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Tópicos avanzados en Finanzas Empíricas I

Curso para “Central Bankers” - Febrero 2005Centro de estudios Gerzensee - Suiza

Temario

• Contenido informacional de productos derivados: distribuciones neutrales al riesgo

• Teoría de los valores extremos• Microestructura de mercados• La información en los mercados financieros

Distribuciones neutrales al riesgo

• Volatilidad implícita: la fórmula de Black -Sholes permite hallar el valor de una opción como: f = f (S,K,σ, r, div,T-t)

• Todos los parámetros son observables con facilidad salvo σ.

• Podemos invertir el problema para hallar: σimpl = σimpl(S,K,f, r, div,T-t)


La sonrisa de volatilidad: Black-Sholes no ajusta

bien debido a restricciones del mercado y/o saltos en los precios, y/o volatilidad estocástica.


Volatilidad im

plícita y retornos

0% 5%

10%

15%

20%

25%

30%

22/03/2004

05/04/2004

19/04/2004

03/05/2004

17/05/2004

31/05/2004

14/06/2004

28/06/2004

12/07/2004

26/07/2004

09/08/2004

23/08/2004

06/09/2004

20/09/2004

04/10/2004

18/10/2004

01/11/2004

15/11/2004

29/11/2004

13/12/2004

27/12/2004

10/01/2005

24/01/2005

07/02/2005

21/02/2005

07/03/2005

21/03/2005

Implied volatility US$ / $

-3,0%

-2,5%

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

Retornos US$ / $


• Mercados completos: si para todos los posibles estados de la naturaleza en un mercado es posible hallar un activo que pague un determinado monto (p.ej. $1) ⇔se realiza un estado determinado y nada más.


• Breeden & Litzenberger (1978) proponen un “Butterfly spread”:

• 1 Call comprado con pr.ejerc. (ST - ∆ST )• 2 Call vendidos con pr.ejerc. ST

• 1 Call comprado con pr.ejerc. (ST + ∆ST )


• Portolio que paga $1 en el estado ST (activo de tipo “Arrow-Debreu”) y diagrama de pagos:

ST-∆ST ST ST+∆ST

Area = ∆ST

ST

“Delta de Dirac”

∆ST

�

0

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }T

TTTTTT

SSSCSCSCSSC

P∆

∆−−−−∆+= ττττ ,,,,

Distribuciones neutrales al riesgo• Si compramos 1/ûST de este portafolio, y tendemos ûSTÆ 0, el precio del portafolio converge a:

• El precio de un activo Arrow-Debreu es igual al valor presente de $1 multiplicado por la probabilidad que da origen a ese pago, en el caso continuo la densidad neutral al riesgo q(ST) descontada a “ r” .

( ) ( ) ( ) (*),,

2

2

0 Tr

SKT

TT

SSqe

KKC

SSSP

LimT

T

⋅=∂

∂=

∆

∆ −

=→∆

ττ


• Fórmula de Black-Sholes:

• Vía Feynman-Kac se puede deducir:

CC

½CC

2

222 r

SS

SrS

t=++

∂∂σ

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )∫ −=

=−=−−

−−

TSTTtT

tTr

tTqtTr

dStSSqKSe

tSKSEet

,,0,max

,/0,max,SC t


• Fórmula de Black-Scholes asume GBM: dS = µSdt + σSdw, aplicando el Lema de Ito:

[ ]βαφτστσµφ ,,21

lnln 2 =

−+SST φ

( )( ){ }

2

2

2ln

21 β

α

πβ

−−

=TS

TT e

SSq

• Resulta una densidad log-normal, y usando valuación neutral al riesgo µ = r:


– Técnicas para extraer la RND:

– Histogramas neutrales al riesgo usando:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }TSKT

TTTTTTrT S

SSCSCSCSSCeSq

=∆

∆−−−−∆+= 2

,,,, τττττ

Distribuciones neutrales al riesgo– Técnicas para extraer la RND1: – Árboles binomiales implícitos (Rubinstein

1994, y Jackwerth y Rubinstein 1997):

( ) ( ) jNjj pp

jNjN

P −−−

= 1!!

!


• Técnicas para extraer la RND1: • interpolando directamente la función de precios de

las opciones p.ej.Campa, Chang, y Reider (1998)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )TtTr

tTrK

TTtTr

KTTT

tTr

SqeK

t

KFedSSqeK

t

dSSqKSet

−−

−−−−

∞−−

=∂

∂

−=

−=

∂∂

−=

∫

∫

2

2

0

,KC

11,KC

0,max,KC


• Técnicas para extraer la RND:– Campa, Chang y Reider (1998):

ERM bandwidths for EMU and after: evidence from foreign exchanhe options

Distribuciones neutrales al riesgo• Técnicas para extraer la RND:

– En el BCRA también se puede: Skew Acindar 16/6/2005


– En el BCRA también se puede: Distrib.Prob. Acindar 16/6/2005


• Técnicas para extraer la RND1:– Métodos no parámetricos, p.ej. interpolando la

sonrisa de volatilidad (Shimko (1993), Andersen & Wagener (2002), etc. Por ej. Shimko propone:

( )( ) ( )( )[ ]

( ) Κ=∂∂=

−Φ=

++=−

2

2

21

2210

xC

exq

xdKxdFeC

KAKAA

rSH

rSH

iii

τ

τ φσ

Distribuciones neutrales al riesgo• Técnicas para extraer la RND1:

– Ajustar una forma parámetrica de la función implícita de RND :

– Métodos de mezcla de distribuciones p.ej. mezcla de log-normales (Melick & Thomas 1994),

– Métodos de expansión de distribuciones agregando términos correctivos (p.ej. Edgeworth expansions, ver Jarrow & Rudd 1982, Rubinstein 1998,etc. ó polinomios hermitianos Madan & Milne 1994, Jondeau & Rockinger 1998)

– Métodos de distribuciones generalizadas agregan parámetros nuevos, p.ej generalized beta density

1Random neutral distributions

Distribuciones neutrales al riesgo• Técnicas para extraer la RND: mezcla de log-

normales (Melick & Thomas 1994)

( ) ( )[ ]( ){ }

( )( ){ }

22

22

21

21

2ln

2

2ln

1

1

21

1

21

;,

βα

βα

πβθ

πβθ

βαθ

−−

−−

=

⋅⋅−+

+⋅⋅=

== ∑

T

T

S

T

S

T

k

iTiiiT

eS

eS

SLSq

Distribuciones neutrales al riesgo• Técnicas para extraer la RND: mezcla de log-normales


– Polinomios hermitianos introducidos por Madan & Milne (1994):

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )xxxTtB

xxTtB

xq

xxHexq kK

k

Φ

+−+−+=

Φ= ∑=

36,24

3,6

124433

4

0

ππ

π

43

4

0

, ayadondeaC kk

kπ∑=

= están asociados con el sesgo y la curtosis


• Otras técnicas para extraer la RND:– RND movimiento Browniano con un proceso

de saltos Poisson – RND proceso con volatilidad estócastica– Principio de máxima entropía– Etc., etc....

• Liu, Shackleton, Taylor & Xu (2004)

• MLN: mixture of lognormal densities

• GB2: generalized Beta density

• Historical: p(ST)


Distribuciones neutrales al riesgo• Aplicaciones:

– Una primera aplicación es para valuación (p.ej. de opciones ilíquidas)

– Análisis de RND en el contexto de anuncios económicos: • por ej. ERM por Campa,Chang & Reider

(1996 y 98), • McCauley & Melick (1996), Malz (1997)

interpretan expectativas con respecto a F/X y Bahra (1997) respecto a anuncios de inflación a través del análisis de cambio de las RND.

• Jose M. Campa, P.H. Kevin Chang and Robert L. Reider: “ERM bandwidths for EMU and after: evidence from F/X options”

• Extracto del “ Fin. Stability Review Iss.8 6/00” , Bank of England


• Aplicaciones: – Análisis de RND en el contexto de

anuncios económicos: • Jondeau y Rockinger (1998) analizan la

RND de tasas de interés alrededor de las elecciones francesas de 1997.

• Andersen & Wagener (ECB WP2002) analizan 3m-Euribor en relación anuncios de tasa del ECB y el ataque terrorista del 11-9.

• WP ECB 198 (Andersen & Wagener 2002)

• Anuncios de tasa del ECB

• Ataque terrorista 11-9-01

Distribuciones neutrales al riesgo• Aplicaciones:

– Relación entre las probabilidades y la aversión al riesgo. Ver Rosenberg y Engle (1999), Ait-Sahalia & Lo (2000), y Jackwerth (2000):

( ) ( )[ ]{ }

( )P

PXRRSC

SWC

CUECU

−=+=

−=+

~~

,~

1~

~max

1

0

10 β

Distribuciones neutrales al riesgo• Aversión al riesgo:

( ) ( )( )[ ]( )( )( )( )

( )( )( )( )

⋅=

⋅=

⋅=

+=

−

−

0'

1'

0'

1'

0'

1'

0'

1'

0'

~

~~

~1

~~

~1

CUCU

E

CUCU

XEeP

bonounparaCUCU

Ee

CUCU

XEP

RSUECU

r

r β

β

β

Tasa marginal de substitución intertemporal

Distribuciones neutrales al riesgo• Aversión al riesgo:

( )[ ]

( )( )( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )TTT

TTS

Tr

Tr

SpCUSp

CUCU

E

CUCU

Sq

dSSp

CUCU

E

CUCU

KSe

KSEeC

T

⋅⋅=⋅

=

⋅−=

=−=

∫−

−

1'

0'

1'

0'

1'

0'

1'

0'

1'

~~

~

~

~

0,max

0,max

α


• Aversión al riesgo:– El término central A = coef. aversión al riesgo:

– A partir de la medición de las densidades puede obtenerse implícitamente la aversión absoluta al riesgo

( ) ( )( )

( )pSdp

CUCU

qSdq TT +=

1'

1''

~~


• Brown & Jackwerth (2004): “The pricing kernel puzzle....”

• Pricing kernel = state-price density / stat. density


• Liu, Shackleton, Taylor & Xu (2004)

• MLN: mixture of lognormal densities

• GB2: generalized Beta density

• Historical: p(ST)

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