INTRODUCCION AL ALGEBRAEs la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo mas posible.

El concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que en aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados.

En algebra para logara la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales se pueden representar todos los valores así a representar el valor que nosotros le asignemos.

NOTACION CIENTIFICA

Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.

HISTORIA DEL ALGEBRA

La historia del álgebra, como en general la de la matemática, comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas.

Los antiguos babilonios, por su parte, resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación con números y signos y además las trata con números en operaciones y propiedades se llama lenguaje algebraico.

El lenguaje es mas preciso que el lenguaje numérico permite expresar relaciones y propiedades numéricas.

Si queremos representar la mitad de un numero seria: X/2

Ocho menos algún otro numero: 8-X

Para representar el doble de la suma de dos números seria:

2 (A+B)

La Resta de tres números:

A-B-C

LEY DE SIGNOS

Par indicar las operaciones algebraicas fundamentales (adición sustracción multiplicación y división).

Se emplea en general los mismos signos de aritmética la regla de signos para multiplicar es la siguiente

Mas por mas= a mas Menos por menos= a mas Menos por mas= a menos Mas por menos= a menos

SIGNOS DE AGRUPACION

Recordemos siempre que cuando delante de un numero no hay signo se entiende que su signo es positivo.

Los distintos signos de agrupación estos son los paréntesis los corchetes y las llaves aunque también puedan encontrarse en uso las barras verticales.

( ) [ ] {}

Colocar el signo positivo garantiza que las cantidades que ingresan no reciben alteración alguna

Esto se lleva acabo colocando el signo positivo delante del signo de agrupación izquierdo y dentro se quedan los números con su signo sin agrupación.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llaman términos semejantes aquellos que tienen la misma o las mismas literales y están elevados a la misma potencia.

Ejemplo: 7a² y 3a² Son términos semejantes. 10a² y 4b No son términos semejantes

RESTA ALGEBRAICA O SUSTRACCION

La resta algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo hallar un sumando desconocido

Se dice finalizado o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo han sido totalmente simplificados.

Ejemplo: -3a² 5a² = -2a²

PROPIEDAD DE CERRADURA: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de

minuendo y sustraendo si altera el resultado de la RESTA.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A

NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios

SUMA O ADICIÓN ALGEBRAICA

La suma algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo el reunir dos o mas sumas (expresiones algebraicas) es una sola expresión llamada suma o adición

Se dice finalizada la operación cuando todos los términos semejantes han sido simplificados correctamente.

PROPIEDAD DE CERRADURA. La suma de dos o mas polinomios dará como

resultado otro polinomio PROPIEDAD CONMUTATIVA. El orden de los sumandos no afecta el

resultado de la suma sean a y b dos polinomios entonces se cumple que.

A+B= AB. PROPIEDAD ASOCIATIVA: sean A,B,C entonces será. (A+B)+C = A+(B+C)

PROPIEDAD NEUTRO O ADITIVO: Al sumarse con otro polinomio no lo altera este neutro es el 0 sean A y 0 se cumple. A+0 = A PROPIEDAD INVERSO ADICTIVO: sean A y –A polinomios que son inversos aditivos entre si entonces será.

A + (-A) = 0

MULTIPLICACION

Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n el coeficiente del producto de dos o más

expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Por ejemplo: (8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48

MULTIPLICACION DE MONIMIOS

Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término

Reglas: Se multiplica él termino del multiplicando por él

termino del multiplicador. Se suman los exponentes de las literales iguales. Se escriben las literales diferentes en un solo

término resultado. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los

signos vistas anteriormente.

Propiedad distributiva La multiplicación también tiene lo que se llama

propiedad distributiva con la suma, porque: x.(y + z) = x.y + x.z Asimismo: (x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz +

ty + tz 9x(3+5)= (9x3)+(9x5)27+45=72

Elemento neutro Es de interés saber que cualquier número

multiplicado por 1 es igual a sí mismo. Ejemplo: 1·x = x es decir, la multiplicación tiene un elemento

neutro que es el 1

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Multiplicación de monomios con polinomios Se le llama multiplicación de monomios con

polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio

Reglas: Se multiplica el término del monomio por cada término del

polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos

vistas anteriormente Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO

Propiedad conmutativa Utilizando esta definición, es fácil demostrar

algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera

x e y: x·y = y· x

MULTIPLICACION SUCECIVAS

Producto continuado de polinomios. Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar. Procedimiento Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera Se multiplica el resultado de la operación anterior con

el tercer factor y así se sigue sucesivamente. Ejemplo                    z(5 – z)(z + 2)(z - 9) Lo desarrollaremos de dos maneras Primera forma (factor por factor)

Supresión de signos de agrupación con productos indicados

Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.

Ejemplo -(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b -

21)

DIVISION ALGEBRAICA

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C Donde:       D es el Dividendo (producto de  los

factores “d” y “C”)                        d es el divisor (factor conocido)                        C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

REGLAS PARA DIVIDIR

Si el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

PARA LOS COEFICIENTES el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el

coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.                          mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

PARA LAS POTENCIAS : la división  de dos o más potencias de la misma base es igual a la   base elevada a la diferencia de las potencias. resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria.