Tipos de matrices (ejemplos) Matriz cuadrada

Matriz triangular superior inferior Matriz diagonal

Matriz escalar

Matriz identidad

Matriz indempotente

Matriz transpuesta

Matriz involutiva

Matriz simetrica

Matriz antisimetrica = > Matriz compleja

Matriz conjugada

Matriz hermitiana

Matriz antihermitiana

Matriz ortogonal

1. Matriz identidad. Es una matriz escalar, con escalar igual a 1, es decir, tiene 1s en la diagonal principal y ceros en las dems posiciones.Ejemplos:

Se denota por la letra I y el subndice indica el orden.

f) Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz AT de tamao nxm que se obtiene permutando la fila a columna.

Ejemplos:

A=AT=

1. Matriz simtrica. Una matriz simtrica es simtrica si cumple con A= AT

Ejemplos:

La matriz C no es simtrica

1. Matrz antisimtrica. Una matriz es antisimtrica, cuando cumple con A= -AT

1. Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo k. Las potencias de A se definen como sigue: A2=AA, A3=A2A, , An+1=AnA y A0=I

Ejemplo:

Sea , calcular A2 y A3

Solucin

1. Matriz Peridica. Una matriz A se llama peridica, si k el menor nmero entero y positivo para el cual se cumple Ak+1=A, se dice que la matriz A tiene como periodo k.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz de periodo 2.

Solucin:Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3, por lo tanto

Como vemos de A3=A, entonces A es una matriz peridica, con periodo 2.

1. Matriz nilpotente. Tambin llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor nmero entero positivo para el cual Ap=0, entonces A es nilpotente de orden p.

Ejemplo:

Demostrar que es una matriz nilpotente de orden 3.

Solucin:

Para hacer dicha demostracin es necesario calcular A3, por lo que tenemos

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3.

1. Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2=A.

Ejemplo:

Si a , demostrar que A es idempotente.

Solucin:

Como vemos que se cumple A2=A., entonces A es una matriz idempotente.

1. Matriz involutiva. Una matriz A es involutiva si cumple con A2=I.

Ejemplo: Si , demostrar de A2=I.

Solucin

Es necesario calcular A2=I, por lo que tenemos:

Como vemos que A2=I., entonces A es una matriz involutiva.

1. Matriz ortogonal. Una matriz cuadrada es ortogonal si AAT=ATA=I.

Ejemplo. Si , demostrar que A es ortogonal

Solucin

, =

1. Matriz compleja. Sea A una matriz de tamao mxn, se llama compleja si sus elementos con nmeros complejos

Ejemplo:

1. Matriz conjugada. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada se forma con los conjugados de cada elemento de A, se representa por

Ejemplo:

,

1. Matriz hermitiana. Si A es una matriz compleja, una matriz hermitiana debe cumplir con .

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz hermitiana

Solucin

,

Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz hermitiana.

1. Matriz antihermitiana

Si A es una matriz compleja y adems cumple con , entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermtica o antihermtica.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz antihermitiana

Solucin

, Por otro lado

Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.