“Año de la diversificación productiva y del fortalecimiento de la educación”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA

INFORME N°2:

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

INSTÁNTANEAS EN EL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

FÍSICA MB 223 – F

PROFESOR : Ing. José Venegas

INTEGRANTES :

SEMESTRE : 2015-I

Fecha de realización: 03/04/2015 Fecha de entrega: 08/04/2015

ÍNDICE

Caratula 2

Resumen 4

Antecedente Experimental 5

Fundamento Teórico 9

Materiales 15

Procedimiento 17

Análisis de datos 21

Conclusiones 28

Sugerencias 29

Referencias Bibliográficas 30

3

RESUMEN

El presente experimento tiene como objetivo, determinar la velocidad instantánea, con

mayor exactitud, que describe un cuerpo en movimiento rectilíneo, teniendo la información

de la posición respecto al tiempo.

Para el experimento se usó un riel sobre un plano inclinado con tira de papel eléctrico

conectado a una fuente de chispero, en donde se soltaba un carrito metálico, que dejaba, en

una hoja bond, una serie de puntos, que son su posición en el tiempo. Estos resultados, se

ordenaron en una tabla, para determinar la gráfica que nos permite calcular la velocidad

instantánea.

Se ordenaron los datos en las tablas, y a través de gráficos y sus tendencias, se pudo hallar

las velocidades instantáneas, y todo esto con un error mínimo, y se llegó a la conclusión

que, el cálculo de la velocidad instantánea no es directo, y es preciso usar métodos

matemáticos y gráficos.

PALABRAS CLAVE

Movimiento rectilíneo

Movimiento en plano inclinado

Métodos para hallar la velocidad instantánea

Velocidad y aceleración instantánea

4

1) OBJETIVO

* Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir

de la información de su posición respecto al tiempo.

* Comprender el concepto matemático de la derivada usando como ejemplos los

conceptos físicos de velocidad y aceleración instantánea.

2) ANTECEDENTES

Experimento: Velocidad y aceleración instantánea {1}

* OBJETIVO:

+Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir

de la información de su posición respecto al tiempo.

* MATERIALES Y EQUIPOS

* Riel sobre un plano inclinado con tira de papel eléctrico

* Carrito metálico

* Chispero electrónico

* Fuente de chispero (caja de color rojo)

*PROCEDIMIENTO

+Disponer el sistema riel/plano inclinado con una inclinación de 8 a 25 grados

sexagesimales.

+Conectar la fuente del chispero a 220v

+Conectar una salida del chispero a la banana sobre el riel y la otra salida del

chispero a la banana sobre la base de madera, la cual a su vez está conectada a papel

eléctrico.

+Colocar el carrito en la parte superior del plano inclinado, sostener de la parte de

acrílico.

+El estudiante A colocará en “ON” el interruptor del chispero y un instante después

el estudiante B que está sosteniendo el carrito lo soltará. Cuando el carrito llegue a la

5

parte más baja del plano inclinado, inmediatamente el estudiante A colocará en

“OFF” el interruptor del chispero.

+Sobre el papel bond queda marcada una serie puntos, designe al instante en que se

produjo el primer punto de la trayectoria como to = 0 y xo = 0 la posición del primer

punto. (Por convención se podría elegir to = 0 y xo = 0 en cualquier otro punto pero

en este experimento no es lo más conveniente)

+La posición de los otros puntos quedará expresada por la distancia en cm al punto x

= 0. El instante en que el móvil ocupaba la posición marcada por el segundo, tercer,

n-ésimos puntos serán 1 tick, 2 ticks, etc.

*ANALISIS DE DATOS

Tabla N°1 Función velocidad media alrededor {t, Vm (tn, t)

6

+Observe que la primera y tercera columnas definen la función velocidad media

alrededor {t, vm(4,t)}. Observe también que esta función no está definida en t = 4.

+Haga un gráfico de la función {t, vm(4,t)}.

Grafico 1. Velocidad media respecto al tiempo

Observe que este gráfico se puede considerar como constituido por dos partes: (i)

para t <4 (ii) para t > 4, Si prolonga ambas partes para que se encuentren en t = 4 se

obtendrá la velocidad aproximadamente instantánea v(4). Ella estará expresada en

cm/tick, haga la transformación a m/s.

+Repita lo mismo para los instantes t = 8, 12, 16, 20, 24, ticks o los puntos que el

profesor le sugiera.

Tabla N°2 Velocidad instantánea

7

Gráfico 2. Velocidad instantánea en Tk

+Aceleración en un instante (t = 16)

Ahora que ay tiene la función velocidad instantánea puede proceder a hallar la

aceleración en un instante, en forma análoga a como de la función posición obtuvo la

velocidad en cada instante.

Grafico 3. x vs t2

Observe que el método descrito para la hallar la velocidad y aceleración instantáneas

se basa sólo en las respectivas definiciones, es decir, este método es aplicable para

cualquier dependencia de x respecto de t. En particular en el experimento descrito se

espera:

8

x(t)=1/2 at2 (1)

*DISCUSIÓN DE RESULTADOS

+Podemos resaltar que cuando medimos las distancias hubo un error.

+El resultado obtenido satisface parte nuestras expectativas.

+También influye en parte el carrito que estaba un poco oxidado, lo cual hacia que se

retarda al caer ligeramente.

*CONCLUSIONES

+Damos por aceptado nuestro, modelo hipótesis de trabajo parcialmente ya que

obtuvimos un error experimental, debido a la calidad de los instrumentos.

+Se logró hallar los datos de una manera eficiente y sin mucho error.

3) FUNDAMENTOS TEÓRICOS

3.1. CONCEPTOS MATEMÁTICOS

a) Función real de variable real: (f):

Conjunto de pares ordenados de números reales tales que a un mismo primer elemento

no les corresponden dos segundos elementos diferentes.

f = {x, f(x)} (2)

b)Límite de una función en un punto x0:

Es el valor al cual se aproxima la variable dependiente f(x) cuando la variable

independiente x se aproxima a x0. Algunas veces no existe.

c)Razón de cambio de una función en un intervalo (x1, x2)

r (x¿¿1 , x2)=f ( x2 )−f (x1)

x2−x1

¿ (3)

9

d)Función razón de cambio de una función alrededor de un punto xn

r (x¿¿1 , xn)=f ( xn )−f (x1)

xn−x1

¿ (4)

e)Derivada [1]

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que

cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable

independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula

como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo,

cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más

pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto

dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la

posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho

objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las

18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a

velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las

15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h.

Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la

velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora:

entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse

geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la

mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de

derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la

derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor

en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El

proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una

de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo

10

infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se

denomina cálculo diferencial.

* Derivada de una función en un punto xn, cuando existe el límite:

f '( x¿¿n)=limx → xn

f ( x )−f ( xn)x−xn

¿ (5)

O aproximadamente:

f '( x¿¿n)=f ( xn+δ )−f ( xn)

δ¿ (5)

(Esta aproximación será mejor cuanto más pequeño sea δ).

Función derivada: Es el conjunto de pares ordenados

f ´={xn , f ’ (xn ) } (6)

Donde xn es cualquier número real sobre el cual está definida la función f y f´( x n) es el

correspondiente segundo elemento obtenido.

Segunda derivada (f´). Es la función derivad de la función f´.

3.2. CONCEPTOS FÍSICOS

a)Función posición: Es el conjunto de pares ordenados

{t, x(t)} (7)

Donde t es el tiempo transcurrido desde un instante fijado convencionalmente como

t0=0, x (t) es la posición respecto a un punto tomado convencionalmente como x0=0.

b)Velocidad

11

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el

desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.

* Velocidad media en un intervalo de tiempo (t1, t2)

vm (t 1 ,t 2 )=x ( t2 )−x (t 1 )

t2−t1

(8)

* Función velocidad media alrededor de un instante tn

vm (t 1 ,t 2 )=x ( t )−x (t n )

t−tn

(9)

* Velocidad instantánea en un instante tn

vm(t¿¿ n)=limx → xn

x (t )−f (xn)t−t n

¿ (10)

* Función velocidad instantánea

Es el conjunto de pares ordenados

V = {tn, v (tn)} (11)

Donde tn designa un instante y v (t) es la velocidad en ese instante y v (tn) es la

velocidad en ese instante obtenida de acuerdo a la ecuación.

c)Aceleración

La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por

unidad de tiempo.

* Aceleración media en un intervalo de tiempo (t1, t2)

12

am ( t1 ,t 2 )=v2−v1

t 2−t1

(12)

Función aceleración media alrededor de un instante

am ( tn , t )=v (t)−v (t n)

t−tn

(13)

*Aceleración en el instante tn

a (t¿¿ n)=limt →t n

v (t )−v (xn)t −t n

¿ (14)

d)Función aceleración instantánea

A = {tn, a(tn)} (15)

Donde tn designa un instante y a(tn) es la aceleración en ese instante de acuerdo a la

ecuación.

3.3. MOVIMIENTO EN UN PLANO INCLINADO: [2]

Figura 1. Esquema general de un plano inclinado

13

El plano inclinado es una máquina simple que consiste en una superficie plana que

forma un ángulo agudo con el suelo y se utiliza para elevar cuerpos a cierta altura.

Tiene la ventaja de necesitarse una fuerza menor que la que se emplea si levantamos

dicho cuerpo verticalmente, aunque a costa de aumentar la distancia recorrida y vencer

la fuerza de rozamiento.

Los valores de la componente P como lo hemos visto en otras ocasiones son:

(16)

(17)

No tenemos en cuenta la intervención de otras fuerzas como la de rozamiento:

La componente Px es la fuerza que “tira” hacia abajo.

Sabemos que una de las fórmulas más importantes en la Dinámica es:

F=ma (18)

Fuerza = masa. Aceleración

Podemos escribir la ecuación siguiente:

(19)

Tomamos la última igualdad:

  (20)

Como ambos miembros de la igualdad tienen un mismo factor

Y se obtiene

a=g . senα (21)

14

Vemos que la aceleración de un cuerpo que se desliza por un plano inclinado depende

del valor de la atracción de la Tierra y del ángulo de inclinación (sin tener en cuenta

otras fuerzas).

3.4. ARCO ELÉCTRICO [3]

En electricidad se denomina arco eléctrico o también arco voltaico a la descarga

eléctrica que se forma entre dos electrodos sometidos a una diferencia de potencial y

colocados en el seno de una atmósfera gaseosa enrarecida, normalmente a baja presión,

o al aire libre. Para iniciar un arco se ponen en contacto, brevemente, los extremos de

dos electrodos, usualmente en forma de lápiz, por lo general de grafito, y se hace pasar

una corriente intensa (unos 10 amperios) a través de ellos. Esta corriente provoca un

gran calentamiento en el punto de contacto, al separarse los electrodos, se forma entre

ellos una descarga luminosa similar a una llama.

La descarga está producida por electrones que van desde el electrodo negativo al

positivo, pero también, en parte, por iones positivos que se mueven en sentido opuesto.

El choque de los iones genera un calor intenso en los electrodos, calentándose más el

electrodo positivo debido a que los electrones que golpean contra él tienen mayor

energía total. En un arco abierto al aire a presión normal, el electrodo positivo alcanza

una temperatura de 3500 grados celsius. Durante el tiempo de la descarga se produce

una luminosidad muy intensa y un gran desprendimiento de calor. Ambos fenómenos,

en caso de ser accidentales, pueden ser sumamente destructivos, como ocurre con la

perforación de aisladores en las líneas de transporte de energía eléctrica en alta tensión

o de los aislantes de conductores y otros elementos eléctricos o electrónicos.

4) MATERIALES Y EQUIPOS

* Riel sobre un plano inclinado con tira de papel eléctrico

15

Figura 2.

* Carrito metálico

Figura 3.Carrito con ruedas.

* Chispero electrónico, produce chispas cada 25 milisegundos o cada 50 ms según la

posición del interruptor negro en la parte superior derecha.

16

Figura 4. Chispero, conectado a la fuente.

* Una tira de papel bond de 65cm x 6cm

Figura 5. Tira de papel antes del experimento

5) PROCEDIMIENTO

5.1. Disponer el sistema riel/plano inclinado con una inclinación de 8 a 25 grados

sexagesimales.

* Con ayuda de un transportador, medimos el angulo de inclinación.

17

Figura 6. Midiendo con el transportador un ángulo de 8°

5.2. Conectar la fuente del chispero a 220v

Figura 7. Se enchufó el chispero a la fuente de 220v

5.3. Colocar el carrito en la parte superior del plano inclinado, sostener de la parte

de acrílico.

18

Figura 8. Se coloca el carro para el lanzamiento

5.4. El estudiante A colocará en “ON” el interruptor del chispero y un instante

después el estudiante B que está sosteniendo el carrito lo soltará. Cuando el

carrito llegue a la parte más baja del plano inclinado, inmediatamente el

estudiante A colocará en “OFF” el interruptor del chispero.

*Se decidió colocar una frecuencia de 40 Hz Con mucho cuidado, se soltó el carro,

antes se puso, y con una pequeña tela se amortiguó la caída, para no malograr el

carro.

Figura 9. Arco eléctrico visible durante el experimento

5.5. Sobre el papel bond queda marcada una serie puntos, designe al instante en

que se produjo el primer punto de la trayectoria como to = 0 y xo = 0 la posición

19

del primer punto. (Por convención se podría elegir to = 0 y xo = 0 en cualquier otro

punto pero en este experimento no es lo más conveniente)

* Por la parte trasera del papel bond, quedo una serie de puntos (ver fig 10.),

producidos porque cada 0.025 segundos, aparece un arco eléctrico (ver fig 9.)

Figura 10. Los puntos dejados por el carro.

5.6. La posición de los otros puntos quedará expresada por la distancia en cm al

punto x = 0. El instante en que el móvil ocupaba la posición marcada por el

segundo, tercer, n-ésimos puntos serán 1 tick, 2 ticks, etc. (entre tick y tick hay 25

o 50 ms dependiendo de la frecuencia am la cual está trabajando el chispero).

* Con el mayor cuidado se midió la distancia entre los puntos. Y se apuntaron los

datos en la hoja de datos (Anexo 1)

20

Figura 11. Midiendo las distancias.

6) ANALISIS DE DATOS

6.1. Gráfica de la función posición

Tabla N° 3 Grafica de la posición respecto al tiempo

21

22

T(tick) x(cm)

1 0.4

2 0.8

3 1.5

4 2.35

5 3.4

6 4.55

7 6.05

8 6.7

9 9.55

10 11.5

11 13.75

12 16.25

13 18.75

14 21.6

15 24.55

16 27.75

17 31.1

18 34.15

19 37.65

T(tick) x(cm)

20 41.45

21 45.35

22 49.4

23 53.7

24 62.45

25 67.1

26 71.85

6.2. Grafique la función posición

Grafico 4. Posición en cada tick

6.3. Velocidad instantánea en t = 4 ticks

A partir de las dos primeras columnas y haciendo las operaciones indicadas en la parte

suprior de la tercera columna, llenar las demás colmnas.

Tabla N°4 Velocidad media en cada tick

T(tick) x(cm)x (t )−x (4 )

t−4x (t )−x (8)

t−8x (t )−x (12)

t−12x (t )−x (16)

t−16x (t )−x (20)

t−20x (t )−x (24)

t−24

1 0.4 0.65 0.9 1.4409 1.8233 2.160 2.6978

2 0.8 0.775 0.9833 1.545 1.925 2.2583 2.8022

3 1.5 0.85 1.04 1.6388 2.0192 2.35 2.9023

4 2.35 - 1.0875 1.7375 2.1166 2.4437 3.005

5 3.4 1.05 1.1 1.8357 2.2136 2.5366 3.1078

23

6 4.55 1.1 1.075 1.95 2.32 2.6357 3.2166

7 6.05 1.2333 0.65 2.04 2.4111 2.7230 3.3176

8 6.7 1.0875 - 2.3875 2.6312 2.8958 3.4843

9 9.55 1.44 2.85 2.2333 2.6 2.9 3.5266

10 11.5 1.525 2.4 2.375 2.7083 2.995 3.6392

11 13.75 1.6285 2.35 2.5 2.8 3.0777 3.74615

12 16.25 1.7375 2.3875 - 2.875 3.15 3.85

13 18.75 1.8222 2.41 2.5 3 3.2428 3.9727

14 21.6 1.925 2.4833 2.675 3.075 3.3083 4.085

15 24.55 2.0181 2.55 2.7666 3.2 3.38 4.2111

16 27.75 2.1166 2.6312 2.875 - 3.425 4.3375

17 31.1 2.2115 2.7111 2.97 3.35 3.45 4.47857

18 34.15 2.2714 2.745 2.9833 3.2 3.65 4.71666

19 37.65 2.3533 2.8136 3.0571 3.3 3.8 4.96

20 41.45 2.4437 2.8958 3.15 3.425 - 5.25

21 45.35 2.5294 2.9730 3.2333 3.52 3.9 5.7

22 49.4 2.6138 3.05 3.315 3.6083 3.975 6.525

23 53.7 2.7026 3.1333 3.4045 3.7071 4.0833 8.75

24 62.45 3.005 3.4843 3.85 4.3375 5.25 -

25 67.1 3.0833 3.5529 3.9115 4.3722 5.13 4.65

26 71.85 3.1590 3.6194 3.9714 4.41 5.0666 4.7

*Observe que la primera y tercera columnas definen la función velocidad media

alrededor {t, vm(4,t)}. Observe también que esta función no está definida en t = 4.

Grafico 4. Velocidad media con respecto a t =4

24

Haga un gráfico de la función {t, vm(4,t)}, {t, vm(8,t)}, {t, vm(12,t)}, {t, vm(16,t)},

{t, vm(20,t)} {t, vm(24,t)}.

Observe que este gráfico se puede considerar como constituido por dos partes: (i)para t

<4 (ii) para t > 4, Si prolonga ambas partes para que se encuentren en t = 4 se obtendrá

la velocidad aproximadamente instantánea v(4). Ella estará expresada en cm/tick, haga

la transformación a m/s.

Grafico 5. Velocidad media con respecto a t =8

Grafico 6. Velocidad media con respecto a t =12

25

Grafico 7. Velocidad media con respecto a t =16

Grafico 8. Velocidad media con respecto a t =20

26

De las líneas de tendencias hallamos las velocidades instantáneas en t = 4, 8, 12, 16,20

Tabla N°5 Velocidad instantanea

Tk Velocidad instantánea en Tk

4 0.9401

8 1.6836

12 2.4972

16 3.2273

20 4.0775

Con esta última tabla, se grafica una línea de tendencia, para determinar la velocidad

instantánea en cada tick.

Grafica 9. La línea de tendencia de la velocidad instantánea, en cada tick.

27

6.4. Aceleración en un instante (t = 16)

Ahora que ay tiene la función velocidad instantánea puede proceder a hallar la

aceleración en un instante, en forma análoga a como de la función posición obtuvo la

velocidad en cada instante.

La aceleración es la pendiente de la Grafica 9.

a = 0.1955 cm/tick

6.5. Gráfico x vs t2

Observe que el método descrito para la hallar la velocidad y aceleración instantáneas se

basa sólo en las respectivas definiciones, es decir, este método es aplicable para

cualquier dependencia de x respecto de t. En particular en el experimento descrito se

espera:

x (t )=12

a t2

La aceleración es constante y su valor se puede obtener grafiando x vs t 2 y calculando

la pendiente.

28

Grafica 10. Relación de la posición (x) con (tick)2

7) DISCUSIÓN DE RESULTADOS

*Al medir la distancia entre los puntos del papel bond, hubo cierto error.

*Como se puede apreciar en cada gráfica, el R2 es muy cercano, lo que evidencia, que

nuestros cálculos, no presentaron mucho error.

8) CONCLUSIONES

*La velocidad instantánea no puede ser hallado de manera directa, sino que por

métodos gráficos, se halló valores de velocidad instantánea, muy cercanos a lo

teórico.

*Obtuvimos pequeños errores, que se muestra en cada gráfica, con el valor R2, que fue

debido por diversos factores, como la calidad de instrumentos, y factores ambientales

que afectan al experimento.

*No pudimos determinar, si en la práctica la frecuencia de 40 Hz, y este cualquier

cambio de esta frecuencia, pudo dispersar los datos.

9) SUGERENCIAS

*Tener mucho cuidado cuando el carro está cayendo, para poder amortiguar su caída.

29

*Sostener del acrílico al carrito para evitar las descargas eléctricas.

*Al instalar todo el sistema de trabajo, verificar que el chispero que es un interruptor

de corriente se encuentre funcionando correctamente.

30

10) REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] “Calculo diferencial e integral” – Granville – Editorial Hispano-Americana – 1956

Mexico DF : Paginas 25, 26, 27 y 28.

[2] https://www.fisicalab.com/apartado/fuerzas-planos-inclinados#contenidos –

19/04/15

[3] http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_el%C3%A9ctrico - 19/04/15

♦ ”Física General” – Burbano, Garcia: Paginas 42 y 43

♦ “Fisica I” – Resnick Halliday : Paginas 22, 23, 24, 25 y 26

♦ Manual de Laboratorio de Física General 2009

{1} Experimento de Velocidad y aceleración instantáneas en el movimiento

rectilíneo – FIM – 2014-II

31