trabajo metodos matemáticos y estadisticos
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ANALISIS DE LOS METODOS ESTADISTICOSTRANSCRIPT
Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ciencias Económicas Finanzas II
METODOS MATEMÁTICOS Y ESTADISTICOS, PARA EL CÁLCULO DEL PRESUPUESTO DE VENTAS
Historia
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística,
pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas,
palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas,
animales o cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas
de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros
vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de
construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta
del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes,
trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y
el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China
existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los
griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C.
para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos
sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.
Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa.
Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios
minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762
respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey
Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información
obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday
Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios
del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de
población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios
sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de
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mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado
por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de
mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para
estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los
investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores
numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para
describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y
analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en
reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa
información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance
de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden
aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos
estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias
estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un
determinado estudio estadístico.
La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al
contar o medir elementos. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial
cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta. El primer
problema para los estadísticos reside en determinar qué información y en qué
cantidad se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en
obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera
que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las
moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de
los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema
cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una
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encuesta electoral. El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud
las preferencias del total de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con
un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en
los primeros estudios sobre crecimiento de la población, los cambios en el número
de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de
nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en
estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del
número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por
tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el
número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se
dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban
resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que
limitan el crecimiento de la población.
Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y
no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte
de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población
es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear.
El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del
porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos
y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un
determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada
1.000 habitantes sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo
el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para
predecir el número de habitantes en el futuro.
Tipos de estadística
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a) Estadística descriptiva: La estadística descriptiva analiza, estudia y
describe a la totalidad de individuos de una población. Su finalidad es
obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo necesario para
que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda
utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue la
estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los
siguientes pasos:
Selección de caracteres dignos de ser estudiados.
Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo
en los caracteres seleccionados.
Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada
clasificación de los individuos dentro de cada carácter.
Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas
estadísticas).
Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los
aspectos más relevantes de una distribución estadística.
b) Estadística Inferencial: La estadística descriptiva trabaja con todos los
individuos de la población. La estadística Inferencial, sin embargo, trabaja
con muestras, subconjuntos formados por algunos individuos de la
población. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir aspectos
relevantes de toda la población. Cómo se selecciona la muestra, cómo se
realiza la inferencia, y qué grado de confianza se puede tener en ella son
aspectos fundamentales de la estadística Inferencia, para cuyo estudio se
requiere un alto nivel de conocimientos de estadística, probabilidad y
matemáticas. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio
de una cierta población consta de los siguientes pasos:
Selección de caracteres dignos de ser estudiados.
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Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo
en los caracteres seleccionados.
Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada
clasificación de los individuos dentro de cada carácter.
Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas
estadísticas).
Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los
aspectos más relevantes de una distribución estadística.
Métodos Estadísticos
Se aplica generalmente en empresas que por su reducido volumen de ventas,
hacen posible la utilización, básicamente del criterio de sus ejecutivos o
vendedores, para determinar el pronóstico de ventas. Son métodos sencillos y
prácticos cuya principal desventaja es que no consideran en una forma técnica, las
condiciones o fuerzas económicas generales.
El proceso que sigue los métodos estadísticos para el estudio de una cierta
población consta de los siguientes pasos:
Selección de caracteres dignos de ser estudiados.
Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los
caracteres seleccionados.
Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación
de los individuos dentro de cada carácter.
Representación gráfica de los resultados (elaboración
de gráficas estadísticas).
Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos
más relevantes de una distribución estadística.
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Entre los más conocidos y usuales métodos para pronosticar las ventas, están los
siguientes:
Tipos de métodos estadísticos
Línea recta o tendencias (mano libre, análisis estadístico): Consiste en
establecer mediante el análisis de la tendencia de las ventas en una serie de años,
el pronóstico de las ventas futuras.
Método Aritmético: Se toma el año base de la serie y se compara con el último
año de la misma. La variación se divide dentro del número (cantidad) de periodos
y el resultado es el factor de acumulación. El factor de acumulación se suma al
último año, para determinar las ventas esperadas para el año que se está
pronosticando
Método de Regresión: También es denominado como de análisis correlativos y
se desarrolla con base en la formula de la línea recta; el uso de esta ecuación se
utiliza normalmente para describir una tendencia a largo plazo y su aplicación en
el análisis correlativo es similar. En el análisis de tendencia la ecuación expresa la
propensión de los cambios en una serie de datos por cada año que pasa; en el
análisis correlativo la ecuación denota la tendencia de los cambios a ocurrir en una
serie de datos en relación a un cambio dado en otra serie de datos.
La formula de la línea resta es Y = a + bX, en donde:
X = variable relativa.
a = valor de Y cuando X vale cero; es a la vez una constante y la
determinante de la altura de la línea recta sobre el eje de las equis.
b = cantidad promedio de cambio en Y, lo cual ocurre con cada unidad de
modificación en X; indica la pendiente o declive de la línea recta.
Dándoles significado en la determinación del pronóstico de ventas, se
tendría: Yc = pronóstico de ventas.
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Método de Mínimos Cuadrados: Puede utilizarse para computar la tendencia de
una línea recta o curva; en este caso la teoría desarrollado está limitada al método
para computar la tendencia de la línea recta por el método de mínimos cuadrados;
el cálculo de la tendencia de la línea curva utiliza los mismos principios, pero
implica matemáticas más complicadas; las estimaciones de la tendencia se
computan de tal manera que, por ejemplo: la suma de las desviaciones al
cuadrado de las ventas reales en relación a las estimadas llegan a un mínimo, de
ahí el termino de mínimos cuadrados.
Las modalidades o cambios de este método de análisis estadístico en relación al
expuesto anteriormente, son:
a) X simboliza períodos en una cantidad impar, colocando el año cero en el
centro y desarrollando dos series de dígitos a partir de ahí, una positiva y
una negativa, lo cual es conocido por el analista o no es difícil de
determinar.
b) Y representa a las ventas, producción, inventarios, etc., o sea, la variable
cuyas fluctuaciones en relación al tiempo son estudiadas; en este caso la
sigla Y se sustituye por la T= tendencia.
c) El valor estimado de la tendencia a largo plazo puede ser calculado en
cuanto a los valores a y b sean determinados, cuyas formulas son las
denominadas cortas, como sigue:
a=∑ y
n b=
∑ xy
x2
Y la formula general sería: Yc=a+bx
Semi-promedios: Consiste en dividir la serie de años en dos partes iguales y
obtener promedio de cada parte, a efecto de determinar el factor de acumulación,
siguiendo los pasos que se indican a continuación:
La serie se divide en dos partes iguales.
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Se obtienen promedios de cada parte de la serie.
Se comparan ambos promedios y el resultado se divide entre la cantidad de
años de cada semi-promedio.
El resultado que se obtiene con el paso anterior, es el factor acumulación.
Puede aplicarse tomando como base el resultado de cualquiera de los dos
promedios, al cual se le va adicionando el factor de acumulación, por los años
necesarios, partiendo del origen (0) o año base, que es el centro de la parte de la
serie.
Método de semi-promedios cuando la serie de años es impar
Si la serie es suficientemente grande, entonces puede eliminarse un año
para convertirla en “par”.
La serie impar puede convertirse a períodos pares y después, proceder
como se ha indicado.
Para el efecto, se toma el primer año de la serie y se suma al segundo
obteniéndose el promedio; luego el segundo año con el tercero y así
sucesivamente, hasta llegar al penúltimo año.
Para procesar el último año, es necesario obtener previamente un factor de
acumulación midiendo la tendencia comparando el último año con el periodo
intermedio establecido inmediatamente antes y el resultado (aumento o
disminución) se aplica al último año.
Método de semi-promedio cuando la serie de años es par: Consiste en dividir
la serie de años en dos partes iguales y obtener promedio de cada parte, a efecto
de determinar el factor de acumulación.
Procedimiento:
La serie se divide en dos partes iguales.
Se obtienen promedios de cada parte de la serie.
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Se comparan ambos promedios y el resultado se divide entre la cantidad de
años de cada semi-promedio.
El resultado que se obtiene con el paso anterior, es el factor de
acumulación.
Método de Factores: Este Método consiste en considerar, en la preparación del
pronóstico de ventas, los diferentes factores que han incidido tanto favorable como
desfavorablemente en las ventas del ejercicio anterior, así como aquellos aspectos
que puedan incidir en aumento o disminución de las ventas en el periodo que se
esté presupuestando, incluyendo las fuerzas económicas generales y las políticas
y medidas dictadas por la administración de la empresa.
Los factores que integran los elementos a considerarse en la preparación del
pronóstico de ventas, son:
Factores Específicos de Venta (F) Son los factores o aspectos que
incidieron en las ventas pasadas, ya sea favorable o desfavorablemente los
que consecuentemente, afectaran las ventas que se estén pronosticando.
Estos factores se clasifican en:
Factores de Ajuste: (a) Su objeto es básicamente ajusta las ventas del
ejercicio anterior para dejarlas libres de desviaciones y situaciones favorables o
adversas no recurrentes, es decir, dejar las ventas en condiciones normales de
operación.
Factores de Cambio: El factor de cambio ofrece medios para estimar el
volumen a que pueden llegar las ventas si se introdujeran ciertos cambios en
las políticas de la compañía en el curso ordinario de los negocios, y se
adoptaran prácticas y métodos para hacerlas efectivas, o bien, si ocurrieran
ciertos cambios en las condiciones específicas del mercado.
Factores de Corrientes de Crecimiento: El término crecimiento se refiere a
que en la preparación del presupuesto debe considerarse las tendencias
corrientes en el crecimiento de las ventas de la empresa y de las ventas de la
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industria de que forma parte. Los factores corrientes de crecimiento,
provienen de dos fuentes principales:
1. La dinámica acumulativa: Impulsa siempre hacia adelante a
una empresa. Se denominada con frecuencia crédito mercantil. Es la
disposición por parte del público a volver al sitio en donde fue bien
servido.
2. El potencial inductivo: Influye sobre todos los elementos o
componentes de la industria. Actúa sobre una empresa en particular de
acuerdo con su permeabilidad o posibilidad de verse afectada por la
corriente general de la industria en su conjunto.
Fuerzas Económicas Generales (E) Existen fuerzas económicas que en
mayor o menor grado, directa o indirectamente, tienen influencia en el volumen
de ventas de una empresa; cualitativamente hablando, el problema se entiende
bien. Sin embargo, cuando llega el momento de hacer determinaciones
cuantitativas, con un grado razonable de exactitud para saber cuál puede ser la
influencia positiva o negativa, en las ventas, de las fuerzas económicas
generales, el problema se torna complejo y es necesario contar con la asesoría
de un economista, experto en la materia.
Influencia de la administración (A): El éxito o fracaso de una empresa está
determinado en forma importante por las políticas que adopte la administración
de la misma y por los programas que se preparen para hacer efectivas tales
políticas. Respecto de las ventas, principalmente en esta época de cambios
económicos, la influencia administrativa es necesaria y decisiva. Los cambios
en la economía del país y consecuentemente en el mercado de nuestros
productos, exigen ajustes importantes en las políticas y programas de ventas y
son los administradores de las empresas quienes tienen que formular la
estrategia principal de las campañas de ventas, en tanto los funcionarios
ejecutivos deben asumir la responsabilidad de establecer los procedimientos
para cumplir tales estrategias.
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Índice de Variación Estacional (IVE): Como ya se indico, las ventas de las
empresas no son uniformes para todos los meses, trimestres, semestres, etc., sino
responden a cierta tendencia estacional. Para aplicar tal tendencia al presupuesto
de ventas, se utiliza el INDICE DE VARIACION ESTACIONAL, que consiste en
determinar a través del análisis y procesamiento de la información estadística que
se obtenga, un índice de variación que aplicado al promedio de las ventas
estimadas, nos de las ventas estaciónales.
El procedimiento que se sigue es el siguiente:
Se obtienen las ventas periódicas de la serie de años de que se trate.
Se establecen totales de las ventas periódicas (horizontal y vertical).
Se obtienen promedios periódicos de ventas.
Se establece el promedio de los promedios.
Se obtienen el IVE dividiendo el promedio periódico (paso 3) entre el
promedio de los promedios (paso 4).
Se establece el promedio de las ventas estimadas para el periodo que se
propuesta.
La estacionalidad de las ventas presupuestadas se obtienen multiplicando
el índice de variación estacional (paso 5º.) por el promedio de las ventas
estimadas (paso 6º.).
Presupuestos de Ventas por Zonas o Regiones: Generalmente, además de que
las ventas de las empresas se distribuyen estacionalmente, también se efectúan
por regiones o zonas, por lo cual, para efectos del presupuesto de ventas, es
necesario distribuir las ventas no solo por estación, sino por región o zona, para lo
cual se propone el siguiente procedimiento:
Se obtiene información estadística porcentual de las ventas por región.
Se establecen totales de porcentajes periódicos.
Se obtienen promedios periódicos de los porcentajes.
El promedio obtenido se aplica al total de las ventas por cada periodo que
corresponda (mensual, trimestral, semestral).
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Objetivos de la utilización de los métodos
Aprender los métodos estadísticos más efectivos.
Poner en práctica lo estudiado.
Utilizar los métodos estadísticos como se debe, sin errores.
Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos
descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística
descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en
forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas.
Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en
mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades;
estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes;
administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos;
médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.
EJEMPLOS
Método “Y” calculada
Yc = a + bx
a = cualquier promedio
b = factor de acumulación
c = Año a partir del origen de cualquier promedio
Ventas para 2005 tomando el primer promedio
Yc = 25,500 + 778 (5)
25,500 + 3,890
29,390} Ventas 1995
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Ventas para 1995 tomando el segundo promedio
Yc = 27,833 + 778 (2)
27,833 + 1,556
29,389 } Ventas año 1995
Mínimos cuadrados método corto
Calcular las ventas de los años 2010 con los siguientes datos
Años Y X XY X22005 120 -2 -240 42006 129 -1 -129 12007 132 0 0 02008 135 1 135 12009 140 2 280 4
656 46
a=y/n a= 656/5 a= 131.20
b= xy/x2 b= 46/10 b= 4.60
Yc= a+bxYc=131.20+4.60(3)Yc= 145
Mínimos cuadrados método largo
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Años Y X XY X22005 120 0 0 02006 129 1 129 12007 132 2 264 42008 135 3 405 92009 140 4 560 16
656 10 1358 30
Y= na +xbxy= xa + x2b
656 = 5a + 10b (-2)1358= 10a + 30b
1356 = 10 - 20b1358 = 10 +30b46 = 10b
b= 46/10 = 4.6
Despejar a656 = 5a + 10b656 = 5a + 10(4.6)656 = 5a + 46656-46 = 5a610 = 5aa = 610/5a= 122
Yc = a + bxYc = 122 + 4.6(5)Yc = 122 + 23Yc = 45
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Promedio y semi-promedio (años pares y años impares)
Años pares
AÑOS UNIDADES X1 X2
1989 25,000 -1 -4
1990 27,500 0 -3 76,500/3 = 25,500
1991 24,000 1 -2
1992 26,000 2 -1
1993 28,000 3 0 83,500/3 = 27,833
1994 29,500 4 1 2,333
2,333/3 = 778 Factor de acumulación
Ventas 1995 tomando el primer promedio:
1er. Promedio 25,000 (año 0)
778
26,278 año 1)
778
27,056 (año 2)
778
27,834 (año 3)
778
28,612 (año 4)
778
29,390 (año 5) = Ventas año 1995
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Ventas 1995 tomando el segundo promedio
2º. Promedio 27,833 (año 0)
778
28,61 (año 1)
778
29,389 (año 2) = Ventas año 1995
Con “Y” calculada
Yc = a + bx
a = cualquier promedio
b = factor de acumulación
c = Año a partir del origen de cualquier promedio
Ventas para 1995 tomando el primer promedio
Yc = 25,500 + 778 (5)
25,500 + 3,890
29,390} Ventas 1995
Ventas para 1995 tomando el segundo promedio
Yc = 27,833 + 778 (2)
27,833 + 1,556
29,389 } Ventas año 1995
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Años Impares
AÑOS VENTAS X1 X21990 27,500 27,500 -2 -7
} 51,500/2 25,750 -1 -61991 24,000 24,000 0 -5 128,250/5 = 25,650
50,000/2 25,000 1 -41992 26,000 26,000 2 -3
54,000/2 27,000 3 -21993 28,000 28,000 4 -1
57,000/2 28,750 5 0 143,500/5 = 28,7001994 29,500 29,500 6 1
30,250 7 2 1995 -------- 8 3 3,050
3,050/5 = 610} Factor de acumulación
Calculo último periodo intermedioÚltimo periodo (1994) 29,500Periodo intermedio anterior 28,759 Incremento 750
Último periodo 1994 29,500Incremento 750Último periodo intermedio 30,250
A su criterio cual sería la mejor opción (Justifique su respuesta)
Mínimos cuadrados ya que es una serie de datos de una misma variable durante
cierto tiempo, que puede ser años, meses, semestres, etc.
Tiene por objeto conocer el comportamiento de una variable cuantitativa en el
pasado, para estimar su comportamiento en el futuro. Y su análisis permite hacer
un pronóstico de la actividad futura.
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