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UNIDAD 1
NUMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas
matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales.
Por ejemplo la ecuación no tiene raíces reales; dado que no existe ningún número
real que elevado al cuadrado sea igual a -1, es decir .
En el año 1545 el matemático italiano Gerónimo Cardano (1501 - 1576) trataba de resolver el
siguiente problema: ¿Es posible expresar el número 10 como suma de dos números reales tales
que el producto de ellos sea igual a 40?
Para resolver este problema, si indicamos con x e y a los números de la descomposición y
planteamos las ecuaciones
Resulta de la primera ecuación que
Luego reemplazando en la segunda, obtenemos ( ) , es decir debemos resolver la
ecuación cuadrática
Aplicando la fórmula cuadrática, obtenemos:
√ ( )( )
( )
Es decir
√
√
lo cual es equivalente a √ y √ .
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Cardano advirtió que este problema no podía ser resuelto, porque las soluciones halladas no
tienen sentido en el conjunto de los números reales: √ no es un número real, es decir no
existe ningún número real cuyo cuadrado sea -15.
De todas maneras algunos algebristas italianos como Tartaglia (1500-1577), Ferrari 1522-1565) y
el mismo Cardano, entre otros trabajaron formalmente con expresiones como las anteriores y
operaron con ellas junto con los números reales.
Posteriormente, en el año 1777, Euler (1707-1783) introdujo el símbolo i (por imaginario) para
indicar un número tal que .
Utilizando i resulta que, por ejemplo: √ √( ) √ √
De esta manera, las soluciones de la ecuación cuadrática que surgen del problema de Cardano
pueden expresarse como: √ y √ .
Observemos que y son soluciones de la ecuación . Porque:
y ( ) ( ) ( )
Pero está claro que las soluciones para estos problemas no se tratan de números reales.
Definición Llamaremos número complejo a un número z que se escribe en la forma ,
donde a y b son números reales e i verifica que
Al número a se lo denomina parte real del número complejo z y se lo indica ( ) .
Al número b se lo denomina parte imaginaria del número complejo z y se lo indica ( )
A la expresión se la denomina forma binómica del número complejo
Indicaremos con la letra al conjunto de todos los números complejos:
* | +
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Ejemplos de números complejos:
Número complejo Parte real Parte imaginaria
√ 5 √
0 2
-1 -1
0
0.2 1
-6 -6 0
0
0 0 0
Observemos que:
Un número complejo cuya parte imaginaria es cero, es decir de la forma , se lo
identifica con un número real.
Por ejemplo:
Todo número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria es cero.
Por ejemplo √ √
Esto sucede por que
“El conjunto de los números reales está incluido en el conjunto de los números complejos”:
sea , , entonces es un número complejo.
También podemos decir que: “El conjunto de los números complejos es una ampliación del
conjunto de los números reales”.
Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro
Por ejemplo: son complejos imaginarios puros.
Definición Dos números complejos y son iguales si, y solo si tienen la misma parte real y la
misma parte imaginaria.
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Simbólicamente si y solo si ( ) ( ) y ( ) ( )
Nos planteamos las siguientes preguntas acerca de los números complejos
¿Es posible definir en las operaciones elementales, de modo que cuando se opere con los
números reales (que se identifican con una parte del conjunto ) se obtengan los mismos
resultados que en , y se verifiquen las propiedades?
¿Se pueden representar gráficamente los números complejos?
La respuesta a ambas preguntas es afirmativa
Operaciones en
Es posible sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos y como se observará el
resultado será siempre un número complejo.
Suma
Si y entonces la suma está dada por
( ) ( ) ( ) ( )
Observación: Para sumar dos números complejos, se suman separadamente sus partes reales e
imaginarias.
Definición Dado el complejo , decimos que es su opuesto, y lo notamos:
Se probará en la práctica que la suma de números complejos verifica las siguientes propiedades:
1. conmutativa
2. ( ) ( ) asociativa
3. siendo neutro aditivo
4. ( ) ( ) opuesto aditivo
Resta
Si y entonces la resta está dada por
( ) ( ) ( )
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Es decir para restarle al número complejo z el número complejo w a z le sumamos el opuesto de
w.
Ejemplos
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Multiplicación
Si y entonces la multiplicación está dada por
( ) ( ) ( ) ( )
Observación: para multiplicar dos números complejos se opera con ellos como si fueran
polinomios y se considera que .
Ejemplo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Inverso Multiplicativo
Dado un número complejo ¿es posible encontrar un número complejo ,
tal que ?
Es decir, se cumple que ( ) ( )
Por tanto ( ) ( )
De donde {
( )
( )
Despejando c de (1),
reemplazando en (2)
, luego
6
Por tanto
y es tal que ( ) .
/ (verificar)
Esto nos permite dar la siguiente
Definición Dado el complejo , decimos que
es su inverso
multiplicativo y lo notamos con
.
División
Si y entonces la división está dada por
( ) (
)
( ) ( )
Observación: para dividir un número complejo por un número complejo , basta
multiplicar por el inverso de .
Definición Dos complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real y partes
imaginarias opuestas. El complejo conjugado del complejo se indica con , luego
Ejemplos: ; ; ;
Propiedades del conjugado
1. si y solo si es real
2. ( )
3.
4.
5.
6. , siendo . si .
Demostración de (3) y (6), el resto quedan como ejercicio
(3) Sea , entonces , luego
(6) Sea
( )( ) ( ) ( ) ( )
Para obtener el inverso multiplicativo de un número complejo no nulo podemos utilizar la
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propiedad del producto de un complejo por su conjugado, esto es:
Esto último nos va a permitir definir de manera simple la división entre números complejos
( ) ( )
( ) ( )
Observación: para dividir dos números complejos se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador.
Ejemplo
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Representación Grafica de números complejos
Para representar gráficamente los complejos, tendremos en cuenta que
Todo número complejo puede determinarse con un par de números reales ( )
donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Y todo par de números reales ( ) determina un número complejo , cuya parte
real es a y cuya parte imaginaria es b.
Así, cualquier número complejo tiene una posición en el plano numérico.
Los complejos con parte imaginaria cero se representan sobre el eje horizontal llamado eje real
que se lo indica con x, los complejos con parte real cero se representan sobre el eje vertical
llamado eje imaginario y se lo indica con y.
( )
b
a Eje real
Eje Imaginario
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Ejemplos:
1. Representar en un mismo sistema de coordenadas los siguientes números complejos
, , y
2. Dado , representar y
y
En general
Si para representar gráficamente (su conjugado), se debe reflejar
sobre el eje real x.
Si la representación gráfica de (el opuesto) es el simétrico de
respecto del origen de coordenadas.
Recordemos que en la distancia de 0 a cualquier número real a, se define como el valor
absoluto de a y se lo indica | |
De manera similar en también podemos hablar de distancia.
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La distancia del origen de coordenadas ( ) al número complejo ( ) se define
como | | √ . Esta distancia se llama módulo de
Nótese que | | √ √ y | | , por la propiedad 6 del conjugado.
Forma Trigonométrica de un Número Complejo
Como acabamos de ver al número complejo le corresponde el punto ( ) del plano
de coordenadas. Si representamos por r la longitud del segmento , que une el origen de
coordenadas con , y por θ el ángulo que forma con el semieje de las positivo, se dice
que ( ) son las coordenadas polares del punto .
Si , es decir, si , entonces θ no está definido, consideremos por tanto
Se establece como convención que θ es positivo si es medido en sentido antihorario y negativo en
sentido contrario. A cualquiera de tales números θ se les llama argumento de y se representa
( ).
Observemos que si es argumento del número complejo z, entonces también lo es
con y así ( ) y ( ) dan lugar al mismo punto. Por este motivo restringimos el valor
de , esto es .
| | ( )
b
| | √
b
( )
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Se sigue que, para números complejos cuya parte real sea no nula, se tiene que
√ y
Puesto que y , tenemos que se puede expresar de la forma
( )
La expresión ( ) | |( ) se suele denominar forma
trigonométrica o polar de .
Ahora bien, si restringimos el valor de para , hay dos ángulos que difieren
en que tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta
los signos de y de , de esta forma conseguiremos saber en qué cuadrante está situado el punto
y nos dará el ángulo que buscamos. Si
( ) es un punto del primer cuadrante
( ) es un punto del segundo o tercer cuadrante (
)
( ) es un punto del cuarto cuadrante (
)
( ) es un punto sobre el eje imaginario,
( ) es un punto sobre el eje imaginario,
Ejemplos Escribir en forma trigonométrica o polar
)
Identificamos y , entonces √ √
Como y ( ) está situado en el primer cuadrante, tomamos
.
Luego √ .
/
) √
En este caso √ ( √ ) ,
√
√ y como ( √ ) está situado en el
cuarto cuadrante, tomamos
. Luego .
/
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Otro modo de determinar es obtener el ángulo de referencia √
. El ángulo del
cuarto cuadrante que deseamos es,
)
En este caso y . y como ( ) está situado sobre el eje y, siendo ,
tomamos
y √ ( ) . Luego .
/
Observación para que dos números complejos, dados en forma trigonométrica
( ) y ( )
sean iguales tienen que ser iguales sus módulos pero no necesariamente tienen que ser los
argumentos considerados
⇔ {
Multiplicación en forma trigonométrica o polar
Si ( ) y ( ), entonces,
( ( ) ( ))
Demostración ejercicio
El producto de dos números complejos dados en forma trigonométrica o polar es un número
complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los
argumentos.
Inverso de un número complejo ( )
Se puede obtener en forma trigonométrica o polar del siguiente modo:
( )( )
( ) ( )
Teniendo en cuenta que y que ( ) y ( )
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Resulta que
( ( ) ( ))
Teniendo en cuenta la multiplicación y el inverso de un número complejo en forma
trigonométrica, podemos dividir dos números complejos dados en forma trigonométrica
( ( ) ( ))
Demostración Ejercicio
En la demostración de la multiplicación y división de números complejos en forma
trigonométrica se utilizan las siguientes identidades:
( )
( )
Ejemplo
Si ( ) y
( ), encuentre ,
y exprese
cada respuesta en la forma .
Solución: por lo anterior tenemos
, ( ) ( )- ( )
*
√
+ √
, ( ) ( )- ( )
*√
+ √
Forma exponencial de un número complejo
Es posible mostrar, aunque está fuera del alcance de este curso, que la función exponencial real
puede extenderse razonablemente al caso de exponentes complejos.
Para el caso de un exponente complejo imaginario puro, está dado necesariamente por la
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siguiente fórmula, llamada fórmula de Euler
Fórmula de Euler
De esta manera todo número complejo se puede representar mediante
( ) , con | | y ( ).
Esta expresión suele denominarse forma exponencial de .
Las propiedades aritméticas de la exponencial real se cumplen para la exponencial
compleja .
Propiedades
Sean dos números complejos dados en forma exponencial y
a. | | | |
b. ⇔ ⇔ {
c. =
d. ( )
e.
( )
Demostración ejercicio
Potencias de un número complejo
Utilizando las propiedades de producto y cociente de números complejos dados en forma
exponencial, resultan fáciles de expresar las potencias enteras de un número complejo en término
del módulo y el argumento.
Si para tenemos
…
Estas expresiones son válidas para exponentes negativos
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Fórmula de De Moivre
Si ( ) y n es un entero, entonces
( )
La demostración de esta fórmula se basa en inducción matemática
Ejemplos
1. Calcular , donde
√ .
/ √
Por la fórmula de De Moivre
.√
/
.√ / .√ /
0 .
/ .
/1
2. Evaluar (√ )
Solución: √(√ ) ,
√ y como (√ ) está situado en el primer cuadrante,
tomamos
. Luego, por la fórmula de De Moivre
.√ / (
)
( )
Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria son:
( )
Podemos observar una cierta regularidad si el exponente es múltiplo de 4.
Si el exponente es de la forma 4k con , se tiene ( ) .
En general,
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Si el exponente de i es , al efectuar la división por 4 se tiene que donde
. Por tanto
y el cálculo se reduce a una de las cuatro potencias consideradas en primer término.
Ejemplo: Calcular
a.
( )
b.
Raíces de un número complejo
Decimos que w es la raíz n - ésima de un número complejo z si y solo si
√
Veamos cuantas raíces n-ésimas tiene un número complejo.
Sea y , según la definición dada deberá ser
Es decir
De acuerdo a la igualdad de números complejos dados en forma exponencial
{
{
√
Es decir √
√ ( .
/ .
/)
Al dar valores a obtenemos
√ √
( (
) (
))
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√ √
( (
) (
))
√ √
( (
) (
))
√ ( )
√ ( (
( )
) (
( )
))
√ √
√
( (
) (
))
Y esta última raíz es . Por tanto el número complejo tiene n raíces n-ésima distintas.
Es decir “si ( ) , , podemos afirmar que existen n raíces n-
ésima distintas dadas por
√
√
( (
) (
))
Representación gráfica de las raíces
Observamos que todas las raíces n – ésimas del número complejo tienen el mismo módulo √
y
los argumentos de dos raíces obtenidas para y se diferencian en
( )
Por tanto, los puntos que representan esas raíces son los vértices de un polígono regular de n
lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio √
Ejemplo Encuentre las raíces cubicas de .
Solución: y
, entonces
, luego por lo anterior
√ [ (
) (
)] con
Para
.
/ .
/
√
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.
/ .
/ .
/ .
/
√
.
/ .
/ .
/ .
/
Ejemplo Encuentre √
Solución: el módulo y el argumento de son √ y respectivamente.
Así que
√√
0 .
/ .
/1 con ,3,4
√√
* (
) (
)+ √
, -
√√
* (
) (
)+ √
, -
√√
* (
) (
)+ √
, -
√√
* (
) (
)+ √
, -
√√
* (
) (
)+ √
, -
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Luego
Al comienzo del capítulo vimos algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen solución en
los números reales , pero que tienen dos soluciones en el conjunto de los números complejos,
en realidad “Todas las ecuaciones polinómicas de segundo grado, con
discriminante negativo, es decir, , que no tienen solución en , tienen solución en
el conjunto ”
En , se puede demostrar que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, toda
ecuación de tercer grado tiene tres soluciones y, en general “Toda ecuación de grado n tiene n
soluciones”. Este resultado es conocido como Teorema Fundamental del Algebra.
Ejemplo
Tiene a como solución real. Luego se puede descomponer la ecuación en factores como
( )( )
Las soluciones de aplicando la formula cuadrática y teniendo en cuenta que
son
√
y
√
.
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En definitiva la ecuación de tercer grado tiene tres soluciones complejas:
√
√
.
Los números complejos son muy útiles en Ingeniería y Electrónica, aunque son necesarios otros
conocimientos matemáticos que exceden el nivel de este curso para poder comprender estas
aplicaciones.