Compensacin utilizando Mtodos de respuesta en frecuenciaPor: Ing. Ral V. Castillo Carrillo

1.- Compensacin en adelanto

Se utiliza el compensador en adelanto siguiente1. Compensacin en adelantodonde es el factor de atenuacin y Kc es la ganancia del compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es

El ngulo de fase mximo se observa por la recta tangente a la grfica polar y que pasa por el origen. Este ngulo mximo depender del valor de , aumentando si disminuye. La relacin -ngulo mximo esEl diagrama de Bode del compensador, para =1, = 0.1 es

De la grfica de Bode se observa que el ngulo mximo del compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y ceroTcnicas de compensacin en adelanto1. Suponga el compensador en adelantodefina K = KcEl compensador y la planta en lazo abierto quedan

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante esttica de error propuesta2.- Dibuje el diagrama de Bode KG(s), que es el sistema con la ganancia ajustada sin compensar.3.- Determine el ngulo de fase que se necesita agregar al sistema. A ese valor, agrguele de 5 a 12 ms (por el desplazamiento de la magnitud).4.- Con el ngulo deseado, determine el factor de atenuacindespus determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado sea

Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Utilizando esta frecuencia la ecuacinse obtiene el valor del cero y del polo5.- Con K y , calcule la constante del compensador6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.

Compensadores en adelantoEjemplo: Disee un compensador en adelanto que haga que el error en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante de error esttico de velocidad Kv sea de 20 s-1. Al mismo tiempo, el margen de fase sea mayor a 45. En el siguiente sistema:Solucin:1) Se supone un compensador en adelanto de la formanota: La forma normalizada del compensador, permite ver la aportacin de ganancia del compensador (Kc).se define K = Kc

2) Se encuentra la ganancia K que junto con el sistema cumplan con la constante de error esttico de velocidad. 3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K

Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el adelanto de fase que se requiere agregar:5) De m se obtiene

6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar el compensador. Se utiliza 20log(1/()1/2) se observa en el diagrama de Bode en qu frecuencia se tiene una magnitud de -20log(1/()1/2) y se define como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia esDespus se hace que a esta frecuencia ocurra el mximo aumento de fase m. En otras palabra c es la frecuencia media entre frecuencia de corte del cero y del polo.

7.- Se obtiene el cero y el polo del compensadorceropolo8.- Con y K se obtiene la ganancia del compensadory el compensador es

2.- Compensacin en atraso

2. Compensacin en atrasoSe utiliza el compensador en atrasoel valor del polo -1/() es ms positivo que el del cero -1/ .El diagrama polar del compensador en retraso es

Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor ms negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero. Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se busca una atenuacin en altas frecuencia para aportar un margen de fase adecuado al sistema.

Tcnicas de compensacin en atraso1. Suponga el compensador en atrasose define K = Kc y el sistema compensado es2.- Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante esttica de error propuesta3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la ganancia K.

4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados. Entonces encuentre la frecuencia donde el ngulo de la fase es -180 ms el margen de fase requerido, ms unos 5 o 12 grados.5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la ganancia.6.- Despus seleccione la nueva frecuencia de corte del cero 1/ ms o menos una dcada alejada del nueva frecuencia de cruce de la ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es no hacer la constante de tiempo del polo muy grande.

7.- Determine la atenuacin necesaria para llevar la curva de magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta atenuacin se determina el valor de .8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del polo9.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:

Compensadores en atrasoEjemplo: Compense el siguiente sistema:

de forma tal que la constante de error esttico de velocidad Kv sea de .5 s-1, el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de ganancia al menos de 10dB. Solucin:1) Se utiliza un compensador en atraso de la formase define K=Kc

2) Ajustar la ganancia K para que junto al sistema cumpla con las especificaciones de error esttico de velocidad.3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K

3)

4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene un margen de fase de -13, por lo que es inestable.Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ngulo de fase de -180+ el margen de fase deseado + 12 de compensacin por el cambio de fase.

5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de corte una dcada menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso correspondera a 0.05 rad/s, pero por cuestiones de diseo, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se opta por asignar al cero una frecuencia de corte de 0.1 rad/s . 6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce seleccionada ( 0.469 rad/s ) la magnitud pase por 0dB. De la grfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que restar 20 dB.

7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo8.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:El compensador en atraso queda:

3.- Compensacin en atraso-adelanto

3. Suponga el compensador en atraso-.adelantoEs comn seleccionar = Para 0 < < 1 el compensador es en atraso.Para 1 < < el compensador es en adelanto.La frecuencia 1 es aquella donde el ngulo de fase es cero.Fig. 1Diagrama polar Kc = 1, =

Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.

Compensadores en atraso-adelantoEjemplo: Compense el siguiente sistema cuya funcin de transferencia:

se desea que la constante de error esttico de velocidad Kv sea de . 10 s-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia al menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.1) Como el sistema tiene ganancia ajustable K, se considera Kc.Del requisito de error de error esttico de velocidad, se obtiene

2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con K = 20El margen de fase es de -32. El sistema es inestable.

3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. sta ser la frecuencia donde G(j) = -180. El diagrama de Bode muestra4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de la parte atraso, una dcada por debajo de la frecuencia de cruce:

5) Con el mximo adelanto de fase deseado, se obtiene sipero se escoge = 10 que corresponde a m = 54.9 6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte atraso es Entonces la parte de atraso del compensador queda:

7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la frecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este caso es:Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una lnea recta de pendiente 20 dB/dcada, donde intercepte la lnea de -20 dB es la frecuencia de corte del cero de adelanto ( = 0.7 rad/s )y donde intercepte la lnea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo de adelanto ( = 7 rad/s ). la parte de adelanto esEl compensador atraso-adelanto queda