triangulos y cuerpos 24 marzo
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PAGE 1Gua de Geometra_____________________________________________________________________
A.) Suma y transforma el resultado si es necesario.
1.) 30 45 27
74 28 9
2.) 138 11 28
16 30 49
3.) 70 37 7
16 14 55
4.) 108 57 16
53 18 42
5.) 57 28 50
16 42 37
176 19 32
40 30 58
7.) 30 27
16 53
8.) 38 19 7
72 40 39
9.)
87 48 17
60 37 40
10.)
68 53 47
180 42 38
Resta
1.) 76 18
30 48
2.) 60 52 38
42 16 53
3.) 190 59 7
84 16 28
4.) 200 9 48
167 43 16
5.) 59 16 11
30 8 40
6.) 42 2 24
38 39 16
7.) 100 18 27
84 47 10
8.) 300 9 6
172 26 38
9.) 6 2 30
2 11 15
10.) 180 17
119 6 38
B.) Trabaja en tu cuaderno.
Sea 17 27 Calcular.
1.) Complemento de
2.) Suplemento de
1.) Complemento de
2.) Suplemento de
3.) Complemento de
4.) Suplemento de
5.) Suplemento de
C.) Calcular las medidas de los ngulos indicados en las siguientes figuras.
68 47 127
30 80
130
25 40 165
105 126
50
34 2x x
x
5x x 36
x+20
x
D.) Determina la medida de los ngulos en los siguientes tringulos.
1.) 2.)
36
47 56 62
3.) 4.)
18 51
127
53
5.) 6.)
C 150
40 76
A B
7.) 8.) C C
2x
118 4x 3x
A A B
9.) 10.)
C
A 46 B
11.) 12.) =
C
52 38
122 A B
13.) C 14.) C
x
E y
A 110 30 B A 60 z B D D
15.) 16.)
C
C z
D 12 43
E
56
A X y B x y
58 A D B
17.) C 18.) C
64 56
D
D
x
A y z B x
58 A z 48 B
19.) 20.) Tring.equiltero C
z x y z
x y
58 49 A B
21.) 22.)
128 z
y
43 x x y
124 36
23.) Tring.rectngulo en A 24.) Tring.equiltero
C C
Y
D
x 128
A B A B
25.)Tring.rectngulo en C 26.)
C
C
A B 63 53 x
41 A B
27.)Tring.issceles 28.) Tring.issceles
C C
X x
D D
56
Y 59 A B
A B
29.) 30.) Tring.issceles
C
C
54
58
D
A B y
z y 55 x
A z B P
31.) Tring.rectngulo en A 32.)
C
C x
D
y
63 z 54
A B A B
33.) Tring.issceles. 34.)
C
128
128 y x z A B 63
D.) COMPLETA EL CUADRO.Pol.RegularSuma de
ngulos
interioresMedida de 1ngulo interiorMedida de 1 ngulo exteriorN de diagonales desde 1 vrticeN total de diagonales
Tringulo
Pentgono
Hexgono
Octgono
Enegono
Decgono
Dodecgono
Penta decgono
Icosgono
TEOREMA DE PITGORAS.
El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
1.) Calcular el lado desconocido en cada uno de los siguientes tringulos rectngulos.
a.)
6 cms. x
8 cms.
b.)
x 13 cms.
5 cms.
c.)
15 cms. 12 cms.
x
d.)
24 cms. 26 cms.
x
e.)
27 cms. 36 cms.
x
f.)
36 cms. 39 cms.
X
g.)
x 16 cms.
12 cms.
h.)
x 35cms.
28 cms.
i.)
16 cms. 20 cms.
x
REAS
REA DE UN PARALELGRAMO. Cuadrado Rectngulo Rombo Romboide
h h h h
base base base base
Para determinar el rea de un paralelgramo se multiplica la longitud de la base por la longitud de la altura.
rea de un paralelgramo= base x altura
Otra forma para determinar el rea de un rombo es: El producto de las diagonales dividido por dos
rea del rombo= diagonal x diagonal
2
REA DEL TRINGULO.
h REA= base X altura
2
REA DEL TRAPECIO.
h rea= base + base h
2
REA DE UN POLGONO REGULAR
A = apotema semipermetro
PERMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.
A = 2 radio
r
REA DE UN CRCULO.
A = r2 r
EJEMPLO Las ruedas de un auto tienen un dametro de 55 cm
Qu distancia recorre el auto, cuando la rueda da una vuelta completa?
2r = 2 3,14 27,5
= 172,7 cms.
Cuntas vueltas debe dar una rueda para recorrer 100 metros?
100 m = 10.000 cm
1 vuelta = 172,7 cms
10.000 : 172,7= 57,9 vueltas aproximadamente.
CUERPOS Y VOLMENES.
Cuerpo: es todo lo que ocupa un lugar en el espacio.
Los cuerpos geomtricos se dividen en dos grupos.
a.) Cuerpos polidricos: Son aquellos que estn limitados por superficies
planas.
b.) Cuerpos redondos: Son aquellos que estn limitados por superficies
curvas.
Prismas
Poliedros
Cuerpos Pirmides
Cilindro
Redondos Cono
Esfera
ELEMENTOS DE UN CUERPO POLIEDRO.
a.) Caras: son los polgonos que lo limitan.
b.) Aristas: son los lados de los polgonos que constituyen sus caras.
c.) Vrtices: son los puntos en que se cortan las aristas.
d.) rea: es la suma de las reas de sus caras.
e.) Volumen: es la parte del espacio encerrada por el cuerpo.
cara basal
arista
vrtice cara lateral
PRISMAS RECTOS: son aquellos cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
HEXAEDRO REGULAR O CUBO.
El hexaedro regular o cubo es el poliedro que est limitado por 6 cuadrados congruentes.
El rea total de cualquier prisma corresponde a la suma
de todas las reas de sus caras.
REA TOTAL DEL CUBO = 6 a2
REA DE UN PARALELEPPEDO
rea total = rea basal + rea lateral
6cms.
8cms
10cms
rea basal rea lateral
2( 10cms 8cms ) + 2 ( 8cms 6 cms) + 2 ( 10 cms 6 cms)
2 80cms2 + 2 48cms2 + 2 60cms2
160cms2 + 96cms2 + 120cms2160cms2 + 216cms2 rea total = 376cms2
PRISMA RECTO DE BASE REGULAR
altura
apotema
rea total = rea basal + rea lateral
base
2 (semipermetro apotema) + permetro de la base h
2 (10cms 4 cms ) + 20 cms 30cmsEjemplo 2 40cms2Lado de la base= 5cms. 80cms2 + 600cms2Apotema = 4cms. rea total = 680cms2Altura = 30cms
VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO.
El volumen de uin prisma recto se obtiene multiplicando el rea de la base por la altura del prisma.
Ejemplo: Volumen de un prisma recto cuya base es un tringulo rectngulo.
24cm V = rea base altura
V = B h h( prisma)
4cm 2
3cm V = 3 cms 4 cms 24cms
2
V = 6cms2 24cms
V = 144cms3
Ejemplo: volumen de un paraleleppedo cuya base mide 20cms. de largo por 15 cms. de ancho y la altura del prisma mide 40cms.
V = rea base altura
V = 20cms 15cms 40 cms
V = 12.000cms3PIRMIDES.
Son poliedros que tienen una cara basal y sus caras laterales son tringulos que tienen un punto en comn llamado cspide.
cspide
altura de la pirmide
apotema lateral
base
cara lateral
La altura de la pirmide es el segmento perpendicular que va desde la cspide a la base.
La apotema o altura de una cara lateral de la pirmide es el segmento perpendicular que va desde la cspide al segmento basal de dicha cara.
PIRMIDES REGULARES
Son aquellas que tienen por base una regin poligonal regular y cuyas caras laterales son congruentes.
REA TOTAL = REA BASAL + REA LATERAL
VOLUMEN = REA BASAL ALTURA
3
Ejemplo: calcular el rea total y el volumen de una pirmide, cuya base es un hexgono regular. Los lados de la base miden 10cms., la apotema basal mide 9cms., la apotema lateral 15cms. y la altura de la pirmide es 12cms.
rea total= rea base + rea lateral
P ap.basal + P ap.lateral
2 2
60cms 9cms + 60cms 15cms
2 2
270cms2 + 450cms2rea total = 720cms2 Volumen = rea de la base altura de la pirmide
3
= 60cms 9cms 12cms
3
= 180cms2 12cms
Volumen = 2.160cms3
CUERPOS REDONDOS
Estn limitados por superficies planas y curvas o por superficies curvas solamente.
CILINDRO RECTO
Cara lateral
altura
generatriz g
r base
r
radio
El cilindro recto est limitado por tres caras:dos planas que son crculos y que se llaman bases del cilindro y una curva que es la cara lateral o manto del cilindro.
La altura del cilindro recto es el segmento que une el centro de sus dos bases. El lado del rectngulo que al girar forma la cara lateral del cilindro recibe el nombre de gereratriz del cilindro.
rea total = rea basal + rea lateral
2( r2 ) + 2 r g
Ejemplo: Determinar el rea y volumen de un cilindro que mide 4cms de radio y la altura del cilindro es 20cms.
rea = 2 r ( r + g ) Volumen = r2 h
= 2 3,14 4 ( 4 + 20 ) = 3,14 42 20
= 2 3,14 4 24 = 3,14 16 20
rea total = 602,88 cms2 Volumen = 1.004,8 cms3CONO RECTO
vrtice
generatriz
altura del cono
r r radio de la base
base
rea total = rea base + rea lateral
r2 + r g
Ejemplo: Determinar el rea y volumen de un cono, cuyo radio de la base mide 5 cms., la generatriz mide 13 cms. y la altura del cono es 12 cms.
rea = r ( r + g ) Volumen = r2 h
3
= 3,14 5 ( 5 + 13 )
= 3,14 52 12
= 3,14 5 18 3
rea = 282,6cms2 = 3,14 25 12
3
= 942
3
Volumen = 314cms3
ESFERA
Es el cuierpo de revolucin que obtenetmos al hacer girar un semicrculo sobre un eje que pase por el dimetro de dicho semicrculo.
La esfera tiene una sola cara que es curva, llamada cara lateral de la esfera.
REA = 4 r2 VOLUMEN = 4 r3 3
r
rea = 4 3,14 32 Volumen = 4 3,14 33 3
= 12,56 9
= 12,56 27
rea = 113,04cms2 3
Volumen = 113,04cm3
INTENTA ENTENDER LOS CONCEPTOS BSICOS Y LA GEOMETRA TE RESULTAR MS FCIL.
NO LE TENGAS TEMOR!
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a2 + b2 = c2
Cat2 + cat2 = hip2
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rea total = 2 EMBED Equation.3 r ( r + g )
Volumen = EMBED Equation.3 r2 h
El cono recto, es el cuerpo de revolucin que obtenemos al hacer girar un tringulo rectngulo sobre un eje que pasa por uno de sus catetos.
Altura del cono es el segmento que une el vrtice con el centro de la base.
Generatriz es el lado del tringulo(hipotenusa) que al girar sobre su eje forma la cara lateral.
rea total = EMBED Equation.3 r . ( r + g )
Volumen = EMBED Equation.3 r2 h
3
Determinar el rea y volumen de una esfera que mide 3 cms. de radio.
11
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