texto mate bÁsica -titulaciÓn 2010.doc

8/17/2019 TEXTO MATE BÁSICA -TITULACIÓN 2010.doc

1/88

TEXTO AUTOEDUCATIVO

PARA DOCENTES Y ALUMNOS DE EDUCACIÓN

AUTOR:

• LIC. LUIS REQUEJO RIVERA

2010


2/88

PRESENTACIÓN

El presente texto de Matemática Básica está diriido pre!erentemente a los est"diantes

de la #ac"ltad de Ed"caci$n as% como a los docentes en ser&icio del Maisterio 'acional( )a

*"e se conoce *"e la di!ic"ltad *"e tienen son so+re los temas matemáticos del presente li+ro

) *"e res"mimos en las si"ientes sesiones,

• Unidad I, L$ica

• Unidad II, Con-"ntos

• Unidad III, Sistemas de '"meraci$n

• Unidad IV, eor%a de los n/meros

• Unidad V, #racciones ) porcenta-es

• Unidad VI, 0roporcionalidad

• Unidad VIII, 0ro+a+ilidades

Los "s"arios de+erán resol&er los e-ercicios ) pro+lemas aplicando los criterios te$ricos

) procedimientos ensa)ados en clase( para pro)ectarse a otros casos *"e le permita resol&er

en sit"aciones cotidianas.

#inalmente( aradeciendo a la con!ian1a depositada por los rad"ados( les deseamos

"na +"ena !ormaci$n.

El AUTOR

Lic. Luís Requejo Rivera Página2


3/88

UNIDAD Nº I:

LÓGICA PROPOSICIONAL

¿Qué es la Lógica?

La l$ica !ormal est"dia los procedimientos para distin"ir el ra1onamiento correcto del incorrecto.La l$ica !ormal !"e iniciada por los rieos 2ace más de 34 silos )( desde entonces( 2a tenido "nproceso de desarrollo tal *"e a2ora es "na ciencia ri"rosa( con "n len"a-e t5cnico ela+orado )preciso( p"es la "tili1aci$n *"e 2ace del sim+olismo le permite e&itar las con!"siones ) am+i6edadesdel len"a-e nat"ral.

A la l$ica !ormal( en s" act"al estado de desarrollo( se le conoce como L$ica 0roposicional 7o l$icasim+$lica o l$ica matemática8.

¿Qué es la Lógica Pr!sici"al?

Es "na parte de la l$ica *"e est"dia las proposiciones ) la relaci$n existente entre ellas( as% como la!"nci$n *"e tienen las &aria+les proposicionales ) los conecti&os l$icos.

EN#NCIA$O

Es toda !rase " oraci$n *"e se "tili1a en el len"a-e com/n.

E%e&!ls'9 :O-alá *"e apr"e+e matemática;9 El < es "n n/mero par 9 =o lleo de >"ac2o9 ? @ D

9 :Vi&a el maisterio per"ano;

I( PROPOSICIÓN LÓGICA

Son oraciones ase&erati&as( es decir p"eden ser &erdaderos 7V8 o !alsos 7#8( pero no am+os a la&e1( sin am+i6edad en "n determinado contexto.Las proposiciones se denotan con letras min/sc"las tales como, p( *( r( s(.....7llamados &aria+lesproposicionales8

E%e&!ls' )alr *e )er*a*p , Balta !"e presidente del 0er/ 7 V 8* , D < 7 # 8r , La UFEL ' G 4 corresponde a la pro&incia de Ca-atam+o 7 # 8

s , Jos5 es so+rino de Enri*"e 7 V $ # 8

O+ser,ació"'Los mandatos( pre"ntas( exclamaciones( no son proposiciones l$icas )a *"e no se p"edencali!icar de &erdaderas o !alsas.

9 HQ"5 2ora es9 :A"xilio;9 :Si5ntate;

oda proposici$n es "n en"nciado( pero no todo en"nciado es "na proposici$nK

E"u"cia* A+ier-

./u"ció" Pr!sici"alEs todo en"nciado en el *"e inter&ienen "na o más &aria+les( *"e admite la posi+ilidad decon&ertirse en "na proposici$n l$ica( c"ando cada &aria+le as"me "n determinado &alor.



4/88

E%e&!l'9 El es "n escritor per"ano

La &aria+le es la pala+ra ElK. aremos a2ora &alores a la &aria+le.Albert Einstein es un escritor peruano 7 # 8Ciro Alegría es un escritor peruano 7 V 8

9 x @ NLa &aria+le es xK. ando &alores a la &aria+leK @ N 7 V 83K @ N 7 # 8

II( CLASES $E PROPOSICIONES

Existen 3 clases de proposiciones

1( Pr!sici"es Si&!les .A-ó&icas Ele&e"-ales

Son a*"ellas *"e carecen de con-"nciones ramaticales ) del ad&er+io de neaci$n noK. 'o sep"eden di&idir en en"nciados más simples.

E%e&!ls'9 La l$ica es "na ciencia9 >"aral está al s"r de >"ac2o9 Beto ) Enri*"e son primos9 Sat"rno tiene más sat5lites *"e Marte

2( Pr!sici"es C&!ues-as .leculares

Son a*"ellas *"e están !ormadas por proposiciones simples( enla1adas entre si por con-"nciones ramaticales 7conecti&os8 o a!ectados por el ad&er+io de neaci$n noK.

E%e&!ls'* La puerta no está cerrada* La pizarra es grande y de madera* La silla es de madera y/o fierro* O la ballena es un pez o es un mamífero* Si hay fuego entonces hay humo* Iré a la fiesta si y solo sí termino mi tarea

III( CONECTI)OS LOGICOS

Son t5rminos *"e sir&en para enla1ar proposiciones o para cam+iar el &alor &eritati&o de "na

proposici$n.

En la l$ica proposicional los conecti&os l$icos se representan mediante s%m+olos especiales( talcomo se indica en el si"iente c"adro,



5/88


6/88

7( $IS5#NCIÓN E8CL#SI)A O /#ERTE .

Es a*"ella *"e excl")e la posi+ilidad de oc"rrencia sim"ltánea de am+as proposicionescomponentes.

E%e&!l'

!ariátegui naci" en Lima o en !o#uegua

p *

TALA $E )ER$A$

9( CON$ICIONAL .→

Res"lta de "nir dos proposiciones mediante el conecti&o si entoncesK o expresionese*"i&alentes.La se"nda proposici$n es "na consec"encia de la primera.

E%e&!l'

Si Eric es limeo( e"-"ces es per"ano p

→

*

7Antecedente8 7Consec"ente8

TALA $E )ER$A$

:( ICON$ICIONAL .↔

Res"lta de "nir dos proposiciones mediante el conecti&o si ) s$lo siK o expresionese*"i&alentes.

E%e&!l'Iré a la fiesta si y solo sí tengo ropa nue$a

p↔

*

TALA $E )ER$A$



7/88

;( NEGACIÓN .


8/88

Reslució",

p , Carlos es pro!esor de matemática* , Carlos tra+a-a en "n coleio de >"ac2o por las maanasr , Al"nas tarde da clases partic"lares a nios de s" &ecindad

L"eo( la sim+oli1aci$n es,.......................................................................

D.Si la proposici$n comp"esta,

7T p ∧ r8 → 7r ∧ T *8 . es #ALSA( entonces el &alor de &erdad de, p( * ) r es,

Reslució",

Se concl")e *"e, p # * V r V

Ejercicios Propuestos

D.e los si"ientes en"nciados( identi!ica c"áles son proposiciones( c"áles son en"nciados a+iertos) c"áles no son ni proposiciones ni en"nciados a+iertos.a. La l"na es "n sat5lite de la ierra .........+. Hienes *"e est"diar l$ica .........c. N es "n n/mero par .........d. El perro es "n mam%!ero ) ladra .........e. El a"to n"e&o .........!. Ella es "na al"mna est"diosa .......... Q"isiera &ia-ar maana .........2. El color de t"s o-os .........i. Las a+e-as prod"cen miel .........

D3.Escri+a en !orma sim+$lica los si"ientes en"nciados,

a8 Si tra+a-ara los !ines de semana ) d"rmiera menos entonces no perder%a el &"elo.

.................................................................

+8 'o es cierto( *"e el oro no &ala m"c2o dinero o no sea "n metal escaso.

...............................................................

c8 Es !also *"e( si Carlos no compra "n li+ro entonces no irá al coleio( además est"diará.

..................................................................

d8 La tierra ira alrededor del sol o no se da *"e la l"na es "n planeta.

.................................................................

D.e la !alsedad de la proposici$n,


es #ALSA Es el /nico caso en *"e el condicional es !also7por dato8 7&er ta+la del condicional8


9/88

7p → T *8 ∨ 7T r → s8

ed"cir el &alor de &erdad de los es*"emas molec"lares si"ientes,

I. 7T p ∧ T *8 ∨ 7T *8II. 7T r ∨ *8 W ↔ 7T * ∨ r8 ∧ sW

III. 7p → *8 → 7p ∨ *8 ∧ T *WSon respecti&amente,a8 V#V +8 ### c8 VVVd8 ##V e8 #altan datos

D?.Al 2acer la ta+la de &erdad de la si"iente proposici$n comp"esta, e le&antas temprano oest"dias en la noc2e si ) s$lo si( no es cierto *"e( no te le&antes temprano ) *"e no est"dies en lanoc2eK. Se o+tiene,a8 a"tolo%a +8 Contradicci$nc8 Continencia d8 #altan datos

D4. Si J"an no tra+a-a( no ira de &ia-e.ia "sted c"al de los si"ientes en"nciados es s" e*"i&alente l$icoa8 Si J"an tra+a-a( ira de &ia-e+8 J"an tra+a-a ) no ira de &ia-ec8 Si J"an no &ia-o( no tra+a-od8 J"an tra+a-a o no ira de &ia-e



10/88

EN#NCIA$O N#6RICO

Es "na expresi$n *"e se re!iere a n/meros ) p"eden ser a+iertos o cerrados

1( E"u"cia* A+ier-(= C"ando están !ormados por constantes ) &aria+les 7n/meros ) letras8( soncerrados si el en"nciado tiene "n &alor de &erdad( por tanto es "na proposici$n.

E%e&!ls'

Un en"nciado a+ierto se p"ede con&ertir en proposici$n al s"stit"ir las &aria+les 7letras8 por constantes 7&alores n"m5ricos8. e ac"erdo con los &alores *"e tomen las &aria+les podemosindicar si es &erdadera o !alsa(

E%e&!ls'{ }32/:)( ≥-∈ xINxxp El con-"nto de &alores *"e 2acen *"e la proposici$n sea

&erdadera es { },...7,6,

{ }9=/:)( 2XZxxq ∈ La proposici$n es &erdadera para el con-"nto 3,3-

A s" &e1( todo en"nciado a+ierto se con&ierte en "na proposici$n anteponiendo !7para todoK8 o

"7existeK8. Estos son los llamados >cua"-iica*res@

E%e&!ls'

a En el con-"nto de los n/meros enteros( el en"nciado a+ierto p7x8 P x ?( se p"ede

con&ertir en proposici$n al expresarlo de los si"ientes !ormas,

odo n/mero entero es menor *"e ?K

p(x):4x:x


11/88

Al"nos 2om+res son mortales 7" p8 XXXX 7 8'in/n 2om+re es mortal 7∃/ p8 XXXX 7 8

+8 *, los perros son nerosodos los perros son neros 7! *8 XXXX 7 8 Al"nos perros son neros 7" *8 XXXX 7 8'in/n perro es nero 7∃/ *8 XXXX 7 8

c8 r, los n/meros pares terminan en Nodos los n/meros pares terminan en N 7! r8 XXXX. 7 8 Al"nos n/meros pares terminan en N 7" r8XXXX.. 7 8'in/n n/mero par termina en N 7∃/ r8XX.XX. 7 8

7OBSERVACIZ'.[ '$tese *"e s$lo es &erdadera en "n solo caso con el c"anti!icador adec"ado8

NEGACIÓN $E C#ANTI/ICA$ORES

1( Negació" *el Cua"-iica*r #"i,ersal >T*s@

Sea la proposici$n odos los animales &"elan( s" neaci$n es, p

7∀ p8 s" neaci$n es 7T∀ p8 " p

Rpta, Al"nos animales &"elan.

2( Negació" *el Cua"-iica*r #"i,ersalSea la proposici$n odos los nios no son 2"ac2anosK

T r

7∀ T r 8 s" neaci$n es T 7∀ T r 8 ∀ r

Rpta, odos los nios son 2"ac2anos

7( Negació" *el Cua"-iica*r Eis-e"cial >Algu"s@B >Eis-e"@B >aD@Sea la proposici$n Existen pro!esoras *"e &i&en en >"ac2oK

*

7" * 8 s" neaci$n es 7 T" * 8 ∃/ *

Rpta, 'in/n pro!esor &i&e en Barranca

9( Negació" *el Cua"-iica*r Eis-e"cialSea la proposici$n, Existen n/meros *"e no son primosK T t

7" T t 8 s" neaci$n es T 7" T t 8 " t

Rpta, Existen n/meros *"e son primos

LE5ES LÓGICAS

Si lle&amos "na proposici$n comp"esta a "na ta+la &eritati&a para conocer s" &alide1 ) res"lta en elconecti&o 7operador8 principal *"e todo es &erdadero( se dice *"e es "na ta"tolo%a.

E%e&!l' e&al"ar 7p *8 \ T*W Tp


0or la do+le neaci$n


12/88

p * 7 p * 8 \ 7 T * 8 W T p

V V V V V # # V #V # V # # # V V ## V # V V # # V V

# # # V # V V V V

3 4 ?ta"tolo%a

Usaremos al"nas le)es L$icas( siendo las más importantes,

1( LeD *e la $+le Negació"

T 7 T p 8 p

2( LeDes *e rga"

2(1 T 7 p \ * 8 7 T p & T *82(2 T 7 p & * 8 7 T p \ T *8

E%e&!ls'

a8 'o es cierto *"e J"an &ia-a ) no se cansaK( es e*"i&alente a, p T *

Solución, p, J"an &ia-a*, J"an se cansa

el es*"ema dado es, T 7 p \ T* 8 7aplicando 3.8 7T p & * 8

Rpta, el e*"i&alente es J"an no &ia-a o se cansaK

+8 El e*"i&alente a Es !also *"e Ra/l no est"dia o no se d"ermeK es, T p T *

Solución, p, Ra/l est"dia*, Ra/l se d"erme

el es*"ema dado es, T 7Tp & T* 8 7aplicando 3.38 p \ *

Rpta, el e*"i&alente es Ra/l est"dia ) se d"ermeK

7( LeD *el C"*ici"al

7p *8 7 Tp & * 8

E-emplos,

a8 La proposici$n e*"i&alente a Si teno 2am+re entonces comer5 m"c2oK es, p T *

Solución, p, eno 2am+re*, Comer5 m"c2o

el es*"ema dado es, 7 p * 8 7Tp & T * 8 7Le) del Condicional8 Rpta, 'o teno 2am+re o no comer5 m"c2o



13/88

+8 La proposici$n e*"i&alente a 'o es &erdad *"e si no &o) de &ia-e entonces me *"edo soloKes, T p *

Solución, p, &o) de &ia-e*, me *"edo solo

el es*"ema es, T 7Tp * 8 T7 p & * 8 7Le) del Condicional8 7 Tp \ T* 8 7Le) de Moran8

Rpta, 'o &o) de &ia-e ) no me *"edo solo.

PROLEAS LÓGICOS



14/88

En estos casos se "san eneralmente c"adros de do+le entrada *"e de+emos completar con losdatos dados.

APLICACIONES PR3CTICAS

D.Almor1a+an -"ntos pol%ticos, El seor Blanco( el seor Ro-o ) el seor 'ero( "no de elloslle&a+a cor+ata +lanca( otro ro-a ) el otro nera( pero no en el mismo orden. En "n corto diáloo seesc"c2a *"e,

El seor de cor+ata ro-a dice, Es c"rioso( a pesar de *"e n"estros apellidos son los mismos *"elos colores de n"estras cor+atas( nin"no lle&a s" correspondienteK.

El seor Blanco responde, iene "sted ra1$nK.

He *"5 color es la cor+ata de cada pol%tico7omado de la e&al"aci$n para nom+ramiento de docentes8

Reslució",

Res!ues-a, El seor Blanco lle&a cor+ata de color nero( el seor Ro-o la de color +lanco ) elseor nero de color ro-o.

D3.Amelia( Blanca( Carolina ) iana tienen "na pro!esi$n di!erente cada "na, A+oada( Contadora(0ro!esora ) 0intora. Además( se sa+e lo si"iente,

9 Amelia ) la a+oada son m") amias de Carolina9 iana es Contadora9 La 0intora es prima de Amelia

HQ"5 pro!esi$n tiene cada "na

Reslució",



15/88


16/88

II. F$me1 es el pro!esor de Feora!%aIII. >errera no es pro!esor de >istoria

a8 S$lo II +8 S$lo I c8 S$lo III d8 I ) II e8 II ) III

D.Mar%a( L"c%a e Irene &i&en en ci"dades distintas, Lima( C"sco ) acna est"diando "na carrera

di!erente, Ed"caci$n( erec2o ) Ar*"itect"ra. Si se sa+e *"e,[ Mar%a no &i&e en C"sco[ La *"e &i&en en C"sco no est"dia derec2o[ L"c%a no est"dia ed"caci$n[ L"c%a no &i&e en acna[ La *"e &i&e en acna est"dia ar*"itect"ra

H$nde &i&e Irene ) *"e est"dia

a8 Lima ] Ar*"itect"ra +8 Lima ] Ed"caci$n c8 Lima [ erec2o d8 C"sco [ Ed"caci$n

D?.En el momento de lleada de los seis primeros del FRA' 0RI^( "n reportero anot$ lossi"ientes res"ltados,

9 o)ota lle$ antes *"e Ma1da ) desp"5s *"e Rena"lt9 Rena"lt lle$ desp"5s *"e #errari ) este desp"5s *"e #ord9 Mercedes lle$ desp"5s *"e Ma1da

HQ"i5n lle$ en primer l"ar

a8 Mercedes +8 #ord c8 Rena"lt d8 o)ota e8 #altan datos

D4.res al"mnos Al+erto( Bert2a ) Carlos( al responder "n examen de tres pre"ntas( contestan de lasi"iente manera,

Uno de ellos contest$ todas correctamente otro !all$ en todas ) el otro !all$ en "na. HQ"i5n !all$ entodas las pre"ntas

a8 Al+erto +8 Bert2a c8 Carlos d8 odos

DY. J"an( Ra/l( 0edro ) Man"el tienen como pro!esores, ineniero( m5dico( pro!esor o contador 7nonecesariamente en ese orden8( se sa+e *"e,[ J"an no es m5dico ni ineniero.[ Man"el no es contador ni m5dico.

a8 HQ"5 pro!esi$n tiene J"an+8 H Q"i5n es el m5dico

DN. Rosa( Mar%a( J"ana ) Ana &isten !alda ro-a( &erde( a1"l o amarilla 7no necesariamente en eseorden8( se sa+e *"e,[ A J"ana no le "sta la !alda &erde.[ Mar%a ) J"ana no "san !alda ro-a.[ Ana pre!iere la !alda a1"l.[ Rosa no "sa !alda &erde.

a8 HQ"5 color de !alda "sa J"ana+8 HQ"i5n pre!iere la !alda ro-a



17/88

UNIDAD Nº 2:CON4#NTOS

ALUMNOS MATRICULADOS EN LA UNIVERSIDAD

"rante "na maana en la semana de matr%c"la en la U'J#SC( se pierde por accidentein!ormaci$n importante so+re los matric"lados en ciertos c"rsos de "na de las Esc"elas. Lain!ormaci$n *"e se p"do rec"perar +rind$ los si"ientes datos.

* La cantidad de matriculados para el ciclo son )'/ alumnos* +., alumnos se matricularon en Ecología* ..7 alumnos se matricularon en !atemática 8ásica* +77 alumnos se matricularon s"lo en 3ísica I* '7 alumnos se matricularon en Ecología y !atemática 8ásica pero no en 3ísica I* )7 alumnos se matricularon en !atemática 8ásica y 3ísica I9 pero no en Ecología* /7 alumnos se matricularon en Ecología y 3ísica* :. alumnos se matricularon en los ) cursos

Si todos los al"mnos se matric"laron por lo menos en "n c"rso. Ante esta sit"aci$n( lasecretaria de+e dar resp"esta a las si"ientes interroantes,

9 HC"ántos se matric"laron en Matemática BásicaR!-a('

9 HC"ántos se matric"laron s$lo en Ecolo%a ) #%sica IR!-a('

9 HC"ántos se matric"laron en por lo menos 3 c"rsosR!-a('

HC$mo podr%as apo)ar en este incon&eniente a la secretaria de esta Esc"ela

1( CONCEPTO $E CON4#NTO

Int"iti&amente "n con-"nto es "na colecci$n o ar"paci$n +ien de!inida de o+-etos7materiales o inmateriales8 *"e p"eden o no tener "na caracter%stica com/n.

E%e&!ls,

* El con;unto de los docentes #ue están capacitándose en el


18/88

2( NOTACIÓN $E #N CON4#NTO

Los con-"ntos se nom+ran con letras ma)/sc"las 7A( B( C( ....8 ) s"s elementos conletras min/sc"las encerrados en par5ntesis.

A _ a e i o " `

7( REPRESENTACIÓN GR3/ICA

Un con-"nto se p"ede representar mediante !i"ras o es*"emas. entro de estasrepresentaciones tenemos, Los diaramas lineales( diaramas de Venn [ E"ler ) losdiaramas de Carroll.

7(1( $iagra&as Li"eales(= Es la representaci$n de dos o más con-"ntos( "tili1andosementos de recta( para representar la relaci$n de incl"si$n entre con-"ntos.

E%e&!l'

ados los con-"ntos, A _Limeos` B _0er"anos`C _Arentinos` _Bonaerenses`U _S"damericanos`

7(2( $iagra&as *e )e"" = Euler(= Son !i"ras eom5tricas simples ) cerradas( dentro delas c"ales se "+ican los elementos *"e le pertenecen al con-"nto.

E%e&!l'

ado los con-"ntos,

A + @ . @ ) @ :B 8 ) @ : @ ' @ / @ 1B y + @ . @ ) @ : @ ' @ / @ 1 @ , @ -B

7(7( $iagra&as *e LeFis Carrll(= Se "tili1an para representar con-"ntos dis-"ntos ocon-"ntos con s"s respecti&os complementos( para ello se "tili1a rectán"los oc"adrados di&ididos por sementos con la !inalidad de distin"ir dic2os con-"ntos.



19/88

9( RELACIÓN $E PERTENENCIA .∈

Es una relaci"n eDclusi$a de elemento a con;unto%

E%e&!l'

A _? _Y` _?


20/88

N-ació",n7A8 b7A8 Card7A8

E-emplos, A _4 4 ` B _ D φ _φ``

∴ n7A8 3 ∴ n7B8

( RELACIONES ENTRE CON4#NTOS

(1Relació" *e I"clusió" .⊂

.i"clusió" T-aln con;unto A está contenido en otro 89 si todos los elementos de A pertenecen a 8%

A ⊂ B ↔ ∀ x ⊂ A → x ⊂ B

GrHica&e"-e,

A⊂ 8? AF está incluido en 8F

A es subcon;unto de 8F

A está contenido en 8F

8 ⊃ A? 8 incluye a AF

8 es supercon;unto de AF 8 contiene a AF

(2C"%u"-s Iguales . os con-"ntos son i"ales( si tienen los mismos elementos.

a-e&H-ica&e"-e, A B ⇔ A⊂ B ∧ B ⊂ A

E%e&!l' A _3 3 3 `

B _3 `∴ A B

(7C"%u"-s C&!ara+lesos con-"ntos son compara+les c"ando solamente "no de ellos está incl"ido en el otro(es decir( o +ien A ⊂ B o +ien B ⊂ A

E%e&!l, A _xPx es "n mam%!ero`B _xPx es "n perro`

(9C"%u"-s $is%u"-s os con-"ntos son dis-"ntos c"ando no tienen al/n elemento en com/n.

E%e&!l,> _xPx es "n 2om+re`M _xPx es "na m"-er`∴ > ) M son dis-"ntos

(: I"clusió" Parcial Es c"ando A ) B tienen por lo menos "n elemento com/n( es decir( A ) B 2a) incl"si$n

parcial x A & x BƎ ϵ Ǝ ϵ

E%e&!l' A _( 3( ( ?`B _3( ?( Y`


1

3

62

4A B


21/88

J( CON4#NTOS NOTALES

J(1C"%u"- #"i,ersal Reere"cial .#

Es "n con-"nto *"e se "tili1a como re!erencia para el est"dio de "na sit"aci$n partic"lar(*"e contiene a todos los con-"ntos considerados. 'o existe "n con-"nto "ni&ersala+sol"to.

E%e&!l,

Sean A _a&es`B _mam%!eros`

El con-"nto "ni&ersal 7U8 para estos dos con-"ntos ser%an los animales

J(2 C"%u"- )acK Nul

Es a*"el con-"nto *"e carece de elementos ) se denota as%, _ ` φ

E%e&!l,

E _xPx es "n trián"lo de ? lados`

Nota ? El &ac%o es s"+con-"nto de todo con-"nto( ) 5stos se oriinan por contradiccionesl$icas

J(7C"%u"- #"i-ari

Es a*"el con-"nto *"e tiene "n solo elemento. E%e&!l, _ ` E _ ! ̀∴ n78 ∴ n7E8

J(9C"%u"- P-e"cia P.A

Es a*"el con-"nto !ormado por todos los s"+con-"ntos posi+les *"e posee A.

E%e&!ls,A ) @ ' @ 1B


22/88

(2I"-ersecció" .∩

A∩

B _xPx∈ A ∧ x∈B`

(7$iere"cia . M

A ] B _xPx∈ A ∧ x∉B`

(9$iere"cia Si&é-rica .

A ∆ B _xPx∈ 7A ] B8 ∨ x∈ 7B ] A8`

(:C&!le&e"- .AC A A C.A

AC _xPx∉ A`



23/88

E%e&!l *e A!licació"'ado el si"iente diarama,

>allar, A∪ B B ∩ C A ] C A ∆ B AC 7A∪ B ∪ C8

APLICACIONES PR3CTICAS

D.etermine la &erdad 7V8 o !alsedad 7#8 de las proposiciones respecto del con-"nto,

A _4 _Y` __


24/88

d8 n7A ∩ B8 e8 n7A ∪ B8

D.A "n con-"nto de -$&enes se les aplic$ "na enc"esta so+re acti&idades *"e reali1an en s"sratos de ocio. Al"nas in!ormaciones *"e se o+t"&ieron en esta enc"esta !"eron, Y3practican eporte 78


25/88

Tra%aje&os en

Equipo D.HC"áles de las si"ientes expresiones representan con-"ntosa8 Los presidentes del 0er/ desde 4D+8 Los departamentos randes del 0er/c8 Los n/meros nat"rales más randesd8 Los meses del aoe8 Las me-ores pie1as m"sicales

D3.Colo*"e &erdadero 7V8 o !also 7#8( dado el si"iente con-"nto, A _a _+ c` d`I. _+ c` ⊂ A IV. _+ c` ∈ AII. __+ c`` ⊂ A V. c ∈ AIII. _c` ∈ A VI. _c` ⊂ Aa8 VVV### +8 #V#V## c8 V###VV d8 VVVVV# e8 #VV###

D.ados con-"ntos A( B ) C tales *"e, A∪ B _D ( 3 ? allar, 7A∪C8 ] 7A∪B8W ∪ 7B∩C8 ] 7A ∩ C8Wa8 _? ( 4


26/88

Re'or(an)o $o Apren)i)o D.e "n r"po de -$&enes se sa+e *"e 4 de ellos no est"dian ni tra+a-an( D personas

est"dian ) personas est"dian ) tra+a-an. HC"ántos -$&enes reali1an s$lo "na de las dosacti&idadesa8 3 +8 N c8 D d8 4 e8 3?

D3.En "n sal$n de clase con 4 est"diantes entre &arones ) m"-eres( oc"rri$ lo si"iente,[ Y apro+aron Matemática[ 3 apro+aron Com"nicaci$n[ < apro+aron CA[ D apro+aron los c"rsos[ apro+aron s$lo Matemática[ Y apro+aron s$lo CA

[ apro+$ s$lo CA ) Matemática

HC"ántos est"diantes no apro+aron nin"no de los c"rsos mencionadosa8 +8 3 c8 ? d8 4 e8

D.e DD personas( ? no compran el prod"cto A( 4 no compran el prod"cto B ) 3N nocompran A ni B. HC"ántas personas compran s$lo "no de los dos prod"ctosa8 43 +8 ?< c8 ?N d8 N e8 ?4

D?.En "n sal$n de DD al"mnos se o+ser&a *"e ?D son m"-eres( N est"dian eora!%a ) 3son m"-eres *"e no est"dian eora!%a. HC"ántos 2om+res no est"dian eora!%aa8 +8 c8 4 d8 N e8



27/88

UNIDAD Nº 3:

SISTEAS $E N#ERACIÓN

Se denomina S' a "n con-"nto de s%m+olos 7ci!ras8 ) ciertas le)es aplicadas a dic2o con-"nto

*"e nos permiten representar "na cantidad.esde los tiempos primiti&os el 2om+re t"&o necesidad de representar cantidades de o+-etosde "so cotidiano( para ello se &ali$ de ciertos arti!icios( )a sea "tili1ando "na !orma 2asta a2ora"sada 7ta+"laci$n8 a tra&5s de ra)ados como IIII II para representar por e-emplo sieteelementos. 0ero( se sa+e *"e antes de estas representaciones )a el 2om+re primiti&o ten%aclaro el c"ce!- *e "&er "a-uralB el c"al lo lor$ a tra&5s de la crres!"*e"cia+iu"K,ca de con-"ntos e*"i&alentes por e-emplo( esta+leci$ esta correspondencia "no a "noentre los dedos de la mano ) "n con-"nto e*"i&alente !ormado por cinco piedras. odo estodem"estra *"e el concepto de n/mero es primero ) el contar es "n proceso posterior. e+ido aesto /ltimo 7el contar8 se &io en la necesidad de crear "n sistema de n"meraci$n primiti&o elc"al reali1a+a a!area&ie"- entre con-"ntos e*"i&alentes 7*"e t"&ieran el mismo n/mero deelementos8.

. CLASES $E SISTEAS $E N#ERACIÓN(

A tra&5s de la 2istoria de la 2"manidad 2an existido 3 sistemas de n"meraci$n,

1(1( Sis-e&a *e "u&eració" " !sici"al(=

Este sistema primiti&o no toma en c"enta el orden de los s%m+olos 7ci!ras8 p"es cada"na ellas tiene el mismo &alor no importando la posici$n 7orden8 *"e oc"pa( como elSistema de '"meraci$n Romano( donde por e-emplo el n/mero treinta se escri+e^^^( cada ci!ra ^ siempre &ale die1 ) por "n proceso aditi&o se s"man ) res"elta eln/mero *"e se *"iere representar.

1(2( Sis-e&a *e "u&eració" !sici"al(=

Este sistema toma en c"enta el orden 7posici$n8 *"e oc"pa cada s%m+olo 7ci!ra8donde cada "na de ellos representa "na "nidad del orden indicado en la +ase. As%(por e-emplo( en 5l n/mero de +ase die1 7decimal8 la ci!ra de tercer orden es xD3( la ci!ra de se"ndo orden es x D ) la ci!ra de primer orden es xD.

D3 D D

C")a representaci$n e*"i&ale a, 7D83 @ 7D8 @ 7D8

ASE $E #N SISTEA $E N#ERACI ÓN POSICIONAL'

Es el n/mero nat"ral n ( *"e indica la !orma de ar"par ) donde fnf "nidades de primer orden !orma "na "nidad del orden inmediato s"perior 7se"ndo orden8( l"eo fnf "nidades dese"ndo orden !ormar "na "nidad del orden inmediato s"perior 7tercer orden8 ) as%s"cesi&amente. Con&iene tener presente *"e en s" sistema de n"meraci$n posicional de +asefnf,

• n • El sistema de n"meraci$n posicional "tili1a fnf ci!ras.

En +ase decimal 7die18 "tili1a die1 ci!ras, D(( 3 .......... ( En +ase +inaria 7dos8 "tili1a dos ci!ras, D ) . En +ase *"inaria 7cinco8 "tili1a cinco ci!ras, D( ( 3( ) ?.

• fnf "nidades de "n orden !orman "na "nidad del orden inmediato s"perior.• C"ando n D 7+ase decimal8 no se indica la +ase p"es está tácita.


28/88

NOTACI ÓN POLINOICA $E #N N#ERO NAT#RAL(

Esta representado por la s"ma indicada de cada ci!ras por la +ase fnf ele&ada a "na potenciai"al al n/mero de ci!ras dismin"ida en .

a8 3 7D83

@ 37D8

@ 7D8D

7DD8 @ 37D8 @ 78 DD @ 3D @ 3

+8 ?748 7483@748 @ 748D

?7348 @ 748 @ 78 DD @ 4 @ D< 7en este caso el n/mero ?748 2a sido con&ertido en +ase decimal8

c8 D738 738 @ 7383 @ D738 @ 738 D 7


29/88

CON)ERSI ÓN $E #N NERO $E ASE $ECIAL A OTRA ASE $I/ERENTE(

Se reali1a por di&isiones s"cesi&as de el n/mero dado entre la +ase pedida 2asta o+tener "ncociente menor *"e dic2a +ase. El n"e&o n/mero se !orma( con el /ltimo cociente se"ido de losresid"os de i1*"ierda a derec2a colocándole la +ase correspondiente,

a8 Con&ertir,


30/88

E4ERCICIOS

. Con&ertir a +ase die1 7decimal8

a8 337?8 7?8 @ 37?83 @ 37?8 @ 7Y?8 @ 37Y8 @ 37?8 @

3 @ 3 @ < @ 3

+8 37N8 7N83 @ 37N8 @ 7?8 @ 37N8 @ ? @ ? @ Y?

3. Con&ertir,

a8 3< a +ase 4 7*"inaria8 3< 4

3< 4 4

78 4 4 7D8 78 738 Rpta, 3D748

+8 3< a +ase 7terniaria8 3<

78

7D8

(0) 78 Rpta, DD78

. Con&ertir,

a8 ?3748 a +ase N 97a +ase D8 7483 @ ?748 @ 3 7348 @ ?748 @ 3 N4 @ 3D @ 3 N

97a +ase N8 N N

3N N

7Y8 7Y8 78 Rpta, YY7N8

+8 3378 a +ase Y 97a +ase D8 78 @ 3783 @ 378 @ 73N8 @ 378 @ 378 @

3N @ < @ Y @ 43

97a +ase Y8 43 Y

7?8 < Y

738 78 Rpta, 3?7Y8

?. >allar el &alor de la +ase nK en,

a8 347n8 37n8 @ 4 3n @ 4 3n ] 4

3n ?n N

Lic. Luis Requejo RiveraPágina30


31/88

c8 3?7n8 3347Y8 7n83 @ 37n8 @ ? 37Y83 @ 37Y8 @ 4n3 @ 3n @ ? N3 @ 3 @ 4n3 @ 3n @ ?


32/88

Pro%$e&as Propuestos D. Responda las si"ientes pre"ntas,

a8 HC"ál es el menor n/mero de ci!ras del sistema octal+8 HC"ál es el menor n/mero de ? ci!ras di!erentes del sistema senario

c8 HC"ál es el ma)or n/mero de ? ci!ras del sistema 2eptald8 HC$mo se expresa el ma)or n/mero de ? ci!ras di!erentes del sistema nonal

D3. HC"ál de los si"ientes n"merales es ma)ora8 37?8 +8 3748 c8 DDDD738 d8 D7Y8 e8 47allar el &alor de nKa8 < +8 Y c8 ? d8 4 e8 3

D. Si, 3a.; ?.. >alle el &alor de aKa8 3 +8 c8 ? d8 4 e8 <

D. Al expresar 3?3 en +ase N se o+t"&o ana.. Calc"le la s"ma de ci!ras al expresar aaaa.: en +ase nK.a8 < +8 c8 D d8 e8 3

. HC"ántos n/meros de 3 ci!ras res"ltan ser i"al a 4 &eces la s"ma de s"s ci!rasa8 +8 3 c8 d8 ? e8 4

3. HC"ántas ci!ras tiene el n"meral en el c"al s" ci!ra de c"arto orden oc"pa el *"into l"ara8 +8 ? c8 4 d8 Y e8 N

. HC"ántos n"merales 2a) desde ?.: 2asta 4Y.a8 3D +8 3 c8 33 d8 3 e8 3?

?. Expresar la s"ma de,D?.: @ ?D4.; @ 3D.9

En el sistema *"inario. Indicar la s"ma de s"s ci!ras.a8 +8 < c8 N d8 4 e8 Y



33/88

UNIDAD Nº 4:

TEORA $E LOS NEROS

La divisibilidad es "na parte de la teor%a de los n/meros *"e anali1a las condiciones que debetener un núero !ara que sea divisible !or otro"

H= c"ándo "n n/mero es di&isi+le por otro

Se dice *"e #A$ es divisible !or #%$& si al di&idir AK entre BK la divisi'n resulta e(acta7cociente entero ) resid"o cero8.

>A@ es *i,isi+le !r >@

⇔ A B

D * → cociente entero

resid"o cero

E%e&!l'

es di&isi+le por N p"es

N

D

1( $E/INICIÓN $E $I)ISOR

Se dice *"e B es divisor de A( cuando lo divide en !orma entera ) exacta.

Es decir,

Si A B

D

onde, A es "n entero

B es "n n/mero nat"ral

es "n n/mero entero

Se lee, B es di&isor de A

A es di&isi+le por B

2( $E/INICIÓN $E LTIPLO

Se dice *"e A es últi!lo de B( cuando lo contiene "n n/mero entero ) exacto de &eces.

Es decir,Si A B

0 k

onde, A es "n entero

B es "n n/mero nat"ral es "n n/mero entero



34/88

A = B(k)

A es m/ltiplo de B.

N-ació"' A B

E4ERCICIOS

Escri+e los D primeros m/ltiplos de,4 , ,

Escri+e los di&isores de,3 , 3D ,

7( NEROS NO $I)ISILES

Sa+emos *"e "n n/mero es di&isi+le por otro c"ando la di&isi$n es entera ) exacta. 0erocuando dic)a divisi'n tiene residuo( diremos *"e el di&idendo es últi!lo del divisor *s el residuo"

E%e&!l'? N ⇒ ? 7 7Y8 @

Y

? 7 @

? N ⇒ ? N7N8 [ Y Y N

?

7 [ Y

E%e&!l'

838

545

636

E4ERCICIOS $E APLICACIÓN

. el al 3DD. HC"ántos n/meros son 12

a8 N +8 < c8 4 d8 ? e8 Y

3. el 3?D al 4DD. HC"ántos n/meros son

15 a8


35/88

4. HC"ántos m/ltiplos de


36/88

Un n"meral es di&isi+le entre N si al &ul-i!licar a ca*a u"a *e sus ciras *e *erecUa aiVWuier*a !r 1B 7B 2B =1B =7B =2B 1B 7B X D lueg eec-uar su su&a alge+raica resul-a*i,isi+le e"-re (

7gfedcba =

@ [ @⇔ a ] 3+ ] c ] d @ 3e @ ! @ 7

E%e&!l'

HC"ál es el &alor de aK si el n"meral 372a13 es di&isi+le por N


. Calc"lar aK en, 913aa4 a8 3 +8 4 c8 d8 ? e8 Y

3. >allar a @ + si se c"mple *"e,

55b312a8a1 =

a8 Y +8 N c8 < d8 e8 D

. etermina el &alor de la ci!ra xK si el n/mero 8x6x2 es di&isi+le entre .a8 3 +8 c8 ? d8 Y e8 <

?. Calc"lar + [ aK si el n/mero bab4a4 es di&isi+le entre Y.a8 +8 3 c8 d8 ? e8 4

4. Calc"lar 7a @ +8 si, 45aba23a

a8 4 +8 3 c8 D d8 e8 <

Y. Calc"lar xK si x45x24 es m/ltiplo de N3.a8 3 +8 c8 ? d8 < e8 Y

N. Calc"lar 7n @ a @ p8 en,

[ 9274

[ 115a1a

[

8!!343

a8 D +8 c8 3 d8 e8 ?

NIO CON LTIPLO 5 38IO CON $I)ISOR

NIO CON $I)ISOR .(C($(


33


37/88

Es el ma)or de los di&isores com"nes de &arios n/meros. am+i5n se le conoce con el nom+re de0rodi&isor.

E%&'Sean los n/meros ?4 ) N4

i&isores?4 , 4 4 ?4N4 , 4 4 34 N4

M.C.. 7?4( N48 4.

NOTA' Los di&isores com"nes de &arios n/meros son los di&isores de s" M.C..

NIO CON LTIPLO .(C((

Se llama as% al menor de los m/ltiplos com"nes de &arios n/meros. Se les llama tam+i5n 0rom/ltiplo.

E%&' Sean los n/meros < ) 3.M/ltiplos positi&os.

< ,


38/88

1( Un e+anista *"iere cortar "na planc2a de madera de 34Y cm de laro ) Y cm de anc2o( enc"adrados lo más randes posi+le.a8 HC"ál de+e ser la lonit"d del lado de cada c"adrado+8 HC"ántos c"adrados se o+tienen de la planc2a de madera

a8 3 ) 3? +8 D ) 3Y c8 3? ) 3? c8 3 ) 3 e8 3 ) ?<

2( Se desea alicatar "na pared de DDcm de anc2o por 3DD cm de alto. He *"5 medida serán las+aldosas para rellenar la pared sin romper nin"na +aldosa.a8 DD +8 D3 c8 D? d8 D e8 DDD

7( Un !aro se enciende cada 3 se"ndos( otro cada < se"ndos ) "n tercero cada min"to. A las Y.Dde la tarde los tres coinciden. A&eri"a las &eces *"e &ol&erán a coincidir en los cinco min"tossi"ientes.

9( Un &ia-ero &a a Barcelona cada < d%as ) otro cada 3? d%as. >o) 2an estado los dos en Barcelona.Hentro de c"antos d%as &ol&erán a estar los dos a la &e1 en Barcelona

:( En "na +odea 2a) toneles de &ino( c")as capacidades son, 34D litros( YD litros( ) 4?D litros. S"contenido se *"iere en&asar en cierto n/mero de arra!as i"ales. Calc"lar las capacidades

máximas de estas arra!as para *"e en ellas se p"eden en&asar el &ino contenido en cada "no delos toneles( ) el n/mero de arra!as *"e se necesitan.

;( Fa+riel tiene 34D !ic2as i"ales de !orma c"adrada. Las -"nta ) acomoda de manera *"e !ormen "nc"adrado *"e contiene la ma)or cantidad de !ic2as posi+les. HC"ántas !ic2as 2a) en total en los+ordes de dic2o c"adrado

( Con mis li+ros se p"eden !ormar lotes de ?( Y ) li+ros sin *"e so+re ni !alte nin"no( si el n/merode li+ros *"e teno esta comprendido entre ?DD a ?4D.HC"ántos li+ros teno

J( eseamos partir dos c"erdas de 3D m ) D m en tro1os i"ales lo más randes *"e sea posi+le sindesperdiciar nin/n ca+o. HC"ánto medirá cada tro1o

( En "n sal$n de 4D est"diantes se o+ser&a *"e la s5ptima parte de las m"-eres son r"+ias ) la &a.parte de los 2om+res "san lentes. HC"ántos 2om+res no "san lentes

10( e "n r"po de DD personas *"e se encontra+an en "na aencia de &ia-e( los 3P4 de los *"e&ia-a+an al norte )a no i+an a reresar ) los P de los *"e &ia-a+an al s"r( lo 2ac%an por primera&e1. HC"ántos pasa-eros más i+an al norte respecto de a*"ellos *"e &ia-a+an 2acia el s"r

11( etermine el m%nimo &ol"men *"e de+e tener "na ca-a c/+ica para empa*"etar los -a+ones c")asdimensiones son, 3cm x < cm x 4 cm( sin *"e so+re espacio.

12( Mar%a tiene "n cord$n de 3 metros de laro ) decora el +orde de dos c"adros rectan"lares. Si losper%metros de dic2os c"adros son < cm ) 3D cm( Hc"ántos c"adros pe*"eos más podr%a decorar con el resto del cord$n

UNIDAD Nº :



39/88

/RACCIONES 5 PORCENTA4ES

¿Q#6 ES #NA /RACCIÓN?Es a*"el n/mero *"e está constit"ido por "na o más partes de la "nidad. 0or e-emplo si di&idimos a "na "nidad

7"na naran-a8 en cierto n"mero de partes i"ales( cada "na de estas partes es "na !racci$nK.

N-ació"'%

a* =

º

ba

Z b ya

≠

∈ +

%

a* =

E-emplo,

CLASI/ICACIÓN $E LAS /RACCIONES'

I( POR LA COPARACIÓN $E S# )ALOR RESPECTO $E LA #NI$A$

/racció" !r!ia,

Son a*"ellas en las *"e el n"merador es menor *"e el denominador por lo tanto son menores *"e la"nidad, 0or e-emplo,

/racció" i&!r!ia'

Son a*"ellas en *"e el n"merador es ma)or *"e el denominador por lo tanto son ma)ores *"e la "nidad.0or e-emplo


$e"&i"a*r Nu&era*r

5Indica cuantas de esas partesse toman6

5Indica el n>mero de partes en#ue se di$ide la unidad6

+7

>


40/88

NOTA'

e las !racciones impropias se deri&an los n/meros mixtos.

II( POR LA RAÓN $E IG#AL$A$ O $ESIG#AL$A$ ENTRE S#S $ENOINA$ORES

/racci"es U&gé"eas'

Son a*"ellas donde los denominadores son i"ales. E-emplo. P4 3P4 YP4

/racci"es Ue-ergé"eas'

Son a*"ellas donde los denominadores son di!erentes. E-emplo. P P3( 3P4.

III( /RACCIONES EQ#I)ALENTES

os !racciones son e*"i&alentes c"ando representan la misma cantidad. C"ando al m"ltiplicarlas en cr"1se o+tiene el mismo res"ltado.

0ara o+tener !racciones e*"i&alentes de+emos de m"ltiplicar al n"merador ) el denominador por "nmismo n/mero.

E-emplo, Sea la !racci$n irred"cti+le P3

+

-

6

/racci"es Irre*uc-i+les(= C"ando el n"merador ) el denominador son primos entre si. E-. 3P(4PY(P?.

I)( POR S# $ENOINA$OR

/racció" r*i"aria'

Es c"ando el denominador es di!erente de "na potencia de D.C"atro no&enos ?P de naran-aSiete docea&os NP3 de man1ana.



41/88


42/88

/ , 6 6 6 . . .

/ , + + . . .

/ , 7 / 7 / . . .

* r a c c i 0 n1 e c i & a $

p e r i 0 ) i c o p u r o 8

+ 9 9

+ 9 7

/ , 6

/ , +

/ , 7 /

Decimal periódico mixto

Es aque$ cu5o perío)o e&pie(a $uego )e una ci'ra o un grupo )e ci'ras )espus )e $aco&a )eci&a$; a esta ci'ra o grupo )e ci'ras $a $$a&a&os PARTE 1=?A.

Eje&p$o:

/ , @ . . .

/ , . . .

/ , + 7 - - - - . . .

* r a c c i 0 n

6

7 /

+ 7 79 9 / /

/ , @

/ ,

/ , + 7 -


. >alle la !racci$n e*"i&alente a P ?3 tal *"e la s"ma de s"s t5rminos sea ND.

Resol"ci$n.

+-/

./

+/A+-

+/A.' Luego

+/B+7/+-B.B)ato por

B+-

B.'

+-

.

-,

9

eq

eq

==

=⇒=+

=

≡

3. Indi*"e la !racci$n de !racci$n *"e indica la !racci$n som+reada.



43/88

. Se m"estra "n c"adrado en el *"e cada di&isi$n enera partes i"ales. Seale en !orma de !racci$n( cada"na de las secciones indicadas.

La rei$n es j de j de j del total. Esto es,

La rei$n C es P? de P? del total. Esto es,

XXXXXXXXXXXXXX.La rei$n B es P3 de P? del total. Esto es,

XXXXXXXXXXXXXXXXX.La rei$n A es XXXXXXXXXXX esto es, XXXXXXXXXX

?. >emos partido "na +arra de 2elado 7>8 con!eccionada de c2ocolate 7c8 ) de lec2e 7L8 en partes i"ales7Relaci$n parte todo8

0odemos 2acernos las si"ientes pre"ntas. HQ"5 parte del 2elado representa la porci$n de lec2e

HQ"5 parte de > es L

El c2ocolate HQ"5 porci$n es respecto del 2elado

HQ"5 !racci$n es el c2ocolate respecto de la porci$n de lec2e

HQ"5 !racci$n respecto del c2ocolate representa la parte *"e es lec2e

El 2elado HQ"5 !racci$n representa respecto de la porci$n de lec2e

HQ"5 !racci$n del c2ocolate es el 2elado

4. Contestar las si"ientes pre"ntas, HQ"5 parte de 3N es XXXXXXXX

HQ"5 !racci$n de + es c XXXXXXXX

HM representa *"e !racci$n de ' XXXXXXXXXXXX

HQ *"5 !racci$n representa respecto de 0.. . . . . . . . . . . . . . . .

HQ"5 !racci$n es 3? respecto de YD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HQ"5 !racci$n es a respecto de + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HQ"5 !racci$n es + respecto de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


C: 3 pa!"# $%&a'"#: 4 pa!"# $%&a'"#

A

$B

C


44/88

HQ"5 parte representa de

En "na re"ni$n 2a) 3D personas de las c"ales


45/88

OPERACIONES CON /RACCIONESOPERACIONES CON /RACCIONES

Su&a D Res-a *e /racci"es *e Igual $e"&i"a*r(= Se de+e de s"mar o restar los n"meradores )

de-ar el mismo denominador.

Su&a D Res-a *e /racci"es *e $is-i"- $e"&i"a*r(= Se de+e encontrar !racciones e*"i&alentes

*"e tenan i"al denominador ) l"eo reali1ar la operaci$n.

a*+$,- ' p&"/"# a" a#:

+,

7

8-.

8+.8-+

-

+

.

+=

+=+



46/88

ul-i!licació" *e /racci"es(= Se de+en de m"ltiplicar los n"meradores entre s% ) los denominadores

entre s%.

$i,isió" *e /racci"es(= 0ara di&idir dos !racciones( se m"ltiplican por la in&ersa de la se"nda !racci$n

A*e&Hs'

/racció" *e u" N&er(

Si&!liicació" *e /racci"es(= Es di&idir el n"merador ) el denominador por "n !actor com/n a am+os(

o+teniendo "na !racci$n e*"i&alente.




47/88


48/88

REGLA $EL TANTO POR CIENTO

CONCEPTO

Son las cent5simas partes tomadas de "n n/mero.

E%e&!l'

3D x 4 1""

2" x 4

3D cent5simos tomados de 4.

?D x 3D 1""

4" x ND

?D cent5simos tomados de ND.

CASOS 3SICOS

>allar el 3D de DD.



49/88

El 3D de *"e n/mero es D.

HQ"5 porcenta-e de DD es YD

OPERACIONES CON PORCENTA4ES

A$ICIÓN 5 S#STRACCIÓN

Solo se p"ede s"mar o restar porcenta-es( siempre ) c"ando los n/meros sean i"ales.

E%e&!l'

DA @ NDA


50/88

Reslució"Reslució"

A *"e /nico desc"ento e*"i&alen dos desc"entos s"cesi&os del D ) ?D.Reslució"Reslució"


. HQ"5 porcenta-e de D(Y es D(DDN3a8 +8 4 c8 3 d8


51/88


52/88

Se compro "n nintendo en SP. YDD ) l"eo se &endi$ perdiendo el N4 del precio de &enta. HEnc"ánto se &endi$

Reslució"Reslució"

RESOL)EOS

01( Un &endedor recara el precio de s"s art%c"los en el 34 de s" precio de costo. HQ"5 desc"entode+er%a 2acer para no anar ni perder 7#"ente, Examen censal8 A8 3 B8


53/88

;( os art%c"los se &endieron a SP.


54/88

UNIDAD Nº 06:

PROPORCIONALI$A$RAONES 5 PROPORCIONES'

Al res"ltado de comparar dos cantidades se llama RAN ( *"e son de dos clases,

8. Ra5'n ARIT67TI8A o por I#ERE'CIA.38. Ra5'n 9EO67TRI8A o por COCIE'E.

1( A RAN ARIT67TI8A de dos cantidades es la DI;EREN8IA entre ellas"

E-emplo,La ra1$n aritm5tica entre el costo por min"to de llamar a cel"lar respecto a llamar a tel5!ono !i-o esde sP. D(?D ,

sP. D(YD [ sP. D(3D sP. D(?D

2( A RAN 9EO67TRI8A de dos cantidades es el 8O8IENTE entre ellas

E-emplo,La ra1$n eom5trica o el cociente entre el costo por min"to de llamar a cel"lar 7sP. D(YD 8 respecto allamar a tel5!ono 7sP. D(3D 8 !i-o es tres,

sP. D(YD Y sP. D(3D

PROPORCIONALI$A$

Veamos dos casos para !amiliari1arnos con el tema,

PRIER CASO' Si l"eo de "n partido de !/t+ol( todos los +arristas decidimos re!rescarnos con 2elados7o 2eladasK( a "sto del cliente8( tenemos *"e considerar n"estro pres"p"esto o dineroK en proporci$na la cantidad de )eladosK *"e deseamos ad*"irir( entre otros aspectos.

C&!ara&s' Dinero y )elados:6*s 2elados c"estan *s dinero.

6enos 2elados c"estan enos dinero.

IPORTANTE'

A 6RO>OR8IONAE=

Lic. Luis Requejo Rivera Página54


55/88

SEG#N$O CASO' La maestra Juanita tiene una bolsa de d"lces para repartir a un grupo de niños quevan de paseo. La cantidad que reciba cada uno depende de cuantos niños son:

6*s d"lces para enos nios.6enos d"lces para *s nios.

IPORTANTE'

A 6


56/88

PROPORCIONALI$A$ $IRECTA'

os manit"des o &aria+les ( e , son directaente !ro!orcionales si su ra5'n ,B( es constante.

ic2o de otra manera si "na de las &aria+les au&e"-a .( la otra tam+i5n au&e"-a .D ) si "na de las&aria+les *is&i"uDe .B la -ra -a&+ié" *is&i"uDe .D(

E%e&!ls

[ Cs- de "na mercader%a ) ca"-i*a* de la misma.

[ Suel* de "n o+rero ) -ie&! *e su -ra+a%.

[ Tie&! empleado ) -ra+a% realiVa*.

[ N&er *e +rers ) -ra+a% realiVa*.

[ Pes de c"erpos del mismo material ) ,lu&e" oc"pado por los mismos.

[ $is-a"cia recorrida por "n m$&il ) -ie&! empleado

[ El !reci de "na pie1a de tela es directamente proporcional a s" cali*a*B l"gi-u* D a"cU.

PROPORCIONALI$A$ IN)ERSA

os manit"des o &aria+les ( e , son inversaente !ro!orcionales si su !roducto (", esconstante. ic2o de otra manera si u"a *e las ,aria+les au&e"-a .B la -ra *is&i"uDe .D D siu"a *e las ,aria+les *is&i"uDe .B la -ra au&e"-a .D(

E%e&!ls

[ El "&er *e +rers ) el -ie&! necesario para 2acer "na o+ra.

[ Los *Kas *el -ra+a% ) las Uras *iarias *"e se tra+a-an.

[ Larg ) a"cU de rectán"los de i"al área.

[ )elci*a* de "n m$&il ) -ie&! necesario para recorrer "na distancia.



57/88

RESOL)EOS

01( El administrador del 0ar*"e de las Le)endas estima *"e por cada ? personas *"e &isitan el par*"e(

son nios ) el resto ad"ltos. Si Y3DD personas &isitaron el 0ar*"e de las Le)endas el /ltimo !in desemana( Hc"ántas de estas personas !"eron ad"ltos 7#"ente, exámenes ME a docentes8 A8 44D B8 ?Y4D C8 DD 8 DDD

2( En cierto e&ento acad5mico por cada 4 &arones 2a) m"-eres. Si en total 2a) Y< asistentesHc"ántas m"-eres están presentes en el e&ento

a8 D4 +8 Y c8 N4 d8 Y< e8 DD

7( En "na panader%a se sa+e *"e de cada 4D panes *"e se ela+oran D no son interales. Si el d%al"nes se ela+or$ ?DD panes( Hc"ántos de estos panes !"eron interales A8 3?D B8 YD C8 3DD 8 DD

9( La ra1$n entre el n/mero de &eces *"e Carla 2a desa)"nado ) almor1ado en "n resta"rante es 4P?.Se sa+e *"e la di!erencia entre el n/mero de &eces *"e reali1a "na acti&idad ) la otra es D( ) *"eel costo de cada desa)"no ) alm"er1o es ? ) 4 soles respecti&amente. HC"ánto ast$ en total Carla7#"ente, exámenes ME a docentes8 A8 SP. DD B8 SP. 3DD C8 SP. ?DD 8 SP. 3D

:( 0or cada 3 +orradores *"e "n pro!esor compr$( le realaron "n +orrador más. Si reci+i$ D+orradores en total( Hc"ántos +orradores le realarona8 +8 3 c8 D d8 e8 3D

;( 0or cada N est"diantes de "na esc"ela son &arones. HC"ántos de los Y


58/88

REGLA $E TRES

REGLA $E TRES SIPLE $IRECTA

=e utili5a cuando dos anitudes son directaente !ro!orcionales entre s-"

ECe!lo 1, Si 3 polos c"estan SP. N3( Hc"ál será el precio de 3D polos

RE9A DE TRE= =I6>E IN@ER=A

=e utili5a cuando dos anitudes son inversaente !ro!orcionales entre s-"

ECe!lo 2 , Si Y o+reros tardan 3 d%as en reali1ar "n tra+a-o( Hc"ánto tardarán < o+reros

E%e&!l 7( Un inspector reci+e como pao 3 4DD soles por 2a+er &isitado al"nos Instit"tos 0artic"lares

I'SIUCIZ'

CA'IA

RECIBIA 0ORVISIA 7SP.8

Uni&ersidad 'acional 4DUni&ersidad 0artic"lar N4Instit"to 'acional DDInstit"to 0artic"lar 34

eterminar el n/mero de d%as *"e t"&o *"e tra+a-ar dic2o inspector( si se sa+e *"e cada tres d%aslora &isitar 4 Instit"tos 0artic"lares. 7#"ente, exámenes ME a docentes8

A8 3D B8 3 C8 ? 8 34




59/88

1( Una empresa period%stica tiene por norma *"e de cada ? páinas *"e editan( sean páinas nodeporti&as. Si la edici$n del domino tiene YD páinas( Hc"ántas como máximo p"eden dedicarse adeportes 7#"ente, exámenes ME a docentes8 A.4 B. ?4 C. ?D . 3D

3. Los c"adros m"estran los tipos de cam+io del d$lar en oct"+re < ) en diciem+re del 3DDY.7#"ente, exámenes ME a docentes8

Compra, SP. 3(D

Venta, SP. 3(3

#ec2a, 3DPDP<

Compra, SP. (D

.Venta, SP. (

#ec2a, 3DP3PDY

Con D soles( Hc"antos d$lares más 2"+ieras comprado en oct"+re de < *"e en diciem+re del3DDY A. DD B. Y4 C. 4D . ND

7( La si"iente !i"ra está !ormada por dos c"adrados *"e se intersecan. Cada "no de ellos tiene Ycm. de lado. Si los( p"ntos 0 ) Q son p"ntos medios de los lados( Hc"ál es el área de la( rei$nsom+reada

A8 N3 m3

B8 Y m3

C8 4? m3

8 ?4 m3

?. Un anadero tiene Y o&e-as ) alimento para ellas por el t5rmino de 3< d%as. Con 3D o&e-as más( sin

dismin"ir la raci$n diaria ) sin arear !orra-e( Hd"rante c"ántos d%as podrá alimentarlas A8 3? B8 < C8 D 8 ?< E8 3

RE9A DE TRE= 8O6>UE=TA

=e utili5a cuando alunas de las anitudes son directaente !ro!orcionales , otrasinversaente !ro!orcionales entre s-"

RESOL)EOS

1, En 3? d%as( 4 o+reros 2an 2ec2o la c"arta parte de "na o+ra *"e les !"e encomendada( por s" lentoa&ance !"eron despedidos. HC"ántos d%as emplearán otra c"adrilla de D o+reros do+lemente2á+iles en terminar la o+raRpta, XXXXXXXXXXX..

02( Un empresario de Famarra o+ser&a *"e s"s 3 operarias esta+les con!eccionan 3 a+rios en 3Dd%as( tra+a-ando < 2oras diarias. 0ara c"mplir "n pedido de emerencia adicional de 3ND a+rioscontrata a < operarias i"almente e!icientes por 34 d%as. HC"ántas 2oras diarias de+erán tra+a-ar las contratadas para c"mplir con el contrato

A8 4 B8 Y C8 N 8


60/88

a8 3 +8 D c8 3(? d8 Y e8 <

D?. Un +arco lle&a &%&eres para 33 d%as ) trip"lantes pero 5stos no son más *"e . HC"ántos d%asp"ede d"rar la na&eaci$n

a8 33 +8 3 c8 3 d8 34 e8 3Y

PROLEAS SORE PROPORCIONALI$A$B REGLA $E TRES 5 PORCENTA4E

. En cierta ci"dad( por sandalias dan 3 1apatos( por $ 1apatos dan 1apatillas( por 3 1apatillasdan < +otas( ) 4 +otas c"estan 4D. HC"ánto teno *"e astar para ad*"irir 4 sandalias

sandalias 3 1apatos? 1apatos 1apatillas3 1apatillas < +otas4 +otas 4D soles^ soles 4 sandalias

x ? x 3 x 4 x ^ 3 x x < x4D x 4 N3D^ YDDD

^ 4D

3. Un r"po de expedicionarios de 3D personas tiene pro&isiones para 33 d%as. Al ca+o de 3 d%as sele "ne otro r"po de $% expedicionarios( sin pro&isiones. H0ara c"ántos d%as d"raran las pro&isionescon el n"e&o r"po

3Dp 3D d%as ^ 3D x 3D ^ 4 d%asYDp ̂ YD

. Se contrata a D o+reros para *"e constrian "na o+ra en $& d%as. Al ca+o de < d%as. el capata1reci+e "na c"adrilla adicional( ) la o+ra es terminada en los si"ientes < d%as. HC"ántos o+reros

n%as reci+i$ el capata1

D o+reros 3N d%as ^ D x 3N ^ 4 o+reros ^ o+reros < d%as <

Rpta, ?4 o+reros más

?. Un tra+a-ador( *"e esta+a contratado para tra+a-ar Y d%as( tiene la oport"nidad de capacitarse.Esta noticia arada a s" -e!e( *"ien permite salir "na 2ora antes cada d%a a cam+io de *"e tra+a-e d%as más. H0or c"ántas 2oras diarias !"e contratado el tra+a-ador talmente

^ d%as Yd ^ 7^[8 ?4 Y^ ?4^ ] ?4^[ d%as ?4d Y ?4 ^

^ 4

4. Un comerciante compra $& casacas a SP.?D cada "na d"rante el mes de no&iem+re. En el si"ientemes. por 'a&idad( le 2acen "n desc"ento de manera *"e de ellas c"estan SP.D


61/88

3 naran-as peras4 peras ? plátanos plátano D.D soles^ soles man1ana

N x 3 x 4 x x ^ 4 x x ? x D( x 3D ̂ Y ^ D(

N. En "n p"e+lo( el cam+io monetario es el si"iente, < pesos por 4 d$lares( D d$lares por soles( Ysoles por ? e"ros. HC"ántos pesos ) *"e paar por 3 e"ros

< pesos 4 d$laresD d$lares solesY soles ? e"ros3 e"ros ^ pesos YD YD^

Y ^


62/88

. Un o+rero pinta "na pared de YDm3 en ? 2oras HC"ántas 2oras tardará en pintar( en las mismascondiciones "na pared de 3Dm3

YDm3 ?2 ^ 3Dx? ^ ?2.3Dm3 ̂2 YD

?. La e!iciencia de dos carpinteros es como 4 es a 34. C"ando el primero prepara 34D sillas. HC"ántassillas 2a+rá preparado el se"ndo

4 34D ^ 34x34D ^ Y34D 34D sillas34 ^ 4 4

4. Un ciclista recorre "n tra)ecto en < min"tos. HC"ánto tardar%a en recorrer el mismo tra)ecto sid"plica s" &elocidad

S"ponamos *"e &an a DmP2

D mP2 < min. ^


63/88

3. Se reali1a "na exc"rsi$n al desierto en la c"al se inscri+en 4DD personas( ) se lle&an &%&eres paraN3 d%as HC"ántas personas no podrán &ia-ar si se desea *"e la exc"rsi$n d"re < d%as máscons"miendo la misma cantidad de raciones

4DDp N3 d%as ^ 4DDxN3 ?DD personas ^p D d%as D

Rpta, DD personas33. Si ??? al"mnos res"el&en ??? pro+lemas en ?? se"ndos( entonces Hen c"ánto tiempo D al"mnos

resol&ieran 3D pro+lemas

??? al"mnos ??? pro+lemas ?? se. D al"mnos 3D pro+lemas ^

^ 3Dx??x???


64/88

N3+ot ̂ <

D. Una "arnici$n de 3 DD 2om+res tienen &%&eres para Y meses. Si se desea *"e los &%&eres d"renD d%as más HC"antos 2om+res de+erán retirarse de la "arnici$n

3DD 2om+res Ym ^ 3DDxY


65/88

N. Este+an ) #a+iola parten sim"ltáneamente al enc"entro "no del otro. Este+an se despla1a 4D m. en"n min"to( mientras *"e #a+iola lo 2ace a ra1$n de D m. por cada min"to. HC"ánto tiempodemorarán en encontrarse.( á están separados "na distancia de YDD m.

min


66/88

Rpta, N3

?4. Un padre promete a s"s 2i-os de-arles en 2erencia SP. NY DDD a cada "no. 'o o+stante "no de los2i-os ren"ncia a la 2erencia( as% *"e los 2i-os restantes reci+en SP. 4 DDD cada "no. HC"ántos 2i-os

reci+ieron el dinero

^ 2i-os NYDDD 4DDD^ NYDDD^ ] NYDDD 7^[8 2i-os 4DDD ^ ?2i-os

?Y. Un n/mero se di&ide entre 4. el cociente o+tenido se dismin")e en . al res"ltado se le m"ltiplicapor ?. ) al prod"cto se le area "na "nidad( para posteriormente extraerle la ra%1 c"adrada. Si seo+tiene . HC"ál es el c"adrado del n/mero

111315

4 =+

−

x 22

111234

4 =

− x

1111245

4

=

+−

x121123

5

4

=−

x

111235

4=−

x244

5

4=

x

305= x

Rpta, D43 D34

?N. Un padre *"iere repartir


67/88

UNIDAD Nº 07:

ESTA$ISTICA ASICA

INTRO$#CCIÓNLa e&ol"ci$n ) desarrollo de la estad%stica en el m"ndo act"al constit")en "n &alioso instr"mento de

decisi$n en todas las sit"aciones de la &ida. E-emplos,9 El narrador deporti&o comenta las estad%sticasde "n certamen atl5tico.

9 C"ando pre"ntas, H>as &isto las /ltimas estad%sticas acerca del empleo

¿Q#6 ES LA ESTA$STICALa estad%stica es "na ciencia *"e proporciona "n con-"nto de m5todos *"e se "tili1an para recolectar(res"mir( clasi!icar( anali1ar e interpretar el comportamiento de los datosK con respecto a "nacaracter%stica materia de est"dio o in&estiaci$n.

$I)ISION $E LA ESTA$STICA

.ESTA$ISTICA $ESCRIPTI)A.[ Es el con-"nto de m5todos *"e implican la recolecci$n( presentaci$n )caracteri1aci$n de "n con-"nto de datos a !in de descri+ir en !orma apropiada las di&ersascaracter%sticas de 5stas.

3.ESTA$ISTICA IN/ERENCIAL.[ Es el con-"nto de m5todos o t5cnicas *"e posi+ilitan la enerali1aci$no toma de las decisiones so+re la +ase de "na in!ormaci$n o+tenida mediante t5cnicas descripti&as.

T6RINOS 3SICOS

1( POLACIÓN .N.[ Es la colecci$n de todos los indi&id"os( o+-etos " o+ser&aciones *"e poseen almenos "na caracter%stica com/n.0"ede ser po+laci$n !inita o in!inita.

2( #ESTRA ."([ Es "n s"+con-"nto representati&o de la po+laci$n. El proceso de o+tener la m"estrase llama m"estreo.

7( PAR3ETRO(= Es "na medida res"men *"e descri+e "na caracter%stica de toda la po+laci$n.



68/88

9( ESTA$STICO ó ESTA$GRA/O.[ Es "na medida de res"men *"e descri+e "na caracter%stica dela m"estra.

:( $ATO([ Es el &alor *"e ad*"iere la &aria+le en cada "nidad de análisis.

;( )ARIALE.[ Es la caracter%stica de la po+laci$n 7o m"estra8 *"e se &a a in&estiar ) es s"scepti+le demedici$n $ cateori1aci$n. odas las &aria+les tienen "na escala de reistro.

LAS )ARIALES SEGN S# NAT#RALEA SE CLASI/ICAN EN'

1( )aria+le cuali-a-i,a, Es "na caracter%stica no Medi+le. Indica "na c"alidad. Se clasi!ican en,

9 )aria+le cuali-a-i,a N&i"al 7no indican orden8. E-m. sexo( nacionalidad. 9 )aria+le cuali-a-i,a Or*i"al 7ordena+les8. E-ms. Estado ci&il( rado de instr"cci$n( etc.

2( )aria+le cua"-i-a-i,a' Es "na caracter%stica medi+le. Se clasi!ican en,

9)aria+le cua"-i-a-i,a $iscre-a 7toman &alores enteros8 E-m. '/mero de 2i-os( etc.9)aria+le cua"-i-a-i,a C"-K"ua 7p"eden tomar( c"al*"ier &alor dentro de "n inter&alo8. E-ms.Salario( edad( peso( talla.

TI>O= DE 6UE=TRA= e "na po+laci$n '( "na m"estra es,

8 N !r+a+ilKs-ica( C"ando los elementos se seleccionan intencionadamente.38 Pr+a+ilKs-ica. C"ando los elementos se seleccionan aleatoriamente.

6TO$OS PARA RECOLECTAR $ATOS

.[ Recurrir a ue"-es *e i"r&ació", "+ernamentales( ind"striales $ partic"lares.3.[ E"cues-as, Recolecci$n ocasional.[ Ce"ss' Recolecci$n peri$dica?.[ Ls regis-rs, recolecci$n contin"a. = otros.

ORGANIACIÓN $E LOS $ATOS

C"ando se reali1a la recopilaci$n de in!ormaci$n se o+tiene "na ran cantidad de datos( los *"e de+enser clasi!icados de ac"erdo a criterios con&enientes( *"e permitan &er rápidamente todas lascaracter%sticas posi+les para o+tener concl"siones /tiles )a sea directamente o por cálc"los posteriores

C#A$ROS ESTA$STICOS

0resenta en !orma clara la in!ormaci$n recolectada( son de !ácil lect"ra( comparaci$n e interpretaci$nde todos los datos o+tenidos.

Z odo c"adro estad%stico de+e tener,a8 '/mero de c"adro.+8 %t"lo del c"adro.c8 Enca+e1amientod8 C"erpo del c"adroe8 #"ente.

E%e&!l 1'



69/88

c)

a Ta+la N[ 1(1

Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n( 3DDY[3DDN

/AC#LTA$ES AOS

3DDY 3DDNEd"caci$n 3D 4D Administraci$n


70/88

a GR3/ICO $E ARRAS LTIPLES E-emplo.

GrHic N[ 1(1 Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la

U. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY[3DDN

#"ente, C"adro 'o. .

+ GR3/ICO $E ARRAS APILONA$AS

E-emplo.GrHic N[ 1(2

Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de laU. '. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY[3DDN

#"ente, C"adro 'o. .

2( GRA/ICO $E SECTOR O PASTELGrHic N[ 1(7

Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U.'. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY [ 3DDN

7( GRA/ICOS I8TOS 0"eden ser de!inidos por el in&estiador. E-emplo, e L%neas ) +arras,

GrHic N[ 1(9 Al"mnos matric"lados por #ac"ltades de la U.'. Jos5 #. Sánc2e1 Carri$n. 3DDY [ 3DDN



71/88

ISTOGRAAS ni

? ? 3 D D<

DY 3 D? D3

D D ? < 3 Y 3D cali!icaciones

OTROS GR3/ICOS'

0ol%onos de !rec"encias( O-i&as( reas( B"r+"-as( ispersi$n de p"ntos( 0irámide. 0ictoramas(Cartoramas( etc.

E$I$AS $E RES#EN

Son indicadores *"e descri+en "n 2ec2o o sit"aci$n permitiendo s" análisis ) explicaci$n en !ormainmediata por lo tanto( en l"ar de comparar dos ta+las de !rec"encia $ dos rá!icas de dossit"aciones di!erentes( s$lo +astará comparar los estad%ra!os de am+as distri+"ciones.

I(= ESTA$GRA/OS $E TEN$ENCIA CENTRAL

1(= LA E$IA ARITETICA . x ' Indica el promedio de la s"matoria de todos los datos.

n

x f

X

k

ii

p

∑1=$ =

*&"#!a :

a+#'&!a"&"$a:

$!"a'/"&*":k

'a#"/"*aa:

$

i x

2(= LA E$IANA .e' $i&ide al total de las o+ser&aciones( de+idamente ordenados( en dos partes dei"al tamao.

7(= LA O$A .' Indica el &alor de la &aria+le de ma)or !rec"encia en "n determinado est"dio.

E4EPLOS'

1(= Las cali!icaciones de "na al"mna en el c"rso de L$ico[Matemático son, ( D( ?( D< ) 3. >alla

la nota Media( la nota Mediana ) la nota Moda Slució"



72/88

2(= Las edades de "n r"po de nios de "na a"la son, DN( D( 3( DN( D( D( DN. >alle la edad0romedio( la edad Mediana ) la edad Moda

Slució"

7(= Si las notas de "n est"diante en el c"rso de Matemática son, 0ED< con "n peso de 03con "n peso de 3 ) IO 3 con "n peso de . >alla la nota x p

Slució"'

PROPIE$A$ $E LA E$IA ARIT6TICASi 21 yn son m"estras de "na po+laci$n ) x1 2 y x son s"s medias aritm5ticas(

entonces, x = x

-

2

2

x n n

n

1 1 2

1

E4EPLO' Si "na secci$n AK de ?D al"mnos tiene x A D ) la secci$n BK de D al"mnos tienex B N. >alle x del total de al"mnos.

Slució" n ?D al"mnosx aos

n3 D al"mnosx3 N aos

E4EPLOS RES#ELTOS

Cálc"lo de ( Me ) Mo,

. En "na pr"e+a de salto de lonit"d( los 33 al"mnos de "na clase 2an o+tenido los si"ientesres"ltados aproximados,ND cm ] YD cm ] 4D cm ] ND cm ] YD cm ] YD cm ] ND cm ] 4D cm ] D cm ] YD cm ]ND cm ]


73/88

4D [ 4D [ YD [ YD [ YD [YD [ YD [ YD [ ND [ ND [ ND [ ND [ ND [


74/88

a8 Constr")e "na ta+la+8 Q"5 porcenta-e de socios son licenciados

?.[ Las cali!icaciones en la asinat"ra de L$ico [ Matemático de los al"mnos del a"la q( son,

Cali!icaciones #rec"enciaa+sol"ta

#i 2i ^i.!i

< Y ?D 4 3

n

Complete el c"adro ) 2alle los estad%ra!os de tendencia central

4.[ En "n r"po de 4D personas( se sa+e *"e D de ellas anan mens"almente "n promedio de sP. 4DD) los restantes sP. 4DD. Se pide calc"lar la anancia media de las 4D personas.

ESTA$GRA/OS $E $ISPERSIÓN

Est"dia la distri+"ci$n de los datos de la serie( anali1ando si estos se enc"entran más o menosconcentrados( o más o menos dispersos( las más "tili1adas son,

1(= RANGO, Mide la amplit"d de los &alores de la m"estra ) se calc"la por di!erencia entre el&alor más ele&ado ) el &alor más +a-o.

2(= )ARIANA, Mide la distancia existente entrelos &alores de la serie ) la media.

( )

n

y y fi

S

n

i

i∑=

−

= 1

2

2

La &arian1a siempre será ma)or *"e cero.Mientras más se aproxima a cero( más concentrados están los &alores de la serie alrededor de lamedia. 0or el contrario( mientras ma)or sea la &arian1a( más dispersos están.

7(= $ES)IACIÓN TPICA EST3N$AR, Secalc"la como ra%1 c"adrada de la &arian1a.

PR3CTICA GR#PAL

.[Indi*"e c"al de las si"ientes distri+"ciones tiene ma)or &ariaci$n,a8 Las cali!icaciones de "na al"mna en el c"rso de L$ico[Matemático son, ( D( ?( D< ) 3.+8 Las edades de "n r"po de nios de "n a"la son, DN( D( 3( DN( D( D( DN

2(=Indi*"e c"al de las si"ientes distri+"ciones tiene ma)or &ariaci$n,Las edades( expresadas en aos c"mplidos de los pro!esores de dos centros ed"cati&os son, CEKAK,


75/88

PR3CTICA $E RE/ORAIENTO

.[El si"iente c"adro m"estra la asistencia a "na asam+lea de padres de !amilia. HQ"5 porcenta-erepresenta el n/mero de &arones respeto del n/mero de m"-eres

a8< +83D


76/88

&eces más +a-o. "rante "n periodo de "n ao( cada 2ospital reistr$ los dias en *"e más del YD por ciento de los reci5n nacidos !"eron &arones. HC"ál 2ospital crees *"e reistr$ más de estos d%as,a8 El 2ospital rande.+8 El 2ospital pe*"eo.

c8 Aproximadamente i"al 7esto es( si la di!erencia entre am+os es menor del & por ciento8.

D.[Un o+-eto pe*"eo se pes$ con "n mismo instr"mento( separadamente por n"e&e est"diantes en"na clase de ciencias. Los pesos o+tenidos por cada est"diante 7en ramos8 se m"estran acontin"aci$n, Y(3 Y(D Y(D 4( Y( Y( Y(3 Y(4 Y(3. Los est"diantes *"ieren determinar con lama)or precisi$n posi+le el peso real del o+-eto. HC"ál de los si"ientes m5todos les recomendar%as"sar

a8 Usar el n/mero más com/n( *"e es Y(3+8 Usar Y(4 p"esto *"e es el peso más precisoc8 S"mar los n/meros ) di&idir la s"ma por d8 esec2ar el &alor 4( s"mar los otros < n/meros ) di&idir por


77/88

Examina los dos rá!icos con c"idado. L"eo escoe entre las Y posi+les concl"siones *"e se listan acontin"aci$n a*"ella con la *"e est5s más de ac"erdo.

a8El r"po *"e no d"rmi$ lo 2i1o me-or por*"e nin"no de estos est"diantes p"nt"$ por de+a-o de ?D )

la máxima p"nt"aci$n !"e o+tenida por "n est"diante de ese r"po

+8El r"po *"e no d"rmi$ lo 2i1o me-or por*"e s" promedio parece ser "n poco más alto *"e elpromedio del r"po *"e no d"rmi$.

c8'o 2a) di!erencia entre los dos r"pos( por*"e 2a) "n solapamiento considera+le en las p"nt"acionesde los dos r"pos.

d8'o 2a) di!erencia entre los dos r"pos( por*"e la di!erencia entre s"s promedios es pe*"ea(comparada con la cantidad de &ariaci$n de s"s p"nt"aciones.

e8El r"po de control lo 2i1o me-or por*"e 2"+o en ese r"po más est"diantes *"e p"nt"aron


78/88

HC"ál es la pro+a+ilidad de *"e Ro+erto co-a "n caramelo ro-o

a8 D+8 3D c8 34 d8 4D

1;(= Los si"ientes diaramas m"estran in!ormaci$n so+re las exportaciones de 0er/,

T-al *e e!r-aci"es *e Per e" &ill"es *e sles 1; M 2000(

$is-ri+ució" *e las e!r-aci"es *el Pere" el a\ 2000

a8HC"ál !"e el &alor total 7en millones de soles8 de las exportaciones de 0er/ en


79/88

Un est"diante piensa en c$mo representar los res"ltados mediante "n diarama de +arras. 5 "nara1$n de por *"5 no res"lta adec"ado "n diarama de +arras para representar estos datos.

UNIDAD Nº 08:

PROAILI$A$Las sluci"es *e !r+le&as es-a*Ks-icsB e" ge"eralB es-H" *a*as &ucUas ,eces e" -ér&i"s*e !r+a+ili*a*es( E" +ase a es-B la *ei"ició" D las reglas *e !r+a+ili*a* se !rese"-a" e"si-uaci"es !rac-icasB !er su es-u*i se Uace &Hs si&!le si se a!lica a si-uaci"es "!rHc-icas .%uegs *e aVarB !r e%e&!lB !er se su!"e Wue las &is&as reglase se !ue*e"a!licar a si-uaci"es *e la ,i*a real .!r+le&as es-a*Ks-icsB !r e%e&!l

EN/OQ#E PROAILSTICO

Se p"eden considerar &arios( en!o*"es concept"ales di!erentes para entender ) determinar os&alores de pro+a+ilidad( est"diaremos principalmente el en!o*"e clásico.

. E"Wue ClHsicB



80/88

6

1)( ⇒=

n

h E P

n

h E P =)(

3

1

6

2)( == E P

8

3)( = E P

Al"nas &eces podemos conocer exactamente las di!erentes !ormas en las *"e "n e&ento dado7E8 p"ede o no oc"rrir. Este tipo de pro+a+ilidad se llama pro+a+ilidad matemática.

1(1 N-ació" D r&ula !ara la !r+a+ili*a* *e éi-(

Consideremos *"e "n e&ento 7E8 p"ede s"ceder en 2K !ormas de "n total de nK !ormasposi+les e i"almente pro+a+les( entonces la pro+a+ilidad de oc"rrencia del e&ento 7E8(llamado 5xito,

2 n/mero de !ormas pedidasn n/mero de !ormas posi+les

1(2 N-ació" D ór&ula !ara la !r+a+ili*a* *e racas( La pro+a+ilidad de no oc"rrencia de 7E8 7!racaso8 &iene dada por,

0 7TE8 ] 07E8

N-a 1. e+e o+ser&arse *"e,

0 7TE8 @ 0 7TE8

E%e&!ls'

a8 Sea E el e&ento *"e al tirar "n dado +ien constr"ido sala al p"nta-e 4 en "na tirada.

L"eo, n Y2

La pro+a+ilidad *"e no apare1ca al p"nta-e 4 en "na sola tirada es,07TE8 ] 07E807TE8 ]

Y07TE8 4

Y

+8 Sea E el e&ento *"e apare1ca $ Y en "na sola tirada en el mismo dado( es,

07E8 7sacar $ Y8 n Y 2 3

La pro+a+ilidad de no sacar $ 4 7o sea sacar ( 3( ? $ Y p"ntos8 es,

07TE8 ]

07TE8 3

c8 En "na ca-a 2a) 4 +olas ro-as ) +olas a1"les( la pro+a+ilidad de sacar "na +ola a1"l es,

N-a 2( La 0ro+a+ilidad *"e "n e&ento oc"rra está comprendido entre D ) ( es decir,

D 07E8 • Si el e&ento es imposi+le *"e oc"rra( s" pro+a+ilidad es cero, 07E8 D



81/88

13

1

52

4)( 1 == E P

13

1

52

4)( 2 == E P

13

1

13

1)( 21 +=vE E P

38151538013

2⇒⇒

36

6)( 1 = E P

36

2)( 2 = E P

36

2

36

6)( 21 +=vE E P

36

8)( 21 =vE E P

• Si el e&ento es cierto( es decir( tiene *"e oc"rrir( s" pro+a+ilidad es , 07E8

La pro+a+ilidad de "n e&ento siempre es "na !racci$n propia.

N-a 7( En la ECB de Ed"caci$n 0rimaria rea L$ico Matemática 7competencia N8 II ) IIIciclos( se consideran los casos anteriores como,

0rimer Caso. Se "sa el t5rmino a &ecesKSe"ndo Caso. Se "sa el t5rmino n"ncaKercer Caso. Se "sa el t5rmino siempreK

2( PROAILI$A$ $E $OS O 3S E)ENTOS

os o más e&entos p"eden ser,

3.. E&entos m"t"amente excl")entes.

3.3. E&entos no excl")entes.

3.. E&entos independientes.

3.?. E&entos dependientes o condicionales.

2(1( E,e"-s &u-ua&e"-e ecluDe"-es( 3 $ más e&entos son m"t"amente excl")entes adis-"ntos( sino p"eden oc"rrir sim"ltáneamente. E-emplo,

a8 Considerar los e&entos asK o re)K al sacar "n naipe de "na +ara-a( estos sonexcl")entes.Frá!icamente,

L"eo la pro+a+ilidad de los e&entos E o E3 es,

atos,

Otro e-emplo, 0ro+a+ilidad de sacar N $ al tirar dos dados

Sacar N

Sacar


E sacar asE3 sacar re)0 7E8 0ro+a+ilidad de sacar as0 7E38 0ro+a+ilidad de sacar re)

(1 2) = (1) (2)

E

E3


82/88

13

1

52

4=

4

1

52

13 =

52

1

4

1.

13

1=

52

1

4

1

13

1 −+

13

4

52

16

52

1.131 ==−+

9

2)( 21 =vE E P

7

2)( 1 = E P

75)( 2 = E P

49

10

7

5

7

2)( 21 ==∧ x E E P

( (3 ( (? (4 (Y3( 3(3 3( 3(? 3(4 3(Y( (3 ( (? (4 (Y?( ?(3 ?( ?(? ?(4 ?(Y4( 4(3 4( 4(? 4(4 4(YY( Y(3 Y( Y(? Y(4 Y(Y

2(2 E,e"-s N EcluDe"-es( os o más e&entos son no excl")entes c"ando es posi+le *"es"cedan am+os( a"n*"e no necesario. E-emplo,

a8 Consideramos los e&entos posi+les de sacar asK o espadaK en "na +ara-a de 43 naipesrá!icamente

onde,07E8 0ro+a+ilidad de sacar asK

07E38 0ro+a+ilidad de sacar espadaK

07E \ E38 07E8.07E38

L"eo, 07E & E38

2(7 E,e"-s I"*e!e"*ie"-es( os o más e&entos son considerados independientes si laoc"rrencia de "no no a!ecta la oc"rrencia de los demás. S" !$rm"la es,

E-emplo,

a8 En "na +olsa 2a) 4 +olas &erde ) 3 +olas ro-as( se extrae "na +ola ) desp"5s sereempla1a 7es decir reresa a la +olsa8( otra +ola extra%da da l"eo del reempla1o.Encontrar la pro+a+ilidad *"e en am+as extracciones sean ro-a ) &erde.

Ro-a

Verde


7Se recomienda constr"ir "n c"adro de do+le entradacon todos los casos *"e p"eden o+tenerse al tirar dosdados *"e s"man Y8

E3E

E\

E3

donde

07E & E38 07E8 @ 07E38 ] 07E . E38

07E \ E38 07E8 . 07E38


83/88

15

5)( 1 = E P

15

7)( 2 = E P

45

7

15

7

15

5)( 21 ==∧ x E E P

7

5)( 1 = E P

6

2)( 1 = E P

21

5

42

10

6

2.

7

5).( 21 === E E P

+8 En "na +olsa 2a) 4 +olas ro-as( +olas a1"les ) N +olas +lancas( encontrar la pro+a+ilidadde sacar, ro-a ) +lanca en 3 extracciones con retorno o reempla1o.

Ro-a

Verde

2(9 E,e"-s *e!e"*ie"-es c"*ici"ales( Si E ) E son e&entos relacionados de tal manera*"e la oc"rrencia de E3( depende de la oc"rrencia de E( entonces E ) E3 son llamadose&entos dependientes ) la pro+a+ilidad de E3 es llamada pro+a+ilidad condicionalK.La notaci$n en este caso es,

07EPE38 se lee pro+a+ilidad de E3 dado EK

#$rm"la

'ota, O+s5r&ese *"e en la con-"nci$n 7\8 se "sa la m"ltiplicaci$n ) con la dis)"nci$n 7&8 se"sa la adici$n.

E-emplo,

a8 Una +olsa contiene 4 +olas &erdes ) 3 +olas neras. Se extrae "na +ola ) no sereempla1a 7no 2a) retorno8( l"eo se saca "na se"nda +ola. Encontrar la pro+a+ilidad deextraer, &erde ] nera 7en ese orden8

Sol"ci$n,

Verde

'era

PR3CTICA $E PROAILI$A$ES

. Se reali1a el experimento de lan1ar "na moneda ) "n dado -"ntos. Si E consiste en *"e salacaraK con la moneda ) E3 *"e salan ? $ Y en el lan1amiento del dado. Explicar el sini!icado *"etiene,

a8 T E 'o sacar caraK en la moneda ) conse"ir n en el dado+8 T E3 Sacar ( 3( $ 4 en el dado ) c"al*"ier cosa con la monedac8 E.E3 Sacar caraK en la moneda ) ? $ Y en el dado.d8 p7E.TE38 0ro+a+ilidad de caraK en la moneda ) ( 3( $ 4 en el dado.

e8 p7EPE38 0ro+a+ilidad de caraK en la moneda 2a+iendo salido ? $ Y en el dado.

3. eterminar la pro+a+ilidad pK de o+tener los si"ientes s"cesos o e&entos,


07E \ E38 07E8 . 07EPE38


84/88

a8 La aparici$n de o+tener "n n/mero impar en la tirada de "n dado.

07E8 PY P3 D(4 4D

+8 La aparici$n de "n asK( D de orosK o 3 de espadasK en la extracci$n de "na carta de la+ara-a.

asK 7E8 07E8 ?P43die1 de oros 7E38 07E38 P43 07E o E3 o E8 ?P43 @ P43 @ P43 P3Ydoce de espadas 7E8 07E8 P43

c8 La o+tenci$n de sieteK p"ntos en "na sola tirada de "n par de dados.

N p"ntos 7E8 07E8 YPY PY

d8 La aparici$n de "n selloK en el si"iente lan1amiento( si de DD lan1amientos pre&iosaparecieron 4N carasK.

cara 7E8 07E8 4NPDD D(4N 4N

. Una ca-a contiene Y +olas ro-as( ? +lancas ) 4 a1"les se saca "na +ola al a1ar. eterminar lapro+a+ilidad *"e sea,

a8 Ro-a

p7ro-a8 YP4 3P4

+8 'o ro-a

p7Tro-a8 ] 3P4 P4

c8 Ro-a o +lanca

p7ro-a8 YP4p7+lanca8 ?P4

d8 Ro-a ) +lanca

p7ro-a ) +lanca8 xp7+lanca8 7YP48 7?P48


85/88

p7PY @ PY @ PY @ PY8 \ 7PY @ PY @ PY @ PY8 7PY8 . 7?PY8 3PY P

4. Se extraen s"cesi&amente +olas de "na ca-a( se/n datos del pro+lema . Encontrar lapro+a+ilidad *"e sean extra%das en el si"iente orden, ro-a( +lanca ) a1"l( si las extracciones con 7a8con retorno ) 7+8 sin retorno.

Con retorno Sin retorno p7ro-a8 YP4 p7ro-a8 YP4 p7+lanca8 ?P4 p7+lanca8 ?P? p7a1"l8 4P4 p7a1"l8 4P

p7ro-a \ +lanca \ a1"l8 7YP48.7?P48.74P48 7ro-a \ +lanca \ a1"l8 7YP48.7?P48.74P48


86/88

DP?? 4P33

allar la pro+a+ilidad *"e,

A.A3.A los s"cesos *"e la UK ane los partidos.B.B3.B los s"cesos *"e el Alian1a ane los partidos..3. los s"cesos *"e terminen empatados los partidos.

e ac"erdo a los partidos anteriores 7pro+a+ilidad emp%rica8 se tiene *"e,UK ane partido p7A8


87/88

d8 os nias ) "n nio P<

E4ERCICIOS PROP#ESTOS

. Se lan1an 3 dados -"ntos( calc"lar la pro+a+ilidad de sacar "n n/mero menor *"e cincoK.Rpta, PY

3. Una ca-a contiene +olas de colores, 4 ro-as( < a1"les ) neras. Se extrae "na al a1ar( calc"lar lapro+a+ilidad *"e sea,a8 Ro-a +8 Ro-a o nera Rpta, 4PY Rpta, P3

. Se extraen +olas al a1ar del pro+lema 3. Encontrar la pro+a+ilidad *"e sean extra%das, ro-a( a1"l(ro-a 7con retorno ) sin retorno8a8 Con retorno +8 Sin retorno

Rpta, 34P43 Rpta, P3

?. e "na +ara-a de 43 cartas se extrae "na carta( calc"lar la pro+a+ilidad *"e sea sieteK o espadaK.Rpta, ?P

4. Se lan1a "n dado 3 &eces( calc"lar la pro+a+ilidad *"e en el primer lan1amiento sacar 3( $ Y( ) enel se"ndo lan1amiento "n n/mero ma)or *"e ?.Rpta, PY

Y. Una +olsa contiene < +olas a1"les( ? +lancas ) 3 ro-as otra +olsa contiene 4 a1"les( +lancas ) ?ro-as se extrae "na +ola de cada +olsa. >allar la pro+a+ilidad *"e sean,a8 Las 3 a1"les +8 Una ro-a ) otra no +lanca

Rpta, 4P3 Rpta, P3<

N. Se extrae carta de "na +ara-a ) l"eo otra carta de otra +ara-a. Calc"lar la pro+a+ilidad *"e lasextracciones sean de la primera +ara-a 4 de orosK ) de la se"nda +ara-a "n asK.a8 0rimera +ara-a +8 Se"nda +ara-a

Rpta, P43 Rpta, PYNY


88/88

ARAC>E VIVAS( est de L$ica e Inteliencia. Editorial LIBSA( Madrid 3DDY

BALBO'I'( Clara ) otras. LIBRO E RABAJO 4 Las c"atro operaciones con !raccionesK Ministeriode Ed"caci$n de C2ile.

BAA'ERO( C. 73DDD8 idáctica de la Estad%stica Uni&ersidad de Franada.

CRE'AS V. elmira ) otras 73DD

texto mate bÁsica -titulaciÓn 2010.doc

Documents