polinomio está ordenado, si los exponentes de la variable están en orden ascendente o descendente.

Así por ejemplo:

a) El polinomio )(xP = 1234 23 +−− xxx , es un polinomio ordenando en forma descendente,

b) El polinomio )(xQ = 134533 5634 +−++− xxxxx , es un polinomio no ordenado.

c) El polinomio )(xR = 5432 5643 xxxxx −+++− , es un polinomio ordenado ascendente.

En general, si tenemos la siguiente expresión

nn xaxaxaxaaxP +++++= ΚΚΚ3

32

210)(

en donde: 0≠na

naaaaa ΚΚΚ,,,, 3210 etc. son números reales

“ n ” es un entero no negativo

NOTA:

Podemos decir entonces que un polinomio es completo, si contiene todos los exponentes

sucesivos de la variable y todos los coeficientes del polinomio son diferentes de cero.

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Se puede considerar )(xP como un polinomio en “ x ” de grado “ n ” y:

• Las cantidades naaaaa ΚΚΚ,,,, 3210 son los coeficientes del polinomio.

• “ x ” es la variable o parte variable del polinomio

• “ n ” es el mayor exponente de “ x ” y determina el grado del polinomio (entero no negativo).

• 0a es el término independiente

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 3: Determinar las características del polinomio 2645 3242)( yyyyyP ++−= .

Solución:

a) Términos dependientes: 2645 3,2,4,2 yyyy −

b) Variable: y c) Grado: 6

d) Coeficientes: 2 (de 5y ), -4 (de 4y ), 2 (de 6y ), 3 (de 2y ), 0 (de 3y ), 0 (de y )

e) Término independiente: 0 f) Polinomio Ordenado: No.

g) Polinomio Completo: No, ya que existen coeficientes, el de 3y y el de y , que son iguales a cero.

Ejemplo 4: Determinar las características del polinomio 432

54

32)( 23 ++−= xxxxP .

Solución:

a) Términos dependientes: xxx 2,54,

32 23 − ;

b) Variable: x ; c) Grado: 3;

d) Coeficientes: 32

(de x3), 54

− (de x2), 2 (de x), e)Término independiente: 43

f) Polinomio Ordenado: Si. g) Polinomio Completo: Si.

A continuación estudiaremos las expresiones algebraicas racionales, con radicales y las combinadas, entre ellas no podemos distinguir las mismas características como en el caso de las expresiones polinómicas. Estas expresiones no poseen las características mencionadas para los polinomios.

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Expresiones Algebraicas Racionales

Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferente de cero.

Ejemplos: xyyx

yxyy

++

+ 54,

75 2

2

3

Expresiones Algebraicas Radicales

Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz.

Ejemplos: yzyxx +++ 23 25 2

32,35,23

Expresiones Algebraicas Combinadas

Son expresiones algebraicas que contienen expresiones enteras, racionales y/o radicales.

Ejemplos: 2

35

2953

xxx ++

; ;1253 3

2

++

+x

xx ;1534 2

xxy−

++

543

134 2323

+−++

+− yxx

xx


5. Para cada una de las siguientes expresiones, señale: tipo de expresión y sus características

a) 123453)( 24 +−+= xxxxP , b)

43

52)( −= xxQ

c) 1512)( 3 −+= xxxR d) 423)( xxT =

6. Señale el tipo de expresión al cual pertenecen cada uno de los ejercicios propuestos, en la Lectura Nº 5.

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LECTURA N° 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Material recopilado con fines instruccionales por:

Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M. (2006). Expresiones Algebraicas. Caracas: UNEFA.

Valor Numérico de Expresiones Algebraicas

Es el número real que resulta de reemplazar las variables por números determinados en la expresión algebraica.

Ejemplo 1: Sea 45753)( 2345 +−++−= yyyyyyQ , hallar el valor numérico de )(yQ para

1−=y .

Solución:

Sustituimos el valor de 1−=y en la expresión )(yQ , es decir hallamos

4)1(5)1(7)1(5)1(3)1()1( 2345 +−−−+−+−−−=−Q

4575314)1(5)1(7)1(5)1(31 +++−−−=+−−+−+−−=

7169 =+−=

Respuesta: 7)1( =−Q

Ejemplo 2: Sea 22

22

22),(

yxyxyxyxyxP

+−++

= , hallar el valor numérico de ),( yxP para 3=x ,

.2=y

Solución:

Sustituimos los valores de 3=x , 2=y en la expresión ),( yxP , es decir hallamos

25125

41294129

2232322323)2,3( 22

22

==+−++

=+⋅⋅−+⋅⋅+

=P

Respuesta: 25)2,3( =P

Aun cuando calcular el valor numérico no es una operación matemática como tal sobre las expresiones algebraicas, es considerada una herramienta útil para determinar cifras en comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Veamos el siguiente ejemplo.

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Ejemplo 3: Si la expresión x

xC 432003 += determina el costo total para construir una

cerca, conociendo que x representa los metros lineales de cerca. ¿Cuál será el costo de la

misma si se requieren 120 metros lineales de cerca para su construcción?

Solución:

El valor de x es igual a los 120 metros lineales de cerca, los cual se sustituye en

7201204320)120(3432003 =+⋅=+⋅=

xxC

Respuesta: El costo para una cerca con estas condiciones es de 720 BsF.

Operaciones con Polinomios:

Adición de Polinomios

Para la adición o suma de polinomios es importante la comprensión del manejo de términos semejantes, que estudiamos en la Lectura Nº 5. Es conveniente seguir el procedimiento indicado:

• Se ordenan los polinomios (preferiblemente en forma descendente).

• Se completan los polinomios incompletos, dejando el espacio en blanco o colocando cero como coeficiente, junto a la potencia de los términos que no aparecen en el polinomio.

• Se suman verticalmente u horizontalmente los coeficientes de los términos semejantes.

Ejemplo 4: Dados 523)( 23 −+−= xxxxP y 234)( 2 +−= xxxQ , hallar )()( xQxP +

Solución:

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical. Luego se suman algebraicamente (es decir, usando la ley de los signos) los coeficientes de los términos semejantes.

5123)( 23 −+−= xxxxP +

234)( 2 +−= xxxQ

Respuesta: 3223)()( 23 −−+=+ xxxxQxP

Observe que la respuesta se ofrece ordenada descendentemente con respecto a “ x ”.

Ejemplo 5: Dados 2222 3234)( xxaaaxxP −+−= y 222 22)( xaxxaxQ +−=

Se pide encontrar )()( xQxP +

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Solución:

Se ordenan los polinomios en forma descendente, en función de la variable x . Se suman algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes.

2222 3234)( xxaaaxxP −+−= +

2222 220)( xxaaaxxQ +++−=

2222 433)()( xxaaaxxQxP −+−=+

Respuesta: 2222 433)()( xxaaaxxQxP −+−=+

Ejemplo 6: Dados los siguientes polinomios 312

25

53)( 23 −+−= xxxxP y

45

51

35

21)( 23 ++−= xxxxQ . Hallar )()( xQxP +

Solución:

312

25

53)( 23 −+−= xxxxP +

45

51

35

21)( 23 +++= xxxxQ

)45

31()

512()

35

25()

21

53()()( 23 +−++++−++=+ xxxxQxP

)12

154()5

110()6

1015()10

56( 23 +−+

++

+−+

+= xxx

Respuesta: 1211

511

65

1011)()( 23 ++−=+ xxxxQxP

Sustracción de Polinomios

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de polinomios, pero esta vez, considerando el signo negativo que precede al sustraendo, se puede reescribir la operación

NOTA:

Esta suma de polinomios, también puede resolverse sumando horizontalmente los

coeficientes de los términos semejantes.

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como una adición, considerando que en lugar del polinomio dado en el sustraendo se utilizará el polinomio opuesto a éste (es lo que el signo menos nos está indicando).

Ejemplo 7: Dados 523)( 23 −+−= xxxxP y 234)( 2 +−= xxxQ . Se pide encontrar )()( xQxP − .

Solución:

La operación )()( xQxP − se puede reescribir como [ ])()( xQxP −+ .

Ahora se identifica a “ )(xQ− ” (polinomio opuesto o simétrico de )(xQ ).

Si tenemos 234)( 2 +−= xxxQ entonces 234)( 2 −+−=− xxxQ .

Se ordenan los polinomios y se colocan en forma vertical:

( ) 523 23 −+−= xxxxP

234)( 2 −+−=− xxxQ

Luego procedemos a sumar algebraicamente (ley de los signos) los coeficientes de los términos semejantes:

=)(xP 523 23 −+− xxx

=)(xQ 234 2 −+− xx

)25()31( )42(3)()( 23 −−+++−−+=− xxxxQxP

7463)()( 23 −+−=− xxxxQxP

Respuesta: 7463)()( 23 −+−=− xxxxQxP .

Ejemplo 8: Dados 3234)( 23 −+−= xxxxP y 9242)( 23 ++−= xxxxQ .

Hallar )()( xQxP − .

Solución:

)()( xQxP − = )3234( 23 −+− xxx - )9242( 23 ++− xxx

NOTA:

La resta o sustracción de polinomios, también puede resolverse horizontalmente, tomando

en cuenta el signo negativo que precede al sustraendo.

Se multiplican los signos

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Observa que los signos cambian al ser multiplicados (ley de los signos)

)()( xQxP − = 92423234 2323 −−+−−+− xxxxxx

Agrupamos términos semejantes:

)()( xQxP − = )93()22()43()24( 23 −−+−++−+− xxx

Respuesta: )()( xQxP − = 122 23 −+ xx

Ejemplo 9: Dados xxxxxxP43

385

34

52)( 2345 +−++= y

153245)( 2345 −+−+−= xxxxxxQ . Hallar )()( xQxP −

Solución:

)()( xQxP − = )153245()43

385

34

52( 23452345 −+−+−−+−++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP − = 15324543

385

34

52 23452345 +−+−+−+−++ xxxxxxxxxx

)()( xQxP − = ( ) ( )151433

38254

345

52 2345 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxxxx

)()( xQxP − = ( ) 154

433

9833124

5252 2345 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxxxx

Respuesta: )()( xQxP − = 1541

313

316

523 2345 +−+++− xxxxx

Multiplicación de Polinomios

a) Monomio por Polinomio:

Este caso se presenta con mucha frecuencia y se resuelve utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación. El grado del polinomio resultante de la multiplicación de un monomio por un polinomio, es igual a la suma de los grados de ambos.

Ejemplo 10: Multiplique ( )32x por ( )224 24 −+− xxx

Solución:

El grado del monomio es 3 y el grado del polinomio es 4, por lo tanto el grado del polinomio resultante es 7. Veamos a continuación el producto:

( ) ( )2242 243 −+−⋅ xxxx

61

Se multiplica 32x por cada uno de los términos del polinomio.

= )2)(2())(2()2)(2()4)(2( 332343 −++−+ xxxxxxx

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

= 332343 ))2(2())(12()))(2(2())(42( xxxxxxx −⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅

= 3132343 4248 xxxx −+− +++

Respuesta: 3457 4248 xxxx −+−

Ejemplo 11: Multiplique ( )24xy por ( )332 32 xyxyxy ++−

Solución:

( ) ( )3322 324 xyxyxyxy ++−⋅

Ordenamos el polinomio considerando la variable y

( ) ( )3232 234 xxyxyyxy ++−⋅

Aplicamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior, se multiplica 24xy por cada uno de los términos del polinomio

( ) ))(4()2)(4()3)(4)(4( 3222322 xxyxyxyxyyxyxy ++−+

En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables

2322232 ))(4())()(4())())(2(4())()(34( yxxyyxxyyxxyyx ⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅

En este caso el grado del polinomio resultante será “5”, debido a que existe un factor donde la variable y tiene exponente 5.

Respuesta: 2432425 44812 yxyxyxxy ++−

b) Polinomio por Polinomio:

Puede resolverse utilizando la propiedad distributiva o pueden colocarse un polinomio bajo el otro y realizar una multiplicación en forma vertical.

El grado del polinomio resultante de la multiplicación de dos polinomios es la suma de los grados de cada polinomio. Veamos a continuación como resolvemos el producto de dos polinomios:

NOTA:

Cuando un polinomio tiene dos variables se debe considerar una de las dos, tanto para

ordenar el polinomio, como para determinar su grado.

62

Ejemplo 12: : Dados los polinomios 234)( 2 −+= xxxP y 52)( += xxQ , hallar )()( xQxP ⋅ .

Solución:

El grado del polinomio )(xP es 2 y el grado del polinomio )(xQ es 1, por lo que el grado del polinomio resultante es 3. Ambos polinomios están ordenados en forma descendente.

Para multiplicar ambos polinomios vamos a colocarlos uno bajo el otro, preferiblemente el de mayor número de términos arriba y el de menor cantidad de términos debajo. Si los polinomios no están ordenados, deben ordenarse preferiblemente en forma descendente.

234 2 −+ xx ×

52 +x

( ) ( )2342 2 −+⋅ xxx

( ) ( )2345 2 −+⋅ xx

Y nos queda:

234 2 −+ xx

52 +x

xxx 468 23 −+

+ 101520 2 −+ xx

1011268 23 −++ xxx

De esta forma se pueden sumar directamente los términos semejantes, siempre y cuando estén ambos polinomios ordenados en la misma forma (descendente o ascendente).

Note que el grado ( 3 ) del polinomio resultante de la multiplicación es la suma de los grados de los polinomios (2 + 1) .

Respuesta: 1011268)()( 23 −++=× xxxxQxP

Ejemplo 13: Sean 438)( 2 +−= xxxP y 1545)( 23 +−+= xxxxQ . Hallar )()( xQxP ⋅ .

Solución:

=⋅ )()( xQxP )1545()438( 232 +−+⋅+− xxxxx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos del polinomio )(xQ .

=⋅ )()( xQxP +⋅+−⋅+⋅+⋅ )1()8()5()8()4()8()5()8( 222232 xxxxxxx

)234(2 2 −+ xxx

Multiplicamos cada término del polinomio de abajo por todos y cada uno de los términos del polinomio de arriba.

)234(5 2 −+ xx

63

+⋅−+−⋅−+⋅−+⋅− )1()3()5()3()4()3()5()3( 23 xxxxxxx

)1(4)5(4)4(4)5(4 23 ⋅+−⋅+⋅+⋅ xxx

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=⋅ )()( xQxP ++⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ ))(8()()58()()48()()58( 222232 xxxxxxx

+−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅− )3()()53()()43()()53( 23 xxxxxxx

4544454 23 +⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ xxx

Ahora multiplicamos los coeficientes y aplicamos las propiedades de la potenciación, y nos queda:

32342345 2031512158403240)()( xxxxxxxxxxQxP +−+−−+−+=⋅

42016 2 +−+ xx

Agrupamos los términos semejantes

4)203()16158()201240()1532(40)()( 2345 +−−+++++−−+−+=⋅ xxxxxxQxP 42339321740)()( 2345 +−+−+=⋅ xxxxxxQxP

Respuesta: 42339321740)()( 2345 +−+−+=⋅ xxxxxxQxP

Ejemplo 14: Dados los polinomios 562

35

32)( 234 ++−= xxxxP y

61

27

76)( 3 −+= xxxQ ,

hallar: )()( xQxP ⋅ .

Solución:

=⋅ )()( xQxP ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

562

35

32 234 xxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

61

27

76 3 xx

Multiplicamos cada término del polinomio )(xP por cada uno de los términos de )(xQ

=⋅ )()( xQxP +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

61

32

27

32

76

32 4434 xxxxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

61

35

27

35

76

35 3333 xxxxx +

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

612

272

76)2( 2232 xxxxx

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

61

56

27

56

76

56 3 xx

64

Multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables y nos queda:

=⋅ )()( xQxP ( ) ( ) 4434

61

32

27

32

76

32 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

- ( ) ( ) 3333

61

35

27

35

76

35 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+ ( ) ( ) 2232

612

272

762 xxxxx ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

61

56

27

56

76

56 3 xx

Ahora multiplicamos las fracciones, además, aplicaremos las propiedades de la potenciación y nos queda:

=⋅ )()( xQxP +−+++−−⋅−⋅+⋅ 235346457

62

214

712

185

635

2130

93

614

2112 xxxxxxxxx

⋅−⋅+⋅+306

1042

3536 3 xx

Simplificando las fracciones:

=⋅ )()( xQxP +−+++−−⋅−⋅+⋅ 235346457

317

712

185

635

710

91

37

74 xxxxxxxxx

⋅−⋅+⋅+51

521

3536 3 xx

Agrupamos los términos semejantes:

51

521

31

35367

185

635

91

712

37

710

74)()(

2

34567

−+⋅+

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−⋅=⋅

xx

xxxxxxQxP

Resolviendo las fracciones, nos queda que:

Respuesta:

51

521

31

630845.5

18107

2185

710

74)()( 234567 −+++−+−⋅=⋅ xxxxxxxxQxP

65

División de Polinomios

Para realizar esta operación, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual al grado del polinomio divisor. Al igual que en una división de números reales, los elementos que componen una división entre polinomios son: Dividendo, Divisor, Cociente y Residuo. Si el Residuo es cero la división se clasifica como exacta.

Por ejemplo, dividir el polinomio )(xP entre el polinomio )(xQ , )()( xQxP ÷ , el dividendo es )(xP , el divisor es )(xQ y el cociente )(xC . Además, )(xP se define como aquel polinomio

que cumple con la siguiente relación:

)()()()( xRxCxQxP +×= ; donde )(xR es el residuo.

Veamos a continuación cómo hacer la división entre dos polinomios:

a) Polinomio dividido entre monomio:

Ejemplo 15: Sea 2345 2)( seay 41012)( xxQxxxxP =+−= . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

==÷)()(

)()(xQxP

xQxP 2

345

241012

xxxx +−

Cuando el denominador es un monomio, se separa la fracción original en tres fracciones con igual denominador, y obtenemos:

2

3

2

4

2

5

24

210

212

xx

xx

xx

+−=

Luego simplificamos, tanto los coeficientes, como las variables:

Respuesta: )()( xQxP ÷ = 256 23 +− xx

Ejemplo 16: Sea xxxxP 936)( 24 +−= y sea 23)( xxQ = . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

==÷)()(

)()(xQxP

xQxP 22

2

2

4

2

24

39

33

36

3936

xx

xx

xx

xxxx

+−=+−

Simplificando, tenemos: x

x 312 2 +−=

Dividiendo los coeficientes:

62

12= ; 5

210

= ; 624=

Dividiendo las potencias:

;32

5

xxx

= ;22

4

xxx

= xxx

=2

3

66

Respuesta: =÷ )()( xQxPx

x 312 2 +− 12 312 −+−= xx .

b) Polinomio dividido entre Polinomio:

El procedimiento que usaremos para resolver la división entre polinomio, será descrito en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 17: Hallar 12

364 235

−−+−

xxxxx

Solución:

El dividendo es xxxx 364 235 −+− y el divisor es 12 −x . Tanto el dividendo como el divisor tienen que estar completos y ordenados en forma descendente; si ello no es así, entonces éstos deben ordenarse y/o completarse, antes de comenzar la división.

Escribimos el ejercicio de la siguiente forma, completando con el coeficiente CERO los términos que faltan, como es en este caso: 4x y el término independiente. Procedemos a resolver:

03604 2345 +−+−+ xxxxx 12 −x

45 24 xx +− 42x 1.- Dividimos 54x entre 2x usando el procedimiento de los ejercicios anteriores

45

224 x

xx

= 2.-Multiplicamos 42x por )12( −x y lo colocamos bajo el dividendo, cambiando el signo del resultado:

454 24)12(2 xxxx −=−⋅

NOTA:

Observe que el resultado de la división no es un polinomio, ya que el exponente del último

término es negativo. Cuando dividimos en general un polinomio entre otro polinomio o un

monomio, el resultado no siempre es un polinomio. Si observamos en el ejemplo 22, el

exponente del término de menor potencia (9x) es menor que el grado del divisor (3x2). Sin

embargo, aun cuando no es polinomio sí es una expresión algebraica.

67

3.-Sumamos verticalmente y “bajamos” los términos restantes para proceder de la misma

manera y así lograr obtener un “Residuo parcial ”.

Respuesta: 12

364 235

−−+−

xxxxx

= xxx 32 34 ++

Ejemplo 18: Dados 6946)( 245 +−−= xxxxP y 23)( −= xxQ . Hallar )()( xQxP ÷ .

Solución:

236946

)()()()(

245

−+−−

==÷x

xxxxQxPxQxP

Para los pasos comentados de la solución refiérase al ejemplo anterior.

2

4666

6969

23246

236946

2

2

445

245

−++−

−

+−

−−+−

−+−−

xx

xxx

xxxx

xxxx

4.- Dividimos el término 42x del residuo parcial entre x2 así ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

4

22 x

xx

5.- Repetimos el proceso hasta que el grado del residuo parcial sea menor que el grado del

divisor. Observe que ésta es una división exacta.

03604 2345 +−+−+ xxxxx 12 −x

45 24 xx +− xxx 32 34 ++

xxxx 362 234 −+−

342 xx +−

xx 36 2 −

xx 36 2 +−

0

Residuo )(xR

Residuo Parcial

Residuo

Cociente: )(xC

68

Como )()()(

)()()()(

xQxRxC

xQxPxQxP +==÷ y el residuo es diferente de cero, entonces

232)232(

236946

)()()()( 4

245

−+−−=

−+−−

==÷x

xxx

xxxxQxPxQxP

Respuesta: 23

2)232()()( 4

−+−−=÷

xxxxQxP

Operaciones con Expresiones Racionales:

Adición de Expresiones Racionales

Para la adición o suma de este tipo de expresiones, es conveniente seguir el procedimiento indicado:

• Simplificar las fracciones dadas, si es posible. • Si las expresiones tienen distintos denominadores:

a) Reducirlas al mínimo común denominador, si es posible. b) Efectuar las multiplicaciones indicadas. c) Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos

semejantes y manteniendo el denominador común. d) Simplificar la fracción que resulte, si es posible.

• Si las expresiones tienen el mismo denominador, seguir las instrucciones a partir del literal “c”, del paso anterior.

Ejemplo 19: Dadas las expresiones 2

4m

y 25

m, hallar : 22

54mm

+

Observa que los denominadores son iguales, por lo tanto, procedemos desde el paso “c”, sumamos los numeradores y se mantiene el denominador.

2222

95454mmmm

=+

=+

Respuesta: 222

954mmm

=+

Ejemplo 20: Hallar :a

aa 6

22

32

−+

69

Como los denominadores son distintos, procedemos a calcular el m.c.m entre 22a y a6 que es 26a , luego se divide el m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

aaaaa =÷=÷ 66326 222

aa

a 62

23

2

−+ =

( ) ( )2

2

222 62

69

62

633

aaa

aaaa

a−

+=⋅−

+⋅

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten y ordenando:

2

2

2

2

692

629

aaa

aaa +−=

−+

Respuesta: 2

2

2 692

62

23

aaa

aa

a+−

=−

+

Ejemplo 21: Dadas las expresiones2

5+x

y 34

−−

xx

, hallar :34

25

−−

++ x

xx

.

Observa que los denominadores son distintos.

34

25

−−

++ x

xx

Calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores,

mcm ( ) ( )[ ] ( ) ( )323,2 −⋅+=−+ xxxx

se divide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )32

2432

35−⋅++⋅−

+−⋅+

−⋅=

xxxx

xxx

Aplicando propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( )32842

32155 2

−⋅+−−+

+−⋅+

−=

xxxxx

xxx

( ) ( ) 32

32−=

+−⋅+ x

xxx

( ) ( ) 2

332

+=+

−⋅+ xx

xx

70

Finalmente, sumamos los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos semejantes y manteniendo el denominador común.

( ) ( ) ( ) ( )32812

32842155 22

−⋅+−−

=−⋅+

−−++−=

xxxx

xxxxxxx

Respuesta: 34

25

−−

++ x

xx

= ( ) ( )328122

−⋅+−−

xxxx

Sustracción de Expresiones Racionales

Se sigue un procedimiento semejante a la adición o suma de expresiones racionales, pero esta vez, considerando el signo negativo que precede al sustraendo.

Ejemplo 22: Dadas las expresionesa23

y 262

aa −

, hallar : 262

23

aa

a−

−

Como los denominadores son distintos, reducimos al mínimo común denominador, luego se divide éste entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente.

262

23

aa

a−

− =( )

2222 62

69

62

633

aa

aa

aa

aa −

−=−

−⋅

Sumar los numeradores de las fracciones que resulten, agrupando términos semejantes y manteniendo el denominador común. Recuerde que el signo menos afectan los signos de los dos términos de la expresión 2−a .

22 628

629

aa

aaa −

=+−

Respuesta: 22 628

62

23

aa

aa

a−

=−

−

Multiplicación de Expresiones Racionales

La multiplicación de expresiones racionales pueden ser sencillas o complejas dependiendo de las operaciones que éstas involucren, tales como: factorización, productos notables, simplificación y/o racionalización. En algunos casos, debes utilizar uno o más de estos

71

procedimientos en el mismo ejercicio. En esta oportunidad trataremos la multiplicación de expresiones racionales sencillas y aquellas que impliquen factorización y/o productos notables, podrán tratarse con mayor destreza en el curso Fundamentos de Matemática, que verás durante el primer semestre.

En general, las reglas para multiplicar expresiones racionales son en este orden:

• Se simplifica, suprimiendo los factores comunes entre los numeradores y denominadores.

• Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplican entre si las expresiones que quedan en los denominadores.

Ejemplo 23: Dadas las expresiones 332ba

, x

b43 2

y 2

2

2ax

, hallar : 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅

Simplificamos los factores comunes entre el numerador y el denominador:

= 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅ =ax

bax

xbax

xb

b 243

32

243

32

243

32 222

3 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores, y se multiplican entre

sí las expresiones que quedan en los denominadores.

=bax

ax

b 126

43

32

=⋅⋅ simplificando el 21

126=

Respuesta: 2

22

3 243

32

ax

xb

ba

⋅⋅ =bax

2

Divisiones de Expresiones Racionales

Existen, por lo menos, dos procedimientos para dividir expresiones racionales:

Primer procedimiento Multiplicando el dividendo por el inverso divisor


2

34ba

y 392bax

hallar : 32

2

92

34

bax

ba

÷

Determinamos el inverso del divisor: axb

bax

29

92 3

3 =

72

Expresamos la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor

axb

ba

bax

ba

29

34

92

34 3

2

2

32

2

⋅=÷

Resolvemos aplicando el procedimiento para multiplicar expresiones racionales

2

323

2

2

636

29

34

axbba

axb

ba

=⋅= y finalmente simplificamos:

xab

xbab

axbba

axbba 666

636

2

3

2

32

2

32

===

Respuesta: xab

bax

ba 6

92

34

32

2

=÷

Segundo procedimiento: Multiplicando en cruz:

Aplicamos este método para resolver el ejemplo anterior


2

34ba

y 392bax

. Hallar 32

2

92

34

bax

ba

÷

Multiplicamos cada numerador por los denominadores de la otra fracción:

xab

axbba

axbba

bax

ba 6

636

2394

92

34

2

32

2

32

32

2

==⋅⋅

=÷


7. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, para los valores dados:

a. 22 2 yxyx ++ para 2=x , 3=y c) 22 2 y

xxyx

+−

para 5=x , 3=y

b. yxx 23 3− para 13=x , 3=y

8. Para cada una de las siguientes expresiones agrupe los términos semejantes:

a) [ ] }{ )2(2)33(5 cbacbcaba −−−+−−−−

b) [ ])2(2)33(5 22222 cmcxcmccxmc −−−+−−−

73

9. Dados los polinomios, P, Q, R y S:

P( x )= 2

3

23

xxx −

; Q( x )=52

3−x

;

R( x )=xx

32 −

; S( x )= 3

8x

Hallar:

a) P( x )+Q( x ) b) P( x )-Q( x )+R( x ) c) Q( x )-R( x )+S( x )

10. Para )(aP = 2373 22 −+− baba , )(aQ = 2222 356 bbaababa −++−

)(aR = ( )2222 235 baabba −−+ , )(aS = abab 47 22 +− .

Hallar:

a) )()( aPaQ + b) )()()( aQaPaR −+ c) )()()( aSaRaQ +−

11. Dados los polinomios, P y Q , hallar el producto QP ⋅ :

a) )( xP = yx

yxyx−++ 22

; )( xQ =y

yx2

2 −

b) )(aP = 253 +− aa ; )(aQ = 52 +− aa

c) )(mP = 6

24

335

mmm −

; )(mQ =32

7+mm

d) )( xP = yxxyyx 2233 12698 −+− )( xQ = yx 32 +

12. Dados los polinomios, P y Q , hallar la división QP ÷ y determinar en cada uno de los casos cual es el cociente y cual es el residuo:

a) )( xP = 4171325 234 ++−− xxxx ; )( xQ = 132 ++ xx

b) )( xP = 3

2

1915

axm

; )( xQ = 43

2

3820

xay

c) )( xP =xx

xx62 2

3

+−

)( xQ =6255 2

+−

xxx

d) )( xP = 88 1616 yx − )( xQ = 22 22 yx +

e) )( xP = 4322345 326410213 xyyxyxyxx +++− ; )( xQ = 223 45 xyyxx −−

80

LECTURA N° 9: PRODUCTOS NOTABLES


Santamaría, J. (2006). Productos Notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes.

Al iniciar nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que hacemos referencia es al número como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre, en su inmensa necesidad de organizarse en sociedad, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin saber, a la intuición de número.

El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al-Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.

Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se valen de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; utilizan el álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones.

Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto.

Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es muy frecuente encontrarse con un producto notable, pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera:

81

Por Ley de Potenciación: 2aaa =⋅

930253)35(25)35( 222 ++=+⋅⋅+=+

Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:

915152533533555)35()35()35( 2 +++=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=+

Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable puede aplicarse de la

siguiente manera:

( )yxyxyx 53).53()53( 2 ++=+ ( ) ( ) ( ) ( )( )yyxyyxxx 5.53).5()5.(33).3( +++=

22222 25309)5()53(2)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+

Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque:

Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ” ”, calcula el área del terreno: Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así:

222 )4()4()(2)4()4()4( −+−⋅⋅+=−=−⋅− yyyyy

1682 +−= yy , es el área del terreno

El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica.

Veamos algunos casos específicos de productos notables.

EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS

Ejemplo 1: Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide "" 7+x unidades.

Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por lo que mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo ⋅ Ancho Área = (Lado) 2

Entonces; aplicamos la fórmula:

Área = 2777 )()()( +=+⋅+ xxx

Ancho Largo

4−y

4−y

7+x

7+x

82

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:

(X + 7) . (X + 7) = X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72

Luego: Área = 27)( +x

Desarrollamos esta potencia de la siguiente manera:

222 7727 )()()()( +⋅⋅+=+ xxx

Ejemplo 2: Vamos a desarrollar el Producto Notable: 25 )( y+

222 5255 )()()()( yyy +⋅⋅+=+

Simplificando queda: 22 10255 yyy ++=+ )(


20- (x + 7)2 21- (3X/2 + 4/9) 2 22- ( a/5 + 5) 2

23- (x2 + 3) 2 24- (xy + xz) 2 25- (Xa+1 + 1) 2

26- (a2 b + ac) 2 27- (2xy + y2 ) 2

28- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que

para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos.

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

Doble

El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”

Simplificando el resultado, tenemos que:

49147 22 ++=+ xxx )( De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:

Área = 49142 ++ xx

Cuadrado del 1er

Término

El Doble del producto: del 1er término por el 2do

término

Cuadrado del 2do

Término

83

7+x

5−x

Ejemplo 3:

222 3323 )()()()( −+−⋅⋅+=− xxx

Simplificando:

963 22 +−=− xxx )(


29- (X - 5)2 30- (2X/3 - 1/5) 2 31- (a/3 - 3) 2

32- (X2 - 2) 2 33- (Xa-1 - 1) 2 34- (2xy - x2 ) 2

35- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?

36- Calcula los productos: a) (–x – a) 2

b) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué?

37- Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se compraron?

38- ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2

b) x2 - a2

Después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Ejemplo 4: Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos:

Se necesita conocer el área de la región.

Sabemos que el área de un rectángulo se calcula

multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

Entonces: Área = )()( 57 −⋅+ xx

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

Doble

Ancho Largo

El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

84

Desarrollamos este producto de la siguiente manera:

[ ] )()()()( 575757 2 −⋅+−+⋅+=−⋅+ xxxx

De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:

Área = 3522 −+ xx

Ejemplo 5: Desarrolla el producto: )()( 2393 +⋅− xx

2929332393 2 ⋅−++−⋅+=+⋅− )()()()()()( xxxx

Simplificando cada término:

22 9333 xxxx =⋅= )()()(

xxx 21)7()3()29()3( −=−⋅=+−⋅

182)9( −=⋅−

Luego:

182192393 2 −−=+⋅− xxxx )()( El producto de los términos no comunes

Producto del término común con la suma de los no comunes

El cuadrado del término común


39- (x2 + 6) . (x2 – 2) 40- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)

41- (y – 3/5) . (y + 4) 42- (2x - 7) . (2x +2)

43- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b?

44- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de: a) (x + 3) por

Término Común

Términos no comunes

Término común

Suma de términos no

comunes

Producto de términos no

comunes

El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes”.

Simplificando el resultado, queda: )()()()( 35257 2 −+⋅+=−⋅+ xxxx

3522 −+= xx

Trinomio

Término Común

Términos no comunes

85

6+x

6−x

b) (x - 1) es igual a cero? 45- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm. y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura? 46- Calcula el área del siguiente rectángulo:

LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo 6: Se conocen las dimensiones de una región rectangular:

Largo = 6+x y Ancho = 6−x

Tenemos que calcular el área respectiva: Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo x Ancho. o Área = base x Altura

Entonces, Área = )()( 66 −⋅+ xx

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

22 )6()()6()6( −=−⋅+ xxx


47- (y – 3/5) . (y + 3/5) .48- (x2 + 6) . (x2 – 6) 49- (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5)

50- (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7) 51- (2x - 7) . (2x +7)

52- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se le resta 5

m ¿cuál será el área de la figura que se originó?

53- Calcula el área de la figura sombreada:

EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:

Ejemplo 7: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus

dimensiones:

Suma Diferencia 1er Término al cuadrado

2do Término al cuadrado

El resultado de este producto notable es un binomio: “El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”

Simplificando el resultado:

362 −x Luego: El área de la región rectangular es:

22 6−x

x

a

x

b

x

a x

a

86

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5

Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula:

Volumen = Largo x Ancho x Alto

Como las tres medidas son iguales entonces

Volumen = (Lado)3

Entonces: Volumen = )())( 555 +⋅+(⋅+ xxx

Por Ley de Potenciación: 35555 )()())( +=+⋅+(⋅+ xxxx

Luego:

Volumen = 35)( +x

Para desarrollar esta potencia procedemos así: 35)( +x = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como ya sabemos calcular el cuadrado

de una suma, tenemos que: 35)( +x = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)

35)( +x = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios

35)( +x = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 y esto por agrupación de términos semejantes

35)( +x = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53

32233 )5()5()(35)(3))5( +⋅⋅+⋅⋅+(=+ xxxx

Luego; simplificando cada término:

33)( xx = , 22 1553 xx ⋅=⋅⋅ )()(

1255555 3 =⋅⋅=)( , xxx 7525353 2 =⋅⋅=⋅⋅ )()(

5+x

5+x

Triple

Primer Término

Segundo Término

Primer Término

Segundo Término

El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.

87

De esta manera tenemos que:

12575155 233 +++=+ xxxx )(

Ejemplo 8: Desarrollar el producto notable: 312 )( +x

Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:

El cubo del primer término (2x) 3

El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término

3 . (2x) 2 . 1

El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo

3 . 2x . 13

El cubo del segundo término 13

Sumando estos términos 32233 1123123212 )()()()()()()( +⋅⋅+⋅⋅+=+ xxxx

Simplificando cada término del resultado

)()()()( xxxx 2222 3 ⋅⋅=

38x=

143123 22 ⋅⋅=⋅⋅ xx )()(

212x=

123123 2 ⋅⋅=⋅⋅ xx )()(

212x=

x6=

1111)1( 3 =⋅⋅= Luego, el polinomio se reduce a:

1612812 33 +++=+ xxxx )(


54- (x + 3)3 55- (3X/2 + 4/5) 3 56- ( y/3 + 3) 3

57- (x2 + 5) 3 58- (xy + xz) 3 59- (a2 b + ac) 3

60- (2xy + y2 ) 3

61- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su

arista en x unidades?

88

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos. Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo 9: Desarrolla el producto notable: 3)2( −y

En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.


62 (X – 1/2)3 63- (2X/3 - 1/5) 3 64- (a/3 - 3) 3

65- (X2 - 5) 3 66- (xy - xz) 3 67- (2xy - x2 ) 2

68- Compara los siguientes cubos a) (x - p) 3

b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?

69- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase?

70- Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ?

71- Simplifica las siguientes operaciones:

a) =−⋅+−+⋅ )()()( 1414123 2 xxx c) =−−+⋅ 33 6132 )()( xx

b) [ ]=−⋅−−⋅+⋅ 294117372 )()()( xxx

72- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.

Simplificando cada término en el resultado: * 33)( yy =

* 22 623 yy −=⋅⋅ )()(

* )()()( 4323 2 ⋅=−⋅⋅ yy = y12

* )2()2()2()2( 3 −⋅−⋅−=− 8−=

Luego simplificando cada término, el polinomio resultante es:

8126)2( 233 −+−=− yyyy

Primer Término

Segundo Término

32233 )2()2()(3)2()3)()2( −+−⋅⋅+−⋅(⋅+=− yyyy

89

LECTURA Nº 10: LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIÓN


Santamaría, J. (2006). La factorización como herramienta de simplificación. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

La factorización, es el procedimiento contrario al producto notable, consiste en transformar una expresión algebraica en un producto o multiplicación. Cuando un número o cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es un número primo.

En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización, como herramienta para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez.

Por ejemplo:

Aritméticamente:

535

41

5333

353

433

159

315

123

−+=⋅⋅

−⋅

+⋅

=−+

535

41

5333

353

433

159

315

123

−+=⋅⋅

−⋅

+⋅

=−+

En el álgebra:

)5)(5()5(

)2)(2(2

255

442

2

2

2 −+−

+++

+=

−−

+++

+xx

xxxx

xx

xxxx

x

)5()2(

1+

++

=x

xx

Cada fracción algebraica está compuesta por expresiones llamadas polinomios, que para factorizarlos se deben tomar en cuenta algunas reglas, un ejemplo de ello es la expresión

"44" 2 ++ xx , que representa un trinomio de cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo de expresión primero se debe estar familiarizado con ella, pues existen muchos casos de factorización para ciertos tipos de polinomios.

Observa que hay una suma de fracciones;

tanto en el numerador como en el

denominador de cada fracción, se hizo

una descomposición en factores con

aquellos números que no son primos,

ejemplo: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5 y 9 = 3 · 3

Luego se cancelaron aquellos factores

iguales en el numerador y denominador de

cada fracción, simplificándose cada término.

Aquí tenemos otra suma de fracciones, pero no es aritmética como la anterior. Se hizo una descomposición en factores en el numerador y denominador de cada fracción. La expresión "2" +x no se pudo descomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplificó cada fracción cancelando factores iguales en el numerador y denominador .

90

LECTURA Nº 11: ¿CÓMO COMPLETAR CUADRADOS?


Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemática de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p. 149). Caracas, Venezuela.

Los primero que utilizaron métodos geométricos para buscar la solución a muchos de los problemas que hoy se resuelven mediante la simbología algebraica, fueron los gringos y luego los árabes. Por ejemplo, Mohammed al-Khowarizmi propuso, hacia el año 825, un método geométrico para obtener una solución positiva de una ecuación cuadrática.

De acuerdo con lo que él propuso, para resolver la ecuación 3382 =+ xx , se siguen los siguientes pasos:

Suponemos que xx 82 + es una suma de áreas, la cual nos da 33 unidades cuadradas,

observemos el gráfico:

Luego, Entonces, al construir cuatro rectángulos, se forma un área entre todos ellos que está representada por: El área total de los rectángulos, más el área del cuadrado resulta

Entonces, entre los cuatro cuadritos se tiene un área igual a 4 · 4 = 16 unidades cuadradas, lo que indica que el cuadrado mayor tiene un área de: 33 + 16 = 49 Luego,

El cuadrado tiene lados de medidas x unidades, para hallar su área multiplicamos lo que mide de ancho por lo que mide de largo. Así: Largo . ancho = x . x = x2

xx

xx

xx

2

22

2

Observa que se han construido rectángulos a cada lado del cuadrado, cuyos lados miden “x” y “2” unidades, respectivamente (esta medida “2” se obtiene de dividir “8”, que es el coeficiente del término lineal 8x, entre el número de rectángulos). Al calcular el área de uno de estos rectángulos resulta: Largo . Ancho = 2 . x

xxxxx 82222 =+++

3382 =+ xxAhora, se construyen cuadrados pequeños en cada esquina de la figura para completar el cuadrado mayor. Como podrás darte cuenta, cada cuadrito tiene lado igual a 2 unidades, siendo el área 2 · 2 = 4 unidades cuadradas.

2

22

2

91

Tenemos un cuadrado cuyos lados miden (2 + x + 2) = x + 4 por lo que el área sería: Largo . ancho = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2 Pero ya se conoce el área total que es 49 unidades cuadradas Entonces:

(x + 4)2 = 49 donde despejando el cuadrado nos queda: 494 =+x

x + 4 = 7 x = 7 – 4 x = 3

En conclusión, si volvemos al problema original, el área del cuadrado de lado x es igual a: 3 . 3 = 9 unidades cuadradas

LECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN


Ochoa, A. (2007). Métodos de Factorización. Unefa. Artículo no publicado (pp.1-6). Caracas. Venezuela.

La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama “Factorización”. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables.

Para factorizar polinomios existen varios métodos:

FACTOR COMÚN

Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la expresión original entre el factor común.

Ejemplo 1: 12x + 3

3.43 +⋅ x Descomponemos el número 12 en dos factores y observamos que el 3 es común en los dos términos.

( ) =+ 3.4.333 x

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por el factor común

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

33

3.4.3.3 x

Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común

( ) =+14.3 x Esta es la expresión ya factorizada

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

x

x

2

22

2

xx

92

Ejemplo 2: Factorizar el polinomio xxx 181236 32 +−

xxx 183612 23 ++−

Ordenamos y calculamos el máximo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(36,12,18) = 6

xxx 183612 23 ++−

Como la variable x es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor potencia que aparezca. En este caso es elevada a la 1 (6x)

( )xxxxx 183612.

66 23 ++−

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por este factor común

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

xx

xx

xxx

618

636

612.6

23

Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común

( )362.6 2 ++− xxx

Resolviendo cada cociente: - Se dividen los coeficientes, y - Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se

copia la base y se restan los exponentes) y así se obtiene la expresión factorizada por factor común

Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos.

Ejemplo 3: Factorizar yxxyx 8463 2 −+−

( ) ( )yxxyx 8463 2 −+− Formamos dos grupos considerando que los dos

primeros términos son divisibles entre 3x y los dos últimos entre 4

( ) ( )yxxyxxx 84

4463

33 2 −+−

Multiplicamos y dividimos las dos expresiones por estos factores comunes

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

48

444

36

333

2 yxxxy

xxx

Simplificando

( ) ( )yxyxx 242.3 −+− Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos.

( )( ) ( ) ( )[ ]yxyxx

yxyx 242.3

22

−+−−−

Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común

( ) ( )( )

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

−yxyx

yxyxxyx

224

22.32

Simplificando

( )( )432 +− xyx Obtenemos la expresión ya factorizada

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso se basa en la fórmula:

a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

Ejemplo 4: Factorizar x2 – 9 222 39 −=− xx Expresamos todos los términos en cuadrados

( )( )3.392 −+=− xxx Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable y como

( )( ) 22. bababa −=−+

93

Ejemplo 5: Factorizar x4 – 16

( ) 2224 416 −=− xx Expresamos todos los términos en cuadrados

( )( )4.416 224 −+=− xxx Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable:

( )( ) 22. bababa −=−+ ( )( )( )2.2.416 24 −++=− xxxx Como el segundo factor también es una diferencia de

cuadrados, se procede a factorizarlo: 222 24 −=− xx

TRINOMIO

Se pueden conseguir tres casos:

Trinomio de la forma x2 + ax + b:

La fórmula general viene dada por:

x2 + ax + b y al factorizarlo queda expresada como

(x + n).(x + m) donde n.m = b y n + m = a

Ejemplo 6: 1272 +− xx

- 3 - 4 = - 7 (-3).(-4) = 12

Buscamos dos cantidades, tales que su

producto sea 12, éstas deben tener el mismo

signo para que el producto sea positivo, y

para que la suma sea -7, deben ser los dos

negativos.

( ) ( )4).(343127 22 −−+−−+=+− xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por una

adición y la otra por una multiplicación.

( )( )4.324102 −−=++ xxxx Aplicando la fórmula general.

Ejemplo 7: : 1272 +− xx

6 + 4 = 10 6 . 4 = 24

Buscamos dos cantidades, tales que la suma sea 10

y su producto sea 24.

( ) ( )4.6462410 22 +++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y

la otra por una multiplicación.

( )( )4.624102 ++=++ xxxx Aplicando la fórmula general.

Ejemplo 8: 100152 −+ xx

20 + (-5) = 15 20 . (-5) = -100

Buscamos dos cantidades tales que la suma sea 15 y su producto sea -100. Para que el producto sea negativo deben tener signos diferentes.

( )( ) ( )( )5.205202410 22 −+−++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, uno por una adición y el otro por una multiplicación.

( )( )5.2024102 −+=++ xxxx Aplicando la fórmula general

94

3.2 Trinomio cuadrado perfecto

Se basa en las siguientes fórmulas:

( ) 222 2 bababa ++=+ y ( ) 222 2 bababa +−=−

Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo Nº 9:

xx 10252 ++ 25102 ++ xx

X2 ya está en forma de cuadrado 25 = 52

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

( )5.210 xx = También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

( )22 52510 +=++ xxx Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula.

Ejemplo 9: : =+− 9124 2 xx

=+− 9124 2 xx ( )22 24 xx =

( )239 −=

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

( )( )3.2.212 −=− xx También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

( ) ( )( ) 222 33.2.229124 +−+=+− xxxx Expresamos el trinomio en cuadrados y productos.

( )22 329124 −=+− xxx Factorizamos aplicando la fórmula.

Trinomio de segundo grado ( cbxax ++2 )

Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores.

En este caso, se procede de la siguiente manera:

02 =++ cbxax Se iguala toda la expresión a cero (0).

aacbbx

242 −±−

= Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática.

( )( )212 . xxxxacbxax −−=++ Se aplica la fórmula general.

Ejemplo 10:

Factorizar el polinomio 352 2 −+ xx

95

0352 2 =−+ xx

a = 2 b = 5 c = -3 Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c.

( )2.2

3.2.455 2 −−±−=x

Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática

2.224255 +±−

=x

2.2495 ±−

=x

Resolvemos lo que está dentro de la raíz: 52 = 25 -4 . 2 . (-3) = -8 . (-3) = + 24

475 ±−

=x

Extraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto.

21

42

475

1 ==+−

=x

3412

475

2 −=−

=−−

=x

Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos:

21

1 =x 32 −=x

( )3.212352 2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−+ xxxx

Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que x-(-3) = x + 3

Regla de Ruffini

Se aplica para cualquier polinomio que tiene raíces enteras; es decir, encontrar valores de x (números enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado edxcxbxax ++++ 234 , tiene cuatro raíces enteras, 1x , 2x , 3x y 4x se factoriza así:

( )( )( )( )4321234 xxxxxxxxaedxcxbxax −−−−=++++

Pero ¿cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces?

Ejemplo Nº 12: Factorizar 12164 234 −+−− xxxx

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, (en este caso de 12,) o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

96

Probemos con uno (1)

12164 234 −+−− xxxx 1 -4 -1 16 -12 Se copian los coeficientes del polinomio.

1 Escribimos el número seleccionado a la

derecha (a este lo llamaremos raíz).

1 Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo.

1 -4 -1 16 -12

1 1 1 -3

Se multiplica la raíz por el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 1 -3 -4

Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia en la segunda fila debajo del tercer coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 1 -3 -4 12

Se vuelve a multiplicar y sumar el producto con el siguiente coeficiente.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12 1 -3 -4 12 0

Se efectúa el último producto y la última suma. Como el resultado final es cero (o), esto nos indica que el 1 sí es una raíz del polinomio y nos sirve para factorizar.

(x – 1) . ( 1243 23 +−− xxx ) Hasta ahora tenemos un producto como se observa al utilizar los nuevos coeficientes obtenidos.

Si el resultado hubiese sido distinto de cero, habría que seguir probando los demás divisores de 12.

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo.

Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda:

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

Así hemos conseguido la segunda raíz, por lo que el polinomio va quedando factorizado de la siguiente manera:

97

( )( )( )6.2.1 2 −−−− xxxx

Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras raíces.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

-2 -2 6

1 -3 0

La nueva raíz en -2 y el último cociente se toma con la raíz -3

La factorización final es:

12164 234 −+−− xxxx = ( )( )( )( )3221 −+−− xxxx

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

RESUMIENDO:

Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, es decir, en primer lugar se puede extraer el factor común, y luego se pueden seguir aplicando otros de los métodos.


Factoriza:

73- 322 ++ xx 74- xaxax 222 −+−

75- xx 483 5 − 76- 9124 612 ++ xx

77- 304112 23 −+− xxx 78- 133 22 −+− mxxm

79- 18153 2 ++ xx 80- 3333 23 +++ xxx

81- 934

22 yxyx++ 82-

9100

42 ba−

Calcula el valor de k en:

83- ( ) ( ) 352562 34 =−−+−−= PsikxxxxP

84- ( ) 1252112

418 24 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−= PsikxxxxP

98

85- Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula: xxxV 65 23 ++= . ¿Cuáles

podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?

86- ¿Para qué valor de n se cumple que ( )12 −=− xxxxn ?

87- ¿De cuántas maneras podemos factorizar el número 64?

unidad 2 expresiones algebraicas - …...• un polinomio completo, es aquel que con relación a la...

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