Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos

U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O

D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S

P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z

A D A P T A D A P O R

P R O F A . C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida

de objetos.

“Bien definida” se refiere a que para cualquier elemento que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.

Debemos evitar definir conjuntos que dependan de opiniones o preferencias.

Ejemplos

Conjuntos bien definido

El conjunto de las vocales en el idioma español.

El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del 2012-2013.

Conjunto que NO está bien definido

El conjunto de los mejores sabores de mantecado

El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

Elementos

Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto.

Se dice que un elemento pertenece al conjunto o que es miembro del conjunto usando el símbolo “”

Por ejemplo,

“a” es elemento del conjunto de vocales.

azul es elemento del conjunto de los colores primarios.

Notación de lista para conjuntos

Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.

Esta notación se conoce como forma de listado o lista.

Por ejemplo:

1. El conjunto de las vocales se denota

{a, e, i, o, u}.

2. El conjunto de los colores primarios se denota

{azul, rojo, amarillo}.

Notación de conjuntos

Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,…, para denotar o representar conjuntos.

Por ejemplo:

El conjunto de las vocales se puede denotar,

V = {a, e, i, o, u}

El conjunto de los colores primarios se puede denotar,

C = {azul, rojo, amarillo}.

Notación de elementos

Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas.

Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es elemento de A (a pertenece al conjunto A).

Si b NO es elemento de A, escribimos b ∉ A.

Por ejemplo:

Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,

☺∈ B

@ ∉ B

Conjunto vacío

El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene elementos.

Se denota como {} o Ø.

Por ejemplo:

El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra, la luna.

Notación constructiva para conjuntos

Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos.

Cuando se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.

Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo: El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación

descriptiva se puede escribir, A = { a | a es un natural menor que 11} ó

A = { a | a es un natural menor o igual a 10} A = {a∈N | a < 11} A = {a∈N | a ≤ 10}

Notación constructiva

Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 100} en notación constructiva.

C = {x ∈ N | x < 101}

C = {x ∈ N y x < 101}

C = {x ∈ N | x ≤ 100}

C = {x | x ∈ N y x ≤ 100}

Observación: D = {x | x ≤ 100}, es un conjunto distinto, ya que D contiene TODOS los números menores o iguales a 100.

Por ejemplo,

0 ∈ D pero 0 ∉ C;

-50 ∈ D pero -50 ∉ C;

½ ∈ D pero ½ ∉ C

2 ∈ D pero 2 ∉ C

25.35 ∈ D pero 25.35 ∉ C

De notación constructiva a lista

Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y 10” en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:

Solución:

{x | x es un número natural entre 5 y 10}

{x ∈ N | 5 < x < 10}

{6, 7, 8, 9}

Conjuntos numéricos

Naturales

Números de conteo

{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

A este conjunto se le asigna la letra N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Cero

Identidad de suma

0 + 1 =1 y 1 + 0 =1

0 + 2 =2 y 2 + 0 =2

0 + 3 =3 y 3 + 0 =3

En general, si a es cualquier número real entonces,

a + 0 = 0 + a = a

Opuestos de naturales

2 0

Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.

Por ejemplo:

En general, para n un número real,

n + (─n ) = ─n + n = 0.

3 0

4 0

1 1 0 3

42

Cardinales

• Los Cardinales son una generalización de los números naturales.

• Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en el conjunto.

• Números naturales + cero

{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Enteros

La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

es el conjunto de los enteros.

A este conjunto se le asigna la letra Z.

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Enteros

El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, pues todos los elementos de N están en Z.

Enteros

Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.

Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene enteros positivos.

Practicas disponibles en Moodle para Mate 0008

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Racionales

Este conjunto está dado por el conjunto

A este conjunto se le asigna la letra Q.

Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.

0y enterosson y qqpq

p

Racionales

Ejemplos:

5

3

11

4

11

4

8

5

8

5

9

2

9

2

42

8

33

9

07

0

Fracciones

de

naturales

Opuestos de

fracciones de

naturales

Enteros

510

50

Racionales

Cualquier número racional puede representarse con uno de dos tipos de números decimales:

Exacto

Ejemplo:

Periódico

Ejemplo:

2504

1.

3033303

1.....

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturales Opuestos de fracciones

de naturales

Racionales

Irracionales

Es un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional (I).

La representación decimal de los números irracionales

a) nunca termina (no es exacta)

b) nunca se repite (no es periódica).

Irracionales

Ejemplos

Comparación de un número racional y uno irracional

0.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 …

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011

2 5

7=

Reales

Es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales.

Básicamente, es el conjunto que contiene todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos.

Se denota con R.

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturales Opuestos de fracciones

de naturales

Racionales,

Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}

Irracionales

Reales, R

Visualización del conjunto de los Reales

¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?

A = 0,−𝜋,4

3, 2 3, 1.414,

2

7, 12. 3 , 7, −23

NATURALES:

ENTEROS:

RACIONALES:

IRRACIONALES:

REALES:

0 7

−𝜋

4

3

2 3

1.414

2

7

12. 3

−23

0 7 −23

7

𝟎 𝟒

𝟑 −𝝅 𝟐 𝟑 𝟏. 𝟒𝟏𝟒

𝟐

𝟕 𝟏𝟐. 𝟑 −23 𝟕

Los Reales

Los números reales se pueden localizar en una recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.

Práctica

Localice los números reales que se muestran en la recta numérica.

−𝟏𝟓

𝟒 , −

𝟓

𝟑, 𝟓. 𝟐𝟓,

𝟕

𝟔, 𝟐 𝟑

Solución:

−𝟏𝟓

𝟒 = −𝟑. 𝟕𝟓

−𝟏𝟓

𝟒

−𝟓

𝟑≈ −𝟎. 𝟕𝟒𝟓𝟑𝟓𝟓𝟗𝟗𝟐𝟓

−𝟓

𝟑 𝟓. 𝟐𝟓

𝟕

𝟔 = 𝟏. 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔…

𝟕

𝟔

𝟐 𝟑 ≈ 𝟑. 𝟒𝟔𝟒𝟏𝟎𝟏𝟔𝟏𝟓

𝟐 𝟑

Los Reales

Algunos conjuntos de números reales se pueden representar con notación de intervalo

Un intervalo abierto representa el conjunto de reales entre los extremos del intervalo, pero sin incluir ese valor

Ejemplo:

(3, 6) se lee “Todos los números entre 3 y 6.”

Como intervalo: 3 < x < 6

Los Reales

Un intervalo cerrado representa el conjunto de reales entre e incluyendo los extremos del intervalo.

Ejemplo:

[-2, 7] se lee “Todos los números entre -2 y 7,

incluyéndolos.”

Se escribe como intervalo: -2 ≤ x ≤ 7

Los Reales

Un intervalo infinito representa un conjunto de reales mayores (o menores) que un número dado.

Exprese cada intervalo en notacion constructiva o generadora y construya su gráfica

forma generadora gráfica