INTRODUCCION AL ALGEBRA

Docente: Cristina cano CifuentesJornada Nocturna

Instituto Manizales

el algebra es una extensión de la aritmética en la cual se desconoce el valor de una de las cantidades con las que se opera. Es la rama de las matemáticas que estudia estructuras, relaciones y cantidades.

Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmética agregando un par de conceptos tales como las formulas y las ecuaciones. En el Algebra se estudia los números de el modo mas general posible.

El algebra

En el algebra los números son representados por símbolos tales como a,b,x,y

En el algebra se usan letras para representar números o usamos letras para la demostración de reglas y formulas para mostrarlo de una manera general que es apta para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para cualquier numero existente. Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje algebraico o notación algebraica.

Suma                           +Resta                           -Multiplicación               x, ( )( ), • , División                        ÷, / Radicación                   √Agrupación                  ( ), { }, [ ], ¯Es igual a                     =Es mayor que               >Es menor que               <Es mayor o igual que    ≥Es menor o igual que    ≤

Símbolos algebraicos básicos:

cuando dos letras se asume que se esta multiplicando así si tenemos “ab” estamos diciendo que “a” esta multiplicando a “b”, o en paréntesis (a)(b) también es “a” por “b”.  Y la división se puede expresar como una fracción a/b. 

En general una combinación de símbolos y signos del algebra representa a un numero y se llama una expresión algebraica.Ejemplo:

5abx + 258bx – 36ay

En el caso de la multiplicación

La parte de la expresión algebraica que no se encuentra separada por un signo de suma o resta se llama término

Del ejemplo anterior son términos:                     5abx;   258bx;   -36ay

Otros términos son:                                           -4k;   3x/4mn;  5/3√y

Todos los términos poseen un signo, un coeficiente y una parte literal, así:

                  Término           Signo              coeficiente               literal                  -59ax                  -                         59                           ax                  8v³                      +                         8                             v³                  xyz                      +                         1                            xyz                  -89                     -                          89                          

El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación con números y signos y además las trata con números en operaciones y propiedades se llama lenguaje algebraico.

El lenguaje es mas preciso que el lenguaje numérico permite expresar relaciones y propiedades numéricas.

Si queremos representar la mitad de un numero seria: X/2

LENGUAJE ALGEBRAICO

Ocho menos algún otro numero: 8-X

Para representar el doble de la suma de dos números seria: 2 (A+B)

La Resta de tres números: A-B-C

Par indicar las operaciones algebraicas fundamentales (adición sustracción multiplicación y división).

Se emplea en general los mismos signos de aritmética la regla de signos para multiplicar es la siguiente

Mas por mas= a mas Menos por menos= a mas Menos por mas= a menos Mas por menos= a menos

LEY DE SIGNOS

Recordemos siempre que cuando delante de un numero no hay signo se entiende que su signo es positivo.

Los distintos signos de agrupación estos son los paréntesis los corchetes y las llaves aunque también puedan encontrarse en uso las barras verticales.

( ) [ ] {}

SIGNOS DE AGRUPACION

Colocar el signo positivo garantiza que las cantidades que ingresan no reciben alteración alguna

Esto se lleva acabo colocando el signo positivo delante del signo de agrupación izquierdo y dentro se quedan los números con su signo sin agrupación.

Se llaman términos semejantes aquellos que tienen la misma o las mismas literales y están elevados a la misma potencia.

Ejemplo: 7a² y 3a² Son términos semejantes. 10a² y 4b No son términos semejantes

Términos semejantes

La resta algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo hallar un sumando desconocido

Se dice finalizado o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo han sido totalmente simplificados.

Ejemplo: -3a² 5a² = -2a²

RESTA ALGEBRAICA O SUSTRACCION

PROPIEDAD DE CERRADURA: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de

minuendo y sustraendo si altera el resultado de la RESTA.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A

NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios

La suma algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo el reunir dos o mas sumas (expresiones algebraicas) es una sola expresión llamada suma o adición

Se dice finalizada la operación cuando todos los términos semejantes han sido simplificados correctamente.

Suma o adición algebraica

PROPIEDAD DE CERRADURA. La suma de dos o mas polinomios dará como

resultado otro polinomio PROPIEDAD CONMUTATIVA. El orden de los sumandos no afecta el

resultado de la suma sean a y b dos polinomios entonces se cumple que.

A+B= AB. PROPIEDAD ASOCIATIVA: sean A,B,C entonces será. (A+B)+C = A+(B+C)

PROPIEDAD NEUTRO O ADITIVO: Al sumarse con otro polinomio no lo altera este neutro es el 0 sean A y 0 se cumple. A+0 = A PROPIEDAD INVERSO ADICTIVO: sean A y –A polinomios que son inversos aditivos entre si entonces será.

A + (-A) = 0

Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n el coeficiente del producto de dos o más

expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

MULTIPLICACION

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Por ejemplo: (8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48

Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término

Reglas: Se multiplica él termino del multiplicando por él

termino del multiplicador. Se suman los exponentes de las literales iguales. Se escriben las literales diferentes en un solo

término resultado. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los

signos vistas anteriormente.

MULTIPLICACION DE MONIMIOS

Propiedad distributiva La multiplicación también tiene lo que se llama

propiedad distributiva con la suma, porque: x.(y + z) = x.y + x.z Asimismo: (x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz +

ty + tz 9x(3+5)= (9x3)+(9x5)27+45=72

Elemento neutro Es de interés saber que cualquier número

multiplicado por 1 es igual a sí mismo. Ejemplo: 1·x = x es decir, la multiplicación tiene un elemento

neutro que es el 1

Multiplicación de monomios con polinomios Se le llama multiplicación de monomios con

polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio

Reglas: Se multiplica el término del monomio por cada término del

polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos

vistas anteriormente Se encuentra la suma algebraica de los productos

parciales.

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Propiedad conmutativa Utilizando esta definición, es fácil demostrar

algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera

x e y: x·y = y· x

Multiplicación de un número por un polinomio

Producto continuado de polinomios. Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar. Procedimiento Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera Se multiplica el resultado de la operación anterior con

el tercer factor y así se sigue sucesivamente. Ejemplo                    z(5 – z)(z + 2)(z - 9) Lo desarrollaremos de dos maneras Primera forma (factor por factor)

MULTIPLICACION SUCECIVAS

Supresión de signos de agrupación con productos indicados

Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.

Ejemplo -(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b -

21)

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C Donde:       D es el Dividendo (producto de  los factores

“d” y “C”)                        d es el divisor (factor conocido)                        C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

DIVISION ALGEBRAICA

Si el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

PARA LOS COEFICIENTES el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el

coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.                          mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy) PARA LAS POTENCIAS : la división  de dos o más potencias de la misma base es igual a la   base elevada a la diferencia de las potencias. resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria.

REGLAS PARA DIVIDIR