unidad 1 introduccion al algebra

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Unidad I  Introducción al álgebra UNIDAD I 20 horas  Introducción al álgebra Objetivo: El estudiante construirá el lenguaje algebraico a partir de generalizar modelos aritméticos de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolución de problemas o situaciones contextualizadas, en un ambiente coope- rativo, de respeto y tolerancia. Introducción Cuando vemos una película, para lograr entenderla, apreciarla y disfrutarla debemos prestarle atención desde el inicio; lo mismo ocurre con las matemáti- cas. Por ello, en la presente unidad se abordan los temas elementales como números reales, sus propiedades y operaciones, el lenguaje algebraico, algo- ritmos geométricos y aritméticos, y razones y proporciones. Mediante ejemplos y ejercicios se plantean y resuelven problemas en situaciones contextualizadas, a fin de aplicar los contenidos abordados.  Las matemáticas cultivan el razonamiento.  9

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  • Unidad I Introduccin al lgebra

    UNIDAD I

    20 horas

    Introduccin al lgebra

    Objetivo: El estudiante construir el lenguaje algebraico a partir de generalizar modelos aritmticos de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolucin de problemas o situaciones contextualizadas, en un ambiente coope-rativo, de respeto y tolerancia.

    Introduccin Cuando vemos una pelcula, para lograr entenderla, apreciarla y disfrutarla debemos prestarle atencin desde el inicio; lo mismo ocurre con las matemti-cas. Por ello, en la presente unidad se abordan los temas elementales como nmeros reales, sus propiedades y operaciones, el lenguaje algebraico, algo-ritmos geomtricos y aritmticos, y razones y proporciones. Mediante ejemplos y ejercicios se plantean y resuelven problemas en situaciones contextualizadas, a fin de aplicar los contenidos abordados.

    Las matemticas cultivan el razonamiento.

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  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.1 NMEROS, MODELOS MATEMTICOS Y REALIDAD Los modelos matemticos, en la vida diaria, permiten encontrar la solucin a problemas cuyos resultados no son senci-llamente nmeros; son indicadores de decisiones que se deben tomar: cunto pagar, cunto dar de cambio, cunto tiempo ha transcurrido, qu artculo con-viene comprar, qu trabajo es convenien-te, cul escuela elegir, etctera. Un modelo matemtico es la representacin de un hecho, evento o fenmeno mediante nmeros, esquemas, ecuaciones, funciones, probabilidades, diagramas, entre otros. En mu-chos de estos modelos slo se emplean los nmeros reales. El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

    1. Presentar una situacin simplificada del mundo real (en esta unidad, la situacin a modelar ser slo con los nmeros y sus operaciones).

    2. Traducir la situacin en terminologa matemtica y obtener el modelo. 3. Trabajar sobre el modelo para encontrar la solucin del problema. 4. Interpretar la solucin en trminos no matemticos.

    Ejemplos: A continuacin, se presentan tres situaciones planteadas, as como el modelo matemtico correspondiente que permite encontrar la respuesta. 1. Un joven compra en una dulcera: 5 chicles, 4 paletas y 3 bolsas de bombones, cuyos

    precios unitarios son: $3.00, $5.00 y $10.00, respectivamente. Cunto dinero gasta en total?

    Compra Modelos para calcular el costo de las unidades 5 chicles: $3.00 c/u 3 + 3 + 3 + 3 + 3 o bien 5(3) 4 paletas: $5.00 c/u 5 + 5 + 5 + 5 o bien 4(5) 3 bolsas de bombones: $10.00 c/u 10 +10 + 10 o bien 3(10) Modelo que permite saber cunto gast: 5(3) + 4(5) + 3(10) Respuesta: 15 + 20 + 30 = 65

    el joven gast $65.00

    10

    Conoce ms:

    Cmo podemos explicar que las mate-mticas, un producto de la mente huma-na independiente de la experiencia, en-cajen tan bien en los objetos y elemen-tos de la realidad?

    Albert Einstein, 1938.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    2. Ana se inscribi en el bachillerato, para lo cual hizo un pago de $650.00. El uniforme tiene un valor de $1,200.00, el conjunto de tiles le cuesta $500.00 y necesita tres libros adicionales de $120.00 cada uno. Si cuenta con la cantidad de $3,000.00, y adems ne-cesita cubrir sus gastos de 5 das. Cunto dinero podr gastar por da?

    Modelo Para saber el costo de los 3 libros: 3(120) Para encontrar el total de pagos: 650 + 1200 + 500 + 360 Para determinar de cunto dinero dispone para 5 das: 3,000 2710

    Para calcular cunto dinero podr gastar por da: 290

    5

    Respuesta: Realizando las operaciones en cada uno de los modelos anteriores, se obtiene

    que Ana deber gastar por da $58.00 3. Se han vaciado 3/8 partes de un depsito que contena 2,400 litros de agua. Cuntos

    litros se han extrado?

    Modelo que permite encontrar las 8

    3 partes de 2,400

    3

    8 (2,400)

    Respuesta: Despus de realizar las operaciones, se deduce que se han extrado 900 litros de

    agua.

    Actividad I. Presenta una situacin sencilla en contexto que pueda ser traducida a un modelo mate-

    mtico y encuentra la solucin con base en los conocimientos previos de matemticas. Disctelo con tus compaeros de equipo y seleccionen uno para exponerlo al grupo.

    Ejercicios 1.1 I. Disea un modelo matemtico que permita dar respuesta a los siguientes planteamientos.

    1. Se han vaciado 2

    5 partes de un depsito que contena 2,000 litros de agua. Cuntos

    litros le quedan?

    2. Cuntas botellas de 3

    4 de litro se pueden llenar con una garrafa que contiene 30 litros

    de leche? 3. Un comerciante ha comprado 385 botellas de aceite de oliva a $154 cada una. Despus

    las vende a $179 cada una. Cunto ganar en la venta de todas las botellas?

    11

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    4. Un tren lleva 5 vagones de pasajeros. En el primero van 32 viajeros; en el segundo, 13 ms que en el primero; en el tercero van tantos viajeros como en el primero y en el segundo; el cuarto y el quinto vagn llevan cada uno 43 viajeros. Cuntos viajeros lleva el tren?

    5. Un aeroplano recorri 1,940 km el primer da; el segundo da recorri 340 km ms que

    el primero; y el tercer da, 890 km menos que los recorridos en los dos das anteriores. Cuntos km recorri el aeroplano en total?

    6. La seora Ortiz tiene 5 hijas; cada una de ellas tiene 4 hijas y cada una de stas tiene 3

    pequeas nias. Cuntas descendientes tiene la seora Ortiz? 7. Un pastel es cortado en tres partes del cual se quita una de stas. Qu fraccin quedar

    despus de haber cortado tres veces de la misma forma? 8. Utilizando cada una de las siguiente cifras: 1, 2, 3 y 4, se puede escribir diferentes n-

    meros; por ejemplo, podemos escribir 3,241. Cul es la diferencia entre el ms grande y el ms pequeo de los nmeros que se construyen as?

    9. Con tres rectngulos iguales se form un rectngulo ms grande, como el que se mues-

    tra en la figura; si la longitud BC = 2, cul es la longitud de AB?

    A B C x A B C 9 4 1

    10. En la multiplicacin de la derecha, cada una de las le-tras A, B y C representan dgitos; los rectngulos re-presentan dgitos distintos de cero. Cules son los d-gitos que representan las letras A, B y C? (dos solu-ciones).

    11. La figura representa dos cuadrados que miden 11 x 11 cm, los cuales se han encimado

    para formar un rectngulo de 11 x 18 cm. Cul es el rea de la regin sombreada?

    12. Una revista de autos utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos modelos y concede el premio Auto del ao al que obtenga la puntuacin ms alta; se evalan 5 autos nuevos y sus puntuaciones se muestran en la siguiente tabla:

    12

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Auto Seguridad (S)

    Ahorro de combustible (C)

    Diseo exterior (D)

    Interiores(H)

    Mc 3 1 2 3 M2 2 2 2 2 Lg 3 1 3 2 N1 1 3 3 3 F3 3 2 3 2

    Las puntuaciones se interpretan de la siguiente manera: 3 puntos para excelente, 2 para bueno y 1 para aceptable. Para calcular la puntuacin total de un auto, la revista utiliza la siguiente regla, la cual da una suma ponderada de las puntuaciones individuales:

    Puntuacin total = (3 x S) + C + D + H Calcula la puntuacin total de cada auto y encuentra el del ao. 13. Si el dimetro del sol es de 1,391,980 km y el de la Tierra 12,100 km, cuntas veces

    es ms grande el radio del sol respecto del de la Tierra?

    14. La cantidad de agua que utiliza la seora Elena para limpiar el piso, lavar los trastes, lavar la ropa y darse una ducha es de 40, 100, 90 y 70 litros, respectivamente. Cun-tos litros de agua necesita para sus actividades?

    15. El seor Guzmn compra un terreno rectangular de 8 x 25 m, con un valor de

    $50,000.00. Cunto paga por metro cuadrado? 1.2 DESARROLLO DEL SISTEMA DE NMEROS REALES A travs de la evolucin de las necesidades humanas, se formaron diferentes conjuntos de nmeros tales como: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales; cada uno de ellos tiene caractersticas muy particulares, las cuales veremos ms adelante.

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    Conjuntos de nmeros N: Naturales Z: Enteros Q: Racionales I , Q': Irracionales R: Reales

    Conoce ms: La construccin y sistematizacin de los n-meros reales en el siglo XIX fue lograda por dos grandes matemticos europeos utilizando mtodos distintos: a) La teora de conjuntos de Georg Cantor

    (encajamientos sucesivos, cardinales fini-tos e infinitos)

    b) El anlisis matemtico de Richard Dede-kind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind).

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.2.1 Notacin de conjuntos Es preciso conocer la notacin de conjuntos para representar el conjunto de nmeros reales.

    Simbologa

    pertenece a contenido en unin tal que

    no pertenece a no contenido en interseccin conjunto vaco

    Qc, Q' Q complemento

    Conoce ms: El primer estudio formal sobre la teora de conjuntos fue realizado por el matemtico alemn Georg Cantor, en el siglo XIX , y ms tarde reformulada por Ernst Zermelo.

    En la notacin de conjuntos se debe tener en cuenta las siguientes observaciones:

    Los conjuntos se representan con una letra mayscula: N, Z, Q, I, R,... Los elementos que forman parte de un conjunto tienen cualidades especficas y no

    se repiten. Se representan con letras minsculas: k, n, x, y,

    Un conjunto se representa colocando sus elementos entre llaves: {k, n, x, y}, si el conjunto es finito; o bien, {k, n, x, y,}, si el conjunto es infinito.

    Si un elemento X es parte de un conjunto Z, se simboliza X Z (lase X pertene-ce a Z). Su negacin es X Z (lase X no pertenece a Z).

    Si un conjunto N es parte de un conjunto R, se dice que N es subconjunto de R y se simboliza N R (lase N contenido en R). Su negacin es N R (lase N no contenido en R).

    La notacin por extensin que define un conjunto muestra todos los elementos del conjunto.

    La notacin por comprensin que define un conjunto utiliza variables y una propo-sicin que indica las propiedades de sus elementos.

    El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vaco y se representa por . El est contenido en todo conjunto, y todo conjunto est contenido en s mismo. La unin () de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene todos los

    elementos de ambos conjuntos. Si N R, entonces N R= R La interseccin () de dos conjuntos forma un nuevo conjunto que contiene los

    elementos comunes de ambos conjuntos. Si N R, entonces N R = N Si Q es un conjunto, Q' es su conjunto complemento y R es el conjunto universo,

    entonces los elementos que pertenecen a Q' son todos aquellos que pertenecen a R, pero no a Q.

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  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.2.2 Conjunto de nmeros naturales (N) Los nmeros naturales son el primer conjunto de nmeros que se form por la necesidad de contar los objetos de la naturaleza. Cuntos frutos hay?, cuntas personas van?, cuntos rboles se sembraron?, cuntas plantas se cultivaron?, etctera.

    La representacin del conjunto de nmeros naturales, mediante la no-tacin por extensin, es la siguiente: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

    Ejemplos de subconjuntos de N son: Unidad = {1} Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,} Compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,} Mltiplos de k = {k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k,} Mltiplos de 4= {4, 8, 12, 16, 20, 24,} Divisores de 12= {1, 2, 3, 4, 6, 12} Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,}

    Generalmente, al realizar operaciones con los nmeros naturales, se obtena generalmente otro nmero natural, hasta surgir las interrogantes:

    Qu nmero sumado a 4 da por resultado 4?

    4 + 0 = 4

    Cul es el nmero que resulta de restar 5 de 3? 3 5 = -2 s

    Para dar las respuestas se crearon los nmeros negativos y el cero que, agregados a los n-meros naturales, formaron el conjunto de nmeros enteros. 1.2.3 Conjunto de nmeros enteros (Z)

    Los nmeros enteros contienen al cero y a los nmeros negativos, mismos que pueden apli-carse en distintos contextos, como la representacin de deudas (dbito), profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero y dficit monetario, entre otros. El hecho de que un nmero sea entero significa que no tiene parte decimal; es decir, no puede dividirse, a me-nos que la divisin sea exacta. El origen del uso de la letra z para representar a este conjun-to proviene del alemn zahlen, que significa nmeros.

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  • Unidad I Introduccin al lgebra

    La representacin del conjunto de nmeros enteros, mediante la nota-cin por extensin, es la siguiente: z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

    Ejemplos de subconjuntos de z son: Enteros positivos = {1, 2, 3, 4, 5,} Enteros negativos = {, -4, -3, -2, -1} Enteros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Enteros no positivos = {, -4, -3, -2, -1, 0} Dgitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

    El resultado de sumar o multiplicar nmeros enteros es otro nmero entero; pero, nueva-mente surgen otras interrogantes:

    Qu nmero multiplicado por 5 da por resultado la unidad (1)? 5

    5

    1 = 1

    Adems, cul es el resultado de dividir 10 chocolates entre 3 jvenes? 3

    10

    La respuesta no se encuentra en los nmeros enteros; luego surge otro conjunto mayor que contiene a los nmeros enteros y a todos los nmeros que se pueden expresar como el co-ciente (a/b) de dos nmeros enteros, llamado conjunto de nmeros racionales. 1.2.4 Conjunto de nmeros racionales (Q) Con los nmeros racionales se da solucin a una infinidad de situaciones problemticas en distintos contextos; por ejemplo: esper 3/4 de hora en el banco, recorres 1/2 kilmetro de la escuela a tu casa, compr un libro en $150.50, Luis pesa 58.2 kg, entre otros. El trmino racional se refiere a racin o parte de un todo. El uso de la letra Q es por el trmino quotient, que significa cociente en varios idiomas europeos.

    La representacin del conjunto de n-meros racionales, utilizando la nota-cin por comprensin, es:

    q = { ab

    a, b z, b 0} lase el conjunto de nmeros racionales es igual al conjunto de elementos a/b, donde a y b pertenecen al conjunto de nmeros enteros y b es distinto de cero.

    Conoce ms: Los nmeros racionales cumplen la propiedad de densidad; esto es, para cualquier pareja de nmeros raciona-les en la recta numrica, existe otro nmero racional situado entre ellos.

    Los nmeros racionales tienen representacin decimal, con las siguientes propiedades:

    Exacta: Cuando tiene un nmero finito de cifras decimales. Por ejemplo:

    16

    1

    2= 0.5

    3

    4= 0.75

    5

    8 = -0.625 3

    16= 0.1875

    67

    32 = -2.09375

    4

    1= 4.0

    10

    2 = -5.0

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Peridica pura: Cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente y cada repeticin se llama periodo, se representa trazando una lnea horizontal sobre el periodo. Por ejemplo:

    1

    3 = 0.333 = 0.3

    2

    7 = 0.285714285714 = 0.285714

    12

    7 = 1.714285714285 = 1.714285

    Peridica mixta: Cuando no toda la parte decimal se repite. Por ejemplo: 1

    60 = 0.01666 = 0.016

    13

    6 = 2.1666 = 2.16

    29

    15 = 1.9333 = 1.93

    Recprocamente, toda representacin decimal puede expresarse en fraccin observando las siguientes propiedades:

    Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresin decimal sin el punto; en el denominador un uno (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales, y se reduce a la fraccin ms simple. Por ejemplo:

    34.65 = 3465

    100 =

    693

    20 0.2 =

    2

    10 =

    1

    5 4.125 =

    4125

    1000 =

    8

    33 0.0625 =

    625

    10000 =

    1

    16

    Decimales peridicos puros: Se escribe como numerador la diferencia entre el n-mero escrito sin el punto y la parte entera y como denominador, tantos 9 como nmeros tenga el periodo. Por ejemplo:

    3.3 = 33 3 30 10

    9 9

    = =3

    15.34 = 1534 15 1519

    99 99

    = 0.6 = 6 0 6 29 9 3

    = =

    1.923076 = 1923076 1 1923075 25

    999999 999999 13

    = =

    Decimales peridicos mixtos: Se escribe como numerador la diferencia entre el n-mero escrito sin el punto menos el nmero sin la parte peridica (tambin sin el pun-to) y el denominador tendr tantos 9 como tiene el periodo, seguidos de tantos 0 como cifras decimales no peridicas haya. Por ejemplo:

    12.345676 = 12345676 123456 12222220 611111990000 990000 49500

    = =

    17

    0.583 = 583 58 525 7900 900 12

    = =

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Existen nmeros cuya parte decimal es infinita no peridica, generndose as el conjunto de nmeros irracionales. 1.2.5 Conjunto de nmeros irracionales (I)

    Los nmeros irracionales son aquellos que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros ya que poseen cifras decimales infinitas no peridicas. As, un nmero irracio-nal puede definirse como un decimal infinito no peridico; se encuentran en distintos con-textos, por ejemplo: Cul debe ser el dimetro de un domo circular para que su permetro sea de 4 m? Cul es la solucin de la ecuacin x2 x 1 = 0? Dnde hay que colocar las efes de un violn para lograr las mejores notas?, entre otros.

    La representacin del conjunto de nmeros irracionales se hace mediante una I o Q', esta ltima por ser el complemento del conjunto de nmeros ra-cionales (Q).

    Nmeros irracionales representados con smbolos = 3.1415926535, nmero de veces que se

    inscribe el dimetro de un crculo en su pe-rmetro.

    e = 2.7182818284, base de los logaritmos na-turales.

    = 1.6180339887=1 52

    + , nmero ureo. Razn especialmente armnica entre los lados de un rectngulo.

    Ejemplos de nmeros irracionales:

    2 = 1.414213562 2

    = 1.570796327 (es un cociente de nmeros no enteros)

    3 = 1.732050808 e2 = 7.389056099

    5 = 2.236067978 La unin del conjunto de nmeros racionales con el conjunto de nmeros irracionales da origen al conjunto de nmeros reales.

    1.2.6 Conjunto de nmeros reales (R) Los nmeros reales aparecen continuamente en nuestra vida diaria ya sea en casa, la escue-la, el trabajo, desde consultar la hora, los precios de los alimentos, hasta establecer median-te el uso de los nmeros una comunicacin, ya que stos los encontramos en todas partes.

    18

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Los nmeros reales se encuen-tran en correspondencia con los puntos de la recta numrica; es decir, todo punto de la recta nu-mrica es un nmero real.

    Representacin de los nmeros reales me-diante diagramas de Venn.

    R N Z Q R I R

    Q Q' = R

    Ejemplos: I. Las siguientes proposiciones se representan mediante la notacin de conjuntos.

    1. El conjunto de nmeros naturales est contenido en el conjunto de nmeros enteros: N Z 2. El elemento a pertenece al conjunto de nmeros reales: a R 3. El conjunto de nmeros enteros no est contenido en el conjunto de nmeros irraciona-

    les: Z I 4. El conjunto de nmeros irracionales es subconjunto del conjunto de nmeros reales: I R II. A continuacin, se marca con las expresiones que son correctas.

    Q Q' = R N Z Z Q 3 R Q Q' = {2, 3, 5, 7, 11} N Z {2} R

    III. La opcin subrayada muestra el resultado correcto. 1. La unin de nmeros naturales con nmeros enteros es el conjunto de nmeros:

    a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) Irracionales e) Reales 2. La interseccin de nmeros naturales con nmeros enteros es el conjunto de nmeros:

    b) Enteros c) Racionales d) Irracionales e) Reales a) Naturales 3. El conjunto de nmeros racionales est contenido en el conjunto de:

    a) Naturales b) Enteros c) Primos d) Irracionales e) Reales 4. Es un nmero irracional:

    a) 23 b) -45 c) 2 5 d) 64 e) 53

    19

    Q I (Q') Z N

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    IV. Los conjuntos N, Z, Q, I, o R que se subrayan son los conjuntos a los cuales puede pertenecer el nmero que se indica:

    - 13

    N, Z, Q, I, R5 N, Z, Q, I, R -4 N, Z, Q, I, R 15234786 N, Z, Q, I, R

    11

    3 N, Z, Q, I, R2 N, Z, Q, I, R

    4.71238898 N, Z, Q, I, R78.3 N, Z, Q, I, R Ejercicios 1.2 I. Utiliza la notacin de conjuntos para representar las proposiciones que se indican: 1. El conjunto de nmeros naturales es subconjunto del conjunto de nmeros reales. 2. El elemento b pertenece al conjunto de nmeros enteros. 3. El conjunto de nmeros racionales no est contenido en el conjunto de nmeros irracionales. 4. El conjunto de nmeros racionales est contenido en el conjunto de nmeros reales. II. Marca con las expresiones que son correctas.

    5. Z Q = Z 6. -4 Z 7. N Q 8. 3 R 9. N Q' = 10. { 4 } N 11. Z Z 12. 10 {10}

    III. Subraya la opcin que muestra el resultado correcto. 1. La unin de nmeros enteros con nmeros racionales es el conjunto de nmeros:

    a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) Irracionales e) Reales

    2. La interseccin de nmeros racionales con nmeros reales es el conjunto de nmeros:

    a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) Irracionales e) Reales

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  • Unidad I Introduccin al lgebra

    3. El conjunto de nmeros enteros est contenido en el conjunto de:

    a) Naturales b) Dgitos c) Primos d) Irracionales e) Racionales 4. Es un nmero racional:

    a) 23 b) 45 2 c) 25 d) 68 e) e3

    IV. Escribe el conjunto N, Z, Q, I, o R, al cual puede pertenecer el nmero que se indica:

    1. 15 2. 38 3. - 155

    4. 5 5. 16

    3 6. 1523.125 7. 156 8. -1.414213

    1.3 EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES Los nmeros han jugado un papel muy importante en la historia de la civilizacin, aplicn-dose en distintas situaciones de nuestra vida; por ejemplo: medir los lmites de una propie-dad, predecir el estado del tiempo, computar inversiones, cotizar por red los artculos, cons-truir casas y puentes, dibujar mapas, entender el movimiento de los astros, aumentar los negocios y el comercio, descubrir nuevos principios cientficos, inventar nuevas mquinas, crear cerebros electrnicos, desarrollar estrategias en los juegos, dirigir el trfico y las co-municaciones, producir nuevas vacunas y medicinas, controlar la energa atmica, navegar en el espacio, descubrir nuevos minerales, predecir el crecimiento de la poblacin, entre otros. Para todo lo anterior, y de manera implcita, los consideramos como un campo, haciendo uso de sus operaciones y axiomas.

    El concepto de campo es una de las formas de presentar el conjunto de los nmeros reales como un conjunto numrico con el cual se efectan operaciones definidas que satisfacen determinados axiomas.

    21

    En el campo de los nmeros reales, mediante axiomas, se definen dos operacionesbinarias llamadas adicin (suma) y producto (multiplicacin), simbolizadas por + y .Para cada par de nmeros reales a y b, la adicin a+b y la multiplicacin a b dan porresultado otro nmero real, propiedad conocida como cerradura.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.3.1 Operaciones Al realizar operaciones con los nmeros reales (sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer una raz), hay ciertas reglas (propiedades) a seguir, y es muy impor-tante conocerlas y emplearlas adecuadamente. Algunas reglas importantes en el uso de las operaciones son:

    En la suma (adicin): Cuando los nmeros reales tienen el mismo signo, se suman y el resultado queda con el signo que tienen los nmeros. Cuando los nmeros reales tienen diferente signo, se resta al mayor el menor, y el resultado queda con el signo del mayor, considerando el valor absoluto de los nmeros.

    En la multiplicacin (producto) y divisin (cociente): Cuando los nmeros reales tienen el mismo signo, se multiplican o dividen, y el re-sultado queda con signo positivo. Cuando los nmeros reales tienen diferente signo, se multiplican o dividen, y el resultado queda con signo negativo.

    En la potenciacin: Cuando un nmero (base) est elevado a otro nmero (exponente) entero positivo, significa que hay que multiplicar la base por s misma tantas veces como indique el exponente. Cuando el exponente es negativo se puede convertir a positivo, invirtiendo el lugar en donde se encuentre la potencia, de numerador a denominador o viceversa. Cuando el exponente es cero, el resultado es 1. Cuando el exponente es racional, indica un radical, en donde el numerador es el exponente del radicando, y el denominador el ndice del radical.

    En la radicacin: Cuando a un nmero (radicando) se le extrae su raz (ndice del radical) positiva, significa que hay que encontrar un nmero que, multiplicado por s mismo tantas veces como lo indique el ndice del radical, sea el radicando.

    En operaciones combinadas: Para resolver ejercicios combinados con diferentes operaciones, primero hay que separar en trminos. Los signos que separan trminos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que est en cada trmino. Para resolver ejercicios con smbolos de agrupacin: llaves {}, corchetes [] o parn-tesis ( ), se sugiere simplificar de adentro hacia afuera, es decir, realizar las opera-ciones dentro de los parntesis y eliminarlos, despus efectuar las operaciones de-ntro de los corchetes y eliminarlos y, por ltimo, llevar a cabo las operaciones de-ntro de las llaves y eliminarlas.

    Ejemplos:

    A continuacin, se muestra el desarrollo y resultado de algunas operaciones con nmeros reales.

    22

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    1. (+8) + (+2) + (+5) + (+6) + (+9) + (+5) = 8+2+5+6+9+5 = 35

    2. (4) + (9) + (6) + (8) + (13) + (15) + (25) = 4 9 6 8 13 15 25 = 80

    3. (+8) (17) + (54) + (+31) (+23) + (52) (35) = 8 + 17 54 + 31 23 52 + 35 = 91 129 = 38

    4. (4) (5) + (102) (345) + (201) (322) + (3) = 4 + 5 102 + 345 201 + 322 3 = 672 310 = 362

    5. (4)(5) + (6)(8)(9) + (4)(2)(1) = 20 + 432 + 8 = 460

    6. (9)(36) (104)(325) (523)(2) = 324 33800 1046 = 35170

    7. (4)( 107) + (345)( 21) + (813)( 459) = 428 + 7245 + 373167 = 380840

    8. (21) (45)( 37) (51)( 43)( 59) = 21 1665 129387 = 131073

    9. (+2)( 3) + (4) + (5) (+6) = 6 4 5 6 = 21

    10. [(2) + (-3) -(-9)](-2) - (+8) = [2 3 + 9]( 2) 8 = [ 4 ]( 2) 8 = 8 8 = 16

    11. [(+4) (+3) + (2) ][( 8) + (5) + (+6) ] = [4 3 2][ 8 5 + 6] = [ 1][ 7] = 7

    12. 3 + 2(5 3) 7(6 + 8) = 3 + 2(8) 7(14) = 3 16 98 = 111

    13. (2) {(+2) [(2) + (3)] + (4)} = -2 {2 [2 3] 4}

    = -2 {2 [ 5] 4}

    = -2 {2 + 5 4}

    = -2 {2 + 5 4}

    = -2 {3}

    = -2 3 = -5

    14. 13 + 26 (13) = 13 2 = 11 15. 108 (9)(3) 5 + 12 4 = 108 27 5 + 3 = 4 5 + 3 = 2

    16. 3 8 115 5 5

    + =

    17. 3 5 7 4 3 2 518 24 36 72 72

    + + = =

    18. 3 2 7 9 15 8 28 274 5 3 4 20 12

    + + = 23 1 2320 12 240

    = =

    19. ( )( )( )( )3 53 2 15

    2 5 4 2 8

    = =

    20. ( )( )( )( )

    77 5 352

    3 2 3 65

    = =

    23

    Factorizacin en nmeros primos Ejemplo: 210 2 105 3 35 5 5 5 1

    210 = (2) (3) (5) (5) = (2) (3) (5)2 Mximo comn divisor MCD (Divisor comn ms grande) y mnimo comn mltiplo mcm (mltiplo comn ms pequeo) Ejemplo: 18 24 36 2* 9 12 18 2 9 6 9 2 9 3 9 3* 3 1 3 3 1 1 1 MCD = (2*) (2) (2) (3*) (3) = (2)3 (3)2 = 72 mcm = (2*) (3*) = 6 * Divide a todos los nmeros a la vez.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    21. 8 9 4 8 63 160 189 3493 5 7 3 20 60 60

    ++ = + = = Conoce ms: Criterios de divisibilidad

    Un nmero es divisible entre: 2, si termina en 0 o par 3, si la suma de sus dgitos es mltiplo de 3 4, si las dos ltimas cifras son mltiplos de 4 5, si termina en 0 o 5 6, si es divisible por 2 y 3 7, si al quitar la ltima cifra, multiplicarla por dos y

    restar este resultado del nmero que qued, el n-mero obtenido es 0 o divisible por 7. Se sigue lomismo hasta que el nmero obtenido sea de una cifra

    8, si las tres ltimas cifras son mltiplos de 8 9, si la suma de sus dgitos es mltiplo de 9 11, si la diferencia de la suma de las cifras que ocu-

    pan lugares pares con la suma de las cifras queocupan lugares impares es 0, o divisible por 11

    13, si al quitar la ltima cifra, multiplicarla por nuevey restar este resultado del nmero que qued, elnmero obtenido es 0, o divisible por 13

    17, si al quitar las dos ltimas cifras y restarlas delnmero que qued multiplicado por dos, el nmeroobtenido es 0 o divisible por 17

    22. 11 2 4 730 5 15 60

    + =

    ( )( )( )( )

    120

    331

    60

    7

    8

    23

    60

    7

    120

    345

    60

    7

    430

    1523

    60

    7

    15

    4

    30

    23

    15

    7

    15

    4

    30

    1211

    =

    ==

    =

    =

    +

    23. (8)2 (2)3 + (5)(6)2 - (9)(-5)3 = (64)(8) + (5)(36) - (9)(-125) =

    512 + 180 + 1125 = 1817

    24. (73 + 7 19)0 + 9 = 1 + 9 = 10

    25. 1 3 43 4

    1 1 1 1 1 1 112 2 22 2 2 2 8 16 16

    + + = + + = + + = 3 Numerador 2 Denominador

    26. 2 3 2 3

    2 3

    2 3

    1 13 2 3 2

    1 13 23 2

    ++ = = Numerador: indica las

    partes que se toman del entero. Denominador: indica las

    1 1 179 8 72 171 1 19 8 72

    += =

    partes en que se divide el

    entero.

    27. ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    2 3 2 4

    2 4 2 3

    4 3 5 2

    5 2 4 3

    = =

    ( )( )

    ( )( )25 16 25

    16 27 27=

    28. ( ) ( )

    ( )3 12 2

    1 33

    4 9 64 9 8 3 112 288

    + + += = =

    Potenciacin y radicacin

    (3)0 =1

    5 exponente

    base( 3 ) =(3) (3) (3) (3) (3) = 243

    ( ) ( )( )( )3

    3

    1 133 3 3 3 2

    = = = 17

    ( ) ( ) ( )( )2

    2

    1 4 4 44

    16= = =

    ( )3 324 4 64 8= = =

    24

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.3.2 Propiedades

    Al realizar operaciones con los nmeros reales existen diferentes formas para encontrar el resultado; esto depender del uso y orden en que se apliquen sus propiedades. Por ejemplo: si compran dos libros, cuyo costo es de 90.00 y 150.00 pesos, respectivamente, no importa en qu orden sumen los precios; el resultado es el mismo.

    a, b, c r Propiedades Para la suma Para la multiplicacin

    Conmutativa a + b = b + a ab = ba Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c A(bc) = (ab)c Elemento neutro a + 0 = a = 0 + a A(1) = a = (1)a Inverso aditivo (inverso) a + (-a) = 0 = -a + a

    Inverso multiplicativo (recproco)

    a

    a

    1 = 1 =

    a

    1a

    Distributiva a (b + c) = ab + ac Ejemplos: I. En las siguientes expresiones se indica la propiedad representada.

    1. 3 + 7 = 7 + 3 conmutativa para la suma 2. 5 ( 4 + 9 ) = 20 + 45 distributiva 3. 15 + ( 25 +18) = (15 + 25) + 18 asociativa para la suma 4. 7 (1) = 7 elemento neutro para la multiplicacin

    5. 8

    8

    1= 1 recproco

    II. La opcin que se subraya muestra el resultado correcto. 1. La propiedad distributiva se indica en:

    a) 23 + 9 = 9 + 23 b) 15 + 0 = 0 c) 60 + 100 = 20(3 + 4) d) (7)(8) = 56 e) (14)(36) = (36)(14) 2. En la expresin 6 + (7 + 8) = (6 + 7) + 8 se indica la propiedad: a) Conmutativa b) Asociativa c) Distributiva d) Inverso e) Elemento Neutro

    1.3.3 Axiomas de orden El campo de los nmeros reales tambin posee propiedades de orden que permiten las rela-ciones mayor que, menor que o igual que entre los nmeros, representadas mediante los smbolos: >, < o =, respectivamente. En la vida diaria es muy frecuente hacer uso de estas propiedades: Mi hermano Luis es mayor que mi hermana Luz, mi ahorro es menor al del ao pasado, tu salario es igual al mo, etc. En otras ocasiones utilizamos un nme-

    25

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    ro ordinal: mi escuela celebra su trigsimo quinto aniversario, mi hijo cursa el primer semestre de bachillerato, entre otras. Propiedades de orden Si a, b, c R

    Reflexiva a a= Simtrica a b , entonces b a Antisimtrica a b y b a , entonces a b= Tricotoma Se cumple slo una de estas relaciones:

    a b, a b, a b> < = Transitividad a b y b c< < , entonces a c< Monotona de la suma a b , entonces a c b c+ + Monotona de la multiplicacin a b y , entonces c 0 ac bc

    Un nmero ordinal denota la posicin de un nmero perteneciente a una sucesin ordenada, haciendo mencin del primero, segundo, tercero, cuarto, etc., elementos de una sucesin. A continuacin se presentan algunos nmeros ordinales: 1 primero- primer 40 cuadragsimo 2 segundo 50 quincuagsimo 3 tercero (tercer) 60 sexagsimo 4 cuarto 70 septuagsimo 5 quinto 80 octogsimo 6 sexto 90 nonagsimo 7 sptimo 100 centsimo 8 octavo 150 centsimo quincuagsimo 9 noveno (nono) 200 ducentsimo 10 dcimo 300 tricentsimo 11 undcimo, decimoprimero (onceno) 400 cuadringentsimo 12 duodcimo, decimosegundo (doceno) 500 quingentsimo 13 decimotercero (decimotercio) 600 sexcentsimo 14 decimocuarto 700 septingentsimo 15 decimoquinto 800 octingentsimo 16 decimosexto 900 noningentsimo 17 decimosptimo 1,000 milsimo 18 decimoctavo 2,000 dosmilsimo 19 decimonoveno (decimonono) 3,000 tresmilsimo 20 vigsimo 10,000 diezmilsimo 21 vigsimo primero 100,000 cienmilsimo 22 vigsimo segundo 1,000,000 millonsimo 30 trigsimo ... ltimo (final o postrero)

    26

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.3.4 Representacin en la recta numrica Los nmeros reales se definen de manera axiomtica como el conjunto de nmeros que se encuentran en correspondencia biunvoca con los puntos de la recta numrica (recta infinita).

    Ejemplo: En la siguiente recta numrica, se representan con un punto los nmeros: -1, 3, 3/2, y 2

    -1 3/2=1.5 3 2 = 6.28 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

    Cada unidad de la recta numrica representa un nmero entero. Para localizar de manera rpida los nmeros racionales o irracionales es conveniente

    representarlos en su forma decimal.

    En la recta numrica, si a > b con a, b R, entonces a se localiza a la derecha de b. En la recta numrica, si a < b con a, b R, entonces a se localiza a la izquierda de b.

    1.3.5 Valor absoluto de un nmero real La distancia desde cero (0) a un nmero en la recta numrica se representa con el smbolo |x| y se llama valor absoluto. Este concepto lo utilizamos en distintas situaciones; por ejem-plo: cuando avanzamos 10 pasos a la izquierda o a la derecha, recorremos la misma distancia sin ser importante el sentido; de igual manera, se recorre la misma distancia al subir o bajar una escalera.

    El valor absoluto de un nmero se define de la siguiente manera: Lo anterior se interpreta como sigue:

    Si el nmero es negativo, lo convertimos a positivo. Si el nmero es cero o positivo, se queda igual.

    Ejemplo: A continuacin se encuentra el valor absoluto indicado.

    27

    0, si x = 0 |x| = x, si x > 0 -x, si x < 0

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    |10| = 10 |5 3| = |2| = 2 |3(8) 8(3)| = |0| = 0 | 10| = (10) = 10 |20 50| = |30| = 30 |9 + 3(2) 10| = |7| = 7 Ejercicios 1.3 I. Resuelve las operaciones indicadas. 1. (81) + (75) + (63) (63) (89) (58) + (25) =

    2. (19) + (20) + (-32) (83) (25) + (+72) =

    3. (25) (34) + (72) (57) + (-83) (105) =

    4. (48) (53) (-84) + (56) (15) + (+25) =

    5. (506) + (517) - (916) + (725) (813) (54) =

    6. (3492) + (3512) (-8415) (6741) (+1000) =

    7. (1) (21) (321) + (4321) (54321) (654321) =

    8. (52) (712) + (+213) (543) (491) =

    9. (6) (4) + (8) (9) (4) (2) (1) =

    10. (2) + (-8(-5) (7) (4) (3) (2) (1) =

    11. (3) (2)(1) (1) + (2 ) (4) (3) (2) + (1) (4) =

    12. (3) (4) + (1) (8) (9) (3) (2) (5) (2) + (-3) =

    13. (4) (8) (2) (10) + (-8) (26) (105) =

    14. (5) + { [(3) (+2) + (1)](2) }(2) =

    15. (12) {(53) [(24) + (18) (35) ] + (49)} =

    16.

    5

    12 +

    3

    10 15

    8 45

    6 =

    17.

    7

    6 +

    3

    8

    8

    9

    4

    3 =

    18. (5)2 (3)3 + (5)3 (4)2 (9) (5)2 = 19. (3 + 7 9)10 (9 + 5)0 =

    20. 3 1 + 3 2 + 3 3 =

    21. 2 3

    2 3

    2 22 2

    + =

    22. 2 3

    2 2

    (3) ( 4)

    (4) (2)

    =

    28

    23.

    1132

    12

    (4) (27)

    (25)

    + =

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    24.

    1 12 2

    13

    (9) (36)

    (125)

    =

    II. Subraya la opcin que muestra el resultado correcto.

    1. La factorizacin en nmeros primos de 1,050 es:

    a) (2) (3) (5) (7) b) (2) (3) (5)2 (7) c) (2) (3) (5) (7)2 d) (6) (5) (7) e) (2) (3) (5) (35)

    2. El mnimo comn mltiplo entre 2,310 y 1,540 es:

    a) 20 b) 3850 c) 4620 d) 770 e) ninguno 3. El mximo comn divisor entre 310 y 540 es:

    a) 15 b) 20 c) 30 d) 850 e) ninguno 4. Segn el criterio de divisibilidad, elige el nmero que es divisible por 7.

    a) 25 b) 73 c) 150 d) 861 e) 240 5. La raz cbica de 64 es: a) 2 b) 4 c) 2 d) 32/5 e) 4

    6. Simplifica la expresin 125

    a) 5 b) 25 c) 5 d) 5 5 e) 5 25

    7. 43/2 es igual a: a) 64 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 8. El resultado de (64)2/3 es: a) 42 b) 96 c) 1,365 d) 16 e) 32

    9. La expresin (243)1/5 es igual a: a) 3 b) 3 c) 1/3 d) -1/3 e) no existe

    10. En el conjunto de los nmeros naturales, cul es la solucin para la siguiente expresin? .

    a) 0.75 b) 0.25 c) 6/8 d) 1 e) no existe

    29

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    11. En la expresin 7 + (13 + 15) = (7 + 13) + 15, qu propiedad de los nmeros reales se cumple?

    a) Conmutativa b) Asociativa c) Distributiva d) Neutro aditivo e) Inverso

    12. Cuntos de los primeros cien enteros positivos son divisibles por los nmeros 2, 3, 4 y 5?

    a) ninguno b) 1 c) 4 d) 7 e) 10 13. El nmero de mltiplos de 3 que hay entre 13 y 5,630 es: a) 1,860 b) 1,862 c) 1,872 d) 1,870 e) ninguno de los anteriores 14. Si a, b y c son nmeros enteros, y a b, qu expresin es correcta? a) a + c b b) a - c b c) ac bc d) a + c b + c e) a bc III. Escribe en la lnea la propiedad representada en cada expresin. 1. 15 + 6 = 3 (5 + 2) _______________________ 2. 20 + 70 = 70 + 20 _______________________ 3. 3 (8 + 11) = 24 + 33 _______________________ 4. 25 (13) (17) = (25) (13) (17) _______________________

    5. 5

    5

    1= 1 _______________________

    IV. Relaciona los nmeros que se indican con los smbolos >, < o = , segn corresponda.

    1. 3204 3420 2. 0.00054 0.0006

    3. 17 187 8

    4. 1 1

    3 2

    5. 72

    6. 9 1

    7 91

    30

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    V. Escribe en la lnea el nombre de los nmeros ordinales que se indican. 1. 4 __________________ 6. 150 _____________________ 2. 16 __________________ 7. 200 _____________________ 3. 20 __________________ 8. 500 _____________________ 4. 50 __________________ 9. 800 _____________________ 5. 100 __________________ 10. 1,000 _____________________

    VI. Representa en la recta numrica, mediante un punto, los nmeros: 5, 8, 4, 7, 5/2,

    0.75, 7/3, 5 , 12

    x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

    VII. Calcula el valor absoluto que se indica. 1. |15| = 4. |25 33| = 7. |3(8) 8(3)| = 2. |100| = 5. |40 (30)| = 8. |9 + 3(2) 10| = 3. |10 + 70| = 6. |50 80 + 60 | = 9. |6 + 5(9) 70| = 1.4 LENGUAJE ALGEBRAICO Las matemticas estudian diferentes problemticas que se presentan ms all del campo de los nmeros reales; por ejemplo: en la expresin tengo cinco monedas de diez pesos po-demos abreviar 5d, donde la letra d representa una moneda de diez pesos, o tengo diez monedas de cinco pesos, por 10c, donde c representa una moneda de cinco pesos; o tengo cuatro monedas de diez pesos y dos monedas de cinco pesos, por 4d + 2c; es decir, se aso-cia a los nmeros las unidades que representan de manera abreviada, dando lugar al lengua-je algebraico.

    Ejemplos: I. A continuacin, se representan algunos enunciados verbales en expresiones algebraicas. 1. La suma de dos nmeros: a + b 2. Un nmero aumentado en 5 unidades: n +5 3. La diferencia del doble de un nmero y el triple de otro: 2x 3y 4. El doble producto de un nmero, disminuido en dos unidades: 2x 8

    31

    El lenguaje algebraico es la representacin de hechos, eventos y fenmenos mediante nmeros, letras y smbolos, que permite su adecuada interpretacin para la solucin de situaciones problemticas.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    5. El tiempo recorrido se obtiene dividiendo la distancia recorrida entre la velocidad: t = d/v 6. Las tres cuartas partes de un nmero: (3/4)x 7. La mitad de la suma de dos nmeros: (a + b) / 2 8. La resta del cuadrado de dos nmeros: x2 y2 9. El rea de un tringulo rectngulo se obtiene multiplicando la base por la altura divi-

    diendo entre dos: bhA2

    =

    10. El cociente del producto de dos nmeros y la diferencia de los mismos: xy

    x y II. En seguida, las expresiones algebraicas que se indican son traducidas a enunciados ver-

    bales.

    1. 2

    ba + La mitad de la suma de dos nmeros o la semisuma de dos nmeros.

    2. 0; bba

    El cociente de dos nmeros, con el denominador distinto de cero.

    3. El producto de un nmero aumentado en cinco unidades con el mismo n-

    mero disminuido en cinco unidades.

    ( )( 55 + nn )

    )

    )

    4. ( El cuadrado de la suma de un nmero y diez unidades. 210+n 5. La suma del cuadrado de la suma del triple de un nmero y dos unidades,

    ms cinco.

    ( ) 523 2 ++n

    6. El producto de la suma de dos nmeros con la diferencia de los mismos

    nmeros.

    ( )( baba +

    7. 2

    ab La mitad del producto de dos nmeros o el semiproducto de dos nmeros.

    Ejercicios 1.4

    I. Representa los enunciados verbales a expresiones algebraicas. 1. La diferencia de dos nmeros: _____________ 2. Un nmero aumentado en ocho unidades: _____________ 3. La suma del doble de un nmero y la mitad de otro: _____________ 4. El doble producto de un nmero, aumentado en dos unidades: _____________

    32

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    5. Las dos quintas partes de un nmero: _____________ 6. El triple de la suma de dos nmeros: _____________ 7. El cuadrado de la suma de dos nmeros: _____________ 8. El rea de un rombo se obtiene multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor

    dividiendo entre dos nmeros: _____________ 9. El cociente de la diferencia de dos nmeros y la suma de los mismos: _____________ 10. El producto de dos nmeros, menos el cuadrado de la suma de los mismos: __________ II. Traduce en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas.

    1. 2

    ba _________________________________________________________

    2. 12 +n _________________________________________________________ 3.

    7

    2a ___________________________________________________________

    4. ( )31b ________________________________________________________ 5. ( )24 +n _______________________________________________________ 6. 1

    13

    2

    +x

    x ______________________________________________________

    7. 3

    12

    +

    nn

    ________________________________________________________

    8. 15 x _________________________________________________________

    III. Subraya la opcin que muestra el resultado correcto.

    1. Un nmero entero consecutivo es aquel que sigue a otro en una unidad, cul es la

    expresin que corresponde a: los cuadrados de tres nmeros enteros consecutivos?

    a) b))2(),1(, 222 ++ xxx ( ) ( )22222 2,1, ++ xxx c) ( ) ( 222 2,1, ++ xxx )d) e) ( ) ( )22 3,2, xxx 222 3,2, xxx

    33

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    2. Si x es un nmero entero positivo impar, el tercer nmero impar que viene despus de x ser:

    a) x + 2 b) x + 3 c) x + 4

    d) x + 5 e) x + 6

    3. Un equipo de futbol anota m goles en su primer partido; en el segundo m 5 y m + 10

    en el tercero. Cuntos goles anota en el cuarto partido, si en total hizo 4m goles?

    a) 2m + 5 b) 2m 5 c) m + 15 d) m + 5 e) m 5

    4. En una granja hay p pollos. Se vendi la mitad y luego la mitad del resto; cuntos po-

    llos quedan por vender?

    a) p

    2 b)

    p

    4 c) 3 p

    4

    d) p

    6 e) ninguno

    5. El triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cudruplo de b en lenguaje alge-

    braico es:

    a) b) c) 22 43 ba ( )[ ]23 ba ( )243 ba d) e) 24 )(3 ba ( )22 43 ba

    6. Si x es la mitad de y, y es igual a 4, entonces el doble de a ms el triple de b es:

    a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 32

    7. La mitad de a aumentada en el producto de 18 veces b, se expresa por:

    a) a 18b2

    + b) a 18b2

    + c) a 18b2 2

    d) (a)(18b)

    2 e) 1 a 18b

    2+ +

    8. En cul(es) de las igualdades: n + 5 = 2, 2n + 3 = 7, 3n + 5 = 10, 4 n = 10, n toma un

    valor perteneciente a los nmeros naturales?

    a) n + 5 = 2 b) 2n + 3 = 7 c) 3n + 5 = 10 d) 4 n = 10 e) ninguna

    34

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    9. Si el doble de 3x es 36, entonces el valor de x es:

    a) 6 b) 8 c) 12 d) 18 e) 36

    10. Si las dimensiones de un rectngulo son a y b, entonces su rea quedar expresada por:

    a) a + b b) a b c) a2 + b2 d) ab e) (ab)2

    1.5 ALGORITMOS GEOMTRICOS Y ARITMTICOS

    Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permiten hallar la solu-cin de un problema. Los algoritmos sirven para ejecutar una tarea y resolver problemas matemticos. Para enlistar los elementos de una sucesin, sea geomtrica o aritmtica, se hace uso de los algoritmos.

    1.5.1 Series y sucesiones Una sucesin es un conjunto ordenado de nmeros formados de acuerdo con una regla dada. Si una sucesin tiene un ltimo trmino se le llama sucesin finita; si el nmero de trminos es ilimitado, se le llama sucesin infinita. La suma de los trminos de una sucesin recibe el nom-bre de serie; una serie puede ser finita o infinita, dependiendo de la sucesin que la genera. Ejemplos de sucesiones y su correspondiente regla: 1. 5, 25,125, 625, Cada elemento se multiplica por 5, para encontrar el siguiente. 2. 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, Se suma 2, se resta 1, as sucesivamente. 3. 2, 3, 5, 7, 11, Sucesin de nmeros primos. 4. 4, 15, 224, 50175, Al cuadrado, menos uno. 5. 1, 5, 2, 10, 3, 15, 4, 20, Es una sucesin alterna, la posicin impar corresponde a n-

    meros naturales y la posicin par son mltiplos de 5. Casos especiales de sucesiones son las progresiones aritmticas y geomtricas.

    Ancdota de Gauss Ocurri en la escuela de Brunswich, cierto da de 1786, cuando Gauss contaba con nueve aos. Elmaestro encarg a sus alumnos que hiciesen como ejercicio sumar la sucesin 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100.La suma de los cien sumandos haba de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin em-bargo, cuentan las crnicas que al poco tiempo, cierto alumno, Gauss, se present a su maestro con elresultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le pregunt al pequeo cmo se las haba arregladopara hacer la tarea tan pronto. Gauss le explic que los nmeros que se iban a sumar se podan agru-par en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban100 parejas, bastaba hacer 100 (101)/2 = 5050. Gauss haba descubierto por s solo, y a la edad denueve aos, el mtodo para sumar las progresiones aritmticas.

    35

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.5.2 Progresin aritmtica Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tal, que cada uno de los trminos posteriores a otro se obtiene aadiendo al trmino anterior una cantidad fija llamada dife-rencia de la progresin.

    En general, el ensimo trmino de la progresin aritmtica se determina por La suma o serie de los n (sn) primeros la expresin: trminos de una progresin aritmtica est dada por: dnaan )1(1 +=Donde:

    2

    nsn = ( a na+na = ensimo trmino de la progresin. 1

    Ejemplos: 1. Una progresin aritmtica es: 10, 12, 14, 16, 18, La diferencia entre dos valores con-

    secutivos es 2. 2. En la progresin aritmtica 1, 4, 7, 10,..., calcula el trmino del lugar 15 y la suma de

    los 15 primeros trminos. En esta progresin se tiene que = 1, d = 3, n = 15, por lo tanto: 1a

    dnaa )1(115 += = 1 + (15 1)(3) = 1 + (14)(3) = 1 + 42 = 43, y 215

    15 =s (1 + 43) = 330 1.5.3 Progresin geomtrica Una progresin geomtrica es una sucesin de nmeros tal, que cualquier trmino posterior a otro se obtiene multiplicando el trmino anterior por un nmero no nulo llamado la razn de la progresin.

    36

    )

    1

    n = total de elementos de la progresin. a = primer trmino de la progresin.

    d = diferencia de la progresin.

    En general, el ensimo trmino de la progresin geomtrica se determina La suma o serie de los n (sn) primeros por la expresin: trminos de una progresin geomtrica est dada por: 11

    = nn raaDonde:

    na = ensimo trmino de la progresin. rras

    n

    n =

    1

    )1(1

    1

    n = total de elementos de la a = primer trmino de la progresin.

    progresin

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Ejemplos: 1. Una progresin aritmtica es: 2, 6, 18, 54,... La razn entre dos valores consecutivos es 3. 2. En la progresin geomtrica 1, 3, 9, 27,..., halla el sptimo trmino y la suma de los

    siete primeros trminos. En esta progresin se tiene que = 1, r = 2, n = 7. 1a

    10932

    2186

    31

    21871

    31

    )31(1

    729)3)(1()3)(1(7

    7

    617117

    ==

    ==

    ====

    s

    raa n

    Algunas frmulas que representan series importantes son: n(n 1)

    2

    + = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + n (suma de los primeros n nmeros naturales) n(n 1)(2n 1)

    2

    + + = 12 +22 + 32 + 42 + + n2 (suma de los cuadrados de los primeros n n-meros naturales)

    Ejercicios 1.5

    I. Halla los trminos que se indican en las siguientes progresiones aritmticas. 1. El trmino 6 en: 3, 7, 11, 15... 2. El trmino 20 en: 1, 6, 11, 16... 3. El trmino 12 en: 4, 0, 4, 8... 4. El trmino 10 en: 2, 5, 8, 11... II. Halla la suma de los trminos de una progresin aritmtica en los siguientes casos: 1. De los 10 primeros trminos de: 1, 6, 11... 2. De los 20 primeros trminos de: 22, 23, 24... 3. De los 12 primeros trminos de: 3, 5, 7... 4. De los 8 primeros trminos de: 5, 2, 1... III. Completa la siguiente tabla: a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 3 5 4 16 19 10 13 16

    37

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    IV. Prueba cules de las siguientes sucesiones son progresiones geomtricas y calcula su razn.

    1. 2, 4, 8... 2. 3, 12, 60... 3. 54, 36, 24, 16...

    4. ,...27

    5,

    9

    5,

    3

    5,5

    V. Resuelve correctamente los siguientes ejercicios. 1. Calcula el primer trmino de una progresin aritmtica que consta de 10 trminos, si se

    sabe que el ltimo es 34 y la diferencia es 3. 2. Calcula el primer trmino de una progresin aritmtica que consta de 12 trminos, si se

    sabe que el ltimo es 7 y la diferencia es 2? 3. Cuntos trminos tiene una progresin aritmtica cuyo primer trmino es 8 y el ltimo

    es 36, si se sabe que la diferencia es 2. 4. Halla la suma de los 10 primeros trminos de una progresin aritmtica, sabiendo que

    a1= 7 y a10= 52 5. Halla la suma de los nmeros pares: 2, 4, 6,...100. 6. Halla el dcimo trmino de la progresin: 2, 4, 8... 7. Halla el sptimo trmino de la progresin: 1, 4, 16...

    8. Halla el dcimo trmino de la progresin: ,...16

    1,

    32

    1,

    64

    1

    9. El quinto trmino de una progresin geomtrica es 324 y la razn de la misma es 3, halla el primer trmino.

    10. En una progresin geomtrica, el dcimo trmino es 64 y la razn es 2

    1. Halla el octavo

    trmino. 11. Calcula la razn de una progresin geomtrica donde el primer trmino es 5 y el quinto

    es 405. 12. Sabiendo que el primer trmino de una progresin geomtrica es 5 y la razn es 2, halla

    la suma de los 8 primeros trminos.

    13. Halla la suma de los cuatro primeros trminos de la progresin: ,...5

    2,

    5

    4,

    5

    8

    14. Cul es la suma de los 10 primeros trminos de la progresin geomtrica: 2, 10, 50...? 15. Cul es el resultado de sumar los nmeros enteros y consecutivos desde 1 hasta 100?

    VI. Subraya la opcin que muestra el resultado correcto. 1. En una progresin aritmtica dada, el primer trmino es 2, el ltimo trmino es 29 y la

    suma de todos los trminos es 155. La diferencia comn es: a) 3 b) 27/19 c) 5 d) 23/38 e) 6

    38

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    2. En una progresin geomtrica de nmeros reales, la suma de los primeros 2 trminos es 7 y la suma de los primeros 6 es 91. La suma de los primeros 4 trminos es:

    a) 32 b) 84 c) 49 d) 28 e) 16 3. En la sucesin 7, 14, 21, 28, 35 qu lugar ocupa el elemento con el nmero 107? a) 14 b) 15 c) 16 d) 15.5 e) no existe 4. El elemento que da continuidad a la serie 2, 3, 3, 6, 5, 9, 7, 12,____ es: a) 15 b) 9 c) 11 d) 18 e) 13 5. El elemento que da continuidad a la serie 6, 12, 10, 20, 18, 36,____ es: a) 72 b) 34 c) 38 d) 40 e) 68 1.6 RAZONES Y PROPORCIONES En la vida diaria es frecuente encontrarse con situaciones como las siguientes: cul es la medida real del ancho de una sala, si en un plano mide 4 cm y la escala es 1:100?; cul ser el costo de 5 cds musicales si cada uno cuesta $150.00?; en una ciudad con 100,000 habitantes, cuntos adolescentes hay si stos representan el 15% de la poblacin?, cun-tas personas ms necesito para terminar 500 uniformes en 10 das, si en este momento dis-pongo de 10 personas y estiman terminar en 15 das? Para dar solucin a estas problemti-cas se requiere del uso de razones y proporciones. Razn

    Es el cociente de dos nmeros a, b r y se representa como: a : b o ab antecedente consecuente Se lee a es a b

    Proporcin Es la igualdad de dos razones y se repre-senta como: medios a : b = c : d o a c

    b d=

    extremos Se lee a es a b, como c es a d

    Existen situaciones directa o inversamente proporcionales:

    Directamente proporcionales: en una razn, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra tambin aumenta o disminuye, respectivamente.

    Inversamente proporcionales: en una razn, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra disminuye o aumenta, respectivamente.

    39

    Regla de tres: permite, en una proporcin, hallar alguno de los 4 trminos a, b, c, d, indicn-dose por x el trmino faltante y hallarlo depender de la proporcin que se plantee, directa o indirecta.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Ejemplos: Directamente proporcionales 1. La Lic. Claudia labor en una empresa durante el periodo de enero a septiembre del ao

    2006, recibiendo un salario mensual de $3,800.00. Su compaero Jorge labor todo ese ao con un salario de $2,100.00 mensuales, y recibi $6,000.00 de reparto de utilidades. Si el reparto se calcula proporcionalmente, cunto recibir la Lic. Claudia?

    Tiempo laborado Salario mensual - en el ao Reparto de utilidades Claudia: 9 meses Claudia: $3,800.00 - $34,200.00 Claudia: x Jorge: 1 ao = 12 meses Jorge: $2100.00 - $25,200.00 Jorge: $6000.00

    Proporcin directa (regla de tres directa):

    25200 34200

    6000 x=

    Donde: (6000)(34200)

    x 8142.8525200

    = = Respuesta: La Lic. Claudia recibir $8,142.85 de reparto de utilidades.

    2. El total de nios y nias en una escuela es de 370, de donde 200 son nias. A qu por-

    centaje del total equivale el nmero de nios?

    Total de nios y nias - % Nias: 200 370 100% Nios: 370 200 = 170

    Proporcin directa (regla de tres directa)

    370 200100 x

    = Donde:

    (100)(200)x 54.05

    370= =

    Respuesta: El porcentaje equivale a un 54.05%

    3. Una caja de manzanas se compra en $300.00 y contiene 20 kg. Cul es la ganancia, en porcentaje, al terminar de venderlas por kilo, si ste se ofrece en $24.00?

    Peso Precio de compra (%) Precio de venta Ganancia (%) 20 kg $300.00 (100%) (20) (24) = $480.00 480 300 = 180 (x %)

    Proporcin directa (regla de tres directa)

    40

    300 180100 x

    =

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Donde: (100)(180)

    x 6300

    = = 0 Respuesta: Al terminar de vender las manzanas se tiene una ganancia de 60%

    Inversamente proporcionales 4. 24 obreros construyen una casa en 30 das. Cuntos obreros se necesitarn para cons-

    truir dicha casa en 20 das?

    Obreros Das 24 30

    x 20

    Proporcin inversa (regla de tres inversa) 24 x30 20

    = Donde:

    (24)(30)x 3

    20= = 6

    Respuesta: Para terminar la casa en 20 das se necesitan 36 obreros.

    5. Un automovilista hace un recorrido en 3 horas, con una velocidad de 80 km/h. Si quiere

    hacer el mismo recorrido en 2 horas, cul es la velocidad que debe aplicar?

    Tiempo Velocidad 3 80 2 x

    Proporcin inversa (regla de tres inversa)

    3 802 x

    = Donde:

    (80)(3)x 120

    2= =

    Respuesta: Para lograr el recorrido, la velocidad debe au-mentar a 120 km/h.

    Ejercicios 1.6

    41

    I. Encuentra el resultado de los problemas planteados y comenta en plenaria con los com-paeros y el profesor.

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1. Calcula la superficie y el volumen de los cubos con arista: 2, 4 y 6. En qu relacin aumentan la superficie y el volumen cuando la arista aumenta en estos valores?

    2. Seis mquinas nivelan 24 km de camino en 2 das. Cuntos km nivelaran 5 mqui-

    nas en 3 das? 4. Un depsito de agua contiene 325 litros de agua y el nivel del estanque asciende a 30

    cm. Cuntos litros contendr si el nivel baja a 25 cm? 5. Un trabajador gana $2,097.00 despus de recibir un aumento. Cul fue el porcentaje de

    este aumento si su sueldo anterior era de $1,815.50? 6. En 12 das de 8 horas de trabajo, 18 obreros construyen 180 m de muralla. Cuntos

    das de 12 horas de trabajo demorarn 36 obreros para construir 450 m? 7. 100 obreros construyen un muro de ladrillos en 10 das. Cuntos obreros se necesitaran

    para construir dicho muro en 4 das? 8. A una cantidad se le suma su 10%, y a la cantidad as obtenida se le resta su 10%, qu

    porcentaje de la cantidad original queda? 9. Una accin en la bolsa de valores vale $2,000 pesos en octubre. De octubre a noviem-

    bre la accin aumenta en 10%; de noviembre a diciembre la accin disminuye en 10%. Cuntos pesos vale a finales de diciembre?

    10. Para producir una tonelada de azcar se necesitan 1,800,000 litros de agua. Cuntos

    litros se necesitan para producir 800 kilogramos? II. Subraya la opcin que muestra el resultado correcto. 1. Determinar el descuento nico equivalente a 2 descuentos sucesivos de 25% y de 40%.

    a) 55% b) 65% c) 60% d) 75% e) 50%

    2. A puede hacer un trabajo en nueve das; B es un 50% ms eficiente que A; el nmero de das que tarda B en hacer el mismo trabajo es:

    a) 13.5 b) 4.5 c) 6 d) 18 e) ninguno de stos 3. El 3% de 81 es igual a 9% de:

    a) 27 b) 243 c) 2.43 d) 30 e) ninguno de stos 4. En una tienda de ropa se tiene la oferta: Pague 1 y llvese 2. Si una blusa cuesta

    $230.00, cul es el porcentaje de ahorro al adquirir 2 blusas?

    42

    a) 50 % b) 25 % c) 20 % d) 33 % e) 15 %

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    1.7 REPRESENTACIN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano es un espacio determinado por dos ejes coordenados perpendiculares, uno horizontal llamado eje x y otro vertical, llamado eje y. Los puntos que se localizan en

    un plano se representan por el par ordenado P(x, y) con x, y R, donde: x determina el desplazamiento horizontal respecto del 0, hacia la derecha si x > 0 y

    hacia la izquierda si x < 0 y determina el desplazamiento vertical respecto del 0, hacia arriba si y > 0 y hacia

    abajo si y < 0 Ejemplos: En el siguiente plano cartesiano se localizan los puntos A(3,-2), B(1,1), C(-5,3) y D(-4,0):

    A (3,-2) abscisa: valor localizado en el ordenada: valor localizado en el eje horizontal (eje x) eje vertical (eje y)

    43

  • Unidad I Introduccin al lgebra

    Ejercicios 1.7

    1. Representa los puntos dados en un sistema cartesiano. A (1, 3) E (1/2, 6) B (6, 4) F (4, 1/3) C (2, 5) G (5/4, 5/2) D (1, 0) H (0.5, 3.75)

    2. Traza en el plano cartesiano inferior la figura que se presenta, la cual muestra la res-puesta al poema presentado, e indica los puntos marcados como pares ordenados P(x, y). Puedes modificar el tamao. Un poema de amor matemtico

    Un bosquecillo habis de plantar, mi seor, si queris demos-trar que soy vuestro amor. Esta arboleda, aunque pequea, ha de estar compuesta por veinticinco arbolitos en doce filas bien dispuestas, y en cada fila cinco rboles plantaris o mi lindo rostro nunca ms veris.

    44

  • Unidad I Introduccin al lgebra Unidad I Introduccin al lgebra

    45

    45

    Introduccin al lgebraActividadEjercicios 1.1Simbologa

    Ejercicios 1.21.3.5 Valor absoluto de un nmero realEjercicios 1.4Ejercicios 1.5Directamente proporcionalesInversamente proporcionalesEjercicios 1.6Ejercicios 1.7