Columnas de longitud intermedia Formulas Empíricas:

El estudio realizado demuestra que las columnas esbeltas aplicable a la formula Euler siempre que la esbeltez mecánica sea mayor que el valor para que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. En el caso de Columnas de acero articuladas en

sus extremos, este límite es Lr

≈ 100 para un límite de proporcionalidad de 200 MPa. La

fórmula de Euler no es válida para esbelteces menores.

La definición de columna corta como aquella en al que su longitud no excede diez veces su menor dimensión transversal, hace que el limite superior de la esbeltez mecánica, en columnas cortas de sección rectangular, sea aproximadamente igual a 30. Para todo esfuerzo practico, el esfuerzo limite de una columna corta es el del limite de la cedencia, de manera que se requiere sumo cuidado para evitar el pandeo cunado alcanza este valor de esfuerzo. La figura 11–8 muestra estas condiciones para un acero con un limitede fluencia de 280 MPa y un limite de proporcionalidad de 200 MPa.

Se han propuestos varios método para cubrir la zona entre limite superior de las columnas cortas y el inferior de las largas. Sin embargo, ninguno de ellos a sido universalmente aceptado para las columnas intermedias, en parte por su desviación de la relación esfuerzo – deformación cuando los esfuerzos exceden los limites de proporcionalidad, y en parte por la indeterminación de la superposición de los esfuerzos directos de flexión, al reducir la carga mediante un coeficiente de seguridad, para que los esfuerzos sean inferiores al límite de proporcionalidad.

Se han desarrollado muchas formulas empiricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en als estructuras. Se examinan en primer lugar, y luego se vera la aplicación de otros materiales.

En uno de los metodos Propuestos – el de la teroria de doble modulo – se generaliza la aplicaion de la formula de Euler a las columnas intermedias, con ezfuerzos sobre el limite de proporcionalidad, sustituyendo el modulo elastico constante E por un modulo reducido E, es decir:

PA

= E π2

(L/r )2

El modulo reducido E, que tambien se llama modulo de tangente, o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de ezfuerzo-deformacion en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta formula proporciona una curva que empalma las dos graficas, respresentativas de las columnas cortas y largas. Aunque este metodo es empirico, ya que la formula de Euler se basa en la Proporcionalidad esfuerzo-deformacion, los ensayos reales demuestran una gran concordancia con la curva teorica.

Otros metodo puramente empiricos. Uno de los mas sencillos, propuestos en 1886 por T. H. Johsson, consiste en ajustar una recta a los valores medios de las series de numerosos ensayos obtenidos graficando los valores de P/ A, (Cuando se va a producir la rotura por pandeo), en funcion de los valores correspondientes de L/r, la ecuacion general de esta formula lineal es:

PA

=σ−Clr

En donde σ es la ordenada en el origen (para L/r=0 ) y C Es la pendiente de la Recta. Los resultados obtenidos por Tetmajer y Bauschinger en ensayos con varillas de aceros estructural, con los extremos articulados, han sido utilizados y dan para la carga critica la expresion*:

PA

=330−1.45Lr

MPa

En la Figura 11-8 se representa esta expresion. Como se ha dicho, el punto de cedencia es el limite practico de P/ A; en la ecuacion (11-7), para un punto de cedencia de 280 MPa, el valor de la esbeltez es L/r=35, que corresponde al limite inferior de aplicación de dicha formula.

Si la ecuacion (11-7) se divide entre el coeficiente de seguridad 3, se obtiene una ecuacion para las cargas de trabajo que ha sido muy empleada, y que apareceria antes que todos los reglamentos de construccion. Sin embargo, es tan conservadora, que ha sido sustituida en la mayoria de los tratados, y en la practica, por otras que se examinan mas adelante. En lo sucesivo se cita con el nombre de formula lineal expresada por:

PA

=110−0.483Lr

MPa

Los limites de aplicación de esta formula son las esbeltez comprendidas entre 30 y 120 para elementos principales, pero puede aplicarse con esbelteces de 150 en elementos secuandarios. Por debajo de L/r=30 se utiliza P/ A=96.5 MPa

Otra Formula Empleada es la de la Rakine-Gordon, planteada hacia 1860. Supone que

la reflexion maxima en una columna varia con LR /c, es decir σ Max=∅ LR/c, siendo ∅una constante que depende de las condiciones de sujecion de los extremos. En estas condiciones, el esfuerzo maximo en una columna viene dada por:

σ=PA

+McI

=PA

+(Pδ Max)c

Ar2 =PA [1+∅ ( l

r )2]

Por lo que la formula para el esfuerzo medio P/ A es:

PA

= σ

1+∅ (L/r )2

Una forma muy utilizada de esta expresion, que se ha llamado de Rakine-Gordon, es:

PA

= 124

1+1

18 x103 ( LR)

2

Esta expresion, que incluye un facor de seguridad, es valida para elementos principalescon esbeltez comprendidas entre 60 y 120, y para elementos secundarios hasta L/r=200 . Por debajo de L/r=60, se especifica tomar un esfuerzo de trabajo de P/ A=103 MPa.

Otra Formula mas para las columnas de longitud intermdia es la del tipo parabolico, propuesta en 1892 por el profesor J. B Johnson. (No tiene nada que ver con T. H. Johnson, de la formula lineal.) La expresion tiene la forma general:

PA

=σ−Clr

En la que σ es el esfuerzo en el punto de cedencia, y C una constante elegida de forma que la parabola sea tangente a la curva de Euler.

El AISC (American Institute os Steel Construction) define el limete entre columnas intermedias y largas comoel valor de la relacion de esbeltez C c dado por:

C c=√ 2 r2 Eσ pc

Donde E es el modulo de elasticidad (200 GPa para la mayoria de los tipos de acero) y σ pc es el esfuerzo en el punto de cedencia para ele tipo particular de acero empleado.

Para columnas de longitud efectiva Le y radio de giro minimo r, el AISC especifica que

para Le /r>C c , el esfuerzo de trabajo, σ T, esta dado por

σ T=¿ 2r 2 E

23(Le /r)2

(Notese que esta es la formula de Euler con un factor de seguridad de 23/12 =1.92.) Para Le /r<C c, el AISC especificala formula parabolica.

σ T=[1−(L/r )2

2C c2 ] σ pc

FS

Donde el Factor de Seguridad, FS, esta dado por

FS=53+

3(Le /r)8 C c

–(Le /r)

3

8Cc3

Observese que el factorr de seguridad es 1.92 cuando Le /r=C c y disminuye al aumentar

la relacion de esbeltez. La variacion de σ T con Le /r para diferentes tipos de acero se muestra en la figura 11–9.

Todas las formulas anteriores con para columnas del tipo fundamental (extremos articulados). Aunque el empotramiento de los extremos aumenta la capacidad de carga (Sec. 11-3), las columnas de las estructuras, que son en su mayoria de longitud intermedia, no sulene tener sus extremos perfectamente empotrados, por lo que es un buen criterio suponerlos articulados, aunque la columna este remachada o sujeta de cualquier otra forma en sus extremos. En ocaciones, en un diseño economico de columnas, se puede aplicar la longitud efectiva o equivalente en el caso de empotramientos totales o parciales.

Mencionemos tambien uan formula, que se estudia en la seccion 11-7, llamada formula de la secante, een la que se supone una determinada excentricidad en la carga, y que teoricamente es correcta, si se conoce exactamente la excentricidad, pero excesivamente engorrosa de aplicar. Su expresion es:

PA

=σ Max

1+ ec

r2sec( L

2 r √ PEA )

En Donde el σ Max es el esfuerzo producido por una carga Paplicada con una excentricidad e conocida. El valor de c esla distancia desde el eje con respecto al cual

se deforma la columna a la fibra mas alejada y ec /r2 es la relacion equivalente δmax cr2

en el estudio de rakine-Gordon.

Ahora considerense formulas para columnas de materiales diferentes al acero. La aluminum Association, Inc, señala especificaciones para columnas de cada tipo de aleaciones de aluminio. Según estas, el esfuerzo admisible es constante para columnas cortas; para columnas mas intermedias se utiliza una relacion lineal que aproxima la formula de modulo tangencial. Para columnas largas se utiliza la formula de Euler. Por ejemplo, las especificaciones para la aleaciones de aluminio del tipo 2014-T6 son:

σ T=193 MpaLr<12

σ T=212−1.59Lr

Mpa12< Lr<55

σ T=372 x 103

(L/r )2 MpaLr>55

La longitud de la colunna L en als especificaciones se define como la “longitud del miembro a compresion entre dos puntos de apoyo lateral, o el doble de la longitud de una columna de voladizo (excepto en aquellos analisis en los que el analisis demuestre que se puede emplear una longitud menor)”.

Para columnas de madera, la National Lumber Manufacturers Association recomienda la formula de Euler de la siguiente Forma.

σ T=r2 E

2.727(L /r )2 =3.619 E( L/r)2

Desde luego, se debe realizar ajustes por duracion de la carga y contenido de humedad. Para columnas resctangulares con dimension minima d , r=√d /12 y la ecuacion (11-17) se reduce a:

σ T=0.3 E

(L /d)2

Ademas de las formulas reseñadas se emplean otras muchas, e incluso en otras reglamentaciones, curvas o tablas que dan el esfuerzo medio P/ A en funcion de la esbeltez L/r con coerficientes de seguridad constantes o variables, empezando por 2 para esbeltez cero, y aumentando a 3 o 3.5 para esbeltez grandes. De todas formas, no es necesario retener en la informacion ninguna de ellas, ya que se debe especificar la formula que se emplea, o emplear las de la reglamentacion de cada pais. Todas ellas tienen algo en comun; la carga de trabajo disminuye al aumenta la esbeltez, aunque con

distintas proporciones. Según la formula empleada, la misma columna puede soportar en general varias cargas legales de seguridad.

Formula de la secante:

Se puede obtener una experiencia teóricamente correcta para las columnas excéntricamente cargadas, generalizando el análisis de Euler, en la forma siguiente. La figura muestra la elástica de la línea media de una columna que soporta una carga P con una excentricidad e y que tiene una longitud L. si se prolonga la columna como indica la línea de trazos, se transforma en una columna articulada de longitud ʎ. El valor indicado de P es la carga crítica para esta longitud desconocida. Esta columna tiene una forma de media sinusoide cuya ecuación, tomando como origen uno de los extremos, es

y=δ sen (x √ pEI

)

Ahora bien, de la ecuación (11-1), √ PEI

= π / Lpara el caso fundamental de columna

articulada. Por tanto,

y=δ sen ( π xL )

(a)

Si se considera el origen en el centro, la ecuación (a) en función de la longitud λ desconocida es

y=δ cos ( πλ )

(b)

Aplicando ahora la condición de que pasa x = L/2,

e=cos ( πL2 λ )

de donde se despeja el valor deδ que, introducido en la ecuación (b), resulta

y=ecos ( πx

λ)

cos (πL2 λ

)

(c)

Para obtener el valor de λ se aplica la fórmula de Euler, dadapor la ecuación (11-1), a una columna de longitud λ, es decir,

P= EIπ ²λ ²

,o sea, λ=π √ EIP

y πλ=√ P

EI

Sustituyendo en (c) resulta la siguiente ecuación para la columna de la figura 11-12:

y=ecos ¿¿

(d)

Tabla 11-1 datos de diseño para la ecuación (11-21) donde se emplean

σpc=290 MPa, f =212

, y E=200 GPa

P/A

(MPa)

L/r

ecr ²

=0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

20 193 188 183 178 17225 171 165 159 153 14630 155 148 140 133 12535 142 134 125 116 10740 131 122 112 102 90.945 122 111 100 88.6 74.650 113 101 87.9 73.6 56.955 106 91.7 76.2 58.4 34.160 98.9 82.4 63.7 39.5 -65 92.1 72.7 49.1 - -

70 85.3 62.0 28.4 - -75 78.1 49.0 - - -80 70.2 30.1 - - -85 60.8 - - - -90 48.1 - - - -

La curvatura se obtiene derivando dos veces la expresión (d),

d ² ydx ²

=−ePEI

cos ¿¿

Por tanto, de acuerdo con la ecuación diferencial de la elástica, el momento flexionante máximo en x=0 es

M=EI ( d2 yd x2 )= −eP

cos( L2 )√P /EI ¿

¿=−eP sec ¿

(e)

El esfuerzo máximo en la columna cargada excéntricamente se compone del esfuerzo directo de compresión y del de flexión, como en una columna corta, es decir,

σm à x= PA

+ McI

Por tanto, teniendo en cuenta I=Ar² y el valor de M de la ecuación (e)se obtiene

σm à x= PA

¿

(11-20)

Esta ecuación se conoce con el nombre de formula de la secante. Para obtener la carga admisible, Padm o de trabajo, hay que sustituir P por fPadm, siendo f el coeficiente de seguridad, y tomar como σ màx el esfuerzo en el punto de cedencia. En estas condiciones, la ecuación (11-20) se transforma en

σ pc= fPwA

¿

(11-21)

Para aplicar esta ecuación hay que proceder por tanteos. Se facilita su aplicación hallando los valores de la esbeltez L/r para una serie de valores de P/A, y con distintos valores de la relación de excentricidad ec/r² tales como 0.2, 0.4, etc., 1.0. Este procedimiento da los resultados de la tabla 11-1, de los cuales se pueden graficar las curvas de diseño de la figura 11-13.

Es interesante observar que cuando la esbeltez se aproxima a cero el valor de la secante en la ecuación (11-20) tiende a la unidad y, por tanto, la ecuación (11-20) se transforma, en el límite,

σ m à x=PA (1+

ec

r2 )= PA

+McI

Que es la ecuación para cargas excéntricas en elementos cortos.

Las columnas largas se calculan por la fórmula de Euler. Para columnas con los extremos articulares la formula es:

P= EI π2

L ²

(11-1)

O bien,

PA

=E π2

( Lr 2 )

(11-5)

Para otras condiciones de sujeción de los extremos se sustituye L por una longitud efectiva cuyos valores están tabulados al final de la sección 11-3.

Las fórmulas de Euler son teóricamente correctas, siempre que el esfuerzo no sobrepase el límite de proporcionalidad. El límite inferior de validez de L/r se obtiene suponiendo que P/A representa el esfuerzo real en una columna recta, axialmente cargada, y sustituyendo P/A de la ecuación (11-5) por el valor del esfuerzo en el límite de proporcionalidad.

Las columnas con una esbeltez menor que el límite de la fórmula de Euler son columnas intermedias. Se han desarrollado varias formula de la secante de la ecuación (11-13). Sin embargo, esta fórmula no es cómoda de aplicar y en su lugar se emplean otras expresiones empíricas especificadas en las distintas normas de construcción de los diversos países.

Las columnas cargadas excéntricamente se analizan ya sea mediante el planteamiento del máximo esfuerzo o mediante ecuaciones de interacción. En el enfoque del máximo esfuerzo, las columnas se tratan como miembros cortos cargados excéntricamente excepto que el valor del esfuerzo de trabajo se obtiene usando una formula especificada para columnas. Las ecuaciones de interacciona intentan ponderar la importancia relativa de los esfuerzos axial y por flexión.

Columnas cargadas Excentricamente:

Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas axiales, y las formulas que se han expuesto lo han sido con este criterio. Sin embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada excentricidad, por ejemplo, cuando se

remacha una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La formula de la secante que se estudia en la sección siguiente es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplicado.

Se estudia la columna excéntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, en un elemento cargado excéntricamente. Pero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la flexión en el brazo de momento de la fuerza o carga excéntrica, se limita el esfuerzo máximo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las formulas expuestas en las secciones anteriores.

Aplicando este procedimiento a la columna de la figura (11-10), que soporta una carga axial P0 y una carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:

En donde es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las formulas dadas de las columnas (tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la excentricidad no sea en esa dirección), “I” es el momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la flexión (eje X-X en la figura 11-10) y S el modulo resistente respecto al mismo eje.

Los modernos criterios de diseño han refinado el planteamiento de máximo esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la de flexión del eje neutro. Estos efectos toman la forma, muy frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo axial y del esfuerzo por flexión.

Por ejemplo, la AISC recomienda que, cuando el esfuerzo axial calculado fa sea menor que el esfuerzo real Fa que se permitiría si solo actuara el esfuerzo axial, los momentos secundarios pueden despreciarse y el miembro debe satisfacer el siguiente criterio:

Cuando fa >0.15 Fay no pueden despreciarse los efectos del momento secundario. En estos casos, la AISC requiere que se cumplan las siguientes desigualdades:

En las desigualdades (a), (b) y (c) los diferentes términos tienen los siguientes significados:

fa = Esfuerzo axial calculado.

Fa = Esfuerzo axial permisible si solo actuara la fuerza axial.

fbx = Esfuerzo por flexión calculado con respecto al eje de momento de inercia mayor, despreciando el momento secundario.

fby = Esfuerzo por flexión calculado con respecto al eje de momento de inercia menor, despreciando el momento secundario.

Fbx = Esfuerzo permisible de compresión por flexión con respecto al eje de momento de inercia mayor, como si solo actuara el momento.

Fby = Esfuerzo permisible de compresión por flexión con respecto al eje de momento de inercia menor, como si solo actuara el momento.

Fex = Esfuerzo de pandeo según Euler, con respecto al eje de inercia mayor.

Fey = Esfuerzo de pandeo según Euler, con respecto al eje de inercia menor.

Cmx , Cmy = Factores de reducción para corregir cálculos demasiado conservadores en algunos casos del factor de amplificación [ 1- (fa/Fá)].

Fe = Esfuerzo de fluencia.

Para miembros sometidos a compresión en marcos sujetos a desplazamientos de las uniones, se puede tomar C= =0.85.

Para miembros sometidos a compresión en marcos arriostrados para evitar desplazamientos transversales y sujetos a momentos en los extremos, pero no a cargas transversales entre apoyos, úsese C_=0.6 - 0.4 (M1/M2)> 0.4, donde M1/M2 es la relación del menor al mayor de los momentos aplicados en los extremos. Esta relación

es positiva cuando el miembro se flexiona en curvatura inversa y negativa, cuando lo hace en curvatura simple.

Para miembros sometidos a compresión en marcos arriostrados para evitar desplazamientos laterales en el plano de carga y sujetos a carga transversal entre los apoyos, C= puede tomarse como 0.85 para miembros con extremos restringidos, y como 1.0 para miembros sin restricciones; C= se puede determinar también mediante un análisis racional en este caso.

Las especificaciones de la AISC también incluyen formulas para la determinación de los esfuerzos admisibles debidos a flexión, Fby como una fracción del esfuerzo en cedencia. El valor de Fb depende de la relación ancho/espesor de la sección y de los intervalos de arriostramientos.

Para otros materiales estructurales tales como la madera y el aluminio, se han adoptado formulas de interacción semejantes a las formula de la AISC.

El diseño sujeto tanto a cargas axiales como de pandeo, es esencialmente un procedimiento de interacción. Así, mediante criterios apropiados se verifica si una sección seleccionada es adecuada o no. Este procedimiento se simplifica grandemente por las diversas tablas y graficas de que dispone el diseñador. También existen programas de computadoras para ayudar al diseñador a seleccionar la sección optima que cumpla con las formulas de interacción.

Ejemplo resuelto:

Un perfil W360 x 134 se emplea como columna de 7 m de longitud efectiva para soportar un carril de una grua viajera en una nave industrial. Detreminar la máxima reacción admisible P si la columna soporta también una carga de 400 KN procedente de la planta superior, como se indica en la figura. Use el enfoque del máximo esfuerzo y

las especificaciones de la AISC, con

Introduccion:

Una columna es un elemento arquitectónico vertical y de forma alargada que normalmente tiene funciones estructurales, aunque también pueden erigirse con fines decorativos.

A parte es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de las columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento