Nulidad de una Transformación LinealSea T : V → W una transformación lineal. La nulidad de es la dimensión de su núcleo y se denota por nulidad(T).

Rango de una Transformación LinealSea T : V → W una transformación lineal. El rango de es la dimensión de su imagen y se denota por rango(T).

Sea T : V → W una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita V a un espacio vectorial W. Entonces

rango(T) + nulidad(T) = dim V

Ejemplos:

a)

Encuentre el kernel y el rango del operador diferencial D : P3 → P2 definido porD(p(x)) = p'(x).Siendo D una transformación lineal.Dado que D(a + bx + cx2 + dx3) = b + 2cx + 3dx2, se tiene

Nu(D) = {a + bx + cx2 + dx3 : D(a + bx + cx2 + dx3) = 0}Nu(D) = {a + bx + cx2 + dx3 : b + 2cx + 3dx2 = 0}

Pero b + 2cx + 3dx2 = 0 si y sólo si b = 2c = 3d = 0,lo cual implica que b = c = d = 0.Por tanto,

Nu(D) = {a + bx + cx2 + dx3 : b = c = d = 0}Nu(D) = {a : a en R}

El rango de D es todo de P2, pues todo polinomio en P2 es la imagen bajo D (esto es,la derivada) de algún polinomio en P3.

Dado que la imagen(D) = P2, el rango(imagen(D)) = rango(D) = dimensión(P2) = 3y como el núcleo de D = {a : a en R}, la nulidad(D) = dimensión(Nu(D)) = 1

b)

La imagen de S es R, pues todo número real puede obtenerse como la imagen bajo S de algún polinomio en P1, puesto que la imagen(S) = R, entonces el rango(S) = 1.La nulidad de S = dimensión(Nu(S)) = 1

c)Encuentre el rango y la nulidad de la transformación lineal T:P2 → P3 definida mediante T(p(x)) = xp(x).

T(a + bx + cx2) = ax + bx2 + cx3, se tiene

Nu(T) = {a + bx + cx2 : T(a + bx + cx2) = 0}Nu(T) = {a + bx + cx2 : ax + bx2 + cx3 = 0}Nu(T) = {a + bx + cx2 : a = b = c = 0}Nu(T) = {0}

de modo que se tiene nulidad(T) = dim(Nu(T)) = 0. El Teorema del rango implica querango(T) = dim P2 - nulidad(T) = 3 - 0 = 3

Inyectividad de una Transformación LinealUna transformación lineal T : V → W es inyectiva si y sólo si Nu(T) = {0}.

Demostración:Suponga que T es inyectiva. Si v está en el kernel de T, entonces T(v) = 0. Pero también se sabe que T(0) = 0,de modo que T(v) = T(0).Puesto que T es inyectiva, esto implica que v = 0, de modo que el único vector en el núcleo de T es el vector cero. Por el contrario, suponga que Nu(T) = {0}. Para demostrar que T es inyectiva, sean u y v que están en V, con T(u) = T(v). Entonces T(u - v) = T(u) - T(v) = 0, lo que implica que u = v está en el núcleo de T. Pero Nu(T) = {0}, de modo que debe tener u - v = 0 o, de manera equivalente,u = v. Esto demuestra que T es inyectiva.

Sobreyectividad de una Transformación LinealSea dim V = dim W = n. Entonces una transformación lineal T : V → W es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Demostración:Suponga que T es inyectiva. Entonces nulidad(T) = 0. El Teorema del rango implica que

rango(T) = dim V = nulidad(T) = n - 0 = n

Por tanto,T es sobreyectiva.Por el contrario, suponga que T es sobreyectiva. Entonces rango(T) = dim W = n. Por el Teorema del rango,

nulidad(T) = dim V = rank(T) = n - n = 0

En consecuencia, Nu(T) = {0} y T es inyectiva.