TRABAJO UNIDADES 1 Y 2 MECANCIA DE MATERIALES

SANDRA MILENA QUINTERO HERRERA

CODIGO 7301081

Ing. JUAN AGUSTÍN VELÁSQUEZ CUBILLOS

Fotogrametría y Fotointerpretación

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

FACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA – FAEDIS

INGENIERIA CIVIL

BOGOTA

2014

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INDICE

Pág.

INTRODUCCION 7

1. OBJETIVOS 8

1.1. Objetivo General 8

1.2. Objetivos Específicos 8

2. MARCO TEORICO 9

3. TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO 11

3.1. Transformación del esfuerzo plano 11

3.2. Ecuaciones generales de la transformación del esfuerzo plano 13

3.3. Esfuerzo principal y esfuerzo cortante máximo en el plano 15

3.4. Circulo de Mohr para esfuerzo plano 18

3.5. Esfuerzo cortante máximo absoluto 22

3

4. TRANSFORMACIÓN DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA 24

4.1. Deformación de unitaria plana 24

4.2. Ecuaciones generales de la transformación unitaria plana 29

4.3. Circulo de Mohr para deformaciones unitarias planas 34

4.4. Deformación unitaria cortante máxima absoluta 35

4.5. Rosetas de deformación unitaria 36

5. Propiedades geométricas de las áreas 40

5.1. Centroide de un área 40

5.2. Momento de inercia de un área 40

5.3. Momento polar de inercia 41

5.4. Radio de giro 42

5.5. Teorema de Steiner 42

5.6. Producto de Inercia 44

4

5.7. Traslación paralela de ejes para el producto de inercia 45

5.8. Momento de inercia con respecto a ejes inclinados 46

5.9. Circulo de Mohr para momento de inercia. 47

BIBLIOGRAFIA 49 ANEXOS Ejercicios resueltos

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LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura N°1 Transformación del esfuerzo plano 11 Figura N°2. Estado de Esfuerzos 12 Figura N°3. Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos 18 Figura N°4. Centro C de un círculo de Mohr 19

Figura N°5 Esfuerzo que actúa sobre el plano 20

Figura N°6. Esfuerzos que actúan en el plano inclinado 25

Figura N°7 Ecuaciones de transformación de la deformación unitaria 25

Figura 8. Deformación unitaria extensional a lo largo de un nuevo eje x´. 26

Figura N°9. Transformación de la deformación unitaria cortante. 28

Figura N°10. Deformación cuando los ejes coordenados giran 30 Figura 11. Estado de esfuerzo plano. 31

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Figura N°12. Nuevas componentes de la deformación 32

Figura N°13 Medida de deformaciones 38

Figura N°14. Medida de deformación normal 39

Figura N°15. Movimiento de traslación y rotación de manera general. 46

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INTRODUCCION

El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la mecanica de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar.

En las transformaciones de deformación plana veremos las deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema vemos como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos a través de fórmulas a un plano conocido, para su fácil manejo.

Pretendemos, con un breve desarrollo, explicar su análisis, y que tan beneficioso puede ser para la práctica en la vida diaria.

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1. OBJETIVOS 1.1. Objetivo General Dar a conocer los diferentes conceptos de Esfuerzo, Deformación y propiedades geométricas de las áreas para un mayor análisis y comprensión en la práctica de la Ingeniería Civil. 1.2. Objetivos Específicos

Comprender la utilidad de conocer los temas relacionados con la transformación y deformación.

Analizar por medio de Ejercicios prácticos el comportamiento de algunos materiales cuando se realiza su diseño.

Aplicar los conocimientos obtenidos en la práctica de la Ingeniería Civil.

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2. MARCO TEORICO

Cargas externas. Un cuerpo puede estar sometido a diversos tipos de cargas externas; sin embargo, cualquiera de éstas puede clasificarse co­ mo fuerza de superficie o como fuerza de cuerpo. Fuerzas de superficie. Como su nombre lo indica, las fuerzas de superficie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. Fuerza de cuerpo. Una fuerza de cuerpo se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto físico directo entre los cuerpos. Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre cuerpos se llaman reacciones. Ecuaciones de equilibrio. El equilibrio de un miembro requiere un balance de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o tenga movi­ miento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de momentos para impedir que el cuerpo gire. Cargas internas resultantes. Una de las aplicaciones más importan­ tes de la estática en el análisis de problemas de la mecánica de materia­ les es poder determinar la fuerza y momento resultantes que actúan den­ tro de un cuerpo y que son necesarias para mantener unido al cuerpo’ cuando éste está sometido a cargas externas. Fuerza normal, N. Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Ésta se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a empujar o a jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg­ mentos del cuerpo resbalen uno sobre el otro.

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Momento torsionante o torca, T. Este efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo con respecto al otro. Momento flexionante, M. El momento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano del área. Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano .r-z. y al plano y-z, podemos entonces “separar” un elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de esfuerzo que actúa alrededor del pun­ to escogido en el cuerpo. Distribución del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal crconstante. Esfuerzo normal promedio máximo. En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal ir = P/A también constante. Cortante simple. Las juntas de acero y madera son ejemplos de conexiones en cortante simple y se conocen como juntas traslapadas. Cortante doble. Cuando la junta se construye deben considerarse dos superficies cortantes. Esfuerzo permisible. Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro. Deformación unitaria normal. El alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de longitud se llama deformación unitaria normal. Deformación unitaria cortante. El cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares entre sí se lla­ ma deformación unitaria cortante.

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3. TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO

3.1. Transformación del esfuerzo plano. Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.

Figura N°1 Transformación del esfuerzo plano

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σx' σy' ðx'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que;

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Figura N°2. Estado de Esfuerzos

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal `da cos ð' y un área lateral `da sen ð'

Suma de fuerzas en la dirección x' :

σx' da = σx da cos ð cos ð + σy da sen ð sen ð + ðxy da cos ð sen ð + ðxy sen ð cos ð

σx' = σx sen2ð +σy cos2ð+ 2 ðxy cos ð sen ð

σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)

Suma de fuerzas en la dirección y' :

ðx'y' da = σy da cos ð sen ð- ðxy da sen ð sen ð + ðxy cos ð cos ð- σx da sen ð cos ð

ðx'y' = σy cos ð sen ð - ðxy sen2ð +ðxy cos2ð- σx sen ð cos ð

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen2ð)

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Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen. 3.1. Ecuaciones Generales de la Transformación del Esfuerzo Plano

El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la estática en el eje y´ y x´ con el

fin de conocer los esfuerzos que actúan en la cara BC de la cuña:

Desarrollando un poco la expresión y despejando x´ queda:

Ahora , luego:

Se tiene además que:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación anterior queda:

Reordenando esta expresión queda:

14

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y´, se tiene:

Reduciendo términos, simplificando y despejando τx´y´ queda:

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos

normales y cortantes, respectivamente, que actúan sobre cualquier plano

localizado por el ángulo y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas

relaciones son las ecuaciones para la transformación del esfuerzo de un sistema

de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este último.

Reemplazando por + 90° en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal

en y´ y´ y el esfuerzo tangencial τy´x´. Algebraicamente estos esfuerzos son:

15

Haciendo queda:

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos

perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ángulo. A esta suma se le llama invariante de esfuerzo. 3.2. Esfuerzo Principal y Esfuerzo Cortante Máximo en el Plano

Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.

El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð:

dσx' /dð = 0 = - ( σx - σy ) (sen 2ð)+ 2 ðxy (cos 2ð)

tan 2ð = 2 ðxy / ( σx - σy )

La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen: ð y ð + 90

Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando

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el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.

En definitiva:

σ1, σ2 =( σx + σy ) / 2+ / -

El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð.

dtx'y' / dð = 0 =-2 ðxy (sen 2ð) - ( σx - σy ) (cos2ð)

tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy

Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva:

3.2.1. Esfuerzos cortantes máximos

El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - ( σx – σy ) / 2 ðxy

Sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares.

En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor

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esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.

El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación

ðx’y’ =ðxy (cos2ð) – ( σx – σy )/2(sen2ð)

Un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte.

A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación

tan2ð = - ( σx – σy ) / 2 ðxy

en la σx’ = ( σx + σy )/2 + ( σx – σy )/2(cos 2ð) + ðxy (sen2ð)

Muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son

σ* =( σx + σy )/2

Por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy.

18

Son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en ðmax =( σx – σy )/2

3.3. Circulo de Mohr para esfuerzo plano

La representación gráfica de la transformación de los estados bidimensionales de

esfuerzo de un conjunto de coordenadas a otro rotado usando un círculo de Mohr

ofrece una vista de conjunto de una solución y es útil en algunas aplicaciones.

Se dan a continuación dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones.

En el primer procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los

que actúan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deducción de la

transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la

dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un

método u otro es asunto de preferencia.

Método 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos

x, y y τxy y luego determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario.

El centro C de un

Figura N°3. Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de

esfuerzos positivos

D

x

τxy

y

x

E τyx

B A y

τxy

C τyx

y y´

x

x´

a

a

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círculo de Mohr se localiza sobre el eje a una distancia del origen. El punto

A sobre el círculo tiene la coordenadas (x,-τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara derecha del elemento en la dirección positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamará origen de los planos. Esta información es suficiente para dibujar un círculo de Mohr.

Figura N°4. Centro C de un círculo de Mohr

El siguiente paso consiste en dibujar sobre el círculo una línea por A paralela al

plano a-a en el plano físico del elemento infinitesimal. La intersección de esta línea

con el círculo entrega el esfuerzo que actúa sobre el plano a-a (punto J).

O 1 3

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

20

Figura N°5 Esfuerzo que actúa sobre el plano

Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo

de Mohr.

De acuerdo a la figura:

Y se tiene además:

O 1 3

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

J

21

21

Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se

debe considerar que consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el

círculo se dibujan como negativos.

Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en . De

nuevo, la cara derecha del elemento define a x y τxy, usados para localizar un

punto sobre el círculo. Sin embargo,

Si , éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y

Si , éste se dibuja hacia arriba en el eje τ

22

Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto

B dado por y y -τxy, puede localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas

que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de corte.

A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje

x´ con respecto al eje x. El nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en

el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el esfuerzo cortante es negativo y

viceversa

Figura N°6. Esfuerzos que actúan en el plano inclinado

3.4. Esfuerzo cortante máximo absoluto

También conocida como Teoría de Tresca o Guest. Establece que la fluencia del material se produce por el esfuerzo cortante, surgió de la observación de la estricción que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensión. La teoría dice:

O 1 3

τ

A

B

J

21

2 τxy<0

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“La falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia” El esfuerzo cortante máximo ocurre a 45grados de la superficie de tensión: Ƭmax=σ/2. El esfuerzo cortante máximo en la fluencia: Ƭmax=Sy/2 Cuando los esfuerzos se encuentran en el siguiente orden: σ1 >σ2>σ3 Entonces el esfuerzo cortante máximo es: Ƭmax= Ƭ(1/3)= (σ1- σ3)/2 El esfuerzo máximo produce la fluencia cuando: Ƭmax=(σ1- σ3)/2= Sy/2 ó (σ1- σ3)= Sy

24

4. TRANSFORMACIÓN DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA Se analiza un procedimiento formal para cambiar las componentes del estado de

esfuerzos o deformación unitaria en un conjunto de ejes coordenados, a otro

conjunto de ejes girados. En ambos casos, el análisis se confina a problemas en

dos dimensiones. La posibilidad de transformar un estado dado de esfuerzos que

implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes girados,

permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera

pueden hacerse hipótesis relativas a los criterios de falla. Este importante tema

será tratado en particular para rocas en los cursos de geología y geomecánica.

Supongamos un elemento, por ejemplo una viga, que está sometida a esfuerzos

normales a ella debido a una tensión axial y a esfuerzos cortantes directos. Si

analizamos un punto de la viga, podemos observar que por él pasan infinitos

planos, luego el estado de esfuerzos se puede describir de distintas maneras que

son todas equivalentes.

4.1. Deformación de Unitaria Plana

Las deformaciones unitarias normales x y y correspondientes a

elongaciones en x e y, respectivamente, se toman como positivas.

La deformación unitaria cortante se considera positiva si el ángulo de 90°

entre los ejes x e y se vuelve más grande. Por conveniencia, al deducir las

ecuaciones de transformación de la deformación unitaria, el elemento

distorsionado por una deformación unitaria cortante se tomará como el

mostrado en el tercer caso de la siguiente figura:

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Figura N°7 Ecuaciones de transformación de la deformación unitaria

Ahora, suponga que se conocen las deformaciones unitarias x, y, xy

asociadas con los ejes xy y que se requiere la deformación unitaria

extensional a lo largo de un nuevo eje x´. El nuevo sistema de ejes x´y´ está

relacionado con los ejes xy como se muestra en la figura de la derecha:

A´´ ´ A´´

A´´

A´

A´ A

O

O

O

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Figura 8. Deformación unitaria extensional a lo largo de un nuevo eje x´.

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede

imaginarse como una diagonal de un elemento diferencial rectangular de

dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A

causados por las deformaciones unitarias impuestas sobre una base diferente en

los dos sistemas coordenados:

Desplazamiento en la dirección x

Desplazamiento en la dirección y

O C

B A

dx

dy

x

y

x´

y´

A´´ A´´ ´

A´

dx´

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Desplazamiento debido a la deformación unitaria cortante: se supone que

ella causa desplazamiento horizontal:

Proyectando estos desplazamientos sobre el eje x´, se encuentra el

desplazamiento del punto A a lo largo del eje x´. Ahora, por definición, en

el sistema coordenado x´y´es también el alargamiento en OA, luego se tiene la

siguiente igualdad:

Pero:

Luego:

Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación

unitaria en un plano en una dirección arbitraria definida por el eje x´.

Ahora, estudiemos la transformación de la deformación unitaria cortante. Para este

fin considere la figura que se muestra a continuación:

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Figura N°9. Transformación de la deformación unitaria cortante.

Por definición la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en

el ángulo AOB. De la figura el cambio en este ángulo es , el signo es

negativo pues el ángulo recto se reduce.

Para deformaciones pequeñas el ángulo puede determinarse proyectando los

desplazamientos AA´, A´A´´, A´´A´´´ sobre una normal al eje x´ y luego dividiendo

por dx´:

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Por un razonamiento análogo,

Por lo tanto:

Esta es la segunda expresión fundamental para la transformación de la

deformación unitaria.

Las ecuaciones básicas para la transformación de la deformación unitaria en un

plano son análogas a las ecuaciones para la transformación del esfuerzo en dos

dimensiones. Esto se debe a que los esfuerzos y las deformaciones unitarias son

tensores de segundo rango y matemáticamente obedecen a las mismas leyes de

transformación.

4.2. Ecuaciones generales de la transformación unitaria plana Convención de Signos Las deformaciones unitarias normales Ex y Ey son positivas si causan alargamiento a lo largo de los ejes X y Y respectivamente y la deformación unitaria cortante Yxy es positiva si el ángulo interno se hace menor que 90°.

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En este tema se ha de analizar las transformaciones de la deformación cuando los ejes coordenados giran. Este análisis se limitará a estados de deformación plana, es decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z (ver figura I) perpendicular a los planos en los cuales la deformación tiene lugar, tenemos Ez = 'Yzx = 'Yzy = 0, las únicas componentes de deformación que restan son Ex, Ey y 'Yxy. Tal situación ocurre en una placa sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rígidos y lisos (ver figura I). También se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetría, los elementos situados en un plano transversal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas transversales uniformemente distribuidas (ver figura II), existe un estado de esfuerzo plano en cualquier sección transversal que no esté localizada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra.

Figura N°10. Deformación cuando los ejes coordenados giran

31

Figura 11. Estado de esfuerzo plano. Supóngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (z = 'Yzx = 'Yz = 0), definido

por las Componentes de deformación Ez, Ey y 'Yxy asociadas Con los ejes x y y. Esto

significa que un elemento cuadrado de centro Q, con lados de longitud "s respectivamente

paralelos a los ejes x y y, se transforma en un paralelogramo con lados de longitud "s (1 +Ex)

y "s (1 +Ey), formando ángulos de "/2 -'Yxy y f + 'Yxy entre si (vea figura II)).Como resultado

de las deformaciones de los otros elementos localizados en el plano xy, el elemento

considerado también puede experimentar un movimiento de cuerpo rígido, pero tal movimiento

es insignificante en lo referente a la determinación de las deformaciones en el punto Q y no se

tendrá en cuenta en este análisis.

El propósito es determinar en términos de Ex,Ey, 'Yxy y 0 las Componentes de deformación

Ex,Ey. y 'Yx'y' asociadas con el marco de referencia x' y ' obtenido mediante la rotación de los

ejes x y y u n ángulo. Como se muestra en la figura IV, estas nuevas componentes de la

deformación definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados

respectivamente paralelos a los ejes x' y y'.

32

Figura N°12. Nuevas componentes de la deformación Primero se derivará una expresión para la deformación normal E a lo largo de una línea AB que forma un ángulo arbitrario � con el eje x. Para hacerlo considere el

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triángulo rectángulo ABC con AB como hipotenusa (vea figura Va) y el triángulo oblicuo A'B'C', en el cual se transforma el triángulo ABC (vea la figura Vb), se tiene

(A'b')^2= (A'C') ^2 + (C'B') ^2 -(A'C')(C'B')cos("/2 + Yxy)

("s) ^2 { 1+ E(α)}= ("x) ^2( 1+Ex) ^2 + ("y) ^2(1 Ey) ^2

-2("x)(1+Ex)( "y)(1+Ey) cos("/2 + Yxy) (a)

Pero de la figura Va,

"x=( "s) cos(α) "y=( "s) sen(α) (b)

Y, como Yxy es muy pequeño

Cos( /2 + Yxy)= -senYxy" -Yxy (c)

Sustituyendo de las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación (a), se escribe

E(α)= Ex cos^2 α + Ey sen^2 α + Yxy sen α cos α (d)

La ecuación (d) permite hallar la deformación normal E(�) en cualquier dirección AB, en función de las componentes de deformación Ex,Ey, 'Yxy, y del ángulo α que forma AB con el eje x. Observe que, para ( = 0), la ecuación (d) produce E (α) = Ex, y que, para � ( = 90°, da E(90°) = Ey.

El propósito principal de esta sección es expresar las componentes de la deformación asociadas con el marco de referencia x'y' de la figura IV en términos del ángulo � y de las componentes Ex, Ey y Yxy, asociadas con los ejes x y y se nota que la deformación normal Ex' a lo largo del eje x' está dada por la ecuación (d). Se escribe esta ecuación en la forma alternativa

Ex'=(Ex + Ey)/2 + (Ex - Ey)/2 cos2 α +Yxy/2 sen2α (e)

Remplazando α por α + 90°, se obtiene la deformación normal a lo largo del eje

y'.Como cos (2α + 180°) = cos 2α y sen (2 + 180°) = -sen 2

Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 cos2α -Yxy/2 sen2α (f)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (e) y (f)

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Ex'+ Ey'= Ex + Ey (g)

Puesto que Ez = Ez' = 0, se verifica, en el caso de la deformación plana, que la suma de las deformaciones normales asociadas con un elemento cúbico de material es independiente de la orientación del elemento.

Remplazando ahora α por α + 45° en la ecuación (e), se obtiene una expresión para la deformación normal a lo largo de la bisectriz OB' del ángulo formado por los ejes x' y y'. Como cos (2 + 90°) = -sen 2� y sen (2 + 90°) = cos 2, se tiene

E( )B' =Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 sen2 � +Yxy/2 cos2α (h)

Escribiendo la educación (d) con respecto a los ejes x' y y',se expresa ;a deformación cortante Yx'y' en función de las deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes x' y y', y de la bisectriz OB':

Yx'y'= 2E( )B' -( Ex' + Ey') (i)

Sustituyendo de las ecuaciones ( g) y (h) en la (i)

Yx'y'= -(Ex - Ey)sen2� + Yxy cos2α (j)

Escribiendo las ecuaciones (e), (f) y (j) son las que definen la transformación de deformación plana bajo una rotación de ejes en el plano de deformación. Dividiendo la ecuación (j) por 2, se escribe esta ecuación en la forma alternativa

Yx'y'/2= - (Ex - Ey)/2 sen2α + Yxy/2 cos2α

4.3. Circulo de Mohr para deformaciones unitarias planas Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr4 han sido una forma de solución gráfica de la ecuación 4.6 y de determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. Muchos libros de texto sobre diseño de máquinas presentan el método del círculo de Mohr como una técnica primordial de solución para la determinación de esfuerzos principales. Antes de la llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el método gráfico de Mohr era una forma razonable y práctica de resolución de la ecuación 4.6. Hoy día, sin embargo, es

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mucho más práctico determinar numéricamente los esfuerzos principales. Sin embargo, presentamos el método gráfico por varias razones. Puede servir como verificación rápida a una solución numérica, o quizás sea el único método viable si falla la energía de su computadora o si se agotan las pilas de su calculadora. También cumple con el útil objetivo de ser una presentación visual del estado de los esfuerzos en un punto. También hay círculos de Mohr en el caso de esfuerzos tridimensionales, pero no está disponible ningún método de graficación para crearlos directamente a partir de datos de esfuerzos aplicados, excepto en el caso especial de que uno de los esfuerzos principales sea coincidente con un eje del sistema de coordenadas xyz seleccionado, es decir, cuando uno de los planos es el del esfuerzo principal. Sin embargo, una vez calculados los esfuerzos principales a partir de la ecuación 4.4c mediante alguna técnica adecuada de determinación de raíces, se pueden dibujar círculos de Mohr tridimensionales según los esfuerzos principales calculados. El plano de Mohr --en el cual se trazan los círculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente perpendiculares, aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180º. Todos los ángulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados σx, σy y σz, se trazan a lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 también se determinan sobre este eje. La ordenada es el eje para todos los esfuerzos cortantes. Se utiliza para trazar los esfuerzos cortantes aplicados τXY, τXZ y τYZ y determinar el esfuerzo cortante máximo5. Mohr utilizó una regla convencional de signos para esfuerzos cortantes, que hace que los pares esfuerzo cortante en sentido del movimiento de las agujas del reloj sean positivos, lo que no es consistente con la regla de la mano derecha, ahora estándar. Aun así, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el círculo de Mohr. La mejor manera de demostrar el uso del círculo de Mohr es mediante ejemplos. 4.4. Deformación unitaria cortante máxima absoluta Para una rotación en el plano de deformación se encontró que era: Ƴmax (en el plano)=2R = √(ϵx - ϵy)2 + Ƴ2

xy

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En tres dimensiones: - El Estado de esfuerzo en un punto se puede representar por un elemento

orientado en una dirección específica.

- Si el elemento se ve en 2 dimensiones xy,xz y yz se puede determinar la deformación unitaria cortante máxima por el circulo de mohr.

4.5. Rosetas de deformación unitaria

Una roseta de deformación es un arreglo de tres galgas extensiométricas utilizado para medir el estado de deformaciones de un material en el plano, lo cual

implica medir la deformación normal en x , la deformación normal en y

y la deformación cortante en el plano . Debido a que una galga sólo puede medir la deformación normal, a veces resulta más conveniente utilizar una roseta de deformación.

Las deformaciones unitarias son medidas únicamente en el plano en el que se encuentran las galga extensiométrica y como el cuerpo no tienen esfuerzos en su superficie, los medidores pueden estar sometidos a esfuerzo plano, pero no a deformación plana. La línea que es normal a la superficie libre es un eje principal de deformación, por lo que la deformación unitaria normal principal, sobre todo ese eje no puede ser medida por la roseta de deformación. Esta deformación unitaria hace que haya un desplazamiento en el plano, sin embargo no afecta las medidas obtenidas.1

________________________ 4 Ideados por el ingeniero alemán Otto Mohr (18351918). Sus círculos también se utilizan para la transformación coordenada de deformaciones , de los momentos de área y de los productos de inercia. 5 El hecho de que Mohr utilizara un mismo eje para trazar más de una variable es una de las fuentes de confusión para los estudiantes cuando se enfrentan por primera vez a este método. Sólo se debe recordar que todos los esfuerzos normales se trazan sobre el eje horizontal, trátese o no de esfuerzos normales (σx, σy, σz) o de esfuerzos principales (σ1, σ2 y σ3) aplicados y todas las tensiones tangenciales se trazan sobre el eje vertical, independientemente que se trate de esfuerzos

cortantes (τxy,etcétera) o de esfuerzos cortantes máximos aplicados (τ12, etcétera). Los ejes de Mohr no son ejes cartesianos convencionales.

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Aunque pueden crearse infinidad de combinaciones para el arreglo de galgas, existen dos que son las más utilizadas: la roseta rectangular y la roseta delta.

Para nombrar a cada una de las galgas se usan las primeras letras del abecedario, comenzando por la roseta horizontal y siguiendo el sentido opuesto de las manecillas del reloj.

Para estados biaxiales de esfuerzos (muy común en el uso de Galgas Extensiométricas), una roseta de dos o tres elementos puede ser utilizada para determinar los esfuerzos principales que allí se presenten.

Cuando se conocen las direcciones de los esfuerzos principales, se puede utilizar una roseta de dos elementos ubicados a 90°, empleada con las direcciones de los ejes alineados con los esfuerzos principales. Las direcciones de los esfuerzos principales se pueden determinar con bastante precisión. por ejemplo, según la forma del objeto al que se le van a medir los esfuerzos y el modo en que éste está cargado, puede dar una idea de la ubicación de dichos esfuerzos por la simetría del problema.

Otra manera de determinar las direcciones de los esfuerzos principales puede ser mediante el método de "PhotoStress® testing.", que consiste en aplicar una pequeña capa o lámina sobre el objeto o pieza al que se le van a determinar los esfuerzos, para luego cargarse. Dicha lámina se visualiza a través de un polariscopio de reflexión y el esfuerzo sobre dicha lámina se determina mediante un patrón de colores que revela de manera inmediata la distribución de los esfuerzos, señalando las áreas en donde están concentrados. Posteriormente y por medio de un transductor óptico montado sobre el polariscopio de reflexión, se puede obtener una medida cuantitativa de los esfuerzos obtenidos.

En la mayoría de los casos de superficies que están siendo sometidas a esfuerzos, en los que no se conocen las direcciones de los esfuerzos principales, se puede utilizar una roseta de tres elementos, que puede ser ubicada en cualquier dirección, pero generalmente se recomienda que la disposición de una de sus grillas se encuentre alineada con un eje principal de la pieza en estudio.

Cuando se piensa utilizar una roseta, debemos tener en cuenta si la roseta a utilizar es simple-plana o es apilada. Para una longitud de galga determinada, la roseta simple-plana es mejor que la apilada en cuanto a la transferencia de calor a la pieza u objeto que estamos analizando y generalmente ayuda a obtener mas estabilidad y precisión en las mediciones de esfuerzos estáticos. Cuando existe un esfuerzo significativo perpendicular a la superficie, la roseta simple-plana arroja datos de esfuerzos más precisos pues todas las áreas se encuentran más próximas a la superficie de la pieza de prueba posible. Otra consideración es que

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las rosetas apiladas son difíciles para contornear superficies circulares que las rosetas simple-plana.

Haciendo dos marcas A y B a través de una línea dibujada en la dirección deseada, y midiendo la longitud del segmento AB antes y después de aplicar la carga se puede determinar la deformación normal en cualquier dirección en la superficie de un elemento estructural o componente de máquina.

Si L es la longitud no deformada de AB y su alargamiento, la deformación normal a lo largo de AB es:

Eab= / L

Ahora bien, existe un método más conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformímetros eléctricos. Para medir la deformación de un material dado en la dirección AB, el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos a AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en diámetro, haciendo que la resistencia eléctrica del medidor aumente. Midiendo la corriente que pasa a través de un medidor bien calibrado, la deformación EAR puede determinarse precisa y continuamente a medida que la carga aumenta.

Figura N°13 Medida de deformaciones

Debe advertirse que las componentes Ex y Ey Yxy en un punto dado pueden obtenerse de la medida de deformación normal hecha a lo largo de tres líneas dibujadas por ese punto. Designando respectivamente por 1, 2 y 3 el ángulo que cada una de las líneas forma con el eje x, remplazando en la ecuación anterior, se tienen las tres ecuaciones :

E1= Excos^2 1 + Eysen^2 1 + Yxy sen1 cos 1

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E2= Excos^2 2 + Eysen^2 2 + Yxy sen2 cos 2

E3= Excos^2 3 + Eysen^2 3 + Yxy sen3 cos 3

Figura N°14. Medida de deformación normal

La colocación de los deformímetros utilizados para medir las tres deformaciones normales El, E2 y E3 se conoce como Roseta de Deformación. La roseta usada para medir deformaciones normales a lo largo de los ejes x y y y su bisector se conoce como roseta de 45°. Otra roseta muy utilizada es la de 60°.

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5. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS ÁREAS 5.1. Centroide de un área El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos.

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv

" dv " dv " dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA

" dvA " dA " Da

LINEA. Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL

" dL " dL " dL

5.2. Momento de inercia de un área

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El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varía linealmente desde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presión debida a un líquido sobre la superficie de una placa sumergida. Consideremos el área A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del área plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el área total los momentos de inercia se determinan por integración. 5.3. Momento polar de inercia El segundo momento del área diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el área total, el momento polar de inercia es:

Si se conoce el momento de inercia de una área alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el momento d inercia del área en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la región sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un elemento diferencial dA del área se localiza a una distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y' + dy)2 entonces para la totalidad del área:

Ix ="A (y' + dy)2 dA

Iy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA

La primera integral representada el momento de inercia del área en torno al eje centroidal, Ix. La segunda integral es cero, ya que el eje x' pasa a través del centroide del área C; es decir, " y' dA = y " dA = 0, puesto que y = 0. Si comprendemos que la tercera integral representa la totalidad del área A, el resultado final es, por lo tanto,

Una expresión semejante puede escribirse para Iy, es decir:

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Y finalmente, para l momento polar de inercia en torno a un eje perpendicular al plano x - y y que pasa a través del polo O (eje z) tenemos:

La forma de cada una de estas ecuaciones establece que el momento de inercia de una área alrededor de un eje es igual al momento de inercia del área en torno a un eje paralelo que pasa a través del centroide mas el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes

5.4. Radio de giro El radio de giro de una área plana se usa a menudo para el diseño de columnas en mecánica estructural. Siempre que se conozcan el área y los momentos de inercia, los radios de giro se determinaran a partir de las formulas.

Note que la forma de estas ecuaciones se recuerda fácilmente ya que es semejante a las que se utilizan para el momento de inercia de una área diferencial alrededor de un eje.

5.5. Teorema de Steiner Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto

Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

El teorema de Steiner: Este teorema nos da el momento de inercia de un cuerpo cuando el eje de rotación pasa paralelo a un eje de rotación que pasa por el centro de masas del cuerpo. Viene dado por la expresión siguiente:

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En donde ICM nos indica el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masas, m es la masa del cuerpo y d es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuerpo.

Variación del momento de inercia de un cuerpo con la distancia al eje:

Imagina que tenemos un sistema formado por una barra delgada y dos masas cilíndricas movibles dispuestas en forma simétrica sobre ella de esta forma:

El momento de inercia de este sistema es:

Donde Ib es el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de masas, Ic es el momento de inercia de las masas cilíndricas con respecto a un eje paralelo al interior que pasa por su centro de masas y d la distancia desde el eje hasta el centro de cada una de las masas móviles. Para este determinado sistema, si sustituimos esta expresión en la expresión del periodo, obtenemos que:

El muelle espiral: El muelle espiral es un muelle que, al igual que los muelles lineales, cumple la ley de Hooke. Cuando el muelle se tensa, aparece un par de fuerzas recuperador que lo devuelve a su posición de equilibrio. De esta forma, consideramos que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:

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Donde α es la fuerza del par recuperador, R es la constante recuperadora del muelle y α es el ángulo girado. Si tenemos un sistema físico sujeto al muelle espiral, el periodo de oscilación viene dado por la expresión:

Donde L es el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Por tanto, si conocemos R, podemos saber el momento de inercia del sistema físico con solo medir el periodo de oscilaciones.

5.6. Producto de Inercia

Un cilindro equilibrado gira sobre unos soportes. Un peso simétrico, cuyo POI es cero, se monta en el cilindro. El producto de inercia debido a este peso es:

Pzx = M Z X = 0.01 x 2 x 1 = 0.02 slug ft²

donde M = masa del peso = 0.01 slug

X = radio de CG del peso = 1 ft

Z = altura entre el CG del cilindro y el CG del peso = 2 ft

Este POI está en el plano XZ del cilindro. Si se añadiera un peso en el eje Y, en una posición por encima del CG del cilindro, el valor de Pzx no cambiaría, ya que la coordenada X de este peso seria cero. La segunda coordenada del POI, Pzy, se calcularía así:

Pzy = M Z Y = 0.01 x 2 x (-1) = -0.02 slug ft²

Donde M = masa del peso = 0.01 slug

Y = radio del CG del peso = -1 ft

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Z = altura entre el CG del cilindro y el CG del peso = 2 ft

Nótese que el valor de Pzy es negativo

5.7. Traslación paralela de ejes para el producto de inercia

Cuando un cuerpo rígido experimenta una traslación todas sus partículas tienen la misma aceleración de modo que aG=a. Existen dos tipos de traslación: la curvilínea y la rectilínea.

Traslación rectilínea

Cuando un cuerpo está sometido a traslación rectilínea todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias paralelas de líneas rectas. Por consiguiente las ecuaciones de movimiento que se aplican en este caso son las siguientes:

La última ecuación requiere que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas (y momentos par) calculados con respecto al centro de masa de cuerpo sea igual a cero. Por supuesto, es posible sumar momentos con respecto a otros puntos sobre y fuera del cuerpo, en cuyo caso el momento de maG debe tomarse en cuenta.

Traslación curvilínea

Cuando un cuerpo rígido está sometido a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan por trayectorias paralelas curvas. Es conveniente utilizar un sistema de coordenadas inercial con origen coincidente con el centro de masa del cuerpo en el instante considerado y ejes orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del movimiento. Por lo tanto:

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Aquí (aG)t y (aG)n representan, respectivamente, las magnitudes de las componentes de aceleración tangencial y normal del punto G.

Si la ecuación de momento es reemplazada por una suma de

momentos es necesario tomar en cuenta los momentos, de las dos componentes m(aG)n y m(aG)t con respecto a este punto.

A continuación se muestra un diagrama que representa el movimiento de traslación y rotación de manera general.

Figura N°15. Movimiento de traslación y rotación de manera general. 5.8. Momento de inercia con respecto a ejes inclinados En el diseño mecánico o estructural, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia Ix-,/v- e /vy respecto a un conjunto de ejes ' x' y y' cuando se

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conocen los valores de 9, I„ Iy e Ixy. Como se ve en la fi­ gura A-14, las coordenadas del elemento del área ¿A, en los dos sistemas coordenados se relacionan con las ecuaciones de transformación. x' = x eos 6 + y sen 9 y' = y eos 6 - x sen 6 Al usar esas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA respecto a los ejes x' y y' son dlx' = y'2 dA = (y eos 6 - x sen O)2 dA dly' = x'2 dA = (*cos0 + y sen 6)2 dA dlxy = x'y' dA = (x eos 9 + y sen 9)(y eos 9 - x sen 9) dA Cada ecuación se desarrolla y se integra, teniendo en cuenta que Ix = fy2dA,/,, = fx2dA e Ixy = fxy dA; así se obtiene IX' = Ix eos2 9 + Iy sen2 9 - 21 xy sen 9 eos 9 Iy' = Ix sen29 + Iy eos29 + 21 xy sen 9 eos 9 I.x'y■ ~ Ix sen ® cos ® Iy sen 0 eos 0 + IXJeos2 6 — sen7 6) Se pueden simplificar estas ecuaciones usando las identidades trigonométricas sen 29 = 2 sen 9 cos 9 y cos 29 = cos29 —sen29; en ese caso, Observe que si se suman las ecuaciones primera y segunda, se ve que el momento polar de inercia, respecto al eje z que pasa por el punto O, es independiente de la orientación de los ejes x' y y', es decir, Jq Ix1 ”1” Iy I x f" I y + I y 5.9. Circulo de Mohr para momento de inercia Las ecuaciones tienen una solución gráfica, cómoda para usarla, y en general fácil de recordar. Si se elevan al cuadrado la primera y la tercera de las ecuaciones, y se suman, se ve que

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I r ' /(IX + IY \ 2) lx'Y´=( IX – IY / 2) + Ixy

2 En cualquier problema dado, /v- e ■ son variables, e 1„ Iy e Ixy son constantes conocidas. Así, la ecuación se puede escribir en forma compacta como sigue:

(/,. - a)2 + lxy 2 = R2 Cuando se grafica esta ecuación, resulta un círculo de radio

R = √(IX Iy /2)2 + Ixy2

Que tiene su centro en el punto (a, 0), donde a = (7V + Iy)/2. El círculo que así se traza se llama círculo de Mohr. Su aplicación es parecida a la que se usan para la transformación de esfuerzo y deformación unitaria.

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BIBLIOGRAFIA

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Popov, Egor. “Mecánica de Materiales”. Editora Limusa, México.

Robert W. Fitzgerald. “Reasistencia de Materiales”. Fondos Educativos

Internacionales, S.A., México, 1970

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ANEXOS

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PROBLEMAS DE ESFUERZO

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