INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO

MECANIACA DE FLUIDOS IIINTEGRANTES DEL EQUIPO:

Aldama Bonifacio Hans Eduardo Lpez Pea Ral Ojeda Snchez Jess Guillermo Rosales Limn Jos Joel Rosas Mendoza Hctor Silva Garca Carlos Roberto

GRUPO: 6MV1

FECHA DE ENTREGA: 22-NOV-2010

UNIDAD IMEDICION DEL FLUJO (VELOCIDAD Y GASTO VOLUMETRICO)

1.1.- INTRODUCCINLa medida del caudal es junto con la medida de la presin y la temperatura, la que se realiza con mayor frecuencia, en la industria y en los laboratorios de ensayo e investigacin. Esto explica el desarrollo que ha experimentado la industria de medidas de caudales y la variedad de procedimientos e instrumentos que se han desarrollado para ello Cundo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de rgimen estable la velocidad de cada partcula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partcula con una velocidad diferente, pero toda partcula que pase por este segundo punto se comporta all de la misma manera que se comportaba la primera partcula cuando pas por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de rgimen variable, las velocidades son funcin del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varan desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

1.2.- VELOCIDAD TEORICA Y VELOCIDAD REAL

La velocidad terica de un fluido consiste en calcular la velocidad del mismo con una serie de ecuaciones considerando al fluido como ideal en el cual no existen prdidas. El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripcin consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas caractersticas son las siguientes: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la friccin interna entre las distintas partes del fluido 2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuacin de la continuidad

Consideremos una porcin de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt. En un intervalo de tiempo Dt la seccin S1 que limita a la porcin de fluido en la tubera inferior se mueve hacia la derecha Dx1=v1Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm1=rS1Dx1=rS1v1Dt.

Anlogamente, la seccin S2 que limita a la porcin de fluido considerada en la tubera superior se mueve hacia la derecha Dx2=v2Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm2=r S2v2 Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la seccin S1 en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la seccin S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego v1S1=v2S2

Esta relacin se denomina ecuacin de continuidad. En la figura, el radio del primer tramo de la tubera es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo: Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeo chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas. La ecuacin de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La seccin trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la accin de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

Aplicando la ecuacin de continuidad

Despejamos el radio r del hilo de agua en funcin de la distancia h al grifo.

Ecuacin de Bernoulli Evaluemos los cambios energticos que ocurren en la porcin de fluido sealada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubera. En la figura, se seala la situacin inicial y se compara la situacin final despus de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se ha desplazado v2 Dt y la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado v1Dt hacia la derecha.

El elemento de masa Dm se puede expresar como Dm=r S2v2Dt=r S1v1Dt= r DV Comparando la situacin inicial en el instante t y la situacin final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y1 a la altura y2 La variacin de energa potencial es DEp=Dmgy2-Dmgy1=r DV(y2-y1)g El elemento Dm cambia su velocidad de v1 a v2, La variacin de energa cintica es DEk =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presin sobre la porcin de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F1=p1S1 y F2=p2S2.

La fuerza F1 se desplaza Dx1=v1Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo La fuerza F2 se desplaza Dx2=v2 Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios. El trabajo de las fuerzas exteriores es Wext=F1 Dx1- F2 Dx2=(p1-p2) DV

El teorema del trabajo-energa nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actan sobre un sistema de partculas modifica la energa del sistema de partculas, es decir, la suma de las variaciones de la energa cintica y la energa potencial del sistema de partculas Wext=Ef-Ei=(Ek+Ep)f-(Ek+Ep)i=DEk+DEp Simplificando el trmino DV y reordenando los trminos obtenemos la ecuacin de Bernoulli

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubera es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicacin prctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubera. El manmetro mide la diferencia de presin entre las dos ramas de la tubera. La ecuacin de continuidad se escribe v1S1=v2S2

Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubera que tiene menor seccin es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor seccin. Si S1>S2, se concluye que v1 4000 el flujo se considera turbulento. Entre 2000 < Re < 4000 existe

una zona de transicin. En rgimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analtica a partir de las ecuaciones de NavierStokes, y a partir de los esfuerzos cortantes es posible obtener la distribucin de velocidad en cada seccin. Las prdidas de carga lineales hpl resultan verificar la llamada ecuacin de Hagen-Poiseuille (ecuacin 6) en honor a los dos investigadores que, en la misma poca pero de forma independiente, establecieron el tipo de dependencia lineal entre la prdida de carga y el caudal dado por:,

Diagrama de Moody: coeficiente de friccin en funcin del nmero de Reynolds para distintos valores de rugosidad relativa

Prdidas singulares

Las prdidas singulares son las producidas por cualquier obstculo colocado en la tubera y que suponga una mayor o menor obstruccin al paso del flujo: entradas y salidas de las tuberas, codos, vlvulas, cambios de seccin, etc. Normalmente son pequeas comparadas con las prdidas lineales, salvo que se trate de vlvulas muy cerradas. Para su estimacin se suele emplear la siguiente expresin:

donde hps es la prdida de carga en la singularidad, que se supone proporcional a la energa cintica en valor promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, , es el denominado coeficiente de prdidas singulares. Otra forma de clculo consiste en considerar el efecto de las perdidas singulares como una longitud adicional de la tubera. Por comparacin de las ecuaciones (7) y (12), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de prdidas singulares mediante:

Nomograma para la estimacin de la longitud equivalente de distintos tipos de elementos singulares

Placa de orificio

La placa de orificio es el elemento primario para la medicin de flujo ms sencillo, es una lamina plana circular con un orificio concntrico, excntrico segmentado y se fabrica de acero inoxidable, la placa de orificio tiene una dimensin exterior igual al

espacio interno que existe entre los tornillos de las bridas del montaje, el espesor del disco depende del tamao de la tubera y la temperatura de operacin, en la cara de la placa de orificio que se conecta por la toma de alta presin, se coloca perpendicular a la tubera y el borde del orificio, se tornea a escuadra con un ngulo de 900 grados, al espesor de la placa se la hace un biselado con un chafln de un ngulo de 45 grados por el lado de baja presin, el biselado afilado del orificio es muy importante, es prcticamente la nica lnea de contacto efectivo entre la placa y el flujo, cualquier rebaba, distorsin del orificio ocasiona un error del 2 al 10% en la medicin, adems, se le suelda a la placa de orificio una oreja, para marcar en ella su identificacin, el lado de entrada, el nmero de serie, la capacidad, y la distancia a las tomas de presin alta y baja.

En ocasiones a la placa de orificio se le perfora un orificio adicional en la parte baja de la placa para permitir el paso de condensados al medir gases, y en la parte alta de la placa para permitir el paso de gases cuando se miden lquidos.

Placa de orificio, concntrica, excntrica y segmentada

Con las placas de orificio se producen las mayores prdidas de presin en comparacin a los otros elementos primarios para medicin de flujo ms comunes, con las tomas de presin a distancias de 2 y de 8 dimetros antes y/o despus de la placa se mide la prdida total de presin sin recuperacin posterior. Se mide la mxima diferencial posible con recuperacin de presin posterior y, con tomas en las bridas se mide una diferencia muy cerca de la mxima, tambin con recuperacin de presin posterior.

Desventajas en el uso de la placa de orificio Es inadecuada en la medicin de fluidos con slidos en suspensin. No conviene su uso en medicin de vapores, se necesita perforar la parte inferior.

El comportamiento en su uso con fluidos viscosos es errtico ya que la placa se calcula para una temperatura y una viscosidad dada. Produce las mayores prdidas de presin en comparacin con otros elementos primarios de medicin de flujos.

Ms delante de la vena contracta, la presin se incrementa, se genera una perdida de presin constante que ya no se recupera, la diferencia de presin que ocasiona la placa de orificio permite calcular el caudal, el cual es proporcional a la raz cuadrada de la cada de presin diferencial.

Q = dpExisten dos tipos de placas de orificio segmentadas; fijas y ajustables.

Orificio segmentado fijo:

Se usa para medir flujos pequeos y es una combinacin de orificio excntrico y una parte segmentada, la parte concntrica se disea para obtener un dimetro del 98% del dimetro interior de la tubera, se usa para en la medicin de flujos como son las pulpas y pastas, no es recomendable para lquidos de alta viscosidad.

Orificio segmentado ajustable:

En este caso la relacin entre el dimetro interior y exterior (0.25-0.85), se modifica por medio de un segmento mvil, el cuerpo de la placa de orificio se fabrica con bridas de conexin similares a la de una vlvula, las guas son de acero al carbn, el material del segmento es de acero inoxidable, se utiliza en tuberas con variaciones de flujo del 10:1 bajo variaciones de presin y temperatura considerables. La relacin entre el flujo y la cada de presin es:

Q = K AH

Tubo de venturiEl efecto Venturi (tambin conocido tubo de Venturi) consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presin al aumentar la velocidad despus de pasar por una zona de seccin menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una aspiracin del fluido contenido en este segundo conducto. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del fsico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se utilizan para acelerar la velocidad de un fluido obligndole a atravesar un tubo estrecho en forma de cono. Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carburador. La aplicacin clsica de medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado por dos secciones cnicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza

consecuentemente a mayor velocidad. La presin en el tubo Venturi puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la regin ancha y la canalizacin estrecha. La diferencia de alturas del lquido en el tubo en U permite medir la presin en ambos puntos y consecuentemente la velocidad. La entrada es una tubera corta recta del mismo dimetro que la tubera a la cual va unida. El cono de entrada, que forma el ngulo a1, conduce por una curva suave a la garganta de dimetro d1. Un largo cono divergente, que tiene un ngulo a2, restaura la presin y hace expansionar el fluido al pleno dimetro de la tubera. El dimetro de la garganta vara desde un tercio a tres cuartos del dimetro de la tubera.

La presin que precede al cono de entrada se transmite a travs de mltiples aberturas a una abertura anular llamada anillo piezomtrico. De modo anlogo, la presin en la garganta se transmite a otro anillo piezomtrico. Una sola lnea de presin sale de cada anillo y se conecta con un manmetro o registrador. En algunos diseos los anillos piezomtricos se sustituyen por sencillas uniones de presin que conducen a la tubera de entrada y a la garganta. La principal ventaja del Vnturi estriba en que slo pierde un 10 - 20% de la diferencia de presin entre la entrada y la garganta. Esto se consigue por el cono divergente que desacelera la corriente.

Funcionamiento de un tubo de venturiEn el Tubo de Venturi el flujo desde la tubera principal en la seccin 1 se hace acelerar a travs de la seccin angosta llamada garganta, donde disminuye la presin del fluido. Despus se expande el flujo a travs de la porcin divergente al mismo dimetro que la

tubera principal. En la pared de la tubera en la seccin 1 y en la pared de la garganta, a la cual llamaremos seccin 2, se encuentran ubicados ramificadores de presin. Estos ramificadores de presin se encuentran unidos a los dos lados de un manmetro diferencial de tal forma que la deflexin h es una indicacin de la diferencia de presin p1 p2. Por supuesto, pueden utilizarse otros tipos de medidores de presin diferencial. La ecuacin de la energa y la ecuacin de continuidad pueden utilizarse para derivar la relacin a travs de la cual podemos calcular la velocidad del flujo. Utilizando las secciones 1 y 2 en la frmula 2 como puntos de referencia, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

1 Q = A1v1 = A2v2 2 Estas ecuaciones son vlidas solamente para fluidos incomprensibles, en el caso de los lquidos. Para el flujo de gases, debemos dar especial atencin la variacin del peso especfico g con la presin. La reduccin algebraica de las ecuaciones 1 y 2 es como sigue:

Pero

. Por consiguiente tenemos,

(3)

Se pueden llevar a cabo dos simplificaciones en este momento. Primero, la diferencia de elevacin (z1-z2) es muy pequea, aun cuando el medidor se encuentre instalado en forma vertical. Por lo tanto, se desprecia este trmino. Segundo, el termino hl es la perdida de la energa del fluido conforme este corre de la seccin 1 a la seccin 2. El valor hl debe determinarse en forma experimental. Pero es ms conveniente modificar la ecuacin (3) eliminando h1 e introduciendo un coeficiente de descarga C:

(4) La ecuacin (4) puede utilizarse para calcular la velocidad de flujo en la garganta del medidor. Sin embargo, usualmente se desea calcular la velocidad de flujo del volumen. Puesto que , tenemos:

(5)

El valor del coeficiente C depende del nmero de Reynolds del flujo y de la geometra real del medidor. La figura 2 muestra una curva tpica de C versus nmero de Reynolds en la tubera principal.

Normas ISO, ASME E ISA empleadas en los instrumentos de medida con prdida de carga

Tubo venturi PCE-VR Tubo venturi para la medicin del caudal del aire en m/h en tuberas y conductos de ventilacin / medidor de caudal con modelos hasta un mximo de 8.000 m/h El caudalmetro es un tubo venturi para la medicin del caudal en tuberas y conductos de ventilacin. Gracias a su carcasa de una pieza de polipropileno, el caudalmetro es un tubo venturi sencillo de manejar. El tubo venturi se fabrica segn la normativa DIN EN manejar. ISO 5167 con perfil de acoplamiento segn ISA 1932. El curso del flujo, tan importante para la medicin, se alcanza mediante el procedimiento especial de deformacin del material termoplstico.

Los smbolos y diagramas son usados en el control de procesos para indicar la aplicacin en el proceso, el tipo de seales empleadas, la secuencia de componentes interconectadas y de alguna manera, la instrumentacin empleada. La Sociedad de Instrumentistas de Amrica (ISA por sus siglas en ingles Instruments Society of e America) publica normas para smbolos, trminos y diagramas que son generalmente reconocidos en la industria. Este captulo est basado en esas normas y ayudara a utilizar e interpretar los sm smbolos utilizados en el control de procesos.

1.4.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD, COEFICIENTE DE CONTR CONTRACCIN Y COEFICIENTE DE DESCA DESCARGA

El teorema de Torricelli es una aplicacin del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un recipiente, a travs de un pequeo orificio bajo la accin orificio, de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida . de un lquido por un orificio. "La velocidad de un lquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendra un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vaco desde el nivel del lquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde: es la velocidad terica del lquido a la salida del orificio es la velocidad de aproximacin.

es la distancia desde la superficie del lquido al centro del orificio. es la aceleracin de la gravedad Para velocidades de aproximacin bajas, la mayora de los casos, la expresin anterior se transforma en:

Donde: es la velocidad real media del lquido a la salida del orificio es el coeficiente de velocidad. Para clculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0.95 en el caso ms desfavorable. tomando =1

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensin superficial, de ah el significado de este coeficiente de velocidad.

.Coeficiente de Descarga El coeficiente de descarga es un factor adimensional caracterstico de la vlvula, que permite calcular el caudal (Q) con el que desembalsa una vlvula en funcin del nivel del fluido en el embalse o reserva (h). luido

(lquidos) Q: Caudal h: Diferencia de altura D: Dimetro tubera C: Coeficiente de descarga g: gravedad

A diferencia del coeficiente de caudal, el coeficiente de descarga es adimensional y prcticamente de valor constante para cualquier dimetro de un mismo modelo. Los fabricantes suelen facilitar el coeficiente de descarga de la vlvula en posicin totalmente abierta, es decir mxima descarga. Contra mayor es el valor del coeficiente, a una misma diferencia de altura del embalse, ms caudal y por lo tanto ms rpido podr desembalsarse el depsito a travs de la vlvula. Las vlvulas de cono fijo, son vlvulas de descarga, y como tales vienen caracterizadas por el coeficiente de descarga en vez del coeficiente de caudal. Su valor est entre C=0,75 y C=0,85. Tericamente, para cada dimetro en particular podramos encontrar la equivalencia entre los coeficiente de descarga y de caudal. Coeficiente de Velocidad: Cv=Vreal / Vteorca Coeficiente de Descarga: Cd=Qreal / Qteorco Coeficiente de Contraccin: Cc=Cd / Cv

1.4.3 INSTRUMENTOS DE MEDICION DE GASTO VOLUMETRICOLos medidores ultrasnicos de flujo o caudal Dentro de las ventajas de este tipo de medidores podemos enunciar las siguientes: a) Al no tener partes mviles como los medidores de turbina han llegado a quintuplicar su periodo de vida; b) No son susceptibles a taponamientos como los medidores de sonda de presin diferencial; c) Por su principio de funcionamiento y a diferencia de los medidores electromagnticos no son afectados por corrientes vagabundas, d) Se usan en dimetros de 2" a 200", e) La medicin se desarrolla independiente del tipo de fluido y/o sus parmetros; f) Su precisin llega hasta 0.05% del rango del flujo medido, significativamente mejor que otros medidores. Estas tres ltimas caractersticas han hecho que este tipo de medidores a nivel mundial sean los ms usados tanto por las empresas distribuidoras de agua y sobre todo en la industria. Los medidores de ultrasonido para canalizaciones presurizadas cuentan con una unidad electrnica de procesamiento y dos sondas o transductores conectados a la tubera y a pesar de la complejidad de sus circuitos electrnicos, el principio de funcionamiento es sencillo, reposando en la emisin y recepcin de las ondas ultrasnicas por las sondas (transductores), las mismas que deben estar situadas a cada lado de la tubera y a una distancia proyectada igual al dimetro de la misma.

El tiempo de trayecto de la sonda S2 hacia la sonda S1, es evidentemente ms importante que el de la sonda S1 hacia la sonda S2, ya que va en contracorriente del flujo. La diferencia del tiempo de trayecto permite calcular la velocidad del flujo en la tubera y por va de consecuencia el caudal.

Rotmetro Medidores de rea variable en los que un flotador cambia su posicin de forma proporcional al caudal Como indicador visual. Se le puede hacer acoplamiento magntico Instalacin en vertical, adems es un diafragma de orificio variable teniendo un coeficiente de descarga que englobara el reparto desigual de velocidades, la contraccin de la vena del fluido, las rugosidades de la tubera, etc.

Datos de las siglas, que hay en el rotmetro: G = peso del flotador,f = volumen del flotador, f = peso especfico del flotador, t = peso especfico del fluido, E = fuerza de arrastre del fluido sobre el flotador, F = fuerza de empuje del fluido sobre el flotador, C

= coeficiente de arrastre del fluido sobre el flotador, = velocidad del fluido, Af = rea de la seccin del flotador, Aw = seccin interior del tubo.d

Ecuacin de las fuerzas del flotador:

v=

2 gvf ( f l ) CdlAf

Condiciones de equilibrio se cumplen las siguientes

G = ff F = ft E = C dt Af2/2g F+E=G

Ecuacin de caudal:

Qv = vAw

Esto permite determinar el caudal de un fluido que pasa a travs de un rotmetro conocido. el caudal depende del peso especfico del lquido y de los valores de la seccin interior del tubo, ya que la misma cambia segn sea el punto de equilibrio del flotador.

Qv = CAwResultaQp = CAw

2 gvt ( f l ) lAf

O bien en unidades de peso:

2 gvt ( f l ) l Af

Con el fin de normalizar los clculos se acostumbra a referir los caudales del lquido o del vapor y gas a sus equivalentes en agua y aire respectivamente.

Los rotmetros ocupan tubos que pueden ser de vidrio y metlicos. Estn mecanizados

para asegurar la intercambiabilidad de los diversos tubos y flotadores a fin de obtener caudales correspondientes, sin tener que calibrar individualmente.

Los flotadores pueden tener varios perfiles de construccin:

Esfrico: para bajos caudales y poca precisin, con una influencia considerable de la viscosidad del fluido.

Cilndrico con borde plano: para caudales medios y elevados con una influencia media de la viscosidad del fluido.

Cilndrico con borde saliente: de cara inclinada contra el flujo con menor influencia de la viscosidad que, por sus caractersticas de caudal, puede compararse a una tobera

Cilndrico con boteras salientes: contra el flujo y con la mnima influencia de la viscosidad del fluido, que por su funcionamiento, puede compararse a una placa-orificio o diafragma.

Los flotadores pueden ser de acero inoxidable 316, aunque debido a los requerimientos de resistencia a la corrosin que se presenta en la industria tambin se usan otros materiales, como flotadores de plstico, pero se prefieren los metlicos por su mayor facilidad de mecanizacin del borde superior. Las escalas de los rotmetros se graban en una escala de latn o de aluminio montada a lo largo del tubo y situada en coincidencia con la lnea de cero del tubo o bien directamente en un tubo de vidrio. La escala puede estar en unidades directas de caudal o bien en un porcentaje de la escala total. En el ltimo caso, se aade un factor de multiplicacin a todas las lecturas para convertir a unidades de caudal en volumen o peso del fluido. Otra forma de graduar la escala es en mm acompaando una curva de calibracin caudal-lectura en mm para determinar el caudal del fluido.(amplitud de 10 a 1).

La calibracin de los rotmetros se consigue bsicamente manteniendo constante el paso de un caudal a travs del rotmetro y midiendo la cantidad de lquido o de gas recogido en un tiempo dado medido con precisin. El volumen del lquido suele

medirse con buretas graduadas o bsculas mientras que en los gases se utilizan gasmetros y calibradores graduados con sello de mercurio. Para la medicin del tiempo se utilizan cronmetros que midan al menos 0,01 segundos.

Segn su aplicacin los rotmetros se pueden clasificar en rotmetros de purga, de indicacin directa con indicacin magntica y transmisin neumtica y electrnica.

El rotmetro de purga: Se utilizan para caudales pequeos, en sus aplicaciones se destaca la purga hidrulica de sellos mecnicos en bombas, la medicin por burbujeo, la purga de elementos de presin diferencial entre algunas

El rotmetro de vidrio: (indicacin directa) adoptan distintas disposiciones como: llevar placas laterales, sellamiento con ventanas de cristal para observar el tubo, disponen de armadura de seguridad y de anti-hielo con gel de slice para evitar la humedad, entre algunas cosas.

El rotmetro By-pass. Es un medidor de caudal de fluido, por lo tanto no de la presin diferencial, la escala de medida de este rotmetro es lineal y no de raz cuadrada como se podra suponer siendo el elemento de medida un diafragma

Medidores tipo turbina Consiste de un juego de paletas o aspas acopladas a un eje, las cuales giran cuando pasa un fluido a travs de ellas. La velocidad a la cual giran estas aspas es proporcional a la velocidad del flujo, y si tenemos la velocidad y el rea del conducto se puede determinar el caudal. Las turbinas deben instalarse de tal modo que no se vace cuando cesa el caudal ya que el choque del agua a alta velocidad contra el medidor vaco lo daara seriamente. Para captar la velocidad de la turbina existen dos tipos de convertidores:

Reluctancia: La velocidad est determinada por el paso de las palas individuales de la turbina a travs del campo magntico, esta variacin cambia el flujo induciendo una corriente alterna en la bomba captadora.

Inductivo: El rotor lleva incorporados un imn permanente y el campo magntico giratorio que se origina produce una corriente alterna en una bobina captadora exterior.

Para estos dos convertidores el rotor de turbina genera la frecuencia la cual es proporcional al caudal, siendo del orden a 250 a 1200 ciclos por segundos para caudal mximo.

Medidor de Turbina

Medidor de vrtice La introduccin de un cuerpo romo en la corriente de un fluido provoca un fenmeno de la mecnica de fluidos conocido como vrtice o torbellino (efecto de Van Karman). Los vrtices son reas de movimiento circular con alta velocidad local. La frecuencia de aparicin de los vrtices es proporcional a la velocidad del fluido. Los vrtices

causan reas de presin fluctuante que se detectan con sensores. Para poder usar este medidor es necesario que el fluido tenga un valor mnimo del nmero de Reynolds (Re= v D / ). Indicado para gases y lquidos limpios.

1.5 IMPORTANCIA DE LA CALIBRACION DE INSTRUMENTOS DE MEDICION DE GASTO VOLUMETRICOLa importancia de la calibracin est en que sin una buena medicin de los aparatos pueden haber diagnostico errneos de dicha prueba y as tener un accidente posterior por con consecuencias fatales para los trabajadores q van a laborar en la empresa donde se coloque el dispositivo medido.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1.-

1.2.-

1.3.-

1.4.-

1.5.-

1.6.-

1.7.-

UNIDAD IIPERDIDAS POR FRICCION Y SISTEMAS DE TUBERIAS

INTRODUCCION

Para explicar el flujo de fluidos incompresibles a travs de una tubera se hace uso de las ecuaciones de cantidades fiscas establecidas. En particular se utilizan las ecuaciones de conservacin de la masa o ecuacin de continuidad, de conservacin de la energa y de conservacin del mumentum lineal. Esta ltima se expresa en trminos de la segunda ley de movimiento de Newton. En la ecuacin de la conservacin de la energa se debe hacer uso de trminos que describa la prdida de energa ocasionada por la friccin entre el fluido en movimiento y la pared interna de la tubera. Este trmino se describe matemticamente por medio de ecuaciones de friccin o resistencia fluida, que por lo general relaciona la energa que se pierde con el flujo en s, representado por la velocidad media del fluido o el caudal que pasa a travs de la tubera. Todas las ecuaciones de friccin que describen el flujo en tuberas son de naturaleza similar; se basan en un equilibrio de fuerzas muy sencillo, que conforman la ley de Newton del movimiento. La diferencia entre estas ecuaciones, mas d forma que de fondo, obedecen a los procesos empricos utilizados en la deduccin. Ahora por sistema de tuberas se debe entender cualquier conjunto de tuberas que operan bajo las mismas condiciones hidrulicas; ejemplos de estos de estos sistemas son las tuberas en serie, las redes de distribucin de agua potable, las redes de riego, sistemas de tuberas en paralelo, entre otros. A pesar de ser simples, estos sistemas pueden presentarse en algunos casos de diseo o ampliacin de redes de distribucin de agua potable, en redes industriales y en redes matrices de sistemas de acueductos. Las tuberas en serie son muy comunes en los sistemas de riego localizado de alta frecuencia.

2.1.- CAPA LMITEConsideremos un tubo de seccin circular alimentado por un tanque de gran tamao con flujo laminar y velocidad constante.

Fig. 2.1

En una seccin antes de la entrada al tubo, la distribucin de velocidades en la seccin es constante con valor Vo. Las paredes tienen gran efecto sobre el flujo que se desarrolla en la tubera. Al acercarse el flujo a la entrada del tubo, las partculas del fluido en contacto con las paredes toman velocidad cero y sus vecinas toman velocidades que varan desde cero cerca a las paredes hasta un mximo constante en la zona central. En la seccin 5-5 se tiene una corona exterior de fluido de espesor d con velocidad variable desde cero en las paredes del tubo hasta un mximo de Vo en su lmite interior, y un ncleo circular interior con velocidad Vo. En la zona inicial del tubo las velocidades en la corona exterior y el ncleo central son bajas y se tiene flujo laminar. La corona de flujo laminar se denomina "capa lmite" , y su espesor se designa por el valor de d. Al comienzo del tubo la velocidad mxima dentro de la capa lmite es muy baja y el flujo est en la zona laminar. Esta situacin ocurre en la figura entre las secciones 1-1 y 2-2. De la seccin 2 en adelante la velocidad mxima dentro de la capa lmite es suficientemente alta y se produce flujo turbulento dentro de la capa lmite.

El espesor de la capa lmite d crece a lo largo del tubo hasta llegar a su valor mximo en la seccin 3 de la figura. A partir de esta seccin el ncleo central del flujo desaparece y la capa lmite cubre toda la seccin del tubo. Entre las secciones uno y tres se efecta el desarrollo de la capa lmite y su espesor es variable. De la seccin tres en adelante d es constante e igual al radio del tubo y la capa lmite est desarrollada.

Fig. 2.2

Cerca a las paredes la velocidad del fluido es muy baja y puede producirse una pequea capa de flujo laminar de espesor do llamada "subcapa lmite laminar". La existencia o no de la subcapa laminar depende de la magnitud de la rugosidad absoluta "e" de las paredes del tubo. Al aumentar la velocidad se destruye el flujo laminar y empieza a desarrollarse flujo turbulento. El flujo laminar se "acorrala" en las paredes de la tubera. De esta manera la porcin que se encuentra dentro de la capa lmite fluye en rgimen laminar, en el resto de la seccin se desarrolla flujo turbulento.

2.2.- PERDIDAS DE CARGAEl comportamiento de un fluido, en particular a lo que se refiere a las prdidas de energa, depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Por esta razn, es necesaria una manera de predecir el tipo de flujo sin tener que observarlo en realidad. Ms aun, la observacin directa es imposible para fluidos que van por tubos opacos. Se demuestra en forma experimental y se verifica de modo analtico, que el carcter del flujo en un tubo depende de cuatro variables: la densidad del fluido , su viscosidad , el dimetro del tubo D y la velocidad promedio del flujo v. Osborne Reynolds fue el primero en demostrar que es posible pronosticar el flujo laminar o turbulento si se conoce la magnitud de un numero adimensional, a lo que hoy se le denomina numero de

Reynolds ( ). La ecuacin siguiente muestra la definicin bsica del nmero bsico del nmero de Reynolds:

Ec.2.2Estas dos formas de la ecuacin son equivalentes debido a que .

El nmero de Reynolds es sobre un elemento de fluido a la fuerza de viscosa. La fuerza de inercia se desarrolla a partir de la segunda ley de Newton F=ma. La fuerza viscosa se relaciona con el producto del esfuerzo cortante por el rea. Los flujos tienen nmeros de Reynolds grandes debidos a una velocidad elevada y/o una viscosidad baja, y tienden a ser turbulentos. Aquellos fluidos con viscosidad alta y/o que se mueven a velocidades bajas, tendrn nmeros de Reynolds bajos y tendern a comportarse como flujos laminares. Para aplicaciones prcticas del flujo en tuberas, encontramos que si el nmero de Reynolds para el flujo es menor a 2000, este ser laminar. Si el nmero de Reynolds es mayor que 4000 el flujo ser turbulento. En el rango de nmero de Reynolds entre 2000 y 4000 es imposible predecir que flujo existe; por lo tanto, la denominamos regin crtica.

Cuando existe flujo laminar el fluido parece moverse como se fueran capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea un esfuerzo cortante entres sus capas. Se pierde energa del fluido por la accin de las fuerzas de friccin que hay que vencer, y que son producidas por el esfuerzo cortante. Debido a que el flujo laminar es tan regular y ordenado, es posible obtener una relacin entre la prdida de energa y los parmetros mensurales del sistema de flujo. Dicha relacin se conoce como ecuacin de Hagen-Poiseuille:

Ec.2.2 Los parmetros que involucran son las propiedades del fluido en cuanto a viscosidad y peso especifico, las caractersticas geomtricas de longitud y dimetro de la tubera, y la dinmica del flujo caracterizada por la velocidad promedio. La ecuacin de Hagenpoiseuille ha sido verificada muchas veces en forma experimental. A partir de esta

ecuacin se puede observar que la perdida de energa en flujo laminar es independiente de las condiciones de la superficie de la tubera. Son las prdidas de friccin viscosa en el interior del fluido las que gobiernan la magnitud de la perdida de energa. La ecuacin de Hagen-Poiseuille es vlida solo para el flujo laminar. Sin embargo se puede usar la ecuacin de Darcy para calcular la perdida por friccin para el flujo laminar. Si igualamos dos relaciones para podemos despejar el factor de friccin: 2 32 2 64

32

Como = , obtenemos 64 Ec.3 Al nmero de Reynolds se le denomina como 64 por tanto tenemos

En resumen la prdida de energa debida a la friccin en el flujo laminar puede calcularse con la ecuacin de Hagen Poiseuille.

32O con la ecuacin de Darcy 2 Donde:

Cuando hay flujo turbulento en tuberas es ms conveniente usar la ecuacin de Darcy para calcular la perdida de energa debido a la friccin (ms adelante se desarrollara). El

flujo turbulento es catico y varia en forma constante. Por estas razones para razones, determinar el valor de f debemos recurrir a los datos experimentales. Las pruebas han mostrado que el numero adimensional f depende de otras dos cantidades adimensionales, el numero de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubera. La rugosidad relativa es la relacin del dimetro de la tubera D a la rugosidad promedio de pared . En la Fig. 2.3 se ilustra la rugosidad de la pared de la tubera como la altura la de los picos de las irregularidades de la superficie. La condicin de la superficie de la tubera depende sobre todo del material de que este hecho el tubo y el mtodo de fabricacin. Debido a que la rugosidad es algo irregular, con el fin de obtener su valor irregular, global tomaremos valores promedio.

Fig. 2.3Las perdidas menores o secundarias que tienen lugar en los cambios de seccin y en los cambios de direccin de la corriente., en las contracciones, ensanchamientos, co codos, vlvulas de diferentes tipos, etc., en general en todos los accesorios de tuberas. Estos elementos producen perturbaciones en la corriente, las que originan remolinos y desprendimientos que intensifican las prdidas. La energa se pierde bajo estas condiciones debido a fenmenos fsicos bastante complejos, la prediccin terica de la ondiciones magnitud de estas prdidas tambin es compleja, y por tanto, normalmente se usan datos experimentales. Estas prdidas, a pesar de llamarse secundarias, pueden llegar a ser ms importantes (en cuanto a magnitud) que a las primarias, si la longitud del tramo de transporte es relativamente corta. Se admite generalmente que si la longitud de la tubera es mayor que 1000 dimetros, el error en que se incurre despreciando las prdidas secundarias es mnimo. En esto se ha de utilizar el sentido comn hidrulico: as, por ejemplo, una vlvula puede ser una prdida pequea y despreciable cuando est totalmente abierta; sin embargo, cuando est parcialmente abierta puede ser la prdida ms importante del prdida sistema. PRIMER MTODO: ECUACIN FUNDAMENTAL DE LAS PRDIDAS DE CARGA SECUNDARIAS

Hrs = (m) Ecuacin 2-3. Prdida de cargas secundarias 3. Donde: HL = prdida de carga secundaria K = Coeficiente adimensional de prdida de carga secundaria V = Velocidad media en la tubera, si se trata de codos, vlvulas, etc. Si se trata de un cambio de seccin como contraccin o ensanchamiento, suele tomarse la velocidad en la seccin menor. G = aceleracin de gravedad. Luego se aplica: Coeficiente de resistencia Las prdidas de energa son proporcionales a la cabeza de velocidad del fluido al fluir ste: por un codo, un cambio de seccin, una vlvula u otros accesorios del sistema. Los valores experimentales de prdida de energa generalmente se reportan en trminos de se un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:

Hrs = (m) El coeficiente de resistencia K no tiene unidades, pues representa una constante de proporcionalidad entre la prdida de energa y la cabeza de velocidad. La magnitud del coeficiente de resistencia depende de la geometra del dispositivo que ocasiona la prdida y algunas veces depende de la velocidad de flujo. A continuacin se explicar las prdidas de carga de los fluidos al fluir por los accesorios antes mencionados. cionados. El coeficiente K de la ecuacin fundamental de prdidas secundarias El coeficiente K de la ecuacin 2-1 depende del tipo de accesorio, del nmero de Reynolds, de la rugosidad y hasta de la configuracin de la corriente antes del accesorio. En general, antes y despus del accesorio en que se produce la prdida a haber un trozo neral, de recta al menos de 4 a 5 D, para que los valores que se aducen a continuacin puedan aplicarse con precisin.

En la prctica no suele necesitarse por lo dems demasiada precisin. Para Rey >1 x 105 a 2 x 105, K no depende prcticamente del nmero de Reynolds. Ahora bien los problemas prcticos con fluidos de poca viscosidad como el aire y el agua suelen caer en esta regin. La ecuacin fundamental de las prdidas secundarias tiene la misma forma que la de las secundarias prdidas primaras s se hace en esta ltima.

En una conduccin como la de la Fig. 2.4 las prdidas primarias y secundarias se suceden unas a otras. Conviene, pues, definir el coeficiente de prdidas primarias y secundarias como un coeficiente total de prdidas Kt.

Fig. 2.4 Las prdidas primarias tendrn lugar en los tramos rectos de las tuberas de diversos dimetros, pero todas se expresan segn la ecuacin:

Hrp (m)

=

Donde = factor de friccin de la tubera (depende de cada material en particular) tubera Las prdidas secundarias tendrn lugar en la gran gama de accesorios que pueda tener el sistema (codos, vlvulas, etc.), pero todas estas prdidas se expresan segn la ecuacin:

Hrs = (m) Ecuacin Prdidas por roce o secundarias Si la tubera es de seccin constante: Hr = " Hrp + " Hrs = (K1 + K2 + K3. + Kn ) (m) Donde Hr = perdida total. Kt = K1 + K2 + K3 +Kn = coeficiente de los distintos accesorios y finalmente,

Hr = (m) Ecuacin total de prdidas por roce en accesorios Donde Kt = K1 + K2 + K3 ++ Kn coeficiente total de prdida, si las tuberas no son de seccin constante se procede anlogamente, pero utilizando adems la ecuacin de continuidad. En rgimen turbulento para una misma tubera de seccin constante Kt = C, porque tanto los coeficientes de K1 + K2 + K3 ++ Kn son constantes. SEGUNDO MTODO: LONGITUD DE TUBERA EQUIVALENTE Este segundo mtodo consiste en catalogar las prdidas secundarias en la forma de la longitud equivalente, es decir la longitud en metros de un trozo de tubera del mismo dimetro que producira la misma prdida de carga que el accesorio en cuestin. As cada codo, medidor de caudal, vlvula, etc., se sustituir por una longitud de tuber tubera equivalente Le que luego se aplicar en la ecuacin fundamental de las prdidas primarias en la siguiente forma:

Hrs (m) Ecuacin Prdidas por roce totales en 2 mtodo

=

(Formula de las perdidas primarias y secundarias empleando la longitud equivalente) Donde: Hr = suma total de prdidas primarias y secundarias.

= coeficiente de prdidas del diagrama de Moody L = longitud total de los tramos rectos de tubera " Le = suma de todas las longitudes equivalentes de los diversos accesorios V = velocidad media de la tubera, si la tubera cambia de seccin se aplicar la locidad ecuacin de continuidad como ya se ha dicho. Tabla 2-1. Prdidas por friccin de accesorios. 1.

Accesorios

Longitud de Tubera equivalentes en relacin con dimetros de tubera en metros

Codos a 90, radios normales. Codos a 90, radios medios. Codos a 90 gran curvatura. Codos a 90 en escuadra. Curvas de retorno 180 cerradas Curvas de retorno 180 radio medio Piezas T Acoplamientos Uniones Vlvula de compuerta abierta Vlvula de asiento esfrico abierta Vlvula de ngulo abierta Contadores de agua de disco Contadores de agua a pistn Contador de agua a rodete.

32 26 20 60 75 50 75 Despreciables Despreciables 8 300 150 400 600 300

DILATACIN SBITA Al fluir un fluido de un conducto menor a otro mayor a travs de una dilatacin sbita, su velocidad disminuye abruptamente, ocasionando una turbulencia que genera una prdida de energa como se muestra en la figura a continuacin

Figura 2-5. Esquema de una dilatac 5. dilatacin sbita La cantidad de turbulencia, y por consiguiente, la cantidad de prdida de energa, depende del cociente entre los dimetros de los conductos (D2 / D1). La perdida menor se calcula de la ecuacin:

(m) Ecuacin Prdida de carga del fluido para dilatacin sbita Donde V1 para este ejemplo en particular, es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor, que es el que se ensancha. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de prdida K depende tanto de la proporcin de los tamao de los dos tamaos conductos como de la magnitud de la velocidad de flujo. Al hacer ciertas suposiciones de simplificacin respecto del carcter de la corriente de flujo al expandirse a travs de una dilatacin sbita, es posible predecir analticamente el valor de K a partir de la siguiente ecuacin: K = (1-(A1 / A2)) = (1- (D1 / D2)) Ecuacin Clculo de K Los subndices 1 y 2 se refieren a las secciones menores y mayores de la dilatacin, respectivamente.

Grfico 2-1. Coeficiente de resistencia - dilatacin sbita 1. Tabla 2-2. Coeficiente de resistencia dilatacin sbita. 2. Velocidad Promedio V1 D1 / D2 0,6 m/s 1,2 m/s 3 m/s 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,5 3 0 0,11 0,26 0,4 0,51 0,6 0,74 0,83 0 0,1 0,25 0,38 0,48 0,56 0,7 0,78 0 0,09 0,23 0,35 0,45 0,52 0,65 0,73 4,5 m/s 6 m/s 0 0,09 0,22 0,34 0,43 0,51 0,63 0,7 0 0,09 0,22 0,33 0,42 0,5 0,62 0,69 9 m/s 0 0,09 0,21 0,32 0,41 0,48 0,6 0,67 12 m/s 0 0,08 0,2 0,32 0,4 0,47 0,58 0,65

4 5 10

0,92 0,96 1

0,87 0,91 0,96 0,98

0,8 0,84 0,89 0,91

0,78 0,82 0,86 0,88

0,76 0,8 0,84 0,86

0,74 0,77 0,82 0,83

0,72 0,75 0,8 0,81

infinito 1

DILATACIN GRADUAL Si la transicin de un conducto menor a uno mayor puede hacerse menos abrupta que la dilatacin sbita, la prdida de energa se reduce. Esto normalmente se hace colocando una seccin cnica entre los dos conductos, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2-6. Esquema de una dilatacin gradual 6. La prdida de energa para una dilatacin gradual se calcula a partir de:

Ecuacin Prdida de carga del fluido para dilatacin gradual Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleracin y expansin de la corriente de flujo. Donde V1 es la velocidad del conducto menor que est delante de la dilatacin. La magnitud de K depende tanto de la proporcin de depende dimetro D2 / D1 como del ngulo de cono . La prdida de energa calculada de la ecuacin anterior no incluye la prdida debido a la friccin en las paredes. Para ngulos de cono relativamente empinados, la longitud de transicin es corta y por lo tanto, la prdida por friccin en la pared es despreciable. Sin sicin embargo, al disminuir el ngulo del cono, la longitud de la transicin se incrementa y la prdida por friccin en la pared se hace significativa. Tomando en cuenta tanto la prdida por friccin en la pared como la prdida debido a la to dilatacin, podemos obtener la prdida de energa mnima con un ngulo de cono de aproximadamente 7.

Grfico 2-2. Coeficiente de resistencia v/s dilatacin gradual Tabla 2-3. Coeficiente de resistencia v/s dilatacin gradual Angulo del cono de la dilataci n gradua l 2 1 D1 /D2 1,2 1,4 10 15 0,0 0,0 1 1 25 0,0 3 40 0,0 5 50 60 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 3 6 8 9 1 3

6 20 30 35 45 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,3 2 2 4 9 6 1 5 9 1 3 5 7 0,0 0,0 2 3 0,0 6 0,1 2 0,2 0,3 0,4 0,4 0,4 0,5 0,3 0,5 3 6 1 4 7 3

1,6 1,8 2 2,5 3 infini to

0,0 0,0 3 4 0,0 0,0 3 4 0,0 0,0 3 4 0,0 0,0 3 4 0,0 0,0 3 4 0,0 0,0 3 5

0,0 7 0,0 7 0,0 7 0,0 8 0,0 8 0,0 8

0,1 4 0,1 5 0,1 6 0,1 6 0,1 6 0,1 6

0,2 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,5 0,6 6 5 2 7 1 4 7 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,5 8 7 4 4 8 4 5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 9 8 6 2 6 3 8 0,3 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 9 8 4 8 2 5

0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,4 1 8 5 9 3 6 1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,6 0,7 0,4 0,6 1 9 6 4 7 2

CONTRACCIN SBITA La prdida de energa debido a una contraccin sbita se calcula a partir de la ecuacin.

Ecuacin Prdida de carga del fluido Donde V2 es la velocidad en la corriente hacia abajo del conducto menor a partir de la contraccin. El coeficiente de resistencia K depende de la proporcin en los tamaos de los conductos y de la velocidad del flujo. El mecanismo mediante el cual se pierde energa debido a una contraccin sbita es bastante complejo. La figura a continuacin ilustra lo que sucede al converger la corriente de flujo.

Figura 2-7. Esquema de una contraccin sbita 7. Las lneas de la figura representan las trayectorias de las diversas partes de la corriente de flujo llamadas lneas de trayectoria. Al aproximarse las lneas de trayectoria a la contraccin , asumen una trayectoria curva y la corriente total continua es estrechndose

durante cierta distancia ms all de la contraccin, por lo tanto la seccin de cruce mnimo de flujo es menor que la del conducto menor. La seccin donde ocurre esta rea de flujo mnimo se denomina vena contracta, ms all de esta la corriente de flujo debe desacelerar y dilatarse nuevamente para llenar el nte conducto. La turbulencia ocasionada por la contraccin y la posterior dilatacin genere la perdida de energa.

3. Grfico 2-3. Coeficiente de resistencia v/s contraccin Sbita Tabla 2-4. Coeficiente de resistencia v/s contraccin Sbita oeficiente Velocidad Promedio V1 D1 D2 1 1,1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,5 3 4 5 10 / 0,6 m/s 0 0,03 0,07 0,17 0,26 0,34 0,38 0,4 0,42 0,44 0,47 0,48 0,49 1,2 m/s 0 0,04 0,07 0,17 0,26 0,34 0,37 0,4 0,42 0,44 0,46 0,47 0,48 0,48 1,8 m/s 0 0,04 0,07 0,17 0,26 0,34 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45 0,47 0,48 0,48 2,4 m/s 0 0,04 0,07 0,17 0,26 0,33 0,36 0,39 0,4 0,42 0,45 0,46 0,47 0,47 3 4,5 m/s m/s 0 0 0,04 0,04 0,08 0,08 0,18 0,18 0,26 0,25 0,33 0,32 0,36 0,34 0,38 0,37 0,4 0,38 0,42 0,4 0,44 0,42 0,45 0,44 0,46 0,45 0,47 0,45 6 9 12 m/s m/s m/s 0 0 0 0,11 0,05 0,05 0,06 0,09 0,1 0,18 0,19 0,2 0,25 0,25 0,24 0,31 0,29 0,27 0,33 0,31 0,29 0,35 0,33 0,3 0,37 0,34 0,31 0,39 0,36 0,33 0,41 0,37 0,34 0,42 0,38 0,35 0,43 0,4 0,36 0,44 0,41 0,38

infinito 0,49

CONTRACCIN GRADUAL La prdida de energa en una contraccin puede disminuirse sustancialmente aumentando el ngulo de la unin de los dimetros (< 90 de la contraccin sbita en un sistema ejes coordenados) hasta un ngulo del cono , ilustrado en la siguiente figura. Figura 2-4. Contraccin gradual 4. A continuacin se muestran los datos para el coeficiente de resistencia contra la proporcin de dimetros para varios valores para ngulos del cono .

Grfico 2-4. Coeficiente de resistencia v/s contraccin gradual 4.

La prdida de energa se calcula a partir de la ecuacin partir (m) donde el coeficiente de resistencia se basa en la cabeza de velocidad en el conducto menor despus de la contraccin. Estos datos son para nmero de Reynolds mayores que 10 x105. Al disminuir el ngulo del cono por debajo de los 15, el coeficiente de resistencia de 15, hecho se incrementa como se muestra en la siguiente figura.

Grfico 2-5. Coeficiente de resistencia para ngulo de cono menor a 15 5. La razn es que los datos incluyen los efectos tanto de la turbulencia local ocasionada por la separacin del flujo, como de la friccin del conducto. Para los ngulos de cono menores la transicin entre los dos dimetros es muy larga, lo que incrementa las prdidas por friccin. El redondeo del extremo de la transicin cnica para juntarla con el conducto menor puede disminuir el coeficiente de resistencia por debajo de los valores mostrados en la figura 2.10. Por ejemplo en la siguiente figura se muestra una contraccin con un ngulo incluido de 120, el valor K disminuye de aproximadamente 0.27 a 0.10 con un radio de solo 0.05 (D2), donde D2 es el dimetro interno del conducto menor.

Figura 2.8 Contraccin gradual - extremos redondeados en dimetro pequeo CODOS Y CURVAS El flujo de agua o de cualquier lquido alrededor de un codo en una tubera va acompaado por una redistribucin de las velocidades, por un movimiento en espiral y por una turbulencia anormal. Existen tres tipos de prdidas que se ubican en los codos y que sumadas todas ellas dan como resultado la prdida total por causa del codo (de radio corto y a 90). Prdidas por friccin ordinarias que dependen de la relacin dimetro dimetro-longitud de la curva y de la rugosidad relativa. Separacin del flujo en el lado de la corriente debajo de la curva. Flujo secundario en el plano de la seccin transversal asociada con fuerzas plano centrfugas.

Conforme el agua se aproxima al codo, su energa o carga, cerca de las paredes es pequea debido a la friccin de la viscosidad. El aumento de presin origina do por una fuerza centrfuga hace que la velocidad de las partculas cercanas a la pared exterior de e vuelva cero, producindose la formacin de remolinos y una separacin de la pa red. Tambin hay separaciones y remolinos en el interior del codo, no solo la inercia del agua origina esto, sino tambin la presin en el interior del codo, que es baja en el punto medio, luego aumenta conforme se acerca a la salida y produce separaciones y remolinos.

En la seccin transversal se produce el flujo secundario donde hay un movimiento de doble espiral, tal como se muestra en la figura anterior. A lo largo del dimetro ral, horizontal de esta seccin, la presin aumenta con la distancia radial, pero disminuye rpidamente conforme se llega a la regin de baja presin cerca de la pared. Esta cada de presin causa un movimiento hacia el exterior dirigido a la pared y el agua n es enviada hacia adentro desde la regin de la pared interior. El doble espiral que se produce aumenta las prdidas por friccin e incrementa la turbulencia al final de la tubera. La prdida de carga puede determinarse mediante la medicin de la presin hechos rdida justamente arriba del codo y en el final de la tubera a una distancia suficiente el codo mismo para asegurar que las prdidas se lleven a cabo. En la siguiente figura se proporcionan los coeficientes para el clculo de las prdidas proporcionan producidas por la separacin del flujo y por el flujo secundario en las curvas. Como se ha descrito anteriormente, la prdida total en un codo se compone de 3 subprdidas.

Grfico 2-6. Resistencia debido a los codos de tubera de 90 La resistencia al flujo de un codo depende de la proporcin del radio r del codo con el dimetro dentro de la tubera D. El Grfico 2 6 muestra que la resistencia mnima 2-6 ocurre cuando la proporcin r /D es aproximadamente 3. La resistencia se da en aproximadamente trminos de la proporcin de longitud equivalente Le/D. La resistencia mostrada en el Grfico 2 6 incluye tanto la resistencia del codo como la 2-6 resistencia debido a la longitud del conducto en el codo. Cuando calculamos la proporcin r/D, r se define como el radio a la lnea del centro del conducto o tubo, denominado radio medio.

Esto es si Re es el dimetro externo del conducto o tubo.

Al obtener el valor del radio medio, se relaciona con el dimetro interior del t tubo y se extrae de la tabla el valor del coeficiente K, el cual a su vez se introduce en la formula general de prdidas en los accesorios:

Ecuacin 2-11. Coeficiente K introducido en la frmula general 11.

Figura 2-9. Esquema del radio medio 9.

PRDIDAS POR VLVULAS Las vlvulas se emplean en los circuitos de caeras con el propsito de controlar el caudal. Estos dispositivos al controlar el caudal originan ms prdidas de carga, la cual es inversamente proporcional al porcentaje de apertura de la vlvul vlvula. La prdida se debe principalmente a la contraccin sbita de la corriente, seguida por un ensanchamiento brusco. Despus de esta breve explicacin del proceso que ocurre en la vlvula podemos decir que una ideal, es aquella que al estar totalmente abier no abierta produce prdidas. La expresin que rige el proceso que determina la prdida de carga en vlvulas esta

dada por la ecuacin (m) donde los valores de K sern distintos para cada tipo de vlvula, calculndose segn la siguiente ecuacin.

Ecuacin Coeficiente K en vlvulas eficiente Donde: - Le = proporcin de longitud equivalente (mostrado en la tabla 2.1) = factor de friccin en el conducto al cual est conectada la vlvula o juntura, tomado en la zona de completa turbulencia. - D = dimetro interno real del conducto. Para nuestro caso en particular usaremos solamente vlvulas de Bola para el bloqueo de las lneas del circuito y una vlvula de Compuerta para producir estrangulamientos.

2.2.1.- ECUACIONES FUNDAMENTALES. (DARCY, MANNING, WILLIAM)ECUACION DE DARCY Ya a finales del siglo pasado experimentos realizados en tu tuberas de agua de dimetro constante demostraron que la perdida de carga eres directamente proporcional al cuadrad de la velocidad media en la tubera y la longitud de la misma e inversamente misma proporcional al dimetro de la misma.

En la ecuacin general de la energa

Al termino se le define como la perdida de energia en el sistema. Una componente de la perdida de enrgia es la friccion en el fluido que circula. Para el caso del flujo en tuberias y tubos, la friccion es proporcional a la carga de velocidad del flujo y a la relacion de la longitud al diametro de la corriente. Esto se expresa en forma matematica como la ecuacion de Darcy:

ECUACION DE MANNINGLas ecuaciones de Manning se suelen utilizar en canales. Para el caso de las tuberas son vlidas cuando el canal es circular y est parcial o totalmente lleno, o cuando el dimetro de la tubera es muy grande. Uno de los inconvenientes de la frmula es que slo tiene en cuenta un coeficiente de rugosidad (n) obtenido empricamente, y no las variaciones de viscosidad con la temperatura. La expresin es la siguiente:

Ec.4Donde: n= coeficiente de rugosidad

S= pendiente de canal La ecuacion de Darcy para calcular la perdida de energia debido a la friccion es aplicable para cualquier fluido newtoiano. Para el caso de flujo de agua en sistemas de tuberias es conveniente un enfoque alternativo. ECUACION DE HAZE WILLIAMS

La formula de Hazen Williams es una de las mas populares para el analisis y diseo de sestemas hidrahulicos. Su uso es limitado al flujo de agua en tuberias con diametros mayores de 2 pulg y menores de 6 pies. La velocidad del flujo no debe exceder los 10 pies/s. Asimismo, esta elaborado para agua a 60 F. Su empleo con temperaturas mucho mas bajas o altas ocacionaria cierto error. La formula de Williams es especifica en cuanto a las unidades. En el sistema de unidades tradicionales de Estados Unidos adopta la forma siguiente:

. Ec.5Donde: v=velocidad promedio del flujo (pies/s)

.

.

= Coeficiente de Heza Williams (adimensional) R= Radio hidrahulico (pies) S= Relacion :perdidas de energia / longitud del conducto (pies/pies)

Con unidades del SI la ecuacion de Williams es:

. Ec.6Donde: v=velocidad promedio del flujo (m/s)

.

.

= Coeficiente de Heza Williams (adimensional) R= Radio hidrahulico (m) S= Relacion :perdidas de energia / longitud del conducto (m/m)

2.2.2.- METODO DE CALCULO (ANALITICO,GRAFICO)

DIAGRAMA DE MOODY La ecuacin de Poiseuille junto a la ecuacin de Colebrook White a la cual son Colebrook-White asintticas las dos ecuaciones de Karman Prandtl permiten el clculo del coeficiente en Karman-Prandtl todos los casos que pueden presentarse en la prctica, pero la ultima ecuacin es de , clculo muy laborioso. Por eso en la prctica se utiliza el baco conocido con el nombre de Diagrama de Moody. Este diagrama:

Esta construido en papel doblemente logartmico. Es la representacin grfica de dos ecuaciones. Es un diagrama adimensional, utilizable con cualquier sistema coherente de unidades. Resuelve todos los problemas de prdidas de cargas primarias en tuberas con cualquier dimetro, cualquier material de tubera y cualquier caudal. Puede emplearse con tuberas de seccin no circular sustituyendo el dimetro D tuberas por el radio hidrulico

Se usa para determinar el , el cual luego se lleva a la ecuacin de Darcy Darcy-Weisbach.

coeficiente

Por otra parte, las tablas, curvas, monogramas, etc. de las cuales estn llenos los formularios de hidrulica:

No suelen ser de uso universal. Sirven tambin para determinar el coeficiente de la ecuacin de Darcy DarcyWeisbach. Con frecuencia no tienen en cuenta todas las variables de que en general depende . el coeficiente

Son muchas veces de uso ms cmodo que el diagrama de Moody en casos chas particulares.

Grfico 1-2. Diagrama de Moody 2. La ecuacin de Poiseuille escrita en papel logartmico es una recta, la prolongacin dibujada a trazos es la zona critica, en esa zona solo se utilizar la recta de Poiseuille si utilizar se puede asegurar que la corriente sigue siendo puramente laminar, de lo contrario puede caer en cualquier punto (segn el valor del nmero de Reynolds) de la zona sombreada (la zona crtica es una zona de incertidumbre). La ecuacin de Colebrook La ColebrookWhite es del tipo = g` (Rey, e/D), o sea es funcin de dos variables y se representa en el diagrama de Moody por una familia de curvas, una para cada valor del parmetro e/D. Estas curvas para bajos valores de Reynolds coinciden con la ecuacin de Blasius y la primera ecuacin de Karman KarmanPrandtl, es decir son asintticas a una u otra ecuacin y se van separando de ellas para nmeros de Reynolds crecientes. Esto se representa en el esquema del diagrama de Moody simplificado a conti continuacin.

Grfico 1-3. Diagrama de moody simplificado 3.

Grfico 1-4. Explicacin de las partes del diagrama de Moody 4. Es un diagrama adimensional, utilizable en cualquier sistema de unidades coherente Incorpora una curva de trazos que separa la zona de transicin de la zona de completa = g (Rey, = g (e/D). turbulencia, e/D) de es aquella de decir turbulencia la zona en de que incompleta

Los valores de e que se necesitan para leer este diagrama pueden obtenerse de tablas. Los valores de tablas son un tanto imprecisos, por lo cual el valor de obtenido puede tener un error de ms o menos del 5% en tuberas lisas y ms o menos de un 10% en tuberas rugosas. En un tubo rectilneo la influencia del cambio se deja sentir a contar de un recorrido superior a 10 veces el dimetro para el flujo turbulento y superior 60 veces el dimetro para el flujo laminar. El FACTOR El factor de la ecuacin 1-5 es obviamente adimensional, (L/D) es adimensional y V2/2g tiene la 5 misma dimensin que Hrp. El factor depende de la velocidad V, del dimetro de la tubera D, de la densidad , de la viscosidad e, la cual como puede verse en la siguiente figura puede expresarse en , unidades de longitud. Dicha figura representa macroscpicamente la rugosidad de una

tubera y con ella se indica el significado del parmetro De lo anteriormente dicho e. se deduce:

= ,

g2 , e)

(V,

D,

Ecuacin 1-8. Dependencia del coeficiente de prdida de carga 8.

Figura 1-6. Macroesquema de rugosidad 6. Siendo un valor adimensional, la funcin g de la ecuacin 1-6, deber ser una funcin de g 6, variables adimensionales, El anlisis dimensional demuestra que:

= Ecuacin 1-9. Funcin del coeficiente de prdida de carga 9. Donde / = nmero de Reynolds y e/D = rugosidad relativa. VD

En el caso ms general , el coeficiente adimensional de prdidas de carga es funcin de neral dos variables adimensionales: el nmero de Reynolds y de la rugosidad relativa. Como se ver durante los ensayos, si el nmero de Reynolds es muy grande, no depende ya de

l, sino que pasara a depender solamente de la rugosidad relativa e/D y para una misma asara tubera, como e/D es constante, ser tambin constante. Ahora se escribe la Ec. 1.5 en funcin del caudal, siendo tomado este como V/rea.

Hrp (m)

=

10. prdida de carga Ecuacin 1-10. Coeficiente de p

Entonces (m) o sea: Hrp = C L Q2 (m) D5

Hrp

=

Ecuacin 1-11. Variante del coeficiente de prdida de carga 11. Por = C:

tanto,

si

la prdida de carga Hrp, varia proporcionalmente a L, si Q y D permanecen constantes. la prdida de carga Hrp, es directamente proporcional a Q2, si L y D permanecen constantes. la prdida de carga Hrp es inversamente proporcional a D5, si Q y L permanecen constantes. el caudal Q es inversamente proporcional a L, si Hrp y D permanecen constantes. el caudal Q es directamente proporcional a Hrp, si L y D permanecen constantes. ectamente

el caudal Q es directamente , si L y Hrp permanecen constantes.

proporcional

a

el dimetro D es inversamente proporcional a Hrp1/5si L y Q permanecen constantes. el dimetro D es directamente proporcional al L 1/5, si Hrp y Q permanecen constantes.

el dimetro D es directamente proporcional a Q2/5. si Hrp y L permanecen constantes. Coeficiente

Tabla 1-1. 1 1. de la ecuacin 1.4 para tuberas comerciales Tuberas Lisas Rugosas y Rgimen Frmula

Laminar =

Lisas

Turbulento Rey100000 Rey

Lmites liso y Turbulento Rugoso (transicin) Rugosas Turbulento (final)

1.7. RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA EL CLCULO DE PRDIDAS PRIMARIAS Hrp El procedimiento siguiente vale cuando la incgnita del problema es Hrp. Calculo Hrp por el diagrama de Moody conocidos Q, L, D, V, e. Nota: si la tubera no es circular se sustituye D por 4 x Rh (radio hidrulico). Segn el material de la tubera se ob obtiene e de tablas. Se calcula la rugosidad relativa e/D

Se calcula Rey = Se lee en el diagrama de Moody. Este valor de se lleva a la ecuacin de Darcy Weisbach y se calcula Hrp. Darcy-Weisbach

2.3.- SISTEMAS DE TUBERIASEl calculo de tuberias es muy muy frecuante en ingenieria. No solo en calcolo del suministro urbano de agua y gas, y en los proyectos de vivienda; si no tambien en lo conductos de refrigeracion y aire acondicionado, en los proyectos de plantas industriales, refinerias, proyectos de los diferentes sistemas de fluido que llevan los aviones modernos: aire, agua, gasolina, aceite, proyectos de transmiciones y controles hidrahulicos, maquineas herramientas, etc. Las redes de distribucion hidrahulica tienen similitud con las redes electricas. En esta analogia el caudal corresponde a la intensidad de la corriente, la prdida de carga a la cada de tecin y la resistencia hidraulica a la resistencia hmica. Los problemas que se presentan en ambos casos son muy laboriosos en hidraulica un ley semejante a la ley de ohmn en corriete continua solo se verifica si el regimen es laminar (perdida de carga prorporcional a la a la primera potenvia de la velocidad). Si el regimen es turbulento es proporcional a . Si el problema se encuentra en la zona de transicion esta ultima relacion es aun mas complicada , perdida de carga proprorcional a v elevada a una potencia comprendida entre 1 y 2, y dependiente tambien de la rugosida relativa. Se estudiaran las redes te tuberias en paralelo asi como las tuberias en serie.

2.3.1.- SISTEMAS DE TUBERIAS EN PARALELOSon dos o mas tuberias diferentes colocadas una a continuacin de la otra, las cuales pueden diferenciarse en los dimetros o en las rugosidades (es decir, estan hechas de materiales diferentes) o bien en ambas caracteristicas fisicas. En la Fig 2.4 semuestra un esquema de tres tuberas en serie que conectan dos tanques. Dicho esquema se utiliz para planear las ecuaciones que rigen el flujo en este tipo de tuberas.

Fig. 2.4

Tomando en cuenta la Fig.2.4 podemos plantear las siguientes ecuaciones:

CONSERVACION DE LA ENERGIA La diferencia de altura o nivel entre los dos tanques est dada por la siguiente ecuacin:

Ec.7Donde: H = Diferencia de nivel entre dos tanques H =prdidas menores de entrada H =prdidas por friccion en el tubo i = prdidas menores en accesorios i

H

H = prdidas menores por salida

La ecuacin de conservacin de enrgia puede generalizarce para cualquier sistema en serie de la siguiente forma:

Ec.8Donde: n= nmero de tuberas que conforman la serie m= nmero de accsorios que causan prdidas menores en serie Si se tiene en cuanta las caractersticas fsicas de una tuberia, como dimetro, longitudes y rugosidades absolutas, t los coeficientes de prdidas menores de cada uno de los accsorios la ecuacion anterior se converte en:

Ec.9CONSERVACION DE LA MASA (CONTINUIDAD)

Esta ecuacion significa que el caudal total que pasa por el sistema es igual al caudal que pasa por cualquier tubera ms todos los caudales laterales en las uniones localizadas agaus arriba de sta. Para una serie de n tuberas la ecuacion se puede generalizar en la siguiente forma:

Ec.10 Donde: = caudal en tubea de la serie de n tuberas

Si en la uniones no existiera caudal lateral, la ecuacin de conservacin de la masa se somplificara as: Ec.11 es decir, el caudal es igual para todos lo n tubos de la serie.

COMPROBACION DE DISEO DE TUBERIAS EN SERIE

En este caso se conoce las caracteristicas de cada uno de los n tubos de la serie (n dimetros, n longitudes,n rugosidades absolutas y n coeficientes de prdidas menores), las caractersticas fsicas del fluido (densidad y viscosidad) y la potencia disponible (potencia de una o varias bombas, cabeza topogrfica o una combinacin de estas dos). Tambin se conocen los caudales demandados en cada una de las uniones. Las incgnitas del proceso son los caudales (o velocidades) que pasan por cada una de loa tuberas de la serie. Para cada una de las velocidades de las n tuberas de la serie se puede plantear una ecuacin.

Ec.12 En esta ltima ecuacin se tiene 2n incgnitas; n velocidades y n perdidas por friccin. Las otras n-1 ecuaciones necesarias corresponden a las ecuaciones de continuidad para cada una de las tuberas:

Ec.13 Como ultima ecuacin para resolver 2n incgnitas, se tiene la ecuacin de conservacin de la energa:

Para llevar a cabo el proceso de comprobacin de diseo de tuberas en serie se debe suponer, para la primera iteracin, el valor de las perdidas por friccin para la primera tubera de la serie . La siguiente ecuacin arroja un valor que garantiza una rpida convergencia del proceso:

Ec.14 La ecuacin anterior se basa en la ecuacin de Darcy, la cual evidencia que la perdida de cabeza es proporcional a la longitud de la tubera e inversamente proporcional a la quinta potencia del dimetro de sta:

De donde:

La suposicin inicial para cabeza total real:

puede llevar a un valor de la cabeza total diferente a la

So los valores de H y son diferentes, es necesario corregir el valor con las siguientes ecuaciones:

de acuerdo

Ec.15

Para resolver un problema de comprobacin de diseo de tuberas en serie se debe seguir el procedimiento establecido en el diagrama de flujo 1, si se prefiere el mtodo de Williams.

Diagrama de flujo 2.1

EJERCICIO DE EJEMPLO: Una serie de cuatro tuberas conecta dos tanques que forman parte del sistema de abastecimiento de agua de una finca dedicada a la piscicultura. La diferencia de atura entre los niveles de agua en los tanque es de 28.5m. La primera tubera de concreto (k=0.3mm) tiene un dimetro de 600mm, una longitud de 423 m, el coeficiente global de perdidas menores de 4.2 y un caudal lateral en su extremo final de 60 l/s, el cual alimenta el primer estanque de peces. La segunda tubera en PVC (k=0.0015mm), tiene un dimetro de 500mm, una longitud de 174 metros, un coeficiente global de perdidas menores de 3.4 y un caudal lateral de 74 l/s que llega al segundo estanque. La tercera tubera, en PVC, tiene un caudal lateral de 60 l/s que alimenta al tercer estanque de peces. La ultima tubera, en PVC, que llega al segundo tanque, tiene un dimetro de 250mm, una longitud de 121 metros y un coeficiente global de perdidas menores de 7.5, el cual incluye una vlvula de control completamente abierta. Calcular el caudal que llega al segundo tanque.

SOLUCION: PARA LA PRIMERA TUBERIA Perdidas por friccin se calculan por la ecuacin 2.14

Velocidad para la tubera se calcula mediante la ecuacin 2.12

Caudal

PARA LA SEGUNDA TUBERIA Caudal

Perdidas menores

Velocidad

Perdidas por friccin y perdidas menores, utilizando la ecuacin de Colebrook White se obtiene:

Y con ecuacin de Darcy:

PARA LA TERCERA TUBERIA Caudal

Velocidad

Perdidas por friccin y perdidas menores:

PARA LA CUARTA TUBERIA Caudal

Velocidad

Perdidas por friccin y perdidas menores

Calculo de la altura total y de la correccion para

:

Los resultados para todas las iteraciones del proceso incluyendo la primera se muestra en la tabla 2.1 que se basa en el diagrama de flujo 2.1

TABLA 2.1

Como se puede ver en la tabla el caudal que llega aguas abajo es:

CALCULO DE POTENCIAS PARA TUBERIAS EN SERIELa incgnita del proceso es la altura tota, la cual incluye las perdidas por friccin de la serie, as como las perdidas menores. Para resolver un problema de este tipo, las ecuaciones necesarias son 2. y la 2. . En realidad esta ltima conforma el grupo de n-1 ecuaciones expresado en la Ecuacin 2. . El proceso de solucin de clculo de potencias en tuberas en serie se esquematiza en el diafragma de flujo 2.

EJEMPLO: Como parte del sistema de riego de una finca se utiliza dos tuberuas en serie para conectar la descarga de la bomba de un tanque de alamcenamiento. La diferencia de nivel entre estas dos estructuras es de 31.7 metros, estando la bocatoma por debajo del tanque. El caudal que debe llegar al tanque es de 87 l/s. La primera tuberia, en acero (k=0.046mm), tiene un diametro de 200mm, una longitud de 184 m y un coeficiente global de perdidas menores de 7.1. Al final de esta debe extraerse un caudal de 94 l/s con el fin de regar la parte baja de la finca. La segunda tuberia en PVC (k=0.0015mm),

tiene un alongitud de 393 m, un diametro de 150 mm y un coeficiente global de perdidads menores de 11.2, el cual incluye la valvula de control. Calcular la potencia de la bomba requierida para realizar el trabajo. El fluido es agua a 15C.

SOLUCION PARA LA PRIMERA TUBERIA Caudal

Velocidad Perdidas por friccion

Con estos dos datos se calcula el factor de friccin

Y luego las perdidas por friccin con la ecuacin de Darcy

Prdidas menores Para la segunda tubera

Velocidad

Prdidas por friccin

Utilizando Darcy

Prdidas menores

Calculo de perdidas totales

Calculo de potencia de la bomba es necesario sumar la altura topogrfica a las prdidas totales antes calculadas.

Por consiguiente la potencia es

Si se supone una eficiencia global para la bomba de 75%, la potencia real requerida para la bomba es:

DISEO DE TUBERIAS EN SERIE El diseo en tuberas en serie es un problema complejo puesto que, en general, existen mltiples soluciones para un mismo caso. Lo anterior quiere decir que existen muchas combinaciones de dimetros de la serie de tuberas que cumplirn con los requerimientos hidrulicos, los cuales consisten en llevar los caudales demandados en cada nodo y el caudal demandado al final de la serie, con la potencia disponible. Por esta razn es necesario tener un criterio que permita conocer de antemano que porcentaje de la potencia o altura total disponible debe gastarse en cada una de las tuberas de la serie. El criterio utilizado debe garantizar un correcto funcionamiento hidrulico y una optimizacin de los costos.

Un criterio que ha probado ser optimo para el diseo de la tubera en serie es el de J pai Wu, originalmente desarrollado para sistemas de riego a presin. Wu probo que una serie de n tuberas con caudales laterales al final de cada una de ellas el costo era mnimo cuando la line de gradiente hidrulico o lnea piezomtrica formaba una curva cncava hacia arriba con una flecha de 15% en el centro con respecto a la line recta que une las alturas totales al inicio y final de la serie, tal como se muestra en la fig.2

Sin embargo, tambin demostr que si utilizaba como lnea de gradiente hidrulico la lnea recta que une a las alturas total inicial y final, el efecto sobre los costos era inferior al 2% con respecto al ptimo econmico. De acuerdo con el anterior planteamiento, en el mtodo de diseo que se muestra a continuacin se utiliza la line recta AB de la Fig. 2 como el gradiente hidrulico que debe alcanzarse. Si se incluye la pendiente promedio de cada una de las tuberas de la serie, el criterio de Wu establece que la altura que puede ser perdida por la tubera i de la serie es:

Ec 2.16 Donde: = ngulo de la pendiente promedio de la tubera k con respecto a la horizontal (k=(i,j))

2.3.2.- TUBERIAS EN PARALELOLos sistemas de tuberas en paralelo son aquellos en los que hay ms de un trayectoria que el fluido puede recorrer para llegar a un punto de origen a otro de destino para ver un ejemplo observe la figurar 2. 5 . Imagine que usted es una parte pequea de corriente de urar fluido que entra al sistema de la izquierda, y que se encuentra en el punto 1. Al flujo volumtrico total que se le denomina y usted es parte de ella. Al llegar al punto de interseccin debe tomar una decisin. Cul camino seguir para continuar hacia el destino?. Todas las dems partes del flujo deben tomar la misma decisin. Por supuesto algo de flujo se distribuye en cada una de las tres ramas que salen de la interseccin, y que en la figura se denomina como a, b y c. Estos flujos volumtricos son , y , respectivamente. Lo importante es determinar cunto fluido pasa por cada rama y cul es la cada de presin que ocurre conforme se completa el circuito y se llega al destino. En este caso, las tres trayectorias se renen en la parte derecha del sistema y siguen por un tubo de salida hasta el punto 2, que es el destino. e Aqu al flujo volumtrico se la denomina .

Fig. 2.5 Al aplicar el principio de flujo estable de un sistema en paralelo se llega a la conclusin siguiente:

Ec. 2.16La primera parte, , solo afirma lo que se ha dicho acerca de sistemas con flujo estable anteriores: que cuando se considera el flujo total, el flujo voloumetrico es el mismo en cualquier seccin transversal en particular. Entre los puntos 1 y 2 no se ha agregado o retirado fluido del sistema. La segunda parte define que los flujos en las ramas, uido deben sumar el flujo volumtrico total. Esto parece lgico puesto que todo el fluido

que llega a la interseccin de la izquierda debe ir a algn lado y se divide en tres partes. Por ltimo, debe observarse que todos los flujos de las ramas se renen y el flujo total continua como . Ahora se considera la cada de presin a travs del sistema. En el punto 1 hay una presin . En el punto 2 hay otra distinta . Entonces, la cada de presin es . Para ayudar en el anlisis de las presiones se utiliza la ecuacin de la energa entre los puntos 1 y 2.

al despejar la caida de presion

nos queda

Esta forma de la ecuacion de la energia dice que la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 depende de la diferencia de elevacionla diferencia en las cargas de velocidad y la perdiad de energia por unidad de peso del fluido que circula en el sistema. Cuando cualquiera de los elmentos del fluido alcanza el punto 2 del sistema en la fig. 2. , cada uno habra experimentado el mismo cambio de elevacion, el mismo cambio de velocidad y la misma perdiads de energia por unidad de peso, sin importar la trayectoria que haya seguido. Todos los elemntos que converhgen en las intersecciones del lado derecho del sistema tienen la misma enrgia total por unidad de peso. Es decir, todos tienen la misma carga total. Por tanto, cada unidad de peso del fluido deben tener la misma cantidad de energia. Esto se enuncia en forma matematica como:

Ec. 2.17

Las ecuaciones 2.16 y 2.17 son las relaciones que gobiernan los sistemas de uberias en paralelo. El sistema ajusta de modo automatico el flujo en cada rama hasta que el flujo total en el satisface estas ecuaciones.

SISTEMAS CON DOS RAMAS Un sistema comun de tuberias en paralelo incluye dos ramas con arreglo que se muestra en la fig. 2.6. La rama inferior se agreag para que alguna cantidad de fluido pase por el intercambiador de calor. La rama tambien podria utilizarse para aislar el

intercambiador de calor, lo que permitira que el flujo continuara mientras se da mantenimiento al quipo. El analisis de estes tipo de sistemas es relativamente sencillo y directo, aunque es comun que se requieran ciertas iteraciones. Debido a que se desconoce las velocidades, los factores de friccion tambien son desconocidos.

Fig. 2.6

Los sistemas en paralelo que tienen mas de dos ramas son mas complejos que hay muchas mas cantidades desconocidas que ecuaciones que relacionan las incognitas. Emplearemos el sistema que se muestra en la fig.2.6 para ilustrar el analisis del flujo en dos ramas.

Ec 2.18 Ec 2.19

METODO DE SOLUCION PARA SISTEMAS CON TRES RAMAS, CUANDO SE CONOCEN EL FLUJO VOLUMETRICO TOTAL Y LA DESCRIPCION DE LAS RAMAS I.- Igualar el flujo volumtrico total con la sima de los flujos volumtricos en las dos ramas, como se muestra en la ecuacin 2.18. Despus hay que expresar los flujos en las ramas como el producto del rea del flujo y la velocidad promedio; es decir, y 2.- Expresar la perdida de carga en cada rama en trminos de la velocidad de flujo en ella y del factor de friccin. Se deben incluir todas las prdidas significativas debido a la friccin, as como las perdidas menores. 3.- Para cada una de las ramas, hay que calcular la rugosidad relativa , estimar el valor del factor de friccin y terminar el clculo de la perdida de carga en trminos de las velocidades desconocidas. 4.- Igualar al expresin para las prdidas de carga en las dos ramas una con otra, como lo plantea la ecuacin 2.19. 5.- Resolver para una velocidad en trminos de la otra, a partir del a ecuacin del paso 4. 6.- Sustituir el resultado del paso 5 en la ecuacin del flujo volumtrico que se desarrollo en el paso 1, y despejar cada una de las velocidades desconocidas. 7.- Despejar a segunda velocidad desconocida de la relacin que se obtuvo en el paso 5. 8.- Si hubiera duna sobre la exactitud del valor del factor de friccin que se empleo en el paso 2, hay que calcular en nmero de Reynolds para cada rama y reevaluar el factor de friccin a partir del diagrama de Moody, o calcular los valores para el factor de friccin 9.- Si los valores del factor de friccin cambia en forma significativa, se repiten los pasos 3 a 8, con el empleo de los valores nuevos del valor de friccin. 10.- Si se logro precisin satisfactoria, utilizar en cada rama la velocidad que ahora ya se conoce para calcular el flujo volumtrico en ella. Comprobar la suma de los flujos volumtricos para asegurarse de que es igual el flujo volumtrico total en el sistema. 11.- Utilizar la velocidad en cualquier rama para calcular la perdida de carga a travs de ella, con el empleo de la relacin adecuada del paso 3. Esta prdida de carga tambin es igual a la de todo el sistema ramificado. Si se desea, puede calcularse la cada a travs del . sistema, por medio de la relacin

METODO DE SOLUCION PARA SISTEMAS CON DOS RAMAS CUANDO SE CONOCE LA CAIDA DE PRESION A TRVES DEL SISTEMA, Y HA DE CALCULARSE EL FLUJO VOLUMETRICO EN CADA RAMA Y EL FUJO TOTAL 1.- Calcular la perdida de carga total a travs del sistema, en el empleo de la cada de presin conocida en la relacin / . 2.- Escribir expresiones para la perdida de carga en cada rama, en trminos de la velocidad y el factor de friccin en cada una. 3.- Calcular la rugosidad relativa D/ para cada rama; hay que suponer una estimacin razonable para el factor de friccin, y completar el clculo para la perdida de carga en trminos de la velocidad en cada rama. 4.- Al igual la magnitud de la perdida de cara en cada rama con la perdida de carga total, segn se encontr en el paso 1, despejar para la velocidad en la rama por medio de la expresin que se hallo en el paso 3. 5.- Si hubiera alguna duda sobre la exactitud del valor del factor de friccin utilizado en el paso 3, se calcula el nmero de Reynolds para cada rama y se vuelve a determinar el factor de friccin con el diagrama de Moody. 6.- Si los valores del factor de friccin cambian de manera significativa, se repite los pasos 3 y 4, con el empleo de los valores nuevos de aquel. 7.- Una vez lograda la precisin satisfactoria, se utiliza la velocidad que ahora ya se conoce en cada rama, para calcular el flujo volumtrico en cada una de esas. Despus se calcula la suma de flujo volumtrico, que se iguala al flujo volumtrico total en el sistema.

SISTEMAS CON TRES O MAS RAMAS (REDES)Cuando un sistema de flujo de tuberas tiene tres ramas o ms, se le denomina red. Las cuales son indeterminadas porque hay mas factores desconocidos que ecuaciones independientes que los relacionen. Por ejemplo en la fig. 2.7. Hay tres velocidades desconocidas, una en cada tubera. Las ecuaciones disponibles para describir el sistema son:

Se requiere una tercer ecuacion independiente para resolver de manera explicita las tres velocidaes, y no se dispone de ninguna. Hardy Cross desarrollo un enfoque racional para analizar un sistema como el que se muestra en la fig. 2.7 , por medio del empleo de un procedimiento iterativo. Dicho procedimiento converge muy rapido hacia los flujos volumetricos correctos. Aun asi se requiere muchos calculos, pero pueden plantearse en forma ordenada para realizarlos en una calculadora o computadora

Fig. 2.7

La tecnica de Cross requiere que se expresen los terminos de perdidas de carga para cada tuberia del sistema en la forma:

Ec 2.20donde k es una resistencia equivalente al flujo para toda la tuberia, y Q es el flujo volumetrico en este. Hay que recordar que als perdidas por friccion y las peridas menores son proporcioneles a la carga de velocidad 2 . Despues con el empleo de la ecuacion de continuidad se expresa la velocidad en terminos del flujo volumetrico. Es decir,

/

Esto permite el desarrollo de una ecuacin de la forma que tiene la ecuacin 2-20. La tcnica iterativa de Cross requiere estimaciones iniciales del flujo volumtrico en cada rama del sistema. Dos consideraciones ayudan a hacerla:

1.- En cada interseccin de la red, la suma de los flujos que entra es igual a la suma de los que salen. 2.- El fluido tiende a seguir la trayectoria de resistencia mnima a travs de la red. Pr tanto, una tubera que tenga un valor menor que k conducir un flujo mayor que aquellos con valores ms altos. Antes de comenzar el proceso de iteracin, la red debe dividirse en un conjunto de circuitos cerrados. La fig. 2.8 muestra una representacin esquemtica de un sistema de tres tuberas, similar a la de la figura 2. 8. Las flechas punteadas dibujadas en sentido del movimiento de las manecillas del reloj ayudan a definir los signos de los flujos volumtricos Q y las prdidas de cargas h de las tuberas diferentes de cada circuito, de acuerdo con la convencin siguiente: Si el flujo en una tubera dada de un circuito va en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, Q y h son positivos. Si el flujo va en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, Q y h son negativos.

Entonces, para el circuito 1 de la fig. 2.8 y son positivos, y y son negativas. Los signos tienen importancia crtica para hacer el clculo correcto de los ajustes de los fijos volumtricos, que se denota con , y que se realiza al final de cada iteracin. Observe que la tubera b es comn a ambos circuitos. Por tanto a esta deben aplicarse los ajustes para cada circuito.

Fig. 2.8A continuacin se presenta paso a paso la tcnica de Cross para analizar el flujo en redes de tuberas. 1.- Expresar la perdida de energa en cada tubera, en forma .

2.- Suponer un valor para el flujo volumtrico en cada tubera, de modo que el flujo que entra a cada interseccin sea igual al flujo que sale de ella. 3.- Dividir la red en serie de circuitos cerrados. 4.- Para cada tubera, calcular la perdida de carga , con valores supuestos de Q.

5.- Proceder alrededor de cada circuito para sumar algebraicamente todos los valores de h. 6.- Sumar todos los valores de 2kQ para cada circuito, con la suposicin de que todos son positivos. Esta suma se denota con 2kQ. 8.-Para cada circuito, calcular el valor de , con 2kQ

9.- Para cada tubera, calcular una estimacin nueva de Q por medio de

`

10.- Repetir los pasos 4 a 8 hasta que del paso 8 se haga tan pequeo que sea insignificante. El valor ` se utiliza para cada iteracin siguiente.

2.3.3.- REDES ABIERTAS

Las redes abiertas son conductos ramificados que se alimentan desde uno o varios suministros y conducen el agua entre ellos o desde ellos y los extremos finales por un nico recorrido posible.

En puntos determinados de la red pueden ocurrir descargas o salidas de agua, adems de las posibles ramificaciones. Esos puntos se denominan nudos de consumo. Pero tambin es un nudo el punto donde cambian las caractersticas del conducto, como su dimetro o su rugosidad, as no haya consumo ni ramificacin.Extremo final: tanque, descarga a la atmsfera

Extremo 5

T ra m o1

Tramo 5o2 T ra m

Nudo

o9 T ra m

Tanqu

Nudo

Tr o6 am

o8 T ra mT ra mo 7

Extremo 4

Nudo

T rao3 T ra m

mo 4

Nudo

Extremo 3 Extremo 2 Extremo 1

Planta de una red

Hidrulica de la conduccin

Tr a m Cau o i dal Qi

Consumo qj

+1 o i i+1 am l Q Tr auda C

Continuidad. En cada nudo se plantea una ecuacin de continuidad. Sea Qi el caudal que circula por el tramo i, que termina en el nudo j, y sea qj el caudal que se descarga en el nudo j:

Nudo

Planta de una nudo tpico

Qi = Qi+1 + qj

Energa. Entre el extremo de suministro, con frecuencia un tanque, y cad