Esquema

1. Ecuaciones Fundamentales del movimiento de los fluidos.

1.1.- Sistemas de Coordenadas de Lagrange y Euler.1.2.- Campo de Flujo.1.3.- Líneas de Corriente.1.4.- Trayectorias de partículas.1.5.- Volumen de Control.1.6.- Caudal.1.7.- Ecuación de Volumen de Control Finito.1.8.- Principio de conservación de masa.1.9.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento.1.10.- Principio de conservación de energía.

2. Semejanza hidráulica.

2.1.- Concepto de modelaje.2.2.- Análisis dimensional. 2.3.- Conceptos de similitud.2.4.- Numero adimensionales: Reynolds, Froude, Euler, Weber, Cauchy-Mach.

3. Dinámica de los Fluidos reales, permanentes e incomprensibles en conductos a presión.

3.1.- Efecto Viscosidad.3.2.- Flujo Laminar y Turbulento.3.3.- Esfuerzos cortantes y distribución de velocidades para flujo laminar uniforme.3.4.- Coeficiente de corrección de energía cinética y de cantidad de movimiento.3.5.- Introducción a la capa limite, para flujo turbulento3.6.- Ejercicio de Flujo laminar y turbulento.

4. Flujo de fluidos reales, permanentes e incomprensibles en conductos a presión.

4.1.- Ecuación de la energía para fluidos reales, análisis de la interrelación entre la pérdida de energía y el esfuerzo cortante4.2.- Ejercicio aplicando la ecuación de energía.

Desarrollo

1.- Ecuaciones Fundamentales del movimiento de los fluidos

Leyes fundamentales

El movimiento del fluido debe cumplir con las siguientes leyes fundamentales de la naturaleza: Ley de conservación de la masa. La masa no se crea ni se destruye, solo se

transporta o almacena. Las leyes de Newton del movimiento.

1.- Una masa permanece en reposo o en movimiento a velocidad constante, a menos que actúe sobre ella una fuerza.2.- La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre ella.3.- Cualquier acción de una fuerza tiene una fuerza de reacción igual en magnitud y contraria en sentido.

La primera ley de la Termodinámica o ley de conservación de la energía. La energía no se crea ni se destruye, solo cambia de forma, se transporta o se almacena.

La segunda ley de la termodinámica o ley de degradación de la energía. La cantidad de energía permanece constante pero su calidad se va degradando en cada proceso natural.

Leyes de las relaciones entre propiedades. Como las leyes de estado, relaciones constitutivas, como la ley de viscosidad de Newton, Ley de conducción de Fourier, Ley de Fick de la difusividad etc.

Ecuaciones fundamentales de la Mecánica (movimiento de fluidos)

Establezcamos las ecuaciones del movimiento de un fluido compresible y viscoso. Para el caso general de un movimiento tridimensional, el campo de corrientes está determinado por el vector velocidad

con las tres componentes rectangulares   además de la presión   y

la densidad   Para la 0determinación de estas cinco magnitudes disponemos de la ecuación de continuidad (conservación de la masa), las tres ecuaciones del movimiento (conservación de la cantidad de movimiento) y la ecuación

termodinámica de estado  , es decir, cinco ecuaciones también.

La ecuación de continuidad expresa que la suma de las masas entrante y saliente por unidad de volumen en la unidad de tiempo es igual a la variación

de la densidad por unidad de tiempo (véase). Luego, para el movimiento no estacionario de un fluido compresible ella podrá escribirse como:

(I.1)

Mientras que para un fluido incompresible toma la forma simplificada

(I.1a)

Para establecer las ecuaciones fundamentales del movimiento partimos de las leyes fundamentales de la Mecánica, según las cuales, el producto de la masa por la aceleración es igual a la suma de las fuerzas. Las fuerzas que actúan, son fuerzas de masa (peso) y fuerzas de superficies (fuerzas de presión y de rozamiento).

Sean   la fuerza másica por unidad de volumen ( vector del campo

gravitatorio terrestre) y   la fuerza de superficie por unidad de volumen, luego, las ecuaciones del movimiento en notación vectorial vendrán dadas por:

(I.2)

Siendo

La fuerza de masa, la fuerza superficial y la aceleración sustancial respectivamente.

Las fuerzas másicas se consideran fuerzas exteriores, mientras que las fuerzas superficiales dependen del estado de deformación (estado de movimiento) del fluido.

El conjunto de fuerzas superficiales determinan un estado de tensión. Nuestro objetivo es ahora, obtener la relación entre el estado de tensión y el estado de deformación.

1.1.- Sistemas de Coordenadas de Lagrange y Euler. Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo. La formulación de la mecánica clásica postulada por Joseph-Louis Lagrange, el predecesor de las formulaciones de la mecánica hamiltoniana y newtoniana. Por lo tanto, Lagrange (una función de coordenadas) es igual a la diferencia entre la energía cinética (T) y potencial (U) de una partícula en movimiento, teniendo en cuenta el ritmo de variación de coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas de la partícula y tiempo: sólo la energía potencial es unidimensional, que se basa en las coordenadas de posición de la partícula.

Para describir un campo de flujo, se puede adoptar por dos enfoques. El enfoque lagrangiano se usa ampliamente en el campo de la mecánica de los fluidos y en el estudio de la dinámica. Una descripción lagrangiana es atractiva si se trata de un número de partículas pequeño. Si todas las partículas se mueven como un sólido rígido o si todas las partículas se desplazan solamente un poco de su posición inicial o su posición de equilibrio. Sin embargo, en un fluido en movimiento, identificar y seguir el rastro de varias partículas es virtualmente imposible. Surgen complicaciones adicionales debido a que una partícula típica de fluido con frecuencia experimenta un desplazamiento largo. Por estas razones, en la mecánica de fluidos la descripción lagrangiana no es muy útil.

El segundo enfoque, denominado descripción euleriana (en honor de matemático suizo L. Euler, 1707-1783), fija su atención sobre un punto particular (o región) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro y en las fronteras de la región) a lo largo del tiempo. Las propiedades de la partícula de fluido dependen de la localización de la partícula en el espacio y el tiempo, matemáticamente, el campo de velocidad se expresa como:

V = V (x, y, z, t)

Las variables independientes son la posición en el espacio, representada por las coordenadas cartesianas (x, y, z) y el tiempo.

Ecuación de euler en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Ecuación de movimiento de Euler:

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange:

 - Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.

 - Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.

 - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.

 - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

 - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

Formulaciones de las ecuaciones

Caso general :

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es

(1)

El subíndice   va desde   hasta , por lo que éstas son   ecuaciones (siendo   el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas   ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.

Caso conservativo :

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

(2)

(3)

Si definimos   como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a

que  , es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

(4)

Caso continuo :

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana , de modo que la lagrangiana sería 

La forma de la densidad lagrangiana es:(5)

Con   la densidad del objeto y   la tensión a la que está sometido.

Si denotamos   y   podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:

(6)

1.2.- Campo de Flujo

Se define campo de flujo como un patrón que define el comportamiento de distintas variables de flujo, (en nuestro caso flujo de fluidos), que dependen de distintas variables de campo como velocidad y presión. Estas variables de campo se encuentran en función de otras variables independientes como el desplazamiento a través de las distintas coordenadas del espacio, como también dependen de la variable tiempo. El estudio de una partícula de un fluido, utilizando el concepto de medio continuo podría muy bien extenderse su estudio a todo el comportamiento del fluido.

1.3.- Líneas de Corriente

Curva tangente a los vectores de velocidad en cada punto. Sirve para la representación gráfica de los flujos llamados bidimensionales, que pueden representarse fácilmente en un plano.

En mecánica de fluidos se denomina línea de corriente al lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en un instante t determinado. En particular, la línea de corriente que se encuentra en contacto con el aire, se denomina línea de agua.

No puede existir flujo a través de una línea de corriente. Debido a que una partícula se mueve en la dirección de la línea de corriente, en cualquier instante, su desplazamiento δs con componentes δx , δy , δz , tiene la dirección del vector velocidad v con componentes u, v, w en las direcciones x, y, z respectivamente. Entonces

δxu

=δyv

=δzw

Establece que las componentes correspondientes son proporcionales y, por consiguiente, que δs y v tienen la misma dirección. Al expresar los desplazamientos en forma diferencial se obtiene la ecuación diferencial de una línea de corriente. Las ecuaciones son dos ecuaciones independientes. Cualquier línea que las satisfaga es una línea de corriente.

Tubo de corriente: es un tubo imaginario o real cuya pared lateral está formado por líneas de corriente. En flujo permanente el tubo está fijo en el espacio y no

puede haber paso de fluido a través de sus paredes, porque el vector velocidad no tiene componente normal a la superficie del tubo.

Si el área transversal de un tubo de corriente es infinitesimal el tubo de corriente se llama hilo o filamento de corriente.

1.4.- Trayectorias de partículas

Trayectoria: De la partícula, es el camino que recorre una partícula de fluido en su movimiento. La trayectoria de una partícula es una línea de corriente. Una partícula se mueve siempre tangente a la línea de corriente.

1.5.- Volumen de Control

Se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones donde ocurre flujo dentro y fuera del espacio. El tamaño y forma del volumen de control son totalmente arbitrarios, pero con frecuencia se hacen coincidir con fronteras sólidas en partes; en otra partes se dibujan normales a las direcciones de flujo para simplificar. Por superposición de una velocidad uniforme sobre un sistema y sus alrededores, a veces se puede encontrar una situación conveniente para la aplicación del volumen de control.

1.6.- Caudal

Es la cantidad de fluido que pasa en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.

El caudal puede calcularse a través de la siguiente fórmula:

Donde

Q Caudal

A Es el área 

 Es la velocidad lineal promedio.

1.7.- Ecuación de Volumen de Control Finito.

Para cualquier propiedad (P) extensiva de un sistema, podemos conocer su velocidad de variación con el tiempo de una manera totalmente general, si aplicamos ciertos métodos de análisis. El método que analizamos a continuación, es el denominado del volumen de control finito.

Así, supongamos un volumen de control cualquiera que contiene un diferencial de masa “dm”.

La variación de la propiedad P con el tiempo será: (Aplicando el teorema del transporte o de Reynolds).

Esta ecuaci6n significa lo siguiente: La velocidad de variación con el tiempo de la propiedad P (extensiva) es igual al sumatorio con su signo de toda propiedad P por unidad de masa, (p), asociada a la masa que entra o sale del volumen de control, más la variación de la propiedad P por unidad de masa, (p), respecto al tiempo asociada al volumen de control.

Siendo:

- v, la velocidad normal a la superficie del volumen de control, del fluido que la atraviesa.

- dA, diferencial de área.

- dV, diferencial de volumen.

- t, tiempo.

Combinando las leyes fundamentales, con el método de volúmenes de control finito, nos proporcionan tres ecuaciones de trabajo que son el fundamento de análisis de cualquier flujo.

1.8.- Principio de conservación de masa

Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante.

Se puede enunciar como: En una reacción química ordinaria la masa permanece constante, es decir, la masa consumida de los reactivos es igual a la masa obtenida de los productos. Una salvedad que hay que tener en cuenta es la existencia de las reacciones nucleares, en las que la masa sí se modifica de forma sutil, en estos casos en la suma de masas hay que tener en cuenta la equivalencia entre masa y energía. Esta ley es fundamental para una adecuada comprensión de la química. Está detrás de la descripción habitual de las reacciones químicas mediante la ecuación química, y de los métodos gravimétricos de la química analítica.

Ecuación Integral de la Continuidad

Ecuación Diferencial de la Continuidad

Un caso particular muy interesante es el flujo incompresible, completamente desarrollado y en régimen laminar en conductos (conductos rectos de gran longitud) de cualquier tipo de sección.

u =u (y,z) ; v =w ≡0

Se satisface la ecuación de continuidad

1.9.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento

La Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = dp/dt

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

La ecuación de la cantidad de movimiento.

La segunda ley de Newton para un sistema inercial de coordenadas, viene dada por la

siguiente ecuación:

Siendo:

: el momento lineal, que vale:

Siendo:

: Vector velocidad.

m: Masa.

V: Volumen.

Por otra parte la fuerza resultante ( ), incluye las fuerzas de superficie y másicas que actúan sobre el sistema:

Aplicándolo a la formulación de sistemas y volúmenes de control.

Sustituyendo el término de fuerzas, obtenemos:

=

Esta ecuación establece que la suma de todas las fuerzas (de superficie y másicas), que actúan sobre un volumen de control no acelerado, es igual a la suma de la relación de cambio de momento, dentro del volumen de control, más la relación neta de flujo del momento que sale a través de la superficie de control.

1.10.- Principio de conservación de energía

El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía

total es la misma antes y después de cada transformación.

Dentro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de conservación de la energía es la llamada primera ley de la termodinámica, la cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energía térmica (Q) a un sistema, esta cantidad de energía será igual a la diferencia del incremento de la energía interna del sistema (ΔU) menos el trabajo (W) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:

La ecuación de energía para un volumen de control es similar a la de continuidad. Sabemos que la energía ni se crea ni se destruye solo se transforma, y es una propiedad ligada a la masa. Entonces para un sistema (de masa constante), podemos enunciar, que la variación de energía del sistema es igual a las energías entrantes menos las salientes del sistema.

Por otra parte las energías las podemos clasificar como energías de tránsito: el calor, el trabajo, y energías almacenadas o ligadas a la masa: la energía cinética, energía potencial, energía interna, energía química y energía nuclear.

En general la energía química y nuclear, no intervienen en los procesos que se dan en la Mecánica de Fluidos, por lo tanto estos dos tipos de energía no lo tendremos en cuenta. Teniendo en cuenta lo dicho hasta ahora, para un sistema cerrado, de masa constante, podemos analizarlo, a través del método del volumen de control finito; teniendo en cuenta que:Velocidad de transferencia de calor al sistema + Velocidad de transferencia de trabajo al sistema = Velocidad de aumento o decremento de la energía almacenada del sistema (u + c2 / 2 + z * g).Para ello:

1º Seleccionamos un volumen de control:

2º Aplicamos el principio de conservación de la energía, la energía ni se crea ni se destruye sólo se transforma, por tanto energías entrantes menos energías salientes del volumen de control es igual a la variación de energía en el volumen de control:

Q – W =ΔEVC

Si lo dividimos por un determinado incremento de tiempo:

ΔQΔt

− ΔWΔt

=ΔEVC

Δt

Por otra parte, si disminuimos este Δt , a un tiempo infinitesimal:

dQdt

−dWdt

=dEVC

dt

Por definición, podemos decir, que:

La potencia calorífica es:Q=dQ

dt (w, S.I.)

La potencia de trabajo es:W=dW

dt (w, S.I.)

La energía del sistema es:

y la energía específica (por unidad de masa):

esistema=E sistema

m=∫V

ρ∗(u+ c2

2+g∗z )∗dV

ρ∗V

Sustituyendo, obtenemos, el primer principio de la termodinámica, para sistemas cerrados:

Q−W=d∫VC

ρ∗(u+ c2

2+g∗z)∗dV

dt

Por lo tanto para un volumen de control, tendremos:

Si se ignora el trabajo eléctrico y otras formas equivalentes, se pueden realizar tres tipos de trabajo sobre o por el fluido dentro del volumen de control.

2.- Semejanza hidráulica.

2.1.- Concepto de modelaje.

El estudio de movimientos de fluidos dinámicamente semejantes constituye las bases para la teoría de los modelos, el diseño de experimentos y la correlación de datos experimentales. El hincapié que se hace en el calificativo experimental, sirve para puntualizar que debemos basarnos en una gran cantidad de información de ese tipo, a fin de resolver los muchos problemas que se presentan en mecánica de fluidos.

En hidráulica, el término modelo corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, mediante la entrada de cierta información se procesa y se presenta adecuada para emplearse en el diseño y operación de obras de ingeniería civil. Un modelo físico a escala reducida es una representación a escala del objeto real o prototipo, y cumple ciertas condiciones matemáticas definidas.

 En la actualidad se dispone de técnicas avanzadas de modelación física de fenómenos hidráulicos que, unidas al desarrollo de instrumento de medición y equipos generadores de fenómenos a escala, permiten predecir con alto grado de certidumbre lo que pueda ocurrir en el prototipo y, por tanto, se obtienen óptimos resultados en los aspectos de funcionalidad, estabilidad y economía de las estructuras a construir. Esto justifica ampliamente la utilización de modelos hidráulicos.

 El empleo de un modelo hidráulico implica establecer un programa definido de investigación experimental sobre todas las variables que intervienen, en forma particular o en grupo. Lo anterior se hace para poder verificar en su caso la validez de soluciones analíticas de un problema dado, o determinar las leyes de relación entre las diferentes variables que, extrapoladas al prototipo, permitan optimizar la eficiencia de cada uno de los elementos del sistema modelo-prototipo. En ciertas etapas del programa y cuando el problema se puede describir con suficiente detalle utilizando modelos matemáticos, éstos se emplean complementariamente con resultados satisfactorios.

 La aplicación de cualquiera de los dos tipos de modelos, físicos o matemáticos, tiene limitaciones, ya que ésta depende de la complejidad del problema en la intervención de las variables y sus fronteras a tratar, siendo en algunos casos los modelos matemáticos los más apropiados.

Modelos matemáticos

El conjunto de hipótesis y relaciones de las variables que describen un fenómeno, constituyen un modelo matemático (ecuaciones), que conduce a un problema matemático que es necesario resolver mediante apropiadas técnicas.

En la mayoría de los casos las ecuaciones que rigen los fenómenos físicos a considerar no pueden resolverse analíticamente, por lo que es necesario utilizar métodos aproximados mediante un proceso de computación, siendo los más utilizados los métodos de elementos finitos y el de diferencia finitas. El primero hace discreto el medio en que tiene lugar el fenómeno en estudio utilizando comúnmente una red de triángulos, mientras que el segundo utiliza una red de rectángulos, que es menos complicada, y proporciona una descripción suficiente de los contornos. La esencia de éste método de diferencia finitas, es sustituir los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales que rigen el fenómeno en estudio, por sistemas de ecuaciones algebraicas proporcionando valores en los puntos de la malla mediante la solución de métodos explícitos e implícitos.

 La precisión de los modelos matemáticos está íntimamente ligada a su costo de explotación, por lo que deben tomarse en cuenta los siguientes factores: exactitud de los datos iniciales, tipo de fenómeno a estudiar, exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno, forma de aproximar la ecuaciones y evolución del modelo.

Modelos análogos

Dos fenómenos físicos de diferente naturaleza se llaman analógicos si las ecuaciones que los describen se expresan con formas matemáticas idénticas, aún cuando los símbolos de cada una de ella tengan significado diferente. Es común que uno de los dos fenómenos sea de menor dificultad, por lo que éste se emplea para resolver el otro. Lo anterior ofrece una posibilidad de resolver problemas hidráulicos a base de mediciones hechas sobre un fenómeno análogo, siendo los más comunes:

→ Analogía entre un flujo a través de medios permeables y flujo laminar en capas delgadas (modelos de Hele-Shaw).

→ Analogía entre flujo laminar y flujo turbulento.→ Analogía entre un flujo a través de medios permeables y la

deformación de una placa elástica bajo carga.→ Analogía eléctrica y otros fenómenos físicos ( como hidráulicos,

mecánicos, etc.).

Modelos físicos reducidos

El uso de modelos físicos a escala reducida, llamados simplemente modelos hidráulicos, implica que éstos deben ser semejantes al prototipo, para lo cual debe satisfacerse las leyes de similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica, que en conjunto relacionan magnitudes físicas homólogas definidas entre ambos sistemas.

Cuando se va a realizar una comparación con respecto a la similitud geométrica se definen puntos homólogos sobre los cuales se definen magnitudes tales como velocidad, presión, etc.; de igual manera se definen lados, superficies y volúmenes homólogos. La similitud geométrica implica una relación constante para cualquier longitud L, esta relación es denominada escala de líneas de longitudes.

 Cuando la comparación entre el prototipo y modelo es con respecto a un movimiento, se establece entonces la similitud cinemática; ésta se cumple cuando los patrones la forma de los patrones de flujos homólogos son iguales en cualquier tiempo, es decir, hay similitud en el movimiento de los sistemas. Es por esto que la relación de velocidades entre estos puntos debe ser constante y es denominada escala de velocidades. Es un requisito que se cumpla con la similitud geométrica para que se cumpla la similitud cinemática.

 El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, de Coriolis, etc. Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas.

2.2.- Análisis dimensional.

El análisis dimensional permite agrupar las variables implicadas en un fenómeno en parámetros adimensionales, y expresar el problema en términos de la relación funcional de estos parámetros.

Los parámetros adimensionales profundizan de manera significativa nuestra comprensión de los fenómenos de flujo de fluidos en forma parecida al caso de un gato hidráulico, donde la relación de los diámetros de pistón determina la ventaja mecánica, un numero adimensional que es independiente del tamaño total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en número a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones físicas y, a veces diferentes propiedades de fluido. Los conceptos de análisis dimensional presentados, mas una comprensión de la mecánica del tipo de flujo en estudio, hacen posible realizar esta generalización de datos experimentales. La consecuencia de tal generalización es múltiple, ya que ahora se puede

describir el fenómeno en su totalidad sin estar restringido a la discusión del experimento especializado que se realizó. Así es posible realizar menor número de experimentos, aunque de carácter altamente selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr así importantes ahorros de tiempo y dinero. Los resultados de una investigación se pueden también presentar a otros ingenieros y científicos en una forma más compacta y significativa para facilitar su uso. Igualmente importante es el hecho que, a través de tales presentaciones, incisivas y ordenas de información, los investigadores pueden descubrir nuevas características y áreas faltantes de conocimientos del problema en estudio. Este avance dirigido de nuestra comprensión de un fenómeno seria perjudicado si no se contara con las herramientas de análisis dimensional. Muchos de los parámetros adimensionales pueden verse como la razón de un par de fuerzas de fluidos, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a otra. Si algunas fuerzas en una situación de flujo particular son mucho menores que otras, es posible despreciar el efecto de las fuerzas más pequeñas y tratar el fenómeno como si fuera determinado completamente por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemáticos experimentales más sencillos, aunque no necesariamente más fáciles, para resolver el problema. Para situaciones con varias fuerzas de la misma magnitud, tales como fuerzas de inercia, de viscosidad y gravitacionales, se requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dimensiones, análisis dimensional y parámetros adimensionales, se presentan estudios de similitud dinámica y de modelos.

Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación disminuye.

Nosotros podemos expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado de dimensiones básicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son:

- L, longitud.

- M, masa.

- T, tiempo.

- K, grados kelvin.

Así podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

Como una longitud entre un tiempo.

Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.

2.3.- Conceptos de similitud.

La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un décimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad debe tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los números de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo.

Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud.

Como ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real) y modelo se muestran en la figura. Por supuesto, la similitud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de Dm/Dp. Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala.

Figura: Similitud Geométrica y Dinámica para el Flujo sobre una Esfera

Similitud geométrica

Similitud cinemática

=

Similitud dinámica

La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de fuerza en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera están actuando tres

fuerzas netas, la fuerza de presión, fp; la fuerza viscosa o de corte, ft y la fuerza inercial debida a la aceleración. Fi. Estas fuerzas deben formar un polígono cerrado tal como se muestra para el prototipo de la figura. El polígono de fuerzas para el modelo debe ser similar al del prototipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud, la relación de cada lado debe mantenerse. El asegurar la igualdad entre los polígonos de fuerzas de modelo y prototipo, se consigue igualar los números adimensionales entre modelo y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmente es algo imposible de alcanzar, a menos que la relación de escala sea 1:1

2.4.- Numero adimensionales: Reynolds, Froude, Euler, Weber, Cauchy-Mach.

El Número de Reynolds.

El número de Reynolds es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds críticos distingue entre los diferentes número de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds.

El Número de Froude.

El número de froude V/ "gl, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por A, es una relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales, con un flujo a superficie líquida libre. La naturaleza del flujo depende de si el número de froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.

El Número de Euler.- Este número adimensional expresa la relación entre una pérdida de presión (por ejemplo un estrechamiento) respecto a la energía cinética por volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo.

El Número de Weber.

Es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial. Éste es importante en interfaces gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfaces se encuentran en contacto con una frontera. La tensión superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas.

El Número de Mach.

La velocidad del sonido en un líquido se escribe como "K/ si K es el módulo de elasticidad volumétrica (sección 1.8) o c = "kRP donde k es la relación de calor específico y T la temperatura absoluta para un gas perfecto. V/c o V/"K/ es el número de Mach. Es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por A/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con respecto a la energía interna del fluido. Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

3.- Dinámica de los Fluidos reales, permanentes e incomprensibles en conductos a presión.

3.1.- Efecto Viscosidad.

La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal. En realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones.

Dependiendo del efecto de la viscosidad relativa a la inercia, el flujo puede ser laminar, turbulento o de transición.

El efecto de viscosidad relativo al de inercia puede representarse por el número de Reynolds. En la mayor parte de los canales abiertos el flujo laminar ocurre muy raramente.

En efecto, el hecho de que la superficie de una corriente aparezca lisa y tersa para un observador no es en ningún modo una indicación de que el flujo sea laminar; más probablemente, ello indica que la velocidad de la superficie es más baja que la requerida para que se formen ondas capilares. El flujo laminar en canales abiertos existe, por ejemplo donde delgadas láminas de agua fluyes sobre el suelo o en canales de laboratorio.Efecto de la gravedad. El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad. Esta relación es conocida como el número de Froude.

Los fluidos reales siempre experimentan al moverse ciertos efectos debidos a fuerzas de rozamiento o fuerzas viscosas. Así, la viscosidad es responsable de las fuerzas de fricción que actúan entre las capas del fluido. En los líquidos, esta surge de las fuerzas de cohesión entre las moléculas de la sustancia. La viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura, mientras que lo contrario

sucede con los gases. Si un fluido no tiene viscosidad fluiría por un tubo horizontal sin necesidad de aplicar ninguna fuerza, su cantidad de movimiento sería constante. En un fluido real, sin embargo, para mantener un caudal de fluido estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre los extremos de la tubería.

De esta manera, cuando el trabajo realizado contra estas fuerzas disipativas es comparable al trabajo total realizado sobre el fluido o al cambio de su energía mecánica, la ecuación de Bernoulli no puede utilizarse. La ecuación de Bernoulli es siempre válida para fluidos en reposo, ya que en este caso las fuerzas viscosas no tienen ningún efecto, pero para los fluidos en movimiento se ha de evaluar los efectos de dichas fuerzas. Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli puede dar una descripción adecuada del flujo de la sangre en las arterias mayores de los mamíferos, pero no en los conductos sanguíneos más estrechos.

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un fluido “fluye” estacionariamente por una tubería horizontal estrecha y de sección transversal constante, la presión no cambia a lo largo de la tubería. En la práctica, como señalamos, se observa una caída de presión según nos desplazamos en la dirección del flujo: se requiere una diferencia de presión para conseguir la circulación de un fluido a través de un tubo horizontal.

3.2.- Flujo Laminar y Turbulento

Flujo laminar

Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular. El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas, mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos. El número de Reynolds es un parámetro adimensional importante en las ecuaciones que describen en qué condiciones el flujo será laminar o turbulento. La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar:

Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar.

Flujo Turbulento

Se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido a esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más precisamente caótica.

La ecuación para el flujo turbulento se puede escribir de una forma análoga a la ley de Newton de la viscosidad:

Donde:

h: viscosidad aparente, es factor que depende del movimiento del fluido y de su densidad.

En situaciones reales, tanto la viscosidad como la turbulencia contribuyen al esfuerzo cortante:

Ley de Poiseuille

Esta ecuación es conocida como la ley de Poiseuille. Muchas aplicaciones interesantes de la física de fluidos se basan en el estudio de flujos laminares en tubos cilíndricos, tales como tuberías de metal o arterias humanas, dicha ley es una aproximación muy útil a la hora de obtener una comprensión cualitativa del flujo sanguíneo.

La ley de Poiseuille se aplica sólo al flujo laminar (no turbulento) de un fluido de viscosidad constante que es independiente de la velocidad del fluido.

DP=8⋅h⋅Lp⋅r 4 Q

La ley de Poiseuille se cumple solamente para flujos laminares. Sin embargo, frecuentemente el flujo no es laminar, sino turbulento, y se parece entonces a la estela de una lancha rápida, con torbellinos y remolinos.

Cuando la velocidad de flujo de un fluido resulta suficientemente grande, se rompe el flujo laminar y se establece la turbulencia. La velocidad crítica por encima de la cual el flujo a través de un tubo resulta turbulento, depende de la densidad y de la viscosidad del fluido y del radio del tubo.

En la práctica, el flujo turbulento se trata mediante diversas reglas empíricas y relaciones obtenidas tras muchos estudios experimentales.

Para poder determinar cuándo el flujo es laminar y, por lo tanto, si la ley de Poiseuille puede aplicarse, utilizaremos una de estas reglas empíricas. Éstas establecen que el valor de una magnitud adimensional denominada número de Reynolds N R determina si el flujo es laminar o turbulento.

El Número de Reynolds NR, se define así:

Donde v es la velocidad media del fluido, r el radio, y la densidad. Los experimentos han demostrado que el flujo será laminar si el número de Reynolds es menor de 2000 aproximadamente y será turbulento si sobrepasa los 3000. Entre estos valores el flujo es inestable y puede variar de un tipo de flujo al otro. En algunos libros se puede encontrar el diámetro d en lugar del radio r y se ha de tener cuidado, pues el número 2 desaparece ya que d = 2.r, y las cantidades anteriores deben ser modificadas.

3.3.- Esfuerzos cortantes y distribución de velocidades para flujo laminar uniforme.

Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un esfuerzo cortante (esfuerzo tangencial) no importa cuán pequeño sea. Todos los fluidos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante.

Sólidos: Bajo la acción de un esfuerzo tangencial finito, el sólido sufre una deformación angular, también finita, proporcional a ésta hasta su límite de elasticidad. La constante de proporcionalidad es G, el módulo de rigidez:

Líquidos: Bajo la acción de un esfuerzo tangencial finito, el líquido sufre una deformación angular continua proporcional a ésta mientras la fuerza tangencial es aplicada. La resistencia a la deformación en los líquidos es indicada por la viscosidad dinámica, µ, que será la constante de proporcionalidad:

Así, en los sólidos la deformación es proporcional al gradiente de los desplazamientos, mientras que en los líquidos lo es al gradiente de las velocidades

La hipótesis del continuo:

La materia no es continua sino que está compuesta por moléculas , las cuales interactúan entre sí a través de colisiones y fuerzas intermoleculares. La fase en la que se encuentra una materia es consecuencia directa del espaciamiento entre moléculas y las fuerzas intermoleculares.

Sólido: Las distancias son cortas y las fuerzas intermoleculares fuertes, lo suficiente como para que un trozo de materia mantenga su forma y su volumen.

Líquido: Las distancias son más largas y las fuerzas más débiles, lo que provoca que aunque tengan la suficiente intensidad como para mantener su volumen, no sean capaces de mantener la forma.

Gas: El espaciado entre moléculas posibilita una disminución drástica de las fuerzas que unen las moléculas entre sí, lo que hace que no puedan mantener ni forma ni volumen.

Distribución de esfuerzos

De la expresión de esfuerzos, para un tubo de corriente de radio r concéntrico con el eje de un tubo cilíndrico, se obtiene que:

Lo que demuestra que en un flujo establecido en un tubo, el esfuerzo de corte varía linealmente según la distancia a partir del eje. Como esta relación se ha obtenido sin considerar el régimen de flujo, es por lo tanto aplicable a laminar o turbulento.

Diagrama de velocidades y esfuerzos de flujo laminar

Distribución de esfuerzos y velocidades en flujo laminar.

Para flujo laminar en tuberías se concluye:

No hay velocidad adyacente al límite sólido.

El esfuerzo de corte se da por la ecuación de Newton sobre viscosidad.

El factor de fricción es inversamente proporcional a la primera potencia del número de Reynolds.

La relación entre velocidad máxima y media es dos.

3.4.- Coeficiente de corrección de energía cinética y de cantidad de movimiento.

Factor de corrección de la energía cinética.

El término del flujo de la energía cinética debe ser modificado con un factor de corrección adicional α de modo que la integral sea proporcional al cuadrado de la velocidad media.

Donde

Si la densidad es también variable, el cálculo de la integral resulta bastante complicado. Si u es la velocidad normal a la sección, la primera de las ecuaciones anteriores queda, para flujo incompresible,

El termino α es el factor de corrección de la energía cinética, que tiene un valor de 2,0 aproximadamente para el flujo laminar completamente desarrollado en un conducto y de 1.04 a 1.11 para el flujo turbulento. La ecuación de la energía en régimen estacionario e incompresible, incluyendo bombas turbinas y pérdidas, se podría generalizar a:

Todos los términos aditivos de la ecuación tienen dimensiones de longitud y los términos de carga del segundo miembro (h turbina, h bomba, h fricción) son todos positivos.

Factor de corrección de la cantidad de movimiento .

Al número adimensional:

Se le denomina factor de corrección de la cantidad de movimiento.

Para régimen turbulento, β tiene un valor comprendido entre 1,05 y 1,09, y para régimen laminar valores menores de uno, pero muy próximos a él.

3.5- Introducción a la capa limite, para flujo turbulento.

En mecánica de fluidos, la capa límite o capa fronteriza de un fluido es la zona donde el movimiento de éste es perturbado por la presencia de un sólido con el que está en contacto. La capa límite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada. La capa límite puede ser laminar o turbulenta; aunque también pueden coexistir en ella zonas de flujo laminar y de flujo turbulento. En ocasiones es de utilidad que la capa límite sea turbulenta.

La capa limite laminar sobre una placa plana puede acabar convirtiéndose en turbulenta, pero el valor del numero Reynolds para el que se produce la transición no es único. Puliendo la pared con cuidado y con una corriente libre sin perturbaciones, se puede retrasar el número de Reynolds de transición

hasta Rextr ≈ 3 x 106. De cualquier forma para superficies comerciales y corrientes libres racheadas, un valor más realista es

Rextr≈ 5x105

La capa límite se vuelve turbulenta cuando el número de Reynolds para la placa tiene valores entre 500.000 y 1 .000, 000. La figura indica el crecimiento y la transición de una capa límite laminar a una turbulenta. El número de Reynolds crítico depende de la turbulencia inicial en la corriente de fluido, del borde de aguas arriba de la placa. Y de la rugosidad de ésta.

Capa límite turbulento: Se puede utilizar la ecuación de momentum para determinar el crecimiento de la capa límite turbulenta y el esfuerzo cortante a lo largo de una placa lisa en forma análoga al tratamiento hecho para la capa límite laminar. La ley universal de distribución de velocidad para tuberías lisas.

Proporciona la mejor base, pero los cálculos, son laboriosos. Una manera más simple es utilizar la ley de la potencia 1/7 de Prandtl. Ésta es u/umax= (v/r)1/7 en la cual y se mide desde la pared de la tubería y r0 es el radio de la tubería. Aplicándola a una placa plana, produce

En la cual la última expresión es el esfuerzo cortante en la pared de una placa lisa con una capa límite turbulenta. El método utilizado para calcular la capa límite laminar da

Después de integrar y suponer que la capa límite es turbulenta a lo largo de toda la longitud de la placa. De tal manera que se puedan utilizar las condiciones x = 0 y δ = 0.

El espesor se incrementa más rápidamente en la capa límite turbulento. En ésta, el espesor se incrementa con X4/5. Mientras que en la capa límite laminar δ varía con X1/2

Para determinar el arrastre sobre una placa plana lisa, se elimina δ en las ecuaciones anteriores y

El arrastre por unidad de ancho en uno de los lados de la placa es

En términos del coeficiente de arrastre

En la cual R, es el número número de Reynolds basado en la longitud de la placa.

3.6.-Ejercicio de Flujo laminar y turbulento.

En el ejemplo anterior el radio de la arteria es 4 10-3 m, la velocidad media de la sangre vale 1.9910-2 m/s y la viscosidad es 2.084 10-3 Pa s. Además, la densidad de la sangre es 1.0595 x 103 kg m-3. Hallar el número de Reynolds y comprobar si el flujo es o no laminar.

El número de Reynolds es . 1.99 10-2.4 10-3=80.9

Por lo tanto el flujo es laminar, ya que este valor es mucho menor que 2000.

El número de Reynolds indica también si el flujo alrededor de un obstáculo, como la proa de un barco o el ala de un avión, es turbulento o laminar. En general, el número de Reynolds al que aparece la turbulencia depende mucho de la forma del obstáculo.

En este caso se trata de un objeto que se está moviendo en el seno de un fluido, encontrándose que el fluido ejerce sobre el cuerpo una fuerza de fricción o fuerza

de arrastre. El NR ahora es siendo d, en este caso, una dimensión característica del cuerpo. (Para una pelota puede ser su diámetro). Ahora, si NR < 5 el flujo alrededor del objeto es laminar, si NR > 100 sería turbulento.

Si conocemos el NR podemos encontrar la fuerza de arrastre que actúa sobre el objeto. Para NR >100 y flujo, por tanto, turbulento, esta fuerza viene dada por la relación de Prandtl:

Donde C es el coeficiente de arrastre, r2 el área del cuerpo que “vería” el flujo o que el cuerpo opone al flujo. v es la velocidad promedio del objeto. Si NR < 5 la fuerza de arrastre nos viene dada por la ley de Stoke Fd = -6rv. (Con r como dimensión característica del objeto. Esta ley es en principio para cuerpos esféricos, aunque se puede generalizar mediante factores de forma).

4.- Flujo de fluidos reales, permanentes e incomprensibles en conductos a presión

En un fluido incompresible, la densidad puede ser considerada constante. Dentro de las facilidades se consideran diámetros pequeños

4.1.- Ecuación de la energía para fluidos reales, Análisis de la interrelación entre la pérdida de energía y el esfuerzo cortante.

Ecuación de la energía para fluidos reales

Esta ecuación surge de la aplicación de las leyes de Newton y el teorema de la energía cinética sobre fluidos en movimiento. Se deduce suponiendo un flujo que conserva la energía, estacionario (líneas de flujo suaves con velocidad, densidad y presión constantes en el tiempo) y un líquido incompresible.

La ecuación de Bernoulli como una expresión de balance energético donde los términos con u2; siendo u la velocidad en cada punto, corresponden a la energía cinética del sistema y aquellos que dependen de z (la altura en cada punto) corresponden a la energía potencial del sistema. Para determinar la

expresión que entrega la ecuación de Bernoulli, se considera un flujo no viscoso, permanente e incompresible de un fluido que circula por una tubería o un tubo de corriente.

Dicha ecuación está planteada de la siguiente manera

p1+12ρ v1

2+ ρ g y1=p2+12ρ v2

2+ρ g y2

Esta es la Ecuación de Bernoulli para un flujo permanente, no viscoso, incompresible entre dos puntos cualesquiera ubicados sobre una misma línea de corriente. Como los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera en el tubo o conductor, puede escribirse que:

P+ 12ρ v2+ρ g y=cons tan te .

Donde:

El término p corresponde a lo que se llama presión estática.

El término 1/2v2 es lo se llama presión dinámica.

El termino gh corresponde a la presión debida a la columna de líquido

Esta ecuación se aplica a muchas situaciones en medicina, como son la medida de la presión arterial, la aplicación de presión de aire en los pulmones para respiración artificial, el drenado de líquidos humanos a través de sondas, etcétera.

En otros términos se podría decir que el teorema de Bernoulli es una forma de expresión de la aplicación de la ley de la conservación de la energía al flujo de fluidos en una tubería. La energía total en un punto cualquiera por encima de un plano horizontal arbitrario fijado como referencia, es igual a la suma de la altura geométrica, la altura debida a la presión y la altura debida a la velocidad. Si las pérdidas por rozamiento se desprecian y no se aporta o se toma ninguna energía del sistema de tuberías (bombas o turbinas), la altura total permanecerá constante para cualquier punto del fluido. Sin embargo, en la realidad existen pérdidas o incrementos de energía que deben incluirse en la ecuación de Bernoulli. Por lo tanto, el balance de energía puede escribirse para dos puntos del fluido.

Dicho de otra manera, recordando que la ley de conservación de la energía establece que la energía no puede ser creada ni destruida, solo se puede transformar de un tipo en otro. Entonces cuando se analizan problemas de flujo en conductos, es necesario considerar tres formas de energía. Como lo son la energía de flujo (llamada también energía de presión o trabajo de flujo, que representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de un cierta sección en contra de la presión quedando Ef= (w*p)/Y; donde w es el peso del fluido, p la presión y Y el peso especifico del fluido). Energía potencial (debido a su elevación, la energía potencial del elemento de fluido con respecto a algún nivel de referencia viene dada por Ep= w*z). y la energía cinética (debido a su velocidad esta energía viene dada por Ek= (w*v2)/(2.g).

Por lo tanto, la cantidad total de energía que posee el elemento de fluido será la suma de las tres energías, y de allí simplificando el peso w del elemento de fluido, se obtiene la ecuación de bernolli, y ya que esta se deriva del principio de conservación de la energía de la energía mecánica

Existen ciertas restricciones de la ecuación de Bernoulli como que: Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante energía total del fluido es constante. No puede haber transferencia de calor hacia adentro o afuera del sistema. Y no puede haber pérdidas de energía debidas a la fricción.

Análisis de interrelación entre la pérdida de energía y el esfuerzo cortante.

La interrelación existente entre la perdida de energía y el esfuerzo cortante en el Flujo de fluidos por tuberías, viene dada a medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo (tuberías) y ocurren perdidas de energía debido a la fricción, al diámetro de la tubería y de igual manera debido a otros accesorios presentes en las líneas de flujo, este parece moverse como

si fueran varias capas unas sobre otras, esta capas no se mezclan entre sí este mecanismo de transporte es exclusivamente molecular debido a la viscosidad del fluido, creando así un Esfuerzo Cortante (T0) entre sus capas dándose la Perdida de Energía (hL) del fluido por la acción de la fuerza de fricción que hay que vencer y que son producidos por el Esfuerzo Cortante Tal energías traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo lo que hace que dichos sistemas sean creados tomando en cuenta las necesidades de transporte de los fluidos y los parámetros a los cuales deben abstenerse para dicha fabricación de las líneas de flujo.

Por ejemplo: El Flujo Laminar. Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido Se llama flujo laminar o corriente laminar, al tipo de movimiento de un fluido cuando éste es perfectamente ordenado, estratificado, suave, de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse si la corriente tiene lugar entre dos planos paralelos, o en capas cilíndricas coaxiales como, por ejemplo la glicerina en un tubo de sección circular. La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar: Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. En situaciones que involucren combinaciones de baja viscosidad, alta velocidad o grandes caudales, el flujo laminar no es estable, lo que hace que se transforme en flujo turbulento.

4.2.- Ejercicio aplicando la ecuación de energía.

La presión del agua que entra a un edificio es 3 atmósfera, siendo el diámetro

de la tubería 2[cm] y su rapidez de  . Si el baño de un departamento del 4º piso está a 6[m] de la entrada y la tubería tiene un diámetro de 4 [cm], calcule:

La presión y rapidez del agua en el baño, La presión en el baño si se corta el agua a la entrada.

Solución.

Usando la ecuación de Bernoulli a la entrada (región 1) y en el baño del 4º piso (región):

y la ecuación de continuidad,

Donde 

, 

, 

y encontramos:

Si el agua se corta en la entrada, donde ,

Bibliografía

MECANICA DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA. Tercera edición. Serie SHAUM. Editorial MC GRAW HILL. Escrito por RANALD V. GILES, JACK B. EVETT, CHENG LIU.

FLUJO DE FLUIDOS EN VALVULAS, ACCESORIOS Y TUBERIAS. Crane Co.

MECANICA DE LOS FLUIDOS. Quinta edición .Editorial MC GRAW HILL. AUTOR FRANK M. WHITE.

http://es.wikipedia.org

http://www.monografias.com/trabajos32/ecuaciones-fundamentales-fluidos/ecuaciones-fundamentales-fluidos.shtml