“Un medio sin intenciones didácticas es manifiestamente insuficiente para lograr que el alumno se apropie de todos los conocimientos culturales que se desea que adquiera”.

Guy Brousseau.

Una experiencia en Preescolar con Problemas Aditivos.

1. Diseño del proyecto.

Gerard Vergnaud al plantear la teoría de los campos conceptuales consideró las

diversas investigaciones sobre el desarrollo del conocimiento matemático en las que se

describen los procesos por los cuales el alumno transita en la construcción del

conocimiento aditivo, motivo de esta puesta en práctica, en la cual se abordarán los

primeros tres tipos de problemas aditivos que Vergnaud propone para la construcción

de la adición, así mismo se pretende evidenciar la manera en que los alumnos usan sus

saberes en la resolución de dichos problemas.

a.-Hipótesis:

Los supuestos que definen este trabajo son:

1.- Cuando los alumnos no cuentan con nociones matemáticas, no logran resolver ni

actuar sobre problemas aditivos.

2.- El uso de objetos concretos facilita la resolución de los problemas aditivos.

3.- Las oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición, favorecen

el manejo de estrategias más eficientes y sofisticadas en la resolución de problemas

aditivos.

b).-Objetivos:

En la puesta en práctica de este trabajo se pretende:

Conocer y valorar el proceso que siguen los alumnos en la resolución de

problemas aditivos.

Caracterizar las variantes que permiten que los alumnos lleguen a ciertas

resoluciones.

Conocer el papel que juega la representación en la resolución de problemas

aditivos.

c).- Método:

Para la puesta en práctica de este trabajo se pretende hacer uso de los componentes

principales que se hacen mención en la didáctica de las matemáticas, pues este

enfoque es el que más coincide con los planteamientos del programa de educación

preescolar 2004, donde se establece que la enseñanza del campo formativo

pensamiento matemático se llevará a cabo mediante resolución de problemas y de

manera específica a través de situaciones didácticas, por tal motivo se tomará esta

teoría como sustento metodológico; entendiéndose como situación didáctica: “Conjunto

de relaciones establecidas explicita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos,

un cierto medio (instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor)

con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber construido o en vías de

constitución” (Panizza, 2003).

Es de suma importancia que el alumno construya su conocimiento matemático a partir

de su propia experiencia, de la reflexión sobre la organización de su misma actividad,

mediante el uso de medios concretos que posibiliten y permitan alcanzar ese objetivo.

Se trata pues de diseñar problemas accesibles a los niños, que puedan ser resueltos

movilizando los recursos con que cuenten, pero que a su vez esos recursos resulten

insuficientes para resolver el problema, obligando a los alumnos a construir otro recurso

más idóneo.

En toda situación didáctica intervienen cuatro sujetos protagonistas: el maestro, el

alumno, el conocimiento y el medio. El maestro interviene con la voluntad de enseñar y

como representante del sistema educativo, mientras que los alumnos participan con la

intención de aprender como grupo de edad con intereses y saberes previos comunes.

El medio lo comprende el material que se utiliza para llegar a una solución, juega un

papel en la manera en que el alumno transforma los conocimientos en saber, además

de permitir una relación del problema con la realidad. Es decir con el medio se llega de

manera pragmática a la respuesta.

Brousseau, (Bloock,) distingue cuatro fases fundamentales en las situaciones

didácticas; la primera fase se denomina de acción. Corresponde al momento en el cual,

una vez comprendida la consigna o problema, el alumno actúa en busca de un

resultado (solo o en colaboración) si el alumno cuenta con una estrategia inicial segura,

puede verse en una inmersión de ensayo y error, puede incluso suceder la

consolidación de una nueva estrategia.

En la fase de formulación se diseñan situaciones en las que las representaciones

tengan que ser explicadas y tengan sentido para el alumno recibiendo una

retroalimentación a sus explicaciones, es necesario que los alumnos se comuniquen

entre sí para comunicar su estrategia o intercambiar información, la figura del profesor

desaparece en la medida que solo observe lo que los alumnos construyen para llegar a

un resultado.

En la fase de validación se recupera desde una actitud crítica y reflexiva el proceso de

la formulación, el alumno demuestra que el modelo presentado es correcto, se explica,

dando pruebas, mismas que serán los propios alumnos quienes las soliciten, de igual

manera se defienden las ideas presentadas; mientras que en la fase de

institucionalización el maestro juega un papel protagonista, trata de que los alumnos

identifiquen el instrumento construido como un conocimiento socialmente reconocido, o

en su defecto aceptando la construcción de los alumnos más avanzada como válida y

explicándola al grupo. (Bloock )

d).- Tipos de problemas aditivos a tratar:

Para la puesta en práctica de este trabajo se abordarán los primeros tres tipos de

problemas aditivos que Vergnaud propone, entre los que se encuentran: composición

de dos medidas, relación de transformación de estados y relación de comparación

aditivos.

En la primera categoría: Composición de dos medidas: En este tipo de problemas se

establece una relación entre la medida de dos conjuntos elementales que se combinan

para formar un conjunto compuesto, los elementos de dos, tres o más colecciones

comparten una misma característica, un atributo, por ejemplo: “Carlos tiene ocho

canicas azules y siete canicas rojas. ¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?” En este

problema se le pedía al alumno que requería de unir ambos conjuntos que de igual

manera sin importar la diferencia de color, si no que ambos conforman parte de una

misma colección: canicas, así mismo se abordarán problemas como los siguientes:

En la pecera tenemos seis caracoles manzanos y cinco caracoles en espiral,

¿cuántos caracoles hay en total en la pecera?

En mi bolsa derecha tengo ocho dulces y en la bolsa izquierda tengo siete, si los

junto, ¿cuántos dulces tengo?

En la pecera grande hay nueve guppys adultos y en la pecera chica catorce

guppys bebés, si los juntamos, ¿cuántos guppys tendremos en la pecera?

En la segunda categoría Relación estado-transformación-estados: en este tipo de

problemas aditivos se relacionan temporalmente un estado inicial y uno final mediante

una transformación, la transformación expresa un vínculo entre el estado inicial y final.

Se caracteriza porque en un conjunto inicial… “Pongo cinco cubos en el bote” … sufre

una transformación, es decir un cambio al incorporarse una nueva colección de la

misma clase “le agrego ocho cubos más” la cantidad inicial sufre un aumento (o una

disminución) entonces la tarea consiste en resolver la cantidad de cubos que contiene

el bote ahora, habiendo visto la transformación en la colección que el bote contenía y

reconociendo la colección agregada; por lo que la tarea del alumno consiste en poder

identificar la transformación que ha sufrido la colección inicial, con la colección

agregada y reconocer que ahora son una sola, por lo que debe recurrir al conteo total

de todos los elementos de la nueva colección para poder identificar el total de

elementos de la colección formada. Esto se tiene que evidenciar en los nuevos

esquemas del individuo, ha transformado para entender y actuar en consecuencia en

este tipo de problemas, para lo que se plantearán los siguientes problemas de este tipo:

Pongo cinco cubos en el bote, le agrego ocho cubos más, ¿cuántos cubos hay

ahora en el bote?

Pedro tenía siete canicas, ayer su amigo Luis le regaló seis, ¿cuántas canicas

tiene ahora Pedro?

Carlos tenía siete tazos, ayer su hermano Luis le regaló cuatro, ¿cuántos tazos

tiene ahora Carlos?

Juan tenía ocho pesos, en el recreo jugó a los volados y ganó seis pesos,

¿cuántos pesos tiene ahora Juan?

En la tercera categoría una relación de comparación de aditivos: En este tipo de

problemas se establece una relación entre la medida de un conjunto comparado y un

conjunto referente, el conjunto que los relaciona es a su vez una medida y se conoce

como diferencia. En este tipo de problemas la comparación entre dos cantidades o

magnitudes proporciona una de las principales ocasiones para que los alumnos se

cuestionen y tomen posiciones respecto a la diferencia al hacer la comparación, por

ejemplo “Rito tiene nueve pesos, Omar tiene cinco pesos más que Rito, ¿cuántos pesos

tiene Omar?, en este problema se debe reconocer primero que Omar tiene antes que

nada las mismas monedas que Rito, pero que a su vez tiene cinco monedas más que

Rito, por lo que requiere comparar la cantidad total de pesos antes de tan si quiera

contarlos, para poder identificar la cantidad exacta de pesos que tiene Omar, por lo que

este tipo de problemas se abordarán en cuatro sesiones ordinales de trabajo con los

alumnos, tratando de ir de los problemas más sencillos a los más difíciles de manera

gradual.

Toño tiene seis galletas, él tiene cinco galletas más que Julio, ¿cuántas galletas

tiene Toño?

Pedro tiene ocho tarjetas, Juan tiene cinco tarjetas más que Pedro, ¿Cuántas

tarjetas tiene Juan?

Rito tiene nueve pesos, Omar tiene cinco pesos más que Rito?, ¿cuántos pesos

tiene Omar?

Pedro tiene siete pesos antes de salir a recreo, jugó a los volados y ganó

algunos pesos. Ahora Pedro tiene doce pesos, ¿cuántos pesos ganó Pedro en

los volados?

Estos problemas se abordarán en tres y/o cuatro jornadas de trabajo normal con los

alumnos, para cada tipo de problemas se dedicarán tres o cuatro sesiones de trabajo,

donde se planteará el problema y se permitirá que ellos con sus propios medios traten

de resolver la tarea en cuestión siguiendo la teoría de situaciones didácticas, se les

propondrá en la mayoría de los casos que el medio a usar sean fichas de conteo,

monedas, hoja y lápiz, en otras situaciones solo se les presentará el problema con

objetos y el medio solo será hoja y lápiz para enseñarle a descubrir las respuestas.

e).- Evaluación:

Este es un proceso que consistirá en valorar lo que los alumnos ya conocen y saben

hacer respecto a sus competencias, así como al antes y al después de iniciar el

trabajo, teniendo presente que los procesos de los alumnos son distintos y a sabiendas

que la enseñanza “Centra su atención en las posibilidades de cada uno de los alumnos”

(Zavala,1999 ) para lo cual la información se recabará mediante grabaciones de audio y

video, registros de clase y sobre todo la observación constante de los procesos de los

alumnos mediante notas gruesas, por lo que las categorías de análisis a reconsiderar

serán las siguientes:

La observación: ésta se efectuará desde el inicio de las aplicaciones de

situaciones didácticas, principalmente en aquellos alumnos que muestren

mayores logros y dificultades, con la intención de reconocer el proceso que unos

y otros van apropiando en sus resoluciones, además de ser el elemento más

importante a efectuar dentro de este nivel, representa un recurso indispensable

para realizar los pertinentes cambios en la intervención según sea el proceso de

los alumnos.

El cuestionamiento: Mediante esta estrategia se pretende conflictuar a los

alumnos para que expliquen los procedimientos empleados en la búsqueda de

alguna resolución, de igual manera permitirá que entre ellos compartan y se

apropien de elementos que puedan ajustar a sus esquemas, de manera que les

permitan ir avanzando en la adquisición de este saber.

Las oportunidades de interacción entre iguales: La organización del trabajo se

desarrollará en mesas de trabajo de tres elementos, procurando que sean

alumnos con similares características de resolución, pero que a su vez exista

algún miembro que presente una ventaja sobre los demás elementos del equipo

de manera que puedan acudir a él, según sean las dificultades que se presenten.

La experiencia del experto: De igual manera se abordará el momento llamado

por Brousseau institucionalización, el cual servirá para que el alumno (s) con

resoluciones más eficientes comparta al grupo la manera de resolver el problema

y a su vez los alumnos resignifiquen qué elementos pueden apropiar a su

proceso que les permita transformar sus resoluciones.

El conteo y la representación: Estas dos categorías me permitirán valorar de

manera muy real, si los alumnos verdaderamente están avanzando en el dominio

de sus competencias matemáticas, así como en la medida que éstos tipos de

problemas les han ayudado, pues en la medida que se apropien del conteo y la

representación (en el nivel que puedan) como medio para resolver problemas,

hará un verdadero logro de sus competencias, pues como lo establece el

programa, el conteo “es una herramienta básica del pensamiento matemático” (Pep,

2004).

f).- Diseño didáctico para el desarrollo de la adición.

Para la puesta en práctica de los tres tipos de problemas que se abordarán en esta

propuesta se pretende comenzar a plantear tareas a los alumnos comenzando con los

problemas de composición de dos medidas, en donde se abordarán cuatro tipos de

problemas de este tipo, mediante la elaboración de situaciones problema, las cuales se

grabarán en audio, para luego transcribirse a registros para su posterior análisis, los

cuales estarán organizados de la siguiente manera:

Primer plan de clase para la composición de dos medidas. “canicas”

Competencia: Plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y

que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

Propósito: Que el alumno utilice objetos concretos como apoyo en la resolución

de problemas aditivos e identifique el conteo como estrategia de resolución.

Tipo de problema a plantear: Composición de dos medidas, “ocho de las canicas

de Carlos son azules y siete son rojas, si las junta ¿cuántas canicas tiene Carlos

en total?

Hipótesis a comprobar: El uso de objetos facilita la resolución de problemas

aditivos y cuando los alumnos no cuentan con nociones matemáticas no logran

resolver ni actuar sobre problemas aditivos.

Materiales: Monedas de plástico, fichas de conteo, hojas y lápices.

Tiempo: una sesión de dos horas.

La clase se organizará en base a los momentos de la teoría de situaciones didácticas:

acción, formulación, validación e institucionalización, cabe señalar que problemas de

este tipo se aplicaron cuatro sesiones, pero solo se añade una muestra significativa del

proceso de los alumnos en la construcción del saber aditivo.

Momento de acción: Para iniciar la clase comenzaré diciendo a mis alumnos que van a

resolver un problema, el cual ya estará escrito en el pizarrón, “Ocho de las canicas de

Carlos son azules y siete son rojas, si las junta ¿cuántas canicas tiene Carlos en total?” luego

les preguntaré: ¿qué podemos hacer para resolverlo?, procurando que entre ellos traten

de ayudarse mencionando posibles maneras de solucionarlo, sobre todo a los que

tienen mayores dificultades, así mismo les repetiré la consigna para mantener la tarea a

realizar, recordando que al final mostrarán y explicarán su trabajo al resto del grupo,

además de proponerles que para la resolución podrán usar fichas, monedas, hoja y

lápiz, con ello pretendo dejarlos poner a prueba sus saberes y de igual manera que

reconstruyan a partir del error aquellos momentos de desafío intelectual.

Momento de formulación: Este momento se permitirá que los alumnos actúen sobre el

material que consideren más pertinente de manera que les permita poder comunicar de

manera gráfica la resolución a sus demás compañeros, procurando fortalecer el

intercambio de estrategias entre pares al decirles, “pueden decirles a sus compañeros

como resolver el problema, pero no haciéndoselos, recuerden que nos dirán en su hoja

la manera en que resolvieron el problema”, además de permitir que alumnos con

competencias matemáticas en desventaja se acerquen a aquellos alumnos que en un

momento determinado pueden ayudarles a resolver el problema sugiriéndoles cómo

hacerlo. En lo que me concierne como acompañante del proceso, solo observaré lo que

hacen los alumnos, tratando de mediar el actuar del alumno con la situación propuesta.

Momento de validación: En esta fase se llevará a cabo una evaluación por parte de los

alumnos hacia los demás alumnos que deseen compartir su estrategia con el grupo,

para lo cual les haré los cuestionamientos con interrogantes como los siguientes:

¿alguien nos quiere platicar la manera en que resolvió el problema?, ¿cómo le hiciste

para resolver el problema?, ¿crees que esa sea la única manera de resolverlo o habrá

más maneras?, ¿cómo cuáles?, ¿quién resolvió mejor el problema y ¿por qué?,

¿Porqué solo xxx pudo resolver el problema y yyy no lo logró?, ¿qué creen que le hizo

falta a xxx para poder resolver el problema correctamente?, estas preguntas se

utilizarán como la devolución del problema a los alumnos participantes, como parte de

responsabilidad dentro de la construcción de el saber en juego “la adición”; mientras

que de parte de los demás (as) alumnos (as), estos tendrán la responsabilidad de

aceptar, rechazar o pedir pruebas al alumno participante de sus estrategias para

resolver el problema, en mi actitud de mediadora no rechazaré ninguna participación de

los alumnos, al contrario los animaré a compartir con sus demás compañeros la manera

en que actuaron sobre el problema diciéndoles, “quién desee platicarnos la manera en

que él resolvió el problema, puede pasar a mostrarnos su trabajo y platicarnos cómo le

hizo para resolverlo”.

Momento de institucionalización: Para propiciar este momento donde yo me

responsabilizó de las resultados obtenidos y acepto o invalido algún procedimiento

empleado por los alumnos lo iniciaré diciendo: “Todos hicieron bien su trabajo, pero

hubo quienes resolvieron el problema de manera distinta y lo hicieron bien, podíamos

resolver el problema: (retomar alguna (s) estrategia (s) empleadas por los alumnos y

dándolas a conocer al grupo de manera indistinta, procurando evidenciar con objetos,

de manera gráfica y manual el modo de proceder de los alumnos y el resultado

esperado, todo ello para hacerlos conscientes de que existen estrategias más eficientes

que permiten llegar a la resolución) dibujando las canicas azules de Carlos y luego las

rojas, porque tanto las azules como las rojas pertenecen a Carlos y son lo mismo,

canicas, por lo cual podemos juntarlas y luego contarlas para saber cuántas son, pero si

nadie logró resolver el problema procederé a mostrar solo la estrategia más sencilla,

usando objetos concretos para representar las cantidades señalas en el problema, en

este caso fichas y pasando a un alumno a simular ser Carlos y las fichas las canicas,

empleando el conteo antes, durante y después de usar el material y finalmente

reconociendo a los que lograron resolver el problema permitiendo la resignificación del

problema a los que no lo lograron.

De igual manera se aplicarán problemas de estado-transformación- estado, donde el

alumno pueda tener la experiencia de resolver problemas donde reconozca el estado

de un conjunto y que al añadírsele o quitársele ciertos elementos se transforma en una

nueva colección, este tipo de problemas se abordará mediante la aplicación de cuatro

problemas que se habrán de aplicar en cuatro sesiones de clase regular, mismas en las

que se organizarán las actividades de la manera siguiente:

Plan de clase 4. Relación de transformación-estado. “Cubos”

Competencia: plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y

que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

Propósito: que el alumno resuelva problemas de manera creativa, mediante la

creación de estrategias propias y el fortalecimiento de nociones matemáticas..

Tipo de problema a plantear: estado-transformación-estado. “Pongo cinco cubos

en el bote (se muestra al alumno), le agrego ocho cubos más (se muestra)

¿cuántos cubos hay ahora en el bote?”.

Hipótesis a comprobar: cuando los alumnos no cuentan con nociones

matemáticas no logran resolver ni actuar sobre problemas aditivos y las

oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición, favorecen el

manejo de estrategias más eficientes y sofisticadas en la resolución de problemas

aditivos.

Materiales: cubos de plástico, bote obscuro, hojas y lápices.

Tiempo: una sesión de dos horas.

Comenzaré la clase mostrando a los alumnos algunos cubos y un bote con tapa, y

pidiéndoles que me ayuden a contar algunos que iré agregando, pues solo agregará

cinco y le pediré a un alumno (a) que escriba en el pizarrón la cantidad agregada de

cubos para evitar que se les olvide, continuaré la clase diciendo que ahora al mismo

bote le voy agregar algunos más, invitándolos a que me ayuden a contarlos, serán ocho

y otra vez le pido a otro (a) alumno (a) que escriba los cubos agregados en el pizarrón;

mientras tanto invitaré a una alumna a dar a sus compañeros papel y lápiz.

Momento de acción: Procederé a recuperar los hechos realizados mediante el

planteamiento siguiente: “si agregué cinco cubos en el bote y luego le agrego ocho

cubos más, ¿cuántos cubos hay ahora en el bote?, con el papel y lápiz que hay en su

mesa van a tratar de averiguar la cantidad de cubos que hay ahora en el bote. Hago

esta prohibición de impedirles que vean el material colocado en el bote para fomentar la

creación de nuevas estrategias de resolución, así como para fortalecer el uso de las

nociones matemáticas que cada alumno posee. Por su parte los alumnos piensan,

comentan en su equipo y toman la decisión de llevar a cabo un plan para llegar a la

solución de lo planteado y yo solo les repetiré el problema en caso de que haya

alumnos que olviden la tarea a resolver, dejando establecido que al finalizar deberán

mostrar su estrategia al grupo.

Momento de formulación: Es aquí donde los alumnos actuarán sobre el medio (papel y

lápiz) para tratar de encontrar una respuesta al problema planteado, quizá dibujando los

cubos, representándolos con rayitas o números y utilizando el conteo o sobreconteo

para llegar a una solución. En el caso de alumnos con mayores dificultades (el caso de

alumnos como Perla, Oswaldo, Fátima, Yoselin) se les indicará que solo ellos pueden

tomar fichas en caso de que así lo decidan para trabajar en el problema, pudiendo

intercambiar información, preguntando a sus compañeros, comunicar mensajes a sus

compañeros para actuar sobre el medio; mientras que el papel mío consistirá en solo

observarlos y mantener el interés por resolver el trabajo con interrogantes como: ¿ya

saben cuántos cubos hay en el bote?, recuerden que nos dirán la manera en que lo

resolvieron, en su hoja deberán hacer algo para comunicarnos cómo lo resolvieron, etc.

Momento de validación: En este momento el alumno demostrará con argumentos

sólidos el modelo utilizado para resolver el problema, explicando a sus compañeros los

procesos empleados, para ello deberá convencerlos de que lo realizado es correcto,

pudiendo comprobar con acciones como: contar lo representado, usar objetos para

demostrar que es verdadera y eficaz su estrategia. Los alumnos por su parte podrán

pedir pruebas, rechazar o aceptar lo expuesto por el alumno (a) participante, solo los

alumnos podrán juzgar las acciones y argumentos del alumno participante, mientras

que yo solo guiaré las intervenciones del alumno participante con el grupo con

preguntas como: ¿cómo resolviste el problema?, ¿porqué decidiste resolverlo así?,

¿crees que habrá otras formas de resolverlo?, ¿cuáles?, ¿quién de todos sus

compañeros hizo mejor su trabajo?, ¿por qué?, ¿qué opinan del trabajo de su

compañero?, etc.

Momento de institucionalización: En este momento se hará una comprobación con la

participación de los alumnos apoyándome de la estrategia más eficaz, pero recordando

las que hayan utilizado los alumnos, haciendo mención de que el problema se podía

resolver de variadas maneras, pero es más fácil como lo hizo su compañera “XXX”, así

mismo se plantearán las siguientes interrogantes: ¿por qué XXX encontró una

respuesta posible al problema, mientras que YYY no lo logró?, ¿qué les hizo falta a

XXX para poder resolver bien el problema?, para reforzar lo mostrado y reconocer a los

(as) alumnos (as) que hayan logrado resolver correctamente el problema.

Finalmente en los problemas de relación de comparación de relaciones aditivas se

plantearán los cuatro problemas que resultan ser de mayor complejidad por las

abstracciones que contienen los planteamientos, mismos que se aplicarán en cuatro

sesiones de trabajo con duración de dos horas del horario normal en el jardín de niños y

en la misma organización de situaciones didácticas, como se puede observar en el plan

de clase:

Plan de clase 9 Relación de comparaciones aditivas. “pesos”

Competencia: plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y

que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

Propósito: que el alumno utilice objetos concretos como apoyo en la resolución de

problemas aditivos y utilice el conteo como medio de solución.

Tipo de problema a plantear: relación de comparaciones aditivas: “Rito tiene

nueve pesos, Omar tiene cinco pesos más que Rito, ¿cuántos pesos tiene Omar?

Hipótesis a comprobar: el uso de objetos facilita la resolución de problemas

aditivos y las oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición,

favorecen el manejo de estrategias más eficientes y sofisticadas en la resolución

de problemas aditivos y cuando los alumnos no cuentan con nociones

matemáticas no logran resolver ni actuar sobre problemas aditivos.

Materiales: monedas de plástico, fichas de conteo, hojas y lápices.

Tiempo: una sesión de dos horas.

El inicio de la clase será apoyándome del problema escrito en el pizarrón, el cual

implica un reto intelectual al alumno, por las magnitudes abstractas del problema “Rito

tiene nueve pesos, Omar tiene cinco pesos más que Rito, ¿Cuántos pesos tiene Omar?

Para lo cual les diré a mis alumnos “el problema que van a resolver hoy, es ayudar a

Omar a saber cuántos pesos tiene, ¿pueden ayudarle?, haré esta interrogante para

motivarlos a intentar resolver el problema, para lo cual organizaré a los alumnos de

acuerdo a niveles de resolución, primero consideraré a los que tienen resoluciones más

eficientes los cuales estarán juntos, con uso de conteo y representación en otro equipo

y así de manera descendente. La clase se trabajará de acuerdo a la teoría de

situaciones didácticas, para lo cual las actividades en cada uno de los momentos se

organizarán en los momentos siguientes:

Momento de acción: En este momento se les planteará a los alumnos la tarea a

realizar, haciéndoles la aclaración de poder hacer uso de material didáctico al decirles

“pueden usar algún material como fichas, monedas de plástico, así como su hoja y lápiz

para decirnos cómo resolvieron el problema” con la intención de accionar sobre él

comprobando si sus esquemas se han transformado, así como procurando encontrar

una respuesta con sus propios recursos sin ayuda del profesor, la situación planteada

debe permitir un diálogo entre el alumno y el problema, de manera que el propio alumno

juzgué si su actuar es pertinente a lo planteado, por mi parte solo recordaré la tarea a

resolver con la intención de que los alumnos no desvíen su atención a otras acciones,

al decirles ¿ya saben cuántos pesos tiene Omar?, “quien necesite tomar material puede

pasar por él”, esto para permitir una interacción entre el alumno y el medio,

representado por el material, de manera que le permita representar la realidad del

problema y tomar cierta postura respecto a su acción.

Momento de formulación: Dentro de este momento los alumnos dispondrán de su hoja y

lápiz en los cuales comunicarán el plan ejecutado para la resolución de la tarea

planteada, pudiendo preguntar e intercambiar con sus compañeros posibles modos de

actuar, así como proporcionado mensajes orales que le permitan llegar a un resultado

deseable, por mi parte insistiré diciéndoles “en su hoja deben hacer algo que nos pueda

explicar la manera en que resolvieron el problema” de manera que el proceso empleado

por los alumnos tenga sentido al usarse con sus compañeros, aspecto que servirá de

retroalimentación a sus explicaciones, de igual manera se promoverá la ayuda al

decirles a los alumnos “pueden preguntar a sus compañeros si tienen alguna duda,

quién necesite ayuda acérquese con su equipo de trabajo o con algún otro equipo con

quien quiera trabajar”, este momento pone al alumno en una situación de conflicto pues

le implica representar la estrategia descubierta y empleada, así como intercambiar o

solicitar información.

Momento de validación: está se realizará para recuperar el accionar del alumno de

manera individual, pero ahora de manera grupal, para lo cual invitaré a varios alumnos

a pasar de manera individual al frente para exponer ante sus demás compañeros los

procedimientos empleados para llegar a una solución, diciéndoles primeramente,

¿cómo resolviste el trabajo?, esta interrogante les permitirá a sus compañeros conocer

las acciones realizadas por el alumno exponente, así que continuaré la comunicación

con otras preguntas como: ¿qué hiciste para resolver el problema, ¿crees que habrá

otras maneras de solucionar el problema?, de igual manera fomentaré la participación

del grupo preguntándoles ahora ¿qué opinan del trabajo de xxx?, ¿creen que así era la

manera de resolver el problema? ¿porqué sí, porqué no?, ¿creen que le hizo falta

algo?, ¿qué?, después que hayan pasado alumnos con estrategias diferentes,

procederé a cuestionar al grupo, ¿quién de todos sus compañeros hizo mejor el trabajo

de hoy?, ¿por qué?, en este momento solo retomaré los argumentos de los alumnos sin

emitir ningún juicio sobre lo realizado por los alumnos.

Momento de institucionalización: Durante este momento se retomarán las

construcciones correctas realizadas por los alumnos, comenzando con mostrar las más

sencillas que a mi juicio puedan ser motivo de ayuda a los demás alumnos, para lo cual

les diré: “Vamos a escuchar a XXX quien nos va a mostrar como usó el material para

resolver el problema”, así como mostrándoles la representación del problema, realizado

por alguna alumna como Viridiana, Arleth o Araceli, quienes se han apropiado de esta

estrategia para resolver los problemas, diciéndoles, “también podían haber resuelto el

problema como lo hizo su compañera YYY, quien solo uso una hoja y su lápiz”, esto por

ser las más sofisticadas y que permitan a los demás alumnos apropiarse de las que a

su juicio pueden poner en práctica, ya sea por su fácil comprensión o uso, finalmente se

les indagará ¿quién tuvo la razón?, ¿porqué xxx pudieron resolver el problema de

distinta manera y los demás no pudieron?, ¿qué les hizo falta?, esto con la intención de

revalorar lo realizado, en este momento se pretende que los alumnos identifiquen la

estrategia construida por sus compañeros y que es la más eficiente, haciéndolo con

sentido, el de resolver problemas de manera eficaz.

Cabe destacar que solo se presenta una muestra de las planeaciones de cada uno de

los tipos de problemas abordados, aclarando que todos los problemas planeados serán

llevados a cabo en el grupo de manera permanente con la intención de brindar las

suficientes oportunidades para fortalecer las capacidades matemáticas en los alumnos,

bajo este esquema de situaciones didácticas y bajo la organización de equipos de

trabajo, y mediante la construcción de nuevos esquemas por parte de los alumnos al

ser ellos mismos los constructores de su propio aprendizaje.

2.- ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS EMPLEADAS POR LOS ALUMNOS AL

RESOLVER PROBLEMAS ADITIVOS.

a).- Los problemas de composición de dos medidas.

Para acercar a los niños al contenido de adición, se propuso el siguiente problema de

tipo composición de dos medidas por ser estos los menos complejos en la enseñanza

de la adición, por ello se inició la intervención en el aula con los ya mencionados y

como se muestra en el siguiente extracto de registro:

M: Carlos tiene ocho canicas azules y siete rojas, ¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?

Esa es la tarea que van a realizar ustedes. Si ocho de las canicas de Carlos son azules y

siete son rojas, si las juntan ¿cuántas canicas tiene Carlos en total? Necesitamos ayudarle

a Carlos, si necesitan usar papel, lápiz o fichas pueden pasar por equipos, pero si alguien

considera que no necesita tomar ningún material, solo nos dirá cómo lo resolvió, van a

pasar junto con sus compañeros de mesa para tomar el material que necesiten,

comenzamos con el equipo de Yeshua, pásenle.

(Yeshua y Juan Esteban cuentan sus fichas al pasar, Oswaldo, Javier, Juan Pablo solo toman en

puños sin contar las que necesitan, Arleth, Araceli, Gabriela, Fernanda, Yajaira de igual manera

van contando las fichas que toman, Yoselin toma solo las fichas sin contarlas, mientras que Uriel

solo anota el número ocho y el siete en su hoja)

M: Pueden usar el material que necesiten, cuando ya hayan resuelto el problema anotan su

respuesta en su hoja, no se vale gritar, solo deben escribir su respuesta.

(Registro 1)

Cuando se los escribo en el pizarrón: “Carlos tiene ocho canicas azules y siete rojas,

¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?”, estoy promoviendo la relación contenido-método

explicativa porque sólo les muestro a los niños la tarea a realizar, complemento la

consigna cuando les digo: “si necesitan usar papel, lápiz o fichas pueden pasar por equipos,

pero si alguien considera que no necesita tomar ningún material, solo nos dirá cómo lo resolvió,”

con eso pretendo ayudar a que la relación sujeto conocimiento sea constructivista

porque ellos decidirán la manera de cómo solucionar el problema, por ejemplo Gabriela

y Araceli deciden tomar materiales concretos, en este caso fichas proceden a construir

ambas colecciones y luego a unirlas y recurrir a contarlas como parte del mismo

conjunto, en ningún momento se les sugiere seguir algún procedimiento, ellas por sí

mismas se han dado cuenta que el hecho de que las canicas no sean del mismo color,

pertenecen a la misma clase canicas, y pertenecen a Carlos, es decir han comprendido

el problema, se ocupan del problema, han entendido que requieren de actuar sobre él,

encontrando buenas preguntas y buenas respuestas. (Chevallard 1998). Logrando

evidenciar que su proceso sobre el saber de la adición ha progresado

considerablemente en relación al resto de sus compañeros. Se presentan extractos de

registro que dan muestra de lo realizado por Gabriela y Araceli:

Extractos:

Araceli:

M:¿Tú como le hiciste para resolver el problema?

Araceli: Fui contando las fichas, luego fui poniendo aquí las fichas (señala su mesa).

M: Y ¿Cuántas fueron?

Araceli: Quince.

M: ¿Qué más hiciste aparte de dibujarlas?

Araceli: Las conté.

M: ¿Para qué las contabas?

Araceli: Para ver sí eran y si fueron quince.

Gabriela

M: Ahora le voy a pedir a Gabriela que pase, ¿Cómo le hiciste para resolver el problema?

Gabriela: Los conté.

M: ¿Cómo los contaste?

Gabriela: Así (los señala).

M: Y para que los contabas.

Gabriela: Porque, para contarlos bien.

M: Gabriela, si Carlos tiene ocho canicas azules y siete canicas rojas, ¿Cuántas canicas

tiene Carlos en total?

Gabriela: (Comienza a mirarlas y las cuenta mentalmente) Quince.

M: ¿Cómo sabes quequince?, que hiciste en tu hoja.

Gabriela: Las dibujé, ocho azules y siete rojas.

M: ¿Son las mismas que tiene Carlos?

Gabriela: Sí.

(… Gabriela y Araceli, de igual manera van contando las fichas que toman).

En ambos casos, observamos que el proceso es semejante, “Gabriela y Araceli, de igual

manera van contando las fichas que toman”, las acciones no verbales realizadas por ambas

alumnas desde el momento de indicarles el problema a solucionar fue similar: “contar las

fichas que tomaban”, por ejemplo la relación teoría práctica se evidencia desde el

momento en que toman el material hay que señalar que este es el proceso que señala

Dorothy Cohen: “Los niños necesitan materiales que los estimulen a manipular, ordenar,

contar, contrastar, construir y reorganizar” (Cohen, 1997) a fin de que logren resolver

problemas matemáticos.

Relacionando lo ocurrido con la teoría de Vergaud la manera en que las alumnas

actúan sobre el problema pone de manifiesto un postulado de su teoría de los campos

conceptuales “los conceptos”, pues mediante la propuesta de trabajo:“Carlos tiene ocho

canicas azules y siete rojas, ¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?”, se genera la oportunidad

de darle sentido al saber en cuestión: la adición, como también al hacer uso de material

(fichas), se pone en práctica la idea de invariantes operatorias, mediante el uso de este

material el alumno actuará buscando llegar a la resolución y finalmente al representar

gráficamente el problema complementa la idea de representación simbólica en donde

estos elementos conforman los conceptos. (Vergnaud, 1994)

Por lo que al tener el material en su lugar cuentan primero una colección de ocho y

luego una de siete, las juntan y las cuentan nuevamente, por lo que en su hoja dibujan

ocho canicas coloreándolas de azul y siete canicas coloreándolas de rojo, y al final

escriben su respuesta quince, quedando claro que efectivamente la relación teoría-

práctica es de tipo constructivista, pues ellas con sus propios recursos deciden la

manera en que procederán para resolver el problema como se puede apreciar en la

evidencia de Araceli, misma en la que se observa que recurrió a dibujar la cantidad de

canicas señalada en el problema, de igual manera lo requiere representar, coloreando

lo ya dibujado por ella y finalmente recurriendo al conteo total de la colección formada,

demostrándose con ello el concepto de representación del que Vergnaud habla, pues

Araceli requiere simular la realidad del problema a partir de elementos que para ella son

significantes (dibujos de canicas) para luego concluir su resolución mediante el uso del

código escrito (15).

Como se puede apreciar la estrategia utilizada por ambas alumnas es la misma, de

igual manera a la hora de hacer la validación de su trabajo ante el grupo expresan un

nivel de resolución similar, pero distinto al de varios de sus compañeros, quedando

claro que su proceso ha evolucionado, tal y como se puede apreciar cuando le digo a

Araceli “¿Cómo le hiciste para resolver el problema?” propiciando con ello la relación teoría-

práctica reflexiva, lo cual se corrobora a continuación por lo expresado de inmediato:

“Fui contando las fichas, luego fui poniendo aquí las fichas” es decir Araceli ha construido la

idea de que primero puede resolver el problema con la ayuda de objetos concretos

(fichas), para luego representarlos de manera gráfica, identificando además una

herramienta importantísima: el conteo, por lo que le pregunto: “Y ¿Cuántas fueron?” hago

esta pregunta para asegurarme si ha construido la concepción de colección, es decir si

ha identificado que a pesar de que las fichas no sean del mismo color pertenecen al

mismo grupo “fichas” independientemente del color o tamaño del que sean y reconoce

la cantidad total del nuevo conjunto formado por todas las canicas que Carlos tiene, a lo

que ella responde acertadamente “Quince” poniendo en evidencia que se ha apropiado

el conteo en la resolución de problemas, misma que me da la oportunidad de indagar

más sobre el proceso realizado mediante la interrogante: “¿Qué más hiciste aparte de

dibujarlas?” Araceli responde con un uso del que ya se ha apropiado, por lo que de

inmediato responde: “Las conté”, mostrando que la relación sujeto-conocimiento es

activa, pues recurre al conteo, de tal manera que su respuesta me permite devolverle

la pregunta con la interrogante siguiente: “Para que las contabas” misma que realizo para

conocimiento de sus compañeros, obteniendo como respuesta: “Para ver sí eran y si

fueron quince”, comprobándose con ello lo afirmado en las hipótesis, el uso de objetos

ayuda a la resolución de problemas aditivos.

De acuerdo a lo evidenciado puedo afirmar que tanto Araceli, Gabriela, Arleth, Viridiana,

Yeshua, Juan Esteban, Fernanda y Yajaira utilizaron la misma estrategia y en

consecuencia lograron resolver el problema de manera eficaz, siguiendo para ello el

proceso de construir ambas colecciones con fichas, contándolas juntas y luego

representándolas de manera gráfica en su hoja, apoyándose de la representación.

Así como hubo logros en los alumnos, también existieron dificultades como se pueden

apreciar en los siguientes extractos:

Javier:

M: Ahora va a pasar Javier, Usted ¿Cómo le hizo para resolver el problema?

Javier: (Se queda pensando) Porque las conté, con los números.

M: Javier, si Carlos tiene ocho canicas azules y siete rojas, ¿Cuántas canicas tiene Carlos

en total?

Javier: Nueve.

M: ¿Cómo supiste que nueve?

Javier: Contando.

M: ¿Para qué hiciste esas ruedas ahí?

Javier: Son las canicas de Carlos.

M: Antes de hacer estos dibujos yo vi que tenías fichas, ¿Qué hiciste con las fichas?

Javier: Las eche en el bote, las conté.

M: ¿Cuántas contaste?

Javier: Nueve.

M: ¿Por qué nueve?

Javier: Porque así le atiné.

Uriel:

Uriel: Tú ¿Cómo le hiciste para resolver el problema?

Uriel: Le hice con los números.

M: ¿Qué hiciste con los números?

Uriel: Contar los números.

M: si Carlos tiene 8 canicas azules y 7 rojas, ¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?

Uriel: No sé, cuál número es?

M: Es un 8 y un 7, ese número es el 87.

Uriel: Tiene 87.

(… Urie:l solo anota el número ocho y el siete en su hoja…)

(…Javier: solo toma en puños sin contar las que necesita…)

Como se puede observar las estrategias empleadas por los alumnos (el mismo

problema mencionado en los casos de Gabriela y Araceli) son distintas, mientras que

Javier opta por tomar material concreto aceptando la sugerencia de la maestra y

actuando como a continuación se menciona ”Javier solo toma en puños sin contar las que necesita”,

Uriel decide solo usar papel y lápiz anotando las cantidades señaladas en el problema

con acciones como ”Anota el número ocho y el siete en su hoja” , por lo que las dificultades en

Javier y Uriel son distintas y les impiden resolver el problema de manera eficaz,

mostrando además que la relación contenido-método fue inadecuada pues los alumnos

a pesar de entender el problema propuesto, tal y como se puede observar en sus

evidencias, sus saberes no fueron suficientes para llegar a la resolución, pues Javier

dibuja las canicas que él entendió que Carlos tenía, quedando claro el papel de la

representación, mediante ella representa la realidad y anticipa la cantidad de canicas

que Carlos tiene, aunque para los demás no sea correcto; por otra parte Uriel solo

plasma ambas cantidades sin poder reconocer que al unirlas se forma una nueva

cantidad, evidenciándose en sus producciones:

Para conocer la manera en que cada uno de los alumnos procedió a resolver el

problema comienzo el momento de validación con la participación de Javier

preguntándole “¿Cómo le hizo para resolver el problema?”, este cuestionamiento me

permite confirmar lo observado y las acciones realizadas por Javier con las fichas que

tomó luego de indicar la tarea a realizar por los alumnos obteniendo como respuesta:

“porque las conté, con los números”, con ello Javier explica que ha contado las fichas que

tomó, evidenciando que la relación teoría-práctica fue irreflexiva, pues usa el conteo

solo por requisito no como herramienta para solucionar problemas, pero en ningún

momento explica cuantas tomó ni que correspondan a las mencionadas en el

problema, para lo cual recupero nuevamente la tarea propuesta a los alumnos: “Javier,

si Carlos tiene ocho canicas azules y siete rojas, ¿Cuántas canicas tiene Carlos en total?” para lo

cual obtengo como respuesta: “nueve”; al obtener esta aseveración y en mi actitud

insistente de recuperar más acciones realizadas por Javier la relación maestra-alumno

se convierte en retadora pues le pregunto nuevamente “¿Cómo supiste que nueve?”,

espero obtener una respuesta que indique haber entendido el problema, pero Javier

solo contesta ”contando”, pero insisto nuevamente “¿para qué hiciste esas ruedas ahí?” a lo

que Javier asume como argumento: “son las canicas de Carlos”, para lo cual nuevamente

insisto rescatando las acciones realizadas con anterioridad por Javier ”antes de hacer

estos dibujos yo vi que tenias fichas, ¿qué hiciste con las fichas?” hago este cuestionamiento

para tratar de ubicar al alumno en la importancia de haber usado material concreto

antes de plasmar de manera gráfica su estrategia de solución, pero la respuesta es “Las

eche en el bote, las conté”, lo que confirma que la relación teoría-práctica establecida fue

totalmente irreflexiva, de parte de Javier, así como también se evidencia la hipótesis

“Los niños que no cuentan con nociones matemáticas no logran resolver ni actuar

sobre problemas aditivos”, pero intento hacerlo consiente de ello, para lo cual le

interrogo nuevamente ”¿Cuántas contaste?”, pero él insiste en dar por valida su estrategia

y solo responde “nueve, porque así le atiné”.

Estos argumentos presentados por Javier indican que su proceso de conceptualización

respecto al saber aditivo esta en proceso de construcción, afirmando lo sostenido por

Vergnaud sobre el conocimiento, pues se considera como fundamentalmente

pragmático, ya que es producido a partir de la actividad del sujeto en una situación y su

comprensión con el lenguaje, además de que para su construcción se consolide

requiere de un sin número de situaciones donde el alumno ponga a prueba sus

conceptos y teoremas en acto para transformarlos y reconceptualizarlos, por ello la

importancia de brindar una gran variedad de problemas de distinta complejidad.

En el caso de Uriel procedo cuestionándole con la intención de conocer por qué solo

escribió las cantidades señaladas en el problema como respuesta a lo cual le pregunto

”Tú ¿cómo le hiciste para resolver el problema?”, él responde de manera seria y seguro de

lo realizado ”Le hice con los números”, esta respuesta no me permite conocer el por qué

de tomar esa decisión por lo que le devuelvo la pregunta diciéndole ”¿Qué hiciste con los

números?” esta pregunta refleja la intención de conocer si los contó con sus dedos, en

su memoria para saber la cantidad total de canicas que tiene Carlos, pero Uriel solo

responde ”Contar los números”, en ese momento recupero el problema planteado y se lo

leo del pizarrón “Si Carlos tiene 8 canicas azules y 7 rojas, ¿cuántas canicas tiene Carlos en

total?” el alumno entonces señala los números escritos en su hoja y diciendo “No sé, cuál

número es?” para lo cual intervengo asumiendo una actitud de ayuda al alumno

diciéndole lo que observo en su hoja “Es un 8 y un 7” de inmediato Uriel se apoya en lo

mencionado por mi persona y responde: “Tiene 8 y 7”.

Las afirmaciones realizadas por Uriel “Le hice con los números, contar los números y tiene 8

y 7” demuestran efectivamente su conocimiento sobre la adición está en proceso, si

bien él recupera acertadamente las cantidades mencionadas en el problema (8 y 7)

pero desconoce los términos ¿Cuántas tiene en total?, quedando clara una dificultad

semántica, es decir no ha construido significativamente la palabra “total” además, no ha

construido la idea de que a pesar de que las cantidades sean de la misma clase

“canicas” desconoce que al unirlas forman una nueva colección y al contarlas juntas

nos indica el total de canicas que Carlos posee, manifestándose también que la relación

teoría-práctica asumida por Uriel se caracteriza como conductista, pues solo actúa por

instinto, sin hacer una reflexión frente al problema planteado, simplemente huye del

problema escribiendo en su hoja las cantidades señaladas 8 y 7 poniendo en evidencia

que sus esquemas no le permiten hacer uso de sus variantes operatorias, pues no logra

representar el problema de manera simbólica, por el contrario al representar solo

hechos numéricos (7 y 8) demuestra una incapacidad de operar sobre los significantes

y significados.

En lo relacionado a mi papel como acompañante del proceso enseñanza-aprendizaje,

consistió en plantear, guiar, promover situaciones de aprendizaje seleccionando,

diseñando y aplicando los dispositivos didácticos motivos de generar transformaciones

en el quehacer de los alumnos, promoviendo la participación, la reflexión y el análisis de

dichas situaciones, sin embargo el trabajo propuesto no siempre permiten un avance

similar en todos los alumnos, psicológica y pedagógicamente se sabe que cada alumno

avanza a un ritmo distinto, dependiendo de múltiples factores, entre ellos el contexto

social en que se desenvuelve y las oportunidades de poner en práctica lo aprendido,

entre otras; lo que me permite destacar que no solo se puede hablar de dificultades,

particularmente en el caso de Javier los cuales son más evidentes en comparación a lo

realizado por Uriel, pero conforme fueron transcurriendo las aplicaciones de problemas

y el contacto con el material, las representaciones del problema y las manifestaciones

en el uso del conteo se fueron transformando, de manera que en un problema aditivo

de composición de dos medidas caracterizado como de los más sencillos y que versaba ”En la pecera tenemos cinco caracoles manzanos y seis caracoles en espiral, ¿cuántos caracoles tenemos

en la pecera?” Javier logra de manera paulatina representar exactamente las cantidades

del problema, poniendo en evidencia que reconoce el conteo como medio que le ayuda

en la resolución de problemas, así como la representación elemento de apoyo en la

representación de la realidad, mostrando que sus constantes operatorias se

transformaron al grado de poder plasmar los objetos de la realidad de manera gráfica,

con sentido, comprobándose a su vez que el uso de objetos ayuda en la resolución de

problemas, mismo que se puede apreciar en su evidencia, donde se muestra que

representa las cantidades mencionadas en el problema planteado y que representa

primero con fichas, para luego hacerlo en el plano gráfico, continúa faltando la

comprensión de juntarlos como una colección, identificándose como elemento

pendiente, aún así esto permite apreciar y valora el proceso que siguió el alumno, pues

de representar cantidades que no guardan relación con el problema, pasó a identificar

que requiere de contar los elementos mencionados en el problema, para luego

representarlos, como se puede apreciar en sus evidencias:

Los avances logrados por el alumno son quizá pocos, pero significativos reconociendo

que es un proceso en el cual la constancia y la variedad de oportunidades donde el

alumno disponga de experiencias le permitirá acrecentar el saber aditivo, por lo cual

considero necesario que en lo posterior se le siga brindando oportunidades donde el

uso de medios concretos sea el principal elemento de que disponga en la resolución de

problemas, sin excluir la posibilidad de representar sus estrategias de manera gráfica,

ya que esto le posibilitará mejorar su proceso en la construcción del saber aditivo, así

como fomentar el trabajo entre iguales, pues este alumno ha tenido pocas experiencias

de este tipo.

b).- Problemas de relación de transformación de estados.

Para continuar con el proceso de acercar y fomentar la construcción del saber aditivo

en los alumnos, pretendo continuar ahora con este tipo de problemas aditivos llamado

relación de transformación de estados, le implican un reto de mayor complejidad al

alumno que los ya vistos con anterioridad, para lo que se planteó la siguiente tarea a

los alumnos:

M: Escúchenme porque les voy a decir el problema que van a resolver hoy, listos porque

hoy no vamos a usar fichas.

Viridiana: Que bueno, solo lápiz y hoja.

M: Van a ayudarme a contar los cubos que voy a poner en esta caja, ayúdenme a contarlos

voy a poner uno,

T: Uno, dos, tres, cuatro, cinco.

M: (Escribo el número 5), bueno ahora le vamos a poner algunos más, ayúdenme a contar

para que sepan cuantos voy a poner ahora.

A asl: Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, ocho

M: Luego puse ocho cubos más, (escribo el número 8), deben averiguar los cubos que hay

ahora en el bote, en su lugar con su hoja y lápiz van a trabajar para averiguar ¿cuántos

cubos hay ahora en el bote?, eso es lo que vamos a tratar de averiguar, cuando

encuentren una respuesta posible al problema la van a escribir en su hoja, después nos

van a decir cómo le hicieron para resolver el problema.

Fernanda: …¿Podemos hacer los cubos?...

Fernanda: … yo estoy haciendo los cubos y luego los cuento…

Viridiana: …Primero cinco, uno, dos, tres, cuatro, cinco, (los dibuja) y luego le agregamos ocho

verdad…

Viridiana: …Mira son trece, mira, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez,

once, doce, trece , ves son trece, estos son los ocho (señala su línea divisoria), maestra ya acabé

son trece…

Cuando les indico a los alumnos ”Escúchenme porque les voy a decir el problema que van a

resolver hoy, listos porque no van a usar fichas” estoy promoviendo una relación maestro-

alumno de autoridad, estableciendo prohibiciones en cuanto al uso del material y a que

me presten atención, con la idea de que la relación contenido-método sea constructiva

les aclaro que no harán uso de material manipulable, lo cual es aceptado con agrado

por Viridiana al expresar “Que bueno, solo lápiz y hoja” continúo con el problema

diciéndoles “Van a ayudarme a contar los cubos que voy a poner en esta caja, ayúdenme a

contarlos, voy a poner uno”, esta tarea es aceptada por los alumnos y continúan contando

los cubos que coloco en un bote “Uno, dos, tres, cuatro, cinco” de inmediato procedo a

escribir en el pizarrón la cantidad colocada frente a los niños en el bote y les digo

“Bueno, ahora le vamos a poner algunos más, ayúdenme a contar para que sepan cuantos voy a

poner ahora” esta acción es igualmente comprendida por los alumnos quienes acceden a

contar los cubos que voy agregando “Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho; ocho”

hago estas acciones para ayudarles a los alumnos a que la relación teoría-práctica sea

vivencial, pues han visto los cubos que se han introducido en el bote, los han contado y

ahora enfrentarán un problema vivido, para lo que les planteo el problema de la manera

siguiente “Deben averiguar cuantos cubos hay ahora en el bote, en su lugar con su hoja y lápiz

van a trabajar para averiguar, ¿cuántos cubos hay ahora en el bote?, de igual manera

complemento la tarea diciéndoles “Esa es la tarea que van a tratar de averiguar, cuando

encuentren una respuesta posible al problema la van a escribir en su hoja, después nos van a

decir como resolvieron el problema”.

Este modo de proceder de mi parte es con la intención de brindar experiencias que les

ayuden a los alumnos romper el esquema construido y darse cuenta de que necesitan

construir nuevas herramientas que les permitan resolver el problema, o lo que Bloock

afirma “el conocimiento aparece como un instrumento que le permite al niño resolver un

problema en el cual sus recursos anteriores le resultaron insuficientes”(revista, cero en conducta,

4), por ello retomando a Vergnaud, es necesario brindar las suficientes oportunidades

que incluyan los tipos de problemas para propiciar en el alumno diversas experiencias

educativas, por ello la necesidad de ampliar el campo conceptual aditivo con variedad

de situaciones, conceptos y relaciones. (Vergnaud, 1994).

Al dar las indicaciones al grupo para que comenzarán a trabajar Fernanda quien no

encuentra cómo comenzar el trabajo me cuestiona “¿Podemos hacer los cubos?”

estableciendo una relación sujeto-conocimiento reflexiva, al determinar las acciones

que requiere para intentar llegar a una solución, en mi papel de facilitadora expreso una

respuesta que no le dé pistas de cómo solucionar el problema, pero que le permita

realizar una construcción a partir de sus saberes, para lo cual le respondo “Podemos

hacer lo que se necesite para saber cuántos cubos hay ahora en el bote” esta expresión no le

dice qué hacer, solo le confirma nuevamente qué ella decidirá qué hacer y cómo

hacerlo, por lo que se promovió la relación teoría-práctica constructivista, pues la

alumna realizará las representaciones que considere más adecuadas para lograr

resolver el problema, como se puede observar en su evidencia de trabajo, en la cual se

observa que utilizó el conteo e hizo una correspondencia con las representaciones de

los cubos, para luego contarlos como una sola colección y finalmente escribir su

respuesta, como puede verse en su evidencia y extracto de registro:

M:¿cómo le hiciste para resolver el problema de

hoy?

Fernanda: hice los cubos.

M: ¿qué más hiciste en tu hoja?

Fernanda: los fui contando

M: Y ¿cuántos cubos hiciste?

Fernanda. Trece

M: Y ¿porque solo trece?

Fernanda: porque los conté juntos

Como puede observarse Fernanda procedió primero a representar las colecciones de

cubos colocados en el bote, para diferenciarlos coloreándolos diferente y finalmente

recurre a contarlos juntos, reconociendo que ambas colecciones se transforman en una

sola colección al unirlas y requiere de contarlas como un solo conjunto dando muestra

de una relación sujeto-conocimiento activo, pero en la idea de conocer sus razones

sobre la manera en que resolvió el problema decido cuestionarla con la interrogante

“¿Cómo le hiciste para resolver el problema de hoy?”, para lo cual la alumna contesta de

inmediato “Hice los cubos” esta respuesta no me parece suficiente de acuerdo a lo

observado en la alumna, para lo cual le cuestiono nuevamente para complementar el

procedimiento empleado mediante la pregunta ”¿Qué más hiciste en tu hoja?” a lo que la

alumna responde ”Los fui contando” lográndose con ello fomentar la relación teoría-

práctica reflexiva, para complementar el dialogo le cuestiono “Y cuántos cubos hiciste?”

obteniendo como respuesta “Trece, porque los conté juntos” puede observarse que

Fernanda ha hecho uso según Vergnaud de las “constantes operatorias que le permiten

selecciona la información pertinente y tratarla” (Vergnaud, 1994) es decir pone a funcionar

sus esquemas mentales con el objetivo de solucionar el problema planteado

escogiendo entre sus operaciones mentales aquellas que le sean más pertinentes para

solucionar la tarea y que se ven reflejados en su proceder mediante expresiones como

”Hice los cubos, los fui contando, Trece, porque los conté juntos” permitiendo de esta manera

identificar que puso de igual manera sus teoremas en acto al identificar el número como

medida, al dibujar solo las cantidades señaladas en el problema, de igual manera reglas

de conteo, al contar apropiadamente sin excluir ningún cubo o contarlo uno dos veces,

además de establecer un orden al plasmar los objetos, estrategia que le facilitó la

resolución.

Un proceso de igual importancia en este mismo problema es el realizado por Viridiana,

quien presenta una variante importante, la enumeración por lo que la estrategia

empleada se incluye en este trabajo y quién procede de inmediato al escuchar la tarea

con acciones como ”Primero cinco, uno, dos, tres, cuatro, cinco, (los dibuja) y luego le

agregamos ocho verdad, (va dibujando y contando), Ocho, nueve, diez”, estas acciones

realizadas por Viridiana hacen notar que la relación contenido-método fue adecuada

para sus competencias matemáticas y como consecuencia la relación sujeto-

conocimiento se caracteriza como constructivista pues la alumna decide la manera más

eficiente de resolver el problema poniendo a prueba sus saberes, al representar las

colecciones mencionadas en el problema reconoce que debe contarlas juntas para

saber la cantidad total que hay luego de haber transformado la cantidad en el conjunto

inicial, con un segundo conjunto, procediendo a señalarle a su compañera de mesa

”Mira son trece, mira, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce,

trece, ves, son trece, estos son los ocho (señala su línea divisoria), maestra ya acabé son trece”

Viridiana recurre a la estrategia de recuento del todo (A U B), pues recurre a enumerar

las colecciones después de haberlas representado A (los cinco cubos) con la colección

B (ocho cubos) de manera gráfica, tal y como se puede apreciar en su evidencia:

El trabajo realizado por Viridiana da muestras de haber entendido plenamente la

indicación del problema, quedando claro que la relación contenido-método fue

adecuada a sus condiciones intelectuales, por lo cual comienza representando las dos

colecciones (5 y 8) separándolas con una línea y contándolas luego para determinar el

total de la nueva colección formada, pero considera enumerarlas haciendo explícito que

la relación sujeto-conocimiento y teoría-práctica se llevaron a cabo por las alumnas de

manera constructivista y reflexiva, con lo cual se corrobora la hipótesis “Las

oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición, favorecen el

manejo de estrategias más eficientes y sofisticadas en la resolución de problemas

aditivos” de manera favorable , de igual manera se pone en evidencia la importancia de

los conceptos elementos de la teoría de Vergnaud, en este caso los ocupa la adición

“adquiere sentido a través de las situaciones y problemas” (Cuadernos de investigación, 2006 ),

es decir las acciones realizadas por la alumna para determinar la cantidad total de

cubos existentes ahora en el bote, representan el concepto, con sentido y significado,

pues le permiten resolver el problema en esta situación.

Estas acciones se corroboran en cada una de las participaciones que realiza la alumna

en la validación de los trabajos de sus compañeros en donde rescata y muestra el

proceso que ella considera deben complementar sus compañeros para llegar a la

resolución del problema planteado como cuando se le cuestiona “¿Qué le faltó a Yeshua

para que pudiera resolver el problema?” Viridiana identifica un elemento importante al

afirmar “Solo debía poner las cinco y las ocho, y luego que las dibujara y que las contara juntas a

ver cuántas eran” esta participación demuestra que la alumna ha construido la idea de

que para descubrir cuántos cubos hay en el bote, (el cual esta obscuro y tapado) debe

representar la realidad de manera gráfica para luego contarlos y así saber la cantidad

total de objetos que existen en el bote, poniendo a prueba sus teoremas en acto al

momento de unir las dos colecciones, los conceptos en acto los usa al seleccionar

aquellas operaciones mentales que le permiten elegir la estrategia a usar para

solucionar la situación propuesta.

Los avances obtenidos me deben hacer reflexionar sobre las dificultades que siguen

presentes en algunos alumnos como Oswaldo y Perla quienes plasman

representaciones y un proceso muy parecido, por lo que solo se muestra el extracto de

registro de Oswaldo, quien participó más en la clase como puede verse:

M: ¿Cómo le hiciste para resolver el problema?

Oswaldo: Contando los números de allá (señala los graficales que están arriba del pizarrón).

M: Cómo los contaste?

Oswaldo: Con los dedos.

M: Muéstranos cómo lo hiciste.

Oswaldo: contándolos todos.

M: Si primero pusimos cinco cubos en el bote y luego agregamos ocho cubos, ¿cuántos

cubos hay ahora en el bote?

Oswaldo: Cinco.

M:¿Cómo sabes que cinco?

Oswaldo: Los fui contando.

...Oswaldo: hace dibujos sin contarlos…

Cuando explico al grupo la tarea que deberán solucionar contando y colocando los

cubos dentro del bote, Oswaldo procede a “…hacer dibujos sin contarlos”…, mostrándose una

relación sujeto-conocimiento irreflexiva, pues procede sin recordar lo mostrado con los

cubos (se colocan cinco y se van contando con ayuda de los alumnos, luego se anota en el

pizarrón, posteriormente se añaden ocho cubos más, los demás alumnos cuentan los cubos

que van añadiendo, luego se pregunta: ¿cuántos cubos hay ahora en la caja?), así como

tampoco retoma lo dicho en el problema, solo actúa de manera irreflexiva haciendo

tantos dibujos como él cree, apareciendo la relación teoría-práctica irreflexiva, lo mismo

ocurre con Perla como se aprecia en su trabajo:

Para conocer la manera en que Oswaldo fue procediendo decido pasarlo al frente para

que explique al grupo cómo resolvió el problema, por lo que le cuestiono: “¿cómo le

hiciste para resolver el problema?” El alumno responde de inmediato diciendo: “Contando

los números de allá” (señala los números que están arriba del pizarrón), mostrándose la relación

sujeto-conocimiento mecánica, pues contesta solo por inercia, pues en ningún caso

corresponden la cantidad de numerales con las marcas hechas por el alumno en su

hoja, por lo que decido cuestionarle de nuevo “¿Cómo los contaste?” obteniendo como

respuesta otra cosa: ”con los dedos”, insisto en que me diga cómo lo hizo le pregunto

nuevamente ”Muéstranos cómo lo hiciste”, procede a contar los dibujos que tiene en su

hoja y dice “Contándolos todos”, por lo que retomo el planteamiento de la clase ”Si

primero pusimos cinco cubos en el bote y luego agregamos ocho cubos en el bote, ¿cuántos

cubos hay ahora en el bote?” a lo que responde simplemente ”cinco” preguntándole

nuevamente “¿Cómo sabes que cinco?” y él contesta “Los fui contando”.

Esta forma de proceder de Oswaldo demuestra que la relación teoría-práctica no se

está dando porque su relación sujeto-conocimiento es irreflexiva y mecánica, pues solo

contesta por intuición a las interrogantes que le hago para conocer la manera en que

procedió y que se justifican por sus características cognitivas, pues es un alumno de

nuevo ingreso con pocas experiencias educativas a diferencia del resto del grupo, por lo

cual le encuentra poco sentido a lo que le estoy proponiendo realizar, creo que no le es

significativo, por ello no da muestras de pensar lo que contesta, mostrándose que él se

encuentra en la primera etapa que Carpenter y Moser caracterizan porque “Los niños no

son capaces de resolver ninguna tarea aditiva correctamente” (Kamii, 1992) es decir en el

trabajo realizado por Oswaldo no se aprecian construcciones que den cuenta de haber

actuado o haber usado el conteo, simplemente representa una cantidad inexplicable de

representaciones que no guardan relación con las mencionadas en el problemas

planteado, por el contrario pareciera no haber comprendido el problema, pues hacerlo

“Implica tener una representación mental adecuada, lo que a su vez, implica poseer una

cantidad suficiente de datos y conceptos” (Baroody, 2000) mismos que no aparecen en la

evidencia de Oswaldo; de igual manera se pone en evidencia que el alumno en esta

situación no dispone de las competencias necesarias para el tratamiento del problema

como Vergnaud señala en los dos tipos de situaciones, por lo que procede a explorar y

hacer tentativas sobre el problema, pero que de alguna manera le ayudarán a

transformar sus esquemas ineficaces de los que dispone.

Por el contrario en otra situación planteada al grupo de tipo relación-transformación-

estado del área aditiva y donde la consigna era “En la pecera tenemos seis caracoles

manzanos y cinco caracoles en espiral, ¿cuántos caracoles hay en la pecera” las acciones

realizadas y plasmadas por este alumno demuestran cambios muy significativos a los

anteriores, demostrándose con ello, que la oportunidad de participar en la resolución de

problemas aditivos permite disponer de estrategias más sofisticadas, pues como se

puede apreciar en su evidencia los cambios son rotundos:

Las transformaciones mostradas por Oswaldo permiten comprobar igualmente la

hipótesis planteada, pues gracias a las variadas experiencias educativas que se le

brindaron sus esquemas se modificaron, al grado de poder representar solo las

cantidades de cada una de las colecciones mencionadas en el problema, además de

enumerarlas mostrándose aquí el sentido que él le otorga al etiquetar cada elemento de

las colecciones con hechos numéricos, destacando la relevancia de brindar

experiencias educativas que le permitan al alumno darse cuenta de que lo que sabe en

algunos momentos es insuficiente, por lo que requiere de abandonar sus

representaciones y esquemas a otros que se ajusten a los nuevos requerimientos. Por

lo que considero necesario que se le continúe posibilitando al alumno de experiencias

donde se vea obligado por una situación a construir nuevas herramientas que le

permitan resolver nuevos problemas, mismos que se verán reflejados en mejoras en

sus competencias matemáticas.

c).-Los problemas de relación de comparaciones aditivas.

Con el propósito de fortalecer la creación de estrategias propias en la resolución de

problemas, les propongo a mis alumnos un problema de tipo relación de comparaciones

aditivas, el cual es de mayor complejidad que los mencionados anteriormente como se

puede apreciar en el siguiente extracto:

M: (Escribí en el pizarrón la tarea) “Rito tiene nueve pesos, Omar tiene cinco pesos más que

Rito, ¿quién tiene más dinero?

Arleth y Araceli: Omar.

T: Omar.

M: La tarea que van a resolver hoy va a ser investigar cuántos pesos tiene Omar, para

poder resolver el problema en aquella mesa ya les puse material que pueden usar, hay

monedas, fichas, hojas y lápices, ¿creen que necesitemos algo más?

A als: No, con esos es suficiente.

Araceli y Viridiana: ...(toman solo lápiz y hoja)… (Registro 7)

Cuando escribo en el pizarrón el problema “Rito tiene nueve pesos, Omar tiene cinco pesos

más que Rito”, lo hago para fomentar la relación contenido-método explicativa, pero en

mi intención de explicar más la tarea a realizar por parte de los alumnos y evitar el error,

les cuestiono “¿quién tiene más dinero?” fomentando la relación sujeto-conocimiento

reflexiva de parte de Arleth y Viridiana, quienes de inmediato responden “Omar” sus

compañeros solo asumen una actitud pasiva pues solo contestan lo ya mencionado por

sus compañeras “Omar” por lo cual decido complementar el planteamiento del problema

diciendo “la tarea que van a resolver hoy va a ser investigar ¿cuántos pesos tiene Omar?,

fortaleciendo con ello que la relación contenido-método sea propositiva, pues el

planteamiento les genera un obstáculo para el cual requieren poner en práctica los

saberes matemáticos de los que disponen, pero sabiendo que por su edad el uso de

material concreto puede apoyarlos en la resolución complemento mi planteamiento

diciéndoles “para poder resolver el problema en aquella mesa ya les puse material que pueden

usar, hay monedas, fichas, hojas y lápices, ¿creen que necesitemos algo más?” estas acciones

fomentan que la relación teoría-práctica sea activa y constructivista, pues ellos

decidirán el material que quieran usar, así como la manera más pertinente que les

ayude llegar a la resolución, pudiendo proceder a construir ambas colecciones con

objetos o de manera gráfica e ir añadiendo a la colección de nueve los cinco más que

Omar tiene o simplemente contar a partir de nueve los cinco pesos más que Omar tiene

sobre los pesos de Rito, pero esto en ningún momento se les sugiere realizar a los

alumnos, por el contrario solo se les deja actuar poniendo a prueba sus conceptos y

teoremas en acto.

Por lo que Arleth y Viridiana proceden a tomar solo hoja y lápiz, demostrando que han

rebasado la segunda etapa en la resolución de problemas según Kamii, (Kamii, 1992)

en la cual las estrategias empleadas consisten en contar objetos representados, lo cual

corresponde a sus acciones al ir por el material propuesto y “tomar solo hoja y lápiz” de

igual manera en la propuesta realizada por Carpenter y Moser ubico a las alumnas en el

tercera etapa pues usan indistintamente varias estrategias de conteo y en esta ocasión

recurren a la estrategia de usar solo hoja y lápiz, pero recurriendo al conteo como

estrategia de solución, aunque con la necesidad de tenerlo plasmado en algo gráfico,

evidenciando que la relación sujeto-conocimiento es activa, con lo cual se comprueba la

hipótesis de las oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición,

favorecen el manejo de estrategias más eficientes y sofisticadas en la resolución de

problemas aditivos.

Lo realizado por Arleth y Viridiana, muestra un grado de avance superior a la de varios

de sus compañeros, por lo que considero de relevancia anexar algunas expresiones de

las alumnas en los siguientes extractos donde se aprecia su proceder:

Arleth:

M:¿Cómo le vas a hacer para resolver el problema?

Arleth: Yo le estoy haciendo los números para no reburujarme.

M: Pero ¿cómo vas a resolver el problema?

Arleth: Le voy a quitar la línea y los voy a contar.

Viridiana:

M: Viridiana tú como resolviste el problema?

Viridiana: Contando, primero dibuje nueve rueditas y luego cinco

M: Y ¿porque primero nueve?

Viridiana: Porque así era y luego dibujé cinco.

M: Y ¿para qué los dibujabas?

Viridiana: Para contarlos juntos.

M: Porque debemos contarlos juntos.

Viridiana: Para saber cuantos son.

M: Si Rito tiene nueve pesos y Omar tiene cinco pesos más que Rito, ¿cuántos pesos tiene

Omar?

Viridiana: Catorce. (Registro 7)

El modo de proceder de las alumnas fue similar, pues actuaron sobre el medio,

representado por el lápiz y la hoja en plasmar las cantidades señaladas en el

problema, logrando identificar que Omar tiene la misma cantidad de pesos que Rito,

pero con la diferencia de que tiene cinco más como se puede apreciar en el intercambio

que realizo con Arleth en el momento de llevar a cabo su estrategia, por lo que inicio

preguntándole “¿cómo le vas a hacer para resolver el problema?”, con esta interrogante

pretendo conocer si tiene definido un proceso a seguir, pues ya se encuentra dibujando

las cantidades de pesos señaladas en el problema, a lo cual ella de inmediato contesta

“Yo le estoy haciendo los números para no reburujarme” haciéndose presente la relación

teoría-práctica reflexiva, pues esta alumna identifica de manera clara el procedimiento

que debe seguir para llegar a la resolución, comprobándose que entre más

oportunidades de interactuar con situaciones didácticas de adición, las estrategias

serán más sofisticadas, como aquí se aprecia, dando cuenta de que Arleth se ha

apropiado de la enumeración como estrategia que le permite evitar errores, pues logra

representar y contar exactamente las cantidades señaladas, evitando añadir o suprimir

algún objeto representado en su hoja, además de recurrir a la cardinalidad mediante el

apoyo de la enumeración, por otra parte en el intercambio verbal que establezco con

Arleth, cuestionándole alguna expresión que dé una lógica sustentada en las acciones

que está realizando en su hoja, para lo cual le pregunto nuevamente “Pero, ¿cómo vas a

resolver el problema?, obteniendo como respuesta la recuperación de sus actos ya

realizados “Le voy a quitar la línea y los voy a contar” de igual manera se promueve la

relación sujeto-conocimiento reflexivo pues identifica las acciones a realizar para lograr

el objetivo propuesto: resolver el problema con sus propios medios, como es visible en

su evidencia en la cual puede observarse que efectivamente entiende el problema y

actúa en consecuencia representando de manera gráfica los pesos que Omar tiene

corresponde a la misma cantidad de pesos que Rito tiene, pero a su vez reconoce que

debe agregar los cinco más de Omar, lo cual representa con una línea, procediendo a

eliminarla al momento de identificar la cantidad total de pesos con los que cuenta Omar

y resolviendo el problema de manera adecuada y exitosa; pudiendo afirmar y consolidar

la tesis de “La comprensión de un problema aritmético consiste en representarse internamente

sus cantidades, las acciones que se ejercen sobre estas cantidades y la equivalencia final entre

las acciones ejercidas y el resultado de las mismas” (Maza, 1995) De acuerdo a esta

expresión queda por demás demostrado que la alumna entendió el problema y actuó en

consecuencia logrando identificar la medida que une a ambas colecciones mediante la

comparación delas cantidades señaladas en el planteamiento.

Por otra parte con la idea de conocer la manera en que Viridiana resolvió el problema

decido hacerla partícipe en el momento de validación de las estrategias empleadas por

los alumnos, para lo cual le pregunto “Viridiana tú como resolviste el problema?” hago esto

para promover una relación sujeto-conocimiento reflexiva, obteniendo una conformación

de la intención al escuchar de la alumna “Contando, primero dibuje nueve rueditas y luego

cinco” con ello se logra la relación teoría-práctica constructivista, pues el objetivo

propuesto se cumple en esta alumna, comprobándose además las hipótesis de que las

oportunidades de interacción con situaciones didácticas de adición permiten

resoluciones más eficientes, así como el de tener nociones matemáticas permiten

resolver problemas, mismas que se pueden apreciar en las siguientes intervenciones de

la alumna al indagarle “¿Por que primero nueve?” al hacer esta interrogante es con la

intención de escuchar alguna justificación de su actuar, para lo cual la alumna responde

“Porque así era y luego dibujé cinco” esa respuesta no explica a sus compañeros el

procedimiento empleado, por lo cual le devuelvo la respuesta con otra pregunta “Y

¿para qué los dibujabas?” para lo cual Viridiana contesta “para contarlos juntos”,

demostrando una actitud reflexiva y crítica al reconocer primeramente que para poder

resolver el problema la representación le permitía simular la realidad, así como el uso

del conteo de igual manera le ayudará a encontrar una respuesta a lo planteado.

Prosiguiendo con el extracto de registro de Viridiana retomo su respuesta para

indagarle el “Porque debemos contarlos juntos” con la idea de promover su estrategia con

los demás alumnos, para lo cual ella responde con una actitud de certeza ”Para saber

cuantos son” entonces aprovecho para plantearle el problema y asegurarme de que sus

acciones son realmente reflexivas y le digo ”Rito tiene nueve pesos y Omar tiene cinco pesos

más que Rito, ¿cuántos pesos tiene Omar?” obteniendo de parte de la alumna una

respuesta correcta y una actitud de seguridad al afirmar simplemente “Catorce”,

mismas acciones que pueden corroborarse en su evidencia, en la cual se aprecia que

procedió primeramente a representar la realidad, es decir la alumna comprendió que

Omar tiene la misma cantidad de pesos que rito, pero que además tiene cinco pesos

más que Rito, por lo cual dibuja primero nueve pesos coloreándolos y enumerándolos,

continuando a separar con una línea el resto de pesos, con esto interpreto que la

alumna hace una separación de las cantidades para poder entender la comparación

que guarda esa cantidad, por lo cual las enumera continuando el orden de la serie

numérica, haciéndolo hasta el catorce y finalmente esa es la respuesta que escribe

resaltándolo con otro color, como se aprecia en su evidencia de trabajo:

En la puesta en práctica de los diferentes planteamientos de este tipo de problemas

aditivos las dificultades de algunos alumnos coinciden con las observadas por Fátima

como se aprecia en el siguiente extracto de registro,

M: ¿Cómo hizo su trabajo? Fátima, si Rito tiene nueve pesos y Omar tiene cinco pesos

más que Omar, ¿cuántos pesos tiene Omar?

Fátima: Cinco, no diez

M: ¿Qué hiciste para resolver el problema?

Fátima: Contar las fichas

M: ¿Cuántas fichas contaste?

Fátima: Tres

M: ¿Por qué contaste tres?

Fátima: Cuatro

M: Si solo tiene tres pesos ¿por qué dibujabas tantos en tu hoja?

Fátima: (no contesta)

(Registro 7)

Como en el caso anterior, las aportaciones de la alumna se realizan en el momento de

la validación, por tal motivo las participaciones son en base a los cuestionamientos que

le planteo para conocer su manera de proceder y en consecuencia serán aceptadas o

rechazadas de manera posterior por sus compañeros. Para promover la relación sujeto-

conocimiento explicativa inicio este intercambio diciéndole a Fátima “¿Cómo hizo su

trabajo? Fátima, si Rito tiene nueve pesos y Omar tiene cinco pesos más que Omar, ¿cuántos

pesos tiene Omar?” obteniendo como respuesta “Cinco, ¡no diez!”, evidenciándose una

relación teoría-práctica irreflexiva por no actuar de manera consciente sobre los datos

proporcionados, solo inventar una respuesta que no guarda relación con el problema y

titubear al dar una afirmación, por lo cual le cuestiono: “¿Qué hiciste para resolver el

problema?”, respondiendo con seguridad al afirmar “Contar las fichas” para asegurarme

de lo expresado le devuelvo la pregunta al decirle “¿Cuántas fichas contaste?” obteniendo

nuevamente una respuesta impulsiva e irreflexiva “Tres” evidenciando con ello que la

relación contenido-método no le permitió actuar sobre el problema, pues no fue

comprendido para actuar en consecuencia, lo que me permite devolverle la pregunta al

decirle: “¿Por qué contaste tres?” Interrogante que de igual manera le lanzo para hacerla

reflexionar sobre lo que expresa y lo mostrado en su evidencia, pero Fátima reacciona

de manera contraria contestando: “cuatro”, lo que provoca que tome una actitud

abrumadora y le cuestiono nuevamente “Si solo tiene tres pesos, ¿por qué dibujabas tantos

en tu hoja?” lo que ocasiona que la alumna no conteste, comprobándose la hipótesis de

que los alumnos que no disponen de nociones matemáticas no logran resolver ni actuar

sobre problemas aditivos, aun contando con material concreto, esto se aprecia de

manera clara cuando la alumna no pone a disposición de las competencias necesarias

para resolver este tipo de problemas, manifestados en los argumentos manifestados, de

igual manera me permiten comprobar que los esquemas perceptivo-gestuales que la

alumna dispone no le permiten comprender el problema, de igual manera le impiden

realizar el conteo de manera correcta y la representación gráfica de las colecciones

mencionadas en el problema; esto se puede apreciar en su evidencia de trabajo, la cual

muestra el haber representado los pesos de Omar, sin haber hecho uso del conteo,

pues lo expresado no demuestra haber representado el problema, solo se aprecian

dibujos sin delimitar ninguna colección, como puede verse en la evidencia siguiente:

El trabajo realizado por la alumna demuestra que la relación contenido-método superó

sus concepciones al exigirle más de lo que sus saberes le permiten accionar, pues sus

representaciones dan muestra de ello al no coincidir primeramente las colecciones

mencionadas, como tampoco se aprecia el que haya etiquetado los dibujos realizados,

sin embargo a lo largo de las aplicaciones sus representaciones se fueron modificando,

de ser representaciones sin relación de cantidad, ahora en un nuevo problema “en la

pecera tenemos seis caracoles manzanos y cinco en espiral, ¿cuántos caracoles

tenemos en total en la pecera?” se aprecia el hacer uso del conteo al encerra una

colección mencionada en el problema y colorearla, simulando los caracoles en espiral,

continúa dibujando la colección de seis caracoles manzanos, pero debido a sus

dificultades al contar, dibuja un elemento más y procede nuevamente a encerrarlos y

finalmente comineza a dibujar más caracoles simulando el total , pero no concluye su

trabajo como puede observase en su evidencia:

Como puede apreciarse la transfromación de los saberes de la alumna se modificarón

de manera gradual, debido a participar en experiencias de aprendizaje que le obligarán

a modificar sus esquemas mediante el planteamiento de problemas que le implicaron

retos cognitivos, a pesar de lo planeado, las dificultades son evidentes, require de

fortalecer el conteo y ello solo lo logrará en la medida en que haga uso de él, por lo cual

considero de vital importancia que se le sigan proporcionado las oportunidades

suficientes que le ayuden a consolidar esta noción, así como continuar trabajando con

el apoyo de materiales concretos en los futuros espacios educativos donde la alumna

se encuentre.