Flujo turbulento Flujo turbulento cuasi-estacionario en lquidos

La hiptesis que se deben cumplir para considerar el comportamiento turbulento de lquidos son:

Las ecuaciones de comportamiento vendrn dadas por:

Ecuacin de conservacin de la masa

Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento

(

)

Ecuacin de conservacin de la energa

( )

El caudal y la temperatura del fluido se obtienen de resolver las ecuaciones anteriores:

Caudal

( )

Temperatura [ ]

Flujo turbulento en gases con friccin y sin adicin de calor Las ecuaciones de comportamiento vendrn dadas por:

Ecuacin de conservacin de la masa

Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento

Ecuacin de conservacin de la energa

A partir de las cuales se pueden obtener las relaciones entre los nmeros de Mach entre dos puntos 1 y 2:

[

]

Y a partir del nmero de Mach se obtienen las relaciones entre las presiones de dichos puntos 1 y 2:

Relacin entre temperaturas Relacin entre presiones

Cuando la friccin es dominante en el movimiento, se tendr:

(

)

Flujo turbulento en gases sin friccin y con adicin de calor Las ecuaciones de comportamiento vendrn dadas por:

Ecuacin de conservacin de la masa

Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento

Ecuacin de conservacin de la energa

A partir de las cuales se puede obtener el nmero de Mach entre dos puntos 1 y 2 a partir de la relacin:

Con lo cual podemos obtener las relaciones de variables termodinmicas entre ambos puntos:

Relacin entre temperaturas Relacin entre presiones Relacin entre densidades

Ingeniera Industrial [UMA]

Prontuario de Mecnica de Fluidos

Jared Arroyo Martn

Teora y formulario

Fundamentos Distincin entre slidos, lquidos y gases

Los slidos presentan resistencia a la deformacin, mientras que los fluidos presentan resistencia a la velocidad de deformacin. Los lquidos en comparacin con los gases son prcticamente incompresibles (densidad es casi constante). El potencial de Lennard-Jones expresa la fuerza de atraccin de dos molculas neutras:

[(

)

(

)

]

Hiptesis fundamentales

Hiptesis del medio continuo La hiptesis del medio continuo considera a un fluido como un campo continuo en el que cada punto representa un volumen de fluido lo suficientemente pequeo como para ser tratado como un diferencial matemtico y lo suficientemente grande como para contener un gran nmero de molculas (y despreciar los movimientos caticos de las partculas) con una masa invariante a su posicin.

El diferencial de volumen vendr acotado inferiormente por la distancia intermolecular y superiormente por la longitud caracterstica de la siguiente manera:

Al considerar el medio como continuo, las propiedades fluidas son propiedades medias dependientes de la posicin y el tiempo, definindose as la densidad, velocidad y energa contenida en un volumen como:

Hiptesis de equilibrio termodinmico local Para que se produzca un desequilibrio trmico global mantenindose el equilibrio local de cada punto, es

necesario que la longitud caracterstica de variacin macroscpica | | (longitud mnima para la cual un cambio global es apreciable) sea mucho mayor que el camino libre medio entre colisiones de las partculas de cada punto (Medida de la densidad de transmisin de equilibrio local), con lo cual, la condicin necesaria para la aplicacin de las leyes de la termodinmica es la siguiente:

Condiciones de equilibrio local para gases Condiciones de equilibrio local para lquidos

En los gases existir equilibrio local si el nmero de

Knudsen satisface:

En los lquidos por lo general se verifica la hiptesis de equilibrio termodinmico local.

Hiptesis de incompresibilidad Un fluido se considera incompresible cuando las variaciones de presin no producen variaciones de densidad significativas en el fluido. Para que se cumpla esta hiptesis se debern cumplir las siguientes condiciones:

Donde es la frecuencia y la longitud de onda de una oscilacin a la que se somete el fluido.

En conductos adiabticos (sin intercambio de calor) de seccin variable por los que circula un gas

(compresible) se cumplen las siguientes leyes:

Conservacin de entropa

Conservacin de entlapa de remanso

Conservacin del gasto msico

Ley de Gases Ideales Relacin adiabtica

Si el flujo se realiza a travs de un conducto (tobera) convergente-divergente que produce una

extrangulacin y una expansin se cumplirn lo siguiente en funcin de las leyes anteriores:

Gasto msico en funcin de parmetros adimensionales

Relacin de velocidades del sonido

(

)

(

)

Relacin de temperatura Relacin de densidad Relacin de presiones

(

)

(

)

En la rea de mnima seccin, denominada rea crtica, pueden alcanzarse las magnitudes crticas, que son

aquellas correspondientes a , para lo que se tendr que cumplir que:

(

)

Donde se cumplirn las sigueintes relacin:

Temperatura crtica Densidad crtica Presin crtica

(

)

(

)

Velocidad crtica Relacin de rea-N de Mach Gasto msico

(

(

))

(

)

Donde puede venir dada en funcin de las variables termodinmicas:

Ecuaciones de comportamiento de compresor/turbina En un compresor adiabtico se cumplirn las siguientes relaciones:

Relacin adiabtica Trabajo realizado/extraido (gases) Trabajo realizado/extraido (lquidos)

Donde es la entalpa de remanso que viene dada por:

(

)

Ecuaciones de comportamiento de carga/descarga de depsitos En un depsito cerrado se cumplirn las siguientes ecuaciones diferenciales:

Gasto msico Ecuacin de energa Variante ecuacin de energa

(

)

Ondas de choque Relaciones de remanso

En campos fluidos isentrpicos se conserva la entalpa de remanso, con lo que definiendo:

Donde , siendo la constante de los gases ideales.

Se definen las relaciones de remanso que cumplen las propiedades de los gases en este tipo de flujos:

Temperatura Presin Densidad

(

)

(

)

Relaciones de Rankine-Hugoniot

Los fluidos cumplen, en las discontinuidades normales, las relaciones de Rankine-Hugoniot:

Conservacin de la masa

Conservacin de la cantidad de movimiento

Velocidades tangenciales

Conservacin de la energa

Curva de Hugoniot Relacin de Mach Entalpa

(

) (

)

Con las cuales se obtienen las siguientes relaciones de conservacin en las ondas de choque normales:

Relacin de densidades

Relacin de presiones

Relacin de temperaturas

Relacin de n de Mach

(

)

Variacin de entropa Relacin de presiones y densidades de remanso

(

(

)

)

(

(

)

)

Para conocer las propiedades en la reflexin de las ondas con otras superficies se utiliza, adems:

Relacin de velocidades Relacin de ngulos incisin-reflexin Relaciones de Mach

(

)

Relaciones de Prandtl-Meyer

Las expansiones de un gas se suelen dar en aumentos de seccin o del rea de paso de un flujo. La variacin

de las propiedades de los gases se comportan en este caso segn las leyes de Prandtl-Meyer:

Ecuacin de Prandtl-Meyer Clculo de ngulo

Relacin de temperaturas Relacin de presiones

(

)

Cinema tica

Campo fluido Descripcin Lagrangiana: realiza el seguimiento de cada partcula del campo fluido partcula a partcula a

partir del conocimiento de su trayectoria , velocidad y aceleracin :

Descripcin Euleriana: describe el movimiento del conjunto de partculas segn un campo vectorial

Conociendo el campo de velocidades se definen los siguientes conceptos cinemticos: El campo de velocidades viene dado por un vector dependiente del espacio y el tiempo:

( )

Una trayectoria (o senda) es la lnea descrita por una partcula fluida en movimiento descrita por:

Una lnea fluida es aquella que forma un conjunto de partculas que siguen la misma trayectoria. Una superficie fluida es la superficie que forma un conjunto de partculas que siguen la misma

trayectoria. Un volumen fluido es el conjunto de partculas contenido en una superficie cerrada que siguen la misma

trayectoria. Un volumen de control es un volumen fijo en el cual entran y salen partculas fluidas. La lnea de corriente que pasa por un punto en un instante es aquella lnea paralela a la velocidad

en todos sus puntos:

Una superficie de corriente es aquella formada por lneas de corriente que se apoyan en una curva . Un tubo de corriente es una superficie de corriente tal que las lneas de corriente son cerradas. Los puntos de remanso son puntos en los que la velocidad de las partculas es nula. La interseccin de dos

o ms lneas de corriente dan lugar a estos puntos. La traza es la lnea formada por todas las partculas fluidas que en un instante cualquiera pasaron por un

punto , y que matemticamente se define como:

Si el movimiento es estacionario , la lnea de corriente, la senda y la traza coinciden.

Se define la derivada sustancial (o derivada material) de una magnitud como:

La circulacin a lo largo de una lnea L se define por:

Si la lnea L es cerrada (segn el teorema de Stokes) la circulacin es:

El flujo a travs de una superficie a se define como:

El flujo a travs de una superficie cerrada es, por el teorema de Gauss:

La vorticidad es una medida local de la rotacin del flujo y se define como:

Generadores de campo fluido Un flujo irrotacional es aquel que cumple las propiedades:

Vorticidad nula

Circulacin a travs de caminos cerrados nula

Campo de velocidades generado por un potencial escalar El potencial de velocidades es un campo escalar tal que su gradiente genera un campo de velocidades:

La circulacin entre dos puntos y con distinto potencial es (independientemente del camino de

circulacin) equivalente a la diferencia entre potenciales de ambos puntos:

Un flujo solenoidal es aquel que cumple las propiedades:

Divergencia del campo de velocidad nula

Flujo a travs de superficies cerradas nulo

Campo de velocidades generado por un potencial vector El potencial vector es un campo vectorial tal que su rotacional genera un campo de velocidades:

El flujo entre dos lneas de corriente y de un campo de velocidades bidimensional es (independientemente de la superficie entre ambos) equivalente a la diferencia de corrientes entre ambas:

La ecuacin de Helmholtz describe un campo velocidades en sendas componentes rotacional y solenoidal:

Componentes de las velocidades de un volumen fluido Se define el tensor gradiente de velocidades al generado por el gradiente del campo de velocidades:

(

)

( )

[

]

La velocidad relativa entre dos puntos infinitesimalmente separados a distancia de un volumen fluido se puede expresar mediante el gradiente de velocidades como:

| | |

La velocidad de una punto con respecto a otro punto de un mismo volumen fluido se descompone en:

( )

(

)

Rotacin de P respecto de O:

Velocidad de cambio de volumen: ( ) - Velocidad de deformacin entre P y Q:

- Velocidad de dilatacin entre P y Q: [ ( ) ]

Transporte convectivo Se denomina flujo convectivo de la magnitud (de un fluido en movimiento con velocidad ) a travs de

una superficie a la cantidad de la magnitud que atraviesa la superficie debido al transporte del fluido.

Donde a la densidad se le denomina vector de flujo si la magnitud es escalar o tensor de flujo si la

magnitud es vectorial.

Si la superficie es cerrada y es continua, el flujo convectivo (aplicando el teorema de Gauss) es:

El teorema de Transporte de Reynolds indica que la variacin de una magnitud en un volumen fluido se

debe a la variacin de la magnitud en el volumen y a la entrada/salida de flujo convectivo en el volumen por

el desplazamiento:

Este teorema es aplicable a volmenes de control que se mueven a velocidad distinta de la del fluido :

Movimientos bidimensionales Los movimientos fluidos generados por una o varias fuentes potenciales pueden describirse mediante las

funciones potenciales elementales: la funcin potencial de velcidades y la funcin de corriente .

Ambas funciones satisfacen la ecuacin de Laplace y segn las condiciones de Cauchy-

Riemann son paralelas entre s en todo momento

Es ms sencillo utilizar para su descripcin el potencial complejo, que se define como una funcin ,

donde:

La derivada del potencial complejo es la velocidad conjugada:

(

)

La funcin potencial complejo cumple el teorema de superposicin, lo que implica que un movimiento fluido

compuesto por varias fuentes es la suma de los potenciales complejos que lo conforman.

El mtodo de las imgenes permite la sustitucin de geometras pseudosimtricas (paredes) por fuentes

ubicadas en la imgen del eje de simetra.

Las soluciones elementales de las distintas fuentes de potencial se enumeran a continuacin:

Tipo de corriente Potencial complejo Tipo de corriente Potencial complejo

Corriente uniforme Corriente sobre cuerpo

romo

Manantial o sumidero

Corriente alrededor de un cilindro circular

(

)

Torbellino potencial

Corriente alrededor de valo de Rankine

Dipolo

Fuente en la proximidad de una pared

Corriente de esquina Torbellino en la

proximidad de una pared

Flujo ideal Ecuaciones de comportamiento (Euler)

En los flujos bidimensionales ideales se desprecian los efectos disipativos y conductivos

de calor en su movimiento, por lo que satisfacen las denominadas ecuaciones de Euler:

Corriente de Bernouilli

Una corriente de Bernouilli esaquella que cumple las siguientes condiciones:

Fluido ideal

Fuerzas msicas derivadas de un potencial

Flujo bartropo

Flujo cuasi-estacionario

Como consecuencia, el campo de velocidades de esta corriente es generado por un potencial existente en cada lnea de corriente y que satisface la ecuacin de Bernouilli:

(

)

Con lo que bajo la fuerza gravitatoria, para cada lnea de corriente permanecer constante la relacin:

Si adems el flujo es irrotacional , la constante ser invariante en todo el campo fluido:

Flujos isentrpicos

Los flujos isentrpicos son aquellos flujos que cumplen las siguientes propiedades:

Fluido ideal

Fuerzas msicas despreciables

Flujo istropo

Flujo cuasi-estacionario

El movimiento ser bartropo y, segn la ecuacin de la energa, la entropa y entalpa son constantes:

{

Las magnitudes de remanso se conservarn a lo largo de las lneas de corriente (o si el flujo es irrotacional

en todo el campo fluido):

Magnitudes de remanso en lquidos ideales Magnitudes de remanso en gases ideales

(

)

(

)

(

)

Dina mica

Fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y tensor de tensiones

Las fuerzas de volumen ( ) son aquellas fuerzas de largo alcance que actan sobre cada elemento del

volumen fluido. Las fuerzas volumtricas conservativas derivan del gradiente de un potencial { }

{

}

( )

{

}

{

}

Las fuerzas de superficie ( ) son aquellas fuerzas de corto alcance asociadas a las colisiones

intermoleculares de un fluido sobre una superficie S.

Ley de Stokes Se denomina tensor de esfuerzos al tensor simtrico que muestra las tensiones internas de una partcula fluida en sus direcciones principales de corte:

[

]

La tensin interna de una partcula fluida seccionada por un plano con vector normal ser:

El tensor de esfuerzos tangenciales se puede descomponer en dos componentes:

- La componente esttica est formada por la presin hidrosttica (coincidente con la presin termodinmica) que afecta normalmente a la superficie del contorno isotrpicamente, con lo cual:

- La componente dinmica est formada el tensor de esfuerzos viscosos que es la componente tangencial del tensor de esfuerzos producidos por la friccin de las capas viscosas del fluido.

El gradiente de velocidades de un fluido produce sobre una superficie esfuerzos tangenciales en la direccin de movimiento del fluido proporcionales a la viscosidad esttica del fluido:

Se denominan fluidos Newtonianos a aquellos fluidos tales que cumplen una ley lineal entre el esfuerzo tangencial aplicado a una superficie de un fluido y el gradiente de velocidades normal a la superficie. La ley de Stokes cita que si se cumplen las siguientes hiptesis:

El fluido es isotrpico (sus magnitudes son invariantes con la orientacin).

Existe relacin lineal entre y (El fluido es Newtoniano).

Si el fluido esta en reposo el tensor es nulo.

( ) La relacin entre los tensores y es isotrpica. Entonces, existe una relacin entre el tensor de esfuerzos viscosos y el tensor de deformacin de volumen

(procedente de ) dada por:

Si descomponemos el tensor tal que , tendremos ms concretamente la relacin:

Donde denominaremos coeficiente volumtrico de viscosidad . El esfuerzo normal de un fluido Newtoniano ser:

Ley de Stokes para lquidos Ley de Stokes para gases

En los lquidos el coeficiente volumtrico de viscosidades es irrelevante (al ser incompresibles), por lo que el esfuerzo viscoso podr expresarse mediante:

En los gases no existe estructura interna, por lo que es nulo, y por tanto no pueden almacenar ningn tipo de energa no transnacional, por tanto, el esfuerzo viscoso ser siempre nulo ( ).

Condicin de barotropa El movimiento de un fluido tendr flujo bartropo si la resultante de las fuerzas de presin en cada partcula fluida tiene la direccin del centro de masa de la partcula fluida, es decir, es paralelo a en todos sus puntos, cumplindose que:

Se denomina la funcin de barotropa a la integral:

La cual se suele utilizar de vez en cuando en sustitucin de la presin. Esta ecuacin es definible debido a que en los flujos bartropos la densidad depende de la posicin a travs de la presin , ya que los vectores y son paralelos.

Condicin de barotropa en lquidos Condicin de barotropa en gases

Los flujos de lquidos son siempre bartropos puesto que su densidad es uniforme, coincidiendo siempre el centro geomtrico y el centro de masa en todas sus partculas fluidas, y por tanto, el trmino de Bjerkness es nulo.

Los flujos de gases no son, por lo general, bartropos, sin embargo, en flujos isoentrpicos de gases y en gases en reposo se cumple la condicin de barotropa.

Ley de Fourier Se define el vector flujo de calor como la cantidad de energa transmitida por unidad de superficie y rea al campo vectorial:

El flujo de calor por unidad de superficie a travs de una superficie con normal ser el producto escalar:

La ley de Fourier dicta que en un fluido de composicin homognea existe una relacin lineal entre el vector flujo de calor y el gradiente de temperatura:

Siendo el tensor de conductividad trmica, que en medios isotrpicos es una constante tal que , con lo cual la ley de Fourier queda:

Donde el escalar es la conductividad trmica, que es una propiedad termodinmica constitutiva del fluido dependiente de la temperatura y de la presin del mismo. El signo negativo se debe a que el flujo de calor va en sentido contrario al gradiente de temperaturas.

Ley de Fourier en lquidos Ley de Fourier en gases

Esta ley es aplicable prcticamente en la totalidad de los lquidos y en todas las condiciones.

Esta ley es aplicable de forma terica a los gases siempre y cuando se cumpla la hiptesis de equilibrio termodinmico local.

Tubos de longitud finita. Efecto de entrada Se define la longitud de entrada a aquella partir de la cual se pasa a tener velocidad uniforme:

En tubos cortos la cada de presin en la regin de entrada es una fraccin importante del total, siendo necesario obtener el campo de velocidades y presiones en dicha regin.

Movimientos en pelculas delgadas (Reynolds) Considerando una pelcula lquida bidimensional de espesor confinada por dos superficies

curvilneas , siempre y cuando se verifiquen las hiptesis de seccin:

Donde es el espesor caracterstico de la pelcula fluida, es la longitud caracterstica, es la velocidad caracterstica y es el tiempo caracterstico. Sea una pelcula fluida que se extiende a lo largo de las dimensiones y , tendremos:

Campo de velocidades (

)

Ecuacin de continuidad

Ecuacin de cantidad de movimiento

Ecuacin de Reynolds

( )

( )

A lo que habr que aadirse dos condiciones de contorno de velocidad en la coordenada transversal , y otras dos de presin en la coordenada longitudinal. Unas condiciones de contorno usuales son las siguientes:

Con las que se obtiene el siguiente campo de velocidades y caudales:

(

)

(

)

Las fuerzas de friccin y de presin que el fluido ejerce sobre las superficies vienen dadas por:

(

)

Flujos viscosos unidimensionales

Ecuaciones de comportamiento Un flujo viscoso unidimensional tiene un campo de velocidades y un campo de presiones , con lo cual, las ecuaciones de comportamiento sern:

(

)

(

) [(

)

(

)

]

Los flujos unidimensionales cumplirn las siguientes propiedades:

Los trminos convectivos son nulos

Equilibrio hidrosttico transversal

Potencial de tensiones longitudinal La presin reducida (independiente de y ) si las fuerzas msicas derivan de un potencial ser:

El potencial de presiones longitudinal se define matemticamente por:

Como condiciones iniciales se deben imponer:

Se puede aplicar superposicin en problemas de flujo unidireccional puesto que son problemas lineales.

Corriente de Couette Movimiento estacionario de un fluido confinado entre dos placas separadas a distancia producido por el

movimiento relativo de una de ellas a velocidad .

Corriente de Poiseuille Movimiento estacionario de un fluido confinado entre dos placas separadas a distancia producido por un gradiente de presiones constante.

Corriente de Hagen-Poiseuille Movimiento estacionario de un fluido en un conducto infinito de seccin circular constante con dimetro producido por un gradiente de presiones constante.

[ (

)

]

Ecuaciones generales de los fluidos

Principio de conservacin de la masa El principio de conservacin de la masa cita que: la masa total contenida en un volumen fluido cualquiera

se conserva, que puede ser escrito en forma integral para volmenes de control:

Este principio impone la siguiente ecuacin diferencial denominada ecuacin de continuidad:

Ecuacin de continuidad para lquidos Ecuacin de continuidad para gases

Puesto que los lquidos tienen densidad constante ( ), la ecuacin de continuidad ser:

Con lo que impone en forma integral:

El campo que genera es solenoidal, con lo que genera una

funcin de corriente tal que:

El caudal (flujo de ) que circula por su interior es el mismo en todas las secciones transversales:

En movimientos estacionarios de gases ( ), la ecuacin de continuidad pasa a ser:

En forma integral queda:

El campo que genera es solenoidal, existiendo una

funcin de corriente tal que:

El gasto (flujo de ) que circula por su interior es constante a lo largo de un conducto:

Principio de conservacin de las especies Sea un fluido constituido por especies qumicas distintas, el principio de conservacin de las especies

qumicas cita que: la proporcin de cada especie qumica contenida en un volumen fluido cualquiera

vara en funcin de la produccin de dicha especie, que escrito en forma integral ser:

Donde es la velocidad de produccin volumtrica de la especie y la densidad de la especie .

Esta expresin se puede extender a todo el fluido a partir de la fraccin msica :

Si descomponemos la velocidad de cada especie como la velocidad del fluido ms la variacin de la especie:

Que se puede poner en forma diferencial, resultando la siguiente ecuacin de conservacin de las especies:

Aplicando la ley de Fick (que relaciona la velocidad de la especie en el fluido con el gradiente de concentraciones segn el coeficiente de difusin )

En caso de la no existencia de reacciones qumicas (proceso puramente difusivo) la ecuacin se reducira a:

Principio de conservacin de la cantidad de movimiento El principio de conservacin de la cantidad de movimiento indica que: la variacin de la cantidad de movimiento en un volumen fluido es debida a las fuerzas msicas que afectan al volumen y a las fuerzas superficiales que afectan a su contorno, con lo que en su forma ms bsica ser:

Aplicando el Teorema de Transportes de Reynolds, y generalizando a un volumen de control :

El flujo total de cantidad de movimiento por unidad de superficie es el tensor: La ecuacin de cantidad de movimiento se puede escribir en forma diferencial:

La ecuacin de Navier-Stokes es la aplicacin de la ley de Stokes sobre el principio de conservacin de la cantidad de movimiento:

()

Para lquidos con viscosidad constante tendremos y fuerzas msicas derivadas de un potencial tendremos:

(

)

Siendo el trmino denominado coeficiente de viscosidad cinemtica.

Principio de conservacin del momento cintico El principio de conservacin del momento cintico indica que: la variacin del momento cintico de un volumen fluido es debida al momento generado por las fuerzas msicas que afectan al volumen y al momento generado por las fuerzas superficiales que afectan a su contorno, matemticamente se expresa:

Aplicando el Teorema de Transportes de Reynolds y generalizando a un volumen de control arbitrario :

La ecuacin de cantidad de movimiento se puede escribir en forma diferencial:

Ecuacin de la vorticidad Es imprescindible el conocimiento y uso del vector vorticidad en la descripcin del movimiento de un fluido, ya que guarda una estrecha relacin con los flujos turbulentos. Suponiendo que las fuerzas msicas derivan de un potencial U y que los coeficientes de viscosidad son constantes, la ecuacin de vorticidad (desarrollada a partir de la ecuacin de cantidad de movimiento) es:

(

)

El trmino de Bjerkness es el par neto ejercido por todas las fuerzas que actan sobre la esfera en relacin al centro de masa de la misma.

Condiciones de equilibrio en la interfaz Para que dos fluidos 1 y 2 estn en equilibrio termodinmico tendr que existir equilibrio trmico y mecnico en la interfaz de separacin:

El equilibrio trmico exige el cumplimiento de las condiciones de equilibrio trmico: Igualdad de temperaturas

Igualdad de flujos de calor

El equilibrio mecnico exige el cumplimiento de las condiciones de equilibrio dinmico:

Igualdad de velocidades

Igualdad de esfuerzos normales

Igualdad de esfuerzos tangenciales

Donde es el gradiente bidimensional sobre la superficie de la interfaz.

Ecuacin de Young-Laplace

Dos fluidos equilibrio en mecnico , satisfacen la ecuacin de Young-Laplace:

Esta ecuacin diferencial nos proporciona la forma de la interfaz conocidas las presiones de los dos fluidos y y la tensin superficial . La ecuacin de Young-Laplace se puede representar en funcin de los radios de curvatura locales tal que:

(

)

Superficie curva tridimensional

Si la superficie viene dada en coordenadas cartesianas por [es decir, ] el vector unitario de la superficie y la curvatura de la superficie sern:

| |

(

)

(

)

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

Superficie curva bidimensional

Si una interfaz de separacin definida por tiene alguno de sus radios de curvatura infinitos, se tendr:

(

)

La ecuacin de Young-Laplace ser en este caso una ecuacin diferencial ordinaria para .

Superficie curva cilndrica

Si una interfaz de separacin es axilsimtrica, vendr determinada por o en coordenadas cilndricas , el vector unitario de la interfaz y la curvatura vendrn dados por:

| |

(

)

Cuando no existen campos de fuerzas externos, las presiones fluidostticas y son constantes por tanto:

Si adems, la superficie es libre, la ecuacin anterior nos dice que la superficie ser una esfera. El nmero de Bond muestra la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales y las fuerzas de tensin.

Impregnacin

Se define el ngulo de contacto como el ngulo formado por una superficie slida y la interfaz lquido-gas en contacto con este, y que segn las ecuaciones de Young-Laplace cumplirn:

La tension solido-lquido y slido-gas se obtienen empiricamente para cada terna lquido-gas-slido. Si se dice que el lquido moja la superficie mientras que si el lquido no moja la superficie. Los ngulos de contacto entre las lneas de contacto de tres fluidos en equilibrio cumplen la relacin:

Si | | | | | |, la condicin de equilibrio no se puede satisfacer ya que el sistema ser inestable. La longitud capilar es la longitud en la cual las fuerzas de tensin superficial cobran suficiente importancia:

| |

Si uno de los fluidos es el aire ( ) la longitud capilar se puede aproximar por .

Fluidosta tica

Ecuaciones generales

Condiciones de equilibrio La condicin de equilibrio mecnico en un fluido es que las fuerzas msicas cumplan:

Una condicin suficiente para que esta se satisfaga es que se derive de un potencial . Esta condicin impone que el flujo sea bartropo, ya que los gradientes de presin y densidad sern paralelos: Adems, conocido el potencial, el fluido satisfar la ecuacin de equilibrio fluidosttico:

O en trminos de barotropa, la ecuacin de equilibrio barotrpico:

La condicin de equilibrio trmico es la estabilidad local de las distribuciones de temperatura , presin y densidad de tal manera que no produzcan corrientes en el fluido

Hidrosttica La ecuacin de equilibrio mecnico para lquidos es:

Cuya constante se puede determinar aplicando la condicin de contorno en su superficie libre , (afectada por las fuerzas msicas) conocida la presin del aire y el volumen de fluido aplicando:

Donde es la altura en las coordenadas e , haciendo ms fcil obtener una expresin tal que:

Que integrada en torno a su base permitir obtener:

La fuerza de presin que el lquido ejerce sobre la superficie del slido es:

Principio de Arqumedes El principio de Arqumides expone que: Un cuerpo slido de volumen y densidad sumergido en un fluido en reposo de densidad es sometido a una fuerza de empuje proporcional a la diferencia de masas del slido y del lquido que ocupan el volumen:

Fundamentos de la tensin superficial Entre dos fluido inmiscibles existe una interfaz de transicin de espesor finito.

La energa libre total de un sistema en equilibrio constituido por dos fluidos inmiscibles 1 y 2 ser:

Donde es la densidad, el volumen y la densidad de energa libre de cada fluido. La interfaz entre dos fluidos inmiscibles se comporta como una membrana con tensin superficial . Para aumentar el rea de la interfaz un diferencial de rea se ha de aplicar un trabajo:

Principio de conservacin de la energa El principio de conservacin de la energa aplicado a un volumen fluido dicta que: el incremento de la

energa total contenida en el volumen fluido es debido a la energa generada en el volumen fluido y a transmisiones de energa a travs del contorno, con lo que matemticamente se puede expresar como:

(

)

[ (

)]

(

)

Se puede desarrollar esta expresin aplicando el Teorema del Transporte de Reynolds, obteniendo:

(

)

Donde es la energa interna, es la energa cintica por unidad de masa, es el calor generado por unidad de tiempo y de volumen, y es la densidad de calor a travs del contorno fluido.

Energa interna y mecnica Descomponiendo trminos de la ecuacin de la conservacin de la energa se obtiene:

(

)

(

)

[ (

) ]

( )

( )

Donde se pueden separar los trminos segn su dependencia trmica o mecnica:

(

)

Se denomina funcin de disipacin viscosa de Rayleigh al trmino de trabajo de disipacin de fuerzas viscosas y representa la velocidad a la cual se genera calor por friccin viscosa de las capas de fluido:

[ (

) ]

Ecuaciones de la entalpa y de la entropa La entalpa total o entalpa de remanso se obtiene de sustituir la ecuacin de la energa en la definicin de entalpa:

(

)

En flujos estacionarios adiabticos (sin aporte de calor), con fuerzas viscosas despreciables y fuerzas msicas

derivada de un potencial tendremos:

(

)

Partiendo del primer principio de la termodinmica y la ecuacin de la energa interna, la ecuacin que gobierna la evolucin de la entropa en el movimiento de un fluido es:

Esto satisface el segundo principio de la termodinmica, ya que el incremento de energa a lo largo del movimiento es mayor o igual a cero siempre y cuando se le aporte calor al sistema y/o se genere calor.

Variables termodina micas

Las magnitudes extensivas son solo definibles en un volumen finito o expresadas por densidad volumtrica. Las magnitudes intensivas son asociadas a puntos de un entorno o media de los puntos de un volumen.

Se define la energa interna de un fluido (por unidad de masa) como:

Donde es la densidad de masa por unidad de volumen y es la densidad de energa por unidad de masa. Se define la entalpa como:

Se define la entropa (por unidad de masa) como:

(

)

Donde es el diferencial de densidad de flujo de calor, que produce sobre el fluido un incremento de energa conjunto con un incremento de trabajo mecnico. Se define el calor especfico a presin constante y a volumen constante como:

(

)

(

)

(

)

(

)

Se define la constante adiabtica como el cociente entre los calores especficos:

{

Se define la velocidad del sonido a la velocidad de propagacin de pequeas perturbaciones en el seno de un fluido:

(

)

Variables termodinmicas de lquidos ideales Variables termodinmicas de gases ideales Los fluidos ideales cumplen las siguientes ecuaciones de estado:

Los gases ideales satisfacen la ecuacin de comportamiento de los gases ideales:

Adems, cada gas satisfar la relacin de Meyer:

Para el aire se considerar .

La relacin isoentrpica que satisfacen los gases perfectos es:

En consecuencia la energa interna vendr dada por:

Los gases ideales que satisfacen la ecuacin de gases tienen los siguientes valores de energa interna, entalpa y entropa:

(

) (

)

Se definen las magnitudes de remanso a aquellas magnitudes que se conservan a lo largo de lneas de

corriente (o si el flujo es irrotacional en todo el campo fluido) y que en gases ideales son:

Magnitudes de remanso en lquidos ideales Magnitudes de remanso en gases ideales

(

)

(

)

(

)

Ana lisis dimensional Parmetros adimensionales

Nmeros adimensionales

Nmero Expresin Interpretacin

Strouhal

Relacin entre variaciones locales y variaciones globales.

Knudsen

Relacin entre la distancia de las partculas y la distancia macroscpica.

Euler

Relacin entre fuerzas de presin y fuerzas de inercia.

Froude

Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas gravitacionales.

Reynolds

Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas.

Prandtl

Relacin entre difusin viscosa y difusin de calor.

Peclet

Relacin entre difusin de calor por conveccin y por conduccin.

Schmidt

Relacin entre el transporte de una especie respecto al global.

Lewis

Relacin entre difusin msica y difusin de calor.

Bond | |

Relacin entre fuerzas gravitatorias y fuerzas de tensin en superficies.

Mach

Relacin entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido.

Cavitacin

Relacin entre la presin caracterstica y la presin de dinmica.

Ecuaciones de Navier-Stokes adimensionales

Semejanza fsica Dos problemas fluido-mecnicos son fsicamente semejantes si sus parmetros adimensionales son iguales. Dos problemas comparten semejanza geomtrica si tienen misma geometra a distinta escala. Dos problemas guardan semejanza fsica parcial si ciertos parmetros adimensionales importantes son similares.

Teorema de Buckingham El teorema de Buckingham dicta que: Si un problema fsico gobernado por variables fsicas, ,de las cuales son dimensionalmente independientes, que satisfacen una relacin :

Entonces la dependencia puede reducirse al conjunto de variables dinmensionalmente independientestal que:

(

)

}