UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOFACULTAD DE INGENIERA QUMICA E INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

TRABAJO DE CLCULOS PARA INGENIERA QUMICA

Presentado por:Caldern Carlos Ysabel Agustina.Huamn Celada Roeer.Mendoza Chacn Sara Cecilia.

Lambayeque, Marzo, 2015

RESUMEN

El presente trabajo se trata de un texto bsico que se expone brevemente los fundamentos tericos de algunos mtodos numricos, con ilustraciones de problemas resueltos y propuestos de ingeniera qumica como, equilibrio qumico, ecuaciones de estado, correlacin de Colebrook y otros.

Tiene como propsito presentar la solucin de problemas de clculo aplicados a la ingeniera qumica haciendo uso de mtodos numricos para ingenieros, y tambin aplicando para su solucin el software Matlab. Posteriormente haciendo una comparacin de ambos resultados.

INTRODUCCIN

Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. Aunque hay muchos tipos de mtodos numricos, todos comparten una caracterstica comn: Invariablemente los mtodos numricos llevan a cabo un buen nmero de tediosos clculos aritmticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras se desarrollen programas que ayuden a la solucin de estos problemas de manera ms sencilla evitando as tediosos clculos.

El presente trabajo de investigacin, tiene como finalidad la elaboracin de un texto universitario que explique con facilidad la solucin de problemas aplicados a la ingeniera qumica haciendo uso de mtodos numricos. OBJETIVOS Reconocer el tipo de mtodo a utilizar de acuerdo al problema planteado. Entender la funcin y uso de cada mtodo.

MARCO TERICO

Un mtodo numrico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solucin de ciertos problemas realizando clculos puramente aritmticos y lgicos (operaciones aritmticas elementales, clculo de funciones, consulta de una tabla de valores, clculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas (algoritmo), que producen o bien una aproximacin de la solucin del problema (solucin numrica) o bien un mensaje. La eficiencia en el clculo de dicha aproximacin depende, en parte, de la facilidad de implementacin del algoritmo y de las caractersticas especiales y limitaciones de los instrumentos de clculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de clculo se introducen errores llamados de redondeo.Error de redondeoLa casi totalidad de los nmeros reales requieren, para su representacin decimal, de una infinidad de dgitos. En la prctica, para su manejo slo debe considerarse un nmero finito de dgitos en su representacin, procedindose a su determinacin mediante un adecuado redondeo.Los errores de redondeo se deben a que las computadoras slo guardan un nmero finito de cifras significativas durante un clculo. Las computadoras realizan esta funcin de maneras diferentes. Por ejemplo, si slo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los trminos restantes y generando un error de redondeo.Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo pareceran no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqu pueden resultarcrtico en algunos mtodos numricos:1. Ciertos mtodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeo, el efecto de acumulacin en el transcurso de la gran cantidad de clculos puede ser significativo.2. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean nmeros muy pequeos y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos mtodos numricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.1. Ecuaciones no lineales

Dada una funcin no nula f: CC, resolver la ecuacin f(x) = 0 es hallar los valores que anulan a dicha funcin. A estos valores se les denomina se les denomina races o soluciones de la ecuacin, o tambin, ceros de la funcin f(x).Los mtodos de resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones se clasifican en:Mtodos directos: Proporcionan la solucin mediante un nmero finito de operaciones elementales.

Mtodos iterados:Construyen una sucesin (xn) convergente a la solucin de la ecuacin o del sistema. Los mtodos numricos de resolucin de ecuaciones no lineales suelen ser mtodos iterativos que producen una sucesin de valores aproximados de la solucin, que se espera, que converja a la raz de la ecuacin. Estos mtodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones inciales. Para saber que mtodo debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar races cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numricos graves y orden de convergencia. Uno de los problemas que con mayor frecuencia aparece en la ciencia y en la ingeniera es hallar las races de una ecuacin no lineal de la forma f(x) = 0.

Mtodo de la secante.Este mtodo de basa en la frmula de Newton Raphson, pero evita el clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin.

Que es la frmula de la secante. Ntese que para calcular los valores de Xn+1 necesitamos conocer los dos valores de Xn y Xn_1.Obsrvese tambin, el gran parecido con la frmula del mtodo de Regula Falsi. La diferencia entre una y otra es que mientras el mtodo de Regula Falsi trabaja sobre intervalos cerrados, el mtodo de la secante es un proceso iterativo, es decir, no se tiene en cuenta el signo de la funcin para estimar el siguiente punto y por lo mismo, encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo de Newton Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de no converger a la raz, mientras que el mtodo de Regula Falsi va a lo seguro. Se procede independientemente de los signos de la funcin. Esto, como veremos, mejora el orden de convergencia pero hace que la convergencia del mtodo sea ms incierta. En definitiva, el mtodo de la secante consiste en considerar la ecuacin antes mencionada a partir de ciertos valores x0 y x1 dados, que son los valores iniciales. El algoritmo deber parar cuando |xn+1 xn| sea menor que la precisin requerida.

1.2 Mtodo de regula falsi.Mtodo de Regula Falsi o falsa posicin es uno de los mtodos iterativos, cuya peculiaridad es que combina dos mtodos, el mtodo de la biseccin y el mtodo de la secante; y que a diferencia del mtodo de la biseccin, este se basa en una visualizacin grfica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una lnea recta, la interseccin de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor aproximacin de la raz que por el mtodo de la biseccin, aunque no siempre es as.

1.3 Mtodo de la biseccin. El mtodo de la biseccin se basa en el siguiente teorema de clculo:Teorema del valor IntermedioSea contnua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusin se obtiene para el caso que.Bsicamente el Teorema del valor Intermedio nos dice que toda funcin contnua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raz de en el intervalo .El mtodo de la biseccin sigue los siguientes pasos:Sea contnua, i. Encontrar los valores iniciales, tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii. La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre y :

iii. Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo. En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aqu que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

2. Diferencia divididasConocido tambin como polinomio interpolante de Newton., es otra forma de obtener el polinomio interpolador. Este mtodo es muy algortmico y resulta sumamente cmodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular unpolinomio interpolador de grado elevado. En este mtodo el polinomio interpolador se escribe de la forma:

Y el algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes a, a1 an. Imponiendo que el polinomio interpolador pase por los puntos de interpolacin obtenemos Pn(X0)= a0= f(x0)Pn(X1)= a0 (x1 x0) a1= f(x1)Pn(X2)= a0 (x2 x0) a1 + (x2 x0)(x2 x1) a2= f(x2)Pn(Xn)= a0 (xn x0) a1 ++ (xn xn-1)(x2 x1) an= f(xn)De estas ecuaciones, es obvio que a0 depende slo de x0 y x1y as sucesivamente. Introducimos la nueva notacin a0= f[x0], a1= f[x0, x1], y as sucesivamente, con f[x0]= f(x0), como se ve de la primera ecuacin. Restando las dos primeras ecuaciones obtenemos la primera diferencia dividida finita que se representa de la siguiente manera:

La segunda diferencia dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras divididas se expresa como:a2= f[x0,x1,x2]=f(x2) - f(x1) - f[x0,x1](x2-x1) = f[x1,x2] - f [x0,x1] (x2-x0)(x2-x1) x2-x0La n-sima diferencia dividida finita es: Xn= f[x0,x1,,xn]= f[x1,,xn] - f [x0,,xn-1] Xn-x0

3. Mtodo de JacobiEl mtodo de mtodo de Jacobi es un mtodo iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del matemtico alemn Carl Gustav Jakob Jacobi. El mtodo de Jacobi consiste en realizar una secuencia de transformaciones ortogonales, cada transformacin se denomina rotacin de Jacobi; y corresponde a una rotacin cuyo objetivo es eliminar a un elemento de la matriz. Se va rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es pequeo para ser considerada una matriz diagonal. Un concepto fundamental de este mtodo es que, al rotar la matriz para eliminar un elemento que ya sea cero, se modifican varios elementos situados en la fila y la columna del elemento que se rota, que podan valer cero y hasta haber rotado con anterioridad. Cada vez que se rota un elemento, todos los elementos que se insertan son funcin de la cantidad que se elimina ponderada por una funcin trigonomtrica, por lo que el valor absoluto de los elementos distintos de la diagonal se reduce hasta que se considera que son cero. La composicin de las rotaciones genera autovectores, en donde los elementos de la diagonal principal corresponden a los autovalores. Los mtodos directos e indirectos en general tienen con los redondeos, truncamientos y aproximaciones a la solucin real. Los mtodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar este inconveniente, ya que se acercan ms a la solucin real a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximacin depende de la cantidad de iteraciones que se efecta. El planteamiento empieza en suponer un valor inicial y enseguida se usar un mtodo sistemtico para obtener una estimacin ms refinada de la solucin. El Mtodo de Jacobi es uno de los mtodos iterativos ms conocidos. Supngase que se tiene un sistema (3x3) de ecuaciones. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuacin se resuelve para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para obtener:

Para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incgnitas, el Mtodo de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x utiliza la siguiente ecuacin iterativa:

El procedimiento consiste en asignar valores iniciales a las variables, usualmente se escogen los valores triviales, "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteracin se sustituyen los valores en la ecuacin iterativa, con lo que se obtiene:

En la siguiente seccin se ilustra cmo la convergencia de ste mtodo est dada por:

Convergencia del mtodo: Para determinar si el mtodo de Jacobi converge hacia una solucin, se evalan las siguientes condiciones de convergencia. (Nota: las siguientes van en un orden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluacin de las siguientes no es necesario realizarlas): La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para toda i desde 1 hasta n que es el tamao de la matriz A:

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i. A partir de la siguiente identidad:

Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la frmula vectorial de este mtodo:

De donde BJ (conocida como la matriz de iteracin de Jacobi) es D-1 (L+U). Para que el mtodo de Jacobi converja hacia una solucin,

Para una norma matricial inducida. (BJ), que corresponde al mximo de los valores absolutos de las races de la ecuacin caracterstica de la matriz BJ (det(BJ - I)) es menor que 1. El mtodo de Jacobi es el mtodo iterativo ms elemental; ya que el proceso se repite tantas veces hasta llegar a una tolerancia deseada, se empieza a partir de un vector inicial (el vector de ceros la mayora de las veces).4. Problemas de clculo aplicados a la Ingeniera Qumica

4.1 Problema 1A un reactor ingresa una mezcla de gases de 8% de dixido de azufre y el 12% de oxgeno y 80% de nitrgeno, y se desarrolla la siguiente reaccin.SO2(g) + 1\2 O2(g) SO3(g)Calcular la composicin en el equilibrio a presin constante de 2 atm y la constante de equilibrio Kp es de 160atm.Desarrollo: mtodo de la secante con un error de 1e-4Base de clculo: 100 moles de mezcla.Piden: calcular la composicin en el equilibrio a presin constante de 2 atm y la constante de equilibrio Kp es de 160.Inicio de la reaccin: SO2 = 8 mol O2 = 12 mol SO3 = 0 mol N2 = 80 mol

SO2(g) + 1\2 O2(g) SO3(g)IRx: 8 mol 12 mol 0 molRx: -X mol -0.5X mol X mol Eq Rx (8-X) mol (12-0.5X) mol X mol

Equilibrio de la reaccin: SO2 = (8-X) mol O2 = (12-0.5X) mol SO3 = X mol Moles totales = (8-X) + (12-0.5X) + X + 80 mol de N2Moles totales= (100 0.5X) molKp = ; se sabe: P = X*PT y X = Donde: P = presin parcial X = fraccin molar PT = presin total

Reemplazando valores: Kp = 160 y PT = 2 atm tenemos

Tenemos:

Resolviendo hallamos X = 7.87Primer punto inicial: X0 = 7.87Segundo punto inicial: X1= 7.87 + 0.01 = 7.88Mtodo de la secante con un error de 1e-4

X0 = 7.87 f(X0) = 12.26044387 X1 = 7.88 f(X1) = -0.3000817584Si: K = 1xnf(xn)

X07.8712.26044389

X17.88-0.3000817584

X2 = 7.879761091 f(X2) = o.o2436327313Si: K = 2xnf(xn)

X27.8797610910.02436327313

X17.88-0.3000817584

X3 = 7.879779031 Error = X3- X2= 1.68121*10^-5X = 7.879779031 = 7.8798 La composicin en el equilibrio es: SO2 = (8-7.879779031) mol = 0.120220969 mol = 0.1202 moles O2 = (12-0.5*7.879779031) mol = 8.06011048 mol = 8.0601 moles SO3 = 7,879779031 mol = 7.8798 moles4.2 Problema 2Un gas se encuentra a una presin absoluta de 13.76 bar y una temperatura de 333 K. Encontrar el volumen molar que ocupa el gas empleando la ecuacin de estado de Redlich-Kwong.

Para este compuesto las constantes son: P = 13.76 bar T = 333k a = 1.5614 x 10^8 (cm6 bar/(g mol)2 k1/2) b = 44.897 (cm3/ g mol) R = 83.4 (cm3 bar /g mol k)4.3 Problema 3El factor de friccin (f) para el flujo turbulento en una tubera est dado por la correlacin de Colebrook:

Donde Re = es el nmero de Reynolds (adimensional), es la aspereza o rugosidad de la tubera (unidad de longitud) D, es el dimetro de la tubera (unidad de longitud).Obtener el factor de friccin para un fluido con un Reynolds de 3E4 que fluye en una tubera con un dimetro de 0,1 m y una rugosidad de 0,0025m.Desarrollo: mtodo de biseccin con un error relativo de 1e-4Correlacin de Colebrook

Re = 3*10^4D = 0.1 m = 0-0025 m Despejando la ecuacin en funcin de F(f)

Puntos iniciales, ubicando en la grfica el coeficiente de friccin con los valores de Re = 3*10^4 y \D = 0.025f0 = 0.055 F(f0) = -0.2456648687f1= 0.1 F(f1) = 69.075208f2= F(f2) = 27.58109363Seguimos iterando hasta un error de 10e-4XF

0.0775+

0.055-

f3= 0.06625 F(f3)=11.79264063

XF

0.06625+

0.055-

f4= 0.060625 F(f4)=5.285425144

XF

0.060625+

0.055-

f5= 0.0578125 F(f5)= 2.395701093

XF

0.0578125+

0.055-

f6= 0.05640625 F(f6)=1.04372575

XF

0.05640625+

0.055-

f7= 0.055703125 F(f7)= 0.3911781095

XF

0.055703125+

0.055-

f8= 0.0553515625 F(f8)=0.07078999915

XF

0.0553515625+

0.055-

f9= 0.05517578125 F(f9)=0.1149195642

XF

0.0553515625+

0.05517578125-

f10= 0.05526367188 F(f10)=-8.6927*10^-3

fannig = f es 0.05526367188

4.4Problema 4A 400C y con concentraciones: [CO] = [NO2] = 0.10 mol\L se obtuvieron los siguientes datos para la reaccin dada: CO(g) + NO2(g) CO2(g) + NO(g)Tiempo (s)0102030

[CO] mol\L0.10.0670.050.04

Cul es la concentracin del monxido de carbono para el tiempo de 25 sDesarrollo: Diferencia divididasTiempo Xi[CO] Yi Yi2 Yi3 Yi

X000.1-0.0330.016-0.009

X1100.067-0.0170.007

X2200.05-0.01

X3300.04

C0= Y0 = 0.1 tamao de paso h = X1- X0 = 10C1= C2= C3= X = 25P3 (X) = C0 + C1(X- X0) + C2(X- X0)(X- X1) + C3(X- X0)(X- X1)(X- X2)P3 (X) = 0.1 + (-0.0033)(25-0) + (0.00008)(25-0)(25-10) + (-0.0000015)(25-0)(25-10)(25-20)P3 (X) = 0.04468754.5 Problema 5 La resistencia de un termistor vara con la temperatura

T es la temperatura en Kelvin, R es resistencia en ohms, y a0, a1,a2,a3 son constantes.

RT

OhmC

1101.025.113

911.330.131

636.040.120

451.150.128

Determine las constantes por el mtodo de Jacobia0 + 7.003974137 a1 + 49.05565371 a2 + 343.5845298 a3 = 3.35274531*10^-3a0 + 6.814872152 a1 + 46.44248244 a2 + 316.4995802 a3 = 3.297272167*10^-3a0 + 6.455198563 a1 + 41.66958849 a2 + 268.9854678 a3 = 3.19213458*10^-3a0 + 6.111689044 a1 + 37.35274298 a2 + 228.28835 a3 = 3.093312876*10^-3Formamos la matriz: 1 7.003974137 49.05565371 343.5845298 1 6.814872152 46.44248244 316.4995802 1 6.455198563 41.66958849 268.9854678 1 6.111689044 37.35274298 228.28835

La matriz no es dominante

5. Problemas resueltos con Matlab5.1 Problema 1

Otra forma:

5.2 Problema 2

5.3 Problema 35.4 Problema 4

5.5 Problema 5

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