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Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina
www.faena.edu.ar [email protected]
PRIMER BLOQUE MATEMATICA
“Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución que lo considere de utilidad para todo fin educativo.”
FAENA.
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_PARA TENER EN CUENTA:
Si usted desea imprimir este material en color “Negro” (escala de grises) tan solo tiene que escoger la opción “negro” en las opciones de la impresora.
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_UNIDAD_1: Conjuntos – Relaciones y funciones
Conjuntos.
Elementos de un conjunto.
Escritura de conjuntos.
Diagramas de Venn.
Relación de pertenencia.
Diferentes tipos de conjuntos.
Subconjuntos. Conjuntos especiales.
Conjuntos iguales.
Propiedades de la inclusión entre conjuntos.
Operaciones entre conjuntos.
Propiedades de las operaciones entre conjuntos.
Pares ordenados.
Producto cartesiano.
Relación binaria.
Relación de equivalencia.
Relación de orden.
_UNIDAD_2: Geometría del plano y del espacio
Geometría del plano.
Relaciones fundamentales entre puntos, rectas y planos.
Concepto de segmento, semirrecta y semiplano.
El paralelismo en el plano.
Ángulos.
Polígonos.
Cuadriláteros.
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_UNIDAD_3: Números naturales
Conjunto de los números naturales.
Propiedades de los números naturales.
Orden de los números.
Diferentes sistemas de numeración.
Operaciones aritméticas con números naturales.
Propiedades de las operaciones con números naturales.
Ecuaciones.
Potenciación.
Propiedades de la potenciación.
Radicación.
Propiedades de la radicación.
_UNIDAD_4: Números enteros
Conjunto de los números enteros.
Definición y propiedades de los números enteros.
Representación en la recta numérica.
Valor absoluto.
Operaciones con números enteros.
Suma y resta con paréntesis, corchetes y llaves.
Otras operaciones con números enteros.
Operaciones con potencia y raíz.
Ecuaciones con números enteros.
Lenguaje coloquial y lenguaje matemático.
ACERCA DE ESTE MODULO
¿QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA?
Este módulo está compuesto por cuatro unidades en las que se
despliegan los contenidos correspondientes al primer bloque de Matemática.
Para cada unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en
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práctica los conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja
abierta la posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera
necesario.
Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le
permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que
le suscite la lectura de este material.
La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad
los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la
elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y
palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los
contenidos.
Al final de cada unidad encontrará actividades de tipo evaluativas que
podrán ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo
de simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de
toda la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le
permitirá relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo
realizado a lo largo de todo la unidad.
Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará
su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de
cada uno y que se trata de una inversión. “Quien más lee más sabe”, una
afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra
diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio.
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DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE 1. PRIMER AÑO
A modo de introducción:
En este módulo se desarrollan los contenidos del primer bloque de
Matemática. En dichos temas, teoría de conjuntos, geometría, y conjuntos de
números naturales y enteros, se abordarán los contenidos desde lo más
general a lo particular. Se presentará primero la teoría del tema estudiado y
luego con ejemplos se aplicara lo aprendido. Seguido de cada tema
presentado, encontrara ejercicios para fijar los conceptos aprendidos.
En primera instancia se verán los conjuntos, estructuras muy
importantes en la teoría matemática. Se analizaran sus distintas propiedades y
formas de relacionarse entre ellos.
En segundo lugar se tocará el tema de la geometría. Se abordarán en
primer lugar los puntos, rectas y planos. Luego será definido el concepto de
ángulo y sus distintas formas de medirlo. Se presentara el sistema
sexagesimal, muy útil a la hora de trabajar con ángulos. El tema siguiente
serán los polígonos, que aunque parezcan abstractos, éstos entes son de
importancia en todas las ramas de las ciencias (estructuras atómicas, etc).
Por ultimo, se presentaran los conjuntos de los números naturales y de
los enteros. Se le dará una connotación histórica a éste tema y se vera la
ampliación de los conjuntos numéricos a medida que se fueron acomplejando
los cálculos. Se analizaran sus distintas propiedades y se aprenderá a resolver
ecuaciones. Para todos éstos temas encontrara ejemplos y ejercicios que
ayudarán al alumno a entender y aplicar los conceptos aprendidos.
Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto
básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen
desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como
laboral.
Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia.
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OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno conozca lo que es un conjunto.
Que sepa representar diagramas de Venn.
Que diferencie y sepa trabajar con los distintos conjuntos.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno interprete los conceptos de puntos y rectas en dos
dimensiones.
Que reconozca las rectas paralelas, secantes y perpendiculares.
Que sepa clasificar los ángulos.
Que sepa operar en el sistema sexagesimal.
Que reconozca polígonos y su clasificación.
Que entienda el concepto de vector, muy importante en las áreas
tecnológicas y de ingeniería.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca los números naturales.
Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan
surgir.
Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 4 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
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Que el alumno reconozca los números enteros.
Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan
surgir.
Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación.
Que logre traducir una expresión matemática escrita en palabras a una
ecuación matemática.
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_UNIDAD_1: CONJUNTOS – RELACIONES Y FUNCIONES
CONJUNTOS “Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen
una propiedad en común”. Esta definición fue creada por Georg Cantor hace
100 años.
Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se
puede dar una idea intuitiva de el. Se denota con letras mayúsculas e imprenta.
Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año,
etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año,
respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.
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ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un
conjunto.
Los elementos se representan con letras minúsculas.
Ejemplo: los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto.
Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son
alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son
números impares.
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ESCRITURA DE CONJUNTOS
Un conjunto puede escribirse de dos formas:
1. Por extensión: consiste en anotar todos los elementos que pertenecen
al conjunto entre llaves.
2. Por comprensión: consiste en anotar entre llaves una propiedad
característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.
Ejemplo:
Por extensión: A = {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto,
septiembre, octubre, noviembre, diciembre}
Por comprensión: A = {meses del año}, o bien, de esta otra forma: A = {x / x
es un mes del año}, que se lee: A es el conjunto de elementos x tales que x es
un mes del año.
Ejemplo:
Por extensión: B = {Pulgar, Índice, Mayor, Anular, Meñique}
Por comprensión: B = {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: B = {x /
x es dedo de la mano}, que se lee: B es el conjunto de elementos x tales que x
es un dedo de la mano.
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DIAGRAMAS DE VENN
El diagrama de Venn es la representación gráfica de un conjunto en la cual se
sitúan dentro de una línea cerrada los signos representativos de los elementos
del conjunto.
En la figura se muestra el diagrama de Venn del conjunto A:
A = a, b, c, d, e .
Diagrama de Venn
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RELACION DE PERTENENCIA
Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, si un elemento
pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.
Ejemplo: A = {x / x es dedo de la mano}
b = índice
entonces:
b A Cuando un elemento no esta en el conjunto, entonces dicho elemento no
pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera.
Ejemplo: A = {x / x es mes del año}
b = índice
entonces:
b A
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DIFERENTES TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su
último elemento. Es decir, es un conjunto que posee una cantidad finita (que
puede contarse) de elementos.
Ejemplo: M = {x / x es mes del año}
Por que sabemos que el último mes es Diciembre.
Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar
su último elemento. Es decir, un conjunto que posee una cantidad infinita de
elementos.
Ejemplo: M = {x / x es número natural}
Por que no sabemos cual es el último número
Conjunto Universal o Referencial: Se denomina así al conjunto formado por
todos los elementos del tema de referencia y se simboliza con la letra U y se
representa por medio de un rectángulo.
Ejemplo: U ={x / x es un animal}
U ={x / x es un mamífero}
U ={x / x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A
pesar de no tener elementos se lo considera como conjunto y se representa de
la siguiente forma: { }
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Ejemplos:
_ El conjunto F es aquel que contiene los meses del año que terminan con a.
_ El conjunto F es aquel que contiene los números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días,
solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
B = febrero
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SUBCONJUNTOS. CONJUNTOS ESPECIALES
Subconjuntos: Sean dos conjuntos A y B.
Se dice que A es subconjunto de B o que A está incluido en B, y se anota
A B, cuando todo elemento de A es también un elemento de B.
Ejemplo: A = 1,2,3,4 y B = 1,2,3,4,5,6
Como todo elemento de A es también un elemento de B, se concluye que
A B.
OBSERVACIONES:
_ el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
_ todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Conjuntos disjuntos: Se llaman conjuntos disjuntos a aquellos que no tienen
ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
C = {x / x es un número natural} y D = {x / x es un día de la semana}
Son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de partes: Se llama así al conjunto formado por todos los
subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los
elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
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Ejemplo: Dado el conjunto: A = {a , b , c , d.}
Formemos todos sus subconjuntos:
M = {a} , N = {b} , P = {c} , Q = {d} , R = {a , c} , T = {a , d} , U = {b , c} , V = {b ,
d} ,
X = {c , d} , Y = {a , b , c} , Z = {a , b , d} , L = {b , c ,d}
El conjunto de las partes de A, es decir (A), será: p(A) = { , M, N, P, Q, R, S, T,
U, V, X, Y, Z, L, A}
Se observa que el conjunto vacío y el mismo conjunto A forman parte del
conjunto de partes (valga la redundancia).
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CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero
son iguales a todos los elementos del segundo y todo elemento del segundo es
elemento del primero.
En términos matemáticos:
Sean dos conjuntos A y B. Se dice que A es igual a B, y se anota A = B,
cuando A B y B A ; o sea, A está incluido en B y a la vez B está incluido en
A.
En símbolos: ( A = B ) ( A B ) ^ ( B A )
Aclaraciones:
_ significa equivalencia, si y solo si. Sirve para unir en ambos sentidos dos
proposiciones.
_ ^ significa y.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x / x es un número natural} {x / x es un
número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un
número natural.
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PROPIEDADES DE LA INCLUSION ENTRE.CONJUNTOS
Como dijimos antes:
El conjunto A esta incluido en B si todos los elementos del conjunto A
pertenecen al conjunto B, y se escribe:
A B A esta incluido en B
1. Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en si mismo. Esto se
expresa de la siguiente forma:
A A
Ese símbolo significa que está incluido y es que es (o puede ser) igual. Es
equivalente al símbolo menor o igual .
2. Propiedad antisimétrica: Dados dos conjuntos A y B, si A está contenido
en B, y B esta incluido en A, entonces A es igual a B. Es decir:
siA ByB A→A B
3. Propiedad transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y a
su vez B esta incluido en C, A esta incluido en C. Sean los conjuntos:
A = {a, b, c}; B = {a, b, c, d, n}; C = {a, b, c, d, n, m}
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En los cuales se observa con claridad que si los elementos del conjunto A son
elementos del conjunto B, y los del conjunto B son también elementos del
conjunto C, los elementos de A serán elementos de C. En símbolos:
si A B y B C → A C
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OPERACIONES.ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos: Sean dos conjuntos A y B, y sea U el conjunto universal,
es decir, A U y B U. Se denomina unión de un conjunto A con un conjunto
B, a un nuevo conjunto A B, se lee A unión B, que tiene como elementos a
aquellos que están en A o están en B, o bien que pertenecen a ambos
conjuntos.
En símbolos: A B = {x E / x A x B}
Se introdujo un nuevo símbolo : y significa o.
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}
La unión de dichos conjuntos será: AUB = {d, f, g, h, b, c}
Como se observa, los elementos repetidos se escriben una sola vez.
Unión de un conjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es subconjunto
de U, la unión del conjunto A consigo mismo es el conjunto A.
Es decir: A A = A
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Unión de un conjunto y un subconjunto del mismo: Sean A y B dos
conjuntos y B A, la unión de ellos da como resultado el conjunto A.
Es decir: A B = A
Unión de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un conjunto cualquiera y
sea el conjunto vacío; la unión de ellos da como resultado el conjunto A.
Es decir: A = A
Unión de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C; la unión de
ellos, A B C es otro conjunto que tiene como elementos a aquellos que
pertenecen a todos los conjuntos.
Es decir: A B C = x / x E A x E B x E C
Intersección de conjuntos: sean dos conjuntos A y B, y A D y B D.
Se denomina intersección de un conjunto A con un conjunto B a un nuevo
conjunto A B, se lee, A intersectado con B, que tiene como elementos a
aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B.
En símbolos: A B = {x D / x A x B}
Ejemplo: Dados los conjuntos A = { c, d, e, a, b } y B = { a, b, m, n, p }, su
intersección será: A B = {a , b}
La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura,
en la cual la intersección es la parte en la que se encuentran únicamente los
elementos a y b.
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Intersección de un subconjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es
subconjunto de D, la intersección del conjunto A consigo mismo es el conjunto
A.
Es decir: : A A = A
Intersección de un conjunto y un subconjunto: sean A y B dos conjuntos y
B A; la intersección de ellos da como resultado el subconjunto B.
Es decir: A B = B
Intersección de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un subconjunto
cualquiera y el conjunto vacío; la intersección de ellos da como resultado .
Es decir: A =
Intersección de conjuntos disjuntos: sean A y B dos conjuntos distintos
cualesquiera, la intersección de ellos da como resultado el conjunto vacío .
Esto se debe a que no tienen elementos en común.
Intersección de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C, la
intersección de ellos A B C, es otro subconjunto que tiene como elementos
a aquellos que son comunes a todos los conjuntos.
Es decir: A B C = x / x A x B x C
Se lee, A intersectado con B intersectado con C.
Diferencia de conjuntos: sean dos conjuntos A y B. Se denomina diferencia
de A y B, A – B (se lee A menos B), a un nuevo conjunto que tiene como
elementos a aquellos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B.
En símbolos A – B = { x U / x A x B}
Ejemplo: Si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, m, n, p}, A - B = {c, d, e.}.
La representación gráfica se encuentra en la figura anterior.
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Complemento de un conjunto con respecto a otro:
Si A es un subconjunto de D, se llama complemento de A y se representa por
CA o A’, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a D y no
pertenecen a A.
En símbolos: A‟ = { x / x D y x A}
Expresado más claramente: A‟ = D - A
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
UNION.
Asociatividad: la unión de conjuntos permite asociarlos; o sea, agruparlos de
distinta forma, obteniéndose el mismo conjunto como resultado.
Es decir: A ( B C ) = ( A B ) C.
Conmutatividad: la unión de conjuntos permite la conmutatividad; o sea, el
orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto.
Es decir: : A B = B A
O también: A B C = C B A
INTERSECCIÓN.
Asociatividad: la intersección de conjuntos permite asociarlos; o sea,
agruparlos de distinta forma, siendo el conjunto resultado el mismo.
Es decir: A ( B C ) = ( A B ) C
Conmutatividad: la intersección de conjuntos permite la conmutatividad; o
sea, el orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto.
Es decir: : A B = B A
O también : A B C = A C B
Ley distributiva: Tiene también dos formas de expresión:
De la unión respecto de la intersección: ( A B ) U C = ( A U C ) ( B U C )
De la intersección respecto de la unión: ( A U B ) C = ( A C ) ( B C )
DIFERENCIA.
Asociatividad: no cumple ésta condición.
Es decir: A – ( B – C ) ( A – B ) – C
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Conmutatividad: no cumple ésta condición.
Es decir: A – B B – A
Ley distributiva:
_ La diferencia es distributiva con respecto a la unión.
Es decir: (A B ) – C = ( A – C ) ( B – C )
_ La diferencia es distributiva con respecto a la intersección
Es decir: ( A B ) – C = ( A – C ) ( B – C)
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EJERCICIOS:
1) Escribir por extensión los siguientes conjuntos:
A x / x Z y |x| ≤ 5
B = x / x Z y -5< x < 3 se lee x menor que 3 y mayor que -5
C = x / x N y 2 < x < 6
D = x /x N y x es divisor de 6
2) Hallar la intersección de los siguientes conjuntos:
A = { A, B, C, D, E, F} B = { A, J, C, R, D, S, F}
3) Hallar la intersección de los conjuntos C, D.
C = { 5, 7, 9, 15, 19, 23} D = { 5, 7, 11, 13, 19, 23}
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PARES ORDENADOS
Muchas veces se tienen que considerar entes formados por dos elementos,
pero éstos no juegan un mismo rol; a ellos se les denomina pares ordenados.
No se debe confundir, sin embargo, éste conjunto par ordenado, que se anota
(a , b) con el conjunto a , b .
Definición: ( a , b ) = a , a , b
Donde a se denomina primer componente del par o antecedente del par y b se
denomina segundo componente del par o consecuente del par.
OBSERVACIONES.
1_ la condición necesaria y suficiente para que dos pares ordenados sean
iguales es que los antecedentes sean iguales y que los consecuentes también
sean iguales.
Es decir: (a,b) = (c,d) ssi a = c y b = d.
Apareció otro nuevo símbolo: ssi que quiere decir si y solo si.
2_ Ternas ordenadas
(a,b,c) = ( ( a ), (a,b), (a,b,c) )
3_ n-úplas ordenadas
(a1, a2, ....,an) = ( (a1),(a1,a2),......,(a1,a2,....,an) )
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PRODUCTO CARTESIANO
Definición: Sean A y B dos conjuntos de un mismo universo, se dice producto
cartesiano de A y B y se anota A x B al conjunto que tiene como elementos a
los pares ordenados (a,b), donde a A y b B.
Es decir: A x B = a,b a A b B
Ejemplo:
A = a,b , B = 1,2
Entonces: A x B = (a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2)
Al decir «pares ordenados», estamos definiendo un nuevo concepto,
presentado anteriormente, que al ser ordenados, serán diferentes los pares:
(a, b) y (b, a), lo cual nos indica a su vez que dicho producto cartesiano no
goza de la propiedad conmutativa. En efecto, al considerar, por ejemplo, los
conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {m, n} podemos hallar el producto cartesiano
de A x B, resultando:
A x B = {(a, m), (a, n), (b, m), (b, n), (c, m), (c, n), (e, m), (e, n).}.
Sin embargo, si hallamos el producto cartesiano de B x A:
B x A = {(m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (n, a), (n, b), (n, c), (n, d), (n, e).}.
Observándose que en ellos los pares son diferentes, pues aunque están
formados por los mismos elementos, están en distinto orden.
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EJERCICIO:
1) Decir en cuales de los siguientes productos cartesianos hay error e indicar
cual es:
a) {2; 3; 5} X {x; y} = { (2; x) ; (3; x) ; (x; 5) ; (2; y) ; (3; y) ; (5; y)
b) {4; 9} X {8; -7} = { (4; 8) ; (9; 8) ; (4; -7) ; (9; -7) }
c) {a; b; c} X {z; n; s} = { (a; z) ; (b; z) ; (c; z) ; (a; n) ; (b; n) ; (c; n) ; (a; s)
; (c; s) }
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RELACION BINARIA
Dados dos conjuntos A y B llamaremos relación binaria entre los elementos de
A y los de B a cualquier subconjunto R, de A X B.
Es decir: R (A x B)
OBSERVACIONES:
1_ Si A = B, entonces se habla de una relación en A.
2_ El par (a,b) R, se dice que satisface la relación R y se escribe a R b (a
está relacionado con b).
Ejemplo 1: Sean A = 2 , 4 , 5, 6 , B = 1 , 7 ,3 y R:....” es el duplo de “.....
A x B = (2,1) ; (2,3) ; (2,7) ; (4,1) ; (4,7) ; (4,3) ; (5,1) ; (5,7) ; (5,3) ; (6,1) ; (6,7) ;
(6,3)
R = (2,1),(6,3)
Representación grafica:
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7
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Ejemplo 2: sea A = 1,2,3,4,18 y sea B = 2,3,4,6,7,9,20
Y la relación R de A a B es x y, donde “x” son los elementos de A, e “y” los de
B.
Luego R = (3,2) , (4,2) , (4,3) , (18,2) , (18,3) , (18,4), (18,6) , (18,7) , (18,9)
PROPIEDADES DE LA RELACION
1- Reflexiva: Todo elemento esta relacionado consigo mismo. Lo
simbolizamos.
a A / (a ,a) R
Ejemplo: sea V = 1,2,3,4 y sea R = (1,1) , (2,4) , (3,3) , (4,1) , (4,4)
R no es reflexiva ya que (2,2) R.
Hay que considerar que todos los pares (a,a) deben pertenecer a R para que
ésta sea reflexiva.
2- Simétrica o Reciproca: Si un elemento esta relacionado con otro entonces
este esta relacionado con el primero. Lo simbolizamos
a , b A / (a , b) R → (b , a) R
Ejemplo: sean S = 1,2,3,4 y R = (1,3) , (4,2) , (2,4) , (2,3) , (3,1)
Se tiene que R no es simétrica puesto que (2,3) R pero (3,2) R
3- Antisimétrica: Una relación es Antisimétrica cuando no pertenecen a ella
los pares simétricos, salvo los pares cuyas componentes son iguales. Lo
simbolizamos
a , b A / (a , b) R y (b , a) R → a = b
Ejemplo: si W = 1,2,3,4,5 y R = 1,3 , 4,2 , 4,4 , 2,4
R no es una relación antisimétrica en W pues:
4,2 R 2,4 R → 4 = 2 lo que es falso.
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4- Asimétrica: Una relación es Asimétrica cuando no pertenecen a ella los
pares simétricos Lo simbolizamos.
a , b A / (a , b) R → b R a
5- Transitiva: Si un elemento esta relacionado con otro y éste esta relacionado
con un tercero entonces el primero esta relacionado con el tercero Lo
simbolizamos
a , b, c A / (a , b) R y (b , c) R → (a , c) R
Ejemplo: sean A = a,b,c y R = (a,b) , (c,b) , (b,a) , (a,c)
R no es transitiva porque (c,b) R (b,a) R pero (c,a) R
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RELACION DE EQUIVALENCIA
A toda relación que verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva la
llamaremos relación de equivalencia.
Dicha relación particiona el conjunto considerado en subconjuntos llamados
clases de equivalencia.
Estas clases de equivalencia verifican las siguientes condiciones:
-Ninguna de ellas es .
-La unión de todas ellas es igual al conjunto dado
-No existen elementos comunes a dos clases.
Resumiendo:
Toda relación de equivalencia produce una partición del conjunto en clases de
equivalencia y toda partición corresponde a una relación de equivalencia.
Ejemplo: A = x / x es palabra y R = (x , y) / ( x , y ) A x A y “x tiene el
mismo número de sílabas que y”
Prop. reflexiva: Toda palabra tiene el mismo número de sílabas que sí misma.
Prop. simétrica: Si una palabra tiene el mismo número de sílabas que otra,
entonces ésta tiene el mismo número de sílabas que la primera.
Prop. transitiva: Si una palabra tiene el mismo número de sílabas que otra y
ésta tiene el mismo número de sílabas que una tercera entonces la primera
tiene el mismo número de sílabas que la tercera.
Luego esta relación es de equivalencia.
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RELACION DE ORDEN
A toda relación que verifica las propiedades reflexiva, Antisimétrica y transitiva
la llamaremos relación de orden amplio ( ).
A toda relación que verifique las propiedades asimétrica y transitiva la
llamaremos relación de orden estricto ( ).
Ejemplo: Sea A = 2,3,4 y R: “ “ definida en A. El conjunto relación es el
siguiente:
R = (2, 2) ,(3,3) , (4,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) .
Prop. reflexiva: todo número es menor o igual que si mismo
Prop. antisimétrica: los pares simétricos no pertenecen a R.
Prop. transitiva: R es transitiva porque (2,3) R (3,4) R y (2,4) también
R.
Luego esta relación es de orden amplio.
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EJERCICIOS UNIDAD 1
1) Escribir por extensión los siguientes conjuntos:
a) A x / x N x 8
b) B x / x N 4 x 11
c) C x / x N 2 x 3
d) D x / x es Nº impar 1 9
2) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos:
a) A 2,4,6,8
b) B 1,3,5,7,9
c) C a,e,i,o,u
d) D lunes,martes,miércoles,jueves,viernes,sábado,domingo
3) Dados los siguientes conjuntos:
A 2,4,6,8
B 1,3,5,7,9
C 2,3,5
D 1,2,3
E 2,3
Hallar:
a)AUB
b)AUD
37
c)A∩B
d)A∩D
e)BUC
f)B∩C
g)CUD
h)C∩D
i)D∩E
j)CUE
k)CxD
l)DxE
m)AxE
n)A - B
ñ)A - C
o)B - C
p)C - D
q)D – C
RESPUESTAS EJERCICIOS PAGINA 27
1)
A 5 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5
B 4, 3, 2, 1,0,1,2
C 3,4,5
D 1,2,3,6
2)
A∩B A,C,D,F
3)
C∩D 5,7,19,23
38
RESPUESTAS EJERCICIOS PAGINA 30
a) Hay error en el tercer par ordenado ( x ; 5 ), el mismo debería ser (5;x)
b) No hay error
c) Falta el par ordenado ( b ; s ).
RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 1:
1)
a) A = 1,2,3,4,5,6,7,8
b) B = 5,6,7,8,9,10
c) C =
d)D 3,5,7
2)
a) A = x / x es Nº par 1 x 10
b) B = x / x es Nº impar 1 ≤ x 10
c) C = x / x es una vocal
d) D = x / x es día de la semana
3)
a)AUB = 1,2,3,4,5,6,7,8
b)AUD = 1,2,3,4,6,8
c)A∩B =
d)A∩D = 2
e)BUC = 1,2,3,5,7,9
f)B∩C = 3,5
g)CUD = 1,2,3,5
39
h)C∩D = 2,3
i)D∩E = 2,3
j)CUE = 2,3,5
k)CxD = 2;1) , (2;2) , (2;3) , (3;1) , (3;2) , (3;3) , (5;1) , (5;2) , (5;3)
l)DxE = 1;2) , (1;3) , (2;2) , (2;3) , (3;2) , (3;3)
m)AxE = 2;2) , (2;3) , (4;2) , (4;3) , (6;2) , (6;3) , (8;2) , (8;3)
n)A - B = 2,4,6,8
ñ)A - C = 4,6,8
o)B - C = 1,7,9
p)C - D = 5
q)D – C = 1
40
_UNIDAD_2: GEOMETRIA DEL PLANO Y DEL ESPACIO
GEOMETRÍA DEL PLANO
Importancia del Estudio de la Geometría
Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio
al escuchar, leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas
proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y critica, antes de
hacer conclusiones.
Otro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la habilidad para
analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y aplicar la
perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.
El objetivo de la geometría es, en principio, el estudio de las formas y de las
propiedades de los cuerpos naturales. Estos son demasiado variados para que
semejante estudio sea posible; por eso el geómetra sustituye esos cuerpos por
figuras, llamadas figuras geométricas, que son imágenes esquematizadas,
figuras que son posible definir rigurosamente y, por consiguiente, estudiar con
precisión.
41
RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Punto
Elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las
palabras posición y dimensión no se definen, por lo tanto la palabra punto no se
define.
El punto es algo semejante a la intersección de dos “hilos tensos”. Por lo tanto
es una creación del ingenio, no tiene existencia experimental.
Representación Grafica:
Se lo hace por medio de una marca ( • o x )
Denominación:
Por medio de una letra minúscula.
Ej.: a(x ,y) b(x, y, z)
Recta
La figura geométrica más sencilla es la recta. Es aquella cuya imagen está
representada por un “hilo tenso”. La recta es otra creación del ingenio; la línea
no tiene existencia experimental.
Dos hilos tensos que tengan los mismos extremos coinciden: es un hecho
experimental. Por lo tanto se debe aceptar la siguiente proposición: “por dos
puntos distintos, pasa una y solamente una recta”.
Entonces la recta queda definida por dos puntos. Además no tiene principio ni
fin.
42
Representación Grafica y Denominación:
Por medio de dos letras minúsculas que representan a dos puntos cualquiera
en la recta.
o por medio de una letra mayúscula cerca de la recta
Plano
Un plano es conjunto infinito de puntos.
Un plano esta determinado por:
a) Tres puntos no colineales (2 van a estar obviamente en una misma línea,
pero el otro no tiene que estarlo).
b) Una recta y un punto externo.
c) Dos rectas que se intersectan.
d) Dos rectas paralelas.
Representación Grafica y Denominación:
Se denominan por medio de letras del alfabeto griego.
43
CONCEPTO DE SEGMENTO, SEMIRRECTA Y SEMIPLANO
Segmento
Se llama segmento a una porción de recta limitada por dos puntos.
Es decir, es la parte de la recta F entre a y b, incluido los puntos a y b .
Dichos puntos se denominan extremos del segmento.
Entonces, un segmento tiene principio y fin.
Representación Grafica:
Denominación:
Por los extremos del segmento:
El número que expresa a que distancia se encuentra a de b se llama medida o
longitud de ab . usaremos el símbolo mab para denotar la longitud de ab.
Semirrecta
El punto o separa a la recta H en dos partes iguales. Cada una de esas partes
se llama semirrecta. La semirrecta tiene principio (el punto o), pero no fin.
Representación grafica:
Denominación:
Ox: La semirrecta de origen O que contiene al punto x.
Oy: La semirrecta de origen O que contiene al punto y.
44
Semiplano
La recta C separa al plano en dos partes. Cada una de esas partes se llama
semiplano, C es el origen de cada semiplano
45
EL PARALELISMO EN EL PLANO
Posiciones relativas de la recta en el plano:
Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano (el plano del
papel) y no tienen ningún punto en común. Es decir, no se cortan nunca. La
distancia entre ellas es constante
Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en
cuatro regiones.
Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al
plano en cuatro regiones iguales. Forman ángulos de 90º al cortarse
46
ANGULOS
Definición:
Es una forma geométrica que está formada por dos semirrectas ac y ab que se
cortan en un mismo punto.
Representación Grafica:
Elementos de un ángulo:
-Lados del ángulo:
(son las semirrectas)
-Vértice del ángulo:
Origen (punto a)
Denominación:
1) La letra del vértice entre las otras dos: bac o bâc
2) Por la letra del vértice : a; â
3) Por una letra, o número en el ángulo:
a
b
c
47
Clasificación de los ángulos:
OBSERVACIÓN:
A la medida de los ángulos la vamos a tratar en un tema posterior.
Sentido de giro de los ángulos
Los ángulos pueden tener dos sentidos de giro:
_ si la semirrecta ab del 1º gráfico gira como las agujas del reloj se denomina
horario, y son ángulos negativos.
_ si gira en sentido contrario a las agujas del reloj se denomina antihorario, y
son ángulos positivos.
Debe notarse que la semirrecta ac no debe moverse.
Medidas de Angulo
Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de
circunferencia, como ”s” en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo
central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Otra forma de medir los ángulos es mediante el RADIAN:
Es la medida de un ángulo cuyo arco subtendido es igual al radio.
48
El sistema sexagesimal:
Si s = 1/360 C, donde C es la longitud de la circunferencia, la unidad angular es
un grado sexagesimal, cada grado está dividido en 60 partes iguales llamadas
minutos y a su vez éstos están divididos en 60 partes iguales llamadas
segundos. Los símbolos para estas unidades son:
Grado ° Minuto „ Segundo "
Dicho de otro modo, se llama grado sexagesimal a la 180 ava parte del ángulo
llano (divido el ángulo llano en 180 partes iguales, entonces cada partecita se
denomina grado sexagesimal).
Ejemplo:
Si un ángulo ABC mide 38 grados 15 minutos y 12 segundos, se escribe:
38º 15’ 12’’.
Recordar que 60 segundos = 1 minuto. 60minutos= 1 grado.
1) SUMA Y RESTA DE ANGULOS
a)SUMA:
Para sumar grados en el sistema sexagesimal se procede como sigue:
Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados
con grados.
Luego de sumarse las columnas de segundos y minutos deben quedar
expresadas por debajo de los 60. En el ejemplo a los 94” descontamos 60
segundos (1 minuto) en la tercer columna y lo agregamos a la segunda
columna. Como es superior a 60’ lo que queda en la segunda columna se le
descuenta 60’ (es decir 1°) y lo agregamos a la primera columna.
49
b) RESTA:
Para restar ángulos en el sistema sexagesimal, si una columna del minuendo
es menor que la del sustraendo se pide 1 unidad a la columna de la izquierda y
se agregan 60 unidades a la columna de la derecha. Por ejemplo si pido a la
columna de los grados, cada grado son 60 minutos y eso es lo que sumo a la
columna de los minutos.
50
2) Multiplicación de ángulos por un numero natural:
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los
grados minutos y segundos por ese número:
4º 20’ 10’’.
x 5
20º 100’' 50” = 21º 40’ 50”
como 100’ = 1º 40’ se tiene que: 20º 100’ 50” = 21º 40’ 50”
3)División:
Para dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado
grados, minutos y segundos entre este número natural:
51
EJERCICIOS:
1) Sumar:
2) Restar:
52
POLIGONOS
Línea poligonal:
Es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.
Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la
línea poligonal se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta .
Polígono:
Es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Ejemplos:
53
Los elementos de los polígonos son :
a) Lados: segmentos que limitan el polígono , AB , BC , CD , DA .
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos , A , B , C , D. En
todo polígono el nº de lados y el número de vértices coincide .
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación
de otro consecutivo.
Ángulo interior = ABC
Ángulo exterior = CBF
Propiedades de los ángulos de un polígono:
1_ la suma de las amplitudes de los ángulos exteriores de un polígono es igual
a la de 4 ángulos rectos (es decir, 360º).
2_ la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un polígono es igual
a la de dos ángulos rectos multiplicado por el número de lados menos 2.
La fórmula de cálculo es la siguiente:
S = 2•r•( n – 2 ) S 180 • n – 2
Donde: n = número de lados.
Ejemplo:
Para un triángulo n = 3, y r = 90º, entonces:
S = 180º•( 3 – 2 ) = 180º.1= 180º
Para un heptágono ( 7 lados )
S 180 • 7 – 2 900
54
3_ Para hallar la amplitud de un ángulo interior de un polígono regular ( tiene
todos sus lados y ángulos iguales) se divide S por el número de lados.
1 ángulo interior = S ÷ n
4_ Para calcular el numero de lados ( n ) de un polígono conociendo S ( suma
de los ángulos interiores), de la formula S 180 • n – 2 se despeja n.
Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo – Cuadrilátero – Pentágono – Hexágono – Heptágono –
Octógono –Eneágono – Decágono
b) Por su forma:
Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales
Convexo: es aquel en el cual es imposible trazar un segmento tal que alguno
de sus puntos no pertenezca a la figura, si los extremos del segmento son
puntos que pertenecen al polígono.
Cóncavo: es aquel en el cual algunos puntos del segmento no pertenecen al
polígono.
55
CUADRILATEROS
Cuadriláteros. Clasificación:
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de
cuatro lados y por lo tanto cuatro ángulos . Se clasifican según el paralelismo
de sus lados en :
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los trapecios se pueden clasificar en:
- Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio escaleno, es el que tiene los lados no paralelos desiguales
3.Paralelogramos:
Son aquellos cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos y
por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados
opuestos son iguales.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
- Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos),
pero los lados adyacentes no son iguales.
- Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
56
- Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.
- Paralelogramo, es el que tiene sus lados opuestos y sus ángulos opuestos
iguales.
4. Romboide: Tiene dos pares de lados consecutivos iguales y los ángulos
formados por los lados desiguales son iguales.
57
EJERCICIOS UNIDAD 2
1) Suma
2) Resta
3) Multiplicación
4) División
5) Hallar la suma de los ángulos interiores de:
a) un pentágono
58
b) un hexágono
c) un eneágono
d) un decágono
6) Dada la suma de los ángulos interiores, hallar el número de lados de
los siguientes polígonos.
a) 1620º
b) 1260º
c) 3240º
d) 360º
RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 1
1) Suma
2) Resta
3) Multiplicación
4) División
59
5) Suma de los ángulos interiores
a) 540º
b) 720º
c) 1260º
d) 1440º
6) Números de lados
a) 11 lados
b) 9 lados
c) 20 lados
d) 4 lados
60
_UNIDAD_3: NUMEROS NATURALES
CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
Son los primeros números utilizados por el hombre para contar y ordenar los
elementos.
Es un conjunto infinito. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento,
es decir, no termina nunca.
Se puede indicar el conjunto de números naturales de la siguiente forma:
N = {1,2,3,4,5,.....................}
Para incluir al cero se debe ampliar el conjunto de números naturales:
N0 = 0,1,2,3,4,5,..................
61
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, totalmente
ordenado por la relación “ ”.
Todo número natural tiene un siguiente.
Entre dos números naturales existe un número finito de números
naturales. Por eso se dice que el conjunto es discreto.
62
ORDEN DE LOS NUMEROS
Ordenación de los números.
La representación y, por lo tanto, la ordenación de los números naturales se
hace en una recta que se llama recta numérica.
A cada número natural le corresponde un punto, y siempre se debe mantener
la misma distancia entre 2 números consecutivos.
Una vez situados los números, será más grande aquel que se encuentre más a
la derecha, así por ejemplo el 2 es mayor que el 0.
Una forma de comparar dos números es utilizar los siguientes símbolos:
mayor que 6 4
menor que 3 8
mayor o igual que 8 8
menor o igual que 1 6
63
DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Nuestro sistema de numeración se llama decimal porque los órdenes
sucesivos de unidades aumentan o disminuyen de diez en diez. El número diez
es la base de este sistema.
También pueden concebirse otros sistemas cuya base sea diferente de diez,
dos por ejemplo.
En un sistema de base dos, o sistema binario, dos unidades de un orden
determinado forman una unidad de orden inmediatamente superior. En éste
sistema hay solo una cifra significativa.
En general, se llama base de un sistema de numeración al número de
unidades de un orden determinado que hay que agrupar para formar una
unidad de orden inmediatamente superior.
64
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NUMEROS NATURALES
Suma de números naturales:
A la función f: IN0 x IN0 IN0 que a cada par ordenado de números naturales
le hace corresponder la Suma de sus componentes la llamamos ADICIÓN.
También lo escribimos :
1 + 2 = 3
SUMANDOS SUMA
Resta de números naturales:
A la relación R: IN0 x IN0 IN0 que a cada par ordenado cuya primera
componente es mayor o igual que la segunda, le hace corresponder la
diferencia entre sus componentes, la llamamos SUSTRACCIÓN o RESTA.
También lo escribimos :
5 - 2 = 3
Minuendo Sustraendo DIFERENCIA
La sustracción permite, conociendo la suma de dos números naturales y uno
de ellos, hallar el otro que participó en la suma.
Por lo tanto, es la operación inversa a la adición.
65
OBSERVACIÓN
No se puede realizar la resta en el conjunto de los números naturales si el
sustraendo es mayor a minuendo.
4 – 8 = - 2 pero el número ( - 2 ) no pertenece al conjunto IN
Producto de los Números Naturales:
A la función R: IN0 x IN0 IN0 que a todo par ordenado de números naturales
le hace corresponder un número natural que es el producto de los números
dados, la llamamos PRODUCTO o MULTIPLICACIÓN.
También lo escribimos :
4 x 5 = 20
multiplicando PRODUCTO
multiplicador
El multiplicando y el multiplicador se denominan factores del producto.
División de números naturales:
A la relación R: IN0 x IN0 IN0 que a todos los pares ordenados, cuya primera
componente es múltiplo de la segunda y cuya segunda componente es distinta
de cero, les hace corresponder un número natural llamados COCIENTE entre
los números dados.
También lo escribimos :
40 / 2 = 20
Dividendo Divisor COCIENTE
66
Ejemplo:
31 / 6 = 5 + 1
Dividendo Divisor COCIENTE Resto
Nota: Obsérvese que al efectuar la división en el ejercicio 1 se obtuvo resto
igual cero, en este caso decimos que la división efectuada es una división
exacta entre dos números naturales y que el cociente hallado es cociente
exacto.
OBSERVACIÓN:
Si llamamos D al dividendo, d al divisor, Q al cociente y R al resto, podrá
establecerse de una manera general la relación:
D = d . Q + R
Con la condición de que debe ser R < d.
Criterios de divisibilidad:
Se llama criterio de divisibilidad a la condición que debe satisfacer un número
para que sea divisible por otro número determinado.
Es evidente que, en virtud de la definición de la división, dicha condición se
reducirá siempre a que el resto de la división del número propuesto por el
divisor dado sea cero, pero el objeto de la teoría de la divisibilidad es poder
establecer dichos criterios en forma de propiedades numéricas, sin que haya
necesidad de efectuar en cada caso la división.
Dados dos números a y b se dice que a es divisible por b o que a es múltiplo de
b, si la división a ÷ b es una división exacta (resto nulo).
Los números que solo tienen como divisores a él mismo y la unidad se llaman
números primos.
Para obtener los números primos es necesario recordar los siguientes criterios
de divisibilidad:
67
Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 o en cifra
par
Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras
es un múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras
de la derecha son ceros o forman un número divisible por 4.
Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5.
Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez.
Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 cuando lo es la suma de sus
cifras.
Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 si termina en 0.
Divisibilidad por 11: un número es divisible por 11 cuando la suma de las
cifras de lugar impar menos las de lugar par es 0 o múltiplo de 11. Por ejemplo
82709 y 4675 son múltiplos de 11.
Divisibilidad por 25: un numero es divisible por 25 si sus dos ultimas cifras
son ceros o veinticinco. Por ejemplo 200 , 325 , 125 , 400 , etc.
68
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES
Hay otras propiedades de interés, que son útiles a la hora de resolver
ecuaciones algebraicas.
Propiedad uniforme: si se suma un mismo número natural a los dos miembros
de una igualdad, se obtiene otra igualdad.
Ejemplo:
Igualdad de partida _ 8 = 2 • 4
Aplico la propiedad _ 8 + 6 = (2 • 4) + 6
Resuelvo → 14 = 8 + 6
Igualdad de llegada → 14 = 14
Propiedad cancelativa: si en ambos miembros de una igualdad figura un
mismo sumando, éste puede suprimirse.
Ejemplo:
Igualdad de partida → 3 + 9 + 5 = 12 + 5
69
Aplico la propiedad → 3 + 9 + 5 = 12 + 5
Igualdad de llegada → 3 + 9 = 12
Suma y resta con paréntesis, corchetes y llaves y factor común:
Hay dos formas de realizar los ejercicios:
1) Quitar todos los paréntesis, después los corchetes y después las llaves, y
por último realizar las operaciones.
Nota: A estas expresiones en la que se combinan sumas y restas se las llama
“sumas algebraicas”. A cada uno de los números que figuran sumando o
restando los llamamos términos
2) Realizar las operaciones poco a poco (recomendado).
5 4 2 5 6 8 7 5 4 2 5 6 1 5 4 2 0 5 2
7
a) 48 - [ 13 – (8 – 5) + (9 – 5) ] – 2
b) 129 - [ (41 – 17) + (29 – 15) ] – 38 – (36 + 17)
c) [ 46 – 3 – (7 + 2) ] - [14 – 7) + 8 ] } – 5
d) 80 + 5 + [ 28 – (5 – 4) + 1 ] – 2 } - 3
Dado el siguiente ejemplo : 8 • 3 + 5 • 3 – 2 • 3 = 3 • ( 8 + 5 – 2 ).
Observamos que 3 es factor común pues 3 es un factor que figura en todos
los términos
Ejemplo1 Ejemplo 2
2 • a + 2 • f – 2 • g = 8mn + 8ma – 8mb =
= 2 • ( a + f – g ) = 8m • (n + a – b )
2 es factor común 8m es factor común
70
EJERCICIOS:
1) Hallar el factor común de los siguientes términos:
1) 2 x y + 8 x z – 2 z
2) 6 a b + 3 a b c + 2 a b d
3) 12 + 18 + 24
2) Dada la siguiente división 16 / 3 decir si el cociente de la operación es
exacto.
3) Al agrupar alumnos de un colegio en clases de 25 alumnos sobran 16 y hay
8 clases. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
4) En una oficina de alquiler de coches renuevan los vehículos cada año. Uno
de los coches costó $22.700. Ha estado alquilado 518 días a $50 pesos por
día. Se gastaron en él $2.300. en arreglos de taller y se vendió por $13.400.
¿Cuánto dinero dejó de ganancias el coche?
5) Tres personas heredan una casa y un terreno valuados respectivamente en
$67.000 y $12.000. La primera persona conserva la casa, la segunda el
terreno. ¿Que suma de dinero debe entregar la primera persona a cada una de
las otras dos, sabiendo que heredan partes iguales?
71
ECUACIONES
Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica.
A la primera parte de la igualdad se la llama 1er miembro y a la segunda se la
llama 2do miembro. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo
resultado
Ejemplo: x – 8 = 2 + 5
1er miembro 2do miembro
Hay distintos tipos de igualdades:
Una igualdad numérica: 2+5=4+3
Una igualdad algebraica: 2x+3x = 5x
Una función: 3x+2 = y (Una función es una expresión algebraica igualada a
“y”)
Resolución de ecuaciones:
Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la
incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.
Pasos para resolver una ecuación:
1. Se resuelven las operaciones donde no interviene la incógnita.
2. Se pasan el o los términos con incógnita al 1er miembro y los términos
que no posean incógnitas al 2do miembro.
3. Resolvemos las operaciones correspondientes
4. Despejamos la incógnita.
5. Obtenemos la incógnita.
72
Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3:
x + 5 = 32 + 7 x + 3 + 8 = 12 – 3 8x + 6 = 2x + 24
x + 5 = 39 x + 11 = 36 8x – 2x = 24 - 6
x = 39 – 5 x = 36 – 11 6x = 18
x = 34 x = 25 x = 18 : 6
(ya que el 6
multiplica a la x
en el 1er
miembro y por
ende pasa como
división)
x = 3
Nota: Todo termino que figura restando en uno de los miembros de la igualdad
pasa al otro miembro sumando, al igual que si esta sumando pasa al otro
miembro restando. De la misma forma sucede cuando multiplica y pasa
dividiendo y cuando divide y pasa al otro miembro multiplicando. Cuando
pasamos términos de un miembro a otro de una igualdad, decimos que
efectuamos un pasaje de términos.
Los términos que pasan dividiendo o multiplicando no cambian de signo al
efectuar el pasaje. (Pasan con el signo que tienen)
73
EJERCICIOS:
1) Hallar el valor de la incógnita:
a) x – 3 = 64 – 2
b) x – 2 + 3 = 12 : 4 + 1
c) x + 8 = 8 + 2 . 3
d) 2x – 1x = 15 + 1
e) 7x + 3 = 5x + 9
RESPUESTAS:
1)
a) x = 65
b) x = 3
c) x = 6
d) x = 16
e) x = 3
74
POTENCIACION
POTENCIACION
Definición: se define como potencia de base a y exponente n a un número b,
tal que b se obtiene multiplicando a la base por si misma, tantas veces como
indica el exponente.
an = b b a a a a........ a
n veces
Ejemplos:
33 = 27 27 3 3 3
3 veces
25 =32 32 2 2 2 2 2
5 veces
75
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
1) Cero elevado a cualquier exponente distinto de cero, da por resultado cero.
0n
=0 con n 0 04 = 0
09 = 0
2) Uno elevado a cualquier exponente da por resultado 1.
1n = 1 1
3 = 1
15 = 1
3) Todo número elevado a la uno da por resultado dicho número.
a1 = a 5
1 = 5
181 = 18
En la practica el exponente 1 es el único que no se escribe y todo numero (
3,7,11,etc) a los fines de determinadas operaciones se los considera con
exponente 1.
4) Todo número ( distinto de cero) elevado a la cero, da por resultado 1.
n0 =1 con n 0 9
0 = 5
(-15)0 = 1
-80 =-1 ( el cero afecta al 8 pero no al signo)
5) Cero elevado a la cero no tiene solución.
00
NO TIENE SOLUCION
76
6) Producto de potencias de igual base me da por resultado otra potencia que
tiene la misma base, y por exponente la suma de los exponentes de los
factores.
am•a
n = a
m+n
32•3
3 = 3
2+3 = 3
5 = 243
23•2
4 = 2
3+4 = 2
7 = 128
7) División de `potencias de igual base me da por resultado otra potencia que
tiene la misma base y por exponente la resta de los exponentes (exponente del
dividendo menos exponente del divisor).
am : a
n = a
m-n
37 : 3
4 = 3
7-4 = 3
3 = 27
215
: 213
= 215-13
= 22 = 4
8) Potencia de otra potencia me da por resultado otra potencia que tiene la
misma base y por exponente el producto de los exponentes.
(am)n = a
m.n
(22)3 = 2
2.3 = 2
6 = 64
9) Si la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo.
(-a)par
= positivo
(-3)2 = 9
(-2)4 = 16
10) Si la base es negativa y el exponente impar, el resultado es negativo.
(-a)impar
= negativo
(-5)3 = -125
(-2)5 = -32
77
11) Propiedad distributiva. La potencia es distributiva solamente con respecto a
la multiplicación y la división.
(a • b)n = a
n • b
n (2 5)
2 = 2
2 5
2 = 4 25 = 100
(a : b)n = a
n : b
n (8 : 2)
2 = 8
2 : 2
2 = 64 4 = 256
12) Potencia de exponente negativo. Es la inversa de la base elevada al mismo
exponente pero positivo. El signo de la base no cambia
(-1/2)-3
=(-2)3 = -8
13) Potencia de exponente fraccionario. Se puede transformar en una raíz cuyo
índice es el denominador del exponente, cuyo radicando es la base de la
potencia elevado a un exponente que es el numerador del exponente de la
potencia.
14) Cuando en una fracción aparecen potencias se pueden subir al numerador
o bajar al denominador sin mas que cambiar el signo al exponente; es decir
78
que una división de potencias se puede transformar en producto cambiando el
signo del exponente del divisor.
Cálculo del m.c.m. y m.c.d. de dos o más números:
Antes de presentar el cálculo de dichos números, vamos a describir varios
conceptos.
Recordemos que se dice que un número a es divisor de b cuando la división
de b por a es exacta.
Un número puede tener varios divisores, pero el número de éstos divisores, por
ser inferiores al número dado, es finito.
Si un número a es divisor de un número A, todo divisor de a es evidentemente
divisor de A.
Análogamente, si un número A es múltiplo de un número a, todos los múltiplos
de A son múltiplos de a.
Cuando varios números son divisibles por otro, de éste último se dice que es su
divisor común.
Por ejemplo, 8 es el divisor común de 32, 72 y 88.
Si varios números tienen divisores comunes, el número de éstos es finito; el
mayor de todos éstos divisores comunes se denomina máximo común divisor
(m.c.d.) de dichos números.
79
Así, 18, 24, 36 tienen por divisores comunes a 2, 3, 6; su m.c.d. es 6.
Se denomina mínimo común múltiplo de varios números, al menor de sus
múltiplos comunes.
Entonces, el procedimiento de cálculo de éstos 2 números es:
Lo primero que hay que hacer es descomponer los números en producto de
factores primos .
El m.c.m va a ser el número más pequeño que se puede dividir por los dos a la
vez, y se obtiene a partir de los factores comunes y no comunes tomados cada
uno con su mayor exponente.
El m.c.d. va a ser es el mayor número que puede dividir a los dos a la vez y se
obtiene a partir de los factores comunes al menor tomados cada uno con su
menor exponente.
75 3 60 2 m.c.m.=22·3·52 =300
25 5 30 2 m.c.d.=3·5=15
5 5 15 3
1 5 5
1
75=3·52 60=22·3·5
En este caso, 300 sería el menor número (mínimo) que se podría dividir por 75
y por 60 a la vez , ya que 300 : 75=4 300 : 60=5.
Por otro lado, 15 sería el mayor número (máximo) que podría dividir a 75 y 60,
ya que 75 : 15=5 60 : 15=4.
De esta forma se puede calcular intuitivamente el mcm y mcd de cualquier
combinación de números, por ejemplo: 25 , 10 , 40 mcm = 200 porque es el
número más bajo que se puede dividir por los tres y mcd = 5 porque es el
número más alto que puede dividir a los tres.
80
EJERCICIOS:
Resolver aplicando propiedades.
1) 29 : 27
+ (32)2 – 52 = 2
2) (6 – 2 )2 –39 : 37 + 2
3) 45 . 43 : 46 . 47
: 46 =
4) (7 – 5 + 2)2 + 22 . 25 : 24
– 39 : 37 =
5) 52 + 29
: 26 –37
: 35 + 350 =
6) a) Encuentra el numero que elevado al cuadrado es igual a 64.
b) ¿Y cuál es el número que elevado al cubo es 27?
7) Calcular: a) 35 + 36 b) (23)3
8) Hallar el m.c.m de 6; 12 y 24.
9) Hallar el m.c.m de 84 y 36.
10) Hallar el m.c.d de 135, 144 y 180.
11) Hallar el m.c.d y el m.c.m de: a) 360, 96, 78 b) 210 y 80
RESPUESTAS :
1) 61
2) 11
3) 64
4) 15
5) 25
6) a) 8 b) 3
7) a) 279 b) 512
8) m.c.m. = 23.3=24
9) m.c.m. = 22.32.7 = 252
10) m.c.m. = 32= 9
11) a) m.c.m. = 25 32
5 13 = 18720 ; m.c.d. = 2 3 = 6
b) m.c.m. = 24 3 5 7 = 1680 ; m.c.d. = 2 5 = 10
81
RADICACION
DEFINICIÓN: Se define como raíz de índice n y radicando a, a un número b, si
y solo si b elevado a la n me da por resultado a
con n perteneciente a los naturales
donde:
n : se denomina índice y pertenece a los naturales
a : se denomina radicando
b : se denomina raíz
: se denomina radical
Ejemplos:
La raíz de índice 2 es la única en la cual el índice no se escribe y se denomina
raíz cuadrada.
La raíz de índice 3 se denomina raíz cúbica, las demás se denominan por el
índice, raíz cuarta, quinta, sexta , etc.
82
PROPIEDADES DE LA RADICACION
PROPIEDADES DE LA RADICACION
1) La raíz de cualquier índice, de cero da por resultado cero.
2) La raíz de cualquier índice de uno da por resultado uno.
3) Si el radicando es negativo y el índice es impar, el resultado es negativo.
4) Si el radicando es negativo y el índice es par, no tiene solución en el campo
de los números reales. No existe ningún numero real que elevado al cuadrado
o a cualquier número par, me de por resultado un número negativo.
5) Raíz de otra raíz : me da por resultado otra raíz cuyo radicando es el mismo
y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces.
83
6) Propiedad distributiva: La radicación es distributiva solamente respecto a la
multiplicación y a la división.
7) Producto y división de raíces: Todo producto o división de raíces se puede
realizar solo si los índices de ambas raíces son iguales y el resultado es otra
raíz que tiene el mismo índice y por radicando el producto o división de los
radicandos dados.
84
8) Potencia de una raíz
De estos ejemplos se puede deducir que el exponente de una potencia y el
índice de una raíz se pueden simplificar y también que el exponente de una
raíz se puede escribir dentro del radical como exponente del radicando.
85
1) Resolver:
2) Resolver los siguientes ejercicios:
3) Resolver aplicando propiedades.
RESPUESTAS:
1) a) 16
b) 70
2) a) 5
b) 52
c) 8
3) a) 5
b) 44
c) 12
2
86
EJERCICIOS UNIDAD Nº 3
1) Resolver los siguientes ejercicios.
2) Resolver las siguientes ecuaciones.
87
RESPUESTAS:
1) a) 13
b) 11
c) 23
d) 1
e) 22
f) 9
2) a) x = 3
b) x = 5
c) x = 6
d) x = 4
e) x = 1
f) x = 12
88
_UNIDAD_4: NUMEROS ENTEROS
CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
Una operación tan sencilla como la sustracción no es posible efectuarla en los
números naturales (como ya mencionamos antes) si el sustraendo es mayor
que el minuendo.
Si se descompone el sustraendo en dos sumandos, uno de ellos igual al
minuendo, al efectuar la sustracción quedará por restar el segundo número.
Así: 5 – 9 = 5 – (5 + 4) = - 4
Se generaliza entonces el concepto de número, llamando número negativo a
éste último número.
Esta primera ampliación del concepto de número permite también resolver
otras cuestiones de índole geométrica, física, etc.
Ejemplo:
En la escala centígrada de temperaturas no quedará determinada una
temperatura diciendo que es de 7 grados; habrá que precisar si éstos 7 grados
están por encima o por debajo del cero, es decir, +7ºC o –7ºC.
Definiciones:
Se llama número positivo a todo número distinto de cero precedido del signo
más (+)
Se llama número negativo a todo número distinto de cero precedido del signo
menos (-)
Todo número positivo es mayor que otro número negativo cualquiera.
Todo número negativo es menor que cero.
89
Dados dos números negativos, el de mayor valor absoluto, es menor que el de
menor valor absoluto.
-8 -3
Es decir que en la recta numérica, a medida que me alejo del 0, hacia la
izquierda, el número es cada vez menor que los que lo preceden, en cambio si
me desplazo a la derecha del 0, a medida que me alejo del mismo, el número
es cada vez mayor que los que lo preceden.
Representación de los enteros en la recta numérica.
-1 0 1 0
-2 -1 2 1
- 3 -2 3 2
Una vez situados los números en la recta numérica, será mas grande aquel
que esté situado mas a la derecha, así por ejemplo –2 es mayor que –6 ( -2>-6)
y 7 es mayor que 3 ( 7>3).
3 y –3 son números opuestos
Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y signos
opuestos.
-8 y 8
90
DEFINICION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS
Definición:
El conjunto de los números enteros es el conjunto de las clases determinadas
por la relación de equivalencia definida en INo x INo.
En símbolos
a,b c,d a d b c
Notación:
Z+ → Enteros Positivos
Z- → Enteros Negativos
Relaciones entre los conjuntos naturales y enteros:
Z Enteros
.
Una definición más clara es:
El conjunto de números naturales (o enteros positivos), junto con el cero y los
enteros negativos constituyen el conjunto de los números enteros.( Z )
Propiedades del Conjunto de Números Enteros:
El conjunto de los números enteros es un conjunto infinito y totalmente
ordenado por la relación “ ”
Todo número entero tiene un sucesor y un antecesor.
El conjunto de los números enteros no tiene primero ni último elemento.
Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros,
es decir que Z es un conjunto discreto
N
Naturales
Enteros negativos
91
1) La siguiente tabla muestra la altura (positiva sí es sobre el nivel del mar y
negativa sí es bajo el nivel del mar) de algunos picos y fosas marinas.
Observa el cuadro:
PICOS FOSAS
Teide Everest Almanzor Marianas Mindanao Java
ALTURA 3.718 8.848 2.592 -11.524 -11.520 -7.450
Ordena los nombres de menor a mayor altura.
RESPUESTAS:
Marianas, Mindanao, Java, Almanzor, Telde, Everest.
92
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número indica la distancia de un número hasta el cero.
Como es una distancia, el valor absoluto siempre es mayor que cero.
Se expresa entre barras I a I
Dicho de otra forma, el valor absoluto de un número entero es el número que
se obtiene suprimiendo el signo.
Observación: es obvia pero hay que aclararla, el cero no tiene signo.
Ejemplo:
I + 3 I = + 3 I - 2 I = + 2
Por definición, el valor absoluto de un número es siempre no negativo y
verifica:
i) Ia I I-a I a R.
ii) IabI IaI. IbI a,b R .
iii) IaI 0 a 0 .
iv) Ia bI IaI I bI . (Desigualdad triangular).
Ejemplo de las propiedades anteriores:
Como ya se observó en la recta numérica:
I 1 I = I - 1 I = 1
I 2 * 3 I = I 2 I * I 3 I = 2 * 3 = 6
I 2 * -3 I = I 2 I * I -3 I = 2 * 3 = 6
I 5 + 7 I I 5 I + I 7 I → I 12 I 5 + 7 → 12 12 (en éste caso se observa la
igualdad)
I 2 + (-9) I I 2 I + I -9 I → I -7 I 2 + 9 → 7 11 (ahora la desigualdad)
93
_ De dos números enteros positivos, el mayor es el que tiene mayor valor
absoluto.
_ De dos números enteros negativos, el mayor es el que tiene menor valor
absoluto.
94
OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
1- Suma y resta de números enteros:
Definición 1: la suma de dos números enteros de igual signo es otro número
entero de igual signo cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos.
Definición 2: la suma de dos números enteros de distinto signo es otro número
entero tal que:
_ Su signo es igual al del número de mayor valor absoluto.
_ Su valor absoluto es la diferencia de los valores absolutos de los sumandos.
(+5) + ( +6 ) = +11 ; ( -5 ) + ( -6 ) = -11 ; ( -5 ) + ( +6) = 1 ; ( +5 ) + ( -6 ) = -1
En el caso de que tengamos muchos signos seguidos se pueden sumar los
positivos por un lado y los negativos por otro y restarlos , dejando el signo del
mayor .
5-2+8-4-1+6-2+4+7 = (5+8+6+4+7) - (2+4+1+2) = 30 – 9 = 21
5 – 9 – 3 + 2 + 5 – 7 + 4 = ( 5 + 2 + 5 + 4 ) – ( 9 + 3 + 7 ) = 16 – 19 = -3
2- .Producto y división de los números enteros:
La regla de los signos:
(+) • (+) = (+) (-) • (+) = (-)
(+) • (-) = (-) (-) • (-) = (+)
Se aplica el mismo criterio a la división, solo se reemplaza el • por el ÷.
Por lo tanto el producto o división de números enteros es:
_ positivo si ambos factores son de igual signo.
_ negativo si ambos factores son de distinto signo.
95
Ejemplos:
(+5)·(+6)=+30 (-5)·(-6)=+30 (-5)·(+6)=-30 (+5)·(-6)=-30
(+8):(-4)=-2 (-8):(-4)=+2
En el caso de que haya varios productos seguidos se realizan las operaciones
como si todos fueran positivos y al final se aplica la regla de los signos :
(+5)·(-2)·(+3)·(-1)·(+2)·(-10)= -600.
3.( - 2 ).( - 4 ).5.( - 2 ).( - 3 ) = 720
Si en un producto de n factores la cantidad de signos menos que intervienen es
impar, el resultado es negativo y si la cantidad de signos menos es par el
resultado es positivo.
(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) -32 ( 5 signos menos )
(-3)(-3)(-3)(-3) 81 ( 4 signos menos )
96
EJERCICIOS:
1) Hallar las siguientes operaciones:
a) 7 + 3 + 5 + 4 = Rta: 19
b) – 6 – 6 – 9 – 1 = Rta: - 22
c) 17 – 6 = Rta: 11
d) 12 – 13 = Rta: - 1
e) 6 – 11 + 3 – 8 + 7 = Rta: - 3
f) – 17 – 20 + 40 – 4 – 1 = Rta: - 2
g) – 52 – 13 + 100 + 18 = Rta: 53
h) 89 + 69 – 121 – 56 = Rta: - 19
i) 12 – (+ 25) = Rta: - 13
j) – 35 – (-35) Rta: 0
k) 16 – (+ 28) Rta: - 12
l) 31 – (- 41) Rta: 72
m) 29 – (-74) Rta: 103
2) Hallar el producto o las divisiones:
n) (- 1) . (+ 3) . (- 6) Rta: 18
o) (- 3) . (- 2) . (- 1) . (- 2) Rta: 12
p) (- 15) . 2 . 30 Rta: - 900
q) (- 18) : (+ 3) Rta: - 6
r) (- 12) : (- 3) Rta: 4
s) (+10) : (-2) Rta: - 5
97
SUMA Y RESTA CON PARENTESIS, CORCHETES Y LLAVES
Hay dos formas de realizar los ejercicios:
a) Quitar todos los paréntesis, después los corchetes y después las llaves, y
por último realizar las operaciones.
Se debe tener en cuenta que todo paréntesis precedido por un signo “+”,
puede sacarse directamente escribiendo los términos encerrados en el,
con el signo que le precede.
Todo paréntesis precedido por el signo “-“ puede suprimirse escribiendo
los términos encerrados en el, con el signo contrario al que le precede.
b) Se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis, luego dentro de los
corchetes y por último dentro de las llaves, antes de eliminarlos.
Ejemplo:
a)
5 – {4 – 2 + [– 5 + 6 –( 4 – 7)]}
5 – {4 – 2 + [– 5 + 6 – 4 + 7]}
5 – {4 – 2 – 5 + 6 – 4 + 7}
5 – 4 + 2 + 5 – 6 + 4 – 7 –1
b)
5 – {4 – 2 + [ – 5 + 6 – (4 – 7)]}
5 – { 4 – 2 + [ - 5 + 6 – (-3)]}
5 – { 4 – 2 + [ - 5 + 6 + 3]}
5 – { 4 – 2 + [+ 4]}
5 – { 4 – 2 + 4}
5 – { + 6
5 – 6 = –1 Hemos resuelto un mismo ejercicio de las dos formas indicadas.
98
EJERCICIOS:
1) Suprimir ( ), , y resolver:
a) – 3 + - 1 + 4 – ( 3 – 7) + 3 Rta: 7
b) 5 - 3 + ( 1 – 0) – 7 – 2 + 5 Rta: 15
c) - 2 + - 7 + 1 – ( 3 – 1) - 6 – 5 + 3 Rta: 10
2) Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 15 : 3 + 12 = Rta: 17
b) 15 : ( 3 + 12 ) = Rta: 1
c) 10 · 3 + 10 · 8 – 5 ( 3 · 2 + 1 ) = Rta: 75
d) 10 – 10 : 2 + 15 : 3 + 4 · 4 = Rta: 26
3) Resolver:
[ 3 + 4 . 4 – ( 5 – 3 • 2 ) ] + [3 – (- 2 ) ] = Rta: 25
99
OTRAS OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
Suma, resta, multiplicación y división de números enteros:
Si no hay paréntesis el orden de prioridad es:
1º Resolver potencias y raíces
2º Productos y cocientes
3º Sumas y restas
5 + 3·2 = 5 + 6 = 11 5·3 + 2 = 15 + 2 = 17
82:4 + 5 = 64:4 + 5= 16+5 = 21
Suma, resta, multiplicación y división con paréntesis, corchetes y llaves:
Se recomienda ir haciendo las operaciones sencillas a parte, y siempre
teniendo en cuenta que primero se realizan los productos y divisiones, y luego
las sumas y restas.
[8.5+ 4- (3+ 5 -2. 3] :{-4.(6- 8)- 10} =
[40 + 4- 3- 5- 6] : [- 4 .(-2) -10] =
[44- 14 ]: [ 8 -10]=
[30]: [- 2] =-15
100
EJERCICIOS:
1) Resolver las siguientes operaciones combinadas:
a) ( - 2 ) . - - ( 7 – 10 ) + 5 + ( - 4 - 2) : ( - 3)
Rta: 12
b) ( - 4 + 2 ) . - ( 2 – 8 ) . ( 1 – 6 + 2 ) - ( 2 – 2 – 3) . ( - 1 - 1)
Rta: 48
c) ( - 6 + 12) : 6 . ( - 1) - ( - 21 – 3 ) : 8 . ( - 10) : ( - 6)
Rta: 4
101
OPERACIONES CON POTENCIA Y RAIZ
OPERACIONES CON POTENCIA Y RAIZ
an = b/b = a. a. a. ........ . a Con n N y a Z
n veces
Con n N y a Z
Estas definiciones al igual que todas las propiedades de la potenciación y de la
radicación fueron desarrolladas en la unidad 3, en esta unidad agregaremos a
las propiedades utilizadas, aquellas relacionadas con potencias de base
negativa y raíces de índice impar y radicando negativo.
Ejemplos:
(-3)2= 9 (-3).(-3) = 9
(-2)3=-8 (-2).(-2).(-2)=-8
-52 =-25 -(5 5)= -25
En el último ejemplo el exponente afecta al 5 pero no al signo, para que afecte
al signo y al número deben estar dentro de un paréntesis y el exponente fuera
del paréntesis.
(-9)2 =81 pero -92= -81
102
Propiedades de las operaciones con números enteros:
103
104
ECUACIONES CON NUMEROS ENTEROS
Se resuelven aplicando los mismos pasos utilizados para la resolución de
ecuaciones de números naturales.
Ejemplo 1:
x – (– 2) = 3 – 8
x + 2 = - 5
x = – 5 – 2
x = – 7
Ejemplo 2:
x + ( + 3 x) = (– 4) . 6 + 12
x + 3 x = – 24 + 12
4 x = – 12
x = – 12 : 4 el 4 pasa dividiendo con el signo que tiene
x = – 3
Ejemplo 3:
2 x – 5 x = ( – 8) . (– 3)
-3 x = + 24
x = + 24 : ( – 3) el -3 pasa dividiendo con el signo que tiene
x = – 8
105
EJERCICIOS:
1) Hallar el valor de la incógnita.
a)x – 7 – 12 Rta: x = –5
b)x – – 4 – 4 – 2 Rta: x = 4
c)4x – 7x 2 20 Rta: x = –6
d) Rta: x = –11
e) Rta: x = 3
106
LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE MATEMATICO
En muchos de los problemas, la dificultad inicial es encontrar su traducción
matemática, que exprese las relaciones establecidas en el problema.
Para facilitar la traducción de un lenguaje a otro (lenguaje coloquial al lenguaje
simbólico) hay que conocer ambos, es decir encontrar una expresión que
comunique la misma idea.
Veamos como realizar la traducción:
Pensar un número x
Duplicarlo 2 x
Sumarle 13 2 x + 13
A ese resultado restar 8 (2 x + 13) – 8
107
EJERCICIOS:
1) Completar la tabla con el lenguaje simbólico
2) Pasar al lenguaje simbólico y luego hallar el valor de la incógnita.
a) Si a un número se lo incrementa en cuatro unidades da por resultado
37. ¿Cuál es el número?
b) Si a un número se le disminuye en 3 unidades da por resultado la
mitad de veinticuatro ¿Cuál es el número?
108
RESPUESTAS:
1) a) 3x
b) x:2
c) x - 1
d) x + 1
e) -x
2)a) x + 4 = 37 x = 33
b) x – 3 = 24 : 2 x = 15
109
EJERCICIOS UNIDAD Nº 4
1) Ejercicios combinados.
2) Resolver las siguientes ecuaciones.
110
RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 4:
1) a) 15
b) -14
c) 22
d) 16
e) 0
f) 31
g) 19
h) 9
i) -33
j) -4
2) a) x = -5
b) x = 5
c) x = 4
d) x = 1
e) x = -3
f) x = -1
g) x = 6
h) x = 10
i) x = 7
j) x = 3
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Enciclopedia temática Océano.
Tapia 1 y 2- Editorial Estrada.
Apuntes universitarios:
Teoría de conjuntos, cátedra de Matemática I