TUBERÍAS PARA FLUIDOS INCOMPRESIBLES

ANÁLISIS DE FLUIDOS

ALUMNOS: GRUPO: 5U

ESMERALDA CARRASCO CHÁVEZ

ALFONSO MARTÍNEZ CHAPARRO

JOSÉ ALFREDO MONTAÑEZ CELIS

JESSICA GPE. RODRÍGUEZ FLORES

EDGAR TOMÁS SILVA CALZADA

DENSIDAD

La densidad de un fluido, denotada por «» (rho griega minúscula), es

su masa por unidad de volumen. La densidad varia mucho en los

gases, aumentando casi de forma proporcional a la presión. La

densidad de los líquidos es casi constante; la densidad del agua

(alrededor de 1000 kg/m3) tan solo se incrementa en un 1% cuando la

presión se multiplica por un factor de 220. Por tanto, la mayoría de los

líquidos se pueden considerar casi “incompresibles”

FLUJO COMPRENSIBLE EN COMPARACIÓN DEL INCOMPRENSIBLE

Un flujo se clasifica como compresible o incompresible dependiendo de

la variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La

incompresibilidad es una aproximación y se dice que el fluido es

incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a

lo largo de todo el flujo.

Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece

inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido es

incompresible.

EL NÚMERO DE MACH

El numero de Mach es el parámetro dominante en el análisis de flujos

compresibles, con efectos distintos dependiendo de su magnitud. Los

estudiosos de la aerodinámica suelen distinguir entre los diferentes

rangos del número de Mach siendo la siguiente clasificación

aproximada:

• Ma < 0.3, FLUJO INCOMPRESIBLE: donde los efectos de la densidad son

despreciables.

• 0.3 < Ma <0.1, FLUJO SUBSÓNICO: donde los efectos de la densidad son importantes,

pero no aparecen ondas de choque.

• 0.8 < Ma < 1.2, FLUJO TRANSÓNICO: donde aparecen por primero vez ondas de

choque que separan regiones subsónicas y supersónicas dentro del flujo. El vuelo

propulsado en régimen transónico resulta difícil a consecuencia del carácter mixto del

campo fluido

• 1.2 <Ma <3.0, FLUJO SUPERSÓNICO: donde hay ondas de choque pero ya no existen

regiones subsónicas.

• 3.0 < Ma, FLUJO HIPERSÓNICO: donde las ondas de choque y otros cambios que

experimenta el flujo son especialmente fuerte.

El número de Mach se define como:

𝑀𝑎 =𝑉

𝑐=

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜

En donde c es la velocidad del sonido cuyo calor es de 346 m/s en el

aire a temperatura ambiente a nivel del mar.

Para aire en condiciones estándar, un flujo puede considerarse

incompresible si la velocidad es menor que unos 100 m/s (330 ft/s).

Esto comprende una gran variedad de flujos de aire: movimiento de

automóviles y trenes, aviones ligeros, despegue y aterrizaje de aviones

de gran velocidad, la mayoría de los flujos en tuberías y en

turbomaquinaria a moderadas velocidades de giro.

Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de

exactitud, pero el nivel de variación de la densidad en los flujos de

gases y el nivel consecuente de aproximación que se hace cuando se

modelan estos flujos como incompresibles depende del número de

Mach.

Entonces, se considera que casi la totalidad de los flujos de líquidos

son incompresibles, puesto que las velocidades del flujo son pequeñas

y la velocidad del sonido es muy grande.

FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES (COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD)El coeficiente de compresibilidad β es una medición de la

compresibilidad de una sustancia. Mientras más grande sea este valor,

más compresible es la substancia. Compresibilidad en realidad implica

que el volumen de una sustancia es una función del nivel de presión.

β = −1

𝑉

𝑑𝑉

𝑑𝑝𝑇

=1

𝑝=1

𝑇

V= volumen p=presión T=temperatura

En general, el coeficiente de compresibilidad es una función de la

presión y la temperatura.

Por el contrario, se puede decir que incompresibilidad es la incapacidad

para cambiar el volumen de una masa dada por la acción de la presión

externa. Se deduce, por lo tanto, que la densidad de una substancia no

es una función de la presión si la sustancia es incompresible.

Generalmente, los líquidos se consideran como substancias

incompresibles, ya que su densidad es muy insensible a los cambios

de presión.

A menudo, como en el caso de los sólidos, se utiliza el modulo de

elasticidad como una medición de incompresibilidad, y por lo tanto es el

recíproco del coeficiente de compresibilidad β:

𝐸 =1

β= −(

𝑑𝑝

𝑑𝑉/𝑉)𝑟

Ya que para un aumento de la presión el volumen disminuye, la

derivada de dp/dV es negativo, y en consecuencia el signo menos en el

lado de la mano derecha de la ecuación hace al coeficiente de

compresibilidad y al módulo de elasticidad positivos.

𝐸 =1

β= −(

𝑑𝑝

𝑑𝑉/𝑉)𝑟

Para un gas perfecto, β es función de la presión por sí sola. De hecho,

el coeficiente de compresibilidad es la inversa de la presión absoluta, y

por consiguiente la mayor parte de módulo de elasticidad es la propia

presión cuando el proceso de compresión o expansión es isotérmica.

Para un proceso politrópico, el módulo de elasticidad será:

𝐸 =𝑑𝑝

𝑑𝑉/𝑉= 𝑛𝑝

EJEMPLO

Encontrar el aumento de presión necesaria para produce una reducción del

1% en el volumen de agua a presión y temperatura normal (45°F).

Para agua a aproximadamente 45 º F, el valor de E es de 300,000 psi,

entonces, para un aumento de presión finita

∆𝑃 = −𝐸∆𝑉

𝑉= −300,000 −0.01 = 3,000 𝑝𝑠𝑖

Que en comparación con el aumento de presión del aire, si lo

sometemos a una reducción del 1% y dentro de un proceso

isoentrópico, donde el módulo de elasticidad kp=-1.4*14.7 psi,

tendremos que:

∆𝑃 = −1.4 ∗ 14.7 −0.01 = 0.206 𝑝𝑠𝑖

En ejemplo anterior, pudimos observar el por qué de las clasificaciones

de movimiento de fluido compresible e incompresible, lo cual en esta

ocasión se deberá comprender como la presencia o la omisión de las

fuerzas elásticas, las cuales en general, modifican el carácter sobre

todo el flujo.

RELACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Y LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN FLUJO ESTACIONARIO

𝑃1𝑝+1

2𝑉12 + 𝑔𝑧1 =

𝑃2𝑝+1

2𝑉22 + 𝑔𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Esta es la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario

incompresible y sin fricción a lo largo de una línea de corriente.

esta ecuación está relacionada con la ecuación de la energía en

régimen estacionado ( 𝑄 − 𝑊𝑠 − 𝑊𝜐 =𝜕

𝜕𝑡 cv 𝑢 +

1

2𝑉2 + 𝑔𝑧 𝜌𝑑𝒱 + c𝑆

ℎ +1

2𝑉2 + 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴),

que también corresponde al flujo en un tubo de corriente (con una

entrada , y una salida). Dicha ecuación se puede escribir en la forma:

𝑃1𝑝+𝛼1𝑉1

2

2+ 𝑔𝑧1 =

𝑃2𝑝+𝛼2𝑉2

2

2+ 𝑔𝑧2 + û2 − û1 − 𝑞 + 𝑤𝑠 + 𝑤𝑣

𝑃1𝑝+𝛼1𝑉1

2

2+ 𝑔𝑧1 =

𝑃2𝑝+𝛼2𝑉2

2

2+ 𝑔𝑧2 + û2 − û1 − 𝑞 + 𝑤𝑠 + 𝑤𝑣

Esta relación es mucho más general que la ecuación de Bernoulli, ya que

permite tener en cuenta:

• La fricción

• La transferencia de calor

• El trabajo mecánico

• El trabajo viscoso (otro efecto de la fricción)

La ecuación de Bernoulli es una relación entre fuerzas, obtenida a partir de

conservación de cantidad de movimiento. Las consideraciones que hay que

tener en cuenta en la ecuación son:

• Flujo estacionario: una suposición muy común. aplicable a runcho, flujos.

• Flujo incompresible: aceptable si el número de Mach del flujo es inferior a

0.3.

• Flujo sin fricción: muy restrictivo, las paredes sólidas introducen efecto de

fricción.

• Flujo a lo largo de una línea de corriente: líneas de corriente distintas

pueden tener diferentes “constantes de Bernoulli” 𝑤0 = 𝑃 𝑝 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧

dependiendo de las condiciones del flujo.

𝑃1𝑝+1

2𝑉12 + 𝑔𝑧1 =

𝑃2𝑝+1

2𝑉22 + 𝑔𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

EJEMPLO (CONSERVACIÓN DE MASA)

Escriba la ecuación de conservación de la masa para el flujo

estacionario por el interior de un tubo de corriente (flujo paralelo a las

paredes en todo punto) con una entrada unidimensional en 1 y salida

unidimensional en 2.

Para el flujo estacionario aplicaremos la siguiente ecuación con una

salida y una entrada:

𝑚 = 𝜌1𝐴1𝑉1 = 𝜌2𝐴2𝑉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Así, en el flujo estacionario en un tubo de corriente, el gasto másico es

constante a través de cualquier sección de dicho tubo. Si la densidad

es constante, tenemos entonces:

𝑄 = 𝐴1𝑉1 = 𝐴2𝑉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ó 𝑉2 =𝐴1

𝐴2𝑉1

En el flujo estacionario e incompresible en un tubo de corriente, el flujo

volumétrico es constante a través de cualquier sección de dicho tubo y

la velocidad aumenta cuando disminuye la sección. Esta relación fue

obtenida por Leonardo Da Vinci en 1500.

Antes de seguir con mas ejemplos, hagamos notar que la ecuación de

Bernoulli no necesita un análisis de volúmenes de control, sino

simplemente seleccionar los puntos 1 y 2 a lo largo de una línea de

corriente. El volumen de control fue utilizado para obtener una ecuación

diferencial (𝜕

𝜕𝑡𝑑𝑠 +

𝑑𝑝

𝜌+ 𝑉 𝑑𝑉 + 𝑔 𝑑𝑧 = 0), cuya forma integrada (

𝑃1

𝑝+

1

2𝑉12 +

𝑔𝑧1 =𝑃2

𝑝+

1

2𝑉22 + 𝑔𝑧2) es valida a lo largo de líneas de corriente para flujo

sin fricción ni adición de calor o trabajo, y por ello no se necesita ningún

volumen de control.

Una aplicación clásica de la ecuación de Bernoulli es el trasiego de

fluido de un recipiente a otro mediante un sifón. La fuerza motriz es

producida por la diferencia da presión hidrostática , sin utilizar ninguna

bomba. Lo analizamos en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Considere el sifón mostrado en la Figura E3.22 Suponiendo que se

cumplen un hipótesis que garantizan la validez de la ecuación

Bernoulli. (a) encuéntrese una expresión para la velocidad 𝑣2 a la

salida del tubo del sifón. (b) Si el tubo tiene 1 cm de diámetro y 𝑧1=

60cm 𝑧2= -25 cm 𝑧3= 90 cm y 𝑧4= 35 cm, estime el caudal en 𝑐𝑚3 𝑠.

Consideraciones: Flujo sin fricción, estacionario, incompresible.

Escribimos la ecuación de Bernoulli empezando por el punto donde la

información se conoce (superficie 𝑧2) hasta el punto donde se desea la

información (salida del tubo, 𝑧2).

𝑃1𝑝+1

2𝑉12 + 𝑔𝑧1 =

𝑃2𝑝+1

2𝑉22 + 𝑔𝑧2

Observe que la velocidad es aproximadamente cero en 𝑧1, y la línea de

corriente va de 𝑧1 𝑎 𝑧2. Fíjese además que 𝑝1 𝑦 𝑝2 son ambas la presión

atmosférica, 𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 y se cancelan. (a) Entonces, la velocidad de

salida del tubo queda:

𝑽𝟐 = 𝟐𝒈 (𝒛𝟏 − 𝒛𝟐)

Se puede ver que cuando mas abajo se situé la salida del tubo con

respecto al nivel de la superficie del depósito, mayor será la velocidad

de salida. El efecto sifón no se produce si la salida esta a un nivel igual

o superior a la superficie del tanque.

Aunque las cotas 𝑧3 y 𝑧4 no entran en el análisis, 𝑧3 no debe ser

demasiado grande ya que la presión podría decrecer basta alcanzar la

presión de vapor del Liquido. (b) Para los valores numéricos dados

(sólo necesitamos 𝑧1 y 𝑧2). empleando unidades SI, se tiene:

𝑉2 = 2 9.81 𝑚 𝑠2 [0.6𝑚 − −0.25 𝑚] = 4.08𝑚/𝑠

𝑸 = 𝑽𝟐𝑨𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟖 𝒎 𝒔 𝝅 𝟒 𝟎. 𝟎𝟏𝒎 𝟐 = 𝟑𝟐𝟏𝑬 − 𝟔 𝒎𝟑 𝒔 =

𝟑𝟐𝟏 𝒄𝒎𝟑 𝒔 (Caudal)

FLUJO INCOMPRESIBLE

Un caso especial que da lugar a una gran simplificación es el flujo

incompresible donde las variaciones de densidad son despreciables.

Entonces 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = 0 , independientemente dc que el flujo sea

estacionario o no, y la densidad puede sacarse era de la divergencia

en la ecuación𝜕𝜌

ð𝑡+ 𝛻 ∙ (𝜌𝑉). El resultado:

𝛻 ∙ 𝑉 = 0

es válido para flujo incompresible estacionado y no estacionario.

Su forma en los dos sistemas de coordenadas:

• Cartesiana:𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

• Cilíndrica:1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝑣𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝑣𝜃 +

𝜕

𝜕𝑧𝑣2 = 0

Estas son ecuaciones diferenciales lineales.

En los líquidos y los movimientos lentos de los gases sin adición de

calor, el movimiento del fluido pueden, en muchos casos, se

considerarán incompresible, la densidad en ese caso es constante, y la

forma de la ecuación incompresible quedaría como:

1

2𝑈2 +

𝑝

𝜌+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

FLUJO INCOMPRESIBLE CON PROPIEDADES CONSTANTES

• Continuidad: 𝛻 ∙ 𝑉 = 0

• Cantidad de movimiento: 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜌𝑔 − 𝛻p + μ𝛻2𝑉

• Energía: 𝜌𝑐𝑝𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝜆𝛻2𝑇 + 𝜙

Dado que es constante, solo hay tres incógnitas: p V y T. El sistema

esta cerrado.

No solo eso, el sistema se divide en dos, puesto que las ecuaciones de la

continuidad y de la cantidad de movimiento son independientes de T. Por

tanto, podemos resolver separadamente las primeras dos ecuaciones

anteriores ecuaciones para la presión y la velocidad, utilizando condiciones de

contorno tales como:

• Superficie solida: 𝑉 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑

• Entrada o Salida: 𝑉, 𝑝 conocidas

• Superficie libre: 𝑝 ≈ 𝑝𝑎 𝑤 ≈𝜕𝜂

𝜕𝑡

EL TUBO ESTÁTICO DE PITOT EN FLUJO INCOMPRESIBLE

Un tubo estático de Pitot es un pequeño tubo que apunta en la

dirección de la corriente de manera que , gracias a la medición de

presiones apropiadas , la magnitud de la velocidad en esa corriente, se

puede determinar . El instrumento se muestra en la siguiente figura

sumergido en un fluido de densidad de 𝜌0.

tubo estático de Pitot con manómetro

La sonda de sección circular tiene una abertura en 1, que es el punto

de estancamiento del estancamiento aerodinámico 0-1. La presión

medida en este punto se transmite por separado en la pierna derecha

del manómetro que contiene un fluido de densidad 𝜌𝑚. Una serie de

agujeros se perforan a lo largo de la periferia del tubo en 2 .

El contorno de la sonda está diseñada de tal manera que el punto 2

está lo suficientemente lejos de 1 de manera que las condiciones del

fluido en 2 son idénticas a los del flujo no perturbado a 0 . La presión

medida en 2 es sólo la presión ambiente y, en consecuencia no se ve

afectada por la carga dinámica , puesto que la velocidad es paralela al

lado de la sonda.

Esta presión en 2 se transmite a través de un paso independiente en el

lado de la mano izquierda del manómetro . El manómetro, por lo tanto ,

lee la diferencia de presiones entre 1 y 2 o 0.

Mide la presión del aire de impacto resultante del movimiento de la

aeronave.

Suele estar situado debajo del ala o en el morro del avión.

Para evitar el engelamiento en el tubo Pitot, suele llevar incorporado un

elemento calefactoreléctrico que puede ser accionado en cualquier

momento por medio de un interruptor en cabina.

El Sistema estático de Pitot es un sistema que utiliza la presión de

impacto del aire sobre un tubo de Pitot y la presión estática del aire en

calma para el funcionamiento de varios instrumentos de vuelo:

indicador de velocidad indicada (anemómetro),altímetro e indicador de

velocidad vertical (variómetro).

BIBLIOGRAFÍA:• MECÁNICA DE FLUIDOS; FRANK M. WHITE; 5ª EDICIÓN; EDITORIAL

MCGRAW HILL

• MECÁNICA DE FLUIDOS FUNDAMENTOS Y APLICACIONES; YUNUS

A. CENGEL; EDITORIAL MCGRAW HILL

• PRINCIPLES OF FLUID MECHANICS; SALOMON ESKINAZI; ALLYN

AND BACON, INC., BOSTON, 1962

• HTTP://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=RJBDIZ2F01U

• HTTP://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=OT6BAI6PZF4

• HTTP://WWW.PASIONPORVOLAR.COM/SISTEMA-DE-PITOT-

ESTATICO/