1

1 Teoría de Conjuntos

Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o

números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se

denominan “elementos”.

Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:

El conjunto formado por los colores de la bandera de Argentina.

La colección de letras de la palabra “murciélago”.

El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.

La agrupación de números naturales menores que 10

La agrupación de números impares entre 0 y 20.

1.1 Notación de conjuntos

Ejemplo: utiliza la notación correcta para escribir los conjuntos dados

A= El conjunto formado por los colores de la bandera de Argentina.

…………………………………………………………………………………..

B= La colección de letras de la palabra “murciélago”

……………………………………………………………………………………

C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238

………………………………………………………………………………….

D= La agrupación de números naturales menores que 10

……………………………………………………………………………………….

E= La agrupación de números primos entre 0 y 20

……………………………………………………………………………………

1.2 Determinación de conjuntos

La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para

determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por

comprensión.

1.2.1 Determinación de conjuntos por extensión

Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto.

Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es

infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos

Ejemplo: Planetas del sistema solar ………………………………………………………..

Números pares entre 1 y 15 ………………………………………………………..

1.2.2 Determinación de conjuntos por comprensión

Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los

elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:

{x/x cumple la propiedad},que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad

Ejemplo:Determina por comprensión los siguientes conjuntos A={luna}= ……………………………………………………………..

B={a;e;i;o;u}= ………………………………………………………………

C={a;b;c;c;e ……z} = ………………………………………………………….

2

1.3 Representación gráfica de conjuntos

Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn. Estos diagramas

fueron descubiertos por el lógico y matemático británico John Venn (1834–1923). Esta representación

más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en figuras geométricas planas y cerradas; dentro

de cada figura se ponen los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados en el

desarrollo de este texto.

1.4 Relaciones de conjuntos

Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.

1.4.1 Relación de pertenencia

El signo que representa la relación de pertenencia es, que fue descubierto por el matemático y

filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858 –1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría

de conjuntos.

En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o

simplemente que, x está en A se simbolizax A

1.4.2

1.4.3 Relación de Inclusión de conjuntos

es una relación que vincula a conjuntos conjuntos. Se simboliza con (está incluído en) o (no está

incluído en )

Ej.: Sea los conjuntos A= { a;e;i;o;u} B= { a;e;i;o;u;f;g;h} C= { f;g;h} D= { a;h;t; m}

A B A C A D C B B D

3

1.5 Clases de conjuntos

1.5.1 Conjunto finito

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus

elementos se pueden nombrar o enumerar.

Ejemplo: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está

formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}

1.5.2 Conjunto vacío

Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como

un conjunto sin elementos.

Ej: ………………………………………………………………………………………………………...

1.5.3 Conjunto unitario

El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.

Ej.: A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II} es un conjunto unitario.

1.5.4 Conjunto binario

El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos.

Ej: ………………………………………………………………………………………………………

1.5.5 Conjunto universal

El conjunto universal es el conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Se denota por U y también se le llama conjunto universo. Si en un estudio intervienen los conjuntos A={a, b, c}, B={f, g, h, i, j} y C={x, y}, entonces el conjunto universal U del contexto es: U={a, b, c, f, g, h, i, j, x, y}

1.5.6 Conjunto infinito

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus

elementos no se pueden nombrar o enumerar.

Son ejemplos de conjuntos infinitos los conjuntos numéricos como los naturales (N)

4

1.6 Operaciones entre conjuntos

Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia y el

complemento.

1.6.1 Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes de

ambos conjuntos es decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota

Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A ∩ B=……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A ∩ B=………………….

1.6.2 Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no

comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota

Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A U B=……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A U B=………………….

5

1.6.3 Diferencia de conjuntos

La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no

comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están

en B y se denota A-B

Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A - B =……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A - B=………………….

1.6.4 Complemento de un conjunto

El complemento de un conjuto A respecto de su Universal (U) es un conjunto formado por los

elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A

𝐴 = U-A = {x/x U ^ x A}

Ej: Sean U = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21} A = {17, 18} B = { 11, 12, 13}

Represéntalos gráficamente y halla 𝐴 y 𝐵

6

2 Funciones. Generalidades 2.1 Coordenadas cartesianas

Para ubicar puntos en un plano, se utiliza un sistema de referencia llamado sistema de ejes

cartesianos .Consiste en dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de

coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas ( se la simboliza con x), y la

recta vertical se denomina eje de ordenadas (se la simboliza con y)

La primera coordenada del punto siempre es xy la segunda coordenada siempre seráy; a partir de

esta característica se lo denomina par ordenado.

2.2 Relación

Una relación es una característica o propiedad que relaciona a los elementos del conjunto de partida

con los elementos de un conjunto de llegada.

Ej:

…es amigo de …..

….. calza el nº …….

……tiene como hermano a ……

……es autor del libro……

……es menor que …..

2.3 Función

Una función es una relación que le hace corresponder a cada elemento del conjunto de partida

(Dominio) uno y solo un elemento en el conjunto de llegada (Codominio).

Ej:

….. calza el nº …….

……tiene como DNI a ……

……profesa la religión ……

2.4 Formas de expresión de una función

2.4.1 Coloquial

Ej:

….. es novio de …….

……tiene como doble a ……

7

……va al colegio ……

2.4.2 Mediante Diagramas de Venn:

2.4.3 Mediante LEY

En las funciones numéricas se llama ley a la expresión simbólica de la relación matemática que vincula

a los elementos de partida (a los que se llama genéricamente x) con los elementos de llegada ( a los

que se llama genéricamente y o imágenes)

Ej: ……tiene por doble a …….

Y = 2. X y= 2.x f(x)= 2.x Ley de la función

X: variable independiente

F(x) o y : variable dependiente o imagen de x

Ej.: Dadas las siguientes funciones representadas por diagramas de Venn, analiza la relación entre los

valores de partida y llegada y escribe la ley de la función

F(x) = …………… F(x) = …………… F(x) = ……………

Ej: Dada la función f(x) = 3.x – 2 , halla f(3), f(-1) y f(1/3)

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

Ej.: Dada la función f(x) = 2x + 4 halla x tal que f(x) = 6

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

2.4.4 Mediante el uso de tablas:

Ejemplo:

x F(x)= 2.x A los valores de f(x) (que

también llamamos “y”,

los calculamos

reemplazando el valor de

A los valores de x los

proponemos

1

2

3

2

3

4

2

3

4

3

5

7

2

3

4

4

9

16

8

x en la ley de la función

2.4.5 Mediante Gráficas Cartesianas:

Además de la expresión analítica de una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar gráficas para

visualizarlas y entenderlas de una forma rápida:

Al unir los puntos, la curva representada se

llama gráfica de la función.

En este caso la gráfica de la función es una

…………..

2.5 Reconocimiento de Funciones

2.5.1 A partir de representación por diagramas de Venn

Recordemos que para que una relación sea función, a cada elemento del conjunto de partida (Dominio)

le debe corresponder un UNICO elemento en el conjunto de llegada (CODOMINIO).

Ej.: Analiza si las siguientes relaciones son funciones

……………………. ……………………. ……………………. …………………….

2.5.2 A partir de gráficas cartesianas

Si al trazar una vertical cualquiera, dicha vertical corta a la grafica cartesiana en más de un punto,

entonces, NO SE TRATA DE UNA FUNCIÓN.

Ej.: comprueba cuáles de las siguientes gráficas representan funciones

x F(x) = 2.x Puntos

-3 2. (-3)= -6 P1 (-3;-6)

-2 2. (-2)= -4 P2 (-2;-4)

-1 2. (-1)= -2 P3 (-1;-2)

0 2.0= 0 P4 (0;0)

1 2.1= 2 P5 (1; 2)

2 2.2= 4 P6 (2;4)

3 2.3= 6 P7 (3;6)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

9

2.6 Dominio, Codominio y Rango o Recorrido

Dominio: es el conjunto de valores de partida de una función. A sus elementos se los identifica con la

letra x. Estos valores deben hacer posible la existencia de un valor de llegada también llamado Imagen.

Ej: f(x) = 3.x – 5 el dominio de esta función es R porque ………………………………………….…..

………………………………………………………………………………………………………..….

……………………………………………………………………………………………………..…….

Ej: f(x) = 1/x el dominio de esta función es {R – 0} porque ………………………….………………..

…………………………………………………………………………………………..……………….

………………………………………………………………………………………………………..….

Ej.:

Cuando hay un problema en el dominio, la

gráfica de una función no tiene imagen en ese

valor de x. Se dice que la gráfica se hace asíntota

a una vertical que pasa por ese valor de x y

escapa hacia el +∞ o el -∞

…………………………………………………..

………………………………………………..

…………………………………………………..

Codominio: es el conjunto de valores de llegada de una función. A sus elementos se los identifica con

la letra y. En nuestro caso, en este curso estamos estudiando funciones reales, por lo tanto el

Codominio de todas las funciones que estudiemos será el conjunto R.

Rango, Recorrido o conjunto Imagen:El es subconjunto del codominio formado por los valores que

efectivamente son imágenes de valores del dominio.

Ej,:

x

x

x

y

y

y

10

2.7 Raíces de una Función

Dado un valor de partida x0, se dice que x0 es raíz de la función f(x) si y solo si f(x0) = 0

Ej: Verifica si x0= 3 es raíz de la función f(x) = x2 – 6x + 9

……………………………………………………………………………………………………

Ej: Verifica si x0= 5 es raíz de la función f(x) = x2 – 6x + 9

……………………………………………………………………………………………………

Desde el punto de vista geométrico, las raíces son los puntos donde la gráfica cartesiana de f(x) corta al eje x.

Ej. : Identifica en cada gráfica las raíces de cada función

2.8 Intervalos de Monotonía

Se llama así a los intervalos o conjuntos de valores de partida (x) para los cuales la función f(x) se comporta de una misma manera es decir: crece, decrece o permanece constante.

2.8.1 Función creciente

F(x) crece en el intervalo (a;b)

dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) >f(x1)

2.8.2 Función decreciente

F(x) decrece en el intervalo (a;b)

dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) <f(x1)

2.8.3 Función constante

F(x) es constante en el intervalo (a;b)

dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) =f(x1)= K K R

11

2.9 Intervalos de conservación de signo

2.9.1 Función positiva

F(x) es positiva en el intervalo (a;b) para toda x (a;b) f(x) >0

2.9.2 Función Negativa

F(x) es negativa en el intervalo (a;b) para toda x (a;b) f(x) <0

12

2.10 Análisis de Gráfica cartesiana

Ejemplo: Analiza la siguiente gráfica e informa:

a) F(-1), f(2) y f(-4) b) Raíces c) Intersección con el eje y (ordenada al

origen) d) Intervalos de monotonía e) Intervalos de conservación de signo ……………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ………………………………………………………………

2.11 Función Inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1

que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1

(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f−1

es el codomino de f.

El codominio de f−1

es el dominio de f.

Las gráficas de f y f-1

son simétricas respecto de la bisectriz

del primer y tercer cuadrante.

2.11.1 Ley de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

13

Ej.: Sea f(x)= 2x – 6, halla la ley de f-1 (x) Y= 2x – 6 Y + 6 = 2x (𝑦 +6)

2= x

y/2 + 6/2 = x

½. Y + 3 = x f-1(x)= 𝑦 = 1

2 𝑥 + 3

14

3 Función Lineal 3.1 Su ley

La función lineal tiene como ley un polinomio de primer grado o de grado cero. Su ley tiene esta forma

F(x) = m.x + hm;h R m= pendiente h= ordenada al origen

Ej.: f(x) = 2x – 4 ……………………………………………………………………………………………………………………… f(x) = 5x ……………………………………………………………………………………………………………………… f(x) = -3 ………………………………………………………………………………………………………………………

3.2 Su gráfica

La gráfica de una función lineal es una ………………..

3.3 Significado geométrico de m

15

3.4 Significado geométrico de h

Dada una función lineal del tipo y= m.x + h, si evaluamos a la función en x=0 queda:

y=m. 0 + h y= h P(0;h) pertenece a la recta

Por eso, como la recta intersecta al eje y justo en el punto h, dicho valor h se llama “ordenada al

origen”

16

3.5 Trazado simplificado de una función lineal

3.6 Pertenencia de un punto a una recta

Se dice que un punto P( x1 ; y1 ) pertenece a una recta "r" cuando alreemplazar en la ley de la función

se cumple que

y1= m.x1 + h

Ej.: Verifica si los puntos P1(3;5) y P2 (5;7), pertenecen a la recta y=2x – 1

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

3.7 Intersección de una recta con los ejes coordenados

cartesianos

Para hallar la intersección con el eje x

debemos plantear que la coordenada y del

punto en cuestión debe ser cero y=0

m.x + h = 0

m.x= -h

x= -h/m Ej.: La recta graficada tiene como ley

y= -2/3 x +2 entonces -2/3 x + 2= 0

Para hallar la intersección con el eje y

debemos considerar que la coordenada x

vale cero, entonces y= m.0 + h y= h

Ej.: En la recta que estamos estudiando y =

-2/3.0 + 2 y= 2

17

3.8 Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

Sean las rectas r1 y r2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, se cumple que: a) r1 // r2 si y solo si m1 = m2

b) r1 ↓ r2 si y solo si m2 = - 1/m1

Ej.: Contesta Verdadero o falso

a) y = 2x + 1 es paralela a y = 2

b) y = 1/3x es perpendicular a y = -3x + 2

c) y = x - 1 es paralela a y = -x + 1

d) y = 2 es paralela a y = -5

e) y = 1 - x es perpendicular a y = -1 + x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Ej. Halla la ley de una función f(x) que sea paralela a g(x) = 3x – 2 y corte al eje y en 7. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Ej. Halla la ley de una función f(x) que sea perpendicular a g(x) = 2x – 4 y corte al eje y en 8.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.9 Ley de la recta que pasa por dos puntos

Ej. Halla la ley de la función lineal que pasa por los puntos P(3; 7) y Q (1;5).

Si el punto P pertenece a la recta entonces sus coordenadas deben cumplir la ley, por lo tanto vamos a

reemplazar las coordenadas de ambos puntos en la ley de la función.

Y= m.x + h 7 = m. (3) + h

5= m.1 + h

Escribamos más sencillo…. 7 = 3m + h

5= 1 m + h

Y más sencillo aún... 3m + h= 7 Nos quedó un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas!!

1m + h = 5 Restemos m.a m.

18

2m= 2 Nos quedó una ecuación con una incógnita, podemos

despejar m

m= 1

Reemplacemos la m hallada en cualquiera de las ecuaciones y podremos despejar h

1. (1) + h = 5 h= 5 - 1 = 4 . Entonces la función lineal que pasa

por los puntos dados es y= 1 x +4

19

4 Función cuadrática 4.1 Ley de la Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser

mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2es el término cuadrático bxes el término lineal c es el término independiente

Ej.: f(x)= 3x2 – 2x + 5 a= 3 b= -2 c= 5

4.2 Su gráfica

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva

llamada parábola.

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x f(x) = x2

-3

-2

-1

-0.5

0

0.5

1

2

3

4.3 Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola

cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexasi sus ramas o

brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o

con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 −

3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o

con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 +

2x + 3

20

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

4.4 Forma canónica de una función cuadrática

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente

manera:

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k)

las coordenadas del vértice de la parábola.

21

Ej.: f(x) = 3. (x – 2)2 +1

4.5 Forma Factorizada de una función cuadrática

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

siendo a el coeficiente principal de la función, y x1 y x2 las raíces de f(x)

Ej.: f(x) = -2. (x – 1). (x + 3)

4.6 Forma Polinómica de una función cuadrática

Ordenada al Origen

Es el punto de intersección de la parábola con el eje y.

Sus coordenadas son siempre: P(0;c)

Raíces

Como las raíces de cualquier función, son los valores de

x tales que f(x) es cero.

x es raíz de f(x) f(x)=0

Entonces, como en este caso f(x)= ax2 + bx + c,

pediremos que f(x)= ax2 + bx + c =0

Nos queda entonces una ecuación cuadrática que podrá

tener hasta dos soluciones, que obtendremos a través de

la siguiente fórmula…

Ej; Sea f(x)= 2x

2 -5x-2, halla el valor de sus raíces

…………………………………………………………………………………………………………..

22

………………………………………………………………………………………………………….

.

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

Vértice de la parábola

El vértice de una parábola es un punto con las siguientes coordenadas V(vx: vy)

Donde vx y vy se pueden calcular a partir de los datos a, b y c que son los coeficientes que aparecen en

la ley de la función

Vx= −𝑏

2𝑎

Vy= − (𝑏2−4𝑎𝑐 )

4𝑎

Ej; Sea f(x)= 2x2 -5x-2, halla las coordenadas del vértice

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

4.7 Discriminante. Concepto y Propiedades

Al plantear las raíces tuvimos que encontrar solución a la ecuación:ax2 +bx +c = 0 Esas solución se obtiene a partir de la fórmula de la Resolvente, pero dentro de dicha fórmula podemos definir un valor importante: el discriminante

Podemos distinguir tres casos:

Si el discriminante = b2 – 4ac< 0 , entonces no hay soluciones reales de la ecuación. (Necesita

de números complejos para manejar este caso adecuadamente)

Si el discriminante = b2 – 4ac = 0, hay únicamente una solución.

Si el discriminante = b2 – 4ac> 0, entonces el símbolo ± significa que obtiene dos respuestas.

Las soluciones de esta ecuación corresponden a las intersecciones en el eje x de la parábola que

es gráfica de la función cuadrática

Así, se puede usar el discriminante para encontrar el número de intercepciones en x de una parábola.

23

Parábola con dos

intersecciones en x

(discriminante positivo)

Parábola con una

intersección en x

(discriminante cero)

Parábola sin intersección

en x

(discriminante negativo)

24

5 El conjunto de los Números Reales 5.1 El conjunto de los números racionales (Q)

Un número racional es un número que se puede escribir comofracción .

Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto o como un

número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten

Escribamos como fracción a los siguientes números:

a) 3= ………… b) 0,25= ………. c) 1,5= ………….. d) 0,02= ………… e) 0,2222222..= ………..

5.2 El conjunto de los números Irracionales (I)

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción (el decimal sigue para

siempre sin repetirse) .Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o

fracción).Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

5.2.1 Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue

sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras

decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:1,61803398874989484820... (y

más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

5.3 El conjunto de los números reales (R)

Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a partir de los

números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.

Con los números naturales, que son enteros y positivos, (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede

restar a – b si b es mayor que a; por ejemplo si hacemos 3-5= -2 y ya no nos da como resultado un número

natural. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales

constituyen el conjunto de los números enteros (Z).

Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir a / b si a no es múltiplo

de b; por ejemplo si hacemos 1 2= 0,5 no es un número entero.

Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los

números racionales.

25

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (a/bsi b 0).

Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las

diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él ( ,

π , entreotros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.

Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números reales (R).

5.4 Algunos símbolos que usaremos a lo largo del curso

5.5 Radicales Aritméticos

Se llama Radical aritmético a toda expresión algebraica (producto de números y/o letras) donde uno de

los factores es una raíz irracional

Ej: 8 ; ……………………………………………………………………………………

5.6 Propiedades de los Radicales Aritméticos

Ej.:

Ej: …………………..

El valor de una raíz no varía si multiplicas o divides por un mismo número al índice y al exponente del

radicando.

26

Ej.: =

Ej.: ……………………………………..

Ej.: Cuando el número bajo el radical es grande es conveniente descomponerlo en factores primos

Ej.:

El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.Esta propiedad nos indica que

resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-

radicales con el mismo índice, en términos generales:

Ej.: ……………………..

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.Esta propiedad nos indica que

resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-

radicales con el mismo índice, entérminos generales:

Ej.: …………………………………………. Potencia de una raíz:Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical

la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

Ej.: …………………… Raíz de una raíz:Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los índices de los radicales y

escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se conservan las cantidades

sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma:

27

Ej.: …………………………… NOTA: No existe ninguna propiedad que distribuya la suma o la resta en un radical.

5.7 Simplificación de Radicales Aritméticos

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando,

se obtiene un radical equivalente.

5.8 Extracción de factores de los Radicales Aritméticos

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente

obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor

dentro del radicando.

5.9 . Operaciones con Radicales Aritméticos

5.9.1 Suma y resta de Radicales Aritméticos

Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.

Son radicales semejantes: ya que en ambos el índice de la raíz es 4 y la parte literal es x

No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la parte literal es la misma.

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No son radicales semejantes: porque la parte literal es distinta.

Son radicales semejantes: aunque tienen distinto coeficiente numérico, tienen igual raíz e igual parte literal

Ejemplos:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5.9.2 Producto y cociente de Radicales Aritméticos

Multiplicación de raíces de igual índice

Según una propiedad de los radicales:

Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno

de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado

multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después.

Ejemplo 1:

Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los

números para finalmente multiplicarlos.

Ejemplo 2:

………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ejemplo 3:

Calcular el producto de =

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Ejemplo 4:

Calcular el producto de

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

29

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Multiplicación de raíces de distinto índice

Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es obligatorio reducir esos índices

distintos a un índice común(igual para todos los radicales).

¿Cómo hacerlo?

El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, que será el índice común.

Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por

sus exponentes correspondientes.

Veamos un ejemplo:

Si tenemos …………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

Otro ejemplo: =……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

División de radicales

El proceso es parecido, veamos el ejemplo:

= ………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………….

5.10 Racionalización de Denominadores

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes

pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización

de los denominadores.

Se pueden dar DOS casos: CASO 1: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera se multiplica y divide

por una misma expresión, cuya raíz tiene el mismo índice. El contenido va a ser el mismo pero los nuevos

exponentes, al sumarse con los anteriores, deben dar como resultado el índice de la raíz

Por ejemplo:

1

253 =

1

523 . 53

53 =

53

533 = 53

5

30

Otro ejemplo: 6

24 =

CASO2: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una

raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una

suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del

tipo (Diferencia de cuadrados!!)

Otro ejemplo:

5.11 Potencia de exponente fraccionario

Toda raíz puede convertirse en una potencia de exponente fraccionario. Este exponente será una fracción cuyo

numerador será el exponente del contenido de la raíz y cuyo denominador será el índice de la raíz.

Ejemplos:

La suma de los exponentes debe dar igual que el índice de la raíz, o sea 3

31

6 Números Complejos 6.1 Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i lo que implica que = i

Ej.:

6.1.1 Potencias de la unidad imaginaria

i 0 =1 i

4 =i

2 .i

2 =(-1).(-1)=1 i

8 =i

4 .i

4 =(-1).(-1)=1

i 1 =i i

5 =i

4 .i=1.i= i i

9 =i

8 .i=-1.i=-i i= - i

i 2 = −1

2

2 = -1 i

6 =i

4 .i

2 =1.(-1)=-1 i

10=i

8 .i

2 =1.(-1)= -1

i 3 =i

2 .i=-1.i= -i i

7 =i

6 .i=(-1).i = - i i

11 =i

10 .i=(-1).i = - i

Revisando los cálculos anteriores se puede comprobar que las primeras cuatro potencias se repiten, por

lo tanto podemos establecer un algoritmo para calcular cualquier potencia de la unidad imaginaria. Por

ejemplo:

i22 = i2

= − 1

6.2 Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real.i es la unidad imaginaria. Ej.:

……………………………………………………………………………

6.3 Números complejos en forma binómica

Al número a + bile llamamos número complejo en forma binómica.El número ase llama parte real

del número complejo. El número bse llama parte imaginaria del número complejo

Ej.: ………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por:

Los números complejosa + bi y −a − bi se llaman opuestos.

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Los números complejosz = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma

componente imaginaria.