trigonometría para medir los cielos -...

Trigonometría para medir los cielos

XIV JAEM Girona 2009


Mª Rosa Massa 1, Iolanda Guevara2, Carles Puig-Pla3, Fátima Romero4 1Universitat Politècnica de Catalunya

2IES Badalona VII 3Universitat Politècnica de Catalunya

4Inspeccció d’Educació. Generalitat de Catalunya

Resumen

En esta comunicación se presenta el texto de Aristarco de Samos “Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna”. En primer lugar nos referiremos a la época, seguidamente daremos una breve reseña biográfica para pasar a describir la obra y la actividad de clase, así como el dossier que hemos elaborado y experimentado con el alumnado. Este estudio forma parte del proyecto “Los orígenes de la trigonometría y su desarrollo en las diferentes civilizaciones”, que el “Grup d’Història de les Matemàtiques de l’ABEAM (Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques)” está elaborando.

PALABRAS CLAVE: trigonometría, Aristarco de Samos, medidas

1.Introducción

El aprendizaje de la historia de las matemáticas puede contribuir a mejorar la formación integral del alumnado. La historia de las matemáticas pone de manifiesto que las matemáticas se han empleado siempre por resolver problemas relacionados con la actividad humana y por intentar entender el mundo que nos rodea.

La historia de la matemática aporta al profesorado una nueva perspectiva más completa de la materia, que lo capacitará por ofrecer una formación científica más amplia. La presentación de casos históricos es uno de los recursos que se pueden emplear para mejorar la transmisión y logro de los contenidos matemáticos y también para actuar de revulsivo en aquellos casos en qué el alumno no encuentra motivación en la matemática. Los contextos históricos implementados en la enseñanza de las matemáticas transmiten a los alumnos una percepción de la matemática como una ciencia útil, dinámica, humana, interdisciplinaria y heurística (Massa, 2003).

No tan sólo como profesores, sino como matemáticos, la historia de la matemática nos aporta una mejor comprensión de los fundamentos y de la naturaleza de la matemática. La historia de la matemática provee a los amantes de esta ciencia de elementos de comprensión más profunda de los conceptos y técnicas matemáticos de uso cotidiano en nuestras aulas. Nos ayuda a comprender como y por qué se han formado las diferentes ramas de la matemática: el análisis, el álgebra, la geometría, etc., sus diferentes interrelaciones y las relaciones con las otras ciencias. El proceso histórico de constitución de unos conocimientos nos informa de los problemas que presentaban más dificultades antes de llegar a un resultado satisfactorio y, a la vez, nos orienta sobre



cuáles fueron las motivaciones por conseguir superar el marco anterior. La historia de la matemática proporciona así ideas, que son utilizables como herramientas didácticas.

La historia de la matemática puede ser empleada, pues, dentro el aula como recurso implícito y como recurso explícito. Como recurso implícito se puede considerar en la fase de diseño, para seleccionar contexto, problemas y fuentes auxiliares. También puede ser utilizada para programar la secuenciación de la enseñanza de un concepto o de una idea puesto que el proceso de evolución de un concepto muestra las dificultades de aprendizaje que puede tener el alumnado e indica un posible camino para su docencia. Además de la importancia de la historia como instrumento implícito para mejorar la enseñanza de la matemática, también podemos enseñar utilizando la historia de la matemática de manera explícita, diseñando contextos históricos. De hecho, al Decreto 143/2007, de 26 de junio, (DOGC 4915 de 29.06.07), por el cual se establece la ordenación de las enseñanzas de la educación secundaria obligatoria, dentro del currículum de matemáticas hay un apartado a cada curso titulado contextos históricos. Estos contextos se presentan en forma de lista no exhaustiva de posibles aproximaciones históricas relacionadas con los contenidos del curso.

Esta comunicación se enmarca en el proyecto “Los orígenes de la trigonometría y su desarrollo en las diferentes civilizaciones”, del “Grup d’Història de les Matemàtiques de l’ABEAM (Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques)”. El objetivo de este proyecto es proporcionar al profesorado material histórico relacionado con el origen de la trigonometría, prestando especial atención a los conceptos trigonométricos que forman parte del currículum. Los materiales que elaboramos son, por una parte traducciones de textos significativos dentro de la historia de la trigonometría, y, por otra parte, actividades de aula diseñadas a partir de estos textos, que experimentamos previamente. Con ello pretendemos que se transmita al alumnado una idea global del desarrollo de los conceptos trigonométricos que le facilite su comprensión.

En este proyecto se investiga la evolución histórica de los conceptos trigonométricos que abarca desde la Antigüedad hasta el período de Regiomontanus (1436-1476). Concretamente, los textos analizados son: Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna de Aristarco de Samos (aprox. 310-230 aC) (Massa, 2005; Aristarco, 2007); Los Elementos de Euclides (300 aC) (Romero, Guevara y Massa, 2007); Las Esféricas de Menelao (aprox. 100); El Almagesto de Ptolomeo (85- 165) (Romero y Massa, 2003); Los Nueve Capítulos sobre los procedimientos matemáticos (s. I dC) (Romero, Puig-Pla, Guevara, Massa, en prensa); El Tratado del cuadrilátero de Nassir-al-Tusi (1201-1274) (Romero, Massa y Casals, 2006) y Sobre los triángulos cualesquiera de Regiomontanus (1436-1476) (Guevara y Massa, 2005). El período posterior, desde Regiomontanus hasta Bartholomeo Pitiscus (1561-1613) ya ha sido estudiado por Claudia Zeller (1944).

Así como en las XIII JAEM de Granada presentamos el teorema de Menelao en esta ocasión será el texto de Aristarco de Samos sobre las medidas y distancias del Sol y la Luna. En primer lugar nos referiremos a la época, seguidamente daremos una breve reseña biográfica para pasar a describir la obra y la actividad de clase, así como el dossier que hemos elaborado para el alumnado.



2. Contexto: Astronomía griega

Como muchos historiadores señalan, la historia de la astronomía griega probablemente comenzó como parte de la historia de la filosofía griega, de manera que los primeros grandes filósofos fueron también los primeros astrónomos. Así podemos citar, por ejemplo, a Tales (aprox. 624-547 a.C.), Pitágoras (aprox. 572-497 a.C.), Eudoxo (aprox. 408-355 a.C.), Aristóteles (aprox. 384-322 a.C.), etc.

Tales, conocido como astrónomo y que, según Heath, predijo y explicó las causas de un eclipse de Sol, entendía la Luna y el Sol como discos o cilindros cortos que se comportaban como si flotaran en el agua [Heath, 1981b, pp. 137-138]. Tannery compara esta visión del universo de Tales con la que se encuentra en los papiros egipcios [Tannery, 1990, p. 74].

Otros avances tuvieron lugar con Pitágoras y sus seguidores, quienes reconocieron que la Tierra era una esfera y que Venus, la estrella vespertina, era el mismo planeta que Venus, la estrella matutina. El movimiento de la Tierra así como el del Sol, la Luna y los planetas alrededor de un fuego central fue también una teoría atribuida a un discípulo de Pitágoras, Filolao de Crotona (aprox. 470 a.C.) [Berry, 1961, pp. 24-25].

Posteriormente, Eudoxo propuso una teoría de esferas homocéntricas para describir el movimiento de los cuerpos celestes. Supuso que la Tierra permanecía inmóvil en el centro y que los planetas (incluyendo el Sol y la Luna) ejecutaban movimientos circulares alrededor de ella. Eudoxo las consideró esferas encajadas y concéntricas con la Tierra: tres esferas para el Sol, tres para la Luna y cuatro para cada uno de los otros planetas con diferentes velocidades de rotación y ejes de giro. También construyó un observatorio en Cnido, observó las estrellas y escribió un libro sobre la salida y la puesta de las constelaciones.

Aristóteles, cuyos textos tuvieron gran influencia, analizó las realidades observables y reconstruyó la teoría del universo integrando en su cosmología muchas de las ideas de sus predecesores tales como el geocentrismo, el marco estructural del universo de las dos esferas, el principio platónico de movimiento circular y uniforme de los cuerpos celestes y, además, se apropió de la teoría presocrática de los cuatro elementos [Puig Pla, 1996, pp. 41-55]. Estableció las bases de lo que hoy llamamos física antigua y las líneas básicas de su doctrina fueron aceptadas como dogma durante unas sesenta generaciones. Las fuentes disponibles que hacen referencia a los principios de filosofía natural de Aristóteles son los ocho libros de Física. Las cuestiones astronómicas se discuten sobre todo en los cuatro libros del De Caelo y en la Meteorología. De hecho la práctica totalidad de los astrónomos griegos, árabes y cristianos aceptaron, de forma implícita o no, las premisas fundamentales de la cosmología aristotélica: el carácter cerrado y finito del cosmos, la inmovilidad de la Tierra en el centro del universo y la diferencia esencial entre las dos regiones: la celeste (supralunar) y la terrestre (sublunar).



Aristarco de Samos, que se sitúa entre Euclides (aprox. 300 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.), fue una de las raras excepciones que planteó ideas heliocéntricas del Universo, como comentaremos más adelante. Sin embargo, en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna utilizó la teoría geocéntrica. Aristarco fue uno de los pioneros en escribir una obra que calculaba los tamaños del Sol y la Luna relacionándolos con los de la Tierra y las distancias de ellos a la Tierra.

3. El personaje: Aristarco de Samos

Aristarco nació en la isla de Samos el 310 a.C..(Sthal, 1970-1991;Wall, 1975; Aristarco de Samos, 2007) Fue discípulo de Estratón de Lampsaco, tercer director del Liceo, la escuela fundada por Aristóteles. Sin embargo, se cree más probable que Aristarco estudiara con Estratón en Alejandría, y no en Atenas, ya que Estratón fue nombrado director del Museo de Alejandría en el año 287 a.C..

No se conoce casi nada de su vida. Las escasas informaciones de que se dispone están determinadas por las citas halladas en textos posteriores y por la obra que nos dejó. Así, Ptolomeo (aprox. 85 -165), en su obra Almagesto (150), llamada también Sintaxis Matemática, explica que Aristarco observó el solsticio de verano en el año 280 a.C.. Ptolomeo, en el apartado primero del libro III de su obra, describe también los procedimientos de Aristarco para determinar la longitud del año solar [Ptolemy, 1984, pp. 137-139]. Posteriormente, Nicolás Copérnico (1473-1543) en su obra De Revolutionibus orbium coelestium libri VI (1543) explica las observaciones realizadas por Aristarco en Alejandría con Timocaris de Alejandría (aprox. III a.C.) y Aristilo (discípulo de Timocaris). En el capítulo II del tercer libro, Copérnico relata las observaciones de los equinoccios y solsticios bajo el título: “Historia de las observaciones que comprueban la irregular precesión de los equinoccios y los solsticios” y cita a Aristarco y a Timocaris. Concluye que “desde Timocaris a Ptolomeo, en comparación con los restantes tiempos, el movimiento aparente de precesión de los equinoccios se descubrió más lento”. En el capítulo VI de este mismo libro, Copérnico vuelve a describir los movimientos regulares de la precesión de los equinoccios, citando de nuevo a Aristarco, Timocaris y Aristilo. Finalmente, en el capítulo XIII del mismo libro tercero, Copérnico describe los cálculos realizados por diversos astrónomos, entre ellos Aristarco, para determinar la magnitud del año solar [Copérnico, 1987, pp. 151-154,162-169 y 183-187].

Aunque fue reconocido como astrónomo en las obras anteriores, Aristarco en su época fue llamado el “matemático”, y citado como uno de los pocos hombres que tenían un profundo conocimiento de todas las ramas de la ciencia: geometría, astronomía, música,… Así Vitruvio (s. I a.C.) lo menciona en su obra De Architectura (35-25 a.C.). Según Tannery (1995, Vol. I, p. 373), Vitruvio explica que Aristarco había construido dos relojes de Sol, uno hemisférico y otro plano. Por otro lado, no tenemos ninguna duda de que era un geómetra muy capaz, como queda probado en el trabajo de astronomía que nos ha legado. También escribió sobre visión, luz y colores. Decía que los colores eran “formas estampando el aire con impresiones de cómo eran ellas mismas”.

No obstante, Aristarco es sobre todo conocido por ser el “antiguo Copérnico”. Hay unanimidad en afirmar que Aristarco fue de los primeros en presentar la hipótesis heliocéntrica. Arquímedes (Archimède, 1971, p. 135), contemporáneo suyo, lo afirma en



un pasaje de su obra Arenario (216 a.C.) del cual se puede deducir que Aristarco suponía que las esferas de las estrellas y el Sol permanecían en el espacio sin moverse y que la Tierra giraba alrededor del Sol. Aristarco comparaba la esfera de las estrellas fijas con la órbita de la Tierra. En este sentido también lo cita Plutarco (aprox. 46-125) en su obra Obras Morales (Chermiss-Helmbald, 1957, p. 55) donde comenta que Cleanthes creía que se debería atacar a Aristarco por desplazar la Tierra del centro del universo o sea que, en aquella época, se suponía que Aristarco asumía en sus teorías el movimiento de la Tierra. Sin embargo, a pesar de estas referencias, Aristarco en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna no presenta la hipótesis heliocéntrica. Es probable que esta hipótesis le viniera sugerida al comprobar, en su obra, que el Sol es mucho más grande que la Tierra y la Luna y se encuentra mucho más lejos de la Tierra que la Luna. Veamos el contenido de esta obra con más detalle.

4. La obra: Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna

Una valoración integral de esta obra de astronomía ha de considerar la estrecha relación que tuvieron los inicios de la astronomía con los orígenes de la trigonometría, aspecto, éste, que contribuye a su mejor comprensión. En el texto, Aristarco se plantea problemas de geometría plana cortando las esferas del Sol y de la Luna en círculos máximos. Para resolver los problemas geométricos, recurre a relaciones, consideradas hoy como trigonométricas, entre ángulos y lados de un triángulo. Los ángulos los expresa como fracciones de ángulo recto y escribe las razones trigonométricas como razones entre los lados de los triángulos; así puede determinar las cotas superiores e inferiores del valor que busca. Las proposiciones geométricas que Aristarco emplea se encuentran mayoritariamente en los Elementos de Euclides. La teoría de proporciones de Eudoxo del libro V de los Elementos es utilizada constantemente y sus propiedades de invertir, alternar, componer y multiplicar son aplicadas tanto para proporciones de igualdad como de desigualdad. Aristarco se basa también implícitamente en otras relaciones, que para nosotros son trigonométricas, como si las conociese o las considerase triviales.

Aristarco parte de seis hipótesis sobre los tamaños y las distancias a los astros, y a través de dieciocho proposiciones, demuestra tres tesis. Las hipótesis de las que parte se pueden agrupar en dos bloques: uno, para las tres primeras que son descriptivas y otro, para las tres restantes que son, además, cuantitativas. El contenido de las tres primeras podríamos enunciarlo así: la primera afirma que La Luna recibe su luz del Sol, la segunda explica que La Tierra representa el centro de la esfera en la que se mueve la Luna, y la tercera nos describe que el círculo máximo que delimita las partes de oscuridad y claridad en la Luna está en el campo de visión de nuestro ojo. Estas hipótesis, pues, no aportan ningún ángulo, ninguna medida, sino que describen las posiciones de los astros. Las otras tres hipótesis proporcionan medidas obtenidas probablemente por observación. Así, la cuarta implica que cuando la Luna forma ángulo recto con el Sol y la Tierra, el ángulo de visión de la Luna desde la Tierra es de 87º, ya que el otro ángulo del triángulo rectángulo mide una treintava parte (1/30) de un cuadrante (90º), es decir 3º; la quinta nos proporciona el tamaño de la sombra de la Tierra que es dos veces la Luna, y la sexta y última nos explica que la Luna es vista desde la Tierra, formando un cono, con un ángulo de 2º, que es una quinceava parte de un signo del zodíaco (30º).



Las tres tesis, que enuncia al principio del libro, son: la primera, la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces, la distancia desde la Tierra a la Luna; la segunda, el diámetro del Sol está en la misma razón que el diámetro de la Luna, y la tercera, el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una razón mayor que la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Estas tres tesis las demuestra en las proposiciones nº 7, nº 9 y nº 15, respectivamente. La demostración de la proposición nº 7 es la que hemos usado para diseñar la actividad de clase.

El texto constituye una colección coherente de proposiciones, con una descripción correlativa de las ideas que quiere mostrar, teniendo siempre presente sus objetivos, es decir, calcular los tamaños y las distancias de los astros. Las proposiciones constituyen ejercicios matemáticos con operaciones entre razones y con construcciones singulares de figuras que nos muestran la gran calidad de este matemático. Es un texto rico y bien estructurado y, a nuestro entender, sus demostraciones son impecables en cuanto al rigor.

Sin embargo, su rigor en el razonamiento no fue acompañado de observaciones correctas, así observó un ángulo de 87º, cuando en realidad es casi de 90º. De hecho, el Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna y su diámetro es 109 veces mayor que el de la Tierra.

5. La actividad de clase: el texto histórico en el aula

Los textos históricos se pueden usar para introducir un tema o un concepto, para profundizar en él, para explicar diferencias entre dos contextos, para motivar el estudio de un tipo de problemas o incluso para aclarar algún razonamiento. Una buena utilización de los textos históricos requiere que el profesor presente al personaje en su contexto histórico haciendo énfasis tanto en los objetivos que impulsaron su obra como en las preocupaciones de la época. Es importante también situar cronológicamente al autor y mostrar al alumnado diferentes aspectos de la ciencia y de la cultura de la época de forma interdisciplinar sin caer en la biografía anecdótica sin ningún contenido matemático. Sería bueno también tener un mapa en el aula con la finalidad de situar geográfica e históricamente el texto. Se debe clarificar la relación del texto histórico con el concepto matemático que se estudia para que el análisis del texto no quede aislado de las ideas matemáticas que se quieren transmitir, y a la vez, situar el concepto matemático dentro de la programación del curso a fin de que los alumnos lo perciban como un todo coherente. Se ha de analizar el texto o demostración significativa, haciendo una prolija valoración de los razonamientos matemáticos y de las características de las demostraciones. Finalmente, se requiere situar el concepto o la demostración dentro de la historia de las matemáticas a fin de que los alumnos puedan valorar su desarrollo histórico. El conocimiento de otras maneras de trabajar desde las ópticas más variadas, puede hacer más competentes a los alumnos para afrontar nuevos problemas y contribuye a enriquecer su formación. (Guevara, Massa, Romero, 2007)



Figura 1. Aristarco de Samos 2007, p 109

La proposición nº 7 afirma que la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces la distancia desde la Tierra a la Luna.

Aristarco construye un triángulo rectángulo con vértices en los centros de la Tierra (B), de la Luna (C) y del Sol (A) con ángulos dados o sea conocidos por observación. Como la Luna se nos muestra partida en dos, el ángulo BCA es recto, el ángulo ABC es de 87º (por observación) y el CAB es de 3º. De hecho, demuestra que:

1/18 > sin 3º = CB : AB > 1/20,

siendo CB la distancia Luna-Tierra, AB la distancia Sol-Tierra y interpretando aquí la razón de las distancias como el seno del ángulo complementario al comprendido entre ellas.

Demostraremos solamente la primera desigualdad: 1/18 > CB : AB o sea AB > 18CB (véase fig. 1).

Demostración: Sea A el centro del Sol, B el centro de la Tierra. Y C el centro de la Luna cuando se nos muestra partida por la mitad, entonces CB representa la distancia desde la Tierra a la Luna y AB representa la distancia al Sol desde la Tierra. Por la hipótesis nº 4, el ángulo BAC es 3º, entonces el ángulo ABC que mesura el alejamiento de la Luna al Sol es 87º puesto que BCA es recto. Acto seguido Aristarco dibuja una circunferencia de centro B y radio AB y estudia el problema en BHE, triángulo semejante construido de lados perpendiculares al dado, o sea que el ángulo DBE vale 3º. Además completa el cuadrado de lados AB, BE con los lados AF y FE. Sea pues el ángulo FBE igual a 45º y el ángulo GBE la mitad, es decir, 90/4. Calculando la razón entre los dos ángulos GBE y DBE, que vale 3, resulta 15 es a 2 . Dice Aristarco que, puesto que sabemos que la



razón entre los lados encontrados a estos ángulos es más grande que la razón entre ellos, podemos escribir:

GE : HE > (GBE) : (DBE) = 15 : 2 .

Ahora aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo isósceles (BE = FE) formado por la mitad del cuadrado se cumple que: FB2 = 2 BE2. A continuación aplica proporciones a los triángulos semejantes, llegando a la conclusión que FG2 = 2 GE2.

La estrategia que usa acto seguido es utilizar la razón 50 : 25 = 2 > 49 : 25. Entonces escribe: FG2 : GE2 = 2 > 49 : 25. Sacando la raíz cuadrada queda FG : GE > 7 : 5. Componiendo la razón (componendo), FG + GE = F E ( Euclides; 1994) resulta

FE : GE > 12 : 5 = 36 : 15 .

Pero como que antes había demostrado que GE : HE > 15 : 2 , haciendo el producto de las dos razones (ex aequali), FE : GE con GE : HE, resulta FE : HE > 36 : 2 = 18 : 1 .

O sea que FE > 18 HE, pero como que FE = BE (lados del cuadrado) entonces BE > 18 HE. Sabemos también que BH que es la hipotenusa es más grande que BE que es un cateto, entonces BH > 18 HE. Ahora escribe este resultado en el triángulo parecido a este, es decir, la demostración que ha hecho en el triángulo BHE la expresa en el triángulo ortogonal ABC mediante la proporción: BH : HE = AB : CB y concluye que AB > 18 CB. O sea que la distancia al Sol desde la Tierra (AB) es mayor que dieciocho veces la distancia desde la Tierra a la Luna (CB).

Con este planteamiento, hemos de destacar las cuatro estrategias matemáticas necesarias para el desarrollo de la demostración de la primera desigualdad: el paso del análisis del problema del triángulo Sol-Tierra-Luna a un triángulo semejante; la utilización de la relación, como si fuera trivial, entre las tangentes (expresión actual) y los ángulos (tg : tg > : , con , ángulos del primer cuadrante); el establecimiento de una proporción entre los segmentos que determina la bisectriz de un ángulo y los lados del triángulo (aplicando una proposición de los Elementos) y, la última, la aproximación de 2 por 7: 5. Al final traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB > 18 CB.

Para la segunda desigualdad, Aristarco trabaja también con el triángulo semejante anterior y construye otra circunferencia tomando la hipotenusa como diámetro. Utiliza el lado de un hexágono inscrito en la circunferencia para relacionar su arco de circunferencia con el de la cuerda determinada por el lado opuesto al ángulo de 3º. En este caso tiene en cuenta que el ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca y así puede establecer una proporción de desigualdad entre los arcos de circunferencia y las cuerdas. Destaquemos que otra vez está suponiendo cierta una relación trigonométrica entre los ángulos y sus senos ( : > sin : sin , con , ángulos del primer cuadrante). Nuevamente traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB < 20 CB.



6. El dossier para utilizar en el aula

SOBRE LOS TAMAÑOS Y LAS DISTANCIAS DEL SOL Y LA LUNA (260 aC)

En esta obra, Aristarco de Samos (310 aC- 230 aC) parte de seis hipótesis sobre las medidas y distancias a los astros y mediante dieciocho proposiciones demuestra tres tesis. Anticipándose a los métodos trigonométricos posteriores, Aristarco fue el primero en desarrollar procedimientos geométricos para calcular el seno de ángulos pequeños.

Las hipótesis en las que se basa son:

1.- La Luna recibe su luz del Sol. 2. - La Tierra es como un punto en el centro de la esfera en la cual se mueve la Luna. 3.- Cuando la Luna se nos muestra partida en dos, el círculo máximo que separa la luz de la oscuridad se inclina en la dirección de nuestro ojo. 4.- Cuando la Luna se nos muestra partida en dos, dista del Sol menos de 1/30 parte de un cuadrante (o sea 3º). Hay que remarcar que el método de Aristarco es correcto pero la demostración se basa en el ángulo de 87º que obtuvo por observación cuando en realidad la medida del ángulo es de 89º 50'. 5.- La sombra de la Tierra mide como dos Lunas. 6. - La Luna subtiende una quinceava parte de un signo del zodíaco (o sea 1/15 parte de 30º. Aristarco afirma que con estas hipótesis se puede probar la proposición 7. La distancia al Sol desde la Tierra es mayor que dieciocho veces pero menor que veinte veces, la distancia a la Luna desde la Tierra. Es decir: 18 · distancia Tierra-Luna < distancia Tierra-Sol < 20 · distancia Tierra-Luna

Vamos a demostrar la primera desigualdad: distancia Tierra-Sol >18 · distancia Tierra-Luna

Figura 2. Triángulo Sol- Tierra-Luna

Demostración:

Sea A el centro del Sol, B el centro de la Tierra, y C el centre de la Luna cuando se nos muestra partida por la mitad. Entonces BC representará la distancia Tierra-Luna y BA representará la distancia Tierra-Sol.



Reproduciremos la demostración de Aristarco construyendo paso a paso el dibujo que él mismo utilizó.

Consideremos el triángulo:

Figura 3. Esquema Sol-Tierra-Luna

en el que A representa el Sol, B la Tierra y C la Luna cuando se nos muestra partida por la mitad. Queremos demostrar que BA >18·BC

Según la hipótesis 4, el ángulo CAB es de 3º y el ángulo BCA es recto.

Se deduce, por tanto, que el ángulo que mide el alejamiento de la Luna al Sol, es de ………….

Construid ahora sobre el triángulo siguiente la circunferencia de centro B y radio BA, prolongad este radio para obtener un diámetro y trazad también su diámetro perpendicular.

Figura 4



Sea E el extremo derecho del diámetro perpendicular al BA.

Levantad por E una perpendicular y prolongad el lado BC. Sea H el punto de intersección entre estas dos rectas.

Fijaros ahora en el triángulo BEH que acabáis de construir e indicad el valor de los ángulos:

HBE: . . . . .

BEH: . . . . .

EHB: . . . .

Cómo son los triángulos ACB y BEH? . . . . . . . . . . . . . . . .

A continuación Aristarco traslada el problema a este nuevo triángulo BEH semejante al anterior y demostrará que

BH >18 · EH (1)

Completad el dibujo construyendo el cuadrado determinado por los lados AB y BE. Sea F el cuarto vértice. Trazad la diagonal BF del cuadrado. Fijaros que el ángulo FBE mide 45º. Trazad la bisectriz del ángulo FBE que cortará al cuadrado en G. El ángulo GBE medirá, pues, la mitad de FBE, o sea 90/4.

Calculando la razón entre los dos ángulos GBE y HBE, se obtiene:

34

90

HBE

GBE

y simplificando la expresión quedará:

Dice Aristarco que, puesto que sabemos que la razón entre los lados opuestos a estos ángulos es mayor que la razón entre ellos, podemos afirmar que:

GE : HE > (GBE) : (HBE) = 15 : 2 (2)

Aplicando ahora el teorema más conocido referido a los triángulos rectángulos, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (indicad el nombre de este teorema) al triángulo rectángulo isósceles BEF, obtendremos:

22 2 BEFB



Considerad el triángulo BEF con la bisectriz BG del ángulo FBE:

Figura 5

Trazad desde G la perpendicular al lado BF y sea E’ el pie de esta perpendicular.

El triángulo FE’G es rectángulo e isósceles porque el ángulo GE’F es……….y los ángulos GFE’ y E’GF miden………..cada uno.

Apliquemos a este triángulo isósceles el teorema de Pitágoras:

22 '2GEFG

Además los dos triángulos BEG y BE’G son iguales porque tienen un lado en común . . . . . . . . . . . y los tres ángulos iguales. O sea que GE’=.... En estas condiciones

22 2GEFG

Si expresamos esta última igualdad en forma de proporción, tendremos:

2: 22 GEFG

Por otra parte 2 = 50 : 25 > 49 : 25.

Aristarco escribe FG2 : GE2 > 49 : 25. Escoge estos dos valores: 49 y 25 porque son cuadrados perfectos y efectuando la raíz cuadrada queda FG : GE > 7 : 5

Por otro lado como que FE = FG + GE, en lugar de trabajar con FG podemos hacerlo con FE, componiendo la razón:

FE : GE = (FG + GE) : GE = FG: GE + GE : GE > 7 : 5 + 5 : 5 = 12 : 5 = 36 : 15



Es decir:

FE : GE > 36 : 15

Recuperemos de (2) la razón GE : HE > 15 : 2 . Multiplicándola por la anterior obtendremos:

FE : HE > . . . . . . . . . . .

Es decir que FE > 18 HE

Volvamos ahora al cuadrado ABEF. Como que FE = BE, se puede escribir BE > . . . .

Puesto que BH es la hipotenusa y BE es un cateto del triángulo BEH, BH . . . . BE

y, por tanto, . . . . . . . . . . . . . . . . . con lo que queda la desigualdad (1).

Para terminar, recordemos que el triángulo BEH era una construcción adicional hecha con la finalidad de estudiar las desigualdades encontradas, pero el triángulo original Sol-Tierra-Luna era BC.

¿Qué relación había entre el triángulo ACB y el BEH? . . . . . . . . . . . . .

¿Qué lado sería el correspondiente al BE en el triángulo ACB? . . . . . . . . . . . .

¿Cuál sería el lado correspondiente al HE en el triángulo ACB? . . . . . . . . . . . .

Conclusión final.

En estas condiciones la desigualdad BH > 18 HE del triángulo BEH implica la desigualdad . . . . . . . . . . . . . . en el triángulo ACB

Escribid una frase final que, utilizando la última desigualdad, explique la relación entre la distancia del Sol a la Tierra y la distancia de la Luna a la Tierra

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Conclusión

El uso de casos históricos es uno de los recursos que se puede utilizar para mejorar la transmisión y la comprensión de los contenidos matemáticos y también para actuar de revulsivo en aquellos casos en que el alumno no encuentra motivación en las matemáticas. En el caso de la trigonometría, como complemento de este texto podemos presentar el personaje, situarlo en su época y explicar algunas ideas astronómicas del momento. El ejemplo que acabamos de mostrar es gratificante tanto por lo que aprende el alumno como por el interés que despierta al relacionar la geometría, y la trigonometría con una cuestión de capital importancia para la humanidad como es un mejor conocimiento de nuestro universo. Más allá de las ideas matemáticas, el interés de esta obra de Aristarco radica también en la presentación de un método riguroso de



cálculo de distancias relativas Tierra-Sol, Tierra-Luna que contribuyó a un mayor conocimiento astronómico.

En general, el análisis de textos históricos significativos favorece la educación integral del alumnado dándole un conocimiento adicional sobre el contexto social y científico de los diferentes períodos en los que se produjeron dichos textos. El trabajo a partir de actividades que relacionan diferentes temas como en este caso son la geometría, la trigonometría y el álgebra ayuda a los alumnos a reconocer y usar conexiones entre ideas matemáticas, aumentado así su formación matemática. De acuerdo con estas premisas hemos diseñado estos materiales mediante los cuales el alumnado aprehende los conceptos utilizando el método de aprendizaje constructivo.

8. Bibliografia

Aristarco de Samos (2007). Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna. Intr., trad. y notas de M. R. Massa Esteve. Cádiz: Publicaciones de la Universidad de Cádiz.

Archimède. (1971). Des spirales, De l’équilibre des figures planes, L’arénaire, La quadrature de la parabole. Mugler, Ch. (Trad.) Paris : Les Belles Lettres.

Berry, A. (1961). A Short History of Astronomy. Nueva York: Dover (1ra ed. John Murray, 1898).

Copérnico, N. (1987). Sobre las revoluciones. C. Mínguez Pérez (Trad.) Madrid: Editorial Tecnos S. A.

Chermiss, H.-Helmbald, W. (1957). Plutarch’s Moralia. Londres: Cambridge-Mass.

Euclides (1994). Elementos. Vol. 2, libros V-IX. Int. De Luis Vega. Trad i Notas de Mª Luisa Puertas Castaños. Madrid: Gredos.

Guevara, I., Massa, M.R. (2005). Mètodes algebraics a l'obra de Regiomontanus (1436-1476). Biaix, 24, pp. 27-34.

Guevara, I., Massa, M.R., Romero, F. (2007). Enseñar matemáticas a través de su historia: algunos conceptos trigonométricos. Epsilon, 67, vol. 23 (1 y 2) pp. 97-107.

Guevara, I, Romero, F. & Massa, M. R. (2008) Geometria i trigonometria en el teorema de Menelau (100 dC). Actes d'Història de la Ciència i de la Tècnica 1 (2), 39-50.

Heath, T. L. (1981a). Aristarchus of Samos. The Ancient Copernichus. Nueva York: Dover Publications, (1a Ed. Oxford: Clarendon Press, 1913).

Heath, T. L. (1981b). A History of Greek Mathematics I y II. Nueva York: Dover Publications (1a Ed. Oxford: Clarendon Press,1921).

Massa Esteve, M. R. (2003). Aportacions de la història de la matemàtica a l'ensenyament de les matemàtiques. Biaix, 21, pp. 4-9.



Massa Esteve, M. R. (2005). L'Ensenyament de la trigonometria. Aristarc de Samos (310-230 aC)”. En P. Grapi & M. R. Massa [ed.]: Actes de la I Jornada sobre Història de la Ciència i Ensenyament "Antoni Quintana Marí". Barcelona, pp. 95-101.

Puig Pla, C. (1996). El geocentrisme i la física antiga. Barcelona: Edicions UPC. (1a Ed. 1993).

Ptolemy’s (1984). Almagest, G. J. Toomer (trad.) Nueva York: Springer-Verlag.

Romero, F., Massa, M.R. (2003). El Teorema de Ptolemeu. Biaix, 21, pp.31-36.

Romero, F., Guevara, I., Massa, M.R. (2007) Els Elements d'Euclides. Idees trigonomètriques a l'aula. En Actes de la I Jornada sobre Història de la Ciència i Ensenyament "Antoni Quintana Marí". Barcelona, pp. 113-119.

Romero, F., Massa, M.R., Casals, M.A. (2006) La trigonometria en el món àrab. Tractat sobre el quadrilàter complet de Nasir-al-Din al-Tusi (1201-1274). En Actes de la VIII Trobada d' Història de la Ciènciai de la Tècnica, pp. 569-575.

Sthal, W. H. (1970-1991). Aristarchus of Samos. In : Gillispie, C. C. [ed.].Dictionary of Scientific Biography. Nueva York, pp. 246-250.

Tannery, P. (1990) Pour l’histoire de la Science Hellène. De Thalès a Empedocle, Paris : Éditions Jacques Gabay ( 2da. Ed., Paris : Gauthier-Villars et Cie, 1930).

Tannery, P. (1995) Mémoires Scientifiques, 6 vols. In Heiberg, J. L. & Zeuthen, H. G. [ed.], Paris : Éditions Jacques Gabay, 1995-1996 ( 1ra. Ed., Paris : Gauthier-Villars et Cie, 1912-1950).

Vitruvio (1787) Los diez libros De Architectura de M. Vitruvio Polion. Joseph Ortiz & Sanz (trad.). Madrid: Imprenta Real.

Wall, B. E. (1975).The Historiography of Aristarchus of Samos. Studies in the History and Philosophy of Science 6, 201-228.

trigonometría para medir los cielos -...

Documents