Un viaje por la historia de las matemáticas en China

Fueron varios los factores que condujeron a que durante un largo período de tiempo el desarrollo de las matemáticas en China fuera independiente al de otras civilizaciones. Su particular orografía, con mares y montañas como fronteras naturales, aislaba al país. Por otra parte, cuando China era invadida, la cultura de los invasores extranjeros resultaba asimilada y no sucedía a la inversa. La consecuencia fue un continuo y aislado desarrollo cultural en China desde el año 1000 a.C. Resulta fascinante seguir el rumbo de las matemáticas dentro de esa civilización. Encontraremos varios períodos de rápido avance, ciertos períodos en los que se mantuvo un cierto nivel y algunos otros de declive.

Lo primero que debemos entender sobre las antiguas matemáticas chinas es el modo en el que éstas se diferencian de las matemáticas griegas. Al contrario que en las matemáticas helenas, no hay desarrollo axiomático. El concepto chino de prueba matemática es radicalmente diferente al de los griegos; aunque no por ello debe menospreciarse. Más bien tenemos que maravillarnos por su acercamiento y por los resultados a los que condujo.

La matemática china era, al igual que su lengua, extremadamente concisa. Estaba basada en problemas; motivada por problemas en el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. Alrededor del siglo IV a.C. se empleaban los ábacos para calcular, lo que significa que se usaba un sistema numérico decimal. Merece la pena destacar que los ábacos son únicamente chinos y no parecen haber sido utilizados por ninguna otra civilización.

Nuestro conocimiento de las matemáticas chinas antes del 100 a.C. es muy limitado a pesar del descubrimiento en 1984 del Suan shu shu (Un libro de aritmética), un texto fechado en los alrededores del año 180 a.C. Está escrito en tiras de bambú y se encontró cerca de Jiangling, en la provincia de Hubei. Los siguientes libros en importancia de los que tenemos conocimiento son el trabajo de dieciséis capítulos Suanshu (Recetas de conteo) escrito por Du Zhong y el texto de veintiséis capítulos Xu Shang suanshu (Recetas de conteo de Xu Shang) escrito por Xu Shang. Ninguno de ellos ha sobrevivido y poco sabemos de su contenido. El texto más antiguo que se conserva en su totalidad es el Zhoubi suanjing (Manual de relojes de Sol de Zhou) compilado entre los años 100 a.C. y 100 d.C. (ver el artículo sobre los Diez clásicos). Es un texto de astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes utilizando relojes de Sol llamados también gnomones, pero contiene importantes secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza de las matemáticas chinas en este período (ver por ejemplo [2]): El método de cálculo es muy simple de explicar pero tiene una amplia aplicación. Esto es porque una persona gana conocimiento mediante la analogía, esto es: tras la comprensión de una línea particular de argumentación se pueden inferir varios tipos de razonamientos similares ... Cualquiera puede inferir sobre otros casos para generalizar ... en realidad sabe como calcular ... ser capaz de deducir y después generalizar ... es la marca que identifica a una persona inteligente. El Zhoubi suanjing contiene una descripción de la regla de Gougu (la versión china del Teorema de Pitágoras) y la aplica a la vigilancia, astronomía, y otras materias. Aunque es ampliamente aceptado que el trabajo contiene una prueba del Teorema de Pitágoras, Cullen en [3] lo discute, afirmando que esta creencia se basa en un error de traducción de Needham en [13].

De hecho, gran parte de las matemáticas chinas de este período proceden de la

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necesidad de calcular el calendario y predecir las posiciones de los cuerpos celestes. La palabra china choren se refiere tanto a matemáticos como a astrónomos mostrando la cercanía que había entre las dos áreas. Un primitivo choren fue Luoxia Hong (aproximadamente entre el 130 a. de C. y el 70 a. de C.) que creó un calendario basado en un ciclo de 19 años.

El libro chino sobre matemáticas más famoso de todos los tiempos es el Jiuzhang suanshu o, como se le llama de forma común: Nueve capítulos del arte matemático. El libro contiene contribuciones matemáticas añadidas durante un largo período y queda poco del texto original como para poder identificar a que época pertenece cada una de ellas. Este importante trabajo que dominó el desarrollo matemático y su estilo durante 1500 años lo discutiremos en el artículo Nueve capítulos del arte matemático. Muchos desarrollos posteriores se hicieron mediante comentarios a este texto; uno de los primeros, perdido en la actualidad, fue el de Xu Yue (alrededor del 160 - alrededor del 227).

Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280) hizo un importante avance matemático en un comentario al Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático alrededor del 263. Dong y Yao escriben [24]: Liu Hui, gran matemático de la dinastía Wei Jin Dynasty, apareció en una época de teorización matemática en la antigua China, y contribuyó de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el 'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hábil uso del pensamiento en imágenes al igual que en forma lógica y dialéctica. Resolvió muchos problemas matemáticos, llevando su razonamiento matemático más allá de la dialéctica. Liu Hui proporcionó un acercamiento más matemático que los textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus cálculos. Encontró aproximaciones al uso de polígonos regulares con 3 × 2n lados inscritos en un círculo. Su mejor aproximación de lo que era 3,14159 la obtuvo de un polígono regular de 3072 lados. Está claro que comprendía el proceso iterativo y la noción de límite. Liu escribió también Haidao suanjing o Manual de matemáticas de la isla marina (ver el artículo en Diez clásicos) que fue originariamente un apéndice a su comentario al capítulo 9 de los Nueve capítulos del arte matemático. En él, Liu emplea el Teorema de Pitágoras para calcular la altura de objetos y la distancia a esos objetos que no se pueden medir directamente. Este fue uno de los principales temas de las matemáticas chinas.

Unos cincuenta años después de las importantes contribuciones de Liu, se hizo un importante avance en el campo de la astronomía cuando Yu Xi descubrió la precisión de los equinoccios. En matemáticas pasó tiempo antes de que los matemáticos consiguieran superar la profundidad conseguida por Liu Hui. Por ejemplo, Sun Zi (alrededor del 400 - alrededor del 460) escribió su manual matemático, Sunzi suanjing que realmente incluía pocas novedades. Sin embargo contiene un problema resuelto mediante el teorema chino del residuo, conocido como la más temprana ocurrencia de este tipo de problema.

Este texto de Sun Zi fue el primero de una serie en los siguientes doscientos años que hicieron un importante número de contribuciones. Xiahou Yang (alrededor del 400 - alrededor del 470) se supone fue el autor del Xiahou Yang suanjing (Manual matemático de Xiahou Yang) que contiene representaciones de números en notación decimal usando potencias de diez positivas y negativas. Zhang Qiujian (alrededor del 430 - alrededor del 490) escribió su texto matemático Zhang Qiujian suanjing (Manual matemático de Zhang Qiujian) en algún momento entre el 468 y el 486. Sus 92 problemas ilustran la fórmula para sumar una progresión aritmética. Su fama viene de presentar el problema 'de las cien gallinas', un problema indeterminado con tres soluciones no triviales.

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Uno de los avances más significativos vino de Zu Chongzhi (429-501) y de su hijo Zu Geng (alrededor del 450 - alrededor del 520). Zu Chongzhi fue un astrónomo que hizo observaciones precisas que utilizó para crear un nuevo calendario, el Tam-ing (Calendario de la gran luz), basado en un ciclo de 391 años. Escribió el Zhui shu (Método de interpolación) en el que demostró que 3,1415926 < p < 3,1415927. Recomendó utilizar 355/113 como buena aproximación y 22/7 en un trabajo menos exacto. Con su hijo Zu Geng calculó la fórmula para el volumen de la esfera usando el Principio de Cavalieri (ver [25]). Los comienzos del álgebra china se ven en el trabajo de Wang Xiaotong (alrededor del 580 - alrededor del 640). Escribió el Jigu suanjing (Continuación de las matemáticas antiguas), un texto con 20 problemas que más tarde se convertiría en uno de los Diez clásicos. Resolvía ecuaciones cúbicas extendiendo un algoritmo para encontrar raíces al cubo. Su trabajo es considerado como un primer paso hacia el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' de Li Zhi para cálculos con polinómios.

La interpolación fue una herramienta muy importante en astronomía y Liu Zhuo (544-610) fue un astrónomo que introdujo la interpolación cuadrática con un método de diferencia de segundo orden. La astronomía china no era totalmente independiente de los desarrollos que tenían lugar en India y las matemáticas también se veían influidas en cierta medida por los trabajos matemáticos indios, ya que algunos fueron traducidos al chino. Hoy en día los historiadores discuten sobre la influencia de las matemáticas indias, árabes e islámicas sobre la China. Es fácil decir que su influencia fue menor de la que debía haber sido, ya que los chinos parecían tener pocos deseos en aceptar otros acercamientos a las matemáticas. La trigonometría temprana era descrita en algunos textos indios que fueron traducidos y también hubo algo de desarrollo de trigonometría en China. Por ejemplo Yi Xing (683-727) creó una tabla de tangentes.

Desde el siglo VI las matemáticas se enseñaban como parte del curso para convertirse en funcionario. Li Chunfeng (602 - 670) fue recomendado como editor jefe para una colección de tratados matemáticos que se usarían para ese curso, muchos de ellos ya los hemos mencionado antes. La colección hoy día se denomina los Diez clásicos, un nombre que se le dio en 1084.

El período entre los siglos X al XII vio pocos avances y no se conserva ningún trabajo matemático de la época. Sin embargo Jia Xian (alrededor del 1010 - alrededor del 1070) hizo algunas contribuciones importantes que sólo conocemos a través de los textos de Yang Hui, ya que sus escritos se han perdido. Mejoró métodos para encontrar raíces cuadradas y cúbicas, y extendió el método a la solución numérica de ecuaciones polinómicas calculando potencias de sumas utilizando coeficientes de binomios construidos con el triángulo de Pascal. Aunque Shen Kua (1031 - 1095) hizo pocas contribuciones a las matemáticas, produjo importantes resultados en muchas áreas y es visto como el primer científico. Escribió el Meng ch'i pi t'an (Charlas del libro de los sueños) que contiene muchas observaciones científicas acertadas.

El siguiente gran avance matemático fue el de Qin Jiushao (1202 - 1261) que escribió el famoso tratado Shushu Jiuzhang (Tratado matemático en nueve secciones) que apareció en 1247. Fue el primero de los grandes matemáticos chinos del siglo XIII. Durante este período las matemáticas alcanzaran nuevas cimas. El tratado contiene un gran trabajo del teorema chino de los restos, proporciona una ecuación cuyos coeficientes son variables y, entre otros resultados, la formula de Heron para el área del triángulo. Las ecuaciones de hasta grado diez son resueltas mediante el método Ruffini-Horner.

Li Zhi (llamado también Li Yeh) (1192-1279) fue el siguiente de los grandes

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matemáticos del siglo XIII. Su trabajo más famoso es el Ce yuan hai ping (Espejo marino de medidas del círculo). Escrito en 1248 contiene el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste', un método para trabajar con ecuaciones polinómicas. También escribió el Yi gu yan duan (Nuevos pasos en conteo) en 1259, un trabajo más elemental que contiene problemas geométricos resueltos mediante el álgebra. La siguiente gran figura de esta era dorada de la matemática china fue Yang Hui (alrededor del 1238 - alrededor del 1298). Escribió el Xiangjie jiuzhang suanfa (Análisis detallado de las reglas matemáticas en nueve capítulos y sus reclasificaciones) en 1261, y sus otros trabajos se recogen en el Yang Hui suanfa (Método de conteo de Yang Hui) aparecido en 1275. Describió la multiplicación, la división, la extracción de raíces, las ecuaciones cuadráticas y simultáneas, las series, el cálculo de áreas de un rectángulo, un trapecio, un círculo, y otras figuras. También proporcionó una maravillosa cantidad de cuadrados y círculos mágicos.

Guo Shoujing (1231-1316), aunque no incluido habitualmente entre los grandes matemáticos del siglo XIII, hizo también importantes contribuciones. Creó el Shou shi li (Calendario de días y trabajos), trabajó en trigonometría esférica y resolvió ecuaciones empleando el método numérico de Ruffini-Horner. También desarrolló una fórmula de interpolación cúbica para tabular la diferencia acumulada como en el método de interpolación de Newton.

El último de los matemáticos de esta era dorada fue Zhu Shijie (alrededor del 1260 - alrededor del 1320), escribió el Suanxue qimeng (Introducción a los estudios matemáticos) publicado en 1299, y el Siyuan yujian (Reflexiones verdaderas de los cuatro desconocidos) publicado en 1303. Usó una extensión del 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' para manejar polinomios con hasta cuatro incógnitas. También produjo muchos resultados en las sumas de series. Esto representa el punto más álgido en las matemáticas de la antigua China.

El declive de las matemáticas chinas a partir del siglo XIV no resultó especialmente dramático. Los Nueve capítulos del arte matemático continuaron como modelo para la enseñanza matemática y continuaron apareciendo nuevos trabajos basados es ese texto. Por ejemplo Ding Ju publicó el Ding ju suan fa (Métodos aritméticos de Ding Ju) en 1355, He Pingzi publicó el Xiangming suan fa (Explicaciones de aritmética) en 1373, Liu Shilong publicó el Jiu zhang tong ming suanfa (Métodos de calculo en los Nueve capítulos) en 1424, y Wu Jing publicó el Jiu zhang suan fa bi lei da quan (Descripción completa de los Nueve capítulos) en 1450. Wu Jing era un administrador en la provincia de Zhejing y su enciclopedia aritmética contenía los 246 problemas de los Nueve capítulos. De nuevo Cheng Dawei (1533 - 1606) publicó el Suanfa tong zong (Fuente general de métodos de conteo) en 1592 escrito en el estilo de los Nueve capítulos del arte matemático pero con una colección de problema ampliada hasta los 595.

Los libros que acabamos de citar muestran actividad matemática, pero no nos llevan más que hasta los métodos de álgebra polinómica. Por el contrario, los importantes trabajos del siglo XIII dejaron de ser comprendidos y desarrollados. Xu Guangqi (1562 - 1633) lo reconoció y ofreció explicaciones posibles incluyendo la de que los estudiosos dejaron de utilizar herramientas de cálculo y una identificación de las matemáticas con la numerología mística durante la dinastía Ming. Otros factores podrían ser que los libros que describen los métodos avanzados fueron, en la tradición China, muy concisos y sin profesores que transmitieran el conocimiento se convirtieron en algo cada vez más complicado para que los alumnos aprendieran solos directamente de ellos. Xu Guangqi fue el primer nativo de China que publicó traducciones de libros europeos en chino. Colaborando con Matteo Ricci tradujo libros occidentales sobre matemáticas, hidráulica y geografía. Esto no marcó el final de las matemáticas chinas

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pero desde esta época, con Matteo Ricci y otros misioneros occidentales, China comenzó a estar muy influenciada por otras tradiciones matemáticas.

Resulta imposible en un único artículo de esta longitud mencionar las muchas contribuciones desde este período en adelante. Mencionemos sin embargo una importante familia: Mei. Su miembro más famoso fue Mei Wending (1633-1721) y su comentario sobre la sección dorada es típico de la sensible actitud que tomó hacia las matemáticas occidentales (ver por ejemplo [9]): Tras entender cómo usar la proporción dorada, comencé a creer que los diferentes métodos geométricos podrían comprenderse y que ni la actitud de los misioneros de considerar esta simple técnica como un don divino, ni la actitud china de rechazarlo eran las correctas.Mei escogió no aceptar un puesto en la administración como hicieron la mayor parte de los matemáticos, sino que se dedicó en cuerpo y alma a las matemáticas y a su enseñanza. Viajó por toda China y obtuvo fama induciendo a mucha gente a convertirse en sus pupilos. Dos de sus hermanos, Mei Wenmi y Mei Wennai, continuaron la tradición trabajando en astronomía y matemáticas. Mei Wending fue ayudado en su madurez por su hijo Mei Yiyan. Mei Juecheng (1681-1763), el nieto de Mei Wending, se convirtió a petición del emperador Kangxi en 1705 editor de la mayor enciclopedia Shuli jingyun (Recopilación de principios básicos de matemáticas) (1723). Mei Juecheng también editó el trabajo de su abuelo Mei Wending en el Meishi congshu jiyao (Recopilación de trabajos de la familia Mei) en 1761.

A partir del siglo XVIII en adelante algunos estudiosos realizaron un excelente trabajo en mantener viva la tradición china para que fuera accesible en el futuro. Por ejemplo Dai Zhen (1724 - 1777) se convirtió en el editor del Siku quanshu (Biblioteca completa de las cuatro ramas de la literatura), un proyecto del emperador Qianlong en 1773. Editó los Nueve capítulos del arte matemático como parte de ese proyecto. Ruan Yuan (1764 - 1849) produjo su famoso trabajo Chouren zhuan de biografías de astrónomos y matemáticos incluyendo las biografías de 275 'matemáticos' chinos y 41 'matemáticos' occidentales. Muchos de los detalles biográficos de los matemáticos chinos citados en este artículo se conocen gracias a este trabajo. Li Rui (1768 - 1817) ayudó a Ruan Yuan. Fue un incansable matemático que murió cuando estaba en el punto más alto de sus habilidades. Su trabajo más importante es el Lishi suan xue yi shu (Recopilación de trabajos matemáticos de Li Rui).

Fueron los matemáticos chinos los que no permitieron que su tradición fuera reemplazada por la matemática occidental. Por ejemplo Li Shanlan (1811-1882) fue un importante traductor de libros de ciencia occidentales, pero es más conocido por sus propias contribuciones matemáticas. Produjo sus propias versiones de logaritmos, series infinitas y combinatorias que no seguían el estilo de las matemáticas occidentales sino que estaban basadas en los fundamentos de las matemáticas chinas. Hubo muchos más esfuerzos para promover las matemáticas chinas y en particular un diario matemático, el Suanxue bao, inició su andadura en 1899. Sus editores escribieron: Los métodos occidentales no deberían ser adulados y los chinos despreciados.Los matemáticos occidentales comenzaron a enseñar en China a comienzos del siglo XX. Por ejemplo Knopp lo hizo entre 1910 y 1917 y Turnbull entre 1911 y 1915. Los estudiantes chinos comenzaron a estudiar matemáticas en el extranjero y en 1917 Minfu Tah Hu obtuvo su doctorado en Harvard. China fue representada por primera vez en el Congreso internacional de matemáticos de Zürich en 1932. La Sociedad matemática China se fundó en 1935

Biografía de Tycho Brahe

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Nacido: 14 Dic 1546 en Knudstrup, Dinamarca Muerto: 24 Oct 1601 en Praga, Bohemia (ahora República Checa)

Tycho Brahe fue bautizado Tyge por sus padres Beate Bille y Otte Brahe. Es ahora conocido como Tycho ya que es la versión latinizada de su nombre que él adoptó cuando tenía unos quince años. Por simplificar usaremos el nombre Tycho a lo largo de esta biografía. Otte Brahe, el padre de Tycho, procedía de la nobleza danesa y era un hombre importante entre el grupo más cercano de adictos al rey danés. Beate Bille, la madre de Tycho, también venía de una importante familia que había producido importantes eclesiásticos y políticos. Tycho fue uno de dos gemelos, pero su gemelo murió poco después de nacer. Sus padres ya tenían una hija anterior pero Tycho fue su primer hijo varón.

He aquí una imagen de su lugar de nacimiento.

Un extraño episodio ocurrió cuando Tycho tenía dos años. Su tío, Jorgen Brahe (en palabras del mismo Tycho, ver por ejemplo [5]):

... sin el conocimiento de mis padres me llevó con él mientras estaba en mi primera juventud.

Fue un extraño episodio ya que no parece causar disputas familiares ni hizo que sus padres intentasen recuperarlo. Jorgen Brahe, y su mujer Inger Oxe no tenían hijos propios, y actuaron como padres adoptivos para Tycho hasta la muerte de Jorgen. Brahe, como su hermano Otte Brahe, fue un noble principal danés mientras que Inger Oxe era la hermana de Peder Oxe que fue miembro de los Rigsraads, el consejo de gobierno compuesto de 20 consejeros del Rey. De hecho Tycho se benefició mucho en el aspecto educacional de su madre adoptiva Inger Oxe que tenía inquietudes intelectuales como otros miembros de su familia, mientras que los Brahes y los Billes tenían poco tiempo para pretensiones educativas.

Jorgen Brahe mandaba el castillo de Tostrup, y fue en ese castillo donde vivió Tycho desde que fue llevado por Jorgen hasta que tuvo seis años. No deberíamos dar la impresión de que no viajo durante este tiempo, ya que sus padres tenían muchas obligaciones administrativas que les llevaban fuera y es posible que Tycho a veces fuese con uno de ellos. En 1552 se dio a Jorgen el mando del Castillo de Vordinborg, lo que era un ascenso a un cargo más importante. Aproximadamente un año después de que Tycho se mudase a Vordingborg con sus padres adoptivos comenzó a asistir a la escuela, casi con certeza asistiendo a la que estaba anexa a la catedral local. Aunque el padre de Tycho Otte consideraba que aprender latín era una pérdida de tiempo, sus padres adoptivos eran mucho más proclives a que él recibiera este tipo de educación. Tycho asistió a esta escuela hasta que tuvo doce años, y

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después comenzó sus estudios universitarios.

El 19 de Abril de 1559 Tycho comenzó sus estudios en la Universidad de Copenhague. Allí, siguiendo los deseos de su tío, estudio derecho pero también estudió una variedad de otras materias y se interesó en la astronomía. Fue, sin embargo, el eclipse que ocurrió el 21 de Agosto de 1560, particularmente el hecho de que había sido predicho, lo que le impresionó tanto que empezó a hacer sus propios estudios de astronomía ayudado por algunos de los profesores. Compró unas efemérides y libros como el Tractatus de Sphaera de Sacrobosco, el Cosmographia seu descriptio totius orbis de Apiano y el De triangulis omnimodis de Regiomontano.

Sus padres adoptivos decidieron que ganaría experiencia en el extranjero y en Febrero de 1562 partió con un compañero de viaje para ir a la Universidad de Leipzig. La astronomía no fue parte oficial de sus estudios, éstos fueron lenguas clásicas y cultura, pero él había traído sus libros de astronomía con él junto con los mapas de las constelaciones de Durero. Comenzó a hacer observaciones y sobre Agosto de 1563, mientras permanecía en la Universidad de Leipzig, comenzó a llevar un registro de estas observaciones. La segunda observación que registró fue una conjunción de Júpiter y Saturno que se probó significativa para la carrera posterior de Tycho. Ni las tablas basadas en Copérnico ni las de Tolomeo daban la fecha correcta para la conjunción, las de Tolomeo equivocándose en casi un mes e incluso las de Copérnico en varios días. Tycho, con la confianza de alguien que aun no tenía los 17, pensó que él podría hacerlo mejor – ¡y más tarde se probó a si mismo que estaba en lo cierto!.

Tycho estudiaba ahora astronomía con Bartholomew Schultz en Leipzig quien le enseñó algunos trucos para obtener observaciones más precisas. Tycho regresó a casa en Mayo de 1565 y en los meses siguientes su tío Jorgen entregó su vida rescatando al rey. Su padre, que ahora mandaba el Castillo de Helsingborg, y su madre asumieron la responsabilidad del joven que aún tenía menos de dieciocho. En 1566 salió en sus viajes de nuevo, visitando primero la universidad de Wittenberg y después la de Rostock. Mientras estaba en Rostock se vio implicado en una disputa con otro estudiante danés y en el duelo resultante Tycho perdió parte de su nariz. Una consecuencia de esto fue que Tycho desarrolló el interés por la medicina y la alquimia.

Tras su regreso a casa en Abril de 1567 se hizo con una nariz artificial hecha de plata y oro. Estuvo, sin embargo, desfigurado de por vida y sus retratos muestran le mutilación que fue casi con certeza peor de lo que reflejaron los artistas. El padre de Tycho estaba ansioso de que él emprendiera con rapidez una carrera política pero de algún modo Tycho persuadió a su padre para que le permitiese hacer otro viaje al extranjero. En primer lugar volvió a visitar Rostock, después fue a Basel, Freibug, y Augsburg.

Tycho había estado trabajando en instrumentos mejorados para la observación durante un tiempo, pero cuando estaba en Augsburg diseñó alguno de su propiedad y logró obtener un patrón para financiar el coste de un nuevo instrumento mayor. En aproximadamente un mes él tenía un gran cuadrante construido y levantado en la finca de su patrón a las afueras de la ciudad. Era muy preciso pero era tan masivo que requería muchos sirvientes para alinearlo por lo que sólo podía hacerse una observación cada noche. Peter Ramus estuvo también en

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una visita a Alemania y mientras estuvo en Augsburg supo del enorme cuadrante de Tycho asistiendo a reuniones en las que ambos se enzarzaban en profundas discusiones astronómicas. Tycho comenzó a construir otro instrumento, esta vez un gran globo celeste hecho de madera.

Al recibir noticias de que su padre estaba enfermo, Tycho regresó a casa durante los últimos días de 1570. Su padre murió en Mayo de 1571 y poco después, con la ayuda de su tío Steen Bille, Tycho comenzó a construir un observatorio en la Abadía de Herrevad. También construyeron un laboratorio de alquimia allí ya que la alquimia se estaba convirtiendo en un interés principal para Tycho. En 1572 se encontró con Kirsten Jorgensdatter, una chica de su ciudad natal de Knudstrup, pero dado que ella era una plebeya y él un noble, no pudieron casarse legalmente. Kirsten vivió con él, sin embargo, como su esposa en el derecho común. El año 1572 fue significativo para Tycho en otro aspecto como describe Field [15]:

El 11 de Noviembre de 1572, se asomó a la oscuridad de las primeras horas de la noche, tras una larga sesión de experimentación alquímica, y su primera mirada al cielo le mostró una estrella extra en la constelación de Casiopea, casi directamente sobre su cabeza. Instantáneamente llamó a su químico ayudante para confirmar que la estrella estaba realmente allí. Él no fue el primero en ver la nueva estrella (una supernova) pero sus observaciones de ésta (publicadas en 1574) hicieron mucho para probar más allá de toda duda razonable que la estrella realmente pertenecía al firmamento y no era simplemente un fenómeno local en el mundo sublunar (como se creía generalmente que eran los cometas). La estrella es conocida actualmente como la 'supernova de Tycho'. Esto devolvió el interés de Tycho hacia la astronomía.

Comenzando en Septiembre de 1574 Tycho dio clases de astronomía en la Universidad de Copenhague pero lo dejó en la primavera siguiente cuando recibió un ingreso anual de la hacienda de su padre. Se embarco en otro viaje al extranjero, visitando en primer lugar Kassel. El Landgrave Guillermo IV de Hessen-Kassel había fundado un observatorio en Kassel unos 15 años antes y Tycho estaba muy impresionado por los métodos usados allí. El diseño de su propio observatorio estaría influenciado por el de Kassel y Tycho se escribió frecuentemente con el Landgrave; ver [21] para más detalles de su relación y correspondencia.

Al partir de Kassel, Tycho visitó Frankfurt, Basel y finalmente Venecia antes de regresar a Dinamarca a finales de 1575. Por esta época él había tomado la decisión de abandonar Dinamarca y asentarse en Bassel, pero el rey Federico de Dinamarca no iba a perder a su más eminente científico con facilidad por lo que hizo ofertas a Tycho para tentarlo a construir un observatorio en Dinamarca. Tras algunas ofertas que Tycho no encontró atractivas, el rey le ofreció a Tycho la isla de Hven (llamada hoy Ven) [15]:

Con ayuda financiera del Rey de Dinamarca, procedió a instalar un observatorio, en la isla de Hven en el estrecho de Copenhague. El observatorio, llamado Uraniborg, estaba equipado con instrumentos excepcionalmente grandes y precisos (y con un laboratorio de alquimia en su base). En Uraniborg Tycho hizo veinte valiosos años de observaciones astronómicas.

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Este es el dibujo de Tycho del edificio principal de Uraniborg, tomado de su Astronomiae instauratae mechanica (1598). Aquí está su plano de los jardines, del mismo trabajo, con el edificio principal en el centro y las casas de los sirvientes, un estudio de imprenta, y otros edificios justo en el interior de los muros exteriores. Deberíamos destacar que el diseño de Tycho estuvo influenciado por los edificios que había visto en Venecia, y fue también construido en una forma altamente geométrica.

Uno de los acontecimientos astronómicos más emocionantes que Tycho observó desde Uraniborg fue un cometa que divisó por primera vez el 13 de Noviembre de 1577. Él publicó su narración en De mundi aetherei recentioribus phaenomenis (1588) en el que extrae conclusiones cosmológicas a partir del hecho de que sus mediciones muestran que el cometa no está más cerca de la Tierra que de la Luna, en contradicción con el modelo del cosmos de Aristóteles. A partir de sus observaciones Tycho fue capaz de demostrar que el cometa estaba con certeza más allá de Venus.

En 1584, con el observatorio de Uraniborg ahora demasiado pequeño para albergar todos sus instrumentos, Tycho construyó un sengundo llamado Stjerneborg adyacente a Uraniborg. Esta fue la época en la que Tycho estuvo más activo en la producción de instrumentos importantes. Thoren escribe [32]:

A causa del número y variedad de instrumentos fabricados y descritos por Tycho, los comentaristas anteriores han dado por hecho que él fabricaba instrumentos con el único propósito de mantener a sus artesanos ocupados. En efecto, sin embargo, su construcción puede ser rastreada en sus registros y racionalizada como varias series de experimentos que sólo produjeron sus mejores instrumentos a mediados de los 1580s El proceso de diez años tuvo considerables consecuencias para el progreso de la obra teórica de Tycho durante su vida. Esto también ha oscurecido la comprensión histórica de la precisión de sus instrumentos. Maeyama destaca en [22]:

el maravilloso acuerdo entre la descripción y la práctica de las observaciones de Tycho.

Wesley, en [38] y [39], hace un cuidadoso estudio de la precisión de las observaciones de Tycho. Swerdlow, repasando [38] escribe:

Los resultados del estudio son interesantes, y nos hablan bien de la precisión de los instrumentos de Tycho. Los probados son el cuadrante mural, el cuadrante giratorio de madera, el cuadrante giratorio de acero, el sextante astronómico, y la esfera armilar ecuatorial, ésta última que mide las declinaciones directamente. Además de periodos ocasionales cuando uno u otro instrumento estaban claramente desajustados – como, por cierto, sólo un estudio de este tipo puede mostrar – las observaciones tienen errores que caen en su mayor parte entre 0.5' y 1.0', es decir, aproximadamente la precisión del estándar usado para su comparación. Así, como fue también el caso en el anterior estudio de las estrellas fijas, la creencia de Kepler de que las observaciones de Tycho podían ser fiables como mejores de dos minutos está ampliamente confirmada.

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Entre sus muchos descubrimientos Tycho encontró que la oblicuidad de la elíptica ha disminuido desde la época de Tolomeo pero, como se explica en [24], obtuvo un valor incorrecto debido a los errores de Tolomeo.

Tycho es quizá más conocido hoy por su teoría del sistema solar que está basada en una Tierra estacionaria alrededor de la cual giran el Sol y la Luna. Los otros planetas, de acuerdo con la teoría de Tycho, giran alrededor del Sol. De hecho en sus días de juventud Tycho había sido convencido por el modelo centrado en el Sol de Copérnico pero su firme creencia de que la teoría debe estar apoyada por la prueba experimental le alejó de ella. El problema era, por supuesto que en el modelo centrado en el Sol de Copérnico se observaría un cambio de paralaje pero a pesar de sus intentos de medir dicho cambio, Tycho no pudo detectar ninguno. Había dos posibilidades para explicar esto: o bien la Tierra estaba fija, o la escala del universo era increíblemente grande. Hoy día sabemos que es la segunda la que es correcta, y que la escala es tal que Tycho no habría tenido esperanzas de medir el paralaje con sus instrumentos.

La primera medición del paralaje de una estrella fue en 1838 por Bessel que halló 0.3'' para el paralaje de 61 Cygni. A pesar de la calidad de las mediciones de Tycho, este valor es unas 100 veces más pequeño que los errores observacionales de Tycho. De hecho Tycho no fue el primero en proponer el modelo centrado en la Tierra con los planetas orbitando alrededor del Sol ya que Erasmus Reinhold lo hizo unos cuantos años antes. Sin embargo Rosen en [26] arguye de forma convincente que Tycho no conocía la teoría de Reinhold.

El rey Federico murió en Abril de 1588 y siendo su hijo Christian (que se convirtió en el Rey Christian IV) todavía un niño, se nombró un regente. El apoyo para Tycho continuó sin embargo, y él presentó un equema a los Rigsraads para permitir a sus hijos heredar Uraniborg. Seis de sus ocho hijos habían vivido. Tuvo dos varones; Tycho, nacido en 1581, y Georg en 1583. También tuvo cuatro hijas; Kirsten nacida en 1573, Magdalena en 1574, Elizabeth en 1579, y Cecilie en 1582. Debido a que Kirsten era la esposa de Tycho por el derecho común, sus hijos no podían heredar a Tycho, sin embargo presentó un privilegio que dio a Uraniborg algo parecido al estatus de universidad, y al director algo así como el estatus de director de una universidad. También declaró que la sucesión a la dirección daría preferencia a 'la propiedad de Tycho Brahe'. Quizá sorprendentemente, ya que el estado estaba intentando detener la aceptación de las esposas de derecho común, el privilegio de Tycho fue aceptado, una señal segura de la alta estima en la que se le tenía (y quizá también debido a los muchos familiares y amigos que estaban en los Rigsraads).

En sus días de juventud Tycho había sido un hombre justo en sus tratos con los demás. Aunque había tratado mal a los habitantes de Hven según los usos modernos, y también a sus ojos, era usual para un señor de esta época tratar a sus vasallos severamente. Sin embargo en la década de 1590 la naturaleza de Tycho pareció cambiar y su trato tanto a los habitantes de Hven como a sus ayudantes estudiantes se volvió irracional. Siempre pensó bastante en si mismo y quizá en esta época su visión de su propia importancia (se veía a si mismo como el sucesor natural de Hiparco y Tolomeo, una persona mucho más importante que un rey) se le subió bastante a la cabeza. Las negociaciones obre el matrimonio de su hija Magdalena con Gellius, que había sido ayudante en Uraniborg durante cinco años le hizo perder la cabeza y le causó una gran pena y problemas familiares. Tuvo un

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enfrentamiento con el joven Rey Christian por no reparar la Capilla de los Reyes Magos en Roskilde, en el que el padre de Christian, Federico, estaba enterrado, a pesar de estar en un estatus que aportaba a Tycho ingresos sustanciales. Christian dejó claro que la promesa que había dado a Tycho de que Uraniborg continuaría bajo la dirección de sus hijos no sería mantenida.

Tycho cerró su observatorio en Hven en 1597 (la última observación registrada es del 15 de Marzo de ese año), y se mudó a Copenhague. Sin embargo, las cosas no le fueron bien y abandonó Dinamarca con su familia y sus instrumentos para buscar apoyo y encontrar algún lugar en el que continuar su trabajo [15]:

En 1599 fue nombrado Matemático Imperial del Sacro emperador Romano, Rodolfo II, en Praga (por entonces la capital del Sacro Imperio Romano). Johannes Kepler se unió a él como ayudante, para ayudarle con los cálculos matemáticos. Tycho pretendía que su trabajo probara la verdad de su modelo cosmológico, en el que la Tierra (con la Luna orbitando a su alrededor) estaba en reposo en el centro del Universo y el Sol orbitaba a la Tierra (todos los otros planetas en órbita alrededor del Sol y así llevados con él en su órbita).

Tycho comenzó a observar de nuevo en Praga. Recibió apoyo de Rodolfo para que Kepler y él mismo compilasen un nuevo conjunto de tablas astronómicas basadas en las observaciones registradas por Tycho a lo largo de 38 años. Estas serían llamadas las Tablas Rudolfinas como tributo a su patrocinador. Sin embargo, Tycho murió once días después cenando en el palacio de Peter Vok Ursinus Rozmberk como resultado de cumplir con la etiqueta de la época y no abandonar la mesa antes que su anfitrión. Kepler describe su muerte (ver por ejemplo [5]):

Aguantando su orina más de lo que era su costumbre, Brahe permaneció sentado. Aunque bebió un poco más de la cuenta y experimentó presión en su vejiga, se sintió menos preocupado por su estado de salud que por la etiqueta. A la hora que volvió a casa no podía ya orinar. Finalmente, con el más agudo de los dolores, a duras penas pasó algo de orina, pero ya estaba bloqueada. Siguió un insomnio ininterrumpido; fiebre intestinal; y poco a poco el delirio. ... Durante su última noche, en medio del delirio en el que todo era muy agradable, como un compositor creando una canción, Brahe repetía estas palabras una y otra vez: 'No permitáis que parezca que he vivido en vano'.

Field escribe [15]:

Cuando Tycho murió, Kepler le sucedió como Matemático Imperial. Las observaciones de Tycho de las posiciones planetarias, que fueron hechas usando instrumentos de visión abierta (no se usó un telescopio para la astronomía hasta alrededor de 1609), eran mucho más precisas que ninguna hecha por sus predecesores. Éstas permitieron a Kepler, que (a diferencia de Tycho) era un seguidor convencido de Copérnico, deducir sus tres leyes del movimiento planetario (1609, 1619) y construir tablas astronómicas, las Tablas Rudolfinas (Ulm, 1627), cuya duradera precisión hizo mucho para persuadir a los astrónomos de la corrección de la teoría copernicana. Sin embargo, hasta al menos mediados del siglo diecisiete, el modelo de Tycho del sistema planetario fue el preferido por la mayoría de los

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astrónomos. Tenía la ventaja de evitar los problemas que se presentaban al atribuir movimiento a la Tierra.

Biografía de Nicolás Copérnico

Nacido: 19 Feb 1473 en Torun, Polonia

Muerto: 24 May 1543 en Frauenburg (ahora Frombork), Polonia

Nicolaus Copernicus es la versión latina del nombre del famoso astrónomo que eligió más adelante en su vida. La forma original de su nombre era Mikolaj Kopernik o Nicolaus Koppernigk pero usaremos Copérnico a lo largo de este artículo. Su padre, también llamado Nicolaus Koppernigk, había vivido en Cracovia antes de mudarse a Torun en el que estableció un negocio de comercio de cobre. Estaba también interesado en la política local y se convirtió en un líder ciudadano en Torun y en magistrado. Se casó con Bárbara Watzenrode, que venía de una familia de bien de Torun, alrededor de 1463. Se mudaron a una casa en la Calle St. Anne de Torun, pero también tenían una residencia de verano con viñedos en las afueras. Nicolás y Bárbara Koppernighk tuvieron cuatro hijos, dos niños y dos niñas, de los que Nicolás Copérnico fue el más joven.

Puede ver una imagen de la casa en la que nació

Copérnico.

Cuando el joven Nicolás tenía diez años su padre murió. Su tío Lucas Watzenrode, que era canónigo en la Catedral de Frauenburg se convirtió en el tutor de los cuatro hijos de Nicolaus y Barbara Koppernigk.

Puede ver una imagen de Lucas Watzenrode.

Nicolás y su hermano Andreas permanecieron en Torun, continuando su educación elemental allí. En 1488 Nicolás fue enviado por su tío a la escuela de la catedral de Wloclawek en donde recibió una buena educación humanista estándar. Tras tres años de estudio en Wloclawek ingresó en la Universidad de Cracovia (situada en lo que entonces era la capital de Polonia). Por esta época Lucas Watzenrode fue Obispo de Ermland e imaginó una carrera eclesiástica para sus dos sobrinos. Andreas, el hermano de Nicolás, entró en la Universidad de Cracovia al mismo tiempo, y sus dos nombres aparecen en los registros de matriculación de 1491-92.

La educación universitaria en Cracovia fue, según escribió Copérnico más tarde, un factor

Nicolás Copérnico

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vital en todo lo que consiguió más tarde. Allí estudió latín, matemáticas, astronomía, geografía y filosofía. Adquirió sus conocimientos de astronomía del Tractatus de Sphaera de Johannes de Sacrobosco escrito en 1220. Uno no creería, sin embargo, que los cursos de astronomía que Copérnico estudió fueran cursos científicos en el sentido moderno. Eran más cursos de matemáticas que presentaban la visión del universo de Aristóteles y Tolomeo de forma que los estudiantes pudieran comprender el calendario, calcular las fechas de los días de fiesta, y también tener habilidades que capacitaran a aquellos que iban a seguir una profesión más práctica hacia la navegación marítima. También se enseñaba como una parte principal de la astronomía lo que hoy podríamos llamar astrología, enseñando a los estudiantes a calcular los horóscopos de la gente a partir de la hora exacta de su nacimiento.

Mientras era estudiante en Cracovia, Copérnico adquirió una copia de la traducción latina de los Elementos de Euclides publicada en Venecia en 1482, una copia de la segunda edición de las Tablas Alfonsinas(que contiene la teoría planetaria y los eclipses) impresa en Venecia en 1492, y las Tablas de Direcciones de Regiomontano (un trabajo sobre astronomía esférica) publicadas en Augsburgo en 1490. Es de destacar que las copias de Copérnico de estos trabajos, firmadas por él, se conservan todavía.

Fue mientras estudiaba en Cracovia cuando Copérnico comenzó a usar su versión en latín de su nombre mejor que Kopernik o Koppernigk. Volvió a Torun tras cuatro años de estudio en Cracovia pero, como era común en la época, no se graduó formalmente con un título. Su tío Lucas Watzenrode estaba todavía decidido a que Copérnico tuviera una carrera en la Iglesia y de hecho era ésta una profesión que daría seguridad a alguien que perseguía aprender. A fin de obtener las calificaciones necesarias, Copérnico decidió ir a la Universidad de Bolonia a conseguir un título en legislación canónica. En el otoño de 1496 viajó a Italia, entrando en la Universidad de Bolonia el 19 de Octubre de 1496, para comenzar tres años de estudio. Como hablante nativo de alemán se unió a la 'Nación Alemana de la Universidad de Bolonia'. Cada estudiante contribuía a la 'Nación Alemana' con la cantidad que pudiera permitirse y la pequeña contribución que hizo Copérnico indica su pobre posición financiera en aquella época.

Mientras él estaba allí su tío propuso su nombre para la posición de canónigo en la catedral de Frauenburg. El 20 de Octubre de 1497, mientras estaba en Bolonia, Copérnico recibió la notificación oficial de su nombramiento como canónigo y de la cómoda paga que recibiría sin tener que volver a llevar a cabo otras obligaciones. En la Universidad de Bolonia Copérnico estudió griego, matemáticas y astronomía además de su curso oficial de derecho canónico. Alquiló habitaciones en la casa del profesor de astronomía Domenico María de Novara y comenzó a abordar la investigación con él, asistiéndole en sus observaciones. El 9 de Marzo de 1497 observó cómo la luna eclipsaba a la estrella Aldebarán.

En 1500 Copérnico visitó Roma, como se alentaba a todos los cristianos a hacer para celebrar el gran jubileo, y permaneció allí durante un año dando conferencias a los escolares sobre matemáticas y astronomía. Mientras estaba en Roma observó un eclipse de luna que tuvo lugar el 6 de Noviembre de 1500. Regresó a Frauenburg (también conocida como Frombork) en la primavera de 1501 y se instaló oficialmente como canónigo del Cabildo de Ermland el 7 de Julio. No había completado su titulación en derecho canónico

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en Bolonia por lo que pidió a su tío que le permitiera regresar a Italia tanto para conseguir un título en leyes como para estudiar medicina. Copérnico fue autorizado a salir el 27 de Julio de 1501 [13]:

... principalmente porque Nicolás prometió estudiar medicina, y como un médico útil podría algún día aconsejar a nuestro muy reverendo obispo y también a los miembros del Cabildo.

Como indica esta cita, al Cabildo Catedralicio le gustó esta proposición para estudiar medicina y proporcionó los fondos necesarios. Se puso en camino de nuevo hacia Italia, esta vez hacia Padua. Copérnico tenía otra razón para regresar a Italia, que casi con seguridad no reveló, y fue el continuar sus estudios de astronomía.

Padua era famosa por su escuela médica y mientras estuvo allí Copérnico estudió tanto medicina como astronomía. En esa época la astronomía era esencialmente astrología y, como tal, considerada relevante para la medicina ya que los médicos usaban la astrología. En la primavera de 1503 decidió formalmente obtener su doctorado en Derecho Canónico, pero no regresó a Bolonia sino que en su lugar obtuvo el título en la Universidad de Ferrara. Tras recibir su doctorado, Copérnico permaneció en Ferrara durante unos cuantos meses antes de regresar a Padua para continuar sus estudios de medicina. No hay registro de que nunca se graduara por Padua.

Cuando regresó a su tierra natal, Copérnico fue de nuevo autorizado a abandonar sus obligaciones oficiales como canónigo en el Cabildo de Ermland en Frauenburg. Esto se le permitió para ser el médico de su tío materno Lucas Watzenrode, el Obispo de Ermland, pero él desempeñó más obligaciones para su tío que las médicas llegando a convertirse esencialmente en su secretario privado y consejero personal. Durante unos cinco años él llevó a cabo estos deberes y durante este periodo vivió en el Castillo de Heilsberg, a unas cuantas millas de Frauenburg, la residencia oficial del Obispo de Ermland.

En 1509 Copérnico publicó un trabajo, que fue debidamente impreso, aportando las traducciones latinas de la poesía griega del oscuro poeta Theophylactus Simocattes. Mientras acompañaba a su tío en una visita a Cracovia, dio un manuscrito del libro de poesía a un amigo editor allí. Lucas Watzenrode murió en 1512 y a continuación Copérnico renovó sus deberes como canónigo en el Cabildo de Ermland en Frauenburg. Ahora tenía más tiempo que antes para dedicarse a sus estudios de astronomía, teniendo un observatorio en las habitaciones en las que había vivido en una de las torres de las fortificaciones de la ciudad.

Puedes ver una imagen del observatorio de Copérnico en Frauenburg.

Alrededor de 1514 distribuyó un pequeño libro, no impreso sino manuscrito, a unos pocos de sus amigos que sabían que él era el autor incluso aunque no se mencionaba autor en la portada. Este libro, usualmente llamado el Pequeño Comentario, parte de la teoría de Copérnico de un universo con el sol en su centro. El Pequeño Comentario es un documento fascinante. Contiene siete axiomas que Copérnico da, no en el sentido de que son evidentes

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por si mismos, sino en el sentido de que basará sus conclusiones en estos axiomas y nada más; ver [79]. ¿Cuáles son los axiomas?. Vamos a enunciarlos:

1.No hay ningún centro en el universo.

2.El centro de la Tierra no es el centro del universo.

3.El centro del universo está cerca del sol .

4.La distancia desde la Tierra al sol es imperceptible comparado con la distancia a las estrellas.

5.La rotación de la Tierra explica la aparente rotación diaria de las estrellas.

6.El aparente ciclo anual de movimientos del sol está causado por la Tierra girando a su alrededor.

7.El movimiento retrógrado aparente de los planetas está causado por el movimiento de la Tierra desde la que lo observamos.

Algunos han destacado que los 2, 4, 5 y 7 pueden ser deducidos del 3 y del 6 pero nunca fue el propósito de Copérnico dar un conjunto mínimo de axiomas. El más destacable de los axiomas es el 7, por que aunque estudiosos anteriores habían afirmado que la Tierra se movía, algunos afirmando que se movía alrededor del sol, nadie antes de Copérnico parece haber explicado correctamente el movimiento retrógrado de los planetas exteriores. Ya cuando escribió su Pequeño Comentario Copérnico planeaba escribir un trabajo mayor, por lo que él escribió en éste (ver [77]):

Aquí, para mayor brevedad, he creído deseable omitir las demostraciones matemáticas prometidas para mi trabajo más extenso.

Es probable que escribiera el Pequeño Comentario en 1514 y comenzara a escribir su trabajo principal De revolutionibus en el año siguiente.

Dada la naturaleza de Copérnico está claro que le habría gustado haber vivido una vida tranquila en Frauenburg, desempeñando sus obligaciones concienzudamente y dedicando todo su tiempo libre a observar, desarrollar sus teorías del universo y escribir De revolutionibus. Está igualmente claro que su fama como astrónomo era bien conocida cuando el Quinto Concilio de Letrán decidió mejorar el calendario, que se sabía que estaba desfasado con las estaciones, el Papa apeló a los expertos en busca de consejo en 1514, uno de estos expertos fue Copérnico. Muchos expertos fueron a Roma a aconsejar al Concilio,

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pero Copérnico eligió responder por carta. No deseaba contribuir más a las discusiones sobre el calendario ya que sentía que los movimientos de los cuerpos celestes no eran todavía comprendidos con la suficiente precisión.

La paz que Copérnico deseaba, sin embargo, no era fácil de hallar en un periodo de frecuentes guerras. Las fortificaciones de Frauenburg que formaban el hogar de Copérnico habían sido construidas para proteger la ciudad que había sido capturada por varios grupos enemigos a lo largo de los años. En 1516 a Copérnico se le encomendó la tarea de administrar los distritos de Allenstein (también conocida como Olsztyn) y Mehlsack. Vivió durante cuatro años en el Castillo de Allenstein mientras que desempeñaba estos deberes administrativos.

Puede ver una imagen del Castillo de Allenstein en el que vivió Copérnico.

Siempre ansioso por hacer observaciones, Copérnico regresaba a su casa/observatorio de Frauenburg cada vez que había una razón para asistir a una reunión o consulta con los otros canónigos, siempre aprovechando la oportunidad para avanzar en sus investigaciones. Sin embargo cuando la guerra estalló entre Polonia y los Caballeros Teutónicos hacia finales del 1519 Copérnico regresó a Frauenburg. Tras un periodo de guerra, Copérnico fue enviado a participar en las conversaciones de paz en Braunsberg como uno de los dos componentes de la delegación que representaba al Obispo de Ermland. Las conversaciones de paz fracasaron y la guerra continuó. Frauenburg cayó bajo asedio pero Copérnico continuó haciendo sus observaciones incluso en este momento desesperado. Sobre el otoño de 1520 Copérnico regresó a vivir al Castillo de Allenstein y tuvo que organizar su defensa contra las fuerzas atacantes. El castillo resistió el ataque y sobre 1521 una difícil paz había regresado.

Como recompensa por su defensa de Allenstein, Copérnico fue nombrado Comisario de Ermland y se le encomendó la tarea de reconstruir el distrito tras la guerra. Su buen amigo, Tiedemann Giese, otro canónigo en el Cabildo, fue nombrado para ayudarle.

Puede ver una imagen de Tiedemann Giese.

Como parte del plan de restauración, Copérnico ofreció un esquema para la reforma de la moneda que presentó a la Asamblea de Graudenz en 1522. Sin embargo, a pesar de acudir a la Asamblea y discutir fervientemente a favor de sus sensatas propuestas, ellos no se decidieron.

Copérnico regreso a Frauemburg donde su vida se volvía menos azarosa y tenía la paz y el silencio que anhelaba para permitirle hacer observaciones y trabajar en los detalles de su teoría heliocéntrica. Habiendo dicho que ahora tenía la paz que quería, también se entiende que estaba llevando acabo su trabajo matemático y astronómico en soledad, sin colegas con los que discutir los temas. Aunque Copérnico era un canónigo, nunca se hizo sacerdote. De hecho el 4 de Febrero de 1531 su obispo amenazó con retirarle su paga si no entraba en el sacerdocio, pero Copérnico no obstante lo rechazó.

Una completa relación de la teoría de Copérnico era aparentemente lenta en alcanzar el

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estado en el que él deseaba verla publicada, y esto no sucedió hasta muy al final de la vida de Copérnico cuando consiguió publicar el trabajo de su vida bajo el título De revolutionibus orbium coelestium (Nuremberg, 1543). De hecho, de no ser por Georg Joachim Rheticus, un joven profesor de matemáticas y astronomía de la Universidad de Wittemberg, Copérnico podría no haber publicado jamás su obra maestra. En mayo de 1539 Rheticus llegó a Frauenburg en donde pasó unos dos años con Copérnico. Rheticus escribió de su visita:

Escuché el nombre del Maestro Nicolás Copérnico en las tierras del norte, y aunque la Universidad de Wittemberg me había hecho Profesor Público en esas artes, sin embargo, no creí que estaría contento hasta que hubiera aprendido algo más mediante la instrucción de ese hombre. Y también digo que no me arrepiento de los gastos financieros ni del largo viaje ni de las dificultades posteriores. A pesar de ello, me parece que tuve una gran recompensa por esos problemas, particularmente el que yo, un osado jovenzuelo, obligara a este venerable hombre a compartir sus ideas en esta disciplina antes que con el resto del mundo.

Deberíamos destacar que Rheticus era protestante, por lo que en aquellos tiempos turbulentos de la Reforma asumió bastante riesgo al visitar a un baluarte católico. En septiembre de 1539 Rheticus fue a Danzig, visitando a su alcalde, que le dio asistencia económica para ayudarle a publicar la Narratio Prima o, por citar su título completo Primer informe a Johann Schöner sobre los Libros de las Revoluciones del sabio caballero y distinguido matemático, el Reverendo Doctor Nicolás Copérnico de Torun, Canónigo de Warmia, por un cierto joven dedicado a las matemáticas. La publicación de este trabajo alentó a Copérnico a publicar los detalles matemáticos completos de su teoría que había prometido 27 años antes. Swerdlow escribe:

Copérnico no podría haber pedido una introducción más erudita, elegante y entusiasta a su nueva astronomía para el mundo de las grandes letras; de hecho hasta el día de hoy la 'Narratio Prima' sigue siendo la mejor introducción al trabajo de Copérnico.

En su Primer Informe Rheticus escribió sobre la forma de trabajar de Copérnico (ver 80):

... mi profesor siempre tenía ante sus ojos las observaciones de todas las épocas junto a las suyas propias, agrupadas en orden en forma de catálogos; después cuando debe extraerse alguna conclusión o hacerse alguna contribución a la ciencia y sus principios, él procede a partir de las observaciones más antiguas hasta las suyas propias, buscando la relación mutua que las armoniza todas; los resultados así obtenidos por la correcta inferencia bajo la guía de Urania (N.T.: musa de la astronomía) los compara con la hipótesis de Tolomeo y los clásicos; y habiendo hecho un examen más cuidadoso de estas hipótesis, sin necesidad de la inspiración divina ni el favor de los dioses; aplicando las matemáticas, establece geométricamente las conclusiones que pueden ser extraídas de ellas por una inferencia correcta; después armoniza las observaciones de los clásicos y las suyas propias con la hipótesis que ha adoptado; y tras realizar todas estas operaciones finalmente escribe las leyes de la astronomía ...

Mientras vivía con Copérnico, Rheticus escribió a algunas personas informando sobre los

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progresos que Copérnico hacía. Por ejemplo el 2 de Junio de 1541 Rheticus escribía que Copérnico [80]:

... disfruta de muy buena salud y escribe gran cantidad de correspondencia ...

entretanto escribía que el 9 de Junio Copérnico [80]:

... había finalmente superado su prolongada resistencia a sacar su volumen para su publicación.

Alrededor del 29 de Agosto De revolutionibus orbium coelestium estaba listo para la imprenta. Rheticus tomó el manuscrito con él cuando regresó a sus tareas docentes en Wittenberg, y se lo dio al impresor Johann Petreius en Nurenberg. Era éste un centro destacado para la impresión y Petreius era el mejor impresor de la ciudad. Sin embargo, ya que era incapaz de quedarse a supervisar el proceso de impresión, le pidió a Andreas Osiander, un teólogo luterano con considerable experiencia en la impresión te textos matemáticos, acometer la tarea. Lo que hizo Osiander fue escribir una carta para el lector, inserta en el lugar del Prefacio original de Copérnico a continuación de la portada, en la que reclamaba que los resultados del libro no fueran entendidos como la verdad, sino que fueran presentado como una forma más simple de calcular las posiciones de los cuerpos celestes. La carta estaba sin firmar y el verdadero autor de la carta no se reveló públicamente hasta que Kepler lo hizo 50 años más tarde. Osiander también cambió sutilmente el título para hacerlo aparecer menos como una afirmación del mundo real. Algunos están espantados ante este gigantesco fraude de Osiander, como lo estuvo Rheticus en la época, otros sienten que fue sólo gracias al Prefacio de Osiander que el trabajo de Copérnico fue leído y no inmediatamente condenado.

En De revolutionibus Copérnico afirma varias razones por las que es lógico que el sol estuviera en el centro del universo:

En medio de todas las cosas se sitúa el sol. Como localización de esta luminaria en el cosmos, ese templo más bello, ¿habría ningún otro lugar o ningún mejor lugar que el centro, desde el que puede iluminarlo todo al mismo tiempo?. Por tanto el sol no es llamado equivocadamente por algunos la lámpara del universo, por otros su mente, y por otros su gobernador.

La cosmología de Copérnico emplazaba un sol estático no en el centro del universo, pero cerca del centro, y también implicaba dar varios movimientos distintos a la Tierra. El problema al que Copérnico hizo frente fue que asumió que todo movimiento era circular por lo que, como Tolomeo, se vio forzado a usar los epiciclos (ver por ejemplo [78]). Fue por tanto considerado improbable por la mayoría de sus contemporáneos, y por la mayor parte de los astrónomos y filósofos naturales hasta la mitad del siglo diecisiete. En el proyectado Prefacio de De revolutionibus orbium coelestium Copérnico mostraba que era plenamente consciente de las críticas que este trabajo atraería:

quizá habrá charlatanes que, aunque completamente ignorantes en matemáticas, no obstante tomen para sí el pasar juicio sobre cuestiones matemáticas y, distorsionando de

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mala manera algunos pasajes de las Escrituras para su propósito, se atreverán a encontrar defectos en mi trabajo y censurarlo. Yo los ignoro hasta el punto de despreciar sus críticas como infundadas.

Sus notables defensores incluyeron a Kepler y Galileo mientras que las pruebas para la teoría Copernicana fueron proporcionadas por la teoría de la gravitación universal de Newton alrededor de 150 años más tarde.

Se dice que Copérnico recibió una copia del libro impreso, compuesto de unas 200 páginas escritas en latín, por primera vez en su lecho de muerte. Murió de una hemorragia cerebral. Brahe, que no aceptó la afirmación de Copérnico de que la Tierra se movía alrededor del sol, no obstante escribió:

A través de las observaciones hechas por si mismo [Copérnico] descubrió ciertas lagunas en Tolomeo, y concluyó que las hipótesis establecidas por Tolomeo admiten algo improcedente en violación de los axiomas de las matemáticas. Además, encontró los cálculos Alfonsinos en discordancia con los movimientos de los cielos. Por consiguiente, con maravillosa perspicacia intelectual estableció hipótesis diferentes. Restauró la ciencia de los movimientos celestes de tal modo que nadie antes que él tuvo un conocimiento más preciso de los movimientos de los cuerpos celestes.

Rudnicki [13] da esta apreciación de Copérnico:

Fue realmente creativo. Su método científico, aunque determinado por los horizontes del conocimiento y creencias contemporáneos, era aun así idealmente objetivo. Éticamente, sus acciones a lo largo de su vida dieron testimonio hasta el más alto nivel. Hizo el bien. Se ganó el respeto general y la honra de sus contemporáneos. Durante muchos años sirvió con sacrificio la causa de su país natal. Pero él no conoció alegrías personales o familiares.

Historia de los números primos

Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.

Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.

Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en si mismo. Por ejemplo, el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2 y al 3 y 1 + 2 + 3 = 6, 28 tiene divisores 1, 2, 4, 7 y 14 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Un par de números amigables es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de un número suman el otro y viceversa.

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Puede ver más acerca de estos números en el artículo de Números Perfectos en Tópicos Históricos.

Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos.

Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.

Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.

Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura.

El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados.

Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización del número 2027651281 = 44021 × 46061.

Probó lo que se conoce como El pequeño teorema de Fermat (para distinguirlo del llamado Ultimo Teorema).

Este establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a modulo p.

Esto prueba la mitad de lo que se ha llamado la Hipótesis China que data de unos 2000 años antes, y que dice que un entero n es primo si y solo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa, ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341 aún cuando 341 = 31 × 11 es compuesto. El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicos.

Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época, y en particular con el monje Marín Mersenne. En una de sus cartas a Mersenne, él conjetura que los números 2n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. El había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta

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forma son llamados Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años más tarde que Euler demostró que 232 + 1 = 4294967297 es divisible por 641 y por tanto no es primo.

Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. A menudo éstos son llamados Números primos de Mersenne Mn, dado que Mersenne los estudió.

No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto, aunque fue notado por primera vez en 1536.

Durante muchos años los números obtenidos de esta forma fueron los primos más largos conocidos. Cataldi probó que el número M19 es primo en 1588 y fue el primo más grande conocido por unos 200 años hasta que Euler probó que M31 es primo. Este marcó el récord por otra centuria hasta que Lucas demostró que M127 (el cual tiene 39 dígitos) es primo, tomando el récord hasta la era de la computadora electrónica.

En 1952 Robinson probó que los números primos de Mersenne M521, M607, M1279, M2203 y M2281 son primos utilizando un modelo temprano de ordenador comenzando así la era electrónica.

Para el 2005 habían sido encontrados un total de 42 primos de Mersenne. El más grande es M25964951, el cual tiene 7816230 dígitos decimales.

El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría numérica en general y sobre la de primos en particular.

Él amplió el Teorema Pequeño de Fermat e introdujo la función φ de Euler. Como mencionamos antes, factorizó el 5o número Fermat 232 + 1, y encontró 60 pares de números amigables a los que nos referimos anteriormente, y estableció (pero no pudo demostrar) lo que se conoce como la Ley de Reciprocidad Cuadrática.

Fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando las herramientas del análisis y así fundo el objeto de la Teoría del Análisis Numérico. Él demostró que no solo las llamadas series Armónicas ∑ (1/n) divergen, sino que las series

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...

formadas por la suma de los recíprocos de los números primos, son también divergentes. La suma de n términos en las series armónicas crece rápidamente como log(n), mientras que las series tardías divergen más lentamente como log[ log(n) ]. Esto significa, por ejemplo, que sumando los recíprocos de todos los primos que hemos listado, aún en las más poderosas computadoras, solo da un resultado próximo a 4, pero la serie continúa divergiendo a infinito.

A primera vista, los primos parecen estar distribuidos de manera caótica entre los enteros. Por ejemplo entre los 100 números anteriores a 10 000 000 hay 9 primos, mientras que entre los 100 números posteriores hay solo 2 primos. Sin embargo, tomando una escala

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mayor, la distribución de los números primos es bastante regular. Legendre y Gauss realizaron exhaustivos cálculos sobre la densidad de los números primos. Gauss (que fue un calculador prodigioso) le dijo a un amigo que siempre que tenía 15 minutos libres los gastaba en contar los primos existentes en un 'chiliad' (rango de 1000 números). Para el final de su vida se estima que había contado todos los primos existentes en un rango de cerca de 3 millones. Legendre y Gauss llegaron a la conclusión de que para un largo de n la densidad de los primos cercanos a n es de aproximadamente 1/log(n). Legendre dio una estimación para π(n) del número de primos ≤n de

π(n) = n / (log(n) - 1.08366)

mientras la estimación de Gauss es en términos de Integrales Logarítmicas

π (n) = ∫ 1/log(t) dt dónde el tramo de integración va de 2 a n.

Podéis ver la Estimación de Legendre y la Estimación de Gauss y compararlas.

Al enunciado de que la densidad de primos es 1/log(n) se le conoce como el Teorema de Números Primos. Los intentos por probarlo continuaron durante el Siglo XIX, con los notables progresos realizados por Chebyshev y Riemann quien pudo relacionar este problema con algo llamado la Hipótesis de Riemann: un resultado aún sin probar acerca de los ceros en el plano complejo de algo llamado la función-zeta de Riemann. Los resultados fueron demostrados (utilizando poderosos métodos de análisis complejo) por Hadamard y Vallée Poussin en 1896.

Aún quedan abiertas muchas preguntas (algunas de ellas datan de hace más de cien años) relacionadas a los números primos.

Algunos problemas no resueltos

1. La Conjetura de los Primos Gemelos que dice que existen infinidad de pares de números primos.

2. La Conjetura de Goldbach (realizada en una carta de C Goldbach a Euler en 1742) de que cada entero par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de 2 primos.

3. ¿Existen muchos primos de la forma n2 + 1 ? (Dirichlet probo que cada progresión aritmética: {a + bn | n ∈ N} con a, b coprimos contiene infinidad de primos).

4. ¿Siempre existe un primo entre n2 y (n + 1)2 ? (El hecho de que siempre exista un número primo entre n y 2n se llama la Conjetura de Bertrand y fue demostrada por Chebyshev.)

5. ¿Existe una infinidad de números primos de Fermat? De hecho, ¿hay algún número primo de Fermat luego del cuarto?

6. ¿Hay alguna progresión aritmética de primos consecutivos para cualquier largo (finito) dado? Por ejemplo, 251, 257, 263, 269 tiene largo 4. El ejemplo más largo

conocido tiene largo 10. 7. Existen infinitos conjuntos de 3 primos consecutivos en progresiones aritméticas.

(Verdadero si omitimos la palabra consecutivos).

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8. n2 - n + 41 es primo en 0 ≤ n ≤ 40. ¿Hay infinitos primos de esta forma? La misma pregunta se aplica a n2 - 79 n + 1601 que es primo en 0 ≤ n ≤ 79.

9. ¿Existen infinitos primos de la forma n# + 1? (dónde n# es el producto de todos los primos ≤ n.)

10. ¿Existen infinitos primos de la forma n# - 1? 11. ¿Existen infinitos primos de la forma n! + 1? 12. ¿Existen infinitos primos de la forma n! - 1? 13. Si p es primo, ¿2p - 1 es siempre libre de cuadrados? Es decir, no divisible por el

cuadrado de un primo. 14. ¿Contiene la secuencia de Fibonacci un número infinito de primos?

Aquí hay algunos de los últimos récords de números primos que conocemos.

El número primo más grande conocido (encontrado por GIMPS [Gran Buscador de Internet de Primos Mersenne] en febrero de 2005) es el 42o primo de Mersenne: M25964951 que tiene 7816230 dígitos decimales. Vea el Anuncio Oficial (en inglés).

Los primos gemelos más grandes conocidos son 242206083 × 238880 ± 1. Tienen 11713 dígitos y fueron anunciados por Indlekofer y Ja'rai en noviembre de 1995.

El número primo factorial más grande conocido (primo de la forma n! ± 1) es 3610! - 1. Es un número de 11277 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

El número primo primorial más grande conocido (primo de la forma n# ± 1, dónde n# es el producto de todos los primos ≤ n) es 24029# + 1. Es un número de 10387 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

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