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APUNTES Y PROBLEMASDE MATEMÁTICAS ESPECIALES

6 TREVERIS multimedia

Introducción

Los Apuntes:

Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de AccesoDirecto de la UNED. La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos, de modo que se ha tratadode hacer unos apuntes comprensibles y, sobre todo, orientados a aprobar el examen, pues se ha tenido en cuenta lo quehabitualmente es materia de examen.

No debe olvidarse que estos Apuntes son un resumen del libro (aunque completos, es decir, no se deja de lado nadade lo que es objeto de examen). Por ello, el libro debería servir para profundizar en algunos conceptos que el alumnoestime que en los Apuntes han quedado excesivamente resumidos,

Los Problemas:

En la colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamente todos los que han aparecido en exámenes deMatemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años –éstos aparecen con una clave; porejemplo: J9926 significa Junio 99, examen tipo B, pregunta número 6– junto a otros ideados para ” rellenar lagunas” en latransición de uno a otro. Los ” Problemas de Clase” son los que el Tutor autor de este material explica en la pizarra durantesus tutorías, y los ” Problemas propuestos” se resuelven de forma parecida a los de clase (en cada uno propuesto seindica el número del problema de clase al que se parece). Se da la solución de todos los problemas propuestos, y algunasindicaciones cuando son difíciles. Estudiar matemáticas consiste básicamente en hacer ejercicios continuamente. Porello, una vez resueltos los propuestos en este material el alumno debería seguir con los del libro oficial de problemas.

Material complementario:

Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet, enhttp://www.treveris.es/matematicas. También se pueden adquirir impresos en dicha página web . En ese caso se regala, enformato electrónico, para imprimir:

–una nueva colección de cientos de problemas ordenados desde ” dificultad cero” hasta el nivel requerido, escrita detal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista, método original que ha demostrado dar excelentesresultados.

–la solución a los problemas de clase que figuran en el presente material, ya que actualmente sólo se ofrece lasolución a los problemas propuestos y, en algunos casos, ayuda para resolverlos.

Además, quienes adquieran el material dispondrán de un tutor virtual para consultar dudas durante todo el curso2000-2001 de forma completamente gratuita en http://www.treveris.es/matematicas.

TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza.

(© EditorialTréveris, S. L., 2000 Reservados todos los derechos)

Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 7

Índice

9 Primera parte: APUNTES

11 Tema 0: Operaciones algebraicas básicas

19 Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales

27 Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria

32 Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística

37 Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones

45 Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría

50 Tema 14: Números complejos

53 Temas 13 y 15: Vectores

61 Tema 16: La recta

65 Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones

68 Temas 20 y 21: Funciones y polinomios

75 Tema 23: Continuidad de funciones

77 Temas 24, 26 y 27: Derivadas

80 Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones

88 Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas

93 Segunda parte: PROBLEMAS

95 Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales

97 Temas 3 y 4: Conjuntos, Combinatoria

99 Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística

101 Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones

105 Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría

107 Tema 14: Números complejos

108 Temas 13 y 15: Vectores

110 Tema 16: La recta

112 Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones

113 Temas 20 y 21: Funciones y polinomios

114 Tema 23: Continuidad de funciones

116 Temas 24, 26 y 27: Derivadas

118 Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones

120 Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidas


Primera parte: APUNTES


Tema 0: Operaciones algebraicas básicas

¾ Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva51.- Simplificar: 3a + a ? Ý5a + 7 ? aÞ + Ýa + 5Þ + 4Ý3a ? 7Þ + 2Ý?3 ? 5aÞ ? 5Ýa ? 1Þ (Sol.: ?2a ? 31)

Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas.

Regla 1.- Los paréntesis marcan la máxima prioridad en las operaciones algebraicas. Por tanto, si es posible, debetratar de simplificarse previamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero,Ý5a + 7 ? aÞ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ninguna operación, como veremos másabajo.

Simplifiquemos, pues, Ý5a + 7 ? aÞ. Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos + y -separan un polinomio en monomios. El orden en que estén escritos los monomios de un polinomio es irrelevante (propiedadconmutativa de la suma (y la resta), Regla 2). Por ejemplo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7 + 5a ? a o?a + 7 + 5a o 7 ? a + 5a, etc.

_____________

[Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por ejemplo, si piden hacerla siguiente operación: ? 3 + 5 , podemos ”darle la vuelta” escribiendo: + 5 ? 3, o, lo que es lo mismo, 5 ? 3 (pues unsigno + al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5 ? 3 es mucho más fácil de interpretar que ?3 + 5 .]

[También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo,por ejemplo: Ý5a + 7Þ ? a o 5a + Ý7 ? aÞ (propiedad asociativa de la suma (y la resta), Regla 3). Es decir, si hay que efectuaruna suma con tres sumandos (como es el caso), pueden sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercersumando.]

[Nota: al emplear la palabra suma nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que ”restar” 6 ? 2 es lomismo que sumar los números 6 y ?2 .]

_____________

Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras. Sólo se pueden sumar (o restar) aquellosmonomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias (Regla 4). Por ejemplo, se puedensumar entre sí los monomios 5a y ?a, pero no 5a y 7.

De la misma manera, se pueden hacer las siguientes sumas: 5ab ? ab (= 4ab); ab2 + 2ab2 (= 3ab2 ); ? ac3 + 3 a

c3

(= 2 ac3 ); ?3 a ? 2 a (?5 a ) pero no cabría sumar 5ab ?b ni ab + 2ab2 ni ? a

c3 + 3 a2

c3 ni ?3 a ? 23 a .

De todo lo dicho debe quedar claro que 5a + 7 ? a = 4a + 7. , con lo que la expresión inicial queda:= 3a + a ? Ý4a + 7Þ + Ýa + 5Þ + 4Ý3a ? 7Þ + 2Ý?3 ? 5aÞ ? 5Ýa ? 1Þ

Dentro de los demás paréntesis no se puede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando esquitar los paréntesis. Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo + delante puede quitarsedirectamente.(Regla 5). Es el caso del segundo paréntesis. Un signo – delante de un paréntesis permite quitar el paréntesispero cambiando el signo de los monomios que hay dentro (Regla 6). Es el caso del segundo paréntesis. Un número o letradelante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los monomios que hay dentro del paréntesis (propiedaddistributiva, Regla 7). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto y quinto.

Con lo dicho, la expresión queda:

= 3a + a ? 4a ? 7 + a + 5 + 12a ? 28 ? 6 ? 10a ? 5a + 5 = ?2a ? 31

donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplicación (y división) de signos:

Ý+ × + = + + × ? = ? ? × + = ? ? × ? = +Þ

¾ Operaciones con fracciones7Multiplicación y división

A veces, resolver una expresión algebraica requiere manipular fracciones.

Multiplicarlas es fácil: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí (Regla 8).

Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de lasegunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denominador de la primera por el numerador de la segunda (lo cualva abajo) (Regla 9):


2a2

3 6 35 = 6a2

15

2a2

3 : 35 = 10a2

9

Otro ejemplo: efectuar xÝ? 3x2 Þ (Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación de una cantidad, x,

por una fracción negativa; es decir, no es una resta; sería una resta si no existiera el paréntesis: x ? 3x2 . En segundo lugar,

tener en cuenta que el producto escrito se puede poner también como: x1 6 ?3x

2 .)

Es fácil ver que la solución es ?3x2

2

7Simplificación

El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ejemplo, las siguientes pueden simplificarsedividiendo arriba y abajo por el mismo valor (Regla 10):

1520 = 3

4 [hemos dividido arriba y abajo por 5]2a6a = 1

3 [hemos dividido arriba y abajo por 2a; para dividir 6a entre 2a se dividen números entre números y letrasentre letras: 6 entre 2 es 3 y a entre a es 1 (que no se escribe, porque 3 × 1 = 3)]

7Suma y resta

Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero el mínimo común múltiplo (mcm) de sus denominadores. A suvez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir, convertir cada uno de ellos en producto defactores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por 1; por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 sonprimos, pero no lo son 4, 6, 8, 9, 10, 12, etc.) Una vez factorizados, para calcular el mcm se toman los factores comunes y nocomunes elevados a los mayores exponentes (Regla 11).

Por ejemplo, calcular el mcm de 25, 75 y 100. Primero factorizamos los tres números tratando de dividirlos sucesivamentepor números primos empezando por el 2 y siguiendo con el 3, 5, etc. Por ejemplo, para factorizar 100 se empieza dividiendopor 2; el resultado Ý50Þ se divide de nuevo por 2 Ý= 25Þ; como 25 no es ya divisible por 2 probamos con el siguiente primo(3); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5; 25 entre 5 da 5; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es 1, que esdonde hay que llegar. 100 queda factorizado, entonces, como: 100 = 2 × 2 × 5 × 5 (= 22 × 52 )

Las tres factorizaciones quedan así:

25 = 52 75 = 52 6 3 100 = 22 6 52

Todos los factores encontrados son, como se ve, 2, 5 y 3 (elevados a distintas potencias según el número factorizado). El2 y el 3 son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos elevados a los mayores exponentes encontrados22 y 3; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la mayor potencia encontrada: 52 . El mcm se calcula, entonces, efectuandoel producto 22 6 3 6 52 = 300.

Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones:6

25 ? 375 + 4

100

Para resolverla se calcula el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm = 300). Luego se procede así: se escribeun signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm encontrado. En el numerador irá la suma (o resta,según el signo) de cada uno de los numeradores de las tres fracciones multiplicado por el resultado de dividir el mcm entre eldenominador correspondiente (Regla 12): 6

25 ? 375 + 4

100 =66Ý 300

25 Þ?36Ý 30075 Þ+46Ý 300

100 Þ

300 = 6612?364+463300 = 72?12+12

300 = 72300 = 6

25 (la últimaoperación ha sido una simplificación, dividiendo numerador y denominador por 12).

También pueden hacerse operaciones de este tipo que incluyan letras:4

12a + b36a2

Las factorizaciones de los denominadores son: 12a = 22 6 3 6 a y 36a2 = 22 6 32 6 a2

El mcm es, entonces: 32 6 a2 6 22 = 36a2

Entonces:

412a + b

36a2 =46Ý 36a2

12a Þ+b6Ý 36a2

36a2 Þ

36a2 = 46Ý3aÞ+b6Ý1Þ36a2 = 12a+b

36a2

En cierto momento hemos tenido que dividir 36a2

12a . Para ello se dividen primero los números (36 entre 12) y luego las letras(Regla 13) (a2 entre a da a de la misma manera que 52 entre 5 da 5).

Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:

52.- 46100 + 37

25 ? 10a = (Sol.: 194?1000a100 Ayuda: 10a se puede convertir en la fracción 10a

1 )

53.- ?3ab + 7

a3b3 = (Sol.: ?3a2b2+7a3b3 )

54.- 6Ýa+ b2 Þ

23 +3a567

= 221230 a + 3

23 b = (Sol.: 221a+30b230 Ayuda: primero se resuelve el paréntesis del numerador de la

primera fracción, lo que da 2a+b2 . Esta fracción se multiplica por 6, lo que da 6a + 3b [tener en cuenta que 6 2a+b

2 es lomismo que 6

2 2a + b , por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación-división]. Hecho esto nosencontramos con que debemos sumar la fracción compleja 6a+3b

23 con la fracción compleja3a567

, que hay que empezar

reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con otro ejemplo: una fracción compleja como la siguiente:abcd

se reduce a una

simple multiplicando los extremos y dejando arriba el resultado (a 6 d) y multiplicando los medios dejando abajo el resultado


(b 6 c), quedando, pues, la fracción a6db6c . Hay fracciones complejas algo ”diferentes”, como a

cd

oabc . En realidad es lo mismo,

teniendo en cuenta sólo que la primera equivale aa1cd

y la segunda aabc1

).

55.- Simplificar 6ab ? 5Ýa + ab + cÞ + 1 (Sol.: ab ? 5a ? 5c + 1)

56.- Simplificar a2 b ? a2b2 + aÝabÞ (Sol.: 3

2 a2 b)

57.- Simplificar a 5 ? a 2 + 13 + 6a

5 + 73 a2 (Sol.: 31

5 a)

Efectuar las siguientes operaciones y simplificar al máximo:

58.- 2Ý3 + aÞ ? 4Ý5 + aÞ = (Sol.: ? 14 ? 2a)

59.- 34 Ýa + b + cÞ ? 2a + 5b

4 + c2 = (Sol.: ?5a+8b+5c

4 )

510.- a+2b2 + 5aÝ2a + 2 + bÞ ? 5ab = (Sol.: 21a+2b+20a2

2 )

511.- aÝa2 + 1Þ ? aÝ2a + 3Þ = (Sol.: a3 ? 2a ? 2a2 )

Vamos a practicar ahora con una extensión de la propiedad distributiva. Para multiplicar dos paréntesis que contienenal menos un binomio cada uno, se multiplica el primer monomio del primer paréntesis por el primero del segundo, luego elprimer monomio del primer paréntesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el tercero del segundo, y asísucesivamente, y todos los resultados van sumados o restados entre sí, según su signo. Al terminar esta serie, se repite de igualmodo para el segundo monomio del primer paréntesis, luego para el tercero, etc. (Regla 14). Siempre hay que tener en cuentalos signos de cada monomio. Si se están multiplicando tres paréntesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya queel orden de los factores no altera el producto –propiedad conmutativa–) y al resultado se le multiplica el tercer paréntesis. Conun ejemplo lo entenderemos mejor:

Ý?2a + 5 + 7bÞÝ?a + b ? 4c ? 1Þ = 2a2 ? 2ab + 8ac + 2a ? 5a + 5b ? 20c ? 5 ? 7ab + 7b2 ? 28bc ? 7b == 2a2 ? 9ab + 8ac ? 3a ? 2b ? 20c ? 5 + 7b2 ? 28bc

Ejercicios

512.- Ýa + 5ÞÝb + 7ÞÝc ? 1Þ ? 5abc ? 2a + 5b ? 35c + 35 = (Sol.: ? 4abc ? ab + 7ac ? 9a + 5bc)

513.- Ý2a + 4bÞ 2 = (Sol: 4a2 + 16ab + 16b2 )

514.- Ýa + bÞÝa ? bÞ = (Sol: a2 ? b2 )

515.- Ý?a ? b ? cÞÝ2 + 5b + 7aÞ ? 5ab = (Sol.: ? 7a2 ? 2a ? 17ab ? 7ac ? 5b2 ? 2c ? 5bc ? 2b)

516.- ?Ýa + 23 b ? cÞÝa + b

2 Þ + Ý5 ? aÞÝ5 ? bÞÝ?3aÞ = (Sol.: 14a2 ? 3a2 b + 836 ab + ac ? 75a + 1

2 bc ? 13 b2 )

¾ Factor comúnSacar factor común.es, en cierto modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva. Consiste en ver

qué factores son comunes a los monomios que forman un polinomio y extraer estos factores de cada monomio. Lo veremoscon un ejemplo:

Sacar factor común en: 5a2 + 25a ? 75a3 .

Aunque con un poco de práctica esta operación se llega a hacer de forma automática, el proceso requeriría unafactorización previa en factores primos: 5 6 a 6 a + 5 6 5 6 a ? 5 6 5 6 3 6 a 6 a 6 a. Puede comprobarse que lo común a los tresmonomios es 5 6 a. Estos factores se extraen, pues, de cada monomio, multiplicando a un paréntesis donde quedarán losfactores no extraídos, con sus signos (Regla 15):

5 6 a 6 Ýa + 5 ? 5 6 3 6 a 6 aÞ = 5aÝa + 5 + 15a2 Þ

[Si el resultado obtenido se opera, aplicando la propiedad distributiva, llegaremos de nuevo a la expresión original,5a2 + 25a ? 75a3 ; por eso la operación de sacar factor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedaddistributiva.]

Otros ejemplos: sacar factor común en las siguientes expresiones:

6ab + 12b2 + 12c (Sol.: 6bÝa + 2bÞ + 12c ) (en el tercer monomio no se ha podido sacar nada; por tanto, se deja talcomo está)

ab + b2 + a2 (Sol.: aÝb + aÞ + b2 ) (en este caso también podríamos haber sacado factor común b, y habríaquedado bÝa + bÞ + a2 )

A veces puede ser útil (o, simplemente, nos lo pueden exigir en un problema) sacar determinado factor común aunqueaparentemente no lo sea. Por ejemplo, sacar factor común 12x en la siguiente expresión:

7x + x2 ? 6 Sol.: 12xÝ 712 + 1

12 xÞ ? 6 En estos casos hay que trabajar un poco por tanteo, y siempre comprobar si lohemos hecho bien aplicando la propiedad distributiva al resultado para ver si nos da la expresión original (Regla 16).

517.- a) Sacar factor común 17x en la siguiente expresión: 34x2 ? 17x3 (Sol.: 17xÝ2x ? 1

3 )

b) Sacar factor común 17 en la misma expresión (Sol.: 17Ý2x2 ? 13 x)

518.- Sacar factor común todo lo posible en la expresión: 2a2 b ? 16a3 b ? 6a4 b4 (Sol.: 2a2 bÝ1 ? 8a ? 3a2 b3 Þ )

519.- Sacar factor común 2z en la siguiente expresión: 3z2 ? z 2 + 4z 3 (Sol.: 2zÝ 3

4 ? z2 + 2z 2 Þ )


520.- Sacar factor común ? 2 en ?2a ? 3b + 4c (Sol.: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ ; la comprobación de que está bien se tiene, de

nuevo, al efectuar la operación inversa: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ = ?2a ? 3b + 4c ).

¾ Potencias y raícesLa mayoría de las propiedades de las potencias y raíces se deducen entendiendo bien el concepto de potencia ydos reglas que veremos más abajo

7Multiplicación y división

¾ La regla principal a tener clara es el concepto de potencia, es decir, entender que a3 significa a 6 a 6 a y queb5 = b 6 b 6 b 6 b 6 b.

De aquí se deducen reglas como la del producto de potencia: am 6 an = am+n . (Regla 17). Un ejemplo:a4 6 a5 = a4+5 = a9 porque: a4 6 a5 = Ýa 6 a 6 a 6 aÞ 6 Ýa 6 a 6 a 6 a 6 aÞ = a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a = a9 .

Debe tenerse en cuenta que sólo se pueden multiplicar potencias con la misma base, como en el ejemplo anterior; esdecir, no cabe hacer ninguna operación en a2 6 b6 excepto si el exponente es el mismo; así, cabe efectuar por ejemplo:53 6 63 = 5 6 6 3 = 303 [y en general: a c 6 b c = ab c (expresión en la que el paréntesis es imprescindible para noconfundir con ab c ; en esta última, el exponente sólo afecta a b)].

La división se hace de la siguiente manera: am

an = am?n (Regla 18). Veamos un ejemplo: a7

a3 = a4 . La razón podemosentenderla de nuevo si aplicamos el concepto de potencia: a7

a3 = a6a6a6a6a6a6aa6a6a = a 6 a 6 a 6 a = a4 .

_____________________

[Lo que hemos hecho es lo siguiente: hemos cancelado tres de los factores a de arriba con tres de los de abajo; esto sepuede hacer en una fracción siempre que los factores estén multiplicando a los demás, nunca si están sumando o restando(por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+b+c

a a pesar de que el factor a está arriba y abajo. Siempre que surjan dudascon esto conviene recurrir a un ejemplo semejante en el que sustituyamos las letras por números. Por ejemplo, en laexpresión a6a6a6a6a6a6a

a6a6a sustituyamos cada a por un 2: y operemos directamente arriba y abajo: 262626262626226262 = 128

8 = 16, perocomo 16 = 24 queda demostrado que a6a6a6a6a6a6a

a6a6a es a4 . Ahora, sustituyamos letras por números en a+b+ca , haciendo por

ejemplo la a igual a 2 , b = 5 y c = 6 Con estas sustituciones veremos que a+b+ca no puede ser igual a b + c porque

2+5+62 no es igual a 5 + 6 (= 11), sino a 13

2 , pues 2 + 5 + 6 = 13 . También cabe aplicar cancelaciones en expresiones comob2

b5 = b6bb6b6b6b6b = 1

b6b6b = 1b3 . En casos como éste en que la potencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el

numerador un 1. Para entenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión b2

b5 hacemosb = 2, es decir: 22

25 = 432 = 1

8 (la última operación ha sido una simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4).Pero como 8 = 23 , escribir 1

8 es como si hubiéramos escrito 123 , lo que confirma que b2

b5 = 1b3 .

______________________

521.- Efectuar las siguientes operaciones aplicando las reglas de multiplicación y división de potencias: a) 23 6 22 (Sol.:25 ); b) 23622

24 (Sol.: 2); a) a36a2

a5 (Sol.: 1); c) a3 6 b2 6 a (Sol.: a4 b2 ; en este caso y otros en el que hay potencias de distintabase se multiplican entre sí sólo las que tienen la misma base); d) a4b2c

ac (Sol.: a3 b2 ); e) 2abc8a2b2c2 (Sol.: 1

4abc ).

7a ?1= 1a

Si al operar b2

b5 hubiéramos seguido estrictamente la regla de la división de potencias dada más arriba, habríamosllegado a la expresión b?3 , mientras que por el método de ir cancelando hemos llegado a 1

b3 . ¿Por qué resultadosdiferentes? Porque no son diferentes. Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resultados deben ser iguales. Es decir, queb?3 = 1

b3 . Esto es importantísimo y debe tenerse muy en cuenta, porque este tipo de potencias negativas aparece muy amenudo. En general, se puede decir que a?1 = 1

a , o, lo que es lo mismo: 1a = a?1 (Regla 19).

Dicho de otro modo: siempre que encontremos una potencia con exponente negativo podemos transformarla en unafracción con un 1 en el numerador y la misma potencia pero con exponente positivo en el denominador (y también vale loinverso a esto). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse otros cambios de lugar de la potencia (y, por tanto, de signo delexponente). Por ejemplo, una potencia con exponente positivo se puede transformar en una fracción con un 1 en elnumerador y la misma potencia con exponente negativo en el denominador.

Dicho de otro modo y generalizando: una potencia puede cambiarse de lugar en numerador y denominador con sólocambiar el signo del exponente. Así, las expresiones siguientes: 1

2 , 12a2 , ? 3

b , y ab , pueden transformarse, respectivamente, en

2?1 , 2a2 ?1 , ?3b?1 y ab?1 (nótese que en la segunda expresión el exponente ?1 afecta tanto al 2 como al a2 , pues elparéntesis así lo indica, pero en la tercera y cuarta el exponente ?1 sólo afecta a la b).

Una expresión como a2cb3 puede transformarse de muchas formas, como: a2 cb?3 , a2

c?1b3 , 1a?2c?1b3 o b?3

a?2c?1 . Porsupuesto, cualquiera de estas transformaciones sólo se llevan a cabo cuando conviene a la hora de simplificar la resolución deun ejercicio. Y una llamada de atención: no se pueden hacer estas transformaciones de este tipo: 1

a2+ben b?1

a2 (y sí en1

a26b= b?1

a2 ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a factores (que multiplican o dividen), no amonomios que suman o restan o, en general, a sumandos..

Sabiendo esto, una división de potencias siempre se puede resolver transformándola en una multiplicación. Así por


ejemplo, a4

a = a4 a?1 , que, siguiendo la regla de la multiplicación, conduce a: a4+Ý?1Þ = a3 , resultado idéntico al quehabríamos llegado aplicando la regla de la división.

522.- Simplificar, dejando el resultado en el denominador y luego en el numerador: 2abcd2

16b2d4 (Sol: 18a?1bc?1d2 y

8?1 ab?1 cd?2 )

7Potencia de potencias

Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes. Es decir: am n = am6n .(Regla 20). Vayamos aun ejemplo:

Resolver 32 3 . (Sol.: = 36 , lo que podemos demostrar desarrollando las potencias:32 3 = 32 6 32 6 32 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 36 . )

523.- Efectuar y simplificar Ýa?3Þ2

Ýa2Þ?3 (Sol.: 1)

7Potencia de un producto y una suma

La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos factores. Es decir:ÝabcÞm = ambmcm .

524.- Efectuar Ý4a2 b?1 Þ ?2 (Sol.: b2

16a4 )

525.- Efectuar a2b4

2 (Sol.: a4b2

16 )

La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede calcularconvirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo): a + b 3 = a + b a + b a + b , que se resuelvemultiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por el tercero.

526.- Efectuar 3 ? a 2 (Sol.: 9 ? 6a + a2 )

527.- Efectuar Ý?1 ? a2 + bÞ 3 (Sol.: ? a6 ? 3a4 + 3a4 b + 6a2 b ? 3a2 ? 3a2 b2 + b3 ? 3b2 + 3b ? 1 )

7Propiedades de las raíces

La principal propiedad de una raíz tipo m an es que se puede transformar en a nm . (Regla 21). Por ejemplo,

3 a3 = a 33 = a1 .

Hecho esto la raíz se puede tratar como una potencia, y esa es la manera más segura de operar con raíces complicadas.Por ejemplo, efectuar: 2 a5 6 3 a2 (Sol.: a 5

2 6 a 23 = a 19

6 = 6 a19 ; y recordar que para multiplicar ambas potenciasdebe dejarse la misma base y sumar los exponentes).

Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por ejemplo, 2 a5 + 3 a2 ,aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias; sólo en casos en que se trate con raíces deigual índice e igual radicando, como por ejemplo 2 3 + 5 3 , se puede hacer la suma (= 7 3 )]. Es decir, la suma de dos raícesno es la suma de las raíces de los sumandos.

Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces: abc = a b c (Regla 22).

A veces es conveniente ”sacar todo lo que se pueda de una raíz”. Por ejemplo, en a5 b se puede sacar algo, ya quea5 b = a5 b = a2 a2 a b = a2 a2 a b (hasta aquí hemos aplicado dos veces la Regla 22) y esto último se puede

simplificar hasta: aa a b = a2 a b .

Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por ejemplo: 5 a 3= 5 a3

528.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz 16a2b6

bc (Sol.: 4ab2 bc

529.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz 2 3a 32

(Sol.: 27a3 ; lo mejor es hacerlo

así: 2 3a 32= 3a 3

22= 3a 3 = 33 a3 = 27a3 )

7Racionalización

Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un denominador (como en la solución del ejercicio 28) esconveniente ”racionalizar”, es decir, eliminar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se multiplican numerador ydenominador de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que se multiplique arriba y abajo por elmismo factor el valor de ésta no cambia, aunque presente formalmente otro aspecto).

Ejemplo: racionalizar 2c (Sol.: 2

c = 2 cc c = 2 c

Ý c Þ2 = 2 cc2 = 2 c

c )

Si la raíz es de otro grado (cúbica, cuarta, etc...) se multiplica arriba y abajo por la misma raíz elevada a un grado menos.

Ejemplo: racionalizar 23 c (Sol.: 2

3 c = 2Ý3 c Þ2

3 c Ý3 c Þ2 = 2Ý3 c Þ2

Ý3 c Þ3 = 2Ý3 c Þ2

c = 23 c2

c )

Si en el denominador hay una suma, se multiplica arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por el mismomonomio pero con el signo central cambiado). Por ejemplo, racionalicar 2

?3? b : 2?3? b = 2Ý?3+ b Þ

Ý?3? b ÞÝ?3+ b Þ= ?6+2 b

9?b


530.- Racionalizar 23 3 (Sol.: 1

3 2 3 32 ) y 33 ? 2 (Sol.: 3 3 + 3 2 )

¾ Consejos para evitar errores típicos7¡Cuidado con el uso de los paréntesis!

Hay que ser rigurosos con el uso de los paréntesis. Éstos se usan para indicar prioridad o para agrupar una serie detérminos indicando así que están sometidos a la misma operación. Cuando no son estrictamente indispensables no se ponen (yexisten unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertasopreaciones hay que tenerlos en cuenta. Por ejemplo, es un error común no tener en cuenta que el numerador de unafracción va entre paréntesis, aunque no se indique, operando (mal) como sigue (se trata de una suma de fracciones, dondeaplicamos las Regla 12 vista antes):

? 2+3a5 + a

10 = 26Ý?2Þ+263a+a10 = ?4+7a

10

El error está en no haber considerado que el signo ? antes de la fracción afecta a odo el numerador, pues éste es unparéntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:

? 2+3a5 + a

10 = ?4?6a+a10 = ?4?5a

10

En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Porejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio:

?Ý2+3aÞ5 + a

10

7La propiedad distributiva en la división

En ocasiones, para simplificar, es útil aplicar la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la de lamultiplicación. Así, del mismo modo que efectuamos 2Ý3 + 2aÞ = 6 + 4a, también puede hacerse lo siguiente: 9?3a

3 = 3 ? a(otra opción es casar factor común 3 arriba primero y luego cancelarlo con el del denominador).

7Las fracciones admiten múltiples formas

Una fracción se puede escribir de muchas formas, y eso hay que tenerlo en cuenta. Por ejemplo, todas las formassiguientes de la fracción 2ab

cd son equivalentes:2abcd ¯ 2 ab

cd ¯ a 2bcd ¯ ab 2

cd ¯ 2ab 1c

1d ¯ 2ab 1

cd etc.

Del mismo modo, un signo ? delante de una fracción afecta al numerador o al denominador (no a los dos al mismotiempo: si se aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al otro; normalmente se hace en el numerador). Por ejemplo, sonequivalentes las siguientes expresiones:

? a+b3?c ¯ ?Ýa+bÞ

3?a ¯ a+b?Ý3?aÞ

A su vez, la segunda expresión anterior es equivalente a: ?a?b3?a , y la tercera, a: a+b

?3+a .En la segunda y tercera fraccioneshemos tenido que escribir paréntesis porque el signo afecta a todo el numerador o denominador. En la primera no se escribepor convenio.

Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: 5?a?2?b y queremos cambiar

esta fracción, por motivos de operatividad, de modo que el signo vaya en medio. No puede hacer así: 5?a?2?b ¯ ? 5?a

2?b , ya que elsigno menos que lleva el 2 sólo le afecta a él, tal como nos lo han indicado (si sería correcto lo siguiente: 5?a

?Ý2?bÞ¯ ? 5?a

2?b ). Peroes fácil ver que ?2 ? b ¯ ?Ý2 + bÞ. Ahora el signo ? ya afecta a todo el numerador y se puede hacer la transformación: :

5?a?Ý2+bÞ

¯ ? 5?a2+b

Todo esto es útil en algunos casos en que entendemos mejor la operación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplo,una resta de fracciones la podemos transformar en una suma:

23 ? 4a

5 ¯ 23 + ?4a

5 = 562+3Ý?4aÞ15 = 10?12a

15

7Que no vayan un signo menos y uno de multiplicación seguidos

Si nos dicen: ”multiplicar 3 por ?3a + 2” no escribamos 3 6 ?3a + 2, en primer lugar porque ello lleva a confusiones, yen segundo porque 3 debe multiplicar a todo ?3a + 2, según se desprende del enunciado. La forma correcta de escribirlo es3 6 ?3a + 2 , (el punto se puede omitir), y la de efectuarlo es: 3 6 ?3a + 2 = ?9a + 6

7Cambiar el signo un producto y una suma

Si nos dan una multiplicación de factores y nos piden cambiarle el signo, basta cambiar el signo de todo el conjunto. Porejemplo, si nos dicen ”cambiar el signo de 2ab” la solución es ?2ab (y no ?2 Ý?aÞ ?b ni nada parecido. En realidad.cambiar el signo es multuplicar por ?1 .


Un producto de factores con signo ? admite, por otra parte, múltiples formas. Así, ?5a2 b se puede escribir, además:5 ?a2 b o 5 ?a2 b, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escritonos habría quedado 5 ? a2 b, que es un binomio (formado en este caso por los monomios 5 y ?a2 b), mientras que 5 ?a2 bes en realidad un monomio.]

Esto en cuanto a la multiplicación (y división). En sumas y restas se opera de forma distinta. Sea el siguiente trinomio:3 + 5a ? b al que nos piden que le cambiemos el signo. Multiplicamos para ello por ?1, y eso implica multiplicar por ?1cada uno de los monomios: ?1 3 + 5a ? b = ?3 ? 5a + b (en la práctica basta cambiar el signo de cada uno de lossumandos o monomios). En el caso siguiente: 3 + 5Ýa + 1Þ ? b se opera igual: se cambia el signo de cada sumando, pero hayque entender que 5Ýa + 1Þ es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues, ?3 ? 5Ýa + 1Þ + b y no?3 ? 5Ýa ? 1Þ + b [Si previamente hubiéramos convertido 3 + 5Ýa + 1Þ ? b en 8 + 5a ? b por resolución del paréntesis yhubiéramos cambiado de signo la expresión resultante, habríamos obtenido ?8 ? 5a + b, lo mismo que al desarrollar?3 ? 5Ýa + 1Þ + b. Esto justifica la norma que hemos indicado.]


Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y realesDivisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, intervalos,

ecuaciones e inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas yexponenciales

7Números¾ Tipos de números

ç Naturales (N): 1, 2, 3, 4, 5, 6...

ç Enteros (Z): todos los naturales, y además, los del tipo ?4, 0,?7...

ç Racionales (Q): todos los naturales y enteros, y además, los del tipo 13 , 31

7 ,? 49 ,? 5

81 ...

ç Reales (R): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del tipo 3.å3..., 2, ^... (los dos últimos se llaman

irracionales: tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente y no pueden convertirse en una fracción; encambio, el 3.

å3 es equivalente a la fracción 10

3 , y por eso se dice que es racional).

¾ Números primos

Son aquellos que sólo son divisibles (es decir, la división da un número entero) por sí mismos y por 1. Por ejemplo, 5 esprimo, porque sólo es divisible por 5 y por 1, pero 6 no lo es, pues es divisible, además de por 6 y por 1, por 2 y por 3.

¾ Factorización en primos

Llamaremos así a la operación de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, se empiezatratando de dividir el número por 2; si da un resultado entero, se divide de nuevo por 2, y así hasta que sea posible; luego setrata de dividir por 3 todas las veces posibles, luego por 5, 7, 11, 13, 17... (en general, por todos los primos). Al final, si elnúmero no es divisible por nada más (es decir, es primo), lo dividiremos por sí mismo.

Como ejemplo factorizaremos el número 5544; el resultado es 23 × 32 × 7 × 11, donde expresamos con las potencias elnúmero de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el 2 aparece tres veces)

¾ Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)

Para hallar el mcd de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menorexponente que tengan.

Para hallar el mcm de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comuneselevados al mayor exponente..

5Ejemplo 1. Calcular el mcd y el mcm de los números: 3153150 y 3900. Primero los factorizamos:

3153150 = 2 × 32 × 52 × 72 × 11 × 13 3900 = 22 × 3 × 52 × 13

mcdÝ3153150, 3900Þ =2 × 3 × 52 × 13 = 1950

mcmÝ3153150, 3900Þ =22 × 32 × 52 × 72 × 11 × 13 = 6306300

El mcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de 3153150 y 3900 (cuandodecimos que es divisor se debe entender, evidentemente, que la división da un número entero); ese número es 1950. Y elmcm es el número más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo de 3153150 y 3900 , siendo ese número 6306300(compruébese que es divisible por 3153150 y 3900).

¾ Operaciones con enteros

ç Se llama valor absoluto de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera.El valor absoluto se expresa entre barras. Así, el valor absoluto de ? 3 se expresa |?3| y es 3. También es cierto que|+5| = 5.

çEn adelante, considérese sumar y restar como la misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primeroel negativo del segundo. Por ejemplo: 5 ? 3 = 5 + Ý?3Þ

çPara sumar dos enteros con el mismo signo se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo; para sumar dosenteros con distinto signo, se resta el valor absoluto del mayor menos el del menor y se deja el signo del mayor:

55 + 6 = 11

55 ? 6 = ?1

5 ?5 + 6 = 1

5 ?5 ? 6 = ?11

çPara facilitar las sumas (o restas) hágase uso, si es necesario, de propiedades de los números como la conmutativa (el


orden no importa) o asociativa (al sumar tres números se pueden sumar primero dos de ellos cualesquiera y al resultadosumarle el tercero). Por ejemplo:

5 ?15 + 21 = 21 ? 15 = 6 (obsérvese que es más fácil interpretar la segunda suma que la primera; no olvidar que cadanúmero debe ir con su signo)

5 ?5 + 8 ? 9 = Ý?5 + 8Þ ? 9 = Ý8 ? 5Þ ? 9 = 3 ? 9 = ?6

çUn signo + delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis dejando los signos que están dentro del paréntesis; unsigno ? ante un paréntesis cambia los signos que están dentro:

53 + Ý?8 + 7 ? 9Þ = 3 ? 8 + 7 ? 9 = ?7

53 ? Ý?8 + 7 ? 9Þ = 3 + 8 ? 7 + 9 = 13

Según eso se debe entender que podamos hacer las siguientes transformaciones si en algún momento nos conviene:

53 + 8 = 3 ? Ý?8Þ

52 ? 4 + 2 = 2 ? Ý4 ? 2Þ

53 + 8 ? 5 = 3 + Ý8 ? 5Þ = 3 ? Ý?8 + 5Þ

çPara la multiplicación y división de números con signos se emplean las siguientes reglas:

+ 6 + = + ? 6 ? = + + 6 ? = ? ? 6 + = ?

+ : + = + ?: ? = + +: ? = ? ?: + = ?

¾ Operaciones con fracciones

$Multiplicación: se multiplican los numeradores y los denominadores:23 × 3

4 × 25 = 12

60 = 15 (la última operación realizada es una simplificación de la fracción, algo que debe

hacerse (siempre que sea posible) dividiendo arriba y abajo por el mismo número hasta que no se puedan obtener númerosnaturales más pequeños)

$División: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el resultado es el numerador dela fracción final; el denominador de ésta es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda:

5 23 : 3

4 = 89 (irreducible)

$Suma y resta: se busca el mcm de los denominadores, y ese será el denominador de la fracción final; luego, cadanumerador de las fracciones que estamos sumando se multiplicará por el resultado de dividir el mcm por su denominador; lasuma o resta (según el signo) de estos productos será el numerador de la fracción final:

5 112 ? 2

8 + 724 ? 3 los cuatro denominadores son 12, 8, 24 y 1, siendo su mcm = 24; ese será el denominador de la

fracción final. Se divide a continuación 24 entre 12 (= 2) y se multiplica por 1 (que es el numerador de la primera fracción); sehace igual con las otras fracciones, respetando siempre los signos, y queda:

5 112 ? 2

8 + 724 ? 3

1 = 261?263+761?362424 = ? 23

8

¾ Prioridades a la hora de operar. Para operar en el numerador de la penúltima fracción del ejemplo anterior(2 6 1 ? 2 6 3 + 7 6 1 ? 3 6 24), se deben efectuar primero las multiplicaciones y luego las sumas; esa es una regla deprioridad. La prioridad principal la marca un paréntesis y, aunque no esté escrito, se entiende que en expresionescomo 4 + 2 6 6 el producto está dentro de un paréntesis (se dice que la multiplicación y la división unen, y la suma yla resta separan), por lo que el resultado es 16, no 36. Del mismo modo, en 4 + 6

2 el resultado es 7, no 5.

En general, no es fácil enunciar unas reglas de prioridad, que sólo se aprenden con la práctica. La principal es la yadicha: la máxima prioridad la marca un paréntesis, y cuando hay paréntesis anidados (unos dentro de otros), se deben resolverantes, si es posible, los más internos. El problema suele estribar en que normalmente en los enunciados de los ejercicios seprescinde de los paréntesis cuando no se consideran necesarios (siguiendo convenios universalmente aceptados). Variasnormas a tener en cuenta en este sentido son, entre otras:

1. un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis

2. el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van cada uno dentro de un paréntesis

3. la propia fracción va toda ella dentro de un paréntesis

4. una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis

5. los logaritmos y las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc) equivalen a paréntesis

6. se pueden operar dos paréntesis (por ejemplo, multiplicarlos) sin necesidad de resolver cada uno por separadopreviamente, pero para ello hay que aplicar ciertas reglas especiales según el caso (en algunas ocasiones, lapropiedad distributiva).

Ilustraremos estas reglas con algunos ejemplos:

5 2+5644 es como si se escribiera, combinando las reglas anteriores: Ý Ý2+Ý564ÞÞ

Ý4Þ Þ; efectuamos primero el paréntesis másinterno Ý5 6 4Þ, y luego sumamos 2, con lo que queda: 22

4 (habiendo suprimido al final paréntesis innecesarios).

5 2+56a4 este caso es casi como el anterior; ahora bien, 5 6 a no se puede simplificar más (en todo caso, se escribe más


simplemente como 5a), y tampoco sepuede sumar con 2. No obstante, se puede aplicar una ”regla especial”, la propiedaddistributiva de la divisón respecto a la suma (o resta). Así, Ý2+56aÞ

Ý4Þpuede resolverse como 2

4 + 5a4 . En general, la propiedad

distributiva mencionada puede expresarse como: a+bc = a

c + bc .

5Ý2 ? 5ÞÝ3 + 2Þ = ?15 (en este caso ya dan los paréntesis en el enunciado del ejercicio; todo lo que hay que hacer esresolver ambos previamente)

5Ý2 ? bÞÝ3 + aÞ no se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar 3 + a), pero se puede aplicar unaregla especial para operar con los paréntesis sin necesidad de resolverlos previamente: aplicar la propiedad distributiva de lamultiplicación respecto a la suma: Ý2 ? bÞÝ3 + aÞ = 6 + 2a ? 3b ? ba (en general: Ýa + bÞÝc + dÞ = ac + ad + bc + bd y

aÝb + cÞ = ab + ac, reglas en las que hay que tener en cuenta los signos de cada elemento).

5 2 + 5 es como si se hubiera escrito Ý2 + 5Þ , cuyo resultado es 7 (nótese que 2 + 5 no es igual a 2 + 5 )

5 2 6 5 es como si se hubiera escrito Ý4 6 9Þ , cuyo resultado es 36 = 6 (nótese que Ý4 6 9Þ es igual a4 6 9 = 2 6 3 = 6; es decir, la raíz de un producto (o cociente) es lo mismo que el producto (o cociente) de las raíces, pero la

raíz de una suma (o resta) no es lo mismo que la suma (o resta) de las raíces, como se vio en el anterior ejemplo.

5 2+63+1 es lo mismo que Ý2+6Þ

Ý3+1Þ= 8

4 = 2

53+1+ 8

45?763 es lo mismo que Ý3+1+Ý 8

4 ÞÞ

Ý5?Ý763ÞÞ= Ý3+1+2Þ

Ý5?21Þ= 6

?16 = ? 616 (nótese que el signo ? que estaba en el

denominador lo hemos puesto delante de la fracción; eso siempre es válido; es decir, es lo mismo escribir ?42 que ? 4

2 que4?2 )

5 2Ý3+5?aÞ2Ýa+1Þ es lo mismo que escribir Ý2Ý3+5?aÞÞ

Ý2Ýa+1ÞÞ= Ý2Ý8?aÞÞ

Ý2Ýa+1ÞÞ= Ý16?2aÞ

Ý2a+2Þ Como dentro de los paréntesis no se puedeoperar más, se deja así, aunque suprimiendo los ya innecesarios: 16?2a

2a+2 .

Cuando un numerador y un denominador contienen factores comunes que están (tanto en el numerador como en eldenominador) multiplicando a todo lo demás, pueden cancelarse.

Por ejemplo, eso ocurría en el anterior ejemplo cuando llegábamos a 2Ý8?aÞ2Ýa+1Þ ; vemos que arriba y abajo aparece el ”2”

multiplicando a todo lo demás; entonces, los cancelamos y queda: 8?aa+1 . (Puede resultar curioso que hayamos llegado a dos

resultados aparentemente distintos; en realidad son el mismo: 8?aa+1 es la misma fracción que 16?2a

2a+2 pero la primera estámás simplificada al haber dividido en la segunda cada monomio por 2).

Otros ejemplos:

5 26566263 = 566

3 = 53 6 6 = 5 6 6

3 [hemos escrito las dos últimas igualdades para indicar otra propiedad: es exactamente lomismo multiplicar primero 5 por 6 y luego dividir el resultado por 3 que dividir primero 5 entre 3 y multiplicar luego elresultado por 6 o que efectuar primero la división de 6 entre 3 y después multiplicar el resultado por 5 –compruébese–; engeneral, si hay sumas o restas eso no es posible].

5No cabe cancelar el ”2” en 265+3263 , ya que la expresión equivale a Ý265Þ+3

263 , lo que nos permite comprobar qu el ”2” delnumerador no multiplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 5.

7Ecuaciones¾ Intervalos

Los números reales pueden representarse por los infinitos puntos de una recta:

–,——,——,——,——,====,====,——,——,——,——,——,—==, ====,===–,–

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

La figura es el segmento de recta que va, aproximadamente, entre el número real ?7 y el 7 (sólo se han escrito losenteros, pero entre cada dos enteros hay infinitos números reales. Por ejemplo, entre el 3 y el 4 están el 3.5, el 3.23333,el número ^ o el 10 .

En matemáticas se considera ”mayor” (>) todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y es menor (<) siestá a la izquierda. Por ejemplo (mírese la recta y aplíquese lo dicho, teniendo en cuenta también el significado ordinario de”mayor” y ”menor”) cabe escribir:

2 > 1 (que es equivalente a escribir 1 < 2); 2 > ?2; 1 > ?100; ?2.44 < ?1.1789 0 > ?3

Los signos ² , ³ tienen el significado de ”menor o igual” y de ”mayor o igual”, respectivamente, y cabe escribir ?1 ² 05 ³ ? 49 3 ³ 3

En la figura, los segmentos destacados con trazo doble se llaman intervalos. El representado a la derecha puede escribirseß?3,?1à y lo leeremos ”intervalo cerrado entre ?3 y ?1” si queremos meter en él los infinitos números reales que hay entre ?3 y?1 incluidos el ?3 y el ?1 ; o puede escribirse Ý?3,?1Þ, y lo leeremos ”intervalo abierto entre ?3 y ?1”, si no se quiere incluir aninguno de los dos. Otras posibilidades son ß?3,?1Þ (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, qu incluye al ? 3 perono al ?1) y Ý?3,?1à. Estos dos últimos son intervalos semiabiertos. También cabe hablar de semirrectas abiertas y cerradas.Por ejemplo, todos los números mayores que 3 incluido el 3 constituyen la semirrecta cerrada x ³ 3.

Para decir que un número cualquiera x está dentro del intervalo ß?3,?1à escribiremos x 5 ß?3,?1à (se lee ”x pertenece alintervalo ß?3,?1à) o bien lo indicamos así: ?3 ² x ² ?1 (es equivalente escribir ?1 ³ x ³ ?3).

En la recta del dibujo, el intervalo marcado con doble trazo a la derecha quiere representar al ß4.6, 6.65à


¾ Potencias

La propiedad fundamental de las potencias es su propia definición. En este sentido, debe tenerse muy claro, por ejemplo,que 53 = 5 × 5 × 5, que a5 = a × a × a × a × a o que Ý5aÞ 2 = 5a × 5a.

Otra propiedad fundamental menos evidente es la de la potencia negativa: en general a?b = 1ab

Con estas dos es fácil deducir las demás:

& am × an = am+n (comprobación con números: 53 × 54 = Ý5 × 5 × 5Þ × Ý5 × 5 × 5 × 5Þ = 57 )

& am

an = am?n (comprobación con números: 25

23 = 2×2×2×2×22×2×2 = 2 × 2 = 22 )

& ÝamÞ n = am×n (comprobación con números: Ý25 Þ 2 = Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ × Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ = 210 )

Si las bases son distintas no se puede operar con ellas, excepto que sean iguales los exponentes:

& an × bn = ÝabÞ n (comprobación con números: 23 × 53 = Ý2 × 2 × 2Þ × Ý5 × 5 × 5Þ == Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ = Ý2 × 5Þ 3 )

& an

bn = Ý ab Þ

n (comprobarlo con números)

También deben tenerse en cuenta todas las propiedades señaladas ”al revés”; por ejemplo, que ÝabÞ n = an × bn oque am?n = am

an .

A veces, al operar con potencias aparece una expresión del tipo a0 ; debe saberse que cualquier número elevado a 0 esigual a 1 (ya que an

an es 1 , pero también es igual a a0 por la regla de la división de potencias).

¾ Raíces

La propiedad principal de las raíces es que se pueden expresar como potencias de la siguiente forma:m an = a n

m

Aunque esa potencia tenga un exponente fraccionario, a ella se le pueden aplicar todas las propiedades vistas antes.Ejemplos:

5 3 45 ×6 42

6 28 = 3 45 ×6 42

6 44 = 453×4

26

446

= 4 53 + 2

6 ? 46 = 4 4

3 = Ý22 Þ43 = 2 8

3 = 3 28 = 3 23 × 23 × 22 = = 2 × 2 × 3 22 = 43 4

En este ejercicio se han hecho a propósito distintas manipulaciones para mostrar cómo se pueden tratar raíces. Porejemplo, al empezar el ejercicio se sustituyó 6 28 por 6 44 ; debe constatarse que la sustitución es perfectamente válida,pues 4 = 22 ; y debe comprenderse que el cambio se ha hecho para procurar que todos los radicandos contuvieran el 4 . Otraoperación interesante es 3 28 = 2 × 2 × 3 22 ; ésta es una operación típica de simplificación de raíces. Se trata de ”sacar todo loposible de la raíz”. Para ello se empieza por convertir el radicando en un producto de factores de potencias cuyo exponentecoincida con el índice de la raíz, para luego sacarlas fuera, como se puede apreciar en ese nuevo ejemplo:

5 38 = 5 35 × 33 = 5 35 × 5 33 = 35 33 .

Hemos aplicado ahí la propiedad de las raíces consistente enm a × b = m a × m b [demostración: m a × b = Ýa × bÞ 1

m = a 1m × b 1

m = m a × m b ]

Otra propiedad interesante es:

Ým aÞ n = m an [demostración: Ým aÞ n = Ýa 1m Þ n = a 1

m ×n = a nm = m an (otra demostración diferente para el caso particular de

Ý4 5Þ 3 es: Ý4 5Þ 3 = Ý4 5Þ × Ý4 5Þ × Ý4 5Þ = 5 14 × 5 1

4 × 5 14 = 5 1

4 + 14 + 1

4 = 5 34 = 4 53 ]

8 En general, teniendo en cuenta el significado real de una potencia (por ejemplo, que : a3 = a × a × a), y laspropiedades: an = 1

a?n y m an = a nm podrían resolverse todos los problemas de raíces y potencias por lógica, sin

conocer ninguna regla más..

Una práctica común en matemáticas es eliminar raíces de los denominadores, lo que se llama ”racionalizar”; veremos doscasos:

a) en el denominador hay una raíz y nada más; entonces se multiplica numerador y denominador por esa raíz tantasveces como sea necesario para anularla (recordemos que si en una fracción numerador y denominador se multiplican ambospor la misma expresión, la fracción no cambia):

5 32 5 = 3

2 5 × 2 52 5 = 32 5

Ý2 5 Þ2 = 32 55

5 33 5 = 3

3 5 × 3 53 5 = 33 5

Ý3 5 Þ2 × 3 53 5 = 33 52

5

b) en el denominador hay una expresión del tipo a + b o a + b o a + b ; entonces se multiplica numerador ydenominador por el conjugado del denominador, siendo los conjugados de las expresiones escritas anteriormente esasmismas expresiones pero con el signo central cambiado:

5 3? 2 ? 3 = 3×Ý? 2 + 3 Þ

Ý? 2 ? 3 Þ×Ý? 2 + 3 Þ= ?3 2 +3 3

2?3 = 3 2 ? 3 3

¾ Ecuaciones simples


Una ecuación consta de dos miembros separados por un signo = ; resolver una ecuación de primer grado consiste endejar la incógnita sola en uno de los miembros. Para ello, se pasan todos los elementos que contengan la incógnita a unmismo miembro, y los demás al otro (para cambiar de miembro, lo que suma pasa restando, y al revés). Finalmente, el númeroque acompañe a la incógnita pasará al otro miembro dividiendo o multiplicando, según multiplicara o dividiera a la incógnita,respectivamente.

Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

52x = 6; x = 62 = 3

5 x3 = 7; x = 7 × 3 = 21 (el signo de multiplicación lo escribimos indistintamente × o 6 , pero en algunos casos ni

siquiera usaremos símbolo, como cuando escribimos 5x, que debe entenderse que quiere decir 5 6 x)

52x + 3 = 4; 2x = 4 ? 3; 2x = 1; x = 12

5 ?x + 3 = 4x ? 7; 3 + 7 = 4x + x; 10 = 5x; 105 = x; 2 = x

5 ? 32 ? 2x = ? x

2 aquí multiplicaremos por ?2 en ambos miembros en virtud de una propiedad de la siguiete propiedadde las ecuaciones: si se multiplica a ambos lados de la igualdad por un mismo número, la ecuación no varía (lo mismo pasa sidividimos por un número o sumamos o restamos un número o elevamos a un exponente ambos miembros completos). Almultilplicar por ?2 conseguiremos quitar los signos negativos y, lo que es más importante, los denominadores de lasfracciones:

?2Ý? 32 ? 2xÞ = ?2Ý? x

2 Þ; 3 + 4x = x; 3 = ?3x; 3?3 = x; x = ?1

5 34 x ? 5

3 = 2x+14 ? x

5 + 3 en este caso, en que los denominadores no son iguales, para poder eliminarlos convienemultiplicar las cinco fracciones (la última es 3

1 ) por el mcm de los cinco denominadores, que es 60:

60 6 34 x ? 60 6 5

3 = 60 6 2x+14 ? 60 6 x

5 + 60 6 3 La propiedad asociativa de la multiplicación y la división nos dice que paramultiplicar 60 6 3

4 es lo mismo multiplicar primero 60 6 3 y dividir el resultado por 4 que dividir primero 60 entre 4 ymultiplicar el resultado por 3. Pues bien, en estos casos siempre haremos primero la división. Al final nos quedará siempre unaigualdad sin denominadores. En este caso es:

15 6 3x ? 20 6 5 = 15 6 Ý2x + 1Þ ? 12 6 x + 60 6 3

Simplificando:

45x ? 100 = 30x + 15 ? 12x + 180;

45x ? 30x + 12x = 100 + 15 + 180; 27x = 295; x = 29527

Para resolver una ecuación ecuación quitar primero los denominadores(multiplicando todos los sumandos por el mcm);luego efectuar los paréntesis que sea posible; finalmente, pasar a un lado todos los monomios que contengan la incógnita, yal otro los que no (recordando que al cambiar de miembro un monomio hay que cambiar su signo; finalmente, todo lo quemultiplique a la incógnita debe pasar al otro miembro dividiendo (pero manteniendo su signo + o ?) y todo lo que estédividiendo a la x debe pasar al otro miembro multiplicando (pero sin cambiarle el signo que tuviera).

¾ La prueba de una ecuación

La solución de toda ecuación debe probarse. Para ello basta sustituir la solución en la ecuación original y ver si la satisface.En el caso anterior:

34

29527 ? 5

3 =2 295

27 +14 ?

295275 + 3 Operando a ambos lados de la igualdad se llega al mismo valor:

23536 = 235

36 lo que demuestra que la ecuación está bien resuelta.

¾ Inecuaciones simples

Formalmente, la única diferencia entre una inecuación simple y una ecuación es que en la segunda, en vez del símbolo= figura alguno de los siguientes, llamados de desigualdad: > , < , ³ , ² . Las reglas son prácticamente las mismas quepara las ecuaciones, pero ha de tenerse en cuenta que si se multiplican ambos miembros por un número negativo cambia elsentido de la desigualdad. Veamos un ejemplo:

5 ?x2 + 3 ³ 4; En esta ecuación, para quitar fracciones y que al mismo tiempo la x quede positiva es conveniente

multiplicar a ambos lados de la desigualdad por ? 2; pues bien, como estamos multiplicando por un número negativo hayque invertir la desigualdad, cambiando ³ por ² :

x ? 6 ² ?8; x ² ?8 + 6; x ² ?2 La solución es, pues, ”todo número x menor o igual ?2”

¾ Ecuaciones de segundo grado

Son del tipo ax2 + bx + c = 0; Tienen dos soluciones, que son:

x = ?b + b2 ? 4ac2a

x = ?b ? b2 ? 4ac2a

lo que se resume habitualmente con x = ?b± b2?4ac2a


5Resolver: 2x2 ? x = 10,

Se escribe la ecuación de manera que tenga la forma ax2 + bx + c = 0 y luego se aplica la fórmula indicada:2x2 ? x ? 10 = 0

x = ?b± b2?4ac2a = ?Ý?1Þ± Ý?1Þ2?4626Ý?10Þ

262 = 1± 1+804 = 1±9

4 ; Las dos soluciones se obtienen tomando primero el signo + y luegoel ? de esa expresión; así:

x1 = 1+94 = 5

2 x2 = 1?94 = ?2

Como dijimos antes, los resultados de una ecuación de cualquier tipo siempre pueden y deben comprobarse; para ellosustituimos los valores obtenidos para x en la ecuación original y comprobamos si la igualdad se cumple. Por ejemplo, parax = ?2 :

2Ý?2Þ 2 ? Ý?2Þ = 10; 2 6 4 + 2 = 10; 10 = 10 luego ?2 es una solución válida para x; comprobarlo para 52 .

5Resolver: 2x4 ? x2 = 10 Ecuaciones como la anterior, que sólo contienen potencias cuarta y segunda de x se llamanbicuadradas. Se solucionan haciendo x2 = m y sustituyendo en la ecuación original, que quedará de segundo grado en m :2m2 ? m = 10; las soluciones son m = ?2 y m = 5

2 . Como x = ± m las soluciones de x serán, evidentemente:x = 5

2 , x = ? 52 , x = ?2 y x = ? ?2 (estas dos últimas soluciones son complejas, lo que explicaremos más adelante, en

el capítulo correspondiente).

¾ Logaritmos

log b n

La expresión anterior se lee ”logaritmo en base b de n”. Su solución es un número l que cumple:

n = b l

Por ejemplo: log 10 1000 = 3 porque 1000 = 103

log 9 81 = 2 porque 81 = 92

log 3 27 = 3 porque 27 = 33

Existe también la operación llamada ”antilogaritmo”, que es la inversa. Así, el antilogaritmo de 3 en base 10 es 103 = 1000.

Los logaritmos tienen tres propiedades muy útiles:

1logmn = n logm

1logÝm 6 nÞ = logm + logn

1logÝ mn Þ = logm ? logn

Estas reglas permiten averiguar logaritmos de ciertos números conocidos los de otros:

5Calcular log 10 16 sabiendo que log 10 2 p 0.3 .

log 10 16 = log 10 24 = 4log 10 2 u 1.2

5Supóngase que se conocen los valores de log 2 3 y de log 2 5 ; ¿cuál es el log 2 75 en función de log 2 3 y log 2 5?

log 2 75 = log 2 52 6 3 = log 2 52 + log 2 3 = 2log 2 5 + log 2 3

7En ciertas ecuaciones aparecen logaritmos. Se resuelven aplicando las dos propiedades vistas y, si al final una expresióndel tipo loga = logb de ahí se deduce que a = b suprimiendo los logaritmos (¡atención!: no se pueden suprimir enexpresiones como ésta: loga + logb = logc salvo que los dos primeros los agrupemos previamente, según una de laspropiedades vistas: log ab = logc )

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas teniendo en cuenta todo lo dicho:

5log 2 x + log 2 2x = 3 ; log 2 Ýx 6 2xÞ = 3 ; log 2 2x2 = 3 ; 2x2 = 23 (aquí hemos aplicado el antilogaritmo, es decir, silog b n = l eso implica que n = b l ); x2 = 22 ; x = 2

5log 10 x ? log 10 100 = 1; log 10x

100 = 1; x100 = 101 ; x = 1000

53log 10 2x = 2log 10 x; log 10 Ý2xÞ 3 = log 10 x2 ; como ambos miembros completos están afectados de la operación log,podemos suprimirla: 8x3 = x2 ; y dividiendo ambos miembros por x2 : 8x = 1; x = 1

8 .

7En ciertas ecuaciones en que la incógnita figura como exponente en una potencia a veces hay que recurrir a loslogaritmos para solucionarlas. Estas ecuaciones se llaman exponenciales. Veremos un ejemplo:

525 x ? 5 x = 2

Ésta se puede solucionar así: Ý52 Þ x ? 5 x = 2; 52x ? 5 x = 2; Ý5 xÞ 2 ? 5 x = 2;

ahora se hace 5 x = m y queda: m2 ? m ? 2 = 0, cuyas soluciones son m = ?1 y m = 2; por tanto 5 x = ?1 y5 x = 2. Tomamos logaritmos en la segunda igualdad: log5 x = log2; xlog5 = log2; x = log 2

log 5 (también debería tomarselogaritmo en la primera igualdad, pero en este caso no encontramos una solución porque la expresión logÝ?1Þ no tiene sentido:ni el logaritmo de un número negativo ni el de 0 está definido en el campo de los números reales. Por otro lado, el log1 encualquier base es 0.


Hay un tipo particular de logaritmo llamado neperiano. Sus propiedades son idénticas a las anteriores; su característicadiferencial es que su base es el llamdo número e (número irracional cuyas primeras cifras son 2.71828).


Temas 3 y 4: Conjuntos, CombinatoriaElementos de la teoría de conjuntos, aplicaciones y funciones, composición de funciones, funciones inversas;

Variaciones, permutaciones y combinaciones

7ConjuntosUn conjunto es una colección de elementos. Por ejemplo, V = a, e, i, o, u es el conjunto de las letras vocales. Los

nombres de los elementos se escriben con minúsculas y entre llaves; los nombres de los conjuntos se escriben conmayúsculas.

Dos operaciones con conjuntos que nos interesan ahora son la unión (W) y la intersección (V). Supongamos el conjunto delas diez primeras letras del alfabeto, D = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j , y el conjunto de las vocales V = a, e, i, o, u .

La unión de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo A) cuyos elementos son los que están en V oen D, indistintamente. Hay que entender qué queremos decir con la expresión ”o...indistintamente”. Podemos escribirA = V W D = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u . El elemento b, por ejemplo, es un elemento del conjunto unión de V con D (conjuntoque hemos llamado A) porque pertenece a V o a D, indistintamente (compruébese que en este caso pertenece a D, lo que sepuede escribir simbólicamente: b 5 D, siendo 5 un símbolo de la teoría de conjuntos que significa ”pertenece a”); a es tambiénun elemento del conjunto A porque está en V o en D, indistintamente (en este caso está en los dos, es decir, a 5 V, a 5 D ,pero no es una condición imprescindible: basta que esté en uno de ellos, indistintamente). En la práctica, la operación uniónse lleva a cabo tomando todos los elementos de ambos conjuntos, teniendo en cuenta que si algún elemento está en ambossólo se escribe una vez en el conjunto unión.

La intersección de V con D es un nuevo conjunto (que llamaremos en este ejemplo I) cuyos elementos son los que estánen V y en D, simultáneamente. Podemos escribir I = V V D = a, e, i El elemento a, por ejemplo, se dice que es unelemento del conjunto intersección de V con D (conjunto al cual llamamos I) porque pertenece a V y a D, simultáneamente(compruébese). En la práctica, la operación intersección se hace tomando sólo los elementos que se repiten en los conjuntosque se están intersectando.

Ejemplos. (Tratar de resolverlos antes de mirar la solución)

5 1, 2, 3 W a, b, c = 1, 2, 3, a, b, c

5 1, 2, 3 W 3, 5 W 7 = 1, 2, 3, 5, 7

5 2,^, 3.9, r W a, b, c = ^, r, a, b, c, 3. 9, 2

5 1, 2, 3 V 2, 4, 6 = 2

5 a, b, c, d V d, e, f = d

5 1, 2, 3 V a, b, c = 2

En el último caso no hay elementos que estén simultáneamente en ambos conjuntos; se dice entonces que la intersecciónes el conjunto vacío, 2.

5 1, 2, 3, c V 2, 4, 6 W a, b, c = 2, c

5 1, 2, 3, c V 2, 4, 6 W 1, 2, 3, c V a, b, c = 2, c

En estos dos últimos casos debe empezar operándose lo que está dentro de paréntesis.

7Aplicaciones y funciones¾ Establecer una aplicación entre dos conjuntos es simplemente relacionar los elementos de uno de ellos con los del

otro. Cuando los elementos del conjunto son números, la aplicación se llama función.

La relación entre los elementos de un conjunto y los de otro puede expresarse a menudo simbólicamente. Por ejemplo,imaginemos los siguientes conjuntos:

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6... (es decir, todos los números naturales)

C = 1, 4, 9, 16, 25, 36...

Puede observarse que los elementos del conjunto C guardan una relación con los del N : los segundos son los cuadradosde los primeros (1 es el cuadrado de 1; 4 es el cuadrado de 2, etc) en el orden en que están escritos. Esto es una función, quepuede escribirse simbólicamente, en este ejemplo, así: fÝxÞ = x2 , donde x representa a los elementos del conjunto N (quese llama original) y fÝxÞ representa a los del conjunto C (que se llama final o imagen).

Comprobemos que la expresión simbólica fÝxÞ = x2 define perfectamente la relación, aplicación o función de nuestroejemplo. Sustituyendo x por un número (o sea, un elemento de N, en nuestro ejemplo) podemos conocer cuánto vale elelemento fÝxÞ del conjunto C que le corresponde. Por ejemplo, a x = 1 le corresponde: fÝxÞ = fÝ1Þ = 12 = 1.


5Dada la función fÝxÞ = x2 ; ¿cuánto valen fÝ2Þ, fÝ?2Þ y fÝ10Þ ?

fÝ2Þ = 22 = 4 fÝ?2Þ = Ý?2Þ 2 = 4 fÝ10Þ = 102 = 100

5Dada la función gÝxÞ = x3 ? 2 ; ¿cuánto valen gÝ3Þ, gÝ?3Þ y gÝ10Þ ? (Sol.: ?1, ?3 y 4

3 , respectivamente)

¾ Operaciones con funciones. Dos funciones se pueden sumar (+), restar (?), multiplicar (6), dividir (:) y componer (E),entre otras operaciones. También a menudo nos piden el cálculo de la función inversa de una función dada.Veamos estas operaciones (excepto la división) con algunos ejemplos.

Ejemplos. Sean fÝxÞ = x2 ? x y gÝxÞ = x2

3 + x ? 2. Efectuar:

5fÝxÞ + gÝxÞ = x2 ? x + x2

3 + x ? 2 = 43 x2 ? 2

5fÝxÞ ? gÝxÞ = x2 ? x ? Ý x2

3 + x ? 2Þ = 23 x2 ? 2x + 2

5fÝxÞ 6 gÝxÞ = Ýx2 ? xÞ 6 Ý x2

3 + x ? 2Þ = 13 x4 + 2

3 x3 ? 3x2 + 2x

5f E gÝxÞ ¯ f gÝxÞ = gÝxÞ 2 ? gÝxÞ = Ý x2

3 + x ? 2Þ 2 ? x2

3 + x ? 2 = 19 x4 + 2

3 x3 ? 23 x2 ? 3x + 2

5g E fÝxÞ ¯ g fÝxÞ = ßfÝxÞà2

3 + fÝxÞ ? 2 = Ýx2?xÞ2

3 + x2 ? x ? 2 = 13 x4 ? 2

3 x3 + 43 x2 ? x ? 2

Los dos últimos ejercicios trataban de componer funciones (E). Su significado es el siguiente. Por ejemplo, compongamosf E gÝxÞ, siendo fÝxÞ y gÝxÞ las funciones señaladas anteriormente. En primer lugar, escribir f E gÝxÞ es lo mismo que ponerfßgÝxÞà. Pero ¿cómo entender lo que quiere decir esta última expresión? Hay que admitir que si hemos escrito fÝxÞ = x2 ? x estoimplica que fÝ2Þ = 22 ? 2, o que fÝaÞ = a2 ? a, o que (llegando a un grado mayor de abstracción): fÝÂÞ = Â 2 ? Â. Por lotanto, y siguiendo el mismo método de construcción, fßgÝxÞà= ßgÝxÞà2 ? ßgÝxÞà, y ahora basta sustituir el valor de gÝxÞ.

Por otro lado, con estos dos ejercicios hemos comprobado que el resultado de f E gÝxÞ es distinto que el de g E fÝxÞ; sedice por ello que que la composición de funciones no tiene la propiedad conmutativa, es decir, el orden en que se escribanlas funciones influye normalmente en el resultado.

5Sean fÝxÞ = x2 ? x , gÝxÞ = x2

3 + x ? 2 y hÝxÞ = x + 1 ; efectuar f E g E hÝxÞ. Cuando hay que componer tres funciones seempieza con las dos últimas escritas: g E hÝxÞ ¯ gßhÝxÞà= Ýx+1Þ2

3 + x ? 2 = x2+5x?53 y esta función resultante, que podemos

llamar rÝxÞ se compone con fÝxÞ: f E rÝxÞ ¯ fßrÝxÞà = rÝxÞ 2 ? rÝxÞ = x2+5x?53

2 ? x2+5x?53 = x4+10x3+12x2?65x+40

9 .

5Dada la función fÝxÞ = 2x + 2, calcular su función inversa, f ?1 ÝxÞ. Para resolver este problema se iguala la expresión a v yse despeja x : 2x + 2 = v; 2x = v ? 2; x = v

2 ? 1 El segundo miembro de esta expresión, pero escribiendo x dondeaparezca v, es la función inversa de fÝxÞ, es decir: f ?1 ÝxÞ = x

2 ? 1 Las funciones inversas tienen una propiedad interesante,que es:

f E f ?1 ÝxÞ = f ?1 E fÝxÞ = x (compruébese para este caso concreto).

7CombinatoriaLos elementos de un conjunto se pueden agrupar entre sí formando distintos tipos de subconjuntos o formando distintos

tipos de ordenaciones. Por ejemplo, sea el conjunto de letras que forma la palabra ROMA, es decir: L = ár, o, m, aâ. Estascuatro letras se pueden ordenar de distintas formas para formar nuevas palabras: AMOR, RAMO, OMAR, RMAO, etc. Pues bien,el objeto de la combinatoria es contar subconjuntos u ordenaciones de este tipo.

Hay, básicamente, dos clases de problemas de combinatoria: los de variaciones y los de combinaciones. Para decidir dequé tipo es el problema hay que saber si los resultados son simples subconjuntos de un conjunto que nos dan o se trata deordenaciones diferentes de los elementos de ese conjunto.

¾ Variaciones (y permutaciones)

1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n de esos elementos(siendo n ² m) ¿De cuántas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden en que los vayamos tomando es unfactor importante, entonces se trata de un problema de variaciones, que se resuelve por la siguiente fórmula:

VÝm, nÞ = m!Ým?nÞ! siendo m! = m 6 m ? 1 6 m ? 2 6 m ? 3 6 ... 6 3 6 2 6 1; por ejemplo, en el caso concreto de 6!

(que se lee ”factorial de 6”): 6! = 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 = 720

2. Si el orden influye y podemos tomar cualquiera de los elementos más de una vez, entonces se trata de un problemade variaciones con repetición, que se resuelve por la siguiente fórmula:

VRÝm, nÞ = mn

3. Si el orden influye y cada vez debemos tomar todos los elementos, sin repetir (dicho de otro modo: m = n), es unproblema de permutaciones, aunque puede equipararse al problema de variaciones VÝm, mÞ. Se resuelve por:

PÝmÞ = m! (comprobar que VÝm, mÞ = m!, lo que demuestra que las permutaciones sin repetición son uncaso particular de las variaciones. Nota: para hacer esta comprobación nos hace falta saber que 0! = 1)

4. Si el orden influye y debemos tomar todos los elementos de un conjunto algunos de los cuales se repite un númerodeterminado de veces, se trata de un problema de permutaciones con repetición. La fórmula general es:

PRÝnÞ p,q,r,s,t... = n!p!q!r!s!t!...

donde p, q, r, s, t... es el número de veces que se puede repetir cada elemento.


¾ Combinaciones

1. Supongamos un conjunto E fomado por m elementos Supongamos que queremos tomar n de esos elementos(siendo n ² m) ¿De cuántas formas distintas podemos tomarlos? Si el orden en que los vayamos tomando no es unfactor importante, entonces se trata de un problema de combinaciones, que se resuelve por la siguiente fórmula:

CÝm, nÞ = mn = m!

n!Ým?nÞ! , donde la expresión mn se llama ”número combinatorio m sobre n” y se resuelve precisamente

por la fórmula señalada: mn = m!

n!Ým?nÞ! .

2 Si el orden no influye y podemos tomar cualquiera de los elementos más de una vez, entonces se trata de unproblema de combinaciones con repetición, que se resuelve por la siguiente fórmula:

CRÝm, nÞ = m + n ? 1n

Entenderemos mejor todo esto con ejemplos.

Ejemplos. Sea el conjunto E de los números 1, 2, 3, 4, es decir: E = 1, 2, 3, 4

5¿Cuántas cifras de tres dígitos sin que se repita ninguno pueden formarse con esos cuatro dígitos?

Ejemplos válidos: 123, 321, 124...; ejemplos no válidos: 113, 135, 1234. El orden en que se coloquen los dígitos esimportante (pues 123 es una cifra distinta de 321); además, dice el enunciado que no se pueden repetir. Es un problema, portanto, de variaciones sin repetición:

VÝ4, 3Þ = 4!3! = 24. Pueden obtenerse, pues, 24 cifras de tres dígitos con 1, 2, 3 y 4 sin que se repita ninguno.

5¿Cuántas cifras de tres dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos pudiendo repetirse cualquiera de ellos cualquiernúmero de veces (con la única limitación de que hay que tomar sólo tres dígitos cada vez)?

Ejemplos válidos: 123, 112, 111, 222, 144...; ejemplos no válidos: 135, 1112.... El orden en que se coloquen los dígitos esimportante (pues 131 es una cifra distinta de 311); además, dice el enunciado que se pueden repetir. Es un problema, portanto, de variaciones con repetición:

VRÝ4, 3Þ = 43 = 64

5¿Cuántas cifras de cuatro dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos sin repetir ninguno de ellos?

Ejemplos válidos: 1234, 4321...; ejemplos no válidos: 123, 1112, 12345. Nótese que hay que construir cifras con todos loselementos que nos dan (ni uno más ni uno menos) y que influye el orden; estos dos requerimientos indican que se trata de unproblema de permutaciones, en este caso sin repetición:

PÝ4Þ = 4! = 24 (O bien: VÝ4, 4Þ = 4!0! = 24)

5¿Cuántas cifras de 10 dígitos pueden formarse con esos cuatro dígitos (1,2,3,4) de manera que el 1 se repita exactamentetres veces, el 2 cuatro veces, el 3 dos veces y el 4 sólo una vez? Repárese en que siempre hay que utilizar todos los dígitosque nos dan (es un problema, entonces, de permutaciones, puesto que además influye el orden en que se escriban los dígitos)y más importante aún: en que cada uno de ellos hay que repetirlo siempre el mismo número de veces en cada ordenación,número de veces que viene indicado por el enunciado. Así, son ejemplos válidos:

1112222334, 1122122343,... y no válidos: 1234, 1111111234, 1234123412341234,...

Estas condiciones son precisamente las necesarias para constituir un problema de permutaciones con repetición teniendoen cuenta que el n que aparece en la fórmula no es en este caso el número de dígitos de los que disponemos, sino el númerode dígitos que forman la cifra (en este caso, 10) :

PRÝ10Þ 3,4,2,1 = 10!3!4!2!1! = 12600

5Supongamos ahora que los números 1, 2, 3, 4 del conjunto E que estamos considerando a lo largo de todos estosejemplos han sido asignados a cuatro trabajadores que deben hacer guardias en grupos de tres en tres ¿Cuántos posiblestríos de guardia se pueden formar?

Ejemplos válidos: 1, 2, 3, 1, 2, 4,...; ejemplos no válidos: si es válido el trío 1, 2, 3, no lo es el 3, 2, 1, porque en realidad es elmismo; tampoco son válidos: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4,... Como el orden en que escriba los números no importa (trío 1, 2, 3 = trio 3, 2, 1), setrata de un problema de combinaciones, que además son sin repetición, obviamente:

CÝ4, 3Þ = 43

= 4

5Supongamos, finalmente, que los números 1, 2, 3, 4 corresponden a instrumentos musicales: 1=violín; 2=viola;3=violonchelo; 4=contrabajo. ¿Cuántos tipos de cuartetos de cuerda se pueden formar con estos instrumentos pudiendorepetirse los mismos un número cualquiera de veces (con la única limitación de que constituyan siempre un cuarteto)?

Ejemplos válidos: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 2,...; ejemplos no válidos: si ya hemos contado como válido el cuarteto1, 2, 3, 4, no podemos contar como uno diferente el 4, 3, 2, 1, puesto que ambos son el mismo tipo de cuarteto (es decir, uncuarteto formado por violín, viola, violonchelo y contrabajo es el mismo que el formado por contrabajo, violonchelo, viola yviolín). Otro ejemplo no válido: 1, 1, 2, 3, 4 (eso es un quinteto). Como no influye el orden en que escribamos los elementos, setrata de un problema de combinaciones, y como se pueden repetir, de combinaciones con repetición:

CRÝ4, 4Þ = 4 + 4 ? 14

= 74

= 35


¾ Algunas recomendaciones

lNo debe tratarse de identificar tipos de elementos de un conjunto con tipos de problemas; por ejemplo, si los elementosde un conjunto son personas, no debe pensarse que el problema se hace por combinaciones y no por variaciones; puedehacerse por uno u otro medio. Lo importante no es el tipo de objetos, sino si es importante el orden en que se toman o no.

lNo todos los problemas se pueden resolver de forma directa aplicando una de las seis fórmulas vistas. De hecho, a veceses necesario utilizar productos de esas fórmulas. Pero es más fácil tratar de ”despiezar”, analizar el problema ensubproblemas más simples e ir haciendo cómputos parciales, a veces incluso sin utilizar la combinatoria. Por ejemplo, si nospreguntan cuántos números impares hay entre 0 y 1348 es útil considerar cuatro categorías: los de un dígito, los de dos, los detres y los de cuatro:

-De un dígito hay 5 cifras (no hace falta aplicar ninguna fórmula de combinatoria; son: 1, 3, 5, 7, 9).

-Para saber cuántas hay de dos dígitos observemos que a su vez hay cinco subcategorías que considerar:

_ 1 _ 3 _ 5 _ 7 _ 9

(es decir, lo que acaban en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9) y que cada subcategoría consta de 9 números (la primera estáformada por el 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91); siendo fácil comprobar que cada una de las otras cuatro está formada por igualnúmero de cifras, por lo que hay en total 45 cifras de dos dígitos.

-Para saber cuántas cifras impares hay de tres dígitos reparemos en que serán de uno de los siguientes subtipos:

_ _ 1 _ _ 3 _ _ 5 _ _ 7 _ _ 9

Consideremos el primero de ellos: el primer hueco lo pueden ocupar los dígitos del 1 al 9 (no el 0), y el segundo,cualquier dígito. Hay, entonces, 90 cifras del primer subtipo (ya que por cada uno de los nueve dígitos que pueden ir en elprimer hueco, pueden ir 10 en el segundo), y habrá otras tantas de los otros cuatro; en total, 450. Otro método hubiera sidoconsiderar todos los casos, incluidos aquellos que tengan en el primer hueco un 0. Ello se haría por VRÝ10, 2Þ = 102 = 100,restando luego los 10 casos que empiezan por 0 (011, 021, 031, 041, etc.). Quedan 90, entonces, que multiplicado por 5subtipos da 450.

-Finalmente, para saber cuántos impares hay entre 1000 y 1348 debemos considerar que las cifras en cuestión sólo podránempezar por

10 _ _ 11 _ _ 12 _ _ y 13 _ _

olvidémonos en principio de los del tipo 13 _ _. Hay, pues, 3 formas de empezar las cifras:

10 _ _, 11 _ _ y 12 _ _. Cada una de esas tres permite cualquier dígito en la tercera posición (10 dígitos distintos) y cincoen la cuarta (1,3,5,7,9), lo que hace un total de 3 6 10 6 5 = 150 cifras (esto se llama regla de la multiplicación, que vemos másabajo); finalmente, hay que contar 24 cifras impares que hay entre 1301 y 1347.

-En total, pues, hay 5 + 45 + 450 + 150 + 24 = 674 cifras impares entre 0 y 1038.

lRegla de la multiplicación. La veremos con un ejemplo. Tengo 10 libros, tres de ellos de metamáticas, dos de lengua ycinco de economía, y los quiero colocar en una estantería de manera que queden juntos los de la misma materia. ¿De cuántasformas puedo ponerlos si me importa el orden en que queden? Llamaremos a cada libro con la inicial el tema y un subíndice.

Ejemplos válidos: M1 M2 M3 L 1 L 2 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 , M1 M3 M2 L 1 L 2 E 5 E 2 E 3 E 4 E 1 , E 5 E 2 E 3 E 4 E 1 M1 M3 M2 L 1 L 2 , etc.;ejemplos no válidos: L 1 M3 M2 E 1 L 2 E 5 E 2 E 3 E 4 M1 (pues tienen que ir juntos los del mismo tipo), M3 M2 E 1 L 2 E 5 E 2 E 3 , (pues enesta faltan libros) etc...

Una forma de solucionar este problema es considerar sólo tres bloques: M, L y E, y ver de cuántas formas pueden ir. Porejemplo: M,L,E; M,E,L, etc. Serán PÝ3Þ = 3! = 6. Consideremos cada una de estas formas, por ejemplo la M,L,E, es decir,primero irán los de matemáticas, luego los de lengua y luego los de economía. Los de matemáticas, entre sí, se puedenordenar de PÝ3Þ = 3! = 6 formas diferentes; los de lengua, de PÝ2Þ = 2! = 2 formas diferentes entre sí (estas son: L 1 L 2 y L 2 L 1 ),y los de economía de PÝ5Þ = 5! = 120 formas diferentes. Reparemos ahora en que por cada forma de colocar los dematemáticas hay 2 formas de poner los de lengua y por cada forma de poner los de matemáticas y los de lengua hay 120 formasde poner los de economía; el número total de formas es de 6 6 2 6 120 = 1440 maneras distintas. Ésta ha sido una aplicaciónde la llamada regla de la multiplicación.

Finalmente, para terminar el problema, recordemos que hemos obtenido 1440 formas de poner los libros manteniendo elorden de bloque M,L,E; pero como había 6 ordenaciones de los bloques, en total tenemos 6 6 1440 = 8640 formas de ponerlos libros.

Si no se entiende este problema es útil ponerse un ejemplo más simple (dos tipos de libros y por ejemplo 2 libros de untipo y tres de otro, y trate de contarse el número de ordenaciones por la regla de la multiplicación y por la cuenta de la vieja).


Temas 5 y 6: Probabilidad, EstadísticaSuceso, sucesos incompatibles, sucesos independientes, probabilidad de un suceso, unión e intersección de

sucesos; Estadística

7Conceptos de teoría de la probabilidad: espacio muestral y suceso¾ Experimento aleatorio: experimento que se puede repetir cuantas veces se quiera y cuyo resultado es impredecible.

Ej.: lanzar un dado y anotar los números que salen.

¾ Suceso: cada uno de los resultados de un experimento aleatorio; suceso elemental es cada uno de los resultadosmás simples, más directos de un experimento aleatorio. Ej.: ”obtener un 3” al lanzar un dado es un sucesoelemental; ”obtener cifra par” es un suceso no elemental; ambos son resultados del experimento, pero el primero esmás directo (en lo que sigue, hablaremos de suceso elemental y de resultado.indistintamente).

¾ Espacio muestral:conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio; desde este punto devista, un suceso (elemental o no elemental) es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej.: al lanzar un dadopara ver qué número sale, el espacio muestral de ese experimento aleatorio es: E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; cada uno de loselementos de ese conjunto: 1, 2, ...6, es un suceso elemental, y cada subconjunto posible es un suceso; por ejemplo,el subconjunto S = 2, 4, 6 es el suceso ”salir par”, y el subconjunto S = 1, 2, 3 es ”salir 1, 2 ó 3”.

¾ Se dice que un suceso ocurre cuando el resultado del experimento está incluido en el subconjunto que representaa dicho suceso. Ej.: si al tirar un dado sale un 2 cabe decir que ha ocurrido el suceso ”salir par” porque 2 5 2, 4, 6(es decir, el elemento ”2” está incluido en el subconjunto que representa al suceso ”salir par”).

¾ Si un suceso no ocurre, se dice que ha ocurrido el suceso contrario o complementario. Ej.: el suceso contrario deS =”salir 2” es S c =”salir 1, 3, 4, 5 ó 6” , ya que ”si no ha salido 2 es que ha salido 1, 3, 4, 5 ó 6”; lo contrario de ”salirpar” es ”salir 1, 3 ó 5”, o, lo que es lo mismo, ”salir impar”.

¾ Dos sucesos son entre sí incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente. Ej.: los sucesos ”2” y ”3” allanzar un dado son incompatibles; por el contrario, los sucesos ”salir par” y ”salir 2” son compatibles. Con más rigor,dos sucesos S1 y S2 son incompatibles si S1 V S2 = 2.

¾ Dos sucesos son entre sí independientes cuando el hecho de que el primero haya ocurrido no influye en laprobabilidad de que ocurra el segundo. Por ejemplo, si tiro un dado y obtengo ”2”, eso no influye en la probabilidadque tiene el ”3” de salir en la próxima tirada.

¾ Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, en el sentido en que entendemoscomúnmente la palabra probabilidad; por ejemplo, si arrojamos un disco perfectamente construido sobre unasuperficie perfectamente lisa y horizontal, es igualmente probable que caiga de una cara o de la otra.

7Probabilidad de un suceso1. En general, la probabilidad de que ocurra un suceso puede determinarse experimentalmente llevando a cabo

muchas veces el experimento correspondiente y midiendo la frecuencia con que se repite el suceso. En el límiteinfinito, la probabilidad coincide con la frecuencia. Por ejemplo, si lanzáramos un dado perfectamente construido”infinitas veces” podemos esperar que la frecuencia con que saldrá el ”2” será 1

6 (es decir, una vez de cada seis portérmino medio); decimos entonces que la probabilidad del suceso ”salir 2” es 1

6 : PÝ”salir 2”Þ = 16 .

2. Ley de Laplace. La probabilidad de un suceso (equiprobable) se calcula dividiendo el número de resultadosfavorables a dicho suceso entre el número de resultados posibles:

P = |S ||E |

(Ley de Laplace)

Los valores de probabilidad siempre están entre 0 y 1: 0 < P < 1 (Nota: con las barras de |S | y |E | quiere decirse”número de elementos de S” y ”número de elementos de E”, respectivamente.)

Ejemplos 5¿Cuál es la probabilidad de obtener un ”5” al lanzar un dado? Escribamos el espacio muestral y el suceso”obtener 5” (que podemos llamar, por ejemplo, S5 ), recordando siempre que un suceso cualquiera siempre es unsubconjunto del espacio muestral (es decir, sus elementos deben estar dentro del conjunto E):

E = 1, 2, 3, 5, 4, 6 S5 = 5 P = |S5 ||E|

= 16 p 0, 167 ¯ 16, 7% (para pasar a porcentaje sólo hay que multiplicar

por 100).

5¿Cuál es la probabilidad de obtener ”cifra par” al lanzar un dado?


E = 1, 2, 3, 5, 4, 6 Spar = 2, 4, 6 P = |Spar||E|

= 36 = 1

2 = 0, 5 ¯ 50%

3. Para poder resolver un problema aplicando la ley de Laplace es muy importante tener en cuenta que el espaciomuestral E debe estar formado de sucesos equiprobables. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema:¿cuál es la probabilidad de obtener ”suma de puntos igual a 7” al lanzar dos dados? El primer impulso es escribir elespacio muestral con los posibles resultados de sumar las puntuaciones de dos dados:

E = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

pero debe tenerse en cuenta que los resultados de ese espacio muestral no son equiprobables; por ejemplo, los resultados”2” y ”6” no lo son, ya que ”2” sólo puede obtenerse si ambos dados dan ”1”, pero ”6” puede obtenerse si ambos dan ”3”, o si unoda ”1” y el otro ”5”, o si uno da ”2” y el otro ”4”. En estos casos, hay que buscar un espacio muestral en que todos los elementossean equiprobables, lo que normalmente se consigue descomponiendo el experimento global en otros más sencillosequivalentes y siempre teniendo en cuenta todas las posibilidades:

E = 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , 2, 4 , ......... 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6

Obsérvese que deben escribirse todas las posibilidades: así, un resultado es Ý1, 2Þ y otro distinto es Ý2, 1Þ.

Normalmente el problema está en contar todos los resultados favorables al suceso, |S |, y todos los resultados posibles, |E |.A veces puede contarse directamemente (en este problema el número de elementos de E, si se sigue su lógica de construcción,es 36). Pero en ocasiones el número de elementos es tan grande que hay que recurrir a las fórmulas de la Combinatoria(Variaciones o Combinaciones, según el caso). Por ejemplo, en este problema se trata de contar cuántas parejas puedenformarse con los números 1 al 6, influyendo el orden (es decir, Ý1, 3Þ ® Ý3, 1Þ) y pudiéndose repetir los números (esto es, valenel Ý1, 1Þ, Ý2, 2Þ, etc.). Lo calculamos, pues, por VRÝ6, 2Þ = 36.

4. Unión e intersección de sucesos. Cuando un experimento aleatorio es complejo puede descomponerse en otrosmás simples equivalentes. Es muy útil que la descomposición se lleve a cabo haciendo el uso adecuado de laspartículas ”y”, ”o”.o una combinación de ambas. Lo podemos entender con los siguientes ejemplos, en los queintroducimos las dos fórmulas necesarias para calcular la probabilidad de la intersección y la unión de sucesos.

¾ 5Ejemplo de intersección de sucesos: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad deque ”al sacar simultáneamente dos bolas ambas sean rojas”. La frase entrecomillada es equivalente a esta otra: ”sesaque en una primera extracción una bola roja y luego, en una segunda extracción, también una bola roja”.Obsérvese que hemos usado la partícula y, la cual escribiremos simbólicamente V (intersección).

Si llamamos S rI al suceso ”sacar en la primera extracción una bola roja” y S r

II al suceso ”sacar en la segunda extracción unabola roja” la probabilidad que nos piden se escribe simbólicamente PÝS r

I V S rII Þ y se calcula según la siguiente fórmula general,

escrita para dos sucesos llamados S1 y S2 :

Probabilidad de la intersección de dos sucesos : PÝS1 V S2 Þ = PÝS1 Þ 6 PÝS2 /S1 Þ

donde el segundo factor, PÝS2 /S1 Þ, se lee ”probabilidad de S2 si ha ocurrido antes S1 ” (es lo que se llama una probabilidadcondicionada). En nuestro ejemplo:

P S rI V S r

II = PÝS rI Þ 6 ÝS

rII /S r

I Þ = 36 × 2

5 = 0, 2 Esto hay que entenderlo así: la probabilidad de sacar una bola roja enla primera extracción es 3

6 (puesto que hay en total 6 bolas y de ellas 3 son rojas), pero la probabilidad de sacar una bolaroja en la segunda extracción si ya ha sucedido que salió roja en la primera es 2

5 puesto que sólo quedan ya 5 bolas en laurna y de ellas ya sólo 2 son rojas).

¾ 5Ejemplo de unión de sucesos: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad de que ”alsacar dos bolas sean del mismo color”. La frase entrecomillada es equivalente a decir que: ”se saquen dos bolasrojas o dos verdes”. Obsérvese que hemos usado la partícula o, la cual traduciremos simbólicamente por W (unión);en matemáticas ”o” tiene el sentido de ”indistintamente, no excluyentemente”.

Si llamamos S 2r al suceso ”sacar dos bolas rojas” y S 2v al suceso ”sacar dos bolas verdes” la probabilidad que nos pidenen este caso se escribe simbólicamente PÝS 2r W S 2v Þ y se calcula según la siguiente fórmula general, escrita para los sucesos S1

y S2 :

Probabilidad de la unión de dos sucesos : PÝS1 W S2 Þ = PÝS1 Þ + PÝS2 Þ ? PÝS1 V S2 Þ

donde el tercer sumando, PÝS1 V S2 Þ, se calcula por la fórmula vista anteriormente para la intersección de probabilidades yes igual a cero en el caso de sucesos incompatibles, como es el caso, ya que ambos no pueden ocurrir simultáneamente. Comohay el mismo número de bolas de cada clase, PÝS2r Þ = PÝS2vÞ = 0, 2, según vimos en el ejemplo anterior.

P S 2r W S 2v = PÝS 2r Þ + PÝS 2v Þ ? PÝS 2r Þ 6 PÝS 2v /S 2r Þ = 0, 2 + 0, 2 ? 0, 2 × 0 = 0, 4 (el último sumando, 0, 2 × 0, es asíporque la probabilidad de que salgan dos verdes si lo que han salido son dos rojas es cero).

5. Por Combinatoria. En realidad, todos los cálculos de probabilidades pueden hacerse por Combinatoria, aunque aveces son muy complicados por esa vía. Para resolver el primer ejemplo del parágrafo anterior basta tener encuenta que hay |E | = CÝ6, 2Þ = 6

2= 15 parejas posibles de bolas a extraer, y de esas,

S2r = CÝ3, 2Þ = 32

= 3 parejas son de bolas rojas, por lo que la probabilidad de sacar dos rojas es

P = |S2r||E|

= 315 = 0, 2. [El problema puede hacerse también por variaciones, y de hecho, los problemas de

probabilidad por Combinatoria es mejor, para evitar ciertos errores, hacerlos por variaciones mejor que porcombinaciones]


Para la segunda parte del problema: P = |S2r|+|S2r||E|

= 3+315 = 0, 4

6. Probabilidad del suceso contrario A veces, sobre todo cuando los problemas son muy difíciles, es útil calcular laprobabilidad del suceso contrario al que nos piden. Llamaremos a ese suceso S c . Pues bien, conocida laprobabilidad de ese suceso contrario, PÝS cÞ, puede calcularse la del suceso directo, PÝSÞ, mediante la fórmula:

PÝSÞ = 1 ? PÝS cÞ

¾ 5Ej.: Una urna contiene tres bolas rojas y tres verdes. Calcular la probabilidad de que ”al sacar tres bolasalguna sea roja”. La frase entrecomillada es equivalente a decir que: ”se saque una bola roja o dos rojas otres rojas”. Ahora bien, es más fácil considerar lo contrario: que salgan tres verdes, o lo que es lo mismo,que la primera sea verde y la segunda verde y la tercera verde, probabilidad esta última que se calcula así:

PÝS3vÞ = PÝS Iv V S II

v V S IIIv Þ = PÝS I

vÞ 6 PÝS IIv /S I

vÞ 6 PÝS IIIv /S I

v V S IIv Þ =

36

25

14 = 1

20

La probabilidad del suceso directo que nos han pedido será, entonces:

PÝSÞ = 1 ? PÝS cÞ = 1 ? 120 = 19

20

7EstadísticaLa estadística es una rama de las matemáticas que estudia conjuntos de datos para calcular su media, su desviación

típica, etc., y, en algunos casos, permitir compararlos con otros conjuntos de datos.

Sean los dos siguientes conjuntos de datos, referidos a la puntuaciones obtenidas por dos personas al realizar una deellas una prueba 10 veces, y la otra persona, 14:

ç Primera persona (14 datos): 10, 9, 9, 13, 11, 9, 6, 7, 10, 7, 9, 9, 9, 11

ç Segunda persona (10 datos): 9, 10, 9, 10, 7, 11, 10, 10, 8, 7

¾ Se llama frecuencia absoluta al número de veces que se repite un dato. Por ejemplo, la frecuencia del 9 en ladistribución de datos de la primera persona es 6, y en la de la segunda es 2 La frecuencia relativa de un dato secalcula dividiendo su frecuencia absoluta por el número total de datos de la distribución; así, la frecuencia relativadel dato 9 en la primera distribución es 9

14 p 0.64 , y en la segunda: 210 = 0.20.

¾ Moda es el valor que se repite más (tiene más frecuencia) en una distribución de datos. La moda de la primeradistribución es 9 , y la de la segunda, 10. Hay distribuciones que tienen más de una moda.

¾ Mediana es el valor central de una distribución en la que hemos previamente ordenado sus datos de menor amayor (o al revés). Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos centrales. Para la primeradistribución (6, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 13) la mediana es 9, y para la segunda, 9.5.

¾ Media aritmética es la suma de los datos dividido por el número de ellos. La media, < x1 >, para la primeradistribución es:

< x1 >= 10+9+9+13+11+9+6+7+10+7+9+9+9+1114 p 9.21

la fracción larga se puede resumir como>i=1

14

xi

14 , cuyo numerador se lee ”sumatorio desde i = 1 hasta i = 14 de todoslos valores xi ”. El símbolo de ”sumatorio” es > , encima y debajo del cual se escribe desde qué número hasta cuál se tieneque sumar.

(((Por ejemplo, sea la siguiente serie de números: 4, 7, 9, 3, 5, 4, 6, 8; en ella >i=3

7

xi quiere decir x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ,

donde los subíndices de las x se refieren al orden ocupado en la serie. En ese caso concreto:

>i=3

7

xi = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 9 + 3 + 5 + 4 + 6 = 27 )))

La media para la segunda distribución de datos del problema es:

< x2 >=

>i=1

10

xi

10 = 9+10+9+10+7+11+10+10+8+710 = 9.10

¾ Se llama desviación de un dato a la diferencia (con signo positivo) entre ese dato y la media. Por ejemplo, en laprimera distribución, la diferencia entre el dato 9 y la media es: 9 ? 9.21 = ?0.21; por tanto, la desviación del dato 9es 0.21 Puede calcularse la media de las desviaciones de todos los datos, lo que se llama desviación media. Lafórmula para calcularla es:


>i=1

n

|xi?<x>|

n

siendo n el número de datos de la distribución (14 en la primera y 10 en la segunda, en nuestro ejemplo), y significando lasbarras dentro del sumatorio que debe tomarse el valor absoluto de las restas, es decir, siempre con signo positivoindependientemente del signo que tengan. En nuestro caso, para la primera distribución la desviación media es:

>i=1

n

|xi?<x>|

n =

10?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 13?9.21 + 11?9.21 + 9?9.21 + 6?9.21 + 7?9.21 + 10?9.21 + 7?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 9?9.21 + 11?9.21

14 p 1. 27

y para la segunda distribución sería:

>i=1

n

|xi?<x>|

n =9?9.1 + 10?9.1 + 9?9.1 + 10?9.1 + 7?9.1 + 11?9.1 + 10?9.1 + 10?9.1 + 8?9.1 + 7?9.1

10 = 1.1

¾ La varianza, que se representa con el símbolo a2 (”sigma cuadrado”) es la media de los cuadrados de lasdesviaciones, es decir:

a2 =

>i=1

n

Ýxi?<x>Þ2

n . Una fórmula más sencilla y equivalente para la varianza es: a2 =

>i=1

n

xi2

n ?< x >2

(esta última se puede memorizar así: ”media de los cuadrados menos cuadrado de la media”). Aplicando cualquiera deestas fórmulas a la primera y segunda distribución de nuestro problema obtenemos los siguientes respectivos valores de lavarianza:

a2 p 3.26 a2 p 1.88

¾ La desviación típica, que se representa con el símbolo a (”sigma”), es la raíz cuadrada de la varianza. Lasdesviaciones típicas para la primera y segunda distribuciones son, pues, respectivamente:

a p 1.81 a p 1.37

La desviación típica (y también la varianza y la desviación media) dan una medida de la dispersión de los datos alrededorde la media. Por ejemplo, si una persona obtiene 10 puntuaciones y todas son 9, la media es evidentemente 9 y se puededemostrar que la desviación media, la varianza y la desviación típica son 0, porque todos los datos coinciden con la media (esdecir, no se desvían nada de la media). Sin embargo, para la siguiente distribución: 10, 10, 9, 10, 9, 8, 10, la media es 9.43 y ladesviación típica es ya distinta de 0 (puesto que los datos no coinciden con la media); en este caso concreto es 0.79. Para estaotra distribución: 30, 30, 18, 10, 0,?12,?10 la media es la misma que antes (9.43), y sin embargo la desviación típica es 17.54, esdecir, mucho mayor que antes, porque los datos están más alejados de la media.

Hay ciertas distribuciones que se llaman ”normales”, lo que quiere decir que el grueso de los datos se agrupa en torno a lamedia y hay pocos datos con valores bajos y con valores altos, teniendo toda la distribución, cuando se representagráficamente, la forma de ”campana de Gauss”. En una distribución normal (y las dos del ejemplo general que estamostratando lo son, aunque eso no hay por qué saberlo a priori), si sumamos a la media el valor de la desviación típica y restamosde la media el valor de la desviación típica encontramos un intervalo dentro del cual está aproximadamente el 68 por cientode los datos; esta es una ley de las distribuciones normales. Comprobémoslo con la primera distribución. La media, < x1 > , es9.21, y la desviación típica, a1 p 1.81. El intervalo del que estamos hablando es:

9.21 ? 1.81, 9.21 + 1.81 = 7.40, 11.02

es decir, puesto que nos han asegurado que la distribución es normal, aproximadamente el 68% de los 14 datos debenestar comprendidos entre 7.40 y 11.02 . El 68% de 14 es 9.52, que redondearemos a 10; efectivamente, cuéntense y se verácomo 10 de los 14 datos tienen valores comprendidos entre 7.40 y 11.02.

¾ Cuando se quieren comparar dos muestras lo mejor es usar el llamado coeficiente de variación (CV), que nos da la”homogeneidad” de cada muestra. Se calcula por la fórmula:

CV = a<x> (es decir, la desviación típica dividido por la media).

Los CV para las dos distribuciones de nuestro ejemplo son:

CV 1 = a1<x1>

= 1.81

9.21p 0.20 CV 2 = a2

<x2>= 1.37

9.10p 0.15

La segunda distribución es más homogénea (datos más ”semejantes” entre sí) que la primera, puesto que la segunda tieneun menor CV. Obsérvese que la primera persona, aunque tiene una media peor, tiene más ”regularidad” que la segunda. Laprimera, por el contrario, ofrece valores más dispares.

¾ Tipificación de datos. Normalmente, en estadística no se trabaja con los datos directamente, sino que previamentese tipifican todos y cada uno de ellos, con lo que se consigue tratarlos y entender su significado más fácilmente y almismo tiempo hacerlos más directamente comparables con los de otra distribución. Los datos tipificados de unadistribución normal siempre valen entre ?3 y 3, aproximadamente. Un dato xi se tipifica (y se llamará z i ) aplicando lasiguiente fórmula:

z i = xi?<x>a

Por ejemplo, el dato 9 de la primera distribución (media p 9.21; a p 1.81) queda, tipificado así


z = 9?9.21

1.81p ?0.12

Quienes trabajan en Estadística habitualmente lo hacen con datos tipificados.


Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuacionesSistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas, matrices, determinantes y sus propiedades, resolución de

sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)

g Matrices y determinantes¾ Una matriz es una ordenación de números (que a veces vienen representados por letras) en filas y columnas. Por

ejemplo, son matrices:

5Ejemplo 1:3 0 0

4 ?1 0

1 9 0

1 1

1 1

^ 3

5 23

?^ 4

0 1

3 1 a 2 ?1 4

La primera de ellas es una matriz cuadrada 3 × 3 (3 filas por 3 columnas), que se suele llamar ”matriz cuadrada de orden3” o, más simplemente, ”matriz de orden 3”); la segunda es una matriz cuadrada 2 × 2 (o de orden 2); la tercera es una matriz4 × 2; la cuarta es una matriz 1 × 5 ( y las de ese tipo se llaman matrices-fila, como también hay matrices-columna), y la quintaes una matriz 1 × 1, que es el tipo más simple de matriz que existe (en realidad es un número real).

En general, cada elemento de una matriz se suele identificar mediante la notación a ij , donde i es el número de fila queocupa y j el número de columna. Por ejemplo, el valor 5 de la tercera matriz del Ejemplo 1 corresponde al elemento a21 ,porque está en la segunda fila y primera columna.

¾ Dada una matriz, podemos obtener de ella submatrices eliminando un número cualquiera de filas, de columnas, ode filas y columnas. Por ejemplo, si en la primera matriz del Ejemplo 1 eliminamos la primera fila nos queda:

4 ?1 0

1 9 0(una submatriz 2 × 3 de la primera matriz del Ejemplo 1)

y si eliminamos la segunda fila y la segunda columna nos queda la submatriz de orden 2:

3 0

1 0

Otras submatrices de la primera matriz del Ejemplo 1 son:

3 0 0

4 ?1 0

1 9 0

3 0 0 Ý0Þ 0

?1

Nótese que consideramos a una matriz como una submatriz de sí misma (eliminando 0 filas y 0 columnas). Lassubmatrices, como matrices que son, pueden ser cuadradas (mismo número de filas y columnas) o no. Las cuadradas son lasque más nos van a interesar aquí. Obsérvese que la primera matriz del Ejemplo 1 puede tener submatrices cuadradas deorden 3 (es decir, 3 × 3), de orden 2 (2 × 2) y de orden 1 (1 × 1). Por su lado, la segunda y tercera matrices del Ejemplo 1 puedentener submatrices cuadradas de orden 2 y de orden 1, y la cuarta y la quinta, sólo submatrices cuadradas de orden 1.

(Nótese también que el concepto de orden está siempre asociado al de matrices cuadradas; no se habla de orden si lamatriz no es cuadrada: orden es el número de filas (o de columnas, que es lo mismo) de una matriz cuadrada. En adelantedebe tenerse esto en cuenta.)

¾ Al igual que sobre los números reales, sobre las matrices pueden realizarse ciertas operaciones (multiplicarlas porun número, sumar dos matrices, etc.). Una de las operaciones es calcular el determinante de una matriz cuadrada(no está definida la operación determinante para una matriz no cuadrada). Para indicar que queremos efectuar laoperación determinante sustituiremos los paréntesis redondos de la matriz: por paréntesis cuadrados: .

$El determinante de una matriz cuadrada de orden 1 es el mismo número. Por ejemplo, el determinante de la matriz Ý?7Þes ?7.

$El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 :

a b

c dse calcula mediante la siguiente fórmula: ad ? bc ; por ejemplo, el determinante de la matriz segunda

del Ejemplo 1 es 1 6 1 ? 1 6 1 = 0

$El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 :


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, se calcula mediante la siguiente fórmula:

Ýa11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 Þ ? Ýa13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a21 a12 a33 Þ

Para evitar memorizar esa fórmula usaremos una regla mnemotécnica. Para ilustrarla, vamos a calcular el determinante dela primera matriz del Ejemplo 1. Se escribirán las tres primeras filas igual que están, y debajo se repetirán la primera y lasegunda, de la siguiente manera:

3 0 0

4 ?1 0

1 9 0

3 0 0

4 ?1 0

luego se multiplican entre sí los números de la diagonal del 3 (señalados en negrita), los de la diagonal paralela inferior(la que empieza en 4: 4 6 9 6 0) y a los de la inferior a ésta última (la del 1: 1 6 0 6 0), sumándose al final los tres productosobtenidos. Se hace lo mismo con las tres diagonales secundarias (la que empieza por el 0 que está en el vértice superiorderecho y las dos paralelas por debajo), y el resultado se resta del obtenido anteriormente. Es decir:

ß3 6 Ý?1Þ 6 0 + 4 6 9 6 0 + 1 6 0 6 0à?ß0 6 Ý?1Þ 6 1 + 0 6 9 6 3 + 0 6 0 6 4à= 0

El resultado de ese determinante es, pues, 0.

El resultado del que se plantea a continuación es ?16. (comprobarlo):

3 ?1 5

2 ?3 2

?1 1 1

= ?16

$Para resolver determinantes de orden 4 o superior hay que entender primero el concepto de menor complementario.Seguimos con la matriz primera del Ejemplo 1. El menor complementario del elemento 3 es el determinante de la matrizque se obtiene al suprimir la fila y la columna donde está el 3, es decir:

?1 0

9 0= 0 .

Otro ejemplo: el menor complementario del 0 superior derecho es 4 ?1

1 9= 37

Otro concepto indispensable es el del signo por su posición de cada elemento de un determinante. Independientementede su signo propio, se considera que cada elemento tiene un signo por su posición según las siguientes reglas:

1) en un determinante cualquiera, el elemento que está en el vértice superior izquierdo tiene el signo por su posición +;

2) los elementos adyacentes en vertical o en horizontal a uno dado tienen el signo por su posición contrario.

Con estas dos reglas es fácil ver que en la práctica para saber el signo por su posición de un elemento dado se empiezapor el elemento superior izquierdo del determinante, a11 , al que se le asigna el +, y se trata de llegar al elemento dado yendocasilla por casilla en horizontal o vertical, nunca en diagonal, por el camino que se quiera, cambiando de signo al saltar decasilla. Por ejemplo, sea el siguiente determinante de orden 4;

7 ?1 0 1

2 6 ?1 3

?1 1 0 4

3 3 5 1

para saber el signo por su posición del elemento 5 vamos hacia él desde el 7 en horizontal o vertical, casilla por casilla(por cualquier camino), cambiando de signo al saltar de casilla:

+

? +

?

+ ?

y, como vemos, concluimos que el signo por su posición del 5 es ?.

Otra forma de conocer el signo por la posición es sumar los subíndices del elemento correspondiente; si la suma da par, elsigno por la posición es positivo, si impar, negativo. Por ejemplo, el elemento 5 es el a43 ; como 4 + 3 = 7 (impar), el signoque le corresponde al 5 por su posición (independientemente del que tiene, que es +) es el ?.

Sabido todo esto, un determinante de orden mayor que 3 se resuelve así: se escoge cualquier fila (o cualquier columna)y se va multiplicando cada elemento de esa fila por su menor complementario. Al final se suman o restan todos los productosobtenidos, dependiendo del signo por su posición de cada elemento de la fila (o columna) tomado. Se comprenderá queconviene tomar aquella fila (o columna) con números más sencillos, y preferentemente con el máximo número de ceros.

Ilustramos esto con un ejemplo: resolveremos el determinante de orden 4 escrito más arriba. Elegiremos la columnatercera (que tiene dos ceros); el método es así:


7 ?1 0 1

2 6 ?1 3

?1 1 0 4

3 3 5 1

= +02 6 3

?1 1 4

3 3 1

? Ý?1Þ7 ?1 1

?1 1 4

3 3 1

+ 07 ?1 1

2 6 3

3 3 1

? 57 ?1 1

2 6 3

?1 1 4

=

= 0 + 1 6 Ý?96Þ + 0 ? 5 6 166 = ?926

Si el determinante hubiera sido de orden 5 se sigue el mismo método, pero hubieramos obtenido cinco determinantes deorden 4 cada uno de los cuales habríamos tenido que resolver aparte, reduciéndolos cada uno a cuatro determinantes deorden 3 como en el ejemplo anterior.

¾ Se comprenderá por lo visto que resolver un determinante de orden elevado será tanto más fácil cuantos más cerostenga en una fila o columna, ya que así se anulan términos en el desarrollo explicado (pues se multiplica por 0). Siel determinante no contiene ceros, o pocos, es posible y conviene hacer ceros aplicando la propiedad quepasamos a explicar ahora.

Para hacer ceros debemos comprobar si hay dos filas (o dos columnas) que tengan el mayor número de elementos igualeso proporcionales en idénticas posiciones, o bien si una fila (o columna) tiene elementos que son la suma de los de otras filas(o columnas) situados en las mismas posiciones.

Se reescribe el determinante manteniendo iguales todas las filas (o columnas) excepto una de ellas, que se cambia por elresultado de restarle otra o de restarle la suma de otras incluso multiplicada previamente alguna de estas últimas por unnúmero.

Esto, que puede resultar bastante confuso, se entiende mejor con un ejemplo. Sea el siguiente determinante:

5Ejemplo 2:

1 2 1 1

?1 ?1 4 1

3 6 3 1

1 2 1 ?1

Puede observarse que las columnas primera y tercera tienen tres números iguales en las mismas posiciones (marcados ennegrita). Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo iguales las columnas segunda, tercera y cuarta, y en vez de laprimera escribiremos una nueva, que será el resultado de restarle a la primera la tercera (1 ? 1 = 0; ?1 ? 4 = ?5; 3 ? 3 = 0;1 ? 1 = 0). Así conseguimos hacer 3 ceros y puede demostrarse que eso no afectará al resultado del determinante. Acontinuación resolvemos el determinante obtenido por el método de los menores complementarios explicado antes usando laprimera columna (por contener tres ceros, con lo que nos evitaremos el trabajo de resolver tres determinantes 3 × 3, ya quesea cual sea su valor, al multiplicarlos por 0 se anulan):

0 2 1 1

?5 ?1 4 1

0 6 3 1

0 2 1 ?1

= +0?1 4 3

6 3 1

2 1 ?1

? Ý?5Þ2 1 1

6 3 1

2 1 ?1

+ 02 1 1

?1 4 1

2 1 ?1

? 02 1 1

?1 4 1

6 3 1

= 0

También podía haberse resuelto el determinante del Ejemplo 2 observando la relación entre las filas primera y tercera: tresnúmeros de la tercera son el triplo de los de la primera en las mismas posiciones. Podríamos hacer ceros ahí dejando intactasla primera, segunda y cuarta filas y restando a la tercera la primera multiplicada por 3. Trátese de hacerlo.

¾ Nótese que siempre hay que dejar fijas todas las filas (o columnas) excepto una, y a esa se le debe restar otra fila (ocolumna) o bien una combinación lineal de filas (o de columnas). Una combinación lineal de filas (o de columnas)es el resultado de sumar o restar entre sí esas filas (incluso si previamente se han multiplicado previamente algunas otodas ellas por números).

5Ejemplo 3. Resolver el siguiente determinante

5 2 1 1

7 1 2 2

9 0 1 4

?1 2 0 1

En él podemos notar que si sumamos la segunda columna con la tercera y el doble de la cuarta obtenemos (salvo en elúltimo número) la primera. Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo las columnas segunda, tercera y cuarta yreescribiendo la primera como el resultado de restar a sus valores los correspondientes a la combinación lineal indicada(segunda + tercera + doble de cuarta). A continuación aplicaremos el método de los menores complementarios (esta vez noescribiremos los términos que incluyan una multiplicación por 0)

0 2 1 1

0 1 2 2

0 0 1 4

?5 2 0 1

= ?Ý?5Þ2 1 1

1 2 2

0 1 4

= 45

La operación de hacer ceros se puede repetir varias veces, tanto en filas como en columnas, hasta que se considerenecesario. Desde luego, no es imprescindible hacer ceros para resolver un determinante. Simplemente facilita los cálculos.


De esta propiedad es fácil deducir otras:

$Un determinante con dos filas (o columnas) exactamente iguales o proporcionales (es decir, una de ellas es la otramultiplicada por un número) es igual a 0.

$Un determinante en el que una fila (columna) es combinación lineal de dos o más filas (dos o más columnas) es igual a0. Por ejemplo, el siguiente determinante, en el que la cuarta fila es combinación lneal (por suma directa) de las tresprimeras, es 0:

0 ?2 1 12

?1 1 2 12

1 2 3 1

0 1 6 2

= 0

g Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)¾ Entre otras utilidades, los determinantes sirven para resolver sistemas de ecuaciones por el llamado método de

Cramer. Sea el siguiente sistema (Ejemplo 4)

2x + y ? z = 4

x + y + z = 3

3x ? y ? z = 1

Se puede demostrar que las soluciones para x, y y z vienen dadas directamente por los siguientes cocientes:

x =

4 1 ?1

3 1 1

1 ?1 ?1

2 1 ?1

1 1 1

3 ?1 ?1

= 1 y =

2 4 ?1

1 3 1

3 1 ?1

2 1 ?1

1 1 1

3 ?1 ?1

= 2 z =

2 1 4

1 1 3

3 ?1 1

2 1 ?1

1 1 1

3 ?1 ?1

= 0

Repárese en cómo se han construido los tres cocientes: los denominadores son en los tres casos los determinantes de lallamada matriz de los coeficientes (matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, ordenadas), y los numeradores sonesos mismos determinantes pero sustituyendo en ellos la columna correspondiente a la incógnita que se esté solucionandocada vez (la x, la y o la z) por la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones (en este caso, 4, 3, 1).Este es el método de Cramer. Para evitar errores, el sistema de ecuaciones hay que escribirlo de modo que las incógnitasestén bien alineadas en columnas, y los términos independientes en el segundo miembro. Se aplica del mismo modo asistemas más complejos (cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, etc...) y más simples (dos ecuaciones con dos incógnitas).

A veces un sistema de ecuaciones no tiene solución. Efectivamente, si el determinante de la matriz de los coeficientes (eldel denominador de las expresiones de Cramer) es 0, el sistema no se puede resolver. Y si, siendo 0 el determinante deldenominador, lo es también el del numerador para al menos una de las incógnitas, el sistema puede no tener solución otener infinitas soluciones.

Recapitulando: los sistemas de ecuaciones pueden tener

å ninguna solución, y se llaman entonces incompatibles;

å una y sólo una, y se llaman entonces compatibles determinados;

å infinitas soluciones, y se llaman entonces compatibles indeterminados.

¾ Hay una forma directa de comprobar si un sistema de ecuaciones tiene o no solución, y, caso de que la tenga, si esúnica o son infinitas. Lo veremos con el sistema del Ejemplo 4 tratado anteriormente. Construiremos las llamadasmatriz de los coeficientes (C) y matriz ampliada (A) para ese sistema (esta última es la misma matriz de loscoeficientes pero con una nueva columna añadida a la izquierda: la de los términos independientes):

C =

2 1 ?1

1 1 1

3 ?1 ?1

A =

2 1 ?1 4

1 1 1 3

3 ?1 ?1 1

Calcularemos ahora los rangos de ambas matrices. Rango de una matriz es el orden de la mayor submatrizcuadrada con determinante distinto de cero que podamos encontrar dentro de la matriz en cuestión.

Dentro de la matriz C podemos encontrar submatrices cuadradas de orden 1, 2 y 3, y lo mismo, en este caso, dentrode la matriz A. La única submatriz cuadrada de orden 3 que contiene la matriz C es ella misma. Calculamos sudeterminante, que da un valor distinto de 0 (concretamente da 8). Como hemos encontrado que una submatriz de Cde orden 3 tiene determinante distinto de 0, el rango de C es 3. A tendrá el mismo rango, puesto que nopodemos encontrar dentro de ella submatrices cuadradas de mayor orden y sí una de orden 3 igual a la anterior,para la que ya hemos demostrado que tiene determinante distinto de 0.

Si r C es el rango de la matriz de los coeficientes, r A el rango de la matriz ampliada y n el número de


incógnitas, deberemos tener en cuenta las siguientes relaciones para saber si un sistema tiene o no solución:

r C = r A = n sistema compatible determinado

r C = r A ® n sistema compatible indeterminado

r C ® r A sistema incompatible

En nuestro ejemplo anterior, el sistema es compatible determinado, y la solución única puede determinarse por el métodode Cramer como ha quedado visto. Veremos ahora otros ejemplos.

5Ejemplo 5. Averiguar si el siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla:

x + y ? z = 3

y + z = 5

2x + 2y ? 2z = 5

C =

1 1 ?1

0 1 1

2 2 ?2

A =

1 1 ?1 3

0 1 1 5

2 2 ?2 5

El rango de C es 2, puesto que 2 es el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de 0 que somoscapaces de encontrar dentro de C (comprobarlo); y el rango de A es 3, puesto que se puede encontrar una submatriz cuadradade orden 3 dentro de A.(por ejemplo, la formada con las columnas segunda, tercera y cuarta). El sistema es, pues,incompatible.

5Ejemplo 6. Averiguar si el siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla:

x + y ? z = 3

y + z = 5

2x + 2y ? 2z = 6

C =

1 1 ?1

0 1 1

2 2 ?2

A =

1 1 ?1 3

0 1 1 5

2 2 ?2 6

En este caso, el rango de la matriz de los coeficientes es 2, y también lo es el de la ampliada (compruébese que las cuatroposibles submatrices de orden 3 de la matriz ampliada tienen determinante igual a 0). Como el número de incógnitas es 3, elsistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Los sistemas compatibles indeterminados se resuelven como sigue. Se considera qué submatriz se utilizó para demostrarque el rango de C es 2 (cada persona puede haber usado una submatriz distinta; eso no importa). Supongamos que hemostomado la submatriz marcada con números en negrita siguiente para demostrar que el rango de C es 2 (esa submatriz noshubiera valido, en efecto, para ello porque su determinante es distinto de 0):

1 1 ?1

0 1 1

2 2 ?2

Pues bien, se tacha la fila que no hemos empleado (en este caso, la tercera), lo que equivale a olvidarnos de la terceraecuación del sistema que nos dieron, y la incógnita que no hemos empleado (en este caso la z, tercera columna) se sustituye,donde aparezca, por la letra griega V (lambda), pasándola además al segundo miembro. Es decir el sistema de ecuaciones sereescribe así:

x + y = 3 + V

y = 5 ? V

Ahora:

C =1 1

0 1A =

1 1 3 + V

0 1 5 ? V(nótese que A tiene 3 columnas, no 4)

Ese sistema es ahora compatible y determinado (compruébese que ambos rangos son 2, y téngase en cuenta que ahora 2es el número de incógnitas, pues z ha dejado de ser incógnita). Lo solucionaremos por Cramer:

x =

3 + V 1

5 ? V 1

1 1

0 1

= ?2 + 2V y =

1 3 + V

0 5 ? V

1 1

0 1

= 5 ? V

La solución del sistema es: x = ?2 + 2V y = 5 ? V z = V

Ahora bien, si hubiéramos tomado como referencia otra submatriz para demostrar que el rango de C es 2 habríamosobtenido otro resultado, pero en realidad es el mismo, lo que vamos a demostrar. Por ejemplo, si hubiéramos tomado comosubmatriz la señalada con números en negrita para demostrar que el rango de C es 2:


1 1 ?1

0 1 1

2 2 ?2

entonces, para resolver el sistema no necesitaremos la primera ecuación. La incógnita no usada ahora es la x , queharemos igual al parámetro t (para no confundirlo con el V usado antes); es decir, x = t. El sistema quedaría ahora:

y + z = 5

2y ? 2z = 6 ? 2ty si lo resolvemos por el método de Cramer obtendríamos: x = t y = 4 ? 1

2 t z = 1 + 12 t , solución que parece distinta a la

anterior. Pero es la misma. Esto podemos entenderlo si comprendemos primero qué significa expresar la solución de unaecuación de esa forma, es decir, en función de un parámetro. Significa que en realidad son infinitas las soluciones, y cada unade ellas se obtiene dando un valor arbitrario a V (o a t); por ejemplo, para V = 0 las soluciones para la ecuación son:x = ?2 y = 5 z = 0; para V = 1 : x = 0 y = 4 z = 1, etc. A esas mismas soluciones siempre se puede llegar dandolos adecuados valores a t; así, para t = ?2 obtenemos de nuevo x = ?2 y = 5 z = 0, y para t = 0 llegamos a

x = 0 y = 4 z = 1.

(En la práctica, para saber cómo se corresponden V y t basta igualar, en cualquiera de las incógnitas, sus expresionescorrespondientes en función de V y de t; por ejemplo, como x = t y x = ?2 + 2V, de ahí se deduce que ?2 + 2V = t, loque nos permite conocer la relación entre V y t; según esa relación, para V = 0, t = ?2, y por eso, usando esos valores, lassoluciones de la ecuación coinciden en los dos métodos.)

1 Un tipo especial de problemas consiste en determinar si un sistema tiene o no solución en función de un parámetro. Porejemplo, sea el siguiente (en el que se usa el parámetro a):

ax ? y ? 2z = 1

x + y = 3

y + z = 2

Para resolver este caso concreto, se plantea la matriz de los coeficientes (C) y la ampliada (A); se resuelve el determinantede C, que, lógicamente, quedará en función de a (en este caso ese determinante da a ? 1); el resultado se iguala a 0, y esonos permite calcular el valor de a que hace el determinante 0, o, lo que es lo mismo, que hace que la matriz tenga rango 2;cualquier otro valor de a hará que la matriz tenga rango 3. También hay que comprobar el rango de la matriz ampliada, queda 3 independientemente de a. Concretamente, en este problema, para a = 1 el rango de la matriz C da 2, y para cualquierotro valor de a da 3; de ahí es fácil deducir que para a = 1 el sistema es incompatible y que para a ® 1 el sistema escompatible determinado.

Cada caso concreto de este tipo de problemas es diferente, pero la forma de resolverlo es básicamente la indicada.

1 Hay sistemas en que los términos independientes valen todos 0; se llaman homogéneos y siempre son compatibles,puesto que al menos admiten una solución: x = 0, y = 0, z = 0. Lo que hay que determinar en ellos es si sólo tienen esasolución (compatibles determinados) o infinitas (compatibles indeterminados). Por ejemplo:

x + y + z = 0

2x ? z = 0

3x + y = 0es compatible indeterminado con solución general x = V y = ?3V z = 2V.


Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometríaÁngulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas

¡ Razones trigonométricas de un ángulo

¬ Ángulos

Clásicamente los ángulos se miden en grados: la vuelta completa a una circunferencia son 360o ; media vuelta son 180o ;un cuarto de vuelta (un ángulo recto), 90o , etc. Pero la unidad más científica es el radián. La relación entre grados y radianeses:

360 grados son 2^ radianes

Aunque en estos Apuntes trabajaremos habitualmente con grados, debe tenerse en cuenta que la unidad científicamentemás usada son los radianes. No obstante, pasar de una unidad a otra (antes de empezar a operar o en el resultado final) essimple: basta hacer una regla de tres.

¬ Seno y coseno de un ángulo

Sobre los ángulos se pueden realizar, entre otras, unas operaciones que se denominan razones trigonométricas. Las másimportantes son el seno (sen) y el coseno (cos). Para definirlas y poder estimar su valor aproximado nos podemos ayudar de uncírculo cuyo centro coincida con el de un sistema de coordenadas cartesianas X, Y clásico Consideraremos siempre que elradio del círculo es 1. Todo esto viene ilustrado en la siguiente figura:

-0.5

0.5

-0.5 0.5-1 0

-1

1

1Eje X

Eje

Y

1ºCuad.

3ºCuad.

4ºCuad.

2ºCuad.

0º

270º

180º

90º

En ella también se han numerado los llamados cuatro cuadrantes en que queda dividido el círculo y se han representadoalgunos valores de los ejes X e Y (en los que cada muesca de la escala vale 0.1 unidades, como puede comprobarse).También se han representado ángulos típicos. Donde está representado el ángulo 0o se considera el punto de partida paramedir ángulos; yendo contra las agujas del reloj el sentido se considera positivo (al revés es negativo: así, el ángulo 270o

también puede llamarse ?90o ).

El seno de un ángulo se define como el valor de la coordenada Y (ordenada) del punto que representa a dicho ángulo enel círculo de radio unidad que estamos tomando como referencia; el coseno es el valor de la coordenada X (abscisa). Porejemplo, el seno de 30o es 0.5, y el coseno de 30o es un valor que está entre 0.8 y 0.9, como puede comprobarse, según lasdefiniciones dadas, en la siguiente figura:


0.5

.8 .9X

Y

×× 30º

De la figura puede también deducirse que el seno de un ángulo es la altura del punto que representa al ángulo (marcadocon ×) respecto al eje de las X en un círculo de radio = 1 .

Por lo tanto, en adelante hay que tener muy en cuenta que:

seno: valor de la coordenada y del punto que representa al ángulo

coseno: valor de la coordenada x del punto que representa al ángulo

Por supuesto, el signo de estas coordenadas puede ser positivo o negativo. Por ejemplo, siguiendo la definición quehemos dado, el valor del seno de un ángulo que esté situado en el tercer cuadrante (digamos 210o ) debe ser negativo, puesen ese cuadrante la coordenada y tiene valor negativo.

JDe las definiciones dadas y de la observación de la figura siguiente puede deducirse que las razones trigonométricas deun ángulo dado pueden coincidir (totalmente o diferenciándose a lo sumo en el signo) con las de otros ángulos del círculo.

X

Y

×× 30º

××××

××150º

210º 330º

Si en la figura observamos los puntos que representan a los ángulos escritos (puntos señalados con ×), veremos qur todosellos tienen el mismo valor absoluto (es decir, signo aparte) de la coordenada y (0.5) y el mismo de la x (entre 0.8 y 0.9). Portanto, el seno y el coseno de todos esos ángulos tienen el mismo valor absoluto.

Esta constatación podemos generalizarla. En general, conociendo las razones trigonométricas (seno y coseno) de losángulos del primer cuadrante podemos saber las de los ángulos de cualquiera de los otros tres cuadrantes, siguiendo lassiguientes reglas:

Â un ángulo del segundo cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo quecorresponda en el primer cuadrante al trazar una recta paralela al eje de las X (así, las razones de 150o son las mismas(signos aparte) que las de 30o , y las de 178o las mismas que las de 2o ).

Â un ángulo del tercer cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo quecorresponda en el primer cuadrante al trazar una recta que pase por el centro de coordenadas.(así, las razones de 210o son lasmismas (signos aparte) que las de 30o , y las de 254o las mismas que las de 74o ).

Â un ángulo del cuarto cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el que corresponda enel primer cuadrante al trazar una recta paralela al eje de las Y. (así, las razones de 330o son las mismas (signos aparte) que las


de 30o , y las de 271o las mismas que las de 89o ).

5Ejemplo: calcular las razones trigonométricas de 225o . Este ángulo está en el tercer cuadrante (es decir, su seno y sucoseno serán ambos negativos) y sus razones trigonométricas equivaldrán a las de 45o , según las reglas vistas. Por tanto:

sen225o = ? 22 cos225o = ? 2

2

¬ Otras funciones trigonométricas

La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno; siguiento el ejemplo anterior podemos decir que:

tg225o = sen225o

cos 225o = ? 2 /2? 2 /2 = 1

La cotangente se define como la inversa de la tangente. Así:

cotg225o = 1tg225o = 1

1 = 1

La cosecante se define como la inversa del seno. Así:

cosec225o = 1sen225o = 1

? 2 /2 = ?2 2/2

La secante se define como la inversa del coseno. Así:

sec225o = 1cos225o = 1

? 2 /2 = ?2 2/2

¬ Razones trigonométricas básicas

Es necesario memorizar las razones trigonométricas de 0o , 30o , 45o , 60o y 90o . En realidad, basta memorizar lossenos y cosenos, pues las demás se obtienen fácilmente de sus definiciones.

sen cos tg cosec sec cotg

0o 0 1 0 ? 1 ?

30o 12

32

33 2 2 3

3 3

45o 22

22 1 2

22

2 1

60o 32

12 3 2 3

3 2 33

90o 1 0 ? 1 ? 0

¬ Funciones inversas

Dado un número real cualquiera, podríamos preguntarnos, por ejemplo, para qué ángulo su seno es ese número. Porejemplo, ¿cuál es el ángulo cuyo seno es 0.5? Esa operación se llama ”arco seno”, y se representa en este caso arcsen 0.5.Tiene dos soluciones porque hay dos ángulos (30o y 150o ) cuyo seno es 0.5:

arcsen 0.5 = 30o arcsen 0.5 = 150o

Del mismo modo podemos escribir (usando calculadora)

arccos 0.2257 p 76.95o arccos 0.2257 p 283.04o (también dos soluciones)

y (sin necesidad de calculadora):

arctg 1 = 45o arctg 1 = 225o

¬ Relaciones trigonométricas útiles

Siempre se cumple que

Â sen2J + cos2J = 1 Esto nos permite calcular el coseno de un ángulo sabiendo el seno, o al revés; por ejemplo, siel seno de 26o es aproximadamente 0.438, su coseno será: cosJ = 1 ? sen2J p 0.899

Â senÝ?JÞ = ?senJ cosÝ?JÞ = cosJ (Ejemplo.: senÝ?30Þ = ?sen30 = ? 12 )

Â senÝJ + KÞ =senJ cosK +cosJsenK cosÝJ + KÞ = cosJ cosK ?senJsenK (fórmulas útiles para calcular razonesde ángulos como 105o , que es la suma de 60o y 45o ; así:

sen105o =senÝ60o + 45oÞ =sen60o cos45o +cos60o sen45o = 32

22 + 1

22

2 = 2 Ý 3 +1Þ4 p 0.966

También podemos calcular utilizando este tipo de fórmulas las razones de 15o ; por ejemplo:

cos15o = cosÝ60o ? 45oÞ = cosÝ60o + Ý?45oÞÞ = cos60o cosÝ?45oÞ ?sen60o senÝ?45oÞ =12

22 ? 3

2 Ý? 22 Þ = 1

22

2 + 32

22 = 2 Ý1+ 3 Þ

4 p 0.966

Â senJ = cosÝ90o ? JÞ (por ejemplo: sen10o = cos80o

Gracias a esta última propiedad, en realidad sólo se exigirá memorizar los valores del seno (o del coseno) de 0o , 30o ,


45o , 60o y 90o . para poder realizar la mayoría de problemas.

¡ Trigonometría de triángulos

¬ Teoremas de Tales y Pitágoras

En la siguiente figura, considérense los triángulos ABC y abc. Ambos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamenteiguales entre sí (se dice que son triángulos semejantes). Para dos triángulos semejantes se cumple el Teorema de Tales:

aA

= bB

= cC

Por otra parte, en cualquier triángulo rectángulo (aquél que tiene un ángulo recto, como es el caso en este ejemplo) secumple el Teorema de Pitágoras:

C 2 = A2 + B2

-2 -1 0 1 2

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

γ

β

αa

b

c

B

A

C

¬ Razones trigonométrica en un triángulo

Por lo que hemos visto hasta ahora, y teniendo en cuenta la figura anterior, en la que el círculo interno tiene radio 1 y elexterno un radio distinto (en el ejemplo = 2) podemos escribir que

senJ = a

cosJ = b

pero por el teorema de Tales podemos escribir:

aA

= cC

ì a = AcC

= AC

(pues c = 1)

bB

= cC

ì b = BcC

= BC

(pues c = 1)

Combinando estas ecuaciones y las anteriores podemos obtener las fórmulas generales para calcular el seno y el cosenode un ángulo que pertenece a cualquier triángulo como los de la figura (rectángulos):

senJ = AC

cosJ = BC

y, por tanto : tgJ = AB

o, dicho con palabras:

senJ =cateto opuesto

hipotenusa

cosJ =cateto contiguo

hipotenusa

tgJ =cateto opuestocateto contiguo

Estas tres fórmulas, que hay que memorizar, sirven para conocer algunos lados o ángulos de un triángulo conocidosotros. No se olvide que sólo pueden aplicarse a triángulos rectángulos, aunque si no lo son pueden partirse de modo que seobtengan subtriángulos rectángulos.


5Resolver el siguiente triángulo a partir de los datos conocidos: (la altura es 1.2 )

α

A

50º

β3

B

1.2α

A

50º

β3

B

1.2

Podemos conocer en primer lugar el ángulo J, pues:

senJ = 1.23 = 0.4 ì J =arcsen 0.4 p 23.58o (con calculadora)

Eso permite saber cuánto vale K, pues en cualquier triángulo debe cumplirse: J + K + L = 180o ì K p 106.42o

A puede conocerse a partir de:

sen50o = 1.2A ì A = 1.2

sen50o p 1.57

Por otro lado, podemos calcular las bases (llamémoslas B v y B vv ) de los triángulos rectángulos de la izquierda y laderecha (delimitados por la línea que representa la altura):

cosJ = Bv

3 ì B v = 3cos23.58o p 2.75

cos50o = Bvv

1.57ì B vv p 1.57cos50o p 1.01

Por tanto, B = B v + B vv p 3.76


Tema 14: Números complejosNúmeros complejos en forma binómica y en forma trigonométrica, Operaciones con complejos

g Necesidad de los números complejos;el número i

En la resolución de algunos problemas (como algunas ecuaciones de segundo grado) pueden aparecer raíces cuadradasde números negativos, algo que no tiene sentido en el campo de los números reales. Para solucionarlo se idearon losnúmeros complejos.

La expresión ?1 es un número complejo que llamaremos i. Usando i podremos solucionar raíces como?16 = 16 6 ?1 = ±4i

Cuando en determinada operación encontremos i elevado a alguna potencia lo transformaremos según:

i 0 = 1 i 1 = i i 2 = ?1 i 3 = ?i

serie que se repite cíclicamente (por ejemplo: i 4 = 1 i 5 = i i 6 = ?1, etc...), de modo que potencias más altaspueden reducirse a la serie principal dividiendo el exponente por 4 y tomando el resto de la división.

5Ejemplo: Reducir i 11

Dividimos 11 entre 4 y tomamos el resto, que es 3. Por tanto, i 11 = i 3 , y observando la serie mencionada, comoi 3 = ?i , podemos escribir: i 11 = ?i (la prueba es la siguiente: 11 = 4 × 2 + 3 ; por tanto:

i 11 = i 4×2+3 = i 4×2 i 3 = i 4 2 i 3 = 1 × i 3 = i 3 = ?1, donde hemos aplicado varias propiedades de las potencias vistas en lostemas iniciales de estas Apuntes)

g Forma binómica de un número complejo

Un número complejo expresado en la llamada forma binómica es un binomio de la forma

a + bi

, donde a puede ser cualquier número real (incluido el 0) y se denomina parte real, y b puede ser cualquier númeroreal (incluido el 0) y se denomina parte imaginaria.

Un complejo cuya parte real sea cero se llama imaginario puro; lo es, por ejemplo, el complejo ?3i, y un complejo cuyaparte imaginaria sea cero se llama simplemente real; por ejemplo el 5.

¬ Operaciones con complejos en forma binómica

e Suma, resta, multiplicación y potencia: se efectúan como en cualquier monomio. Si aparece i elevado a una potenciasuperior a 1 debe reducirse como ha quedado explicado más arriba.

5Ejemplo: Sean los complejos z 1 = 2 ? 3i y z 2 = ?1 ? i ; su suma es 1 ? 4i; su resta:

Ý2 ? 3iÞ ? Ý?1 ? iÞ = 2 ? 3i + 1 + i = 3 ? 2i; su poducto es: Ý2 ? 3iÞÝ?1 ? iÞ = ?5 + i (después de hacer alguna simplificación;compruébese); y la potencia de cualquiera de ellos se obtiene multiplicándolo por sí mismo tantas veces como seanecesario; por ejemplo: z 4 = z 6 z 6 z 6 z. (se multiplica primero z 6 z, luego el resultado por z y este resultado, finalmente,por z de nuevo).

ee División: para efectuar el cociente entre dos números complejos se multiplica numerador y denominador por elconjugado del denominador, siendo el conjugado de un complejo el mismo complejo pero con la parte imaginaria (sólo la parteimaginaria) cambiada de signo:

5Ejemplo: 2?3i?1?i = Ý2?3iÞÝ?1+iÞ

Ý?1?iÞÝ?1+iÞ = 1+5i2 = 1

2 + 52 i (en la presentación final del complejo es conveniente separar la parte

real de la imaginaria; por eso hemos aplicado la propiedad distributiva de la división).

g Forma trigonométrica de un número complejo

¬ Representación cartesiana

Un complejo a + bi puede representarse en coordenadas cartesianas como el punto Ýa, bÞ. Por ejemplo, los complejos4 + 2i y ?2 ? 2i pueden representarse por los puntos señalados en el siguiente gráfico:


X

Y

××

××

(4,2)

(-2,-2)

αα’ r

r’

La distancia desde el punto que representa al complejo al centro de coordenadas, r, se llama módulo del complejo, yel ángulo entre el eje X y el radio r se llama argumento del complejo.

¬ Expresión trigonométrica y operaciones con complejos en dicha forma

Dado un complejo en forma binómica a + bi puede expresarse en forma trigonométrica así:

rÝcosJ + isenJÞ

donde r es su módulo y J su argumento, que según la figura anterior pueden calcularse así:

r = + a2 + b2

J = arctg |b ||a |

fórmula esta última donde, como viene indicado, deben tomarse los valores absolutos (es decir, siempre positivos) de a yb por cuestiones de conveniencia.

5Ejemplo: escribir en forma trigonométrica los complejos z 1 = ?2 ? 2i y z 2 = 3 ? i.

Para z 1 el módulo es: r = Ý?2Þ 2 + Ý?2Þ 2 = 8 = 2 2 y el argumento es:

J =arctg |b ||a |

=arctg 22 =arctg1 Ahora bien, arctg1 tiene dos soluciones: 45o y su ángulo correspondiente en el tercer

cuadrante, que es 225o (también podrán serlo en principio sus ángulos correspondientes en los segundo y cuarto cuadrantes,135o y 315o , pero esos podemos desestimarlos inmediatamente porque su tangente es negativa; ver el capítulo deTrigonometría) Para saber cuál de los dos es la solución, basta reparar en que el punto Ý?2,?2Þ que representa al complejo:está en el tercer cuadrante; por tanto, el argumento de z 1 es J = 225o .

Por tanto, el complejo es: z 1 = 2 2Ýcos225o + isen225oÞ

Para z 2 el módulo es: r = Ý3Þ 2 + Ý?1Þ 2 = 10 y el argumento es:

J =arctg |b ||a |

=arctg 13 (recuérdese que tomamos b y a siempre positivos, aunque sean negativos). Empleando una

calculadora, el ángulo debe ser aproximadamente 18.43o o cualquiera de sus correspondientes: 161.57o , 198.43o o 341.57o

en el resto de los cuadrantes. De los cuatro nos quedamos con 341.57o , pues el punto que representa al complejo, Ý3,?1Þestá en el cuarto cuadrante.

Por tanto, el complejo es: z 2 = 10Ýcos341.57o + isen341.57oÞ

5Ejemplo: escribir en forma trigonométrica los complejos z 3 = ?2 y z 4 = 3 i.

Pasar a forma trigonométrica números complejos que en realidad son reales puros (como .z 3 ) o imaginarios puros (como.z 4 ) es especialmente fácil:

EReales puros: el módulo de un real puro es él mismo (siempre con signo positivo aunque sea negativo), y sólo hay dosposibles argumentos: 0o si es positivo y 180o si es negativo (pues recordemos que la parte real de un complejo se representaen el eje de las X). Por tanto: z 3 = 2Ýcos180o + isen180oÞ.

EImaginarios puros: el módulo de un imaginario puro es el número que multiplica a la i (siempre con signo positivoaunque sea negativo), y sólo hay dos posibles argumentos: 90o si es positivo y 270o si es negativo (pues recordemos que laparte imaginaria de un complejo se representa en el eje de las Y). Por tanto: z 3 = 3Ýcos90o + isen90oÞ.


5Ejemplo: pasar a forma binómica el complejo en forma trigonométrica 5Ýcos45o + isen45oÞ

Basta operar: 5Ýcos45o + isen45oÞ = 5Ý 22 + 2

2 iÞ = 5 22 + 5 2

2 i

¬ Operaciones con complejos en forma trigonométrica

La forma trigonométrica es muy útil para multiplicar, dividir, elevar a potencia y sacar raíces de complejos.

Â El producto de varios complejos es un nuevo complejo que tiene por módulos el producto de los módulos, y porargumento, la suma de los argumentos (si sumados pasan de 360o , vamos restando 360o sucesivamente hasta que nos quedeun valor menor de éste: por ejemplo, 375o equivale a 375o ?360o =15o ).

Â El cociente de dos complejos es un nuevo complejo que tiene por módulos el cociente de los módulos, y porargumento, la diferencia de los argumentos (si al restarlos da un valor negativo, pasarlo a positivo sumando 360o (porejemplo, ?10o equivale a ?10o + 360o = 350o ).

Â Un complejo elevado a cierta potencia da como resultado otro cuyo módulo es el del primero elevado a esa potencia, ysu argumento es el del primer complejo multiplicado por el exponente de esa potencia.

Â La raíz de un complejo es otro cuyo módulo es la raíz del primero, y cuyo argumento, K, se calcula por la fórmula:K = J+360k

n , donde J es el módulo del complejo del que queremos obtener su raíz, n es el índice de la raíz y k es unnúmero entero que va desde 0 a n ? 1, lo cual quiere decir que la raíz n de un complejo tiene n soluciones, una por cadavalor de k tomado. (Nota: si expresamos los ángulos en radianes, la fórmula mencionada es: .K = J+2^k

n ).

5Ejemplos. Sean los complejos z 1 = 2 2Ýcos225o + isen225oÞ y z 2 = 10Ýcos341.57o + isen341.57oÞ y .Calcular: z 1 6 z 2 , z 1 / z 2 , z 1

4 , 3 z 1

z 1 6 z 2 = 2 2 10ÝcosÝ225o + 341.57oÞ + isenÝ225o + 341.57oÞÞ = 4 5Ýcos566.57o + isen566.57oÞ = 4 5Ýcos206.57o + isen206.57oÞ

z 1 /z 2 = 2 55 ÝcosÝ225o ? 341.57oÞ + isenÝ225o ? 341.57oÞÞ = 2 5

5 ÝcosÝ?116.57oÞ + isenÝ?116.57oÞÞ = 2 55 Ýcos243.43o + isen243.43oÞ

z 14 = Ý2 2Þ 4 ÝcosÝ4 6 225oÞ + isenÝ4 6 225oÞÞ = 64Ýcos900o + isen900oÞ = 64Ýcos180o + isen180oÞ

3 z 1 = 3 2 2 Ýcos 180o+360k3 + isen 180o+360k

3 Þ Las tres soluciones se obtienen dando a k los valores de 0, 1, 2,respectivamente. Son: 2Ýcos60o + isen60oÞ 2Ýcos180o + isen180oÞ y 2Ýcos300o + isen300oÞ .


Temas 13 y 15: VectoresVectores, módulo de un vector, suma y resta, multiplicación por un escalar, producto escalar, ángulo entre dos

vectores, producto vectorial, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, base y sistema degeneradores

¡ Conceptos¬ Un vector es un segmento orientado. En la figura siguiente se representan varios vectores. Todos ellos consisten en

segmentos orientados que parten del centro de coordenadas; cada uno de ellos es del tipo conocido como vector libre, elque se trata en este curso.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

v(2,-26/5)

u(1,-13/5)

v(4,2)

t(-4,-2)

Y

X

Cada vector se simboliza por las coordenadas cartesianas de su extremo. Así, el vector v de la figura puederepresentarse por el par de coordenadas Ý4, 2Þ.

En el caso de que nos den un vector indicando las coordenadas de su origen y su extremo lo reduciremos siempre a suvector libre correspondiente. El procedimiento para ello es restar las coordenadas del extremo menos la del origen.

5Ejemplo: ¿cuál es el vector libre cuyas coordenadas del extremo son Ý2, 3Þ y las del origen Ý?2, 3Þ. Sol.: la primeracoordenada es 2 ? Ý?2Þ = 4, y la segunda es 3 ? 3 = 0. El vector libre es, pues, el Ý4, 0Þ y con éste es con el que normalmentese trabajará.

¬ Vectores en el espacio: los vectores ejemplificados hasta ahora están todos en el plano, pero también podemosconsiderar vectores en el espacio ”normal” (es decir, el de tres dimensiones, simbolizado habitualmente por R3 ) o espacios demás dimensiones (R4 , R5 ...). Por cada dimensión se necesita una coordenada para definir al vector. En el plano, la primeracoordenada se refiere a la x del sistema de coordenadas cartesiano; y la segunda a la y. En el espacio normal es necesariauna tercera coordenada, llamada z, y así sucesivamente. Un vector en R3 puede ser, por ejemplo, el Ý3,?3, 1

2 Þ.

¬ Dirección de un vector es la recta sobre la que se apoya el vector; cada dirección tiene dos sentidos (que vienenindicados por la punta de flecha de cada vector). Por ejemplo, los vectores v y t de la figura tienen igual dirección perodistinto sentido.

¬ Módulo de un vector es la longitud de la flecha que lo representa, medida en la escala del sistema de coordenadascorrespondiente. Observando la figura anterior es fácil deducir, aplicando el teorema de Pitágoras, que el módulo del vector ves: v = 42 + 22 = 20 . En general, el módulo de un vector v en el plano cuyas coordenadas sean Ýv1 , v2 Þ

viene dado por la expresión:

v = v12 + v2

2

El modulo de un vector v en el espacio cuyas coordenadas sean Ýv1 , v2 , v3 Þ se calculará por :

v = v12 + v2

2 + v32

El módulo de un vector siempre es positivo, pues es la medida de una longitud. Así, el módulo del vector t es 20(compruébese).


¬ Vectores opuestos: dos vectores con el mismo módulo e igual dirección pero diferentes sentidos se dice que sonopuestos. En la figura anterior, v y t son opuestos. En la práctica, dado cualquier vector, su opuesto es otro que tiene lasmismas componentes pero cambiadas de signo. Así por ejemplo, el opuesto de Ý?2, 3Þ es Ý2,?3Þ y el opuesto de Ý?1, 0, 1Þes el Ý1, 0,?1Þ.

¬ Vectores unitarios: son aquéllos cuyo módulo es 1. Por ejemplo, los vectores Ý0, 1Þ, Ý 32 ,? 1

2 Þ y Ý0, 0, 1Þ sonunitarios (compruébese).

¡ Operaciones con vectores¬ Suma:(o resta): basta sumar (o restar) las componentes respectivas entre sí.

5Ejemplo: Sean los vectores u = Ý?1,?3Þ; v = Ý2,?5Þ; sumarlos y restar u ? v y v ? u :

u + v = Ý?1,?3Þ + Ý2,?5Þ = 1,?8

u ? v = Ý?1,?3Þ ? Ý2,?5Þ = ?3, 2

v ? u = Ý2,?5Þ ? Ý?1,?3Þ = Ý3,?2Þ

Geométricamente dos vectores pueden sumarse contruyendo con ellos un paralelogramo como indica la figura siguiente.La resta puede considerarse una suma; efectivamente, la resta de dos vectores v ? w es lo mismo que la suma v + ?w (esdecir, la suma de v con el opuesto de w).

v

w

v + w

-w

v - w

¬ Multiplicación por un escalar (un número real): basta multiplicar el escalar por cada una de las componentes delvector. Por ejemplo, 3Ý2,?5Þ = 6,?15 .

5Ejemplo: Efectuar la siguiente operación: aÝ2,?5, 1Þ ? 3 2,?1, 1 Sol.:.aÝ2,?5, 1Þ ? 3 2,?1, 1 =Ý2a,?5a, aÞ ? 6,?3, 3 = 2a ? 6,?5a + 3, a ? 3

¬ Producto escalar: Sean los vectores u = Ýu1 , u2 , u3 Þ y v = Ýv1 , v2 , v3 Þ, siendo sus módulos, respectivamente u

y v y siendo J el ángulo que forman ambos. El producto escalar de estos dos vectores, u 6 v , da un escalar (unnúmero real), y puede (y en ocasiones debe) calcularse por dos métodos diferentes:

u 6 v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

u 6 v = u v cosJ

De las dos expresiones anteriores puede deducirse, igualando los segundos miembros y despejando cosJ :

cosJ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

u v

Lo que permite conocer el ángulo J formado por dos vectores.

5Ejemplo: ¿Qué ángulo forman los vectores Ý1, 0, 0Þ y 0, 1, 0 ?

cosJ = u1v1+u2v2+u3v3

|u ||v |= 160+061+060

161 = 1; por lo tanto el ángulo es 90o .

Los dos vectores del ejemplo anterior, junto al vector Ý0, 0, 1Þ, forman la llamada base canónica del espacio (más tarde sedefinirá qué es una base). Como puede comprobarse fácilmente, los tres son unitarios. Se les suele llamar, respectivamente,i , j y k .

¬ Producto vectorial: Sean los vectores u = Ýu1 , u2 , u3 Þ y v = Ýv1 , v2 , v3 Þ. y sean i , j , k los vectores que forman labase canónica del espacio, definidos en el ejemplo anterior. El producto vectorial de estos dos vectores, u × v , da un vectorque se obtiene resolviendo el siguiente determinante:


i j k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

5Ejemplo: Calcular el producto vectorial de los vectores: Ý1,?2, 1Þ y Ý3, 3, 1Þ :

i j k

1 ?2 1

3 3 1

= ?5 i + 2 j + 9k

Como se observa, se obtiene un vector, aunque presentado en forma de suma de tres vectores. Para ponerlo encoordenadas cartesianas podemos sustituir los vectores unitarios i , j , k por sus coordenadas cartesianas:

?5 i + 2 j + 9k = ?5Ý1, 0, 0Þ + 2Ý0, 1, 0Þ + 9Ý0, 0, 1Þ = ?5, 2, 9

Como se puede observar, las coordenadas cartesianas de un vector son, simplemente, los números que multiplican a losvectores de la base canónica i , j , k .

5Ejemplos: Expresar en coordenadas cartesianas el vector u = 2 i ? j ? 3k . Sol.: u = Ý2,?1,?3Þ

Expresar usando la base canónica el vector v = Ý1, 0,?2Þ Sol.: v = i ? 2k .

ø Interpretación geométrica del producto vectorial:

El vector producto vectorial tiene siempre como dirección la perpendicular al plano que forman los dos vectores que seestán multiplicando, y su sentido lo indica la llamada ley del sacacorchos: es el que seguirá un sacacorchos clavado en elorigen común de los dos vectores (O) cuando se hace girar para llevar el primer vector sobre el segundo por el camino máscorto, según se observa en la figura:

u

v

u × v

O A

B C

Otra propiedad interesante del producto vectorial es que el módulo del vector producto (el vector nombrado ”u × v ” enla figura anterior) coincide con el área del paralelogramo formado por los vectores que se están multiplicando (paralelogramoOABC). Esto es útil, por ejemplo, para calcular el área del triángulo formado por dos vectores (triángulo OAC), que será lamitad de la del paralelogramo.

5Ejemplo: Calcular el área del triángulo delimitado por los puntos del espacio Ý2, 1, 3Þ, Ý1,?1, 0Þ y Ý0, 1, 1Þ. Ayuda.: unode los puntos se toma como referencia (cualquiera) y de él se hacen partir dos vectores, cuyos extremos son los otros dospuntos. Se calculan las coordenadas de los dos vectores libres (restando las de los extremos correspondientes menos la delorigen común, para cada vector) y se efectúa el producto vectorial de esos dos vectores, que dará un nuevo vector. Su módulodividido por dos es el área del triángulo delimitado por ambos vectores.

øDe lo dicho sobre la ”ley del sacacorchos” y de la observación de la figura anterior debe quedar claro que el productovectorial no es conmutativo; concretamente, se dice que es anticonmutativo, porque si el producto u × v da (digamos) elvector w el producto v × u dará ? w, es decir, el opuesto.

¡ Base de un espacio vectorial¬ Combinación lineal de vectores: una combinación lineal de dos o más vectores es la suma de esos vectores

previamente multiplicados por un número (que puede ser el 1 y que puede ser negativo). Así, dado los vectores Ýu1 , u2 , u3 Þ yÝv1 , v2 , v3 Þ, una combinación lineal de ambos es:

aÝu1 , u2 , u3 Þ + bÝv1 , v2 , v3 Þ

donde a y b pueden ser positivos o negativos y valer cualquier número real, incluido el 1.


5Ejemplo: Hallar dos combinaciones lineales cualesquiera de los vectores Ý1, 2,?1Þ y Ý0, 2, 2Þ. Sol.: una puede serÝ1, 2,?1Þ + Ý0, 2, 2Þ = 1, 4, 1 ; otra: 3Ý1, 2,?1Þ ? Ý0, 2, 2Þ = 3, 4,?5 ... Se dice que el vector 1, 4, 1 es unacombinación lineal de los vectores Ý1, 2,?1Þ y Ý0, 2, 2Þ; y que el vector 3, 4,?5 es otra combinación lineal de los vectoresÝ1, 2,?1Þ y Ý0, 2, 2Þ.

Cuando tenemos tres vectores y uno de ellos es combinación lineal de los otros dos, el determinante formado con los tressiempre es cero. Lo comprobaremos con uno de los ejemplos anteriores:

1 2 ?1

0 2 2

1 4 1

= 0

Se dice entonces que esos tres vectores no forman una base.

¬ Base y sistema de generadores: una base vectorial es un conjunto de vectores a partir de la cual, por combinaciónlineal, se puede construir cualquier otro.

Para empezar, tres vectores en el espacio de tres dimensiones, R3 , forman una base cuando el determinante formado conlos tres es distinto de cero. Los tres vectores del determinante anterior no forman una base, pero sí la forman los siguientes:Ý1,?2,?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ ya que su determinante es distinto de cero:

1 ?2 ?2

3 0 1

1 1 5

® 0 (concretamente = 21Þ

(Inversamente, siempre que el determinante formado con tres vectores sea distinto de cero puede afirmarse que no sepuede encontrar una combinación lineal entre los tres, es decir, que el primero no es combinación lineal del segundo y eltercero, ni el segundo lo es del primero y el tercero, etc.).

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Otra forma alternativa, más elaborada, de comprobar que tres vectores en el espacio tridimensional forman una base esresolver con ellos un sistema como el siguiente (que ejemplificamos con los tres vectores anteriores):

VÝ1,?2,?2Þ + WÝ3, 0, 1Þ + XÝ1, 1, 5Þ = Ý0, 0, 0Þ

Haciendo operaciones en él:

ÝV,?2V,?2VÞ + Ý3W, 0,WÞ + ÝX,X, 5XÞ = Ý0, 0, 0Þ;

ÝV + 3W + X,?2V + X,?2V + W + 5XÞ = Ý0, 0, 0Þ

expresión ésta que puede plantearse así de forma equivalente (como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas):

V + 3W + X = 0

? 2V + X = 0

V + W + 5X = 0

Si el sistema (que es homogéneo) resulta ser compatible y determinado, y por tanto con solución única V = 0, W = 0,X = 0, entonces los tres vectores forman una base. En este caso efectivamente la única solución es: V = 0,W = 0,X = 0(compruébese) y por tanto los tres vectores dichos constituyen una base en el espacio R3 .

_________________

En general, tres vectores en el espacio tridimensional, R3 , cuyo determinante es distinto de cero se dice que sonlinealmente independientes y forman una base.

En el plano, R2 , dosvectores cuyo determinante es distinto de cero son linealmente independientes y forman una base.

Generalizando, en un espacio n-dimensional, Rn , n vectores cuyo determinante sea distinto de cero forman una base (yson linealmente independientes).

Cada tipo de espacio vectorial (R2 , R3 , etc.) puede tener infinitas bases.

Debe quedar muy claro que una base la forman tantos vectores como dimensiones tenga el espacio vectorial quetratemos: 2 para el plano, 3 para el espacio tridimensional, cuatro para el tetradimensional, etc. Por ello, nunca podremosdecir que cuatro vectores forman una base en el espacio trimensional, o que tres vectores forman una base en el plano. Dadoscuatro vectores en el espacio trimensional, si tres de ellos forman una base (es decir, son linealmente independientes entre sí),el cuarto debe ser necesariamente dependiente de estos tres, es decir, podrá escribirse como una combinación lineal de estostres. Por ejemplo, sean los tres vectores Ý1,?2,?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ, que hemos demostrado más arriba que forman una base;un vector cualquiera, por ejemplo, el Ý5, 5, 5Þ se puede construir utilizando esta base, mediante una combinación lineal:

Ý5, 5, 5Þ = aÝ1,?2,?2Þ + bÝ3, 0, 1Þ + cÝ1, 1, 5Þ


Operando y planteando un sistema de ecuaciones de tres incógnitas:

a + 3b + c = 5

? 2a + c = 5

? 2a + b + 5c = 5resulta a = ? 20

7 , b = 207 , c = ? 5

7 . Es decir, hemos demostrado que el vector Ý5, 5, 5Þ puede construirse a partir de la base dada.Ese es el sentido de base: un conjunto de vectores que permite construir cualquier otro. Sin embargo, los vectoresÝ1, 2,?1Þ, Ý0, 2, 2Þ, Ý1, 4, 1Þ, cuyo determinante es cero, como vimos más arriba, no forman una base, y el vector Ý5, 5, 5Þ no podráconstruirse como combinación lineal de ellos. Tratemos de hacerlo:

Ý5, 5, 5Þ = aÝ1, 2,?1Þ + bÝ0, 2, 2Þ + cÝ1, 4, 1Þ

Con esa expresión planteamos el sistema:

a + c = 5

2a + 2b + 4c = 5

? a + 2b + c = 5

que es incompatible (es decir, no tiene solución) (compruébese)..

A veces es conveniente considerar una base y uno o más vectores que sean combinación lineal de los que forman labase. Al conjunto se le llama sistema de generadores. Por ejemplo, forman un sistema de generadores los vectoresÝ1,?2,?2Þ, Ý3, 0, 1Þ, Ý1, 1, 5Þ, Ý5, 5, 5Þ, ya que los tres primeros forman una base. Es decir, un sistema de generadores puede estarformado por un número indefinido de vectores, pero un número determinado de ellos (según la dimensión del espacio queconsideremos), debe formar una base.

¡ Cambio de baseLa base más sencilla en el espacio tridimensional es la formada por los vectores unitarios i , j , k , definidos anteriormente.

Se llama base canónica: i = Ý1, 0, 0Þ , j = Ý0, 1, 0Þ, k = Ý0, 0, 1Þ. Cuando nos dan las coordenadas de un vector, porejemplo v = Ý3, 1,?7Þ ello significa que se puede construir mediante la base canónica (es decir, como combinación lineal dei , j ,k ) así:

v = 3 i + j ? 7k

(lo que a su vez viene a decir que el vector v se puede construir multiplicando el i por 3, sumándole el j y, al vectorresultante de esta suma, restándole el vector 7k ).

Ahora bien, podemos plantearnos si el vector v podemos expresarlo mediante otra suma de tres vectores que no sean loscanónicos. Por supuesto que sí, siempre que constituyan una base. Supongamos que los vectores r , s , t forman una basedistinta de la canónica. Entonces, el vector v anterior, con toda seguridad podrá expresarse también así:

v = ar + bs + c t

(quedando por determinar los valores de a, b y c) y de la misma manera que Ý3, 1,?7Þ son las coordenadas de v enbase canónica, Ýa, b, cÞ se dice que son las coordenadas de v en la base formada por los vectores r , s , t . ¿Cómo calcular losvalores de a, b y c? Resolveremos el problema con un ejemplo concreto y luego daremos una fórmula general. Supongamosque r = Ý2, 0, 1Þ, s = Ý?2,?1,?1Þ, t = Ý0, 1, 3Þ. Entonces podemos escribir:

v = aÝ2, 0, 1Þ + bÝ?2,?1,?1Þ + cÝ0, 1, 3Þ

Como también se cumple que: v = 3Ý1, 0, 0Þ + Ý0, 1, 0Þ ? 7Ý0, 0, 1Þ = Ý3, 1 ? 7Þ podemos igualar:

aÝ2, 0, 1Þ + bÝ?2,?1,?1Þ + cÝ0, 1, 3Þ = Ý3, 1 ? 7Þ

operando: 2a ? 2b,?b + c, a ? b + 3c = Ý3, 1,?7Þ

con lo que podemos plantear el sistema:

2a ? 2b = 3

? b + c = 1

a ? b + 3c = ?7cuya solución nos da las nuevas coordenadas de v en la nueva base: Ý? 7

3 ,? 236 ,? 17

6 Þ

En general, podemos emplear la siguiente fórmula. Sean Ýx, y, zÞ las coordenadas en base canónica de un determinadovector v . La relación que existe entre estas coordenadas y las coordenadas Ýa, b, cÞ del mismo vector expresadas en la baser = Ýr 1 , r 2 , r 3 Þ , s = Ýs 1 , s 2 , s 3 Þ, t = Ýt 1 , t 2 , t 3 Þ es:

Ýx, y, zÞ = aÝr 1 , r 2 , r 3 Þ + bÝs 1 , s 2 , s 3 Þ + cÝt 1 , t 2 , t 3 Þ

(fórmula que debería memorizarse para poder resolver problemas de este tipo rápidamente sin tener que recurrir al métodoanterior).

5Ejemplo: Las coordenadas de un vector en la base Ý3, 3, 3Þ, Ý1, 2, 3Þ, Ý0, 0,?1Þ son Ý1, 1, 2Þ ¿cuáles son sus coordenadas en


base canónica?

En la expresión anterior, las incógnitas no son ahora a, b y c, sino x, y y z:

Ýx, y, zÞ = 1Ý3, 3, 3Þ + 1Ý1, 2, 3Þ + 2Ý0, 0,?1Þ

De aquí, x = 4, y = 5, z = 4 es decir,las coordenadas del vector en base canónica son Ý4, 5, 4Þ.

¬ Interpretación geométrica del cambio de base

En la siguiente figura puede interpretarse geométricamente el significado de un cambio de base:

i

s

j r

v

v es un vector en el plano cuyas coordenadas (como se deduce fácilmente de la observación de la figura), son Ý7, 5Þ, loque, según lo visto, puede interpretarse de dos maneras totalmente equivalentes: su extremo está en el punto Ý7, 5Þ delsistema de coordenadas cartesiano, o bien el vector v puede expresarse como la suma de 7 veces el vector unitario i más 5veces el vector unitario j (ambos forman la base canónica), es decir:

v = 7 i + 5 j

Si queremos averiguar cuáles son sus coordenadas en la base Ý r , s Þ, en realidad lo que nos preguntamos es por quénumeros a y b hay que multiplicar los vectores de la base Ý r , s Þ para que la operación ar + bs nos dé v . Empleamos lafórmula vista anteriormente, aplicada ahora al plano:

Ýx, yÞ = aÝr 1 , r 2 Þ + bÝs 1 , s 2 Þ

es decir: Ý7, 5Þ = aÝ5, 1Þ + bÝ1, 4Þ donde Ý5, 1Þ y Ý1, 4Þ son las cordenadas de los vectores r y s , como fácilmente sededuce de la figura. Planteando la ecuación anterior:

7 = 5a + b

5 = a + 4bencontramos la solución: a = 23

19 , b = 1819 , lo que quiere decir que hay que multiplicar el vector s por 18

19 (es decir,aproximadamente 0.947 (casi 1), como puede verse en la figura) y el r por aproximadamente 1. 210, y luego sumar, paraobtener el vector v .


Tema 16: La rectaEcuación de la recta, vector de dirección, ángulo entre rectas, distancia entre una recta y un punto, posición relativa

de dos rectas,

¡ La ecuación y = mx + n¬ Consideremos la función general y = mx + n. (donde hemos escrito y en vez de fÝxÞ por comodidad) y dos ejemplos

particulares de la misma: y = 15 x ? 4. y = ?3x + 2 .

Si representamos gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas ambas funciones (dando valores arbitrarios a xy calculando los correspondientes de y –con tres valores es suficiente–) podemos comprobar que uniendo los puntosobtenidos para cada función se forman sendas rectas:

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 2 4X

Y

y = (1/5)x-4

y= -3x+2

x y

0 2 1 -1 2 -4

(1,-3)

(1,1/5)

x y

0 -4 5 -3-5 -5

En la expresión y = mx + n. el número real m se llama ”pendiente de la recta”, y n es la llamada ”ordenada en elorigen”:

–la pendiente de la recta, m, nos informa de su grado de inclinación; mirando la recta de izquierda a derecha, si ”vasubiendo” tiene pendiente positiva; si ”va bajando”, negativa, y si es paralela al eje de las Y (es decir, ni sube ni baja) lapendiente es cero.

–y la ordenada en el origen, n, es el valor de la coordenada y en el punto de corte de la recta con el eje de las Y.

En el gráfico anterior, una de las rectas tiene pendiente positiva (m = 15 ) y corta al eje de las Y en y = ?4; la otra tiene

pendiente negativa (m = ?3) y corta al eje de las Y en y = 2.

¬ Un concepto muy importante de una recta es su llamado vector de dirección, que es cualquier vector que se apoye enla recta (una recta tiene, pues, infinitos vectores de dirección ,pero todos ellos tienen coordenadas proporcionales). Dada laecuación general de la recta y = mx + n (ecuación que se llama implícita) la forma más fácil de obtener uno de sus vectoresdirectores es tomando el número que multiplica a y (que si la ecuación está expresada en esta forma siempre es 1) y el quemultiplica a x, es decir: (1, m).

Los vectores de dirección de las rectas anteriores son:

recta y = 15 x ? 4; su vector de dirección es: Ý1, 1

5 Þ [o cualquier múltiplo como Ý5, 1Þ, Ý10, 2Þ, etc.]

recta y = ?3x + 2; su vector de dirección es Ý1,?3Þ [o cualquier múltiplo como Ý?1, 3Þ, Ý 13 ,?1Þ, etc.]

Otro ejemplo: un vector de dirección de la recta y = 4 (que es como escribir y = 0x + 4Þ es el Ý1, 0Þ.

Como m es la pendiente, puede memorizarse lo siguiente:

¾ un vector de dirección de una recta tiene como primera coordenada 1 y como segunda la pendiente (m); es decirÝ1, mÞ

¡ La ecuación Ýx, yÞ = Ýp1 , p2Þ + tÝv1 , v2Þ (ecuación paramétrica)


¬ Otra forma de expresar la ecuación de una recta es la siguiente:

Ýx, yÞ = Ýp1 , p2 Þ + tÝv1 , v2 Þ

donde Ýp1 , p2 Þ son las coordenadas de un punto cualquiera por el que pase la recta y Ýv1 , v2 Þ son las coordenadas de unvector director de la misma; t es un parámetro (es decir, se le puede dar cualquier valor, y precisamente es dándole valoresarbitrarios como podemos conocer las coordenadas de los infinitos puntos Ýx, yÞ por los que pasa la recta.

Sea, por ejemplo, la ecuación paramétrica Ýx, yÞ = Ý?1, 2Þ + tÝ2, 0Þ. Podemos calcular puntos por los que pasa dandovalores arbitrarios a t. Así, si t = 1 se obtiene el punto Ýx, yÞ = Ý?1, 2Þ + tÝ2, 0Þ = = Ý?1, 2Þ + 1Ý2, 0Þ = Ý?1, 2Þ + Ý2, 0Þ = Ý1, 2Þ. Otropunto podemos obtenerlo, por ejemplo, haciendo t = 2: en ese caso Ýx, yÞ = 3, 2 . Y así podemos obtener los infinitospuntos de la recta.

La ecuación paramétrica suele expresarse más bien como dos ecuaciones, ya que Ýx, yÞ = Ýp1 , p2 Þ + tÝv1 , v2 Þ es equivalentea:

x = p1 + tv1

y = p2 + tv2

¡ Problemas típicos¬ Cómo pasar de paramétricas a implícita y viceversa

»Para pasar de paramétricas a implícita basta eliminar la t por cualquier método (normalmente despejando t en unaecuación y sustituyendo en la otra o, en caso de que sea fácil, por eliminación directa de la t aplicando el sistema dereducción de ecuaciones).

5Ejemplo: Dadas las ecuaciones paramétricas

x = 1 + 2t

y = 3 + 4t

obtener la implícita. Despejando t en la primera: t = x?12 , y sustituyendo ese valor en la segunda obtenemos:

y = 3 + 4 x?12 , es decir: y = 2x + 1 También se puede hacer por reducción, multiplicando la primera por ?2 y

sumando a la segunda el resultado:

? 2x = ?2 + ?4t

y = 3 + 4t

Al sumar miembroa miembroqueda : y ? 2x = 1

es decir : y = 2x + 1

»Para pasar de implícitas a paramétricas basta hacer x = t (y esa es la primera paramétrica) y sustituir en la ecuación.(conlo que se obtiene la segunda paramétrica)

5Ejemplo: Pasar a paramétricas la ecuación implícita y = ?2x + 4. Las paramétricas son:

x = t

y = ?2t + 4

Hay que tener en cuenta que una recta dada tiene infinitas ecuaciones paramétricas. Para obtener otra se da a xcualquier valor que esté en función del parámetro t y se sustituye ese valor en la ecuación. Por ejemplo, otras paramétricasde la ecuación implícita anterior son:

x = t + 1

y = ?2t + 2

¿Cómo comprobar si dos pares de ecuaciones paramétricas como los dos anteriores corresponden a la misma recta? Laforma más fácil es convertir ambos pares de paramétricas en las implícitas correspondientes y ver si coinciden.

¬ Cómo saber si un punto está contenido en una recta

»Si la recta está en implícitas basta sustituir la coordenada x del punto por la variable x de la ecuación y la coordenaday del punto por la variable y de la ecuación; si la igualdad es válida, el punto está contenido en la recta.

5Ejemplo: El punto Ý2, 3Þ ¿está contenido en la recta y = x + 1 ? Sustituyendo: 3 = 2 + 1; 3 = 3 Por tanto sí está enla recta.

El punto Ý?1, 5Þ ¿está contenido en la recta y = x + 1 ? Sustituyendo: 5 = ?1 + 1 5 = 0 Como esa igualdad no esválida, el punto no está contenido en la recta.

»Si la recta está en paramétricas conviene pasarla primero a implícita.

¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por un punto conocido PÝp1 , p2 Þ y cuyo vector dedirección Ýv1 , v2 Þ también se conoce

Resolviendo la siguiente igualdad y despejando la y:


x ? p1 v1

y ? p2 v2

= 0

5Ejemplo: una recta pasa por el punto Ý1,?1Þ y su vector de dirección es Ý3, 2Þ; ¿cuál es su ecuación implícita?

x ? 1 3

y + 1 2= 0

Es decir, resolviendo el determinante: Ýx ? 1Þ2 ? Ýy + 1Þ3 = 0 de donde 2x ? 2 ? 3y ? 3 = 0 y por tanto: y = 23 x ? 5

3

¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por dos puntos conocidos PÝp1 , p2 Þ y QÝq1 , q2 Þ

Restando las coordenadas de ambos puntos una a una (en cualquier orden) se obtiene un vector de dirección; despuéscon el valor de éste y de uno cualquiera de los puntos se aplica el métoo anterior.

5Ejemplo: una recta pasa por los puntos Ý2,?2Þ y Ý3, 0Þ; ¿cuál es su ecuación implícita?

Un vector de dirección es el Ý2 ? 3,?2 ? 0Þ = Ý?1,?2Þ Con éste vector director y cualquiera de los puntos se aplica elmétodo anterior.

¬ Cómo conocer la ecuación implícita de una recta que pasa por un punto conocido PÝp1 , p2 Þ si se conoce supendiente m

Mediante la pendiente puede calcularse un vector de dirección, que será Ý1, mÞ. Con este dato y el valor del puntoconocido y aplicando el método visto podemos conocer la ecuación.

5Ejemplo: una recta pasa por el punto Ý 25 ,?4Þ y tiene por pendiente ?10; ¿cuál es su ecuación implícita?

Un vector de dirección es el Ý1,?10Þ. Con éste y el punto se sabe la ecuación aplicando el método visto.

»Otra forma: La ecuación de la recta será del tipo y = ?10x + n Para calcular n se sutituyen las variables x y y por elpunto por el que se sabe que pasa la recta, que en este caso es el Ý 2

5 ,?4Þ:

?4 = ?10Ý 25 Þ + nö n = 0 Por tanto, la ecuación de la recta es y = ?10x

¬ Cómo saber si dos rectas son paralelas o se cortan

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; si no, se cortan. En el caso de que tengan pendientes inversas yopuestas, son perpendiculares.

5Ejemplo: las rectas y = 2x ? 1 y y = 2x + 6 son paralelas (la pendiente de ambas es 2); las rectas y = 2x ? 1 yy = ? 1

2 x + 2 son perpendiculares (si la de una de ellas la llamamos m se puede comprobar que la otra es ? 1m ; eso es lo que

significa ”ser inversas y opuestas”); y las rectas y = 2x ? 1 y y = ?2x ? 1 no son ni paralelas ni perpendiculares

¬ Cómo saber el valor del ángulo que forman dos rectas

Salvo en el caso de que sean paralelas o perpendiculares, en que el valor del ángulo es evidente (0 y 90 grados,respectivamente) para calcular el ángulo en otros casos se efectúa el producto escalar de los vectores de dirección de ambasrectas; de este modo puede saberse el cosJ y de ahí el valor de J (como se explicó en el capítulo de vectores).

5Ejemplo: ¿qué ángulo forman las rectas y = 2x ? 1 y y = ? 12 x + 2? Sus vectores directores son, respectivamente,

Ý1, 2Þ y Ý1,? 12 Þ. Su producto escalar es: Ý1, 2Þ 6 Ý1,? 1

2 Þ = 0. Como el producto escalar también se calcula por:5 5

4 cosJ (siendo 5 y 54 los módulos de ambos vectores) y ese producto debe dar 0 en este caso, es decir:

5 54 cosJ = 0

de ahí se concluye que cosJ = 0 y por tanto J = 90o (rectas perpendiculares), cosa que podía haberse deducidodesde el principio porque se ve que estas dos rectas tienen pendientes inversas y opuestas (2 y ? 1

2 ), y por lo tanto sonperpendiculares.

¬ Un caso particular y ” extraño” de ecuación de una recta: x = a

Hay un tipo de rectas ”especial”, pues tienen una ecuación ”anormal”; son las del tipo x = a siendo a un número realcualquiera. Estas rectas son siempre paralelas al eje de las Y y cortan al de las X en el punto x = a. Su vector dedirección es el Ý0, 1Þ (es decir, el vector unitario canónico j ). La pendiente tiende a infinito.

Otras que pueden parecer ”extrañas” son unas que tienen la forma y = b, pero estas últimas son completamentenormales. Equivalen a y = 0x + b, por lo que su pendiente es 0 y por lo tanto su vector de dirección es el Ý1, 0Þ, (es decir,el vector unitario i en el plano, según vimos en el tema de vectores). Lógicamente son paralelas al eje X y cortan al Y enel punto de coordenada y = b.

¬ Punto de corte de dos rectas

Se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones planteado con ambas. Si el sistema no tiene solución es que las rectasno se cortan (son paralelas); si tiene infinitas soluciones es que son la misma.


5Ejemplo: ¿en qué punto se cortan las rectas y = 2x + 1 y y = ?3x.

Planteamos el sistema:

y = 2x + 1

y = ?3xcuya solución es x = ? 1

5 , y = 35 y por tanto el punto de corte, es el Ý? 1

5 , 35 Þ .


Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; introducción allímite de funciones

Sucesiones, límite de sucesiones, el número e, propiedades de los límites; límite de funciones

¡ Sucesiones y límite de sucesiones¬ A veces las sucesiones de números siguen una ley de formación. Por ejemplo, en la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36... cada

término es el cuadrado del lugar que ocupa. Se dice que término general an de esa sucesión es an = n2 . El términogeneral de una sucesión nos permite calcular cualquier término de ésta sabiendo el lugar que ocupa.

5Ejemplo: Sea la sucesión cuyo término general es an = nn?1 ; ¿cuál es el quinto término?:Basta sustituir n por 5 :

a5 = 55?1 = 5

4

¬ En ocasiones queremos saber a cuánto se acerca el término de la sucesión cuando n se hace tan grande comoqueramos, es decir, cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, en la sucesión an = 1

n a medida que vamos aumentando nnos vamos acercando a 0. Efectivamente, los primeros términos de esa sucesión son: 1

1 , 12 , 1

3 , 14 , 1

5 , 16 , 1

7 , 18 ..., que escritos en

números decimales son: 1.000, 0.500, 0.333, 0.250, 0.200, 0.166, 0.143, 0.125... Como se ve, a medida que avanzamos en laserie nos vamos acercando más a cero (el término 1000, por ejemplo, ya vale 0.001). Se dice que el límite de la sucesiónan = 1

n es cero, o bien, que la sucesión an = 1n tiene por límite cero, o que la sucesión an = 1

n tiende a cero cuando ntiende a infinito. Todo ello se expresa simbólicamente así:

limn¸K

1n = 0

¬ Propiedades de los límites: las propiedades más importantes de los límites son que el límite de una suma (o resta) esla suma (o resta) de los límites; que el límite de un producto (o cociente) es el producto (o cociente) de los límites y que ellímite de una potencia es el límite de la base elevado al límite del exponente.

¬ Cálculos típicos de límites: veamos algunos ejemplos típicos de problemas de límites, y cómo se resuelven:

5 limn¸K

3n3+2n2n3?1

Se trata del límite del cociente de dos polinomios. Al sustituir n por K (recordar que K elevado a unapotencia es K y que K multiplicado o dividido por cualquier número finito es K) nos queda K

K , valor que esindeterminado. Indeterminado quiere decir que ese cociente puede dar cualquier número real; e incluso K; todo depende decómo son las sucesiones numerador y denominador en ese caso. Para resolver la indeterminación se divide arriba y abajo porla potencia más alta de n, que aquí es n3 :

limn¸K

3n3+2n2n3?1

= limn¸K

3n3

n3 + 2nn3

2n3

n3 ? 1n3

= limn¸K

3+ 2n2

2? 1n3

= 32 (resultado al que hemos llegado teniendo en cuenta que el límite de 2

n2 y de 1n3

es 0 (pues estamos dividiendo números finitos entre K; pensar en que por ejemplo diez caramelos divididos entre infinitosniños toca prácticamente a cero caramelos por niño).

En la práctica este tipo de problemas se resuelve así: si el polinomio numerador tiene mayor grado que el denominador,el límite es K; si es al revés, el límite es 0, y si ambos tienen el mismo grado, el resultado es el cociente entre loscoeficientes de los términos de grado más alto arriba y abajo.

5 limn¸K

n2 ? 3 ? n2 + n + 1 Al sustituir n por K nos queda (puesto que la raíz de K es K) K ? K, valor que esindeterminado (puede dar cualquier número, e incluso tender a K, dependiendo de las sucesiones que se estén restando). Pararesolver este tipo de indeterminaciones es útil multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión dada:

limn¸K

n2 ? 3 ? n2 + n + 1 = limn¸K

Ý n2?3 ? n2+n+1 ÞÝ n2?3 + n2+n+1 Þ

Ý n2?3 + n2+n+1 Þ= lim

n¸K

n2?3?Ýn2+n+1Þn2?3 + n2+n+1

=

= limn¸K

?n?4n2?3 + n2+n+1

. Si sustituimos n por K nos dará KK , indeterminación que resolvemos como se explicó en el ejemplo

anterior limn¸K

? nn ? 4

n

n2

n2 ? 3n2 + n2

n2 + nn2 + 1

n2

= ?11+1 = ? 1

2 [(hemos dividido arriba y abajo por la potencia más alta; ahora bien, la

potencia más alta abajo es n (no n2 , porque al efectuar la raíz obtendríamos n), pero al dividir la raíz por n, este valorentra dentro de ella como n2 (de la misma manera que, por ejemplo 36

3 = 3632 ].

5limn¸K

1 + 2n2

3n Este es un límite del tipo llamado ”del número e”. Para resolverlo hemos de saber que

limn¸K

1 + 1n

n= e

.

En estos problemas se trata de hacer manipulaciones algebraicas que acerquen la expresión pedida a la del número e,


como se verá a continuación, y de tener en cuenta que el límite de una potencia es el límite de la base elevado al límite delexponente:

limn¸K

1 + 2n2

3n= lim

n¸K1 +

22

n22

3n

= limn¸K

1 + 1n22

3n

= limn¸K

1 + 1n22

3n6 n22 6 2

n2

=

limn¸K

1 + 1n22

n22 6 3n6 2

n2

= limn¸K

1 + 1n22

n22

3n6 2n2

= elimn¸K

3n6 2n2 = e0 = 1

¡ Límite de funcionesUn concepto relacionado con el de límite de sucesiones es el de límite de funciones. Desde un punto de vista operativo

muchos límites de funciones se resuelven por los mismos métodos que los de sucesiones. Ahora bien, al hablar de funcionestenemos que introducir el concepto de límite lateral y considerar que la variable x puede tender a infinito o a cualquiernúmero real. Para que el límite exista realmente, los dos límites laterales que cabe y deben tenerse en cuenta (exceptocuando x ¸ K o x ¸ ?K) deben coincidir; caso contrario, no existe el límite. Todo esto lo veremos mejor con ejemplos.

5 limx¸2

x2?4x?2 Al sustituir x por 2 en la función cuyo límite estamos calculando (que es fÝxÞ = x2?4

x?2 ) obtenemos 00 , lo

que constituye una indeterminación (como lo son asimismo KK e K ? K, ya vistas anteriormente). En este caso no nos vale

dividir por la potencia más alta arriba y abajo (hágase y se verá cómo la indeterminación persiste). En casos como éste es muyútil, primero, sacar factor común donde se pueda, y luego factorizar los polinomios. Aquí, factorizando arriba:

limx¸2

x2?4x?2 = lim

x¸2Ýx+2ÞÝx?2Þ

Ýx?2Þ= lim

x¸2x + 2 operación que ha roto la indeterminación. Hasta ahora sólo hemos hecho

manipulaciones algebraicas. A la hora de sustituir x por 2 para resolver el límite debemos considerar los llamados límiteslaterales:

limx¸2+

x + 2 y limx¸2?

x + 2 donde con x ¸ 2+ queremos decir que x tiende a un valor todo lo próximo que queramos

a 2 pero acercándonos por la derecha del 2 en la recta de los números reales (es decir, para fijar ideas, digamos quedamos a x valores como 2.01, 2.0001, 2.0000001, etc); y con x ¸ 2? queremos decir que x tiende a un valor todo lo próximoque queramos a 2 pero acercándonos por la izquierda del 2 en la recta de los números reales (es decir, para fijar ideas,digamos que damos a x valores como 1.99, 1.9999, 1.9999999, etc.).

Tenemos, así pues (sustituyendo x por 2)::

limx¸2+

x + 2 = 4

limx¸2?

x + 2 = 4

Como ambos límites laterales existen y coinciden, se dice que el límite de esa función es 2 .

Pero, ¿qué sentido tiene hablar de ”2 por la derecha” y ”2 por la izquierda” cuando en realidad hemos sutituidosimplemente por ”2” la x de los límites anteriores para calcularlos. En realidad, sólo en ciertas ocasiones tendremos que teneresto en cuenta, y a continuación veremos un ejemplo.

5limx¸0

x+1x

Aquí, el límite por la derecha es: limx¸0+

x+1x = +K

y el límute por la izquierda es: limx¸0?

x+1x = ?K.

¿Por qué la diferencia de signo? Porque ”0 por la derecha” es un número muy cercano al 0 (un número que tiende a 0 , sedice) pero positivo, mientras que ”0 por la izquierda” es un número muy cercano al 0 (un número que tiende a 0 , se diceigualmente) pero negativo. Eso hace que en un caso el denominador sea positivo y en el otro, negativo. Los numeradoressiempre son positivos, porque sumar a 1 un número próximo a 0 (ya sea esta proximidad por la derecha o por la izquierda)da en ambos casos un número que tiende a 1 .


Temas 20 y 21: Funciones y polinomiosFunciones, dominio, gráficas, operaciones con funciones, función inversa, funciones crecientes y decrecientes,

pares e impares. Polinomios, operaciones con polinomios, raíces de un polinomio, descomposición de un polinomioen factores, descomposición de funciones racionales en fracciones simples

¡ Función y polinomio¬ Una expresión del tipo siguiente fÝxÞ = x3 + 2x2 ? 1 se dice que es una función de la variable x. Según el valor que

demos a la x , a la función fÝxÞ le corresponderá un valor determinado. Por ejemplo, si x = 2 fÝ2Þ = 15

Una función de la forma de la anterior, que sólo tiene letras (x) y números, se dice que es una función polinómica;concretamente la expresión x3 + 2x2 ? 1 se dice que es un polinomio (en este caso, de grado 3, siendo el grado el máximoexponente de la x).

¡ Factorización de un polinomio y descomposición de funciones racionales¬ Operaciones con polinomios. Las veremos con ejemplos:

5Suma y resta: x3 + 2x2 ? 1 ? x2 + 3 = x3 + 2x2 ? 1 ? x2 ? 3 = x3 + x2 ? 4

5Multiplicación: x3 + 2x2 ? 1 6 x2 + 3 = x5 + 3x3 + 2x4 + 6x2 ? x2 ? 3 = x5 + 2x4 + 3x3 + 5x2 ? 3

5División: x3 + 2x2 ? 1 : x2 + 3 Para dividir se escriben el dividendo, x3 + 2x2 ? 1 , y el divisor, x2 + 3 ,como en una división normal:

x3 +2x2 ?1 x2 +3

Ahora se divide el monomio de grado más alto del dividendo, x3 , entre el monomio de mayor grado del divisor, x2 , lo queda x :

x3 +2x2 ?1 x2 +3

x

El resultado de esa primera división (x) se multiplicará por todos los monomios del divisor y cada producto se cambiará designo, colocándose debajo del monomio del divisor que tenga el mismo grado. Luego se efectúan las sumas correspondientesgrado a grado:

x3 +2x2 ?1 x2 +3

?x3 ?3x x

2x2 ?3x ?1

Hemos visto que ?3x no se podía poner debajo de ningún monomio del mismo grado del divisor, porque éste no locontenía; se puedo, pues, en un hueco entre los monomios de grados 2 y 0.

Seguidamente se repite el mismo proceso. Se empeiza dividiendo 2x2 entre x2 , colocándose el resultado (+2) en elcociente, etc.:

x3 +2x2 ?1 x2 +3

?x3 ?3x x +2

2x2 ?3x ?1

?2x2 ?6

?3x ?7

Una vez llegados a un resto (?3x ? 7) de grado menor que el divisor (x2 + 3) hemos acabado la división. El cociente esx + 2 .

En determinados problemas nos va a ser útil aplicar el llamado algoritmo de la división:Dividendo

divisor = cociente + restodivisor

para expresar la división de otra forma. En este caso quedaría:x3+2x2?1

x2+3= x + 2 + ?3x?7

x2+3

¬ Raíces de un polinomio y factorización. Si un polinomio lo igualamos a 0 obtenemos una ecuación (del grado delpolinomio); sus soluciones se llaman raíces del polinomio. Un polinomio tiene tantas raíces como grado. Pueden ser todasreales, todas complejas o reales y complejas.


Se puede demostrar que si todas las soluciones son números reales el polinomio se puede escribir también como

mÝx ? aÞÝx ? bÞ...

siendo a, b, etc., las raíces, y m el coeficiente del término de grado más alto del polinomio. El polinomio se dice que haquedado factorizado.

ÂÂÂPara encontrar las raíces puede recurrirse al método anterior (igualar el polinomio a cero y solucionar la ecuación,siempre que sea posible) o aplicar el método de Ruffini, que ahora veremos. Un consejo: si en el polinomio se puede sacarfactor común x, hacerlo; de esta manera habremos encontrado automáticamente la primera raíz: x = 0, como veremos en elsiguiente ejemplo.

5Calcular las raíces del polinomio 3x4 ? 3x3 ? 12x2 + 12x. Lo primero que hacemos, ya que se puede, será sacar factorcomún, en este caso 3x :

3xÝx3 ? x2 ? 4x + 4Þ

Con ello ya hemos empezado a factorizar el polinomio automáticamente. Obsérvese que la expresión anterior equivale aescribirla:

3Ýx ? 0ÞÝx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ

que empieza a tener una forma parecida a la general mÝx ? aÞÝx ? bÞ...

El polinomio Ýx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ contiene otras tres raíces (pues es de grado 3) que vamos a tratar de extraer por elmétodo de Ruffini. En la práctica, se usa este método para saber si el polinomio tiene alguna raíz que sea divisor de su términoindependiente (que es el que no lleva x; en este caso, 4Þ. Es decir, el método sirve para probar si + 1, ?1, +2, ?2, +4 o?4 sonraíces del polinomio Ýx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ. Empezaremos probando el +1.

Se escriben en una línea los coeficientes del polinomio: 1 ?1 ?4 4 y en una segunda, abajo, un poco a la izquierda,la raíz que queremos probar:

1 ?1 ?4 4

1

Se baja el primer número de la primera línea (en este caso 1) a una tercera línea:

1 ?1 ?4 4

1

1

y se multiplica la raíz que queremos probar (en este caso 1) por ese valor que hemos bajado, poniéndose el resultado enla segunda fila y segunda columna, sumándose con el que tiene arriba:

1 ?1 ?4 4

1 1

1 0

Hecho esto se repiten las mismas operaciones: el 1 (raíz que queremos probar) multiplica al 0 (resultado de la sumaanterior), poniéndose el producto (0) en la segunda fila debajo del ?4, para proceder a la suma y continuar así.

1 ?1 ?4 4

1 1 0 ?4

1 0 ?4 0

Si al final obtenemos como resultado 0 (última fila, última columna), como es el caso, eso es pueba de que el 1 sí esraíz de ese polinomio. Si no, habría que probar con el ?1, luego con el 2, etc. Ahora el polinomio inicial queda parcialmentefactorizado así:

En esete caso, como decimos, hemos encontrado una raíz, que es 1. Entonces, el polinomio al que le estábamosaplicando Ruffini queda ya parcialmente factorizado como

3Ýx ? 0ÞÝx ? 1ÞÝx2 ? 4Þ

¿De dónde sale x2 ? 4 ? De los coeficientes finales obtenidos: 1 0 ?4 0 , quitando el último (el 0), quecorresponden a un polinomio de un grado menor al que fue sometido a la regla de Ruffini (que era de grado 3:, no olvidemosque era: Ýx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ ). Es, por tanto, el polinomio 1x2 +0x ?4 , es decir, x2 ? 4 . Esta es una propiedad delmétodo de Ruffini: sirve para descomponer un polinomio en un producto de Ýx ? aÞ (siendo ”a” la raíz obtenida por elmétodo) por otro polinomio de un grado menor cuyos coeficientes son los de la última fila (exceptuando el 0 final).

A su vez, x2 ? 4 contiene dos raíces (pues de grado 2). Para calcularlas aplicamos Ruffini a este polinomio,empezando por escribir sus coeficientes 1 0 ?4 en la primera línea y siguiendo el método anterior. Probamos de nuevocon 1 , porque puede ocurrir que 1 sea lo que se llama una raíz múltiple (doble, triple, según salga como raíz dos, tres veces,


etc.).

1 0 ?4

1 1 1

1 1 ?3

Como no se obtiene resto 0, no es raíz el 1. Probamos ahora con 2 :

1 0 ?4

2 2 4

1 2 0

Vemos que 2 es raíz. Como los coeficientes finales obtenidos (quitando el 0) son 1 2 , hemos conseguido convertirx2 ? 4 en el producto x ? 2 x + 2 . A x + 2 le aplicamos de nuevo Ruffini. En este caso es obvio que la raíz es

?2 :

1 2

?2 ?2

1 0

Obtener al final un 1 y de resto 0 es prueba de que hemos conseguido sacar todas las raíces a Ýx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ por elalgoritmo de Ruffini.(lo cual no siempre tiene por qué ocurrir) Si en vez de 1 0 al final hubiéramos obtenido m 0 elresultado final de la factorización en factores tipo Ýx ? aÞ habrá que multiplicarlo por m. es decir, mÝx ? aÞÝx ? bÞÝx ? cÞ...

Resumiendo, en este caso la factorización de 3x4 ? 3x3 ? 12x2 + 12x ha quedado:

3Ýx ? 0ÞÝx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 2Þ

Ni que decir tiene que la aplicación del método de Ruffini a Ýx3 ? 3x2 ? 4x + 4Þ puede hacerse (y es así como se hace) en unsólo paso:

1 ?1 ?4 4

1 1 0 ?4

1 0 ?4 0

2 2 4

1 2 0

?2 ?2

1 0

Atención y consejos:

>> Cuando el término de mayor grado del polinomio tenga un coeficiente m distinto de 1 (en el ejemplo anterior m era3Þ este coeficiente debe aparecer en la factorización final. A veces aparece automáticamente, como en el ejemplo anterior;

otras lo detectaremos porque aparecerá al final del algoritmo de Ruffini junto a un resto 0; si no aparece automáticamente,hay que ponerlo de todas formas al final de la factorización.

>> Se recomienda que si se está aplicando Ruffini, al obtener un polinomio reducido de grado 2 deje de aplicarse Ruffiniy se obtengan las dos raíces contenidas en él igualando el polinomio de grado 2 a cero y resolviendo la ecuación de segundogrado correspondiente

>> No se olvide sacar factor común todo lo que se pueda antes de empezar a factorizar; al sacar factor común yaobtenemos como mínimo uno de los factores automáticamente. Tras sacar factor común si el polinomio es de primero,segundo grado o bicuadrado –este último es el que tiene potencias cuarta y segunda únicamente– lo mejor es igualarlo a ceroy solucionar la ecuación; ésta es la forma más rápida de encontrar las raíces en estos casos.

>> Cuando se está tratando de resolver una ecuación de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) y se comprueba que lasraíces son complejas, no hace falta calcularlas; se deja el polinomio de segundo grado (o de cuarto, sexto, etc...) tal como estáy él constituye de por sí un factor único. Por ejemplo: x3 + x2 + x + 1 = Ýx + 1ÞÝx2 + 1Þ (las dos raíces contenidas en Ýx2 + 1Þson complejas, como puede comprobarse fácilmente).

5Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios:

2x3 + x2 (Sol: x2 Ý2x + 1Þ )

4x4 ? 6x3 + 2x2 ? 2x + 2 (Sol: 2Ýx ? 1ÞÝx ? 1ÞÝ2x2 + x + 1Þ ; en éste vemos que la raíz 1 tiene multiplicidad 2, pues aparecedos veces)

4x3 ? 2x2 ? 16x + 8 (Sol: 4Ýx ? 2ÞÝx + 2ÞÝx ? 12 Þ )

¬ Descomposición de funciones racionales en funciones simples. Una función polinómica racional es un cociente depolinomios. A veces conviene descomponer ese coeficiente en fracciones más simples (en particular, ello es muy útil a la horade calcular ciertas integrales).

Veremos con tres ejemplos cómo se hacen estas descomposiciones.


1. Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional: x3?2x+32x3?4x2?10x+12

Se factoriza el polinomio denominador: 2x3 ? 4x2 ? 10x + 12 = 2Ýx ? 1ÞÝx + 2ÞÝx ? 3Þ

Como vemos, sólo tiene raíces reales y ninguna es múltiple.(esto es, ninguna se repite) En estos casos la descomposiciónse hace así:

x3?2x+32x3?4x2?10x+12

= A2Ýx?1Þ + B

Ýx+2Þ + CÝx?3Þ

donde A, B y C son incógnitas a determinar. Para ello efectuamos la suma indicada en el segundo miembro. No esdifícil, porque el mínimo común múltiplo es en este caso (y en todos los semejantes en que no hay raíces múltiples) elproducto de los tres factores que constituyen los denominadores: 2Ýx ? 1ÞÝx + 2ÞÝx ? 3Þ :

A2Ýx?1Þ + B

Ýx+2Þ + CÝx?3Þ = AÝx+2ÞÝx?3Þ+BÝ2Ýx?1ÞÞÝx?3Þ+CÝ2Ýx?1ÞÞÝx+2Þ

2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ = Ax2+2Bx2+2Cx2?Ax?8Bx+2Cx?6A+6B?4C2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ

Por tanto, llegamos a la conclusión de quex3?2x+3

2x3?4x2?10x+12= Ax2+2Bx2+2Cx2?Ax?8Bx+2Cx?6A+6B?4C

2Ýx?1ÞÝx+2ÞÝx?3Þ

y como los denominadores son iguales, deben serlo los numeradores. Para ello, debe cumplirse:

1 = A + 2B + 2C

? 2 = ?A ? 8B + 2C

3 = ?6A + 6B ? 4Ccuya solución es: A = ? 1

3 , B = 1130 , C = 3

10

y por lo tanto la función racional inicial queda simplificada (después de arreglar un poco los numeradores) como:

? 16Ýx ? 1Þ

+ 1130Ýx + 2Þ

+ 310Ýx ? 3Þ

2 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional: 3x3?3x3?3x+2

En este caso el polinomio denominador se descompone como Ýx ? 1Þ x ? 1 Ýx + 2Þ, que, como se ve, tiene una raízmúltiple. La descomposición en fracciones simples se hace así:

3x3?3x3?3x+2

= AÝx?1Þ

+ BÝx?1Þ2 + C

Ýx+2Þ

Para sumar el segundo miembro hay que tener en cuenta que el mínimo común múltiplo es Ýx ? 1Þ 2 Ýx + 2Þ. Lo demás sehace exactamente igual que en el ejemplo anterior.

3 Descomponer en fracciones simples la siguiente función racional: x+1x3?2x?4

El denominador admite la factorización Ýx2 + 2x + 2ÞÝx ? 2Þ (es decir, tiene una raíz real simple y dos complejas). Ladescomposición en fracciones simples se hace así:

x+1x3?2x?4

= Ax?2 + Bx+C

Ýx2+2x+2Þ

Se suman las fracciones del segundo miembro (el mcm es Ýx2 + 2x + 2ÞÝx ? 2Þ ) y se efectúa el resto como en el primerejemplo.

5Puede haber más formas que las tres indicadas, pero son combinaciones de las anteriores. Si, por ejemplo, sale una raízreal simple a, una real triple b y dos complejas dobles se hace así:

Ax?a + B

x?b + CÝx?bÞ2 + D

Ýx?bÞ3 + Ex+Fx2+mx+n

+ Gx+HÝx2+mx+nÞ2

pero nunca se van a plantear en el curso situaciones tan complejas.

¡ Dominio de una funciónDominio de una función fÝxÞ es el conjunto de valores de x para los que está definida la función. Por ejemplo, la función

real de variable real fÝxÞ = 1x no está definida en el campo de los números reales para x = 0, pues 1

0 no es ningún númeroreal (no se puede efectuar esa operación, aunque sí su límite, que tiene a infinito).

Para determinar el dominio de una función deben tenerse en cuenta algunas reglas elementales. Por ejemplo, si lafunción es racional, el denominador no puede ser cero; si la función es una raíz cuadrada, el radicando no puede ser negativo;si la función es logarítmica, la expresión dentro del logaritmo debe ser mayor que cero.

Ejemplos

5Calcular el dominio de la función real de variable real: fÝxÞ = x3 + 2x2 ? 13x + 10

Los valores de la x tienen que ser tales que hagan al radicando mayor o igual a cero, puesto que la raíz de un númeromenor que 0 no está definida en el campo de los números reales.:

x3 + 2x2 ? 13x + 10 ³ 0


o, lo que es lo mismo, factorizando:

Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ ³ 0

Para que se cumpla que el producto de los tres factores es mayor que cero (es decir, positivo) debe cumplirse, por ejemplo,que los tres sean positivos, o que dos sean negativos y uno positivo. Lo mejor es hacer un cuadro que permita estudiar elsigno en cada factor Ýx ? aÞ; y el signo de la expresión total. Este cuadro tendrá dos entradas: una de ellas (vertical) son losfactores y el producto de ellos, y la otra todos los intervalos abiertos de la recta de los números reales que quedandelimitados por las raíces correspondientes. En este caso, como las raíces son ?5, 1 y 2, los intervalos en que queda divididala recta de los números reales son: Ý?K,?5Þ, Ý?5, 1Þ, Ý1, 2Þ y Ý2,+KÞ ).

Ýx ? 1Þ Ýx ? 2Þ Ýx + 5Þ Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ

Ý?K,?5Þ

Ý?5, 1Þ

Ý1, 2Þ

Ý2,+KÞ

Para ver el signo de cada factor imaginamos cualquier número que esté comprendido dentro del intervalo correspondiente.Por ejemplo, en Ý?K,?5Þ podemos imaginar el valor ?10; en Ý?5, 1Þ el ?3; en Ý1, 2Þ el 1.25, y en Ý2,+KÞ. el 10. Para rellenarla primera fila, si hemos pensado en el ?10, veremos que Ýx ? 1Þ = ?10 ? 1 tiene signo negativo; Ýx ? 2Þ = ?10 ? 2 tiene signonegativo; Ýx + 5Þ = ?10 + 5 tiene signo también negativo; y por tanto el producto de los tres factores es negativo. Así hacemoscon las otras filas:

Ýx ? 1Þ Ýx ? 2Þ Ýx + 5Þ Ýx ? 1ÞÝx ? 2ÞÝx + 5Þ

Ý?K,?5Þ – – – –

Ý?5, 1Þ – – + +

Ý1, 2Þ + – + –

Ý2,+KÞ + + + +

Por lo tanto, está claro que el polinomio es positivo en los intervalos Ý?5, 1Þ y Ý2,+KÞ. , lo que significa que la raízx3 + 2x2 ? 13x + 10 tiene solución para valores que estén dentro de esos intervalos. Siempre hay que probar también con los

valores de las raíces del polinomio, que son: ?5, 1 y 2. Para los tres valores el polinomio da 0, luego también forman partedel dominio. Por lo tanto, el dominio lo escribimos ?5, 1 W ß2,+KÞ y al haber escrito intervalos cerrados en vez de abiertosqueremos indicar que los extremos de esos intervalos van incluidos (excepto +K, que no es un número).

5Calcular el dominio de la función fÝxÞ = logÝ2x + 3Þ

Para que la función esté definida la x tiene que tener tales valores que se cumpla: 2x + 3 > 0. Por tanto, despejando la xde esa inecuación nos queda: x > ? 3

2 . El dominio de esa función es, entonces, Ý? 32 ,KÞ (en este caso el intervalo es

abierto por la izquierda, porque si se incluye el propio valor ? 32 la expresión dentro del logaritmo da cero, y el log0 no está

definido).

5Calcular el dominio de la función fÝxÞ = ?x?5x+8

Aquí la función no está definida si el denominador es cero, es decir, está definida para x + 8 ® 0. Por lo tanto, estádefinida para cualquier valor que no sea ? 8. Ahora bien, también hay que tener en cuenta la raíz cuadrada contenidadentro de la función. Esa raíz sólo está definida para valores de x que cumplen: ?x ? 5 ³ 0, es decir: x + 5 ² 0, y por tanto:x ² ?5, es decir, el dominio es Ý?K,?5Þ excluyendo el valor ?8, lo que se puede representar por Ý?K,?5Þ ? ?8

¬ Gráfica de una función es su representación en un sistema de coordenadas, normalmente cartesiano. Se van dandovalores arbitrarios a la variable independiente, x, y calculando los correspondientes a la función fÝxÞ (fÝxÞ se representa en lacoordenada y).

5Representar gráficamente la función fÝxÞ = x2+103

Damos valores a la x (unos ocho valores) y calculamos los de la fÝxÞ, representándolos en una tabla. Por ejemplo, six = 0, fÝxÞ = 10

3 . Luego representamos todos los puntos y los unimos por una línea:


- 4 - 2 0 2 40

2

4

6

8

1 0

La función de la figura se dice que es decreciente entre x = ?K y x = 0 y creciente entre x = 0 y x = +K. Esta función sedice que es par porque cumple que fÝxÞ = fÝ?xÞ. Es decir, por ejemplo: fÝ2Þ = fÝ?2Þ = 14

3

¬ Operaciones con funciones Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo las reglasalgebraicas básicas. También cabe componerlas y calcular la llamada función inversa, operaciones estas últimas que vimosen un tema anterior.


Tema 23: Continuidad de funcionesFunciones continuas, funciones continuas en un intervalo, teoremas de continuidad, continuidad de la función

inversa

¡ Continuidad de una funciónUna función se dice que es continua en un punto a cuando se cumple

limx¸a

fÝxÞ = fÝaÞ

o, dicho de forma más detallada pero equivalente:

limx¸a? fÝxÞ = lim

x¸a+fÝxÞ = fÝaÞ

En ciertos problemas piden calcular la continuidad de una función en un sólo punto, en otros, en un intervalo, y en otros,en todo R.(conjunto de los números reales).

Es útil saber que un polinomio es continuo en todo R y que un cociente entre dos polinomios es continuo en todo Rexcepto en los valores de x que anulen el denominador.

5Ejemplos

5¿Es continua la función fÝxÞ = xx2?1

en el punto x = 1?

Para que sea continua debe cumplirse la condición limx¸a? fÝxÞ = lim

x¸a+fÝxÞ = fÝaÞ que está claro que no se cumple porque no

existe fÝaÞ (ya que fÝ1Þ = 10 , cociente que no está definido)

5¿Es continua la función fÝxÞ = xx2?1

en el intervalo Ý2, 3Þ? ¿Y en el 2, 3 ? Para que una función sea continua en unintervalo abierto debe serlo en todos sus puntos. En este caso lo es, puesto que una función cociente entre dos polinomios escontinua en todos los puntos que no anulen el denominador, y entre x = 2 y x = 3 no los hay.

Para que una función sea continua en un intervalo cerrado ßa, bà debe serlo en todos los puntos interiores Ýa, bÞ ycumplirse estas dos condiciones:

limx¸a+

fÝxÞ = fÝaÞ

limx¸b?

fÝxÞ = fÝbÞ

condiciones que en este caso se cumplen como es fácil comprobar.

5Estudiar la continuidad de la función

fÝxÞ =

x2 + 2 si x < 0

2 si 0 ² x ² 1

2/ x ? 1 si 1 < x

Como vemos, la función está compuesta de tres tramos polinómicos. Los polinomios son continuos en todo R, y suscocientes lo son en todo R excepto en los x que anulen el denominador. En el tercer intervalo de la función vemos que parax = 1 ésta no estaría definida, y por tanto x = 1 sería un punto de discontinuidad, pero advirtamos que indican que en ese

tramo sólo estamos autorizados a tomar valores mayores que 1 (ya que dicen que ese tramo es válido para 1 < x); dicho deotro modo, x = 1 no es sustituible ahí y por lo tanto no podemos sacar conclusiones sobre la discontinuidad o discontinuidaden x = 1 con ese criterio.

Por otra parte, siempre que hay que sospechar de posibles discontinuidades en los puntos que sirven de separación delos tramos; en este problema esos puntos son 0 y en 1. Estudiemos la continuidad de la función en ambos:

limx¸0?

fÝxÞ = limx¸0?

x2 + 2 = 2 (calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el cero aproximándonos a

él por la izquierda, que es el primer tramo)

limx¸0+

fÝxÞ = limx¸0+

2 = 2 (calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el cero aproximándonos a él

por la derecha, que es el segundo tramo)

fÝ0Þ = 2 (calculamos el valor de fÝ0Þ con el tramo de la función que nos permite usar el cero exacto, que es el segundotramo)

La función, pues, es continua en x = 0. En cuanto a x = 1:

limx¸1?

fÝxÞ = limx¸1?

2 = 2 (calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1 aproximándonos a

él por la izquierda, que es el segundo tramo)


limx¸1+

fÝxÞ = limx¸1+

2x?1 = +K (calculamos el límite con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1

aproximándonos a él por la derecha, que es el tercer tramo)

fÝ1Þ = 2 (calculamos el valor de fÝ0Þ con el tramo de la función que nos permite usar el valor 1 exacto, que es elsegundo tramo)

La función, por lo tanto, no es es continua en x = 1.

¡ Teoremas de continuidad¬ Teorema de Bolzano:

Si f es continua en un intervalo ßa, bà y el signo de fÝaÞ es distinto al de fÝbÞ entonces existe al menos un punto xdentro del intervalo ßa, bà tal que fÝxÞ = 0

¬ Teorema de los valores intermedios:

Si f es continua en un intervalo ßa, bà y c es un número real comprendido entre fÝaÞ y fÝbÞ entonces existe al menos unvalor x que pertenece al intervalo ßa, bà tal que fÝxÞ = c

¬ Teorema de Weierstrass

Si f es continua en un intervalo ßa, bà entonces f tiene un máximo y un mínimo en ßa, bà, es decir, existen puntos c y dde ßa, bà tales que fÝcÞ ³ fÝxÞ y fÝdÞ ² fÝxÞ para todo valor de x que pertenece al intervalo ßa, bà

¬ Continuidad de la función inversa:

Si f es continua y creciente en un intervalo ßa, bà, la función inversa f ?1 , es continua y creciente en fÝßa, bàÞ

Si f es continua y decreciente en un intervalo ßa, bà, la función inversa f ?1 , es continua y decreciente en fÝßa, bàÞ


Temas 24, 26 y 27: DerivadasFunciones derivables, cálculo de derivadas simples, funciones trigonométricas y sus derivadas, funciones

logarítmicas y exponenciales y sus derivadas

¬ Función derivable

Se dice que una función es derivable en un punto a cuando existe el límite:

limh¸0

fÝa + hÞ ? fÝaÞh

Si existe ese límite, se le llama derivada de la función f en el punto a y se representa por f vÝaÞ

Si una función es derivable en a entonces es continua en a, pero lo recíproco no es cierto en general.

¬ Cálculo práctico de derivadas

El problema más común no es hallar la derivada de una función fÝxÞ en un punto a, sino, en general, hallar la derivadade fÝxÞ en todo punto x; es lo que llamamos la función derivada, f vÝxÞ o dÝfÝxÞÞ

dx , que de ambas formas se puede escribir, eincluso, para simplificar: dy

dx (pues a menudo se llama a fÝxÞ ”y”).

Para calcular la función derivada de cualquier función se aplican unos algoritmos descubiertos por Leibniz. Los másimportantes son los recogidos en la siguiente tabla, donde u y v son funciones de x y las primas hay que entenderlas comoderivadas:

fÝxÞ = a f vÝxÞ = 0 fÝxÞ = au f vÝxÞ = au v

fÝxÞ = ua f vÝxÞ = aua?1 u v fÝxÞ = a u f vÝxÞ = u v

aa ua?1

fÝxÞ = u + v f vÝxÞ = u v + vv fÝxÞ = u ? v f vÝxÞ = u v ? vv

fÝxÞ = u 6 v f vÝxÞ = u vv + uv v fÝxÞ = uv f vÝxÞ = u vv?uvv

v2

fÝxÞ = senu f vÝxÞ = u v cosu fÝxÞ = cosu f vÝxÞ = ?u vsenu

fÝxÞ = arcsenu f vÝxÞ = u v

1?u2 fÝxÞ = arccosu f vÝxÞ = ? u v

1?u2

fÝxÞ = tgu f vÝxÞ = u v

cos2ufÝxÞ = cotgu f vÝxÞ = ? u v

sen2ufÝxÞ = arctgu f vÝxÞ = u v

1+u2

fÝxÞ = lnu f vÝxÞ = u v

u fÝxÞ = logu f vÝxÞ = u v

u loge

fÝxÞ = eu f vÝxÞ = u veu fÝxÞ = au f vÝxÞ = u vau lna

¬ Ejemplos

Veremos con unos ejemplos cómo se aplica esta tabla

5 fÝxÞ = x Este es el caso más fácil; la derivada de x es 1 : f vÝxÞ = 1

5 fÝxÞ = x3 Hay que aplicar la regla de fÝxÞ = ua (siendo en este caso u = x). La solución es f vÝxÞ = 3x2

5 fÝxÞ = 3x3 Hay que aplicar las reglas de fÝxÞ = ua y fÝxÞ = au . La solución es f vÝxÞ = 9x2

5 fÝxÞ = 3x3 ? 2x2 + 1 Para solucionarla hay que aplicar las reglas de fÝxÞ = u + v, fÝxÞ = ua , fÝxÞ = a y fÝxÞ = au.Teniendo todas en cuenta está claro que la solución es: f vÝxÞ = 9x2 ? 4x

5 fÝxÞ = 3x3 ? 2x2 + 1 Además de todas las reglas anteriores hay que tener en cuenta la de la derivada de una raízcuadrada. La solución es: f vÝxÞ = 9x2?4x

2 3x3?2x2+1

5 fÝxÞ = ln 3x3 ? 2x2 + 1 En principio hay que tener en cuenta la regla de la derivación de un logaritmo neperiano,fÝxÞ = lnu, pero al efectuarla debemos tener en cuenta que u = 3x3 ? 2x2 + 1 , y, por tanto, a la hora de efectuar la operaciónu v deberemos mirar la fórmula de la derivada de una raíz. En este caso se dice que estamos derivando una función (el ln) de

otra función (la raíz cuadrada). El resultado es:9x2?4x

2 3x3?2x2+1

3x3?2x2+1= 9x2?4x

2Ý3x3?2x2+1Þ= 9x2?4x

6x3?4x2+2

5 fÝxÞ = cos ln 3x3 ? 2x2 + 1 Aquí tenemos una función (el cos) de otra función (el ln) de otra función (la raíz). Lo

primero que tenemos que considerar es cuál es la función más externa, es decir, la última que se aplica en caso de quequeramos sustituir x por un número real. Debe estar claro que en ese caso, lo primero que se efectúa es el polinomio, luego laraíz, luego el ln y finalmente el cos que es aquí la función más externa). Iremos, por tanto, a la fórmula de la derivada delcoseno. En ella nos aparecerá una u v , es decir, la derivada de u, teniendo en cuenta que u en ese caso es:u = ln 3x3 ? 2x2 + 1 . Al efectuar la derivación de u habremos de tener en cuenta que se trata de la derivada de un

logaritmo neperiano, en cuya fórmula de derivación aparece una u que en ese caso es u = 3x3 ? 2x2 + 1 , y aparece tambiénuna u v , es decir, la derivada de una raíz. Y así sucesivamente. Teniendo todo esto en cuenta, y haciendo uso directamente


del resultado obtenido en el ejemplo anterior, la derivada buscada es:

f vÝxÞ = ? 9x2?4x6x3?4x2+2

sen ln 3x3 ? 2x2 + 1 (que, aunque podría simplificarse más, dejaremos así)

5 fÝxÞ = cos3 ln 3x3 ? 2x2 + 1 En este caso hay un grado más de complicación: la potencia del coseno, que ahora es la

función más externa. Es como si hubiéramos escrito fÝxÞ = cos ln 3x3 ? 2x2 + 13

La derivada es: 3 cos ln 3x3 ? 2x2 + 126 ? 9x2?4x

6x3?4x2+2sen ln 3x3 ? 2x2 + 1 (para lo cual hemos echado mano del

resultado del ejercicio anterior)

ggg La regla de la cadena

Un método para simplificar derivadas complejas como la anterior es aplicar la llamada regla de la cadena. consistente enir sustituyendo las funciones más internas en cada eslabón de una cadena por otra variable, del siguiente modo (parasimplificar notaciones, llamaremos a fÝxÞ ”y”):

y = cos ln 3x3 ? 2x2 + 13

u = 3x3 ? 2x2 + 1

y = cos ln u 3

v = u

y = cos lnv 3

w = lnv

y = Ýcosw Þ 3

t = cosw

y = t 3

Ahora tendremos en cuenta solamente la última expresión de la función (en este caso y = t 3 ) y todas las sustitucioneshechas (en este caso: t = cosw; w = lnv; v = u y u = 3x3 ? 2x2 + 1 y aplicaremos la siguiente regla (que dependedel caso, pero que siempre tiene la misma estructura):

dydx

= dydt

6 dtdw

6 dwdv

6 dvdu

6 dudx

donde dydx es la derivada que nos preguntan, y las demás las vamos sacando de las expresiones señaladas, teniendo en

cuenta que operaremos siempre como si la variable independiente del segundo término fuera una x (por ejemplo, a la hora dederivar la expresión w = lnv consideramos que pone w = lnx . Al aplicar la regla correspondiente de la tabla de derivadas:dwdv es 1

v ) Teniendo esto en cuenta nos queda:

dydx

= dydt

6 dtdw

6 dwdv

6 dvdu

6 dudx

= 3t 2 6 Ý?senwÞ 6 1v 6 1

2 u6 9x2 ? 4x

Finalmente hay que ir cambiando las variables de modo que al final todo aparezca en función de x. Se puede irhaciendo así:

3t 2 6 Ý?senwÞ 6 1v 6 1

2 u 6 9x2 ? 4x = 3Ýcosw Þ 2 6 Ý?senwÞ 6 1u 6 1

2 u 6 9x2 ? 4x =

= 3 cos lnv 2 6 ?sen lnv 6 12u 6 9x2 ? 4x =

= 3 cos ln 3x3 ? 2x2 + 126 ?sen ln 3x3 ? 2x2 + 1 6 9x2?4x

6x3?4x2+2

que es el mismo resultado obtenido antes, aunque los factores estén en otro orden.


Tema 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límitede funciones

Simetría y asimetría, funciones periódicas, cortes con los ejes, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento,concavidad y convexidad, asíntotas, teoremas de Rolle y del valor medio; regla de L’Hôpital, recapitulación de límite

de funciones (en temas 25 y 27)

¡ Estudio de funciones¬ Funciones simétricas y asimétricas

Una función es simétrica respecto al eje Y cuando no varía al cambiar x por ?x, es decir, cuando fÝxÞ = fÝ?xÞ

Por ejemplo, fÝxÞ = x4 ? 2x2 es simétrica respecto al eje Y, ya que fÝ?xÞ = Ý?xÞ 4 ? 2Ý?xÞ 2 =

= fÝxÞ = x4 ? 2x2

-2 0 2

-1

0

1

2

3

4

5

¬ Funciones periódicas

Una función se dice periódica cuando cumple que fÝxÞ = fÝx + pÞ, siendo p el llamado periodo de la función. Porejemplo, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente son periódicas. Así por ejemplo:

cos25o = cosÝ25o + 360oÞ

El periodo de la función coseno es 360o (o 2^, si expresamos los ángulos en radianes).

¬ Cortes con los ejes

Para saber en qué punto corta una función al eje Y, calculamos fÝxÞ para x = 0; el punto de corte será Ý0, fÝ0ÞÞ.

Para saber en qué punto corta la función al eje X hacemos fÝxÞ = 0 y despejamos x; el punto es Ýx0 , 0Þ siendo x0 elvalor de la x despejada.

Por ejemplo, calculemos los puntos de corte de la función fÝxÞ = 4x2 ? 1 con los ejes X e Y:

–con el eje Y: x = 0 ì fÝ0Þ = 1 El punto de corte es Ý0, 1Þ

–con el eje X: fÝxÞ = 0 ì 4x2 ? 1 = 0 ì x = ± 12 Los puntos de corte son Ý 1

2 , 0Þ y Ý? 12 , 0Þ

¬ Máximos y mínimos

Una función puede tener puntos máximos y mínimos. Por ejemplo, la de la gráfica dibujada anteriormente tiene dospuntos mínimos. Para calcular los extremos (los máximos y los mínimos) de una función se calcula la derivada primera, seiguala a cero, se resuelve la ecuación correspondiente para la x y el valor o valores obtenidos se sustituye(n) en la derivadasegunda; si la función da negativa, el punto era un máximo, si positiva, un mínimo. [Si la derivada segunda da cero (es decir, nipositiva ni negativa), no se puede decir si el punto en cuestión es máximo o mínimo, aunque puede ser cualquiera de las doscosas. Otras veces ocurre que en un punto hay un máximo o un mínimo y la función no es derivable en ese punto. Paradeterminar máximos y mínimos en estos casos hay que recurrir a otro método que veremos más abajo. ]

Este procedimiento nos da máximos y mínimos relativos. De entre varios máximos (o mínimos) relativos hay unoabsoluto: el que hace mayor (o menor) a la función.

5Aplicaremos el método a fÝxÞ = x4 ? 2x2

Primer paso: f vÝxÞ = 4x3 ? 4x


Segundo paso: 4x3 ? 4x = 0 Esta ecuación, aunque es de tercer grado, puede solucionarse fácilmente sacando factorcomún x : xÝ4x2 ? 4Þ = 0; para que esa igualdad sea cierta tiene que ocurrir o que x = 0 o que 4x2 ? 4 = 0. Las tressoluciones son: x = 0 y las dos que se obtienen de la ecuación de segundo grado, que son: x = 1 y x = ?1. Esos puntospueden corresponder a extremos (máximos o mínimos)

Tercer paso: f”ÝxÞ = 12x2 ? 4 Calculamos f”Ý0Þ, f”Ý1Þ y f”Ý?1Þ para ver qué signo tienen:

f”Ý0Þ = ?4, f”Ý1Þ = 8 y f”Ý?1Þ = 8. Esto nos dice que en x = 0 hay un máximo, y en x = 1 y x = ?1 hay sendosmínimos (comprobarlo en la gráfica anterior). Concretamente, los puntos son: máximo: Ý0, 0Þ; mínimos: Ý?1,?1Þ, Ý1,?1Þ (losvalores de la y de cada punto se calculan sustituyendo los correspondientes valores de la x en la función originalfÝxÞ = x4 ? 2x2 )

En este caso, los dos mínimos encontrados son absolutos, pero el máximo es relativo (pues hay valores mayores de lafunción; ver la gráfica).

& & En ocasiones nos piden el máximo o mínimo de una función dentro de un intervalo cerrado ßa, bà. En esos casos hayque aplicar el método visto pero, además, hay que calcular fÝaÞ y fÝbÞ, puesto que el método visto la mayoría de las veces nopermite detectar máximos o mínimos que coincidan exactamente con los extremos del intervalo, a y b. Supongamos quehemos encontrado un sólo máximo, en x0 (que está dentro de ßa, bà) . Entonces calculamos fÝx0 Þ; si resulta que fÝaÞ esmayor que fÝx0 Þ, entonces fÝaÞ es un máximo. Lo mismo se aplica a fÝbÞ. Y parecidas consideraciones deben hacerserespecto a los mínimos.

5Veamos un ejemplo: determinar los máximos y mínimos de la función fÝxÞ = x3 ? 5x + 1 en el intervalo ß?1, 2à.

- 4 - 2 0 2 4

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

Aplicando el método anterior encontramos que esta función tiene un máximo en x = ? 153 y un mínimo en x = 15

3 .Ahora bien, el primer punto está fuera del intervalo ß?1, 2à, luego no nos interesa. Por lo tanto, en principio podemos decir queen ese intervalo sólo hay un mínimo. Calcularemos también los valores de fÝxÞ en los extremos del intervalo. Son: fÝ?1Þ = 5y fÝ2Þ = ?1. Ambos valores son mayores que el valor de la función en el mínimo, valor que es: fÝ 15

3 Þ p ?3.303. Por lo tanto,en x = ?1 y en x = 2 hay sendos máximos en el intervalo ß?1, 2à, a pesar de que el método de las derivadas no los detectó.[Todo esto es aplicable sólo si nos piden calcular máximos y mínimos en intervalos.]

¬ Puntos de inflexión

Son los puntos en los que la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa (una función cóncava es la quese ve como una ”cueva” mirando la función ”desde abajo del papel”).

Para determinar puntos de inflexión se calcula la derivada segunda, se iguala a cero, se resuelve el valor o valores de la x;éstos se sustituyen en la derivada tercera, y si se obtienen valores distintos de cero ese valor o valores de x constituye(n)punto(s) de inflexión. (Si da cero, puede ser un punto de inflexión, pero no se puede saber y hay que recurrir a otro método queveremos más abajo).

Calcularemos posibles puntos de inflexión de fÝxÞ = x4 ? 2x2 (los tiene con toda seguridad; basta ver la representacióngráfica de la función más arriba para darse cuenta).

Primer paso: Calculamos la derivada segunda: f”ÝxÞ = 12x2 ? 4

Segundo paso: la igualamos a cero: 12x2 ? 4 = 0, y solucionamos la ecuación: x = 33 x = ? 3

3

Tercer paso: f vvvÝxÞ = 24x Al sustituir en x las soluciones encontradas vemos que en ambos casos f vvvÝxÞ ® 0, luego enx = 3

3 y x = ? 33 hay sendos puntos de inflexión. Concretamente son: 3

3 ,? 59 y ? 3

3 ,? 59 .

¬ Crecimiento y decrecimiento

Si en un intervalo la derivada primera de una función se mantiene positiva, se dice que la función es creciente en dichointervalo; si se mantiene negativa, es decreciente. Evidentemente, no se puede comprobar punto por punto si la derivada semantiene positiva o negativa. En vez de ese procedimiento imposible se aplica el que ilustramos con el siguiente ejemplo, quees sistemático para conocer el signo de una función.

5Calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función fÝxÞ = x4 ? 2x2 (representada gráficamente másarriba).

Todo consiste en calcular la primera derivada y estudiar su signo. La derivada es: f vÝxÞ = 4x3 ? 4x.


A continuación se factoriza el polinomio, y queda: fÝxÞ = 4x x ? 1 x + 1 . Como vemos, sus raíces son ?1, 0 y 1.Vamos a dividir a continuación la recta real (el eje X) en tramos o intervalos que vengan limitados por esas raíces. En estecaso esos intervalos son: ?K,?1 , ?1, 0 , 0, 1 y 1,K . Construimos ahora una tabla del mismo tipo que las quevimos en los temas 20 y 21 cuando explicamos el concepto de dominio de una función. Recordemos que en esta tabla seescriben en vertical los factores en que ha quedado factorizado el polinomio, con una última columna que es el propiopolinomio, y en horizontal los intervalos delimitados por sus raíces:

x + 1 4x x ? 1 4x x ? 1 x + 1

?K,?1

?1, 0

0, 1

1,K

Se empieza con la primera fila. Se da a la x cualquier valor que esté dentro del intervalo correspondiente, en este casoentre ?K y ? 1; por ejemplo, consideremos el valor ?10. Ahora estudiemos el signo de todos los factores del polinomioconsiderando x = ?10. Obviamente, 4x es negativo (pues 4 6 Ý?10Þ = ?40 ), x ? 1 es negativo y x + 1 también es negativo.El polinomio completo, 4x x ? 1 x + 1 , producto de estos tres factores, será por lo tanto negativo. Hacemos lo mismo conla segunda columna (dando a x, por ejemplo, el valor ? 0.5), la tercera y la cuarta. Así, nos queda la siguiente tabla designos:

x + 1 4x x ? 1 4x x ? 1 x + 1

?K,?1 ? ? ? ?

?1, 0 + ? ? +

0, 1 + + ? ?

1,K + + + +

Es decir, entre ? K y ? 1 la función es decreciente (signo menos de la derivada primera, según la tabla); en ?1, 0es creciente, en Ý0, 1Þ es de nuevo decreciente y entre 1 y K es creciente. Adicionalmente estos datos nos dan, como resultaevidente, otra información: si entre ? K y ? 1 la función decrece y entre ?1 y 0 crece, y como es continua (los polinomios loson) eso significa necesariamente que en x = ?1 hay un mínimo de la función. Por el mismo razonamiento deducimos que enx = 0 hay un máximo y que en x = ?1 hay otro mínimo. Este es el método al que nos referíamos antes para calcularextremos (máximos y mínimos) cuando el método de las derivadas primera y segunda no nos vale.

¬ Concavidad y convexidad

Si en un intervalo la derivada segunda de una función se mantiene negativa, se dice que la función es cóncava en eseintervalo; si se mantiene positiva, es convexa. Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función seaplica exactamente el mismo método que para determinar su crecimiento y decrecimiento, pero sobre la derivada segunda. Loveremos con un ejemplo.

5Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la función fÝxÞ = x4 ? 2x2

Calculamos la derivada segunda de la función: f”ÝxÞ = 12x2 ? 4

y la factorizamos: 12x2 ? 4 = 12 x + 33 x ? 3

3 .

Las raíces son ? 33 y 3

3 . Con estos datos construimos la tabla de los signos de la derivada segunda:

12 x + 33 x ? 3

3 12 x + 33 x ? 3

3

?K,? 33 + ? ? +

? 33 , 3

3 + + ? ?3

3 ,K + + + +

Por lo tanto, entre ?K y ? 33 la función es convexa; entre ? 3

3 y 33 es cóncava; y entre 3

3 y K es convexa.Esto nos proporciona una información adicional: que en x = ? 3

3 y x = 33 hay sendos puntos de inflexión (pues en ellos la

función pasa de cóncava a convexa o al revés).

¬ Asíntotas

A veces una función tiene una rama que tiende a convertirse en recta; a ésta recta se la llama asíntota. Consideremos porejemplo la función fÝxÞ = x2?x+1

x2+2(la función es la parte curva de la gráfica; la recta paralela al eje de las X que se observa es

la asíntota que vamos a definir a continuación).


-40 -20 0 20 400,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

(Hemos representado en la gráfica fÝxÞ = x2?x+1x2+2

y la recta y = 1)

Como se aprecia en la representación gráfica, la función fÝxÞ = x2?x+1x2+2

por su izquierda tiende, en ?K, a confundirse conla recta y = 1 (quedando por encima de ella), y por su derecha tiende a la misma recta aunque por abajo, de manera que en+K podemos considerar que función y recta se confunden. En este caso se dice que la función tiene como asíntota horizontalpor la izquierda la recta y = 1, y como asíntota horizontal por la derecha la misma recta.

Esto se demuestra con el siguiente criterio:

Ã Una función tiene una asíntota horizontal por la izquierda y = a si se cumple quelimx¸?K

fÝxÞ = a

y tiene una asíntota horizontal por la derecha y = a v si se cumple que

limx¸+K

fÝxÞ = a v

Es decir, esas asíntotas existen si el límite de la función es un número real (pero no si el límite da infinito). Comprobémosloen este caso:

limx¸?K

x2 ? x + 1x2 + 2

= 1

limx¸+K

x2 ? x + 1x2 + 2

= 1

con lo que hemos demostrado lo que habíamos intuido viendo la gráfica.

Podemos querer conocer también si la asíntota está por arriba o por debajo de la función. Para ello basta restarlas yestudiar el signo de esta diferencia:

fÝxÞ ? y =: x2?x+1x2+2

? 1 = ? x+1x2+2

. Esta función-diferencia tiene un denominador que es positivo para cualquier valor de x (puesx está al cuadrado), por lo que el signo depende del numerador. Está claro que para valores de x menores que ?1 la

función-diferencia es positiva, y por tanto la función original está por enima de la recta; por el contrario, para valores de xmayores que ?1 la función-diferencia es negativa, y por tanto para esos valores la función original está por debajo de la recta(verlo en la gráfica).

Ahora veremos cómo se demuestra si una función tiene asíntotas verticales y oblicuas. Consideremos la funciónfÝxÞ = 2x2?1

3x?1 , que tiene la peculiaridad de tener dos ramales, como se observa en la figura siguiente (ambos ramales son laspartes curvas de la gráfica; las partes rectas (una paralela al eje de las Y y una oblicua) son las asíntotas, que se hanrepresentado junto a la función).

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

y = (2/3)x + 2/9

x = 1/3


(Hemos representado en la gráfica fÝxÞ = 2x2?13x?1 , y las rectas x = 1

3 y y = 23 x + 2

9 )

Se intuye que la función tiene dos asíntotas, una vertical (la recta x = 13 ) y otra oblicua (la recta y = 2

3 x + 29 ). Veamos

cómo se comprueba esto analíticamente.

Ã Una función tiene una asíntota vertical a su derecha x = b si se cumple que su límite cuando x tiende a b? (b por laizquierda) da +K o ? K :

limx¸b?

fÝxÞ = ±K

y tiene una asíntota vertical x = b a su izquierda si se cumple que su límite cuando x tiende a b+ (b por la derecha) da+K o ? K :

limx¸b+

2x2 ? 13x ? 1

= ±K

Lo que hay que averiguar, por lo tanto, es si existe un valor de x para el cual esos límites den +K o ? K. En esteejercicio sí. Está claro que si el denominador se anula el límite es + K o ? K, es decir, si 3x ? 1 = 0, y por tanto, si x = 1

3 .Comprobémoslo:

limx¸ 1

3?

2x2 ? 13x ? 1

= +K

limx¸ 1

3+

2x2 ? 13x ? 1

= ?K

es decir, según la definición que hemos dado, la recta vertical x = 13 es una asíntota vertical de la función fÝxÞ = 2x2?1

3x?1 , yen este caso lo es tanto por la derecha como por la izquierda (no siempre tiene por qué ocurrir así). Concretamente, x = 1

3 esuna asíntota vertical por la derecha de un ramal de la función y por la izquierda del otro.

Ã Una función tiene una asíntota oblicua por su izquierda o su derecha y = mx + n si el siguiente límite da un número realdistinto de cero (es decir, no da infinito ni cero). Ese número es precisamente m

limx¸±K

fÝxÞx = m

Una vez conocido m, n se calcula así:

n = limx¸±K

fÝxÞ ? mx

En el caso que nos ocupa hay efectivamente una asíntota oblicua. Demostrémoslo:

limx¸+K

2x2?13x?1

x = limx¸+K

2x2 ? 13x2 ? x

= 23

limx¸?K

2x2?13x?1

x = limx¸+K

2x2 ? 13x2 ? x

= 23

Vemos que es asíntota oblicua tanto por la izquierda como por la derecha. Calculemos n :

n = limx¸±K

2x2 ? 13x ? 1

? 23

x = limx¸±K

2x ? 39x ? 3

= 29

La asíntota es y = 23 x + 2

9 , y lo es por tanto por el ramal izquierdo como por el derecho de la función. El ramal izquierdode la función queda por encima de la asíntota. Eso lo sabemos porque al restar la función menos la asíntota da siemprepositivo. Veámoslo:

1) intervalo entre ?K y 13 :

fÝxÞ ? y = 2x2?13x?1 ? 2

3 x + 29 = ? 7

9Ý3x?1Þ> 0 (compruébese con cualquier valor entre ?K y 1

3 que ese cociente dapositivo);

2) intervalo entre 13 y +K :

da positivo siempre para cualquier valor de x > 13 (compruébese).

¬ Teoremas de Rolle y del valor medio

Hay dos teoremas importantes al respecto del concepto de máximo y mínimo de una función: son los de Rolle y del valormedio.

El teorema de Rolle dice que si f es una función continua en ßa, bà y derivable en todo punto dentro de Ýa, bÞ, de modoque fÝaÞ = fÝbÞ, entonces existe al menos un valor c que está dentro de Ýa, bÞ, que cumple: f vÝcÞ = 0.

El teorema del valor medio establece que si f es una función continua en ßa, bà y derivable en todo punto dentro de Ýa, bÞ,entonces existe al menos un valor c que está dentro de Ýa, bÞ que cumple: f vÝcÞ = fÝbÞ?fÝaÞ

b?a


¡ Más sobre límitesPara resolver límites más complejos que los vistos hasta ahora es necesario conocer nuevas herramientas.

¬ Regla de L’Hôpital

Para resolver indeterminaciones del tipo KK y 0

0 es muy útil aplicar la regla de L’Hôpital, que se puede expresar como

limx¸a

fÝxÞgÝxÞ

= limx¸a

f vÝxÞg vÝxÞ

(siendo a cualquier número real o ±K)

5Ejemplo: Calcular limx¸0

3x2+x? 2?2x

Por la regla de L’Hôpital: limx¸0

3x2+x? 2?2x = lim

x¸03

12 2+x +

22 2?2x

= 31

2 2 + 22 2

= 2 2

(habría que hacer los límites laterales limx¸0+

y limx¸0?

, pero en este caso se comprueba inmediatamente que ambos existen y

son iguales a 2 2 )

7Si después de hacer la primera derivación hubiera persistido la indeterminación tipo KK o 0

0 , se aplicaría de nuevoL’Hôpital, y así hasta que la indeterminación se rompa.

¬ Límites tipo 1K

Puede aplicarse la siguiente fórmula

limx¸a

f g = elimx a̧

Ýf?1Þg

(donde a puede ser cualquier valor entre ?K e K) siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

fÝxÞ debe ser distinta de 1 para todo valor de x

limx¸a

fÝxÞ = 1 y limx¸a

gÝxÞ = ±K

debe existir limx¸a

Ýf ? 1Þg

5Ejemplo: Calcular limx¸K

x2?2x2+4

x2+1

limx¸K

x2?2x2+4

x2+1= elim

x¸Kx2?2x2+4

?1 Ýx2+1Þ = e?6 (el limite lo solucionamos por L’Hôpital)

¬ Límites tipo 00 , K0 y 1K

En general es útil tener en cuenta la siguiente fórmula general:

lim f g = elimÝg ln fÞ

¬ Límites tipo K ? K

Puede multiplicarse y dividirse por el conjugado:

f ? g =f ? g f + g

f + g

o bien aplicar la siguiente transformación algebraica:

f ? g = f 1 ? gf

¬ Límites tipo K 6 0

Es útil aplicar las siguientes transformaciones:

f 6 g = f1g

o bien: f 6 g = g1f

¬ Cambio de variable

Para solucionar algunos límites es útil hacer el siguiente cambio de variable en la función: u = 1x . Hay que tener en

cuenta, eso sí, que al llevarlo a cabo, en el cálculo del límite, si x tendía a + K, hay que sustituir eso por u ¸ 0+ y que six ¸ ?K hay que cambiarlo por u ¸ 0?


Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidasPrimitiva de una función; métodos de integración: por partes, por cambio de variable, integración de funciones

racionales y de funciones trigonométricas; integral definida; la integral como área

¡ Primitiva de una función; integraciónDel mismo modo que sacar la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado, integrar es la inversa de

diferenciar (o, si se quiere, de derivar).

Integrar consiste en, dada una función derivada, calcular la función primitiva que al derivarla produce esa funciónderivada original. Por ejemplo, supongamos que nos dicen que f vÝxÞ = 6x2 es la derivada de cierta función, y nos pidencalcular cuál era esa función primitiva. Está claro que era fÝxÞ = 2x3 ; la prueba es que al derivar fÝxÞ = 2x3 obtenemosf vÝxÞ = 6x2 . En realidad hay un número infinito de funciones primitivas que al derivarlas dan f vÝxÞ = 6x2 ; así, por citar tresejemplos: fÝxÞ = 2x3 + 3, fÝxÞ = 2x3 ? 4

5 , fÝxÞ = 2x3 ? a4 . Como observamos, la única diferencia entre todas ellas es un

número (3, - 45 , etc.). Para tener esto en cuenta, siempre que integremos agregaremos al resultado la constante k .

¬ Simbolismo de la integral

En el capítulo dedicado a las derivadas comentamos que la forma más correcta de expresar la derivada de una funciónfÝxÞ es dfÝxÞ

dx (aunque admitíamos la simplificación f vÝxÞ ). Supongamos el ejemplo anterior: la derivada de una función fÝxÞes 6x2 y queremos conocer cuánto vale la función. Eso lo simbolizaremos así:

dfÝxÞdx = 6x2 Para calcular fÝxÞ procedemos así (despejando primero dfÝxÞ y realizando luego la operación

integral (que se representa con el símbolo X ) en los dos miembros):

dfÝxÞ = 6x2 dx XdfÝxÞ = X6x2 dx Una integral y una diferencial se anulan (como una raíz cuadrada se anula alelevarla al cuadrado), y por tanto el primer miembro queda simplemente fÝxÞ.

Por lo tanto, una expresión del tipo fÝxÞ = X6x2 dx es la que encontraremos siempre que nos planteen resolver unaintegral. Hay que tener en cuenta que lo que hay que integrar es ”6x2 ”, haciendo ”caso omiso” a ”dx”, cuya aparición en laintegral acabamos de explicar. La operación, con todo lo visto, queda así:

fÝxÞ = X 6x2 dx = 2x3 + k

¬ Integrales inmediatas

Hay integrales que se resuelven de forma inmediata, como la anterior. En general, las integrales polinómicas son muysencillas. Hay una regla simple para integrar monomios, que es:

X xn dx = xn+1

n + 1+ k

Otra regla a tener en cuenta es que cuando una constante (un número) multiplica al resto de una función, la constantepuede sacarse de la integral directamente; por ejemplo:

X 6x2 dx = 6 X x2 dx = 6 x3

3+ k = 2x3 + k

Y una tercera regla importante es que la integral de una suma de funciones (o una resta) es la suma (o resta) de lasintegrales (no pudiéndose aplicar regla parecida a productos o cocientes).

Con todo ello debe quedar clara la resolución de la integral del siguiente ejemplo:

X 6x2 + 5x ? 1 dx = 2x3 + 52

x2 ? x + k

(Comprobar si una integral está bien hecha es fácil: basta derivar la expresión obtenida para ver si se obtiene la original;así, la derivada de 2x3 + 5

2 x2 ? x + k está claro que es 6x2 + 5x ? 1)

—Veremos una integral inmediata típica que aparece a menudo y que se relaciona con el logaritmo neperiano: si nos danpara integrar un cociente y el numerador es la derivada del denominador, entonces la integral es inmediata: es el ln deldenominador. Por ejemplo:

X 2xx2+3

dx = ln x2 + 3 + k (se ponen las barras de valor absoluto porque tanto vale lnÝ?x2 ? 3Þ como lnÝx2 + 3Þ y esto ocurresiempre). Pruébese que la integral está bien hecha.

En muchos casos nos enfrentamos con integrales de este tipo que no son completamente inmediatas, pero ”casi” sihacemos alguna sencilla manipulación algebraica previa que tenemos que idear. Por ejemplo:

X 7xx2+3

dx en este caso el numerador no es la derivada del denominador, pero ”casi”. Procederemos en casos como estecomo sigue (buscando que en el numerador aparezca 2x, pues nos interesa, ya que es la derivada del denominador):


X 7xx2+3

dx = X 7x6 22

x2+3dx = X 2x6 7

2

x2+3dx = X 7

22x

x2+3dx = 7

2 X 2xx2+3

dx = 72 ln x2 + 3 + k

Haremos una última integral inmediata:

X3cosxdx = 3senx + k (algo que es evidente tras sacar la constante de la integral, pues como la derivada del seno es elcoseno, la integral del coseno debe ser el seno).

¡ Integrales no inmediatas: métodos para resolverlasLa mayoría de las veces las integrales no serán inmediatas. Veremos algunos métodos para resolverlas.

¬ Integración por partes

Se suele aplicar cuando el integrando es un producto de funciones. Se basa en la siguiente fórmula (a la que se llegafácilmente a partir de la derivada de un producto de funciones):

X udv = uv ? X vdu

Se trata de identificar en una integral dos partes: a una la llamaremos u y a la otra dv. Puede hacerse como se quiera (ose intuya: la única condición es que la parte dv contenga a la dx de la integral). Lo veremos con un ejemplo.

5Resolver la integral I = X3x2 exdx

Las partes pueden hacerse como se quiera, pero normalmente la integral ”no sale” si las hemos escogido mal (y en ese casose tomarían de otra manera). Aquí haremos las partes así:

u = 3x2 dv = exdx

Un consejo: las partes deben tomarse de tal manera que sea muy fácil derivar la parte u y muy fácil integrar la parte dv, yaque necesitamos saber cuánto vale du y cuánto v para aplicar la fórmula:

dudx

= 6x ì du = 6xdx X dv = X exdx ì v = ex

(la integral Xexdx es inmediata –basta ver las tablas de derivadas–; no ponemos la k porque es más cómodo ponerla alfinal de la integración completa).

Aplicamos ahora la fórmula con esos datos:

X3x2 exdx = Xudv = uv ? Xvdu = 3x2 ex ? Xex6xdx

La integral Xex6xdx no es inmediata, pero volvemos a aplicar el método de las partes para resolverla. Ahora:u = 6x ì du = 6dx dv = exdx ì Xdv = Xexdx ì v = ex . Aplicando la fórmula:

X6xexdx = Xudv = uv ? Xvdu = 6xex ? X6exdx = 6xex ? 6ex

Llevando este resultado donde nos faltaba:

X3x2 exdx = Xudv = uv ? Xvdu = 3x2 ex ? 6xex ? 6ex + k = exÝ3x2 ? 6x + 6Þ + k

¬ Integración por cambio de variable

Hay casos en que la integral sería inmediata si la variable adoptara una forma más conveniente, más simple. Es en esoscasos cuando se hace un cambio de variable. Veamos un ejemplo.

5Resolver la integral I = X 2Ý?5x+3Þ2+1

dx

Si en el denominador en vez de ?5x + 3 apareciera sólo x2 la integral sería inmediata (del tipo arctg).

Haremos el siguiente cambio de variable: u = ?5x + 3. para tratar que la integral quede claramente del tipo arctg.

Hay que tener en cuenta que también habrá que cambiar la ”dx” que aparece en la integral, pues tras el cambio todo debequedar en función de u. Para ello derivamos u, de lo que deducimos que du = ?5dx ì dx = ? du

5 El cambio global queda:

I = X 2Ý?5x+3Þ2+1

dx = X 2u2+1

? du5 = ? 2

5 X 1u2+1

du = ? 25 arctgu + k = ? 2

5 arctg ?5x + 3 + k

[Al final del proceso hay que deshacer el cambio de variable para que quede el resultado como función de x.]

¬ Integración de expresiones racionales

Cuando se trata de integrar expresiones del tipo (por ejemplo) X 2x2+5x5?9x+2x2+6

dx hay que descomponer primero la expresiónen fracciones simples, como se vio en el tema de polinomios. En este caso:

2x2+5x5?9x+2x2+6

= 1363Ýx+2Þ

? 1172Ýx?1Þ

+ 712Ýx?1Þ2 ? 1+3x

56Ýx2+3Þ


de manera que se puede escribir:

X 2x2+5x5?9x+2x2+6

dx = X 1363Ýx+2Þ

? 1172Ýx?1Þ

+ 712Ýx?1Þ2 ? 1+3x

56Ýx2+3Þdx = X 13

63Ýx+2Þdx ? X 11

72Ýx?1Þdx + X 7

12Ýx?1Þ2 dx ? X 1+3x56Ýx2+3Þ

dx

Las dos primeras son del tipo ln :

X 1363Ýx+2Þ

dx = 1363 ln|x + 2|

?X 1172Ýx?1Þ

dx = ? 1172 ln|x ? 1|

La tercera puede solucionarse fácilmente haciendo el cambio de variable u = x ? 1 ö du = dx con lo que la integralqueda:

X 712Ýx?1Þ2 dx = X 7

12u2 du = 712 Xu?2 du = 7

12u?1

?1 = ? 712u = ? 7

12Ýx?1Þ

Y la cuarta se resuelve así:

?X 1+3x56Ýx2+3Þ

dx = ? 156 X 3x+1

x2+3dx

Prescindiremos de la constante ? 156 por el momento y nos centraremos en la integral. El numerador es ”casi” la derivada

del denominador. Podemos ajustarlo así:

X 3x+1x2+3

dx = X 23 6 3

23x+1x2+3

dx = X 32

23 Ý3x+1Þ

x2+3dx = 3

2 X2x+ 2

3

x2+3dx = 3

2 X 2xx2+3

+23

x2+3dx =

32 X 2x

x2+3dx + X

23

x2+3dx

Prescindamos de nuevo de la constante ( 32 ). Ahora, en la primera integral vemos que el numerador es la derivada del

denominador, luego es del tipo ln :

X 2xx2+3

dx = ln x2 + 3

La segunda es ”casi” del tipo arctg; de hecho lo será si hacemos unas pequeñas transformaciones algebraicas y un cambiode variable:

X23

x2+3dx = 2

3 X 1x2+3

dx = 23 X

13

x23 + 3

3

dx = 23

13 X 1

Ý x3 Þ

2+1dx Hacemos u = x

3 ì du = 13 dx

ì dx = 3du

La integral queda:29 3 X 1

u2+1du = 2 3

9 arctgu = 2 39 arctg x

3

Finalmente, sólo queda sumar todas las integrales parciales que hemos ido obteniendo sin olvidar multiplicarlas por lasconstantes correspondientes que quedaron fuera de las integrales.

¬ Integración de expresiones trigonométricas

Ã Para resolver integrales con expresiones trigonométricas (no inmediatas) es útil probar el siguiente cambio de variable:

tg x2 = t lo que implicará que x = 2arctgt y, por tanto, dx = 2dt

1+t2

Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos: senx = 2t1+t2

y cada vez que aparezca cosx pondremos: cosx = 1?t21+t2

Este cambio reduce la integral a una función racional del tipo de las vistas anteriormente. Pero en algunas ocasiones sepueden hacer algunos cambios más simples. Veámoslos a continuación.

Ã Si el integrando es par en seno y en coseno (es decir, si ambos están elevados a potencias pares) puede hacerse elcambio:

tgx = t , lo que implicará que x = arctgt y, por tanto, dx = dt1+t2

Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos: senx = t1+t2

y cada vez que aparezca cosx escribiremos: cosx = 11+t2

Ã Si el integrando es impar en seno puede hacerse el cambio:

cosx = t , con lo cual ?senxdx = dt

Ã Si el integrando es impar en coseno puede hacerse el cambio:

senx = t , con lo cual cosxdx = dt

5Ejemplo I = X3senxcos2 xdx

Es impar en seno; hacemos el cambio indicado y queda (haciendo un pequeño ajuste algebraico):

I = X3senxcos2 xdx = XÝ?3Þcos2 xÝ?senxdxÞ = ?3X t 2 dt = ?3 t33 + k = ?cos3 x + k

Ã En otras ocasiones será mejor estudiar alguna transformación trigonométrica que simplifique el integrando, o resolverla


por partes, cambio de variables, etc.

A veces, cuando tratamos de resolver una integral trigonométrica por partes, en el proceso de resolución aparece de nuevola integral. Estas integrales se llaman recurrentes y se resuelven pasando las integrales a un mismo miembro y despejándolascomo si fueran una incógnita. Por ejemplo:

I = Xexsenxdx Hacemos u = ex ì du = exdx; dv = sendx ì v = ?cosx

Se aplica la fórmula de la integración por partes:

I = Xexsenxdx = uv ? Xvdu = ?ex cosx ? X?ex cosxdx = ?ex cosx + Xex cosxdx

La segunda integral también la resolvemos por partes. Hacemos ahora: u = ex ì du = exdx; dv = cosdx ì v =senx

Al aplicar la fórmula:

Xex cosxdx = exsenx ? Xexsenxdx

Como vemos, hemos vuelto a obtener la integral original. Recapitulemos los resultados:

Xexsenxdx = ?ex cosx + exsenx ? Xexsenxdx

En la ecuación anterior se pasan las dos integrales iguales al primer miembro (como si fueran una incógnita) y se depeja

2Xexsenxdx = ?ex cosx + exsenx

Xexsenxdx = exÝsenx?cos xÞ2 + k (la constante podemos agregarla al final)

¡ Integrales definidasLas integrales que hemos resuelto hasta ahora se llaman indefinidas. Hay otro tipo de integrales, basadas en las

anteriores, que se llaman definidas. Lo único que las diferencia de las anteriores es que tienen los llamados límites deintegración. Se resuelven de modo exactamente igual que las indefinidas, excepto que no se pone la constante (k) al final yque se tienen en cuenta los límites de integración como se indica a continuación con un ejemplo.

5Ejemplo X01 4x2 dx

En este caso nos dicen que integremos entre los límites de integración 0 y 1 (números abajo y arriba del símbolo de laintegral). Se resuelve la integral sin tenerlos en cuenta (y sin escribir la k). Es inmediata: 4x3

3 . Ahora se sustituye la x por ellímite superior (es decir, 1), y luego por el límite inferior (0). Con ello se obtienen dos números reales, que se restan. Lo quedé la resta es el valor de la integral definida. Es decir, a diferencia de una integral indefinida, cuyo resultado es una función,en la integral definida lo que se obtiene es un número. En este caso el resultado es:

4Ý1Þ3

3 ? 4Ý0Þ3

3 = 43

5Ejemplo X?2

2 4x2 + 3x ? 1 dx = 4x3

3 + 3x2

2 ? x?2

2 = 4 2 3

3 + 3 2 2

2 ? 2 ? 4Ý?2Þ3

3 + 3Ý?2Þ2

2 ? ?2 = 5 2 +173

5Ejemplo X?23 2x

x2?1dx = ln x2 ? 1

?21 = ln 32 ? 1 ? ln ?2 2 ? 1 = ln8 ? ln3 = ln 8

3

(el paso final es la aplicación de una de las propiedades de los logaritmos, como se vio en el tema correspondiente)

Cuando se haga la integral por el método de cambio de variable, no se olvide deshacer el cambio antes de sustituir la xpor los límites de integración. [Otra posibilidad es cambiar los límites de integración de acuerdo con el cambio de variablehecho, pero en general puede resultar más complicado.]

¬ Interpretación de la integral definida

La integral definida se puede interpretar como el área que queda entre la función integrando, el eje de las X y las rectasverticales x = a y x = b. Por ejemplo, X

13 x2 + 10 dx es el área que queda entre el trazo de la función fÝxÞ = x2 + 10, el

eje X y las rectas x = 1 y x = 3 :


-1 0 1 2 30

5

10

15

20

f(x) = 0

Área delim

itada por

x = 1; x =

3; f(x)

= 0

y f(x) =

x2 + 10

f(x) = x2 + 10

x = 3x = 1

La solución de X13 x2 + 10 dx es 86

3 , luego el área indicada vale 863 ..


Segunda parte: PROBLEMAS


Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y realesDivisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, ecuaciones e

inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Problemas de clase

$1. Factorizar en factores primos los números 820, 82 y 738

$2. Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 820, 82 y 738

$3. Efectuar la siguiente suma 2a+b25 ? b

a + a5b (Sol.: 2ba2+b2a?25b2+5a2

25ba )

$4. Resolver la ecuación x+12 + 5 = 2x ? 8 (Sol.: x = 9 )

$5. Resolver la inecuación ?3x + 5/3 ³ 4/9 (Sol.: x ² 1127 )

$6. Simplificar:5 a3

b10 a4b2

3 a8 (Sol.: 15 a29 )

$7. Resolver la ecuación 2x2 + x ? 5 = 0 (Sol.: x = ? 14 + 1

4 41 , x = ? 14 ? 1

4 41 )

$8 (J99B6). La solución, x1 , de la ecuación exponencial 2 x?1 + 2 x+1 + 2 x+3 = 84 verifica:

a) ? 12 ² x1 ² 3

2 b) ?5 ² x1 ² 23 c) ? 3

2 ² x1 ² 5 (Sol.: x = 3)

$9. Calcular ln200 en función de ln2 y ln5 (Sol.: 3ln2 + 2ln5)

$10 Resolver la ecuación logÝx ? 7Þ ? logÝx + 2Þ = ?1 (Sol.: x = 8)

Problemas propuestos

$P1(è 1). Factorizar en factores primos los números 39, 47 y 120 (Sol.: 39 = 1 × 3 × 13; 47 = 1 × 47;120 = 1 × 23 × 3 × 5)

$P2(è 2). Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 39, 47 y 120 (Sol.:mcmÝ39, 47, 120Þ = 73320; mcdÝ39, 47, 120Þ = 1)

$P3(è 3). Efectuar la siguiente suma:23 a+ 5

4 b89 a+b

+ 5b + 8a9

2a = (Sol.: 728a+981b+1440ab+1620b2

288a+324b )

(Ayuda:empezar reduciendo la primera fracción; efectuar luego el producto de fracciones indicado en el tercer monomio;tener en cuenta que, por ejemplo, 2

3 a es lo mismo que 2a3 –es como si se hubiera efectuado el producto de fracciones 2

3 × a1 –;

tener en cuenta también que 5b es lo mismo que 5b1 )

$P4(è 4). Resolver la ecuación 2x = ? x+45 + 2

15 (Sol.: x = ? 1033 )

(Ayuda: poner todos los monomios como fracciones, aplicar la regla de ponerles a todos los monomios el mismodenominador, para poder eliminarlo –simplificarlo– después)

$P5(è 5). Resolver la inecuación 2x5 ? 5

2 x < x (Sol.: x > 0 )

(Ayuda: no olvidar que si se multiplican todos los monomios por ?1 cambia el sentido de la desigualdad)

$P6(è 6). Simplificar: Ýa12Þ2bc

3 a2bc(Sol.: 3 a 3 b2 3 c2 )

(Ayuda: no olvidar las reglas del producto y raíz de potencias: ma mb = ma+b ; m?a = 1ma ; Ýma Þ b = mab ; n ma = m a

n )

$P7(è 7). Resolver la ecuación xÝx ? 1Þ = 6 (Sol.: x = ?2 , x = 3 )

(Ayuda: efectuar primero el producto xÝx ? 1Þ para comprobar que se convierte en una ecuación de segundo grado)

$P8(è 8). Solucionar 2 x + 5 × 2 x = 12 (Sol.: x = ?2 )

(Ayuda: tener en cuenta que escribir 2 x + 5 × 2 x es algo parecido a escribir a + 5 × a (o bien, a + 5a) es decir, cabe haceruna suma previa; luego se despeja el factor 2 x y el resto es de lógica)

$P9(è 9). Calcular log16000 sabiendo que log2 u 0.301 (Sol.: u 4.204)

(Ayuda: factorizar 16000; aplicar las propiedades de los logaritmos necesarias –recordar que las principales son:logmn = n logm; logmn = logm + logn y log m

n = logm ? logn –; finalmente,tener en cuenta que log1000 es un valor conocido)

$P10(è 10). Resolver la ecuación logarítmica log1001x ? logÝx + 2Þ = 3

(Ayuda: se trata de hacer desaparecer la expresión del logaritmo, que dificulta la resolución de la ecuación; para ello,empezar por aplicar la regla log m

n = logm ? logn; luego aplicar la regla: log a m = n ö m = an , y así desaparece el logaritmo.La solución es x = 2000)


Temas 3 y 4: Conjuntos, CombinatoriaElementos de la teoría de conjuntos, aplicaciones y funciones, composición de funciones, funciones inversas;

Variaciones, permutaciones y combinaciones

Problemas de clase

$1 (J97B9) Dadas las funciones reales de variable real fÝxÞ = x2 + 1 y gÝxÞ = 3x ? 2 se tiene que: a)f E gÝxÞ = 9x2 ? 12x + 5 b) f E gÝxÞ = 3x2 + 1 c) f E gÝxÞ = x2 + 3x ? 1

$2.(S99D5)Sea f : R ? 5 ¸ f : R ? 1 la función fÝxÞ = x+3x?5 . Entonces:

a) f ?1 ÝxÞ = 3x?5x?1 b) f ?1 ÝxÞ = 5x+3

x?1 c) f ?1 ÝxÞ = x?5x+3

$3. ¿Cuántas palabras de tres letras, sin repetir ninguna, se pueden formar con las letras de la palabra EUROPA? ¿Y decuatro letras, sin repetir ninguna? ¿Y de seis letras? ¿Y de tres letras repitiendo cada letra las veces que se quiera?

$4. ¿Cuántas palabras de 11 letras se pueden formar permutando las letras de la palabra MATEMATICAS?

$5. ¿Cuántos combinados se pueden hacer mezclando partes iguales de tres licores distintos si se dispone en total decinco licores? ¿Y cuántos si se permite repetir cuantas veces se quiera cualquiera de ellos?

$6 (S94BB). Un estudiante tiene que elegir al matricularse 3 asignaturas y 3 idiomas de un total de 6 asignaturas (biología,matemáticas, física, filosofía, historia y ética) y 5 idiomas (inglés, francés, italiano, ruso y aleman). 1) ¿De cuántas maneraspuede hacerlo?; 2) Si matemáticas e inglés son obligatorias, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? (Sol.: a) 200; b)60; Ayuda: se cuentan las combinaciones de cada grupo de asignaturas, y se multiplican los resultados (regla de lamultiplicación))

$7 (S98A7). Números naturales n que tienen todas sus cifras diferentes y satisfacen 5000 < n < 10000 hay: a) 2520 b)3600 c) 4999


$P1 (J98A5)(è 1). Dadas las funciones gÝxÞ = xx+1 para x ® ?1 y fÝxÞ = 1

x2 para x ® 0. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es correcta?: a) g E fÝxÞ = 1

x2+xsi x ® 0 b) g E fÝxÞ = x2

x2+1si x ® 0 c) g E fÝxÞ = 1

1+x2 si x ® 0 (Sol.: c; Ayuda: noolvidar que g E fÝxÞ es lo mismo que g fÝxÞ )

$P2 (J97E7)(è 1). Dadas las funciones reales de variable real fÝxÞ = x2 + 1 y gÝxÞ = 3x + 5 se tiene que: a)f E gÝxÞ = 3x3 + 5x2 + 3x + 5 b) f E gÝxÞ = 9x2 + 30x + 26 c) f E gÝxÞ = 3x2 + 8 (Sol.: b; no olvidar que Ýa + bÞ 2 = a2 + 2ab + b2 ;en este caso habrá que aplicarlo a Ý3x + 5Þ 2 = 9x2 + 30x + 25)

$P3 (J96G8)(è 1). Dadas las funciones fÝxÞ = xx+1 para x ® ?1 y gÝxÞ = x2 + 2x, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es

correcta?: a) g E fÝxÞ = x2+2xx+1 para x ® ?1 b) g E fÝxÞ = 3x2+2x

Ýx+1Þ2 para x ® ?1 c) g E fÝxÞ = xÝx2+2xÞx+1 para x ® ?1 (Sol.: b; tener en

cuenta lo dicho en los problemas anteriores y recordar que en la suma x2

Ýx+1Þ2 + 2xx+1 el mínimo común múltiplo, y por lo tanto

común denominador a utilizar, es Ýx + 1Þ 2 , advirtiendo también que Ýx + 1Þ 2 dividido por x + 1 es x + 1.

$P4.(S95E6)(è 2). Si f : Z ¸ Z es la aplicación tal que fÝzÞ = 2z 2 ? 8, entonces f ?1 Ý 0,?8 Þ es igual a: a)?8, 0, 8 b) ? 1

8 , 1120 c) ?2, 0, 2 (Sol.: c; Ayuda: primero hay que calcular lo que vale f ?1 ÝzÞ, y luego sustituir en la

expresión resultante la x por los valores 0 y -8; no olvidar, en su momento, que la raíz cuadrada de 4 admite dos soluciones: 2y -2)

$P5(è 3). a) ¿Cuántas cifras de tres dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetir ninguno?b) ¿Y decinco dígitos, sin repetir ninguno? c) ¿Y de cinco dígitos repitiendo cada uno cuantas veces se quiera? d) ¿Y de cinco dígitos,sin repetir ninguno, pero que empiecen por 1 y acaben en 5? (Sol.: a) 60; b) 120; c) 3125; d) 6; Ayuda: repárese en que sonproblemas de variaciones o permutaciones)

$P6.(S96A9)(è 3) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formamos números de cuatro cifras. ¿Cuántos números son múltiplos decinco? a) 125 b) 216 c) 70 (Sol.: la respuesta es 216; ayuda: repárese en que hay que escribir cuatro posiciones; laúltima siempre será el cinco, y las tres primeras, cualquier variación de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pudiéndo repetirse)

$P7(è 3). a) ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse de una sola columna y quince resultados? (Sol.: 14348907;Ayuda: dos posibles quinielas serían: 111XXX1212221X2, 1X21X222X221222; repárese en que se están utilizando 3elementos (1, X, 2) de quince en quince veces y que cada uno se puede repetir las veces que se quiera, es decir, se admiteincluso la variación 111111111111111, por ejemplo)

$P8 (S95E2)(è 3). Con las cifras 0, 1, 2, ...9 formamos números de 5 cifras. ¿Cuántos números empiezan por 73? a)1000 b) 120 c) 720 (Sol.: 1000; Ayuda: hay que colocar cifras en cinco posiciones; la única obligación es colocar el 7 enla primera posición y el 3 en la segunda; en las otras tres posiciones puede colocarse cualquier número del 0 al 9, e inclusocabe repetirlos).

$P9(è 4). ¿Cuántas banderas confeccionadas cosiendo una al lado de otra siete bandas de colores se pueden hacer demanera que tres bandas sean azules, dos rojas y dos verdes? (Sol.:210; Ayuda: es un problema de permutaciones conrepetición; un ejemplo sería la bandera azul-azul-azul-roja-roja-verde-verde; otro: azul-roja-verde-azul-roja-verde-azul)

$P10(è 5). ¿Cuantas combinaciones pueden hacerse marcando 6 de los 49 números de la lotería primitiva? (Sol.:13983816)


$P11(è 6). ¿Cuántas comidas distintas pueden hacerse disponiendo de tres primeros platos, dos segundos y cuatropostres? (Sol.: 24; Ayuda: hay tres grupos: primero, segundo plato y postre; se cuenta el número de posibilidades de cada grupo(cosa que es trivial, aunque puede hacerse por la fórmula V(n, 1)), y luego se multiplican los tres valores obtenidos).

$P12(è 7). ¿Cuántos números naturales con todas sus cifras distintas hay entre 60000 y 70000?


Temas 5 y 6: Probabilidad, EstadísticaSuceso, sucesos incompatibles, sucesos independientes, probabilidad de un suceso, unión e intersección de

sucesos

Problemas de clase

$1.(J94Bb). Se elige al azar un número natural de cuatro cifras. Calcular la probabilidad de que el número elegidoempiece por 5 y termine en par.

$2.(J95C10). Se lanzan dos dados; ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea 6? a) 16 b)

536 c) 36

10

$3.(S96H3). De una baraja española de cuarenta cartas se toman dos al azar; la probabilidad de obtener dos oros es a)15 b) 3

52 c) 525

$4 (J99H1; J95I6) Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 5 negras. Se extraen simultáneamente dos bolas de laurna. La probabilidad, P, de que sean negras verifica: a) 0, 1 < P < 0, 3 b) 0, 3 < P < 0, 7 c) P = 0, 8

$5.(J97B2). Un cartero reparte cuatro cartas al azar entre sus cuatro destinatarios. La probabilidad de que sólo dos cartaslleguen a su destino es a) 2, 75 b) 0, 5 c) 0, 25

$6.(93?). Calcular la probabilidad de que al lanzar cuatro veces consecutivas una moneda salga al menos una cara (Sol.:1516 = 0.937).

$7. Sean dos aulas. La primera tiene 26 alumnos y la segunda 18. Las notas sacadas por los alumnos de la primera encierta asignatura fueron: 5, 7, 4, 6, 9, 1, 5, 6, 5, 1, 1, 10, 7, 7, 8, 10, 2, 3, 6, 6, 5, 7, 4, 4, 5, 4. Los de la segunda obtuvieron: 1,2, 10, 9, 7, 7, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 3, 7. Calcular las medias, medianas, modas, desviaciones medias, varianzas,desviaciones típicas y coeficientes de variación de ambos conjuntos de datos; tipificar también la nota de 5 para ambaspoblaciones. Considerando ambas distribuciones normales, ¿cuál es más homogénea? ¿Qué significa en cada una de ellas elvalor de la desviación típica?


$P1.(J94Ab)(è 1). Se elige al azar un número natural de cuatro cifras. Calcular la probabilidad de que el número elegidoempiece por impar y termine en 6. (Sol.: 0.055; Ayuda: para contar los casos favorables hay que tener en cuenta que losnúmeros que nos piden pueden clasificarse en 5 categorías: 1_ _ 6; 3_ _ 6; 5_ _ 6; 7_ _ 6 y 9_ _6, donde los huecos puedenocuparlos todas las cifras, del 0 al 9, pudiendo repetirse, y que los casos posibles pueden dividirse en nueve categorías delos tipos: 1_ _ _; 2_ _ _; 3_ _ _, etc., pudiendo ocupar los tres huecos todas las cifras, incluso repitiéndose. OTRA FORMA dehacer el problema es dividirlo en cuatro experimentos más sencillos: elegir los cuatro números en cuatro operacionesdiferentes. Luego se calcula la probabilidad de que el primero sea impar, de que el segundo sea cualquier cifra del 0 al 9, lomismo para el tercero (estas dos probabilidades son 1) y de que el cuarto sea 6 Hay que tener en cuenta que estamoshablando de intersección de sucesos, puesto que queremos que se cumpla el primero Y el segundo Y el tercero Y el cuarto. Portanto, habrá que emplear la fórmula de la intersección, que implica una multiplicación de las correspondientesprobabilidades)

$P2.(J98A4)(è 2, 6). Se lanzan dos dados; la probabilidad de que los resultados de cada dado sean distintos es a) 16 b)

56 c) 5

36 (Sol.: 56 ; Ayuda: se escriben los 36 resultados (sucesos elementales) posibles y se cuentan los que cumplan la

condición requerida, que es que ambos números sean distintos. OTRA FORMA: se cuentan los resultados que cumplen queambos números son iguales; este es el suceso contrario al pedido; de calcula su probabilidad y luego se calcula laprobabilidad del suceso directo mediante la fórmula PÝSÞ = 1 ? PÝS cÞ OTRA FORMA: se descompone el experimento en dos:calcular la probabilidad de que ocurra el suceso ”salir cualquier número en la tirada del primer dado” (esa probabilidad es 1) Yel suceso ”salir distinto número en el segundo dado del que ha salido en el primero” (esa probabilidad es 5

6 ). Recordar que elresultado final se calcula multiplicando ambas probabilidades, pues estamos hablando de intersección de sucesos)

$P3.(J98H5)(è 3). Se extrae una carta de una baraja española; la probabilidad de que sea una figura y una copa es a)0, 30 b) 0, 075 c) 0, 225 (Sol.: 0.075; Ayuda: sólo hay tres cartas que sean figuras y copas. OTRA FORMA: calcular laprobabilidad de que salha figura Y la de que salga copa; luego, multiplicar, pues hemos usado la partícula Y de intersección)

$P4(è 4) Una urna contiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola searoja? Supongamos que hemos extraído una bola roja; si sacamos una segunda bola, ¿cuál es la probabilidad de que seatambién roja? ¿Y de que sea verde? Volvemos a las condiciones iniciales (9 bolas en la urna, 3 de cada color); si sacamostres de una vez, cuál es la probabilidad de que las tres sean rojas? ¿Y de que sea una de cada color? (Sol.:13 ; 1

4 ; 38 ; 0.0119; 0.32 Ayuda para la cuarta parte: dividir el problema en sacar primero una bola Y luego otra Y

luego otra; para la quinta parte: dividir el problema en tres partes: que salga una primera bola de cualquier color Y que salgauna segunda de color distinto al que salió antes Y que salga una tercera de color distinto a los dos anteriores; es intersecciónde sucesos, luego multiplicar. También puede considerarse un esquema más complejo: (la primera roja Y la segunda verde Yla tercera blanca) O (la primera roja y la segunda blanca Y la tercera verde) O etc... (6 posibilidades); para calcular laprobabilidad de cada paréntesis, se emplea la multiplicación (pues se han usado intersecciones), y luego hay que sumar lasseis probabilidades, pues se trata de seis uniones)

$P5.(J97E4)(è 4). Una enciclopedia consta de 40 tomos, el primero de los cuales es ”Matemáticas”. La probabilidad deque al elegir 3 tomos al azar resulte elegido el tomo de Matemáticas es a) 1, 05 b) 0, 025 c) 0, 075 (Sol.: 0.075; Ayuda:


contar, mediante combinatoria, cuántos tríos posibles pueden formarse (combinaciones de _____ elementos tomados de_____ en _____); esos son los casos posibles. Los casos favorables son, de esos tríos, los que contengan el libro deMatemáticas; es decir, dando por hecho que en un trío está ese libro, los otros dos que formen el trío pueden una pareja deentre C(39,2) posibles. Esos son los casos favorables. OTRA FORMA: dividir el problema así: ”que el primer libro sea deMatemáticas Y el segundo otro cualquiera Y el tercero otrio cualquiera) O (que el primero sea uno cualquiera no deMatemáticas Y el segundo el de Matemáticas Y el tercero uno cualquiera) O (que el primero sea uno cualquiera no deMatemáticas Y que el segundo sea otro cualquiera no de Matemáticas Y que el tercero sea de Matemáticas). Calcular lasnueva probabilidades simples y finalmente sustituir los O por sumas y los Y por multiplicaciones)

$P6(è 5). Si entrego al azar tres carnés de identidad a sus tres titulares, ¿cuál es la probabilidad de que aciertecompletamente? (Sol.: 1

6 ; Ayuda: numeremos los carnés de identidad: el 1 es de la persona A, el 2 de la B y el 3 de la C;Puedo hacer una serie de permutaciones con los carnés: 123, 132, etc, y sólo una me vale. OTRA FORMA: la probabilidad esla misma que la de que entregue el primer carné correctamente a la primera persona Y de que lo entregue correctamente a lasegunda Y de que lo entregue correctamente a la tercera)

$P7(è 6). Una comisión parlamentaria está formada por cinco diputados de izquierdas, uno de centro y cinco de derechas.¿Cuál es la probabilidad de que al elegir por sorteo a tres de ellos para integrar una subcomisión salga alguno de derechas?(Sol.: 0.88; Ayuda: hacerlo por el método del suceso contrario: calculando primero la probabilidad de que ”no salga ninguno dederechas”; entonces, el número total de tríos es C(__, __) (esos son los casos posibles), y el número total de tríos integradossólo por diputados de izquierdas o de centro es C(6,__) (esos son los casos favorables).

$P8(è 7). Sean dos atletas. En determinada prueba, repetida por el primero de ellos 12 veces obtiene los siguientesresultados: 85, 82, 83, 85, 87, 88, 85, 84, 81, 90, 85, 82; el segundo atleta repite la misma prueba 9 veces y obtiene lossiguientes resultados: 75, 95, 85, 84, 89, 86, 85, 84, 87. Calcular las medias, medianas, modas, desviaciones medias,varianzas, desviaciones típicas y coeficientes de variación de ambos conjuntos de datos; tipificar también el resultado 85 paraambos atletas. ¿Cuál de los dos se puede considerar más regular? Si la distribución de rsultados del primero se puedeconsiderar normal, ¿qué significa el valor obtenido de la desviación típica? Compruébese si ello es cierto. (Ayuda: para caldularlos parámetros estadísiticos pedidos, buscar las fórmulas en el libro; la homogeneidad se determina mediante el coeficientede variación; en una distribución normal, la desviación típica es un valor que sumado a la media y restado de ésta determinauna horquilla dentro de la cual está el 68% de los resultados aproximadamente (compruébese)).


Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuacionesSistemas de ecuaciones lineales de dos o más incógnitas, matrices, determinantes y sus propiedades, resolución de

sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer)

Problemas de clase

$1. Resolver los siguientes determinantes:

a) 2 1

0 ?1b)

?1 ?5 ?3

?3 7 0

7 5 4

, c)23 ?3

?1 ?1, d)

1 0 1 1

2 0 0 2

1 2 0 1

3 1 ?1 2

(Sol: a) ?2; b) 104; c) ? 113 ; d) ?4)

$2. Resolver los siguientes determinantes tratando de hacer ceros:

a)?1 ?2 ?1

?3 1 ?3

7 1 7

, b)

1 0 1 1

2 0 2 2

3 ?2 0 ?1

?3 1 ?1 2

, c)1 2 ?1

3 1 ?3

4 3 7

, d)

1 0 2 1

2 0 4 2

3 ?2 6 3

?3 1 ?1 2

,

(Sol: a) 0; b) 0; c) ?55 d) 0)

$3. Determinar los rangos de las siguientes matrices.

a) 1 1

2 3, b) 1 1

2 2, c)

1 2 ?1

1 0 ?2

6 3 4

, d)1 1 ?1

3 0 ? 23

2 2 ?2

,

e)

12 1 ?1

1 2 ?2

4 8 ?8

, f)1 1

2 3

?1 0

, g)2 4 1

1 2 12

, h)

4 4 2 0

2 2 1 0

1 1 0 1

?3 ?3 0 0

,

(Sol: a) 2; b) 1; c) 3 d) 2 , e) 1 f) 2 g) 1 h) 3 )

$4(J99H8). La solución Ýx1 , y1 , z 1 Þ del sistema2x + y + 3z = 3

x ? y ? z = 0

5x ? 3y ? 2z = 6

verifica: a) ?12 ² x1 ² 2; 0 ² y1 ² 25; ?40 ² z 1 ² 9 b) 5 ² x1 ² 10; 0 ² y1 ² 25; ?40 ² z 1 ² 2; c) ?2 ² x1 ² 7;0 ² y1 ² 31; ?2 ² z 1 ² 0 (Sol.: b)

$5(S99D9). El sistema2x + 3y ? 2z = 1

4x + 7y ? z = 3

2x + 2y ? 5z = 1

a) es compatible determinado; b) es compatible indeterminado; c) es incompatible (Sol.: c)

$6(J99H3). El sistemakx + y + 3z = 3

x ? y ? z = 0

5x ? 3y ? 2z = 6

verifica: a) para k = 6 el sistema es incompatible; b) para k = 35 el sistema es compatible determinado; c) para k = 1

5 elsistema es compatible indeterminado. (Sol.: b)

$7(J97B1). Dado el sistemaax ? y + 2z = 1

x ? 2y = 0

ax + y ? z = 1

se verifica que a) para a = ? 16 y a = 1 es compatible; b) para a = ? 1

6 y a = 49 es incompatible; c) para a = 1

6 y a = 32

es compatible. (Sol.: c).

$8(S96H1). Dado el sistema


2x ? 8y + 3z = 0

x ? 5y + 2z = 0

? x ? y + z = 0

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la solución del sistema es x = V2 ; y = V

2 ; z = V; b) el sistema es”incompatible”; c) x = 0; y = 0; z = 0 es la única solución del sistema (Sol.: a).

$9(J95C7). Se verifica que el sistema2x ? 6y + 4z = 6

3x ? 9y + 6z = 9

a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones; c) no tiene solución (Sol.: b)


$P1(è 1). Resolver los siguientes determinantes:

a) ?1 3

9 9, b)

0 1 ?1

0 72 2

7 5 0

, c) 3 3

? 3 ?1,, d)

2 0 1 0

?7 1 0 0

1 0 0 1

1 ?1 ?1 ?2

,

(Sol: a) ?36; b) 772 ; c) 0; d) ?2)

$P2(è 2). Resolver los siguientes determinantes tratando de hacer ceros:

a)?1 ?5 ?3

?1 ?5 0

7 5 4

, b)

1 1 1 2

2 ?1 ?2 4

1 2 0 2

3 1 ?1 2

, c)1 2 3

1 2 0

7 5 12

, d)

1 1 1 2

1 ?1 ?2 2

1 3 3 2

3 1 ?1 2

,

(Sol: a) ?90; b) ?28; c) ?27; d) ?8)

$P3(è 3). Determinar los rangos de las siguientes matrices.

a) ?1 1

?10 10, b)

0 023 ?1

, c)0 2 ?1

0 1 ? 12

3 3 3

, d)1 2 3

2 4 6

3 6 9

,

e)

32 2 0

1 5 0

1 0 1

, f)1 1

1 1

?1 0

, g) 3 ?2 1

?1 6 10, h)

2 1 4 2 0

1 1 0 2 1

?3 1 0 1 0

1 1 1 ?2 3

,

(Sol: a) 1; b) 1; c) 2 d) 1 , e) 3 f) 2 g) 2 h) 4 )

$P4(S98A1)(è 4). Si Ýx1 , y1 , z 1 Þ es la solución del sistema3x + y + z = 1

? x + 2y ? z = 5

2x ? y ? 3z = 1

entonces verifica: a) ?3 ² x1 ² ?1; ? 32 ² y1 ² 3

2 ; z 1 = ?1 b) x1 = 0; 0 ² y1 ² 2; ?2 ² z 1 ² 32 ; c) ?1 ² x1 ² 0;

y1 = 0; ?2 ² z 1 ² 12 (Sol.: b)

$P5(J98H2)(è 5). El sistema2x ? y + z = 3

x + 3y ? 2z = 0

4x ? 3y + z = 1

verifica a) es incompatible; b) es compatible determinado; c) es compatible indeterminado. (Sol.: b).

$P6(J97E5)(è 6, 7). Dado el sistemax + y + z = 2

3x + 2y ? z = 4

? 2x + y + +az = 2

se verifica que a) para a = 4 es incompatible; b) para a = 10 es compatible e indeterminado; c) para a = ?3 tieneinfinitas soluciones. (Sol.: b).

$P7(S96A1)(è 6, 7). Dado el sistema? 2x + y + 3z = 0

x + Jy ? z = 3

x + 4y ? z = 1

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es ”compatible-determinado” para J = 4; b) el sistema es


”incompatible” para J = 4; c) el sistema es ”compatible-indeterminado” para J ® 4. (Sol.: b).

$P8(J99B1)(è 6, 7). El sistemakx + y + 3z = 3

x ? y ? z = 0

5x ? 3y ? 2z = 6

verifica a) para k = 25 el sistema es incompatible; b) para k = 3

5 el sistema es compatible determinado; c) para k = 15 el

sistema es compatible indeterminado. (Sol.: b)

$P9(J98A3)(è 6, 7). El sistemakx + y ? z = 1

x + 2y + z = 2

x + 3y ? z = 0

verifica a) para k = 0 el sistema es compatible indeterminado; b) para k = ?3 el sistema es incompatible; c) para k = 4 elsistema es compatible determinado. (Sol.: c).

$P10(J96G2)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistemax ? y ? z = 0

2x + y ? 5z = 0

3x + 2y ? 8z = 0

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es incompatible; b) x = 0; y = 0; z = 0 es la única solucióndel sistema; c) la solución del sistema es x = 2V; y = V; z = V; (Sol.: c).

$P11(S97A5)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistemax + y + z = 0

y ? z = 0

2x + 3y + z = 0

se verifica que: a) es compatible determinado, con solución: x = 23 ; y = ?1

3 ; z = ? 13 ; b) es compatible indeterminado,

con solución: x = ?2t; y = t; z = t; c) es incompatible (Sol.: b).

$P12(S95E8)(è 4, 5, 6, 7, 8). Dado el sistemax + y + z = 1

2y ? z = 2

x ? 3y + 3z = ?3

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) el sistema es ”compatible-indeterminado”, con solución x = ? 3V2 ;

y = 2+V2 ; z = V; b) el sistema es ”compatible-determinado” con solución x = ?3; y = 2; z = 2; c) el sistema es ”incompatible”

(Sol.: a).

$P13(J95I4)(è 9). El sistema? 2x + 4y ? 6z = 1

3x ? 6y + 9z = 3

a) no tiene solución; b) tiene infinitas soluciones; c) tiene solución única (Sol.: a)


Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometríaÁngulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas

Problemas de clase

$1. Pasar a radianes los siguientes ángulos en grados: 30o , 60o , ?45o , 235o , 1400o y a grados los siguientes ángulos enradianes: 7^

12 , ?^, 0, 10.

$2. Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 120o , 225o , 270o , 330o , ? 120o conociendo lassiguientes: sen 0 = 0; sen 30 = 1

2 ; sen 45 = 22 ; sen 60 = 3

2 ; sen 90 = 1.

$3. Sabiendo que el seno de cierto ángulo es 0.35, calcular el resto de sus razones trigonométricas.

$4. Calcular las razones trigonométricas del ángulo 105o .

$5.(S98A6). El valor de la tangente de cada uno de los ángulos de un triángulo que tiene los tres lados iguales es a) 2 3b) 3 a) 3 3

2 .

$6.(J97B4). En la figura siguiente, conociendo que el radio de la circunferencia es 1 y que el seno del ángulo J vale 2 35 ,

se puede afirmar que el segmento PQ mide: a) 4 35 , b) 2 3

13 ; c) 2 135

O

α

Q

PO

α

Q

P

$7. Caminando por una superficie plana vemos una torre de 55 metros bajo un ángulo de 17o . ¿A qué distancia estamosde la torre? (suponemos conocidas las razones trigonométricas de 17o ).


$P1(è 1). Pasar a radianes los siguientes ángulos en grados: 35o , ?270o , 600o ; y a grados los siguientes ángulos enradianes: ^

4 , ? ^2 , 6^

$P2(è 2). Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 135o , 180o , 210o , 300o , ? 45o conociendo lassiguientes: sen 0 = 0; sen 30 = 1

2 ; sen 45 = 22 ; sen 60 = 3

2 ; sen 90 = 1.

$P3.(J97E2)(è 3). Si para el ángulo J = 7^12 se supone que senJ = a2 , entonces: a) cosJ = ? 1 ? a4 y tgJ = ? a2

1?a4 b)

cosJ = ?1 + a2 y cotgJ = ?1+a2

a2 c) cosJ = 1 ? a4 y secJ = 11?a4 (Sol.: c); ayuda: olvidarse del valor del ángulo J, que aquí

no aporta nada, y centrarse en la aplicación de la fórmula sen2J + cos2J = 1 y en la relación existente entre las razonestrigonométricas secundarias (sec, cosec y tg) con las principales (sen, cos y tg).

$P4(è 4). Calcular el valor aproximado del seno de 50o sabiendo que sen25o p 0.423 y cos25o p 0.643 (Sol.:sen50o p 0.766; ayuda: tener en cuenta que 50 es el doble de 25, y tambièn la fórmula para calcular el seno de una suma dedos ángulos: senÝJ + KÞ =senJ cosK + cosJsenK).

$P5.(S96A7)(è 5, 6). Un triángulo rectángulo tiene dos catetos con la misma longitud y su hipotenusa mide 2 metros.¿Cuánto miden los catetos? a) 1 b) 2 c) 2. (Sol.: c); ayuda: aplicar el teorema de Pitágoras)

$P6(è 7). Queremos calcular la altura de una pirámide de base cuadrada de 32 m de lado, con las caras orientadas a loscuatro puntos cardinales y plantada sobre un extenso valle de superficie lisa. Para ello, al amanecer medimos la sombra queproyecta la pirámide desde su base, medida que resulta ser de 102 m. También medimos la sombra de una vara de 75 cmclavada en el suelo, sombra que resulta ser de 1 m y .23 cm. ¿Qué altura tiene la pirámide? (Sol.: 72 m, aprox. Ayuda:aplicar el teorema de Tales (teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos formados por la altura de la pirámide y susombra y la vara y su sombra), o, mejor aún, la definición de tangente de un ángulo, considerando que estamos hablando deigualdad de ángulos en los triángulos aludidos).


Tema 14: Números complejosNúmeros complejos en forma binómica y en forma trigonométrica, Operaciones con complejos

Problemas de clase

$1 Resolver la ecuación de cuarto grado (ecuación bicuadrada) x4 + x2 + 1 = 0 (Sol.: x = ? 12 + 3

2 i; x = ? 12 ? 3

2 i;x = 1

2 ? 32 i; x = 1

2 + 32 i)

$2 Dados los números complejos z 1 = 2 + 2i z 2 = ?3i z 3 = ?5 efectuar las siguientes operaciones:z 1 + z 2 z 2 ? z 3 z 1 Ýz 1 ? z 2 Þ z 1 6 z 2 6 z 3

z1z2+z3

$3 (S99D4) El valor de i298

i481?i275 es a) ? 12 + 1

2 i b) i2 c) ? 1

i?1

$4 (S98A10) La parte imaginaria del número complejo Ý4?3iÞÝ1+iÞ3?i es a) 2 b) ?3 c) 1

$5 Expresar en forma trigonométrica los siguientes complejos escritos en forma binómica: z 1 = 2 + iz 2 = 2 ? 2i y en forma binómica los siguientes escritos en trigonométrica :z 3 = 2Ýcos30 + isen30Þz 4 = ?Ýcos135 + isen135Þ

$6 Dados los complejos z 1 = 81 z 2 = ?1 ? i expresarlos en forma trigonométrica y calcular (haciendo uso de lasformas trigonométricas): z 1 6 z 2 z 1 : z 2

4 z 12 z 2

$7 (J95C5) Deterninar a para que el cociente z = 4+2ai3a+i sea un número real. a) a = ± 2

3 b) a = 0 c) a = 1± 3


$P1(è 1) Resolver la ecuación de segundo grado: x2 + 2x + 2 = 0 (Sol.: x = ?1 + i; x = ?1 ? i)

$P2(è 2) Dados los números complejos z 1 = 2 + 2i z 2 = 1 ? 3i z 3 = ?5 z 4 = i efectuar las siguientesoperaciones: z 1 + z 2 ? z 3 z 1 Ýz 1 + z 2 + z 4 Þ Ýz 1 ? z 2 Þ 6 Ýz 3 ? z 4 Þ z1

z2(Sol.: 8 ? i 6 + 6i ?26i ? 2

5 + 45 i)

$P3 (J96G7)(è 2) El valor de Ý4?3iÞÝ1+iÞ3?i es a) 2 + i b) 4?3i

3?i 6 1+i3+i c) 22+10i

8

$P4 (J95I3)(è 3) Calcular z = i302

i485?i274 a) ?1 ? i b) 1i?1 c) ? 1

2 + 12 i (Sol. c)

$P5 (S97A8)(è 4) La parte real del número complejo z = i302

i485?i274 es a) 0 b) ? 12 c) ?1 (Sol. b)

$P6(è 5) Expresar en forma trigonométrica los siguientes complejos escritos en forma binómica: z 1 = 1 + 3 iz 2 = 2 ? 2i y en forma binómica los siguientes escritos en trigonométrica :z 3 = 3Ýcos45 + isen45Þz 4 = ?5Ýcos90 + isen90Þ (Sol.: z 1 = 2Ýcos60 + isen60Þ z 2 = 8Ýcos315 + isen315Þ z 3 = 6

2 + 62 i z 4 = ?5)

$P7(è 6) Dados los complejos z 1 = ?16 z 2 = ?i expresarlos en forma trigonométrica y calcular (haciendo uso delas formas trigonométricas): z 1 6 z 2 z 1 : z 2 z 2

5 4 z 12 z 2 (Soluciones expresadas en forma binómica.: 16i

? 16i ?i 2 + 2 i; ? 2 + 2 i; ? 2 ? 2 i; 2 ? 2 i ? 22 + 2

2 i; 22 ? 2

2 i )


Temas 13 y 15: VectoresVectores, módulo de un vector, suma y resta, multiplicación por un escalar, producto escalar, ángulo entre dos

vectores, producto vectorial, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, base y sistema degeneradores

Problemas de clase

$1 Las coordenadas del extremo de un vector en R3 son Ý0, 3, 4Þ y las de su origen Ý1, 2, 1Þ. ¿Cuáles son lascoordenadas del vector? ¿Cuál es su módulo?

$2 Sean los vectores u = Ý1, 2, 3Þ, v = Ý?1,?2,?3Þ y w = Ý0, 1, 0Þ. Efectuar con ellos las siguientes operaciones: a)u + v b) u ? v c) 2u + v ? 3w d) au ? bv e) u 6 v f) v 6 w g) v × w h) w × v

$3 ¿Qué ángulo forman los vectores Ý0, 1Þ y Ý2, 2Þ?

$4 Sean los vectores u = Ý0, 0, 2Þ, v = Ý2, 3,? 3Þ y w = Ý2, 4, 6Þ. Calcular sus módulos y sendos vectores unitarios de lamisma dirección y sentido que cada uno de ellos.

$5 Sean los vectores u = Ý1,?1, 2Þ v = Ý1, 3, 1Þ y w = Ý0, 1, 0Þ. ¿Cuánto deben valer V, W y X para que se cumpla lasiguiente igualdad: Vu + Wv + Xw = 0 ? En este caso se puede decir que los vectores u , v y w son ¿linealmentedependientes o independientes?

$6 (J98A8) Los vectores u = Ý1, 0,?1Þ v = Ý?1,?1, 3Þ y w = Ý?2, 1, 1Þ de R3 verifican: a) son linealmentedependientes b) son linealmente independientes c) el vector v es combinación lineal de w

$7 (S97A7,J95C1) Los vectores Ý1, 1, 1Þ, Ý1, 2, 3Þ, Ý1, 4, 9Þ y Ý2, 0,?1Þ de R3 verifican: a) constituyen una base enR3 b) son linealmente independientes c) constituyen un sistema de generadores de R3

$8 (S95E3) ¿Cuánto debe valer J para que el vector ÝJ, 4,?7Þ pertenezca al subespacio vectorial de R3 sobre Rengendrado por los vectores Ý1,?2, 5Þ y Ý?1, 0, 1Þ? a) J = 0 b) J = ?5 a) J = 2

$9. Sea la base Ý1, 2Þ, Ý?1, 3Þ . ¿Qué coordenadas tiene en dicha base el vector Ý1, 2Þ (expresado en base canónica)?

$10. Expresar en base canónica el vector cuyas coordenadas son Ý2,?1Þ en la base Ý0, 2Þ, Ý1, 1Þ


$P1(è 1) Las coordenadas del extremo de un vector en R3 son Ý1,?3,?1Þ y las de su origen Ý1, 2, 1Þ. ¿Cuáles son lascoordenadas del vector?¿Cuál es su módulo? (Sol.: Ý0,?5,?2Þ; 29 )

$P2(è 2) Sean los vectores u = Ý1, 0, 0Þ, v = Ý1, 2, 3Þ y w = Ý1, 1,?1Þ. Efectuar con ellos las siguientes operaciones: a)u + v b) u ? v c) 2u + v ? 3w d) au ? bv e) u 6 v f) v 6 w g) v × w h) w × v (Sol.: a) Ý2, 2, 3Þ b)Ý0,?2,?3Þ c) Ý0,?1, 6Þ d) a ? b,?2b,?3b e) 1 f) 0 g) Ý?5, 4,?1Þ h) Ý5,?4, 1Þ

$P3(è 3) ¿Qué ángulo forman los vectores Ý1, 0, 0Þ y Ý0, 1, 0Þ? (Sol.: 90o ; ayuda: usar la definición de producto escalar)

$P4(è 4) Sean los vectores u = Ý1, 0, 0Þ, v = Ý0, 3, 4Þ y w = Ý1, 1,?1Þ. Calcular sus módulos y sendos vectores unitariosde la misma dirección y sentido que cada uno de ellos (Sol.: 1, 5, 3 ; Ý1, 0, 0Þ, Ý0, 3

5 , 45 Þ Ý 3

3 , 33 ,? 3

3 Þ )

$P5(è 5) Sean los vectores u = Ý3, 3, 3Þ v = Ý1,?3, 1Þ y w = Ý?1, 1,?1Þ. ¿Cuánto deben valer V, W y X para que secumpla la siguiente igualdad: Vu + Wv + Xw = 0 ? En este caso se puede decir que los vectores u , v y w son ¿linealmentedependientes o independientes? (Ayuda: el vector 0 , o vector nulo, equivale a un punto, y tiene por coordenadas Ý0, 0, 0Þ;tres vectores se dice que son linealmente independientes cuando al plantear una ecuación como la anteror con ellos seobtiene como única solución V = 0;W = 0;X = 0; en otro caso son linealmente dependientes. Sol.: V = t; W = 3t; X = 6t, siendot un parámetro cualquiera; es decir, hay infinitas soluciones, y por tanto los vectores u , v y w son linealmente

dependientes; efectivamente, puede comprobarse que u = ?3v -6w)

$P6 (J98H1)(è 6) Los vectores u = Ý2, 0, tÞ v = Ý1,?2, 5Þ y w = Ý0, 3, 1Þ de R3 verifican: a) para t = 23 , w es

combinación lineal de u . y v b) para t = 15 , w es combinación lineal de u . y v c) para t = 34

3 , w es combinaciónlineal de u . y v (Ayuda: si el determinante planteado con los tres vectores da cero, hay una dependencia lineal dentro de él;escribirmos entonces el determinante con el parámetro t incluido, con lo que lo resolveremos en función de t; ese resultado loigualamos a 0 para ver así qué valor o valores de t hacen cero el determinante y, por tanto, que exista dependencia lineal.Sol.: c)

$P7 (S96H2)(è 6, 7) Dados los vectores u = Ý2, 3, 5Þ v = Ý2,?2, 2Þ y w = Ý1,?6, 0Þ de R3 se tiene que: a) u y vconstituyen un sistema de generadores de R3 b) u , v y w son linealmente independientes c) u , v y w son linealmentedependientes(Sol.: b)

$P8 (J95I7)(è 6, 7) Una base del subespacio vectorial de R4 engendrado por los vectores Ý1, 1, 2, 0Þ, Ý2,?1, 0, 1Þ, Ý5,?1, 2, 2, Þy Ý3, 0, 2, 1Þ es a) Ý2,?1, 0, 1Þ, Ý5,?1, 2, 2, Þ y Ý3, 0, 2, 1Þ; b) Ý1, 1, 2, 0Þ, Ý2,?1, 0, 1Þ, y Ý3, 0, 2, 1Þ; c) Ý2,?1, 0, 1Þ y Ý3, 0, 2, 1Þ

$P9 (S99D10)(è 7) ¿Para qué valores de t los vectores u = Ý1, 1, 1Þ v = Ý2, 2, tÞ y w = Ýt, 0, 0Þ no forman parte de unabase de R3 ? a) t 1 = 0 y t 2 = 1 b) t 1 = 0 y t 2 = 2 c) t 1 = 1 y t 2 = 2 (Sol.: b)

$P10 (S96A10)(è 7) Los vectores u = Ý2,?2J, 1Þ y v = Ý?4K,?1, 3Þ son linealmente dependientes cuando:: a) J = 12


y K = ? 12 b) J = 0 y K = 0 c) J = 1

6 y K = ? 32 (Ayuda: dos vectores son linealmente dependientes cuando uno es

múltiplo de otro. Sol.: c).

$P11 (J99A7)(è 9) Considérense los vectores v = Ý1, 1Þ y w = Ý2, 1Þ. Las coordenadas del vector u = Ý?1, 12 Þ respecto

a la base v , w son a) Ý3, 2Þ b) Ý2,? 32 Þ c) Ý?2, 5

2 Þ (Ayuda: las coordenadas de un vector respecto a cierta basedistinta de la canónica —llamemos a esas coordenadas c1 , c2 — son simplemente los números por los que hay quemultiplicar los vectores que foman dicha base para que nos dé el vector en base canónica, es decir, Ýu1 , u2 Þ; esto se puedeplantear con la siguiente fórmula: Ýu1 , u2 Þ = c1 Ýv1 , v2 + c2 Ýw 1 , w 2 Þ Sol.: b)

$P12 (J99H5)(è 10) Sea u el vector de coordenadas Ý3,?4Þ respecto a la base Ý1, 1Þ, Ý5, 7Þ del plano. Lascoordenadas de u respecto a la base canónica Ý1, 0Þ, Ý0, 1Þ son a) Ý?17,?25Þ b) Ý18,?32Þ c) Ý?7, 8Þ (Ayuda:emplear la fórmula del ejercicio antedicha. Sol.: a)


Tema 16: La rectaEcuación de la recta, vector de dirección, ángulo entre rectas, distancia entre una recta y un punto, posición relativa

de dos rectas,

Problemas de clase

$1 Representar gráficamente la recta y = 2x + 1. ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ordenada en el origen? Dar unvector de dirección y escribir unas ecuaciones paramétricas.

$2 (S94CD) Hallar la ecuación implícita de la recta de ecuaciones paramétricas áx = 1 ? 2t

y = 6t

$3 (J98H6) La ecuación de la recta que pasa por los puntos AÝ1, 0Þ y BÝ1, 1Þ es: a) r ¯ áx = 1

y = tb) r ¯ á

x = 1 + 2t

y = 1 + t

c) r ¯ áx = 1 + t

2

y = t3

$4 (J96G1) La ecuación de la recta que pasa por el punto Ý?2, 1Þ y tiene pendiente 32 es a) 2x + 3y + 1 = 0; b)

3x ? 2y + 8 = 0; c) x+23 = y?1

2

$5 (S96A6) Una ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto AÝ1, 0Þ y es perpendicular a la recta

3x ? 2y ? 1 = 0 es: a) áx = ?3t

y = 23 + 2t

b) á x = 1 + 2t

y = 3tc) á x = 1 + 3t

y = 1 ? 2t

$6 (S94BD) Hallar la intersección de la recta de ecuación x = ?y con la recta áx = 1 + t

y = 2 + t

$7 (J99H6) Considérense las rectas r ¯ x ? y + 2 = 0 y s ¯ x ? 3 = 0. a) r y s son paralelas; b) r y s coinciden; c) r y sse cortan.

$8 (J94Ac) Dadas las rectas r 1 ¯ áx = 3 ? t

y = 1 + ty r 2 ¯ á

x = t

y = 3 ? tcalcular los vectores de dirección de ambas y su

posición relativa.

$9 (S99D2) El coseno del ángulo que forman las rectas r 1 ¯ x ? y + 1 = 0 y r 2 ¯ 2x + 2y ? 6 = 0 vale a) 12 ; b) 0; c) 1

$10 (J99B7) Considérese las recta r 1 ¯ P 5 E2 : P tiene coordenadas Ý1, 1Þ + tÝ2, 1Þ : t 5 R (siendo E2 el conjunto detodos los puntos del plano); a) el punto Ý3, 0Þ pertenece a la recta r 1 ; b) el punto Ý3, 2Þ no pertenece a la recta r 1 ; c) elpunto Ý?1, 0Þ pertenece a la recta r 1 .


$P1(è 1) Representar gráficamente la recta y ? 23 x + 2 = 0. ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ordenada en el origen?

Dar un vector de dirección y escribir unas ecuaciones paramétricas.

$P2 (S94DD)(è 2) Hallar la ecuación implícita de la recta de ecuaciones paramétricas áx = 3 ? t

y = 1 + 2t

$P3(è 3) Hallar la ecuación implícita y unas paramétricas de la recta que pasa por los puntos AÝ0, 0Þ y BÝ?2,?2Þ

$P4(è 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Ý0,?1Þ y tiene pendiente ?1.

$P5 (S96H9)(è 5) La ecuación de la recta que pasa por el punto AÝ4,?6Þ y es perpendicular a la recta y = 2x + 1 es a)

2x + 4y + 16 = 0; b) y = ?2x + 2; c) áx = 4t

y = ?6t

$P6(è 6) ¿En qué punto se cortan las rectas y ? 2x ? 5 = 0 y áx = 2 ? t

y = 3 ? t?

$P7 (J98A7)(è 6) La intersección de la recta r 1 ¯ áx = 1 + t

y = 2 ? tcon la recta r 2 ¯ á

x = 2 + t

y = 2 + tes a) el punto Ý 3

2 , 32 Þ, b)

intersección vacía, c) la recta r 3 ¯ áx = 3 + 2t

y = 4 ? 2t.

$P8 (J97B10)(è 7) Las rectas r : áx = 1 ? 10t

y = 2 + 5ty s : x + 2y ? 5 = 0 a) coinciden, b) son paralelas, c) se cortan.


$P9 (J97E8)(è 7) Las rectas r : áx = 1 + 6t

y = 1 + 3ty s : x ? 2y + 1 = 0 a) son paralelas, b) ,se cortan c) coinciden .

$P10 (S95E4)(è 7) ¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a las otras dos? a) 8x ? 6y ? 3 = 0 b) 3x ? 4y + 2 = 0 a)y = 4

3 x ? 65

$P11 (J95C1)(è 7) Las rectas r 1 ¯ áx = t

y = 2ty r 2 ¯ x?1

2 = y a) son paralelas, b) se cortan en un punto, c) son la

misma recta.

$P12 (J95I1)(è 7) Las rectas r 1 ¯ 4x ? 3y + 1 = 0 y r 2 ¯ x?23 = y+1

4 a) son paralelas, b) ,coinciden c) se cortan en unpunto.

$P13 (1993?)(è 7) Comprobar que las tres rectas 2x ? y = 0, x + y ? 3 = 0 y 3x ? y ? 1 = 0 se cortan en un punto.

$P14 (è 7, 8) Dadas las rectas áx = ?t

y = ty y = 5 calcular los vectores de dirección de ambas y su posición relativa.


Temas 18, 19 y 22: Sucesiones, límite de sucesiones; límite defunciones (I)

SSucesiones, límite de sucesiones, el número e, propiedades de los límites; límite de funciones

Problemas de clase

$1 Calcular el límite de las sucesiones de término general an = n2

n3+1; bn = 3n3?3

n3+1y an + bn

$2 (S99D6) El valor del límite de la sucesión de término general an = n2+3n?1n2+2n

3n+1 es: a) e3 ; b) e6 c) e?4

$3 (J99H10) El valor del límite de la sucesión de término general an = n2 + 6n ? n2 + 2n ? 1 es: a) 1; b) 4 c) 2

$4 (J98H7) El valor de limx¸0+

4?Ýx+2Þ2

x2 es a) ?2; b) ?K; c) ?4


$P1 (J98A10)(è 1) El valor del límite de la sucesión de término general an = 5n2+3n?23 7n4?2n+5

es: a) 0; b) K c) 57 (Sol.:

b)

$P2 (S95E7)(è 1) Sea la sucesión Ýan Þ = 4n2?13 3n9 ?1

; entonces: a) limn¸K

an = 43 3 ; b) lim

n¸Kan = K; c) lim

n¸Kan = 0

(Sol.: c)

$P3 (S98A8,J96G5)(è 2) El límite de la sucesión de término general an = n2+2n+1n2

n2+1n?1 es: a) e3 ; b) e2 c) e?3

(Sol.: b)

$P4 (J99B10)(è 3) El valor del límite de la sucesión de término general an = n2 ? 2n ? n2 + 4 es: a) ?2; b) ?1 c) 2(Sol.: b)

$P5 (S95E7)(è 3) El valor de limn¸K

Ý 4n2 + 6n ? 9n2 + 2n ? 1Þ es: a) ?K; b) ?5 c) ? 1 (Sol.: a)


Temas 20 y 21: Funciones y polinomiosFunciones, dominio, gráficas, operaciones con funciones, función inversa, funciones crecientes y decrecientes,

pares e impares. Polinomios, operaciones con polinomios, raíces de un polinomio, descomposición de un polinomioen factores, descomposición de funciones racionales en fracciones simples

Problemas de clase

$1. Si fÝxÞ = 2x+1 , ¿cuánto vale f ?1 Ý 1

2 Þ

$2.(J95I10) El dominio de la función fÝxÞ = x??22x+3 es: a) R ? ? 3

2 , 2 b) ß2,+KÞ c) Ý?K,?2Þ W Ý2,+KÞ

$3 Efectuar la siguiente división: 2x5?3x3+2x?1x2+2

$4.Reducir a factores irreducibles el polinomio x4 + 2x3 ? x ? 2

$5. Descomponer en fracciones simples la función racional 3x+5x3+4x2+7x+6

$6. Descomponer en fracciones simples la función racional ?2x5+5x3?14x6+16x4+8x5+24x3?32x?4x2?16


$P1.(è 1) Si fÝxÞ = 2x2 + 1, ¿cuánto vale f ?1 ÝxÞ? ¿Y f ?1 Ýa + 1Þ? (Sol.: f ?1 ÝxÞ = x?12 ; f ?1 Ýa + 1Þ = a

2 )

$P2.(J95C6)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ = 2x3x?5 es: a) Ý?K,? 5

3 Þ W Ý 53 ,+KÞ b) Ý 5

3 ,+KÞ c) R ? 0, 53 (Sol.:

b)

$P3.(S99D3)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ = x3 + 3x2 ? 4x es: a) Ý?K, 0àW 1, 4 b) Ý?K,?4àWÝ1,+Kà c)?4, 0 W ß1,+KÞ (Sol.: c)

$P4.(S97A2)(è 2) El dominio de la función fÝxÞ = log x2

2x+1 es: a) Ý0,+KÞ b) Ý? 12 ,+KÞ c) R ? ? 1

2 (Nota: log es ellogaritmo neperiano) (Sol.: b)

$P5.(J98H9)(è 3) ¿Para qué valor de m el resto de la división del polinomio x3 + mx2 ? 2x + m entre x ? 1 es 58 ?

a) m = 1 b) m = ? 58 c) 13

16 (Sol.: c)

$P6.(J96G4)(è 4) La descomposición en factores irreducibles del polinomio P = 2x4 ? 3x2 ? 5 es a)2 x ? 5

2 x + 52 x + 1 x ? 1 b) 2 x2 ? 5

2 x2 + 1 c) 2 x ? 52 x + 5

2 x2 + 1 (Sol.: c)

$P7(è 4) Reducir a factores irreducibles el polinomio 2x6 + 24x5 + 116x4 + 292x3 + 414x2 + 324x + 108 = (Sol.:2 x + 1 x2 + 2x + 2 x + 3 3 )

$P8.(S98A4)(è 5) En la descomposición en fracciones simples de la fracción 19x+31x2+5x+6

aparece el sumando a) ?7x+2 b) 26

x+2

c) ?7x+3 (Sol.: a)

$P9(è 6) Descomponer en fracciones simples la función racional 3x3+1x6?10x5+48x4?148x3+277x2?258x+90

(Sol.:1

9Ýx?1Þ2 + 1336Ýx?1Þ

+ 4126Ýx?3Þ2 ? 341

676Ýx?3Þ+ 1

1521 6 ?1251+218xx2?2x+10

)


Tema 23: Continuidad de funcionesFunciones continuas, funciones continuas en un intervalo, teoremas de continuidad, continuidad de la función

inversa

Problemas de clase

$1.(J99B8) La función fÝxÞ =

x2?44x?8 si ? K < x ² 1x2+x?24x?4 si 1 < x < 2

2x ? 3 si 2 ² x < 5

7 si x > 5

a) es continua en x = 5 ; b) es discontinua en x = 2; c) es continua en x = 1

$2.(J98A6) La función fÝxÞ =

x + 4 si ?K < x ² ?16x?6x2?1

si ?1 < x < 1

3x si 1 ² x < +K

a) es continua en todo R; b) es continua en ?K, 1 W 1,+K ; c) es continua en ?K,?1 W ?1,+K

$3.(S96A2) ¿Cuánto deben valer J y K para que la función fÝxÞ =

?x2 + J si x < ?1

x2 ? 4 si ?1 ² x < 2

logÝx ? KÞ si x ³ 2

sea continua en todo R? a) J = ?1 y K = 2; b) J = ?3 y K = 2; c) J = ?2 y K = 1

$4.(J94Ad) Estudiar la continuidad en el punto x = 0 de la función definida por fÝxÞ =2x+2x2+x

si ?1 < x < 0

3x ? 2 si 0 ² x < 2


$P1.(J99H4) (è 1) La función fÝxÞ =

2 si x < ?2

4 + x si ? 2 < x ² ?16x?6x2?1

si ? 1 < x < 1

3x si 1 ² x < +K

a) es continua en x = ?2 ; b) es discontinua en x = ?1; c) es discontinua en x = 1 (Sol.: b)

$P2.(J97E9) (è 1, 2) La función fÝxÞ =

x si x ² ?1

1 ? x2 si ?1 < x ² 2

?3 si 2 < x

a) es continua en R?á?1â; b) es continua en todo R; a) es continua en R?á?1, 2â (Sol.: a)

$P3 (J97B7).(è 1, 2) La función fÝxÞ =

?x si x ² 1

? 1x si 1 < x ² 3

1 si 3 < x

a) es continua en todo R; b) es continua en x = 1 y discontinua en x = 3; a) es continua en R?á0, 3â (Sol.: b)

$P4.(S97A9) (è 1, 2) La función fÝxÞ =

7 si x < 05

x+4 si 0 ² x ² 26x?7

6 si x > 2

a) es continua en R?á0, 2â; b) es continua en R?á2â; a) es continua en R?á0â (Sol.: a)

$P5 (J98H3).(è 2, 1) La función fÝxÞ =

?2x ? 4 si ?K < x ² ?12x+2x2+x

si ?1 < x < 0

3x ? 2 si 0 ² x < +K

a) es continua en Ý?K,+KÞ; b) es continua en ?K,?1 W ?1,+K ; c) es continua en ?K, 0 W 0,+K (Sol.: c)

$P6.(S95E1) (è 3) ¿Cuánto debe valer J para que la función fÝxÞ =x2 + 1 si x ² 1

?Jx ? J si x > 1sea continua en todo R?

a) J = 0; b) J = 1; c) J = ?1 (Sol.: c)


$P7.(S96H10)(è 3) ¿Cuánto deben valer J y K para que la función fÝxÞ =

?2x + 1 si x < ?2

Jx + 2 si ?2 ² x < 2

x2 + K si x ³ 2

sea continua en todo R? a) J = ?4 y K = 2; b) J = 5 y K = 1; c) J = ? 32 y K = ?5 (Sol.: c)

$P8.(J94Bd)(è 4) Estudiar la continuidad en el punto x = 0 de la función definida por fÝxÞ =2x+2?x2+x

si ?1 < x < 0

5x ? 2 si 0 ² x < 2(Sol.: no es continua en x = 0)


Temas 24, 26 y 27: DerivadasFunciones derivables, cálculo de derivadas simples, funciones trigonométricas y sus derivadas, funciones

logarítmicas y exponenciales y sus derivadas

Problemas de clase

$1.(S99D6) La derivada de la función gÝxÞ = ex3+2x2+ 5 es: a) g vÝxÞ = x3+2x2

ex3+2x2+5

; b) g vÝxÞ = 12 ex3+2x2

+ 5 x3 + 2x2 ; c)ex3+2x2

Ý3x2+4xÞ

2 ex3+2x2+5

$2.(J99H2) La derivada de la función fÝxÞ = ln lnx es: a) f vÝxÞ = 12x ln x ; b) f vÝxÞ = 1

2 ln x ; c) f vÝxÞ = 12x ln x

$3.(S98A2) La derivada de la función fÝxÞ = 3x2+5Ýx?1ÞÝx?2Þ es a) f vÝxÞ = 6x3+3x2?4

Ýx?1Þ2Ýx?2Þ2 ; b) f vÝxÞ = ?18x2?15Ýx?1Þ2Ýx?2Þ2 ; c) f vÝxÞ = ?9x2+2x+15

Ýx?1Þ2Ýx?2Þ2

$4.(J98A1) La derivada de la función fÝxÞ =sen3 1 ? x2 es a) f vÝxÞ =?3xsen2Ý 1?x2 Þ

1?x2 ; b) f vÝxÞ =3sen2Ý 1?x2 Þ cos 1?x2

2 1?x2 ; c)

f vÝxÞ =?3xsen2Ý 1?x2 Þ cos 1?x2

1?x2

$5.(S96A8) La derivada de la función fÝxÞ = x3 ? 4xarctn x3 ? 4x es a) f vÝxÞ = 3x2 ? 4 arctnÝx3?4xÞ2 x3?4x

+ x3?4x1+Ýx3?4xÞ2 ; b)

f vÝxÞ = x3 ? 4x arctnÝx3?4xÞ

1+Ýx3?4xÞ2 ; c) x3 ? 4x 1x3?4x

+ 11+Ýx3?4xÞ2

$6.(J98H8) La derivada de la función fÝxÞ =log cos x2 ? 3 es a) f vÝxÞ =?2xtgÝx2?3Þ

cosÝx2?3Þ; b) f vÝxÞ =

?2xsenÝx2?3ÞcosÝx2?3Þ

; c)

f vÝxÞ = ?xtg x2 ? 3

$7.(J95C8) La derivada de la función fÝxÞ = ln x2 ? 3x cos 1x es a) f vÝxÞ = 2x?3

x2?3xcos 1

x + ln x2 ? 3x sen 1x

1x2 ; b)

2x?3x2?3x

sen 1x ? ln x2 ? 3x sen 1

x ; c) 2x?3x2?3x

?sen 1x

1x2


$P1.(J95I8)(è 1) La derivada de la función fÝxÞ = ex2+7x + 2 es a) ex2+7xÝ2x+7Þ

2 ex2+7x+2; b) x2+7x

2 ex2+7x+2; c) 1

2 ex2+7x + 2 x2 + 7x

(Sol.: a)

$P2.(J99B2)(è 1) La derivada de la función fÝxÞ = e x2+1 es a) f vÝxÞ = 2xe x2+1 ; b) f vÝxÞ = e2x x2+1

2 x2+1; c) f vÝxÞ = xe x2+1

x2+1

(Sol.: c)

$P3.(S95E6)(è 2) La derivada de la función fÝxÞ = ln eax+b es a) f vÝxÞ = a2 ea x+b ; b) f vÝxÞ = a eax+b ; c) a

2 (Sol.: c)

$P4.(J97B3)(è 3) La derivada de la función fÝxÞ = 2 ln x?3x3 es a) f vÝxÞ = 2 1

x ?3x2

x3 ; b) f vÝxÞ = 2x2?3x2Ý2 ln x?3Þx9 ; c)

f vÝxÞ = 11?6 ln xx4 (Sol.: c)

$P5.(S97A1)(è 3) La derivada de la función fÝxÞ =ln 1?x1+x es a) f vÝxÞ = x?3

1?x2 ; b) f vÝxÞ = ?2+xÝ1+xÞ2 ; c) f vÝxÞ = 2

x2?1(Sol.: c)

$P6.(J96G10)(è 4) La derivada de la función fÝxÞ = 5sen3 5x + 1 4 es a)f vÝxÞ = 300 5x + 1 3 sen2 5x + 1 4 cos 5x + 1 4 ; b) f vÝxÞ = 60 5x + 1 sen2 5x + 1 4 cos 5x + 1 4 ; c)15sen2 5x + 1 4 cos 5x + 1 4 (Sol.: a)

$P7.(J97E1)(è 4) La derivada de la función fÝxÞ =arctn x2 ? 1 ?sen2 Ý3xÞ es a) f vÝxÞ = 2 xx2?1

+ 12 cos2 3x ; b)

f vÝxÞ = 2xÝ1+ x2?1 Þ

2 x2?1? 6sen3xcos3x; c) f vÝxÞ = 1

x x2?1? 6sen3xcos3x (Sol.: c)

$P8.(S96H5)(è 5, 6, 7) La derivada de la función fÝxÞ = log x3 sen x2 ? 3x es a) f vÝxÞ = 32x + 1

2 2x ? 3 cotg x2 ? 3x ;

b) f vÝxÞ =3x2senÝx2?3xÞ+x3Ý2x?3Þ cosÝx2?3xÞ

x3senÝx2?3xÞ; c) f vÝxÞ =

3x2senÝx2?3xÞ+x3 cosÝx2?3xÞ2x3senÝx2?3xÞ

(Sol.: a)


Temas 25: Estudio y representación de funciones; más sobre límitede funciones

Simetría y asimetría, máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, asíntotas; reglade L’Hôpital, recapitulación de límite de funciones (en temas 25 y 27)

Problemas de clase

$1.(S98A3) En el intervalo ß0, 2^Þ la función fÝxÞ =senx + cosx corta a los ejes de ccordenadas en los puntos: a)1, 0 ; ^

4 , 0 ; ? ^4 , 0 b) 0, 1 ; 3^

4 , 0 ; 7^4 , 0 c) 0, 1 ; 5^

4 , 0 ; ^4 , 0

$2.(J99B5) Dada la función fÝxÞ = x3 ? 2x2 + 1 se verifica: a) en el intervalo 0, 43 la función es decreciente; b) en

el intervalo ?K, 0 la función es decreciente; c) en el intervalo ? 43 , 4

3 la función es decreciente

$3.(J99H9) Dada la función fÝxÞ = x ? 1 x ? 1 x + 2 se verifica: a) en el intervalo ?1, 1 la función escóncava; b) en el intervalo 1,+K la función es cóncava; c) en el intervalo ?K, 0 la función es cóncava

$4.(S99D1) Dada la función fÝxÞ = x3?3x2

3 se verifica a) en x = 1 la función f tiene un máximo; b) la función f notiene ni máximos ni mínimos; c) en x = 1 la función f tiene un punto de inflexión

$5.(S97A3) Dada la función fÝxÞ = x3?27x2?4

para x ® ±2 se verifica que: a) la función f no tiene asíntotas verticales; b)x + 3 = 0 es una recta asíntota vertical de la función f; c) x + 2 = 0 es una recta asíntota vertical de la función f

$6.(S94B1) A) Dada la función fÝxÞ = x3?3x2

3 calcular 1) campo de existencia de fÝxÞ; 2) puntos de discontinuidad defÝxÞ; 3) intersección de fÝxÞ con los ejes; 4) intervalos de crecimiento de fÝxÞ; 5) intervalos de decrecimiento de fÝxÞ; B) Sila derivada de la función gÝxÞ es g vÝxÞ = x2 ? 2x calcular: 1) máximos relativos de gÝxÞ; 2) mínimos relativos de gÝxÞ; 3)intervalos de concavidad de gÝxÞ; 4) intervalos de convexidad de gÝxÞ; 5) puntos de inflexión de gÝxÞ

$7.(S98A9, S96A5) El valor de limx¸1+

x?1+ x?1x2?1

es a) 22 ; b) ?1; c) K

$8 ¿Cuál es el valor de limx¸K

x2+1x2?3

x3+1x?1 ?


$P1.(J98H4)(è 2) Dada la función fÝxÞ = ?2x4 + 4x2 se verifica: a) la función es siempre decreciente; b) en?5,?1 W 1,+K la función es creciente; c) en ?1, 0 W 1,+K la función es decreciente(Sol.: c)

$P2.(J95E10)(è 2) La función fÝxÞ = x2 Ýx2 ? 2Þ verifica: a) es creciente en ?1, 0 W 0,+K ; b) es decreciente en?K,?1 W 1,+K ; ; c) es creciente en ?1, 0 W 1,+K (Sol.: c)

$P3.(J96G3)(è 3) Dada la función fÝxÞ = 1x+3 para x ® ?3 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la

función f es cóncava en ?3, 3 ; b) la función f es cóncava en ?K,?3 ; c) la función f es cóncava en ?K, 3(Sol.: b)

$P4.(S96H8)(è 3) Dada la función fÝxÞ = 1x+5 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la función f es

cóncava en ?K, 5 ; b) la función f es cóncava en ?K,?5 ; c) la función f es cóncava en ?5, 5 (Sol. b)

$P5.(J97E3)(è 2, 3) Sea f :R¸R una función tal que f vÝxÞ = x2 ? 4x. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) en el intervalo Ý2, 4Þ la función es decreciente y convexa; b) en el intervalo Ý0, 4Þ la función es decreciente y cóncava;c) en el intervalo Ý?2, 1Þ la función es creciente y cóncava (Sol.: a)

$P6.(S96A3)(è 4) Dada la función fÝxÞ = x5 ? 2x4 + x3 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) la funciónf tiene un máximo en x = 1; b) la función f tiene un mínimo en x = 1 ; c) la función f tiene un punto de inflexión en

x = 1 (Sol.: b)

$P7.(S96A3)(è 4) La función fÝxÞ = x ? 1 4 a) presenta un mínimo en x = 1; b) presenta un máximo en x = 1; ; c)presenta un punto de inflexión en x = 1 (Sol.: a)

$P8.(J95I2)(è 4) La función fÝxÞ = x4 ? 1 a) presenta un mínimo en x = 0; b) presenta un máximo en x = 1; c)presenta un punto de inflexión en x = 0 (Sol.: a)

$P9.(J96G6)(è 5) Dada la función de R en R definida por fÝxÞ = 3x2x2+3

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función f; b) en x = 3

2 existe una asíntota vertical de la función f; c) larecta y = 0 es una asíntota vertical de la función f; (Sol.: a)

$P10.(J97B5)(è 2, 4, 5) Dada la función fÝxÞ = x4 ? 2x2 se puede afirmar que: a) en el intervalo ?5,?1 la función esdecreciente y en el punto ?1,?1 existe un mínimo; b) existe una asíntota horizontal; c) en el intervalo 1, 5 lafunción es decreciente y en el punto Ý1, 8Þ existe un mínimo (Sol.: a)

$P11.(J98A9)(è 2, 3, 4, 5) Dada la función fÝxÞ = 1x+5 para x ® ?5 se verifica: a) en x = ?5 existe una asíntota

horizontal; b) en el intervalo ?5,+K la función es convexa y creciente; c) en el intervalo ?K,?5 la función escóncava y decreciente (Sol.: c)

$P12.(S94C1)(è 6) A) Dada la función fÝxÞ = x3?12x2

3 calcular 1) campo de existencia de fÝxÞ; 2) puntos dediscontinuidad de fÝxÞ; 3) intersección de fÝxÞ con los ejes; 4) intervalos de crecimiento de fÝxÞ; 5) intervalos de


decrecimiento de fÝxÞ; B) Si la derivada de la función gÝxÞ es g vÝxÞ = x2 ? 8x calcular: 1) máximos relativos de gÝxÞ; 2)mínimos relativos de gÝxÞ; 3) intervalos de concavidad de gÝxÞ; 4) intervalos de convexidad de gÝxÞ; 5) puntos de inflexiónde gÝxÞ (Sol.: A1: existe en todo R; 2A: no los hay (es un polinomio); A3: corta al eje X y al Y en 0, 0 ; A4: crece en

?K, 0 , A5: decrece en 0,+K ; B1: en x = 0; B2: en x = 8; B3: ?K, 4 ; B4) 4,+K ; B5) en x = 4

$P13.(J97B8)(è 7) El valor de limx¸0

1senx ? 1

x es a) 0; b) ? 12 ; c) K (Sol.: a)

$P14.(J97E6)(è 7) El valor de limx¸0

1x ? 1

logÝ1+xÞes a) ?1; b) ?K; c) ? 1

2 (Sol.: c)

$P15.(S96H6)(è 7) El valor de limx¸1

x log2x1?x es a) ?1; b) K; c) 0 (Sol.: c)

$P16.(S95E9)(è 7) El valor de limx¸0

lnÝ1+xÞ?x+ x22

x2 es a) 0; b) 1; c) K (Sol.: a)

$P17 (S97A6)(è 8) El valor de limx¸K

5x+15x?1

3x+2 es a) e 65 ; b) e3 ; c) e 3

5 (Sol: a)


Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidasPrimitiva de una función; métodos de integración: por partes, por cambio de variable, integración de funciones

racionales y de funciones trigonométricas; integral definida; la integral como área

Problemas de clase

$1.(J95I5) Calcular X 3 x2x dx a) x3 x ? ln 3 x + k; b) 3

23 x + k; c) 1

2 ln 3 x + k

$2.(J95C3) Calcular X dxx2+7

a) 17 arctg x

7 + k; b) 17 arctg x2 + 7 + k; c) 1

2 ln x2 + 7 + k

$3 (S94B2b) Aplicando el método de integración por partes calcular: I = X2x 5 ? x 1/3 dx

$4.(J99H7) La integral X01 xex dx vale a) 0; b) ?e; c) 1

$5.(S96H7) El valor de X0^ xsenxdx es a) ?2; b) ^; c) 0

$6.(J98A2) La integral X01 2 + 5x dx vale a) 14 7 ?4 2

15 ; b) 2 7 ?2 215 ; c) 7 ? 2

15

$7. Resolver X35 5x+6

2x?3+x2 dx

$8.(S99D7) Calcular cuánto vale la integral X03 ^

3 x2 tgx3 dx recordando que tg x = sen xcos x ; y que sen ^

3 = 32 ; cos ^

3 = 12 ; (nota:

log es el logaritmo neperiano) a) log 23 ; b) 2?log 2

3 ; c) ?1+log 23


$P1.(J96G9)(è 1) El valor de X01 2x2

x+1 dx es a) 1; b) ?1 + 2ln2; c) 1 + ln2 (Sugerencia: efectuar primero la división ytransformar la fracción mediante el algoritmo de la división ( D

d = c + rd ); Sol.: b)

$P2(è 2). Calcular X dx2x2+3

(Sol.: 16 6 arctan 1

3 x 6 )

$P3.(J97B6)(è 3, 4, 5) La integral X03 x

1+4x2 dx vale a) log 378 ; b) 37

8 ; c) log 37?14 (sugerencia: es casi inmediata, tipo ln;

Sol.:a)

$P4.(S94C2b)(è 3, 4, 5) Aplicando el método de integración por partes calcular: I = X 3xÝ5+xÞ2 dx (Sol.: 15

5+x + 3ln 5 + x )

$P5.(S94D2b)(è 3, 4, 5) Aplicando el método de integración por partes calcular: I = X3x 2 ? x 3/2 dx

(? 125 2 ? x

5+ 6

7 2 ? x7

)

$P6.(S96A4)(è 3, 4, 5) El valor de X02 xex dx es a) ?1 ? e2 ; b) e2 + 1; c) ?e2 (Sol.: b)

$P7.(S97A10)(è 3, 4, 5) La integral X?20 3 + 4x e?xdx vale a) ?1 + 2e2 ; b) ?7 ? e2 ; c) ?5 + e2 (Sol.: b)

$P8.(J99B3)(è 3, 4, 5) La integral X0

^2 xsenxdx vale a) 1; b) 0; c) ? ^

2 + 1 (Sol.: a)

$P9.(J97E10)(è 6) El valor de X0^ cos 1

2 x dx es a) 0; b) 2; c) 12 (Sugerencia: hacer primero un cambio de variable

para que quede inmediata; Sol.: b)

$P10.(J98H10)(è 6) La integral X02 dx

x2+4x+4vale a) 1

4 ; b) 34 ; c) 5

16 (Sugerencia:factorizar el denominador y luegohacer el cambio de variable t = x + 2; Sol.: a)

$P11.(S98A5)(è 7) La integral X02 19x+31

x2+5x+6dx vale a) log 526 6 2?7 6 3?26 ; b) log 726 6 3?33 ; c) log 526 6 27 6 37

(Nota: log es el logaritmo neperiano)

$P12.(J94D2b)(è 8) Utilizando tgx = senxcos x calcular: I = X2x3 tgÝx4 Þdx(Sugerencia: tras sustituir la tangente por el cociente

entre seno y coseno hacer el problema por cambio de variable, teniendo en cuenta que la función es impar en seno.Sol.:? 1

2 ln cosx4 )

uned-apuntes y problemas de matematicas especiales

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