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Curso de conjuntos y n´ umeros. Apuntes Juan Jacobo Sim´ on Pinero Curso 2017/2018

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Curso de conjuntos y numeros.

Apuntes

Juan Jacobo Simon Pinero

Curso 2017/2018

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Indice general

I Conjuntos 5

1. Conjuntos y elementos 71.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . . . . . . . . . . . . 71.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Operaciones con subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . . . . . . . . . . 131.4. Pares, producto y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Aplicaciones 192.1. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Clasificacion de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Imagenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Inversa de una aplicacion biyectiva . . . . . . . . . . . . . 27

3. Ordenes en conjuntos 313.1. Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Elementos notables en un COPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Conjuntos bien ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Relaciones de equivalencia 394.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. El conjunto cociente y la proyeccion canonica . . . . . . . . . . . 414.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Conjuntos numericos 455.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1. Orden y operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . 525.2. Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1. Escritura decimal de numeros racionales. . . . . . . . . . 575.4. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5. Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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4 INDICE GENERAL

5.6. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.1. Forma exponencial de un numero complejo. . . . . . . . . 65

5.7. Conjuntos numerables y no numerables . . . . . . . . . . . . . . 67

6. Analisis combinatorio. 696.1. Variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1. Numero de variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3. Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

II Numeros y polinomios 73

7. El anillo de los numeros enteros. 757.1. Artimetica de los enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.1. Division entera y maximo comun divisor. . . . . . . . . . 757.1.2. Mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1.3. La ecuacion diofantica lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 837.1.4. Numeros primos. Teorema Fundamental dela Aritmetica . 84

7.2. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2.1. Propiedades aritmeticas de las congruencias . . . . . . . . 877.2.2. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.3. Teorema Chino de los Restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.4. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8. Polinomios 998.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . 99

8.1.1. Division entera y divisibilidad en K[X ] . . . . . . . . . . 1018.2. Raıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.3. Factorizacion y raıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.4. Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5. Polinomios irreducibles en Q[X ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6. Factores multiples en cuerpos numericos. . . . . . . . . . . . . . . 113

A. Apendice 115A.1. La funcion sucesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2. Operaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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Parte I

Conjuntos

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Capıtulo 1

Conjuntos y elementos

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.

Comenzamos con la definicion de conjunto de G. Cantor (1845-1918). Vease[6, 9].

Un conjunto es una coleccion (dentro de un todo) de distintos objetosdefinidos por nuestra intuicion o pensamiento

Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepcion intuitiva de losconjuntos.

La nocion formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matematicaque quedan fuera del alcance de este texto. Tambien queda fuera del alcancede este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hayunos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamoselementos.

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.

Las colecciones a las que llamaremos conjuntos seran construidas de las si-guientes dos formas principales.

1. Por extension: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo

A = {X1, . . . , Xn, . . . } o A = {a, b, c, . . .}.

2. Por comprehension: a traves de una formula proposicional que siempretendra, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un con-junto,

A = {X ∈ B | p(X) (es verdadera) } .Cuando sea obvio quien es el conjuntoB por el contexto, podemos omitirlo.

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8 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anterioresdetermina un unico conjunto.

1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos.

1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x | x es una vocal }.

2. A = {0, 2, 4, . . .} o A = {x ∈ N | x es par }.1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehension y extension,los siguientes conjuntos:

1. Los numeros naturales que son impares y menores que 20.

2. Las vocales de la palabra “murcielago”.

3. Los numeros impares positivos.

1.2.3. Observacion. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura decomprehension es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debeser, de antemano, un conjunto. De no ser ası, podemos tener problemas, comose muestra a continuacion.

Sea U la coleccion de todos los conjuntos y definimos

A = {x ∈ U | x 6∈ x} .

Si U fuese conjunto entonces A tambien lo serıa y entonces es inmediata lasiguiente proposicion: A ∈ A si y solo si A 6∈ A, conocida como la paradoja deRussell.

Lo que ocurre aquı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemosformar el conjunto A por comprehension.

1.2.4. Notacion. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a ∈ A. Encaso contrario escribimos a /∈ A.

1.2.5. Inclusion. Sean A y B conjuntos. Decimos que A esta contenido en B,o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B.

Se denota A ⊂ B y se expresa a ∈ A ⇒ a ∈ BSi A no esta contenido en B entonces escribimos A 6⊂ B.

1.2.6. Observacion. Es claro que A 6⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal quea 6∈ B.

1.2.7. Ejemplo. Sea I = {x ∈ N | x es impar } = {x ∈ N | x =2n+ 1, con n ∈ N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n+1 | n ∈ N}.1Entonces I ⊂ N.1.2.8. Notacion. Sean A y B conjuntos, tales que A ⊂ B. Si queremos destacarla posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuandoqueremos poner enfasis en justo lo contrario, escribimos A ( B; lo expresamoscomo a ∈ A ⇒ a ∈ B pero ∃ b ∈ B tal que b 6∈ A.

1 Aunque esta escritura no estaba contemplada y no es rigurosa, se usa mucho y se entiendeperfectamente, ası que podemos introducirla.

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1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9

1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tenganexactamente los mismos elementos. Lo expresamos a ∈ A ⇔ a ∈ B.

1.2.10. Proposicion. Sean A y B conjuntos. A = B si y solo si A ⊂ B yB ⊂ A

Demostracion. Inmediata.

Conjunto vacıo.

1.2.11. Definicion. Un conjunto vacıo es aquel que no tiene elementos.

1.2.12. Proposicion. Sean A y B conjuntos. Si A es vacıo entonces A ⊂ B.

Demostracion. Procederemos por reduccion al absurdo. Sea A un conjunto vacıoy supongamos que existe un conjunto B, tal que A * B. Entonces existe a ∈ Atal que a 6∈ B. Luego A no es vacıo, lo cual es imposible.

1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vacıo.

Demostracion. Inmediata de la proposicion anterior.

Notacion. El (unico) conjunto vacıo se denota ∅1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmacion es verda-dera o falsa:

A = ∅ ⇐⇒ ∀x, x 6∈ A.

1.2.15. Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La coleccion

P(A) = {B | B ⊂ A}

se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A.

1.2.16. Ejercicios.

1. Determinar P(∅).

2. Sea A = {x1, x2, x3}. Escribir P(A) y comprobar que tiene 23 elementos.

3. Probar que A 6= P(A).

Solucion. Solo veremos el ejercicio (3). Supongamos que A = P(A). Se tendraentonces que X ⊂ A implica que X ∈ A. Vamos a formar el conjunto B = {X ∈A | X 6∈ X}. Como B ⊆ A entonces B ∈ A; ademas, ocurre una de dos:

1. B ∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B ∈ B y por tanto B 6∈ B, lo cual esabsurdo.

2. B 6∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B 6∈ B y por tanto B ∈ B, lo cual esabsurdo.

Ası que la suposicion de que A = P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa.Luego lo contrario es verdadero.

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10 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

1.3. Operaciones con subconjuntos

1.3.1. Union. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

se conoce como la union de A y B.

Se escribe x ∈ A ∪B si y solo si x ∈ A o x ∈ B.

Lo contrario es x /∈ A ∪B si y solo si x /∈ A y x /∈ B.

1.3.2. Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con-junto B se tiene que A ⊂ A ∪B.

1.3.3. Interseccion. Sean A y B conjuntos. El conjunto

A ∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

se conoce como la interseccion de A y B.

Se escribe x ∈ A ∩B si y solo si x ∈ A y x ∈ B.

Lo contrario es x /∈ A ∩B si y solo si x /∈ A o x /∈ B.

1.3.4. Definicion. Si A∩B = ∅ se dice que los conjuntos A y B son disjuntos.

Diagramas de Venn

En 1880 John Venn (1834-1923) introdujo los diagramas para una mejorcomprension de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas re-presentan la union e interseccion de dos conjuntos A y B contenidos en otroconjunto, digamos U .

U

A B

✫✪✬✩

✫✪✬✩

Union

��

���

���

���

���

��

U

A B

✫✪✬✩

✫✪✬✩���

Interseccion

1.3.5. Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propieda-des:

1. Si A ⊂ C y B ⊂ C entonces (A ∪B) ⊂ C.

2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. A ⊂ B si y solo si A ∪B = B si y solo si A ∩B = A

4. Como consecuencia, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅.

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1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11

1.3.6. Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hastaotener la maxima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva.

Sea U = R2, el plano euclıdeo, A = {(x, y) ∈ U | x+ y ≤ 3}, B = {(x, y) ∈U | x + y ≤ 7} y C = {(x, y) ∈ U | x − y = 0}. Probar que A ⊂ B y queA 6⊂ C.

Mas en general, si P (r) = {(x, y) ∈ U | x + y ≤ r}, con r ∈ R, probar queP (r) ⊂ P (s) si y solo si r ≤ s.

Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x ∈ U | p(x) }y B = {x ∈ U | q(x) }, entonces A ⊆ B si y solo si [p(x) ⇒ q(x)].

2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com-prehensiva y el de listas. Para cualquier a ∈ N, se define N ·a = {0, a, 2a, . . .} ={x ∈ N | x = na, con n ∈ N}. En este caso, la escritura con lista parece maselegante que la comprehensiva. Tambien puede comprobar facilmente el lector,a partir de la escritura de listas que N · a ∩ N · b = N ·mcm(a, b); sin embargo,la union N · a ∪N · b se escribe mal como lista.

Leyes distributivas.

1.3.7. Proposicion. Sean A, B y C conjuntos. Entonces

1. A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

2. A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Demostracion. Comenzamos con la primera.⊆] Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C; es decir, x ∈ A y

ademas x ∈ B o x ∈ C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x ∈ A y x ∈ B,de donde x ∈ A ∩ B. El otro es x ∈ A y x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ C. No haymas casos y por tanto x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

⊇] Si x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C.Luego x ∈ A en ambos casos y ası, x ∈ A y ademas x ∈ B o x ∈ C, de dondex ∈ A ∩ (B ∪ C).

Vamos ahora con la segunda.⊆] Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces

x ∈ A ∪ B y ademas x ∈ A ∪ C (Ejercicio 1.3.2) luego x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).Ahora, si x 6∈ A entonces x ∈ B ∩ C entonces x ∈ A ∪B y x ∈ A ∪ C (otra vezEjercicio 1.3.2) y por tanto x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪C).

⊇] Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Consideramos dos casos. Primero, si x ∈ Aentonces x ∈ A∪ (B ∩C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x 6∈ A entoncesx ∈ B y ademas x ∈ C por lo que x ∈ B ∩ C, de donde x ∈ A ∪ (B ∩ C).

1.3.8. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia deconjuntos es la coleccion

A \B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}.

Expresado como diagrama de Venn

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12 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

U

A B

✫✪✬✩

✫✪✬✩

�����

���Diferencia

1.3.9. Ejercicio. Considerense los conjuntos A = {x ∈ R | 0 ≤ x2 ≤ 6} y

B = {x ∈ R | x2

2 < 8}. Se pide:

1. Representar estos conjuntos en la recta real.

2. Determinar los conjuntos A∪B, A∩B, A \B y B \A, escribiendolos deforma comprehensiva y graficamente en la recta real.

1.3.10. Complemento. Sean A y U conjuntos, con A ⊂ U . Se conoce comocomplemento de A en U a la coleccion

A∁ = U \A = {x ∈ U | x 6∈ A}.

Leyes de De Morgan.

Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de unmilitar britanico. Hizo contribuciones importantes en algebra, geometrıa y ademasfue cofundador de la London Mathematical Society, ası como su primer presi-dente.

1.3.11. Proposicion. Sean A y B conjuntos.

1. (A ∩B)∁ = A∁ ∪B∁.

2. (A ∪B)∁ = A∁ ∩B∁.

Demostracion.

1. x ∈ (A ∩B)∁ ⇔ x 6∈ A ∩B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ o x ∈ B∁

⇔ x ∈ A∁ ∪B∁.

2. x ∈ (A ∪B)∁ ⇔ x 6∈ A ∪B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ y x ∈ B∁

⇔ x ∈ A∁ ∩B∁.

Expresado como diagrama de Venn

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1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13

U

A B

✫✪✬✩

✫✪✬✩

���

����

�����

���

��

��

���

������

����

��

(A ∩B)∁ = A∁ ∪B∁

U

A B

✫✪✬✩

✫✪✬✩

���

��

��

���

��

����

��

(A ∪B)∁ = A∁ ∩B∁

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones

Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o nonos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par deejemplos.

Sean N el conjunto de los numeros naturales y P el conjunto de los nume-ros pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de losmultiplos pares de n; es decir An = {x ∈ P | x

n ∈ N}.Entonces, la coleccion C = {An}n∈N

no es conjunto porque, por ejemplo,Ap = A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia(de conjuntos).

Aun ası, es claro que podemos considerar su union e interseccion y respetaralas leyes habituales de conjuntos.

Otro ejemplo es el siguiente. Considerese p1(X) = X3 − X2 + X − 1 yp2 = X3 + X2 − 2. Sean R1 y R2 los conjuntos de raıces reales de p1(X) yp2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurarque R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia1 ∈ R1 ∪R2.

1.3.12. Definicion. Una familia de conjuntos es una coleccion {Ai | i ∈ I},donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.

Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto.

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14 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias

Comenzamos con la union. Al ser una operacion binaria y asociativa, po-demos extenderla a una coleccion finita de uniendos. Ası, si A1, . . . , An sonconjuntos se tiene que

A1 ∪ · · · ∪ An =

n⋃

i=1

Ai = {x | x ∈ Ai para alguna i ∈ {1, . . . , n}} .

Cuando la coleccion sea infinita, tambien habra union, pero ya no es unaconsecuencia de propiedades de operaciones binarias. Sera una nueva definicion.

Veamos la version mas general. Nos viene a decir que las uniones mas gene-rales seran conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a unconjunto.

1.3.13. Union arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez,conjuntos. La union arbitraria es el conjunto

∪C = {x | x ∈ A, para algun A ∈ C} .

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ındices y C = {Ai | i ∈ I} ={Ai}i∈I , entonces escribimos

∪C =⋃

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para algun i ∈ I} .

Al igual que sucede con la union, podemos definir la interseccion finita enconjuntos y familias. Si A1, . . . , An son conjuntos entonces la interseccion es elconjunto

A1 ∩ · · · ∩ An =n⋂

i=1

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ {1, . . . , n}} .

1.3.14. Interseccion arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, asu vez, conjuntos. La interseccion arbitraria es el conjunto

∩C = {x | x ∈ A, para todo A ∈ C} .

En el caso de las familias, si I es un conjunto de ındices y C = {Ai | i ∈ I} ={Ai}i∈I , entonces escribimos

∩C =⋂

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ I} .

1.3.15. Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces

1.⋃C = A.

2.⋂C = {b}.

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1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 15

3.⋂P(A) = ∅.

1.3.16. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los numeros primos positivos.Para cada primo, p ∈ P, definimos el conjunto N · p = {0, p, 2p, . . .}, o sea, losmultiplos naturales de p. Entonces:

1. La familia {N · p}p∈P es un conjunto.

2. Np = Nq si y solo si p = q.

3.⋃

p∈P N · p = N \ {1}.

4. Si p1, . . . , pn son primos positivos distintos cualesquiera entonces se tieneque

⋂ni=1N · pi = {0, p1 · · · pn, 2(p1 · · · pn), . . . }

5.⋂

p∈P N · p = {0}.

1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y re-

laciones binarias

En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-rarlos, sustituirlos o con algun otro interes. Una herramienta matematica porexcelencia para estudiar las correspondencias es el concepto de pareja ordenada opar ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadasescribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en terminos de conjuntos.

1.4.1. Definicion. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada pora ∈ A y b ∈ B es el conjunto

(a, b) = {{a}, {a, b}} .

1.4.2. Observacion. La escritura de la definicion anterior puede reducirse mu-cho segun el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}}.1.4.3. Proposicion. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c ∈A y b, d ∈ B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.

Demostracion. Se deduce de la igualdad {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Notese queuna vez que hemos dado fundamento a la definicion de pareja ordenada enterminos de conjuntos, podemos volver a las expresiones anteriores que sonmas familiares y de ser necesario, como en la proposicion anterior, recurrir a ladefinicion formal para asegurar el rigor en los argumentos. El siguiente concepto,producto cartesiano, se nombra en honor de Rene Descartes (1596-1650).

1.4.4. Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesianode A y B es el conjunto

A×B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} .

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16 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

1.4.5. Observacion. Es claro que siendo el producto cartesiano un operacionbinaria, podemos extender el concepto a un numero finito de factores. En estecaso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no esasociativo; sin embargo, la identificacion (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiadoclara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos,teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripcion enterminos de conjuntos para la expresion (a, b, c). Mas adelante le daremos sen-tido, con un concepto mas general, el de producto directo.

1.4.6. Proposicion. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces

A× ∅ = ∅ ×A = ∅.

Demostracion. Supongamos que A× ∅ 6= ∅. Entonces existe una pareja (a, b) ∈A × ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamenteanalogo.

1.4.7. Observacion. De la propia definicion de pareja ordenada se desprendeque si A y B son conjuntos puede ocurrir que A×B 6= B ×A.

1.4.8. Ejercicios.

1. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano.

2. comprobar que A× (B ∪C) = (A×B) ∪ (A× C)

3. comprobar que A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C)

Ahora vamos expresar en terminos de conjuntos la nocion de relacion (ocorrespondencia) entre dos objetos.

1.4.9. Relacion binaria. Sean A y B conjuntos. Una relacion binaria (ocorrespondencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R ⊆ A×B.

Cuando (a, b) ∈ R decimos que a esta relacionado con b (dicho en ese orden)y escribimos aRb, para la formula o regla de comprehension.

Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relacion en A.

Entonces, para referirnos a una relacion, podemos usar dos formas. La pri-mera es describiendo el conjunto R ⊆ A×B y la otra es utilizando una formulao regla para determinar R por comprehension. Vamos a ver ejemplos de ambasformas.

1.4.10. Observacion. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-juntos no vacıos. Otros reservan el termino relacion para correspondencias enun solo conjunto.

Si no causa confusion, diremos relacion en vez de relacion binaria.

1.4.11. Observacion. Notese que puede ser que un elemento a este relacionadocon otro b, pero no recıprocamente.

1.4.12. Ejemplos. 1. Si A = ∅ y B es arbitrario, entonces A×B = ∅ y porlo tanto, la unica posible relacion entre A y B es la vacıa.

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1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 17

2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (quepueden coincidir), una es el vacıo y la otra es la total.

3. Sean A = B = R. El conjunto

R ={(x, y) ∈ R2 | x ≤ y

};

es una relacion con regla xRy ⇔ x ≤ y.

4. Sean A = B = Z2. La regla (a, b)R(a′, b′) ⇔ ab′ = a′b determina unarelacion.

5. Sea A un conjunto. La “diagonal” de A2; es decir, (a, b) ∈ R ⇔ a = b, esuna relacion (la igualdad).

6. Sean A = B = Z. La regla aRb ⇔ a | b (a divide a b; o bien, b es multiplode a, vease la Definicion 7.1.5) determina una relacion.

7. Sean A = B = R. La regla xRy ⇔ y = x2 + 1 determina una relacion.En este caso R = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 + 1} y podemos dibujarla en elplano.

1.4.13. Definicion. Sean A y B, conjuntos, y R una relacion entre A y B.

1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial.

2. Al conjunto B se le llama conjunto final.

3. Se conoce como dominio de la relacion, al conjunto

DomR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R} .

4. Se conoce como imagen de la relacion, al conjunto

ImR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R} .

1.4.14. Ejemplo. Sea R ⊂ R2 tal que

(x, y) ∈ R ⇐⇒ x =y2 − x

y.

Se puede comprobar que DomR = R \ (−4, 0] y que ImR = R \ {−1}, ya que

b ∈ ImR si y solo si existe a ∈ R tal que a = b2−ab si y solo si a = b2

b+1 y de aquıse desprende el resultado.

Se sugiere al lector que considere la relacion

(x, y) ∈ R ⇐⇒ xy + x = y2

y examine el dominio y la imagen.

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18 CAPITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Podemos representar las relaciones en graficas planas, como se hace en elcalculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} yconsiderese la relacion R = {(a, b′), (a, c′), (b, c′)}. La grafica es

a′

b′

c′

d′

a b c

••

Un ejercicio interesante es estudiar la relacion entre la forma de las graficasy las propiedades de las relaciones.

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Capıtulo 2

Aplicaciones

2.1. Relaciones y aplicaciones

En cursos previos hemos visto que una aplicacion es una correspondenciaentre los elementos de dos conjuntos. Mas actualmente, en capıtulos anterio-res hemos expresado el concepto de correspondencia en terminos de conjuntos.Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicacion en terminos de conjuntos.

2.1.1. Definicion. Sean A y B conjuntos. Una aplicacion entre A y B es unarelacion f ⊂ A×B que cumple la siguiente propiedad:

Para todo a ∈ A, existe un unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .

O bien, para todo a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y si (a, b)y (a, c) pertenecen a f , entonces b = c.

Notese que esta definicion en realidad no difiere de la que hemos visto enestudios previos. Estamos diciendo, en terminos de conjuntos, que una aplicaciones una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B,que satisfacen que para todo a ∈ A existe un unico elemento b ∈ B que lecorresponde.

2.1.2. Notacion. Sean A y B conjuntos y f una aplicacion de A a B. Escri-bimos entonces

f : A → B o Af−−→ B.

Ademas, si a ∈ A y (a, b) ∈ f , como b es unico podemos escribir

b = f(a).

En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que tambien lla-mamos regla de corespondencia, a traves de igualdades. Por ejemplo, podemosdefinir f : N→ N tal que f(n) = n2; es decir, f =

{(n, n2) | n ∈ N

}.

Cuando partimos de una igualdad como por ejemplo y = x2 +1 y queremosinterpretarla como la regla de una aplicacion, la llamamos funcion1 y tenemos

1Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones.

19

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20 CAPITULO 2. APLICACIONES

que determinar su “dominio de definicion” es decir, el mayor conjunto que puedeser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 + 1 como la regla decorrespondencia de una aplicacion.

Existen diversas maneras de representar graficamente a las aplicaciones. Va-mos a ver dos de ellas. La primera es tıpica:

Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} conjuntos. Representamos la aplica-cion f : A → B tal que f = {(a, a′), (b, c′), (c, d′)} como

A Ba •

b •

c •

• a′

• b′

• c′

• d′

f

La siguiente es la grafica habitual de las coordenadas, que ya hemos vistopara relaciones.

a′

b′

c′

d′

a b c•

••

2.1.3. Observacion. En ocasiones, sobre todo en el calculo y la topologıa,se suele identificar la aplicacion con la regla de correspondencia y a la propiaaplicacion con la grafica (o grafo).

2.1.4. Observacion. Como hemos dicho, una aplicacion es una relacion, queescribimos f : A → B. De este modo tenemos

1. El dominio de f , que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con elconjunto inicial, ası que este ultimo termino ya no se usa.

2. La imagen (o imagen directa) de f , que es Imf = f(A) ⊆ B.

Ademas, tenemos otras definiciones.

2.1.5. Definicion. Sean A y B conjuntos y f : A → B.

1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f .

2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f , ytiene especial sentido cuando se establece por formula.

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2.2. CLASIFICACION DE APLICACIONES 21

3. Si (a, b) ∈ f , decimos que a es una preimagen de b y que b es la imagende a.

2.1.6. Observacion. Notese que hablamos de “la” imagen de a ∈ A (puestoque esta imagen es unica, por la Definicion 2.1.1) y de “una” preimagen deb ∈ B, porque en este caso no tiene por que haber unicidad.

2.1.7. Ejemplos.

1. Sea A un conjunto. La relacion “diagonal” es una aplicacion que llamamosla identidad.

2. Sea f : Z→ N, tal que f(a) = a2. Entonces f es una aplicacion.

3. La relacion xRy ⇔ x2 + y2 = 1 no es una aplicacion. Sin embargo, y =√1− x2 sı lo es.

2.1.8. Ejemplo. Operaciones binarias. Sean A y B conjuntos no vacıos. Unaley de composicion externa es una aplicacion

B ×A◦−−→ A

cuya imagen habitualmente denotamos b◦a en vez de ◦(b, a). Un ejemplo tıpicode esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales.

Otra operacion binaria es la ley de composicion interna. Sea A un conjunto.Una operacion binaria en A es una aplicacion

A×A◦−−→ A

cuya imagen habitualmente denotamos a ◦ a′ en vez de ◦(a, a′). Un ejemplotıpico de esto es la suma en los numeros naturales.

2.2. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y bi-

yectivas

2.2.1. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion.

1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de laimagen, la preimagen es unica. Escribimos

f(a) = f(b) ⇒ a = b o a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)

2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todoel codominio. Escribimos

∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A tal que f(a) = b.

3. Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

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22 CAPITULO 2. APLICACIONES

2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar facilmente las siguientes afirmaciones:

1. La aplicacion f : N→ N tal que f(x) = 2x es inyectiva, pero no suprayec-tiva.

2. La aplicacion f : N → N tal que f(x) = ⌊x2 ⌋ (la parte entera de x

2 ) essuprayectiva pero no es inyectiva.

3. La aplicacion f : N → N con f(0) = 0 y f(x) = x − 1 para x 6= 0 essuprayectiva pero no es inyectiva.

4. La aplicacion f : [1,∞) → (0, 1] tal que f(x) = 1x es biyectiva.

5. La aplicacion f : R→ R tal que f(x) = x2 no es inyectiva ni suprayectiva.

6. Siguiendo el apartado anterior, vamos a ver que, cuando una funcion vienedefinida por una regla o formula, esta regla por sı sola no es suficiente paradecidir si la aplicacion es inyectiva o suprayectiva, puesto que hay que teneren cuenta tambien el dominio y el codominio de la aplicacion. Por ejemplo:

a) La aplicacion f : Z → Z dada por f(x) = x2 no es ni inyectiva nisuprayectiva.

b) La aplicacion f : N→ N dada por f(x) = x2 es inyectiva pero no essuprayectiva.

c) La aplicacion f : R → [0,+∞) dada por f(x) = x2 es suprayectivapero no es inyectiva.

d) La aplicacion f : [0,+∞) → [0,+∞) dada por f(x) = x2 es biyectiva.

e) La aplicacion f : R → R dada por f(x) = x2 no es ni inyectiva nisuprayectiva.

7. Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′}. Entonces

a) La aplicacion f = {(a, b′), (b, b′), (c, b′)} no es inyectiva ni suprayec-tiva (es constante).

b) La aplicacion f = {(a, b′), (b, c′), (c, d′)} es inyectiva pero no supra-yectiva.

c) Ninguna aplicacion f : A → B puede ser suprayectiva.

8. Sean A = {a, b, c, d} y B = {a′, b′, c′}. Entonces

a) La aplicacion f = {(a, a′), (b, b′), (c, a′), (d, b′)} no es inyectiva ni su-prayectiva.

b) La aplicacion f = {(a, a′), (b, b′), (c, c′), (d, c′)} no es inyectiva pero sısuprayectiva.

c) Ninguna aplicacion f : A → B puede ser inyectiva.

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2.3. IMAGENES DIRECTAS E INVERSAS 23

9. Dada cualquier aplicacion f : A → B, podemos considerar la aplicacionf : A → Imf dada por f(a) = f(a) para cada a ∈ A (se dice que f “actuaigual” que f , y de hecho es comun denotarla con la propia letra f).

Claramente, f (que se suele llamar “la restriccion de f a su imagen”)

siempre es suprayectiva, y si f es inyectiva entonces f es biyectiva.

2.3. Imagenes directas e inversas

2.3.1. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion.

1. Para X ⊆ A, definimos la imagen (directa) de X como

f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {b ∈ B | ∃x ∈ X, b = f(x)}.

2. Para Y ⊆ B, definimos la imagen inversa como

f(Y )−1 = {a ∈ A | f(a) ∈ Y }

que tambien podemos escribir f−1(Y ) teniendo cuidado de no confundirlacon la aplicacion inversa que se definira mas tarde.

En el caso de las imagenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene unelemento, digamos Y = {y} se suele denotar f(y)−1 y por el contexto podremosdistinguir del inverso en aritmetica.

2.3.2. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion. La imagen directa verificalas siguientes propiedades.

1. f(∅) = ∅.

2. Si X ⊂ Y entonces f(X) ⊂ f(Y ).

3. Si X,Y ⊂ A entonces f (X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).

4. Si X,Y ⊂ A entonces f (X ∩ Y ) ⊆ f(X) ∩ f(Y ).

Mas en general, si I es un conjunto y {Xα}α∈I una familia de subconjuntos deA entonces

f

(⋃

α∈I

)

=⋃

α∈I

f (Xα) y f

(⋂

α∈I

)

⊆⋂

α∈I

f (Xα)

Demostracion. 1. Es inmediata de la Proposicion 1.4.6.2. Si X = ∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vacıo

esta contenido en todo conjunto (vease la Proposicion 1.2.12). En otro caso, seay ∈ f(X). Entonces existe x ∈ X tal que f(x) = y. Como X ⊆ Y entoncesx ∈ Y , luego y = f(x) ∈ f(Y ).

Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes losdejaremos como ejercicio.

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24 CAPITULO 2. APLICACIONES

⊆] Sea y ∈ f (∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.Como x ∈ ∪α∈IXα entonces x ∈ Xα para alguna α ∈ I. Luego y ∈ f (Xα) ⊂∪α∈If (Xα).

⊇] Considerese y ∈ ∪α∈If (Xα). Entonces y ∈ f (Xα) para alguna α ∈ I,ası que existe x ∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈ ⋃

α∈I Xα, ası quey = f(x) ∈ f (∪α∈IXα).

2.3.3. Ejercicio. En la situacion de la Proposicion 2.3.2(4) anterior, dar unejemplo en el que se tenga la igualdad y otro el que se tenga un contenidoestricto.

Ahora vamos a ver propiedades similares de la imagen inversa. Como se vera,resultan “un poco mejores” que las de la imagen directa.

2.3.4. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion. La imagen inversa verificalas siguientes propiedades.

1. f(∅)−1 = ∅.

2. f(B)−1 = A.

3. Si X ⊂ B entonces(f(X)−1

)∁= f

(

X∁)−1

.

4. Si X ⊂ Y ⊂ B entonces f(X)−1 ⊂ f(Y )−1.

5. Si X,Y ⊂ B entonces f(X ∪ Y )−1 = f(X)−1 ∪ f(Y )−1.

6. Si X,Y ⊂ B entonces f(X ∩ Y )−1 = f(X)−1 ∩ f(Y )−1.

Mas en general, si I es un conjunto y {Xα}α∈I es una familia de subconjuntosde B, entonces

f

(⋃

α∈I

)−1

=⋃

α∈I

f(Xα)−1 y f

(⋂

α∈I

)−1

=⋂

α∈I

f(Xα)−1

Demostracion. Probaremos la ultima afirmacion. El resto se deja como ejercicio.⊆] Sea x ∈ f (∩α∈IYα)

−1. Entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα, entonces f(x) ∈ Yα para

todo α ∈ I luego x ∈ f (Yα)−1

para todo α ∈ I, ası que x ∈ ∩α∈If (Yα)−1

.

⊇] Sea x ∈ ∩α∈If (Yα)−1

. Entonces x ∈ f (Yα)−1

para todo α ∈ I, lue-go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈f(⋂

α∈I Yα

)−1.

2.3.5. Ejemplo. Sea f : R→ R dada por f(x) = x2. Sea X = [1,√2] ⊂ R. Se

puede comprobar que:

1. f(X) = [1, 2].

2. f (f(X))−1

= [−√2,−1] ∪ [1,

√2].

3. f(X)−1 =[− 4√2,−1

]∪[1, 4

√2]

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2.4. COMPOSICION 25

4. f(f(X)−1

)= [1,

√2].

Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicacion dada por g(x) =senx, e Y = [−2, 2].

2.3.6. Ejercicio. Sea f : A → B una aplicacion. Para todo subconjunto X ⊂ Ase tiene X ⊂ f (f(X))

−1, y para todo subconjunto Y ⊂ B se tiene f

(f(Y )−1

)⊂

Y , y ambos contenidos pueden ser estrictos (por ejemplo con f(x) = x2, X ={1} e Y = {−4, 4}).

2.4. Composicion

Permıtasenos comenzar este parrafo con el siguiente ejercicio.

2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos larelacion g ◦ f ⊂ A× C tal que (a, c) ∈ (g ◦ f) si y solo si, existe b ∈ B tal que(a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g.

Probar que g ◦ f es una aplicacion.

Entonces podemos introducir el siguiente concepto.

2.4.2. Definicion. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Se conoce comola composicion de f seguida de g a la aplicacion g ◦ f : A → C tal que

(g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Entonces, en la composicion ocurre que Dom(g ◦ f) = Domf y el codominiode la composicion es igual al codominio de g.

2.4.3. Ejemplos.

1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n + 1 y g(n) = n2.Entonces la composicion de f seguida de g es

(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(2n+ 1) = (2n+ 1)2.

Notese que la composicion de g seguida de f no puede definirse, porque nocoinciden la imagen de g y el dominio de f . Tambien notemos que a efectospracticos, eso podrıa corregirse. Una manera de hacerlo es la siguiente.

2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N → N y g′ : N → N, dadas porf(n) = 2n+ 1 y g′(n) = n2. Ahora podemos hacer ambas composicionesy queda

(g ◦ f)(n) = (2n+ 1)2 y (f ◦ g)(n) = 2n2 + 1.

Notese que (g ◦ f) 6= (f ◦ g).En vista del siguiente resultado, podemos decir que la composicion de apli-

caciones es asociativa.

2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones.Entonces h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

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26 CAPITULO 2. APLICACIONES

Demostracion. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego lascomposiciones pueden considerarse. Sea a ∈ A. Calculamos

(h ◦ (g ◦ f))(a) = h ([g ◦ f ](a)) = h (g(f(a))) = (h ◦ g)(f(a)) = ((h ◦ g) ◦ f)(a)

2.4.5. Proposicion. La composicion de aplicaciones inyectivas es inyectiva.

Demostracion. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones inyectivas. Seana, a′ ∈ A tales que (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(a′). Entonces g(f(a)) = g(f(a′)) y comog es inyectiva f(a) = f(a′), y como f es inyectiva a = a′.

2.4.6. Proposicion. La composicion de aplicaciones suprayectivas es supra-yectiva.

Demostracion. Sea c ∈ C. Entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c y, a su vez,existe a ∈ A tal que f(a) = b. Luego (g ◦ f)(a) = c.

2.4.7. Corolario. La composicion de aplicaciones biyectivas es biyectiva.

Demostracion. Inmediata de las dos anteriores.

2.4.8. Proposicion. Sean f : A → B y g : B → C. Entonces

1. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva.

2. Si g ◦ f es suprayectiva entonces g es suprayectiva.

Demostracion. Ejercicio.

Restriccion de una aplicacion a un subconjunto del dominio

Si f : A → B es una aplicacion y X es un subconjunto de A, la restriccionde f a X es la aplicacion f |X : X → B dada por f |X(x) = f(x). Es decir, unarestriccion f |X actua igual que la aplicacion original f , pero solo actua sobrelos elementos del subconjunto X .

Una interpretacion alternativa es f |X = f ◦ u, donde u : X → A es la“aplicacion inclusion” dada por u(x) = x.

Al restringir una aplicacion pueden variar sus propiedades. Ası, por ejemplo,la aplicacion f : R→ [0,+∞) dada por f(x) = x2 es suprayectiva y no inyectiva,mientras que a su restriccion al intervalo [1,+∞) le pasa justo lo contrario.

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2.4. COMPOSICION 27

2.4.1. Inversa de una aplicacion biyectiva

2.4.9. Notacion. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicacionidentidad en A, como 1A : A → A; es decir, 1A(a) = a, para todo a ∈ A.

2.4.10. Definicion. Sea f : A → B una aplicacion. Decimos que f tieneinversa si existe g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B.

En este caso, decimos que f es una aplicacion invertible.

2.4.11. Proposicion. Sea f : A → B una aplicacion invertible. Entonces lainversa es unica.

Demostracion. Supongamos que g y h son inversas. Entonces

g = g ◦ 1B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = 1A ◦ h = h.

2.4.12. Notacion. Para una aplicacion invertible f : A → B, denotamos lainversa como f−1.

2.4.13. Teorema. Sea f : A → B una aplicacion. Entonces f es invertible siy solo si es biyectiva.

Demostracion. Supongamos primero que f es invertible y veamos que es biyec-tiva. Sean a, a′ ∈ A. Si f(a) = f(a′) entonces f−1(f(a)) = f−1(f(a′)), luegoa = a′. Ahora, sea b ∈ B. Hacemos a = f−1(b) y se tiene que f(a) = b. Portanto es biyectiva.

Recıprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la in-versa. Para cada b ∈ B consideremos la imagen inversa f({b})−1. Se afirmaque la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, en-tonces f({b})−1 6= ∅. Si a, a′ ∈ f({b})−1 entonces b = f(a) y b = f(a′), dedonde f(a) = f(a′) y como es inyectiva a = a′. Definimos g : B → A tal queg(b) ∈ f(b)−1, el unico elemento. Es inmediato comprobar que g es inversa def y por tanto g = f−1.

2.4.14. Proposicion. Si f : A → B y g : B → C son aplicaciones invertiblesentonces la composicion es invertible y su inversa es

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Demostracion. Es un calculo directo.

2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 6= n ∈ N y A = {a1, . . . , an} unconjunto (con n elementos). Una permutacion del conjunto A es una biyeccionσ : A → A. Las permutaciones se denotan

σ =

(a1 . . . an

σ(a1) . . . σ(an)

)

.

Como ejemplo mas concreto, si A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces una permutacionpuede ser

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

)

.

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28 CAPITULO 2. APLICACIONES

Dado un conjunto no vacıo A con n elementos, se denota S(A) el conjuntode las permutaciones de A. En el caso A = {1, . . . , n}, por convencion se escribeSn.

Producto directo

Vamos a ver una extension de la definicion de producto cartesiano (1.4.4)que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, elproducto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjuntode ındices esta ordenado, los identificamos, con la idea de extension del productocartesiano a un numero finito de factores (vease la Observacion 1.4.5).

2.4.16. Definicion. Sea I un conjunto y F = {Ai}i∈I una familia de conjun-tos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto

i∈I

Ai = {f : I → ∪i∈IAi | f(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I} .

2.4.17. Notacion. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-rejas ordenadas; es decir, si f ∈ ∏i∈I Ai, escribimos f = (xi)i∈I .

Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementosrepitiendo la lista en los ındices. No tenemos que seguir el orden de la lista,pero es conveniente y se acostumbra.

Por ejemplo si I = {1, . . . , n}, escribimos

A1 × · · · ×An = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ Ai, i = 1, . . . , n} .

En caso de que no se quiera escribir una familia con ındices, simplementese presupone; es decir, a la familia {A,B,C} la vemos como {A1, A2, A3} ousando cualquier otro conjunto de ındices con tres elementos.

2.4.18. Observacion. Es importante hacer notar que el producto cartesianoes utilizado como fundamento en la defincion de relacion y aplicacion, ası queel producto directo requiere de la defincion de producto cartesiano y no puedesustituirlo ni identificarse como tal, aunque exista una biyeccion entre ellos enel caso de un numero finito de factores y usemos la misma escritura, por abusode notacion.

2.4.19. Ejemplos.

1. R2 = {f : {1, 2} → R | f(i) ∈ R, i = 1, 2} = {(x1, x2) | xi ∈ R}, elplano habitual.

2. Rn = {f : {1, . . . , n} → R | f(i) ∈ R, i = 1, . . . , n}.

3.∏

n∈NAn = {f : N→ ∪n∈NAn | f(n) ∈ An}, es un producto infinito. De-

notamos sus elementos tambien como f = (x1, x2, . . . ).

Ya hemos comentado en la Observacion 1.4.5 que el producto cartesiano conmas de dos factores no es asociativo. El producto directo tampoco lo es, pero

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2.4. COMPOSICION 29

como conjuntos pueden identificarse. Por ejemplo, existe una biyeccion entreA × (B × C) y (A × B) × C que nos permite escribir A × B × C, e identificar(a, (b, c)) ↔ ((a, b), c) ↔ (a, b, c).

La comprobacion es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, peroen general depende del siguiente resultado que es mucho mas simple. Esta partela dejamos para los lectores mas curiosos.

2.4.20. Proposicion. Sean I y J conjuntos y F = {Ai}i∈I y G = {Bj}j∈Jfamilias de conjuntos. Si existe una biyeccion σ : I → J , junto con un conjuntode biyecciones {fi : Ai → Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyeccion f :

i∈I Ai →∏

j∈J Bj, dada por f(x)(j) = fσ−1(j)

(x(σ−1(j))

), para x ∈ ∏i∈I Ai.

Demostracion. Notese que para cada x ∈ ∏i∈I Ai y cada j ∈ J , se tiene un

unico elemento fσ−1(j)

(x(σ−1(j))

), ası que la relacion es aplicacion. Vamos a

ver que es biyectiva. Considerese g :∏

j∈J Bi →∏

i∈I Ai, dada por g(y)(i) =

f−1i (y(σ(i))) (notese que f−1

i : Bσ(i) → Ai). Es claro que tambien es aplicacion.Se afirma que son inversas. Sea x ∈ ∏i∈I Ai. Entonces

g(f(x))(i) = f−1i (f(x)(σ(i))) = f−1

i

(fσ−1(σ(i))(x(σ

−1(σ(i)))))=

= f−1i (fi(x(i))) = x(i).

De forma completamente analoga se tiene que f(g(y)) = y. Como tiene inversa,el Teorema 2.4.13 nos asegura que f es biyectiva.

Respecto de la demostracion anterior, uno puede comprobar que demostrar,como hicimos, que la aplicacion f es biyectiva exhibiendo directamente la inversatiene la misma dificultad que probando que es inyectiva y sobre. La eleccion hasido simplemente cuestion de gustos.

Producto directo arbitrario y Axioma de Eleccion

Como acabamos de ver, el producto directo de dos conjuntos puede rela-cionarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aquı se desprende que sitengo una familia finita de conjuntos no vacıos, el producto de conjuntos es novacıo. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer capıtulo queel producto arbitrario de una familia de conjuntos no vacıos sea no vacıo.

Los enunciados que veremos a continuacion, son equivalentes. Es facil com-probarlo.

2.4.21. Axioma de Eleccion.

1. Sea I un conjunto arbitrario y {Ai}i∈I una familia. Si cada Ai es no vacıoentonces se puede elegir un elemento de cada conjunto.

O, equivalentemente

2. Sea I un conjunto no vacıo y {Ai}i∈I una familia de conjuntos no vacıos.Entonces el producto directo

i∈I Ai es no vacıo.

Mas adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-piedades.

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30 CAPITULO 2. APLICACIONES

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Capıtulo 3

Ordenes en conjuntos

3.1. Conjuntos ordenados

Recordemos que una relacion binaria o correspondencia o simplemente rela-cion (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-juntos. En este capıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde elconjunto inicial y el final, coinciden. Comenzamos con una lista de propiedadesque utilizaremos durante todo el texto.

3.1.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion en A.

1. Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, para todo a ∈ A.

2. Decimos que R es simetrica si para a, b ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R setiene que (b, a) ∈ R.

3. Decimos que R es antisimetrica si dados a, b ∈ A tales que (a, b) ∈ R y(b, a) ∈ R, se tiene que a = b.

4. Decimos que R es transitiva si, dados a, b, c ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ Ry (b, c) ∈ R se tiene que (a, c) ∈ R.

3.1.2. Ejemplo. .

1. Se puede comprobar que si A = {a, b} entonces existen 16 relaciones enA. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas.

2. Se pide que se clasifiquen las siguientes relaciones:

a) Sea A = N. Definimos aRb si y solo si a+ b es par.

b) Sea A = Z. Definimos aRb si y solo si a y b tienen distinta paridad.

c) Sea A = R. Definimos aRb si y solo si

1) a ≤ b.

2) a 6= b.

31

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32 CAPITULO 3. ORDENES EN CONJUNTOS

3) |a+ b| ≤ 1.

d) Sea A = N. Definimos aRb si y solo si a divide a b (recordemos lanotacion a | b, que hemos comentado en el Ejemplo 1.4.12(6).

e) Sea C un conjunto arbitrario y A = P(C). Definimos

1) aRb si y solo si a \ b = b \ a.2) aRb si y solo si a ⊆ b.

f ) Sea A = R2. Definimos (x1, x2)R(y1, y2) si y solo si x1 < y1 o bien,si x1 = y1 se tiene que x2 ≤ y2.

3.1.3. Ejercicio. La relacion que hemos visto en el ejemplo anterior (3.1.2[2 f])es un orden parcial y se conoce como “orden lexicografico”. Se pide extender laidea de orden lexicografico en dos direcciones. La primera a cualquier numero decoordenadas. La segunda sustituyendo R por un conjunto ordenado arbitrario.

3.1.4. Definicion. Sea A un conjunto.

1. Una relacion “≤” en A se dice que es una relacion de orden parcial (o unorden parcial) si es reflexiva, antisimetrica y transitiva.

2. Un par (A,≤), donde A es un conjunto y “≤” es una relacion de orden enA, se dice que es un conjunto parcialmente ordenado (abreviamos COPO).

Si el contexto no deja dudas sobre la relacion de orden, solo escribiremosque A es un conjunto parcialmente ordenado o COPO.

En algunos textos se dice simplemente conjunto ordenado, omitiendo eltermino “parcialmente”.

3.1.5. Notacion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Para a, b ∈A, escribimos a < b si a ≤ b y ademas a 6= b (tambien se escribe a � b).

3.1.6. Ejemplos.

1. A = R con la relacion “menor o igual” usual es un conjunto parcialmenteordenado.

2. A = N con la relacion dada en el Ejemplo 3.1.2(2d) es un conjunto par-cialmente ordenado.

3. Sea B un conjunto no vacıo. Entonces A = P(B) con la relacion delEjemplo 3.1.2(6.b) es un conjunto parcialmente ordenado.

Una propiedad notable de la relacion de orden parcial “menor o igual desiempre” en todos los conjuntos de numeros es que dados dos numeros, siemprepodemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayorque el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley detricotomıa.

3.1.7. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado.Decimos que A satisface la ley de tricotomıa si, dados a, b ∈ A, ocurre una

y solo una de las tres condiciones siguientes:

1) a = b. 2) a < b. 3) b < a.

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3.1. CONJUNTOS ORDENADOS 33

3.1.8. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado.

1. Decimos el orden parcial ≤ es un orden total o lineal, si satisface la leyde tricotomıa.

2. En el caso anterior, diremos ademas que A es un conjunto totalmente olinealmente ordenado.

3.1.9. Ejercicio. Considerense los conjuntos parcialmente ordenados dados enlos Ejemplos 3.1.6. Se pide decidir cuales de ellos son conjuntos totalmenteordenados, razonando la respuesta.

Vamos a ver dos representaciones graficas para conjuntos ordenados. La pri-mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-mente diagrama de grafo de un orden parcial.

Consideremos a, b ∈ (A,≤), tales que a ≤ b, pero a 6= b; es decir, a < b.Entonces dibujamos una lınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemoscon todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, conformula cuando sea posible) con la condicion de no repetir ningun elemento de A.Ademas, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningun elemento consigomismo ni escribimos relaciones que se deduzcan de otras por transitividad.

3.1.10. Ejemplo. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relacion de ordenparcial dada por la inclusion (que ya vimos). El diagrama de Hasse asociado es:

{1, 2, 3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3}

{1} {2} {3}

✟✟✟✟✟✟

❍❍❍❍❍❍

❍❍❍❍❍❍ ✟✟✟✟✟✟

✟✟✟✟✟✟

❍❍❍❍❍❍

❍❍❍❍❍❍

✟✟✟✟✟✟

La otra representacion, tambien bastante conocida se llama las “ζ-matrices”o matrices de adyacencia. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, seconstruye entonces la matriz ζA con ındices en A, tal que

ζa,b =

{

1 si a < b

0 otro caso

3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez, C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relaciondada por la inclusion. La matriz de adyacencia es

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34 CAPITULO 3. ORDENES EN CONJUNTOS

∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}

{1}

{2}

{3}

{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{1, 2, 3}

0 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

3.2. Elementos notables en un COPO

Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.

3.2.1. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y a ∈ A.

1. Decimos que a es maximo de A, cuando b ≤ a para todo b ∈ A

2. Decimos que a es el primer elemento o mınimo de A, cuando a ≤ b, paratodo b ∈ A

En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el maximo {1, 2, 3} es el que ocupael extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior.En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el maximo tiene toda su columna 1 menos laentrada de el mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda sufila 1 excepto la entrada de el mismo.

3.2.2. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces

1. Si A tiene maximo entonces este es unico.

2. Si A tiene primer elemento o mınimo entonces este es unico.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

3.2.3. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y a ∈ A.

1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que sia ≤ b entonces b = a

2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que sib ≤ a entonces b = a

3.2.4. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-mentos notables, cuando los haya.

1. A ={

1n | n ∈ N \ {0}

}, junto con el orden parcial “menor o igual” habi-

tual. El maximo es 1 y no tiene primer elemento.

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3.2. ELEMENTOS NOTABLES EN UN COPO 35

2. A = {n ∈ N | n es par} junto con el orden parcial habitual. No tienemaximo. Tiene primer elemento 0.

3. A = N×N junto con el orden lexicografico. No tiene maximales y el primerelemento es el (0, 0).

4. Un intervalo abierto en R con el orden habitual. No tiene maximo, mınimo,maximales ni minimales.

5. Un intervalo cerrado en R con el orden habitual. El extremo de la izquierdaes el minimo y el de la derecha es el maximo.

6. A = {a · N | 1 6= a ∈ N}, junto con la inclusion. Si a es primo positivoentonces a ·N es maximal. No hay minimales si se considera a 6= 0; en otrocaso, A = {0} es mınimo.

7. A = N \ {0, 1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales. Tieneminimales: todos los primos.

8. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) \ {C}, junto con la inclusion. Entonces Atiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene maximo.

3.2.5. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado, B ⊆ A unsubconjunto y c ∈ A.

1. Decimos que c es una cota superior de B en A si b ≤ c, para todo b ∈ B

2. Decimos que c es una cota inferior de B en A si c ≤ b, para todo b ∈ B

En los ejemplos de (3.2.4) se tiene: En (1), A puede verse contenido en Q yası, 0 es cota inferior y todo racional q ≥ 1 es cota superior. En (2), A puedeverse contenido en N y ası, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3)(0, 0) es cota inferior y primer elemento, tambien. En (4) y (5) A puede versecontenido en R y ası, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo delintervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremoderecho del intervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido enA ∪ {N, ∅} y ası, se tiene que N es cota superior y ∅ es cota inferior. En (7), Apuede verse contenido en N y ası, el 1 es cota inferior y el 0 es cota superior. En(8), A puede verse contenido en P(C) y ası, el {1, 2, 3} es cota superior.

3.2.6. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado, B ⊆ A unsubconjunto y c ∈ A.

1. Decimos que c ∈ A es el supremo (o extremo superior) de B en A si es elmınimo del las cotas superiores de B en A.

2. Decimos que c ∈ A es ınfimo (o extremo inferior) de B en A si es elmaximo de las cotas inferiores de B en A.

3.2.7. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen elsupremo e ınfimo de cada uno.

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36 CAPITULO 3. ORDENES EN CONJUNTOS

1. A ={

1n | n ∈ N

}⊂ Q, junto con el orden habitual. El maximo y el

supremo es 1. El ınfimo es 0.

2. A = {n ∈ N | n es par} ⊂ N junto con el orden habitual. El ınfimo yprimer elemento 0.

3. El intervalo (a, b) ⊂ R. Supremo b e ınfimo a.

4. El intervalo [a, b] ⊂ R. Supremo b e ınfimo a y ademas son maximo ymınimo, respectivamente.

El siguiente resultado nos muestra por que podemos decir el supremo eınfimo, en vez de un supremo o ınfimo.

3.2.8. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊆ Aun subconjunto, con el orden de A. Si B tiene supremo (o ınfimo) en A este esunico.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

3.2.9. Proposicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊆ Aun subconjunto, con el orden de A.

1. Si b ∈ B es un maximo (o mınimo) entonces b es tambien el supremo (oınfimo) de B en A.

2. Si a ∈ A es supremo (ınfimo) de B en A y a ∈ B, entonces a es maximo(mınimo) de B.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

3.3. Conjuntos bien ordenados.

Es inmediato comprobar que los numeros naturales, enteros, racionales yreales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una grandiferencia entre el orden de los numeros naturales y los enteros y los otros dos;a saber, que podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier numeroentero (excepto el antecesor del 0 en los naturales). Vamos a describir estefenomeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el conceptode conjunto bien ordenado.

3.3.1. Definicion. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremosque es bien ordenado si todo subconjunto no vacıo de A tiene un mınimo

3.3.2. Proposicion. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. Elrecıproco no se verifica.

Demostracion. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considerodos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A.Como B no es vacıo, tiene primer elemento. De ahı se desprende la tricotomıatrivialmente.

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3.3. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 37

3.3.3. Ejemplo. Considerense N× N junto con el orden lexicografico.

(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < · · · < (0, n) < · · ·(1, 0) < (1, 1) < (1, 2) < . . . < (1, n) < . . .

(2, 0) < (2, 1) < (2, 2) < . . . < (2, n) < . . .

...

Este conjunto esta bien ordenado.

Demostracion. Sea A ⊆ N×N no vacıo y A1 = {x ∈ N | (x, y) ∈ A p.a. y ∈ N}.Claramente A1 6= ∅ y A1 ⊆ N, por tanto, tiene primer elemento. Sea x0 ∈ A1,dicho primer elemento. Sea ahora A2 = {y ∈ N | (x0, y) ∈ A}. Como antes, A2

tambien tiene primer elemento, digamos y0 ∈ A2.Se afirma que (x0, y0) es el primer elemento de A. Sea (a, b) ∈ A, arbitrario.

Como a ∈ A1 entonces x0 ≤ a. Si x0 < a ya terminamos, si no, entonces x0 = a,ası que b ∈ A2 y ası y0 ≤ b.

Es claro que si tenemos un conjunto, digamos A, que (de alguna manerasabemos que) tiene n ∈ N elementos entonces existe (al menos) una biyeccionentre el conjunto {1, . . . , n} y nuestro conjunto A. De esta manera podemosenumerar sus elementos, como A = {a1, . . . , an} y establecer un orden, digamosai ≤ aj si y solo si i ≤ j, por ejemplo. En el caso de conjuntos arbitrarios,eso ha de ser un axioma. Se conoce como el Principio de la Buena Ordena-cion. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al Axioma deEleccion (2.4.21) aunque la demostracion excede los alcances de estos apuntes.Terminamos entonces con el enunciado.

3.3.4. Principio de la Buena Ordenacion. Si A es un conjunto no vacıo,entonces existe una relacion de orden ≤ en A tal que (A,≤) es un conjunto bienordenado.

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38 CAPITULO 3. ORDENES EN CONJUNTOS

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Capıtulo 4

Relaciones de equivalencia

4.1. Conceptos basicos

Como hemos comentado, un metodo importante de las matematicas consisteen relacionar los elementos de un conjunto. En el capıtulo anterior nos ocupamosde las relaciones de orden. Ahora vamos a ver otro tipo especial de relacion quese construye a partir de otras propiedades de la Definicion 3.1.1.

4.1.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion en A. Decimos que Res una relacion de equivalencia si es reflexiva, simetrica y transitiva.

4.1.2. Notacion. Si R es una relacion de equivalencia en A y a, b ∈ A estanrelacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas

1. La tradicional: aRb, que tambien usamos para relaciones en general.

2. Tambien, a ∼R b

3. O la anterior, pero mas corta si no causa confusion, a ∼ b.

4.1.3. Ejemplos.

1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto.

2. En Z, la relacion a ∼5 b si y solo si 5 | (a− b).

3. En R, la relacion a ∼ b si y solo si a− b ∈ Z.

4. En los triangulos, la semejanza; es decir, triangulos cuyos angulos coinci-den.

5. ¿Cuando una relacion de orden es relacion de equivalencia?

6. Sea A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}. De-terminar si es relacion de equivalencia.

Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente.

39

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40 CAPITULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

4.1.4. Ejemplo. Sea f : A → B una aplicacion. Definimos la relacion

a ∼ a′ ⇔ f(a) = f(a′).

Se puede comprobar que es relacion de equivalencia.

4.2. Clases de equivalencia

Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equivalencia en A. Para cadaelemento a ∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementosde A que esten relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta detrabajo importante en matematicas.

4.2.1. Definicion. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relacion de equivalencia enA. Para cada a ∈ A, su clase de equivalencia es el conjunto

[a] = {b ∈ A | a ∼ b }.

Las siguientes propiedades son muy faciles de verificar:

4.2.2. Proposicion. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relacion de equivalenciaen A. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b ∈ A:

1. [a] ∩ [b] 6= ∅.

2. a ∼R b.

3. [a] = [b].

Demostracion. (1 ⇒ 2) Si x ∈ [a] ∩ [b] entonces a ∼ x y x ∼ b, luego a ∼ b.(2 ⇒ 3) Por hipotesis, a ∼ b. Si x ∈ [a] entonces x ∼ a y como a ∼ b se tiene

que x ∼ b, luego x ∈ [b]. Analogamente se tiene que cualquier y ∈ [b] verificay ∈ [a].

(3 ⇒ 1) Inmediato del hecho de que (a, a) ∈ [a].

Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a ∈ C entonces [a] = C,trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C.

Como se vera en los siguientes ejemplos, una correcta eleccion de los repre-sentantes puede simplificar mucho la descripcion de las clases de equivalencia.

4.2.3. Ejemplos.

1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equiva-lencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cual de las tres condicionesfalla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia.

a) En Z, la relacion a ∼ b si y solo si a+ b es impar.

b) En N× N, la relacion (a, b) ∼ (c, d) si y solo si a+ d = b+ c.

c) En A = {1, 2, 3}, la relacion R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

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4.3. EL CONJUNTO COCIENTE Y LA PROYECCION CANONICA 41

d) En Z× (Z \ {0}), la relacion (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc. ¿Quepasarıa si incluyesemos al (0, 0)?

e) En Z, la relacion a ∼5 b si y solo si 5 | (a− b) (vease el Ejemplo 2 de4.1.3).

f ) En el conjunto de todas las rectas en el plano, L, la relacion L1 ∼ L2

si y solo si son paralelas.

2. Determinar las clases de equivalencia del Ejemplo 4.1.4.

4.3. El conjunto cociente y la proyeccion

canonica

4.3.1. Definicion. Sea A un conjunto y R una relacion de equivalencia en A.Se conoce como conjunto cociente de A, respecto de la relacion R, al conjuntode las clases de equivalencia de los elementos de A respecto de R.

Se denota A/R, A/∼Ro simplemente A/∼.

Vamos a calcular los conjuntos cociente de las relaciones de equivalenciaen los ejemplos de (4.1.3). Calcular los conjuntos cociente consiste en dar unconjunto de representantes (tambien llamado un juego completo de represen-tantes) En el Ejemplo 1 de (4.1.3), la diagonal, se tiene que para todo a ∈ A,[a] = {a}, ası que A/∼ = {[a] | a ∈ A}. En el Ejemplo 2 no podemos escribirZ/∼ = {[a] | a ∈ Z} porque la coleccion anterior no es un conjunto. Noteseque [0] = [5] = [10] = [15] = . . . y ası. De hecho Z/∼ = {[0], [1], [2], [3], [4]}.Para el Ejemplo 3 tomando en cuenta que todo numero real tiene una parteentera y una parte decimal que tiene valor absoluto menor que 1, se tiene queR/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 1}. Para el Ejemplo 4, asociamos a cada triangulola terna sin orden de sus angulos internos, (α, β, γ), tal que α + β + γ = 180.Dos triangulos son semejantes si coinciden en sus ternas salvo el orden. Ası queA/∼ = {(α, β, γ) | α+ β + γ = 180}.4.3.2. Proposicion. Sea A un conjunto, R una relacion de equivalencia en Ay consideremos el conjunto cociente A/R. La correspondencia dada por a 7→ [a]es una aplicacion que denotamos ηR : A → A/R

Demostracion. Se deja como ejercicio.

4.3.3. Definicion. Sea A un conjunto, R una relacion de equivalencia en A yconsideremos el conjunto cociente A/R. La aplicacion ηR : A → A/R se conocecomo proyeccion canonica.

4.3.4. Ejemplos.

1. Vamos a continuar analizando la situacion del Ejemplo 4.1.4. Recordemosque se tienen dos conjuntos A,B y una aplicacion f : A → B. Se defineuna relacion a ∼ a′ si y solo si f(a) = f(a′).

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42 CAPITULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Consideremos la correspondencia entre el conjunto cociente g ⊂ A/∼ ×B, dada por g = {([a], f(a)) | a ∈ A}; o bien, g : A/∼ → B, tal queg([a]) = f(a). Queremos ver que es aplicacion y que, como tal, es inyectiva.La particularidad que tiene esta correspondencia es que esta definida enterminos de representantes y no de clases generales. Esto nos obliga acomprobar que la correspondencia no depende del representante que seelija. Es decir que si [a] = [a′] entonces g ([a]) = g ([a′]). Ası, si [a] = [a′]entonces a ∼ a′ y por la definicion de la relacion, f(a) = f(a′), de dondeg([a]) = g([a′]). Decimos entonces que g esta bien definida.

Para abreviar, se suele abusar de la notacion y definir directamente la pre-tendida aplicacion g : A/∼ → B y luego afirmar y probar que la aplicacionesta bien definida. Probar que, de hecho, la aplicacion es inyectiva resultafacil.

2. El siguiente ejemplo puede resultar vistoso. Se considera la relacion deequivalencia en R, dada por

x ∼ y ⇐⇒ x− y

2π∈ Z;

es decir, los numeros reales que distan en un multiplo de 2π. Podemosentonces identificar a estas clases con los angulos, al elegir a los represen-tantes en el intervalo [0, 2π); es decir, R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 2π}. Ahora,considerese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0, 0),que denotamos C(0, 1) o S1. Entonces la aplicacion f : R/ ∼ −→ S1 talque f [x] = (cosx, senx) esta bien definida (en el sentido anterior) y esbiyectiva.

3. Continuamos con el ejemplo anterior y volvemos a considerar los angulos,R/∼ = {[x] | 0 ≤ x < 2π}. Queremos comprobar que la correspondenciasuma de angulos + : R/∼ × R/∼ → R/∼ tal que [x] + [x′] = [x + x′] estabien definida. Supongamos que x ∼ y y que x′ ∼ y′. Entonces

x+ x′ − (y + y′)

2π=

x− y

2π+

x′ − y′

2π∈ Z

y por tanto [x+ x′] = [y + y′].

4. Ahora vamos a ver un caso en el que las cosas no funcionan. Vamos a verque pasa si queremos definir el producto de angulos. Queremos ver si lacorrespondencia · : R/∼ ×R/∼ → R/∼ tal que [x] · [x′] = [x · x′] esta biendefinida. Si uno intenta hacer un argumento como antes las cosas no salen.Despues se comprueba que [ 12 ] = [ 4π+1

2 ], pero sus cuadrados no coinciden.

4.4. Relaciones de equivalencia y particiones

En esta seccion probaremos que toda relacion de equivalencia induce unaparticion y viceversa.

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4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES 43

Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equivalencia. Consideremosel conjunto cociente y cualquier elemento en el; es decir, C ∈ A/ ∼. Sabemosque si a, b ∈ C entonces [a] = C = [b]. Ademas de esto se tiene el siguienteresultado.

4.4.1. Proposicion. Sea A un conjunto no vacıo y R una relacion de equiva-lencia. Las clases de equivalencia de R verifican las siguientes propiedades:

1. [a] ∩ [b] = ∅ si y solo si a 6∼ b.

2.⋃

[a]∈A/∼[a] = A.

Demostracion. 1. Inmediato de la Proposicion 4.2.2. 2. Sea b ∈ A. Como b ∼ bentonces b ∈ [b] ⊂ ∪[a]∈A/∼[a].

Este es un resultado importante dentro de las matematicas. De hecho, lasfamilias de conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio.

4.4.2. Definicion. Sean A e I conjuntos y P = {Bi}i∈I una familia de sub-conjuntos. Decimos que la familia P forma una particion para A si se verificanlas siguientes propiedades.

1. Bi ∩Bj = ∅ si y solo si i 6= j.

2. La union (disjunta)⋃

i∈I Bi = A.

4.4.3. Observacion. Podemos separar la propiedad (1) en dos, si escribimos

Para cada i ∈ I, el conjunto Bi 6= ∅.

Para i, j ∈ I, si i 6= j entonces Bi ∩Bj = ∅.

Es decir, los elementos de una particion son conjuntos no vacıos y disjuntos.

Ası que toda relacion de equivalencia induce una particion. El recıprocotambien se verifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado.

4.4.4. Proposicion. Toda relacion de equivalencia induce una particion. Recıpro-camente, toda particion determina una relacion de equivalencia.

Ademas, los procesos de pasar de una relacion de equivalencia a una particionson inversos el uno del otro, en el sentido de que si los aplicamos uno detras deotro recuperamos la situacion inicial.

Demostracion. Ya hemos visto en la Proposicion 4.4.1 que toda equivalenciadetermina una particion (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver elrecıproco.

Sea {Ci}i∈I una particion en A. Definimos la relacion

a ∼ b ⇐⇒ a, b ∈ Ci para alguna i ∈ I.

Se prueba entonces que es relacion de equivalencia y que las clases de equiva-lencia son justo las Ci.

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44 CAPITULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

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Capıtulo 5

Conjuntos numericos

En este capıtulo vamos a definir y a establecer las propiedades basicas de losnumeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos utilizando del lenguajede los conjuntos. La presentacion sera formal, aunque no totalmente, pues puedealargarse y complicarse mas de lo deseable para un primer curso.

5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos

5.1.1. Definicion. Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existeuna aplicacion biyectiva entre ellos.

5.1.2. Observacion. Notese que el ser equipotentes es una relacion reflexiva,simetrica y transitiva, y aun cuando sabemos que la coleccion de todos losconjuntos no es, a su vez, un conjunto, podemos agrupar a los conjuntos en“clases de equipotencia”.

5.1.3. Definicion. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia.

Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones dis-juntas y que todo conjunto tiene cardinal.

5.1.4. Notacion. Para un conjunto A, denotamos su cardinal con |A|.Entonces un numero cardinal es una clase de equipotencia de conjuntos.

Conjuntos finitos e infinitos

5.1.5. Definicion. Decimos que un conjunto A es infinito si existe un sub-conjunto propio B A que es equipotente a A; es decir, existe una biyeccionf : B → A.

5.1.6. Definicion. Decimos que un conjunto A es finito si no es infinito.

Aunque no hemos definido formalmente el concepto de numero natural oentero (lo haremos en breve) intuitivamente sabemos trabajar con ellos. Lossiguientes ejemplos nos pueden servir para fijar ideas.

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46 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

5.1.7. Ejemplos. Sea P el conjunto de los numeros enteros pares y P+ el delos pares positivos.

1. Comprobar que |N| = |P+| a traves de la biyeccion n 7→ 2n, con n ∈ N.

2. Comprobar que |Z| = |P | a traves de la biyeccion m 7→ 2m, con m ∈ Z.

3. Comprobar que |N| = |P | a traves de la biyeccion

n 7−→{

n si n es par.

−(n+ 1) si n es impar.

4. Por tanto, |N| = |Z|.

5.1.8. Proposicion. Si A es un conjunto finito y f : A → A es una aplicacion,entonces son equivalentes:

1. f es inyectiva.

2. f es suprayectiva.

3. f es biyectiva.

Demostracion. Claramente basta ver que (1) y (2) se implican la una a la otra.

[1 ⇒ 2]. Si f : A → A es inyectiva, sea B = Imf ⊆ A y sea f : A → B laaplicacion que actua igual que f . Esta aplicacion es inyectiva (por actuar igualque f) y suprayectiva (por como hemos elegido el codominio), por lo que esbiyectiva y en consecuencia tiene una inversa que sera una aplicacion biyectivaB → A. Como A es finito, el subconjunto B no puede ser propio y por tanto esB = A, o sea Imf = A, y en consecuencia f es suprayectiva.

[2 ⇒ 1]. Si f : A → A es suprayectiva entonces definimos g : A → A delsiguiente modo: Dado a ∈ A, definimos g(a) como uno cualquiera de los elemen-tos de A cuya imagen por f es a (existe al menos uno por la suprayectividadde f). Por tanto tenemos f(g(a)) = a para todo a ∈ A, o sea f ◦ g = 1A yen consecuencia g es inyectiva por 2.4.8 y en consecuencia es suprayectiva porla implicacion recien demostrada. Veamos ya que f es inyectiva: si a1, a2 ∈ Averifican f(a1) = f(a2) entonces, por la suprayectividad de g, existen b1, b2 ∈ Acon g(bi) = a1, para i = 1, 2, y por tanto

b1 = 1A(b1) = f(g(b1)) = f(a1) = f(a2) = f(g(b2)) = 1A(b2) = b2

de donde a1 = g(b1) = g(b2) = a2. Esto prueba que f es inyectiva.

5.1.9. Corolario. Si A y B son dos conjuntos finitos del mismo cardinal yg : A → B es una aplicacion, entonces son equivalentes:

1. g es inyectiva.

2. g es suprayectiva.

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5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 47

3. g es biyectiva.

Demostracion. Por hipotesis existe una biyeccion h : B → A que nos permitedefinir f = h ◦ g : A → A. Si g es inyectiva entonces f es inyectiva por laProposicion 2.4.5 y en consecuencia es suprayectiva por la proposicion anterior,por lo que g = h−1 ◦ f es suprayectiva por Proposicion 2.4.6. De modo similarse prueba que si g es suprayectiva entonces debe ser inyectiva.

5.1.10. Proposicion. Dados dos conjuntos A ⊂ B, se verifican:

Si A es infinito entonces B es infinito.

Si B es finito entonces A es finito (o sea, los subconjuntos de conjuntosfinitos son finitos).

Demostracion. Basta con demostrar la primera afirmacion, pues la segunda essu contrarrecıproco.

Si A es infinito entonces existen un subconjunto propio A0 A y una biyec-cion f : A0 → A. Entonces B0 = A0∪A∁ (donde A∁ = B \A) es un subconjuntode B que es propio, pues un elemento de A que no este en A0 es un elementode B que no esta en B0. Ahora basta con usar f para construir una biyeccionf : B0 → B, lo cual se deja como ejercicio.

5.1.11. Definicion. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un represen-tante finito. En otro caso decimos que es infinito.

Por ejemplo,

0 = |∅|.

1 = |{∅}|.

2 = |{∅, {∅}}|.

y ası, sucesivamente.

Ahora consideramos la coleccion de los cardinales finitos.

5.1.12. Definicion. La coleccion de los cardinales finitos se conoce como losnumeros naturales y se denota N.

No se puede demostrar, con los conceptos sobre conjuntos que hemos visto,que la coleccion anterior sea conjunto. Lo asumimos como un axioma.

5.1.13. Axioma del infinito. La coleccion de los numeros naturales es unconjunto.

5.1.14. Definicion. Sea n un cardinal y considerese un representante, A. Seconoce como el sucesor de n, al cardinal n∗ = |A ∪ {x}|, donde x es cualquierobjeto que no sea un elemento de A

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48 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

5.1.15. Se puede probar (vease el Apendice) que si n ∈ N entonces n∗ ∈N. Denotamos n∗ = n + 1. Esta propiedad nos da lugar a la definicion dela aplicacion sucesor, σ : N → N tal que σ(n) = n∗. Tambien se prueba enel Apendice que la aplicacion σ es inyectiva. Como consecuencia se tiene elsiguiente resultado.

5.1.16. Proposicion. El conjunto de los numeros naturales es infinito.

Demostracion. Sea M = Imσ, la imagen de la aplicacion sucesor σ : N → N,que es un subconjunto propio de N puesto que no contiene al 0 (los “sucesores”son cardinales de conjuntos no vacıos).

Como σ es inyectiva, la restriccion a la imagen σ : N → M es biyectiva(veanse los ejemplos en [2.2.2]). En consecuencia N y M son equipotentes y portanto N es infinito.

(Observacion: Intuitivamente M = {1, 2, 3, . . .} y σ−1 : M → N es la aplica-cion “antecesor”.)

5.1.17. Observaciones.

1. El 0 = |∅| no es el sucesor de ningun numero natural, pues por definicionun sucesor es el cardinal de un conjunto no vacıo.

Por contra, todo numero natural n distinto del 0 sı es el sucesor de algunnumero natural. Intuitivamente, esto corresponde a que n−1 es un numeronatural. Una definicion formal de esta idea de “antecesor” se desprendede la Observacion 5.1.29.

2. Obviamente se tiene que si n ∈ N entonces n = |{1, . . . , n}|.

Orden en los numeros naturales

5.1.18. Definicion. Sean k y r cardinales arbitrarios. Decimos que k ≤ r siexisten representantes k = |A| y r = |B| con una aplicacion inyectiva f : A → B.

5.1.19. Ejercicio. Probar que 0 ≤ 1 ≤ n para todo n ∈ N \ {0}.Recordemos la definicion de buen orden en (3.3.1). Los numeros naturales

junto con el orden definido forman un conjunto bien ordenado. Sobre la demos-tracion del siguiente resultado vease mas adelante la Observacion 5.1.26

5.1.20. Principio del buen orden en los numeros naturales. (N,≤) esun conjunto bien ordenado; es decir, todo subconjunto ∅ 6= A ⊂ N tiene primerelemento.

Vamos a comprobar que el principio del buen orden esta en armonıa con elconcepto de sucesor, como es de esperar.

5.1.21. Proposicion. Sea n ∈ N, arbitrario y considerese el conjunto de losnumeros naturales mayores que n; es decir, Mn = {x ∈ N | n < x}. Entoncesn∗ es el primer elemento de Mn.

En consecuencia, si a, n ∈ N son tales que n ≤ a ≤ n∗ entonces n = a oa = n∗.

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5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 49

Demostracion. Sea a el primer elemento de Mn. Como n∗ ∈ Mn entoncesa ≤ n∗. Por hipotesis, sabemos que existen A y N representantes de a y n,respectivamente, junto con una aplicacion inyectiva f : N → A, pero no sobre-yectiva. Ası, existe x ∈ A tal que x /∈ Imf . Definimos g : N ∪ {N} → A tal queg(b) = f(b) para todo b ∈ N y g(N) = x. Es inmediato comprobar que g esaplicacion inyectiva y por tanto n∗ ≤ a. Luego n∗ = a.

Induccion matematica

El siguiente postulado sera asumido sin demostracion. El proceso excede conmucho el objetivo principal de este capıtulo que es el conocimiento operativodel lenguaje de los conjuntos y sus propiedades. Para un estudio detallado veasepor ejemplo [6] o [9].

5.1.22. Principio de induccion en los numeros naturales. Si A ⊆ N estal que

a) 0 ∈ A.

b) n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A

entonces A = N.

5.1.23. Observacion. Lo anterior podrıa llamarse “el principio de induccionempezando en 0”, y puede modificarse para empezar en cualquier numero na-tural k ∈ N de la siguiente forma:

Si A ⊂ N y k ∈ N son tales que

1. k ∈ A

2. k ≤ n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A.

entonces N \ {0, 1, . . . , k − 1} esta contenido en A.

Hay una tecnica de demostracion llamada induccion matematica, que sederiva directamente del principio de induccion. Vamos a enunciarla.

5.1.24. Induccion matematica. Supongamos que se quiere demostrar unapropiedad P (n) para todos los naturales n a partir de un cierto k ∈ N. Los dospasos a continuacion son suficientes:

Se demuestra la validez de P (k). Es decir, que la propiedad vale paran = k.

Se supone que P (n) es valida y a partir de ahı, se prueba la validez paraP (n + 1). Es decir, se prueba que si es valida para n entonces lo es paran+ 1.

Entonces, el principio de induccion nos asegura que el conjunto P = {x ∈N | P (x) es verdadera} contiene a N \ {0, 1, . . . , k − 1}. Es decir, nos aseguraque la propiedad vale para todos los numeros naturales excepto tal vez para losanteriores a k.

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50 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

Incluso puede verificarse la validez del siguiente resultado. Si A ⊂ N y k ∈ Nson tales que

1. k ∈ A

2. Si todo m ∈ N, tal que k ≤ m < n verifica m ∈ A entonces n ∈ A.

entonces N \ {0, 1, . . . , k − 1} esta contenido en A.Esto da lugar a la llamada induccion matematica fuerte.

5.1.25. Induccion matematica fuerte. Para demostrar que una propiedadP (n) es cierta para todos los naturales n ≥ k (para un cierto k ∈ N inicial)basta con hacer lo siguiente:

Se demuestra la validez de P (k). Es decir, que la propiedad es cierta parael valor inicial n = k.

Para un n generico, se supone que P (m) es valida para todo entero m conk ≤ m < n y a partir de ahı, se prueba la validez para P (n). Es decir,se prueba que si la propiedad es valida para los valores menores que nentonces lo es para n.

5.1.26. Observacion. El principio de induccion y el principio del buen ordenson equivalentes; es decir, si se asume uno de ellos el otro se puede demostrar.La demostracion puede hacerse como ejercicio; aunque es un poco larga, no esdifıcil. Pero hay mas, se puede probar que, a su vez, los postulados anterioresson equivalentes al axioma de eleccion (2.4.21).

Aplicaciones.

Vamos a ver algunas aplicaciones de los principios de induccion y del buenorden. La primera aplicacion es sobre el orden en conjuntos finitos.

5.1.27. Ejercicio. Probar que si A es un conjunto finito con un orden linealentonces A esta bien ordenado y tiene maximo y mınimo.

Aun cuando no hayamos formalizado los conceptos de suma, producto yorden en los naturales, no quiere decir que no los conozcamos y no podamostrabajar con ellos.

5.1.28. Ejercicio. Probar por induccion las siguientes afirmaciones:

1. 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2 para todo entero n ≥ 1 (tambien vale para n = 0

si acordamos que el valor de una “suma vacıa” como la de la izquierdadebe ser 0).

2. n3 − n es multiplo de 6 para cada entero n ∈ N.

3. 2n < n! para cada entero n ≥ 4.

Notese que de la definicion de orden se desprende de inmediato que si n ∈N entonces el conjunto Una vez establecido esto, podemos dar una definicionformal de elemento antecesor.

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5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 51

5.1.29. Observaciones.

1. Nn = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ n} = {1, . . . , n} y por lo tanto es finito.

2. N0 = ∅.

3. Si n > 0, el conjunto An = {x ∈ N | 1 ≤ x < n}. Como An ⊂ Nn entonceses finito (Proposicion 5.1.10) y por el Ejercicio 5.1.27 se tiene que An tienemaximo.

Se deja como ejercicio probar que si a ∈ An es dicho maximo entoncesn = a∗. Esta puede ser una definicion formal de antecesor.

El conjunto de los numeros naturales que hemos construido satisface losaxiomas de Peano; a saber:

El conjunto N tiene un elemento 0 ∈ N.

Existe la funcion sucesor que es inyectiva.

El 0 no es sucesor de un numero natural.

Vale el principio de induccion.

Se puede probar que cualquier conjunto que satisfaga estas condiciones esesencialmente igual a N. Eso se conoce como la “unicidad del sistema de Peano”.

Operaciones en N

Las definimos de forma inductiva o recursiva.

5.1.30. La suma en N. Para n ∈ N, definimos

1. n+ 0 = n.

2. Si tenemos definida n+m entonces n+m∗ = (n+m)∗.

Lo anterior viene a decir que n+(m+1) = (n+m)+ 1. Las demostracionesde las propiedades de la suma se pueden encontrar en el Apendice.

5.1.31. Propiedades de la suma en N.

1. (n+ 1) +m = n+ (m+ 1)

2. n+m = m+ n (conmutatividad).

3. (n+m) + r = n+ (m+ r) (asociatividad).

4. Si a+ c = b+ c entonces a = b (cancelacion).

5.1.32. El producto en N. Para n,m ∈ N, definimos

1. n · 0 = 0

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52 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

2. Si tenemos definido n ·m entonces n · (m+ 1) = n ·m+ n.

5.1.33. Notacion. Escribimos, como siempre, indistintamente, n ·m = nm.

Al igual que con la suma, las demostraciones de las propiedades del productose pueden encontrar en el Apendice.

5.1.34. Propiedades del producto.

1. (n+ 1)m = nm+m.

2. nm = mn (conmutatividad).

3. n(m+ k) = nm+ nk (distributividad).

4. n(mk) = (nm)k (asociatividad).

5.1.1. Orden y operaciones aritmeticas

Se puede comprobar que el orden en los numeros naturales verifica las si-guientes propiedades.

5.1.35. Teorema. Sean a, b, c ∈ N. Entonces

1. a ≤ b si y solo si existe u ∈ N tal que a+u = b (en consecuencia, a ≤ a+upara todo u ∈ N).

2. Si a ≤ b entonces a+ c ≤ b+ c.

3. Si a ≤ b entonces ac ≤ bc.

Demostracion. 1. Sea B = {n ∈ N | a + n > b}. Es claro que B 6= ∅ pues,por ejemplo, b∗ ∈ B, ası que B tiene primer elemento, digamos c. Consideremosu ∈ N tal que u∗ = c (vease la Observacion 5.1.29). Entonces a+u ≤ b < a+u∗,y como a + u∗ = (a + u)∗, la Proposicion 5.1.21 nos dice que a + u = b. Losotros se pueden probar facilmente por induccion.

5.1.36. Notacion. En la situacion del teorema anterior, cuando a ≤ b, llama-mos u = b− a.

5.2. Numeros enteros

Vamos a continuar la construccion de los conjuntos numericos bajo el len-guaje de los conjuntos.

5.2.1. Proposicion. Considerese el conjunto Z = N× N. La relacion

(a, b) ∼ (n,m) ⇐⇒ a+m = b+ n

es relacion de equivalencia.

Demostracion. Ejercicio.

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5.2. NUMEROS ENTEROS 53

5.2.2. Definicion. Llamamos numeros enteros al conjunto cociente

Z = Z/ ∼ .

5.2.3. Representantes notables. Sea (n,m) ∈ Z.

1. Si n = m entonces (n,m) ∈ [(0, 0)]. Luego

[(0, 0)] = {(n,m) ∈ Z | n = m} .

2. Si n 6= m se tienen dos casos.

a) Si n > m, haciendo u = n −m (vease la Notacion 5.1.36), se tiene(n,m) ∈ [(u, 0)]. Luego

[(u, 0)] = {(n,m) ∈ Z | n > m, u = n−m} .

b) Si n < m, haciendo u = m− n se tiene (n,m) ∈ [(0, u)]. Luego

[(0, u)] = {(n,m) ∈ Z | n < m, u = m− n} .

5.2.4. Orden en los numeros enteros. Definimos

1. [(a, 0)] ≥ [(0, b)] para todo a, b ∈ N.

2. [(a, 0)] ≥ [(b, 0)] si y solo si a ≥ b.

3. [(0, a)] ≥ [(0, b)] si y solo si a ≤ b.

5.2.5. Notacion. 1. Denotamos con 0 a la clase [(0, 0)], el cero.

2. Denotamos con n a la clase [(n, 0)] y los identificamos con los numerosnaturales. Denotamos Z+ = {n ∈ Z | 0 6= n ∈ N}.

3. Denotamos con −n a la clase [(0, n)], que seran los numeros negativos.Denotamos Z− = {−n ∈ Z | 0 6= n ∈ N}.

5.2.6. Ejercicio. Probar directamente de la definicion anterior que para n,m ∈Z se tiene n ≤ m si y solo si −n ≥ −m.

5.2.7. Proposicion. (Z,≤) es un conjunto totalmente ordenado. Aun mas,todo entero tiene predecesor y sucesor.

Demostracion. Inmediata de la definicion de orden en los numeros enteros (5.2.4).

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54 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

Suma y producto en los enteros.

Seguimos con la lınea de presentar la construccion de los numeros enterossiguiendo el lenguaje de los conjuntos.

5.2.8. Suma. Definimos

+ : Z× Z −→ Z, tal que,

+([(a, b)] , [(m,n)]) = [(a+m, b+ n)] ; es decir,

[(a, b)] + [(m,n)] = [(a+m, b+ n)]

5.2.9. Propiedades de la suma.

1. Esta bien definida (vease 4.3.4).

2. Es conmutativa.

3. Es asociativa.

4. Existe el neutro 0 = [0, 0].

5. Para todo entero existe el opuesto o inverso bajo la suma.

Demostracion. Vamos a comprobar que esta bien definida. El resto lo dejamoscomo ejercicio. Supongamos que a, a′, b, b′,m,m′, n, n′ ∈ N son tales que [a, b] =[a′, b′] y [m,n] = [m′, n′]. Queremos ver que [a+m, b+n] = [a′+m′, b′+n′]. Porhipotesis, a+b′ = b+a′ ym+n′ = n+m′, de donde a+b′+m+n′ = b+a′+n+m′,luego (a+m)+(b′+n′) = (a′+m′)+(b+n), de donde se obtiene el resultado.

5.2.10. Producto. Definimos

• : Z× Z −→ Z, tal que,

• ([(a, b)] , [(m,n)]) = [(am+ bn, an+ bm)] ; es decir,

[(a, b)] [(m,n)] = [(am+ bn, an+ bm)]

5.2.11. Propiedades del producto.

1. Esta bien definido.

2. Es conmutativo.

3. Es asociativo.

4. Es distributivo con respecto a la suma.

5. Existe el neutro 1 = [1, 0].

Demostracion. Ejercicio.

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5.3. NUMEROS RACIONALES 55

5.3. Numeros racionales

Los numeros racionales seran ahora construidos a partir de los numerosenteros.

5.3.1. Notacion. Denotamos Z∗ = Z \ {0}.5.3.2. Proposicion. Sea Q = Z× Z∗. La relacion en Q dada por

[(a, b)] ∼ [(n,m)] ⇐⇒ am = bn

es una relacion de equivalencia.

Demostracion. Ejercicio.

5.3.3. Definicion. Llamamos numeros racionales al conjunto cociente

Q = Q/ ∼ .

5.3.4. Representantes notables. Considerese (n,m) ∈ Q.

1. Si d|mcd(n,m) entonces [(n,m)] = [(n/d,m/d)]. Luego podemos elegirrepresentantes cuyas coordenadas son numeros coprimos (y son unicos siimponemos que la segunda coordenada sea positiva).

2. [(0, 1)] = {(0, n) ∈ Q | n ∈ Z}.

3. [(1, 1)] = {(n,m) ∈ Q | n = m}.

4. Identificamos con los enteros a los [(n, 1)] ={(a, b) ∈ Q | n = a

b ∈ Z}.

5. [(1,m)] ={(a, b) ∈ Q | m = b

a ∈ Z}.

5.3.5. Orden en los numeros racionales. Sean [(n,m)] y [(a, b)] numerosracionales. Definimos

[(n,m)] ≤ [(a, b)] ⇐⇒ nb ≤ ma ⇐⇒ nmb2 ≤ abm2.

Ademas,

1. Decimos que un racional es positivo si es mayor que 0.

2. Decimos que es negativo si es menor que 0.

5.3.6. Proposicion. (Q,≤) es un conjunto totalmente ordenado.

Demostracion. Consideremos dos numeros racionales cuyos representantes tie-nen coordenadas coprimas, r = [n,m] y s = [a, b] y hagamos los productos nb yma. Como son enteros ha de ocurrir una de tres, nb = ma, nb > ma o nb < ma,lo que nos da la tricotomıa en Q.

5.3.7. Observacion. Ningun racional tiene sucesor (ni predecesor).

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56 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

Suma y producto en los racionales.

5.3.8. Suma. Definimos

+ : Q×Q −→ Q, tal que,

+([(a, b)] , [(m,n)]) = [(an+ bm, bn)] ; es decir,

[(a, b)] + [(m,n)] = [(an+ bm, bn)]

5.3.9. Propiedades de la suma.

1. Esta bien definida (vease 4.3.4).

2. Es conmutativa.

3. Es asociativa.

4. Existe el neutro, 0 = [(0, 1)].

5. Para todo racional no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma.

Aun mas, si n,m ∈ Z, [(−n,m)] = [(n,−m)] = − [(n,m)].

Demostracion. Ejercicio.

5.3.10. Producto. Definimos

• : Q×Q −→ Q, tal que,

• ([(a, b)] , [(m,n)]) = [(am, bn)] ; es decir,

[(a, b)] [(m,n)] = [(an, bm)]

5.3.11. Propiedades del producto.

1. Esta bien definido.

2. Es conmutativo.

3. Es asociativo.

4. Es distributivo con respecto a la suma.

5. Existe el neutro 1 = [(1, 1)].

6. Todo racional no cero, [(m,n)] tiene inverso; [(n,m)].

Demostracion. Ejercicio.

5.3.12. Notacion. 1. Escribimos

m

n= [(m,n)] .

2. Denotamos con 0 a la clase 01 = [(0, 1)], el cero.

3. Denotamos con m a la clase m1 = [(m, 1)] y los identificamos con los

numeros enteros.

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5.3. NUMEROS RACIONALES 57

5.3.1. Escritura decimal de numeros racionales.

5.3.13. Definicion.

- Una sucesion de numeros naturales1, (an)n∈N se dice eventualmente pe-riodica si existen un numero natural m y un entero positivo q tales queai = ai+q, para todo i ≥ m.

- Llamamos termino inicial del perıodo al elemento de la sucesion ar, talque r es el menor de los numeros naturales que satisfacen la condicionai = ai+q, para todo i ≥ r.

- Llamamos perıodo de la sucesion al menor de los enteros positivos p quesatisfacen ar = ar+p.

- Cuando una sucesion eventualmente periodica tiene periodo p = 1, deci-mos que es eventualmente constante.

5.3.14. Ejemplo. La sucesion 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, . . . es even-tualmente periodica, con periodo p = 3 y termino inicial a10.

5.3.15. Definicion. Decimos que una sucesion de numeros naturales (an)n∈N

es decimal si an ∈ {0, 1, ..., 9} para todo n > 0 y a0 ∈ N es arbitrario.

5.3.16. Teorema. Para todo numero racional α ∈ Q, α ≥ 0, existe una unicasucesion decimal eventualmente periodica de numeros naturales (an)n∈N tal que

0 ≤ α− a0 −a110

− a2102

− ...− an10n

<1

10n, (5.1)

para todo n ∈ N.Aun mas, la correspondencia α 7→ (an)n∈N determina una biyeccion entre

el conjunto de los numeros racionales α ≥ 0 y el conjunto de las sucesionesdecimales eventualmente periodicas que no son eventualmente constantes contermino inicial 9.

Demostracion. Solo vamos a hacer un esquema de demostracion sobre la exis-tencia de la aplicacion. El resto, se omite.

La expresion decimal de un racional se hace de la siguiente manera:Como 0 ≤ α ∈ Q, expresamos

α =k

d, con 0 ≤ k, 0 < d y mcd(k, d) = 1.

Hacemosk = da0 + r0 con 0 ≤ r0 < d

10r0 = da1 + r1 con 0 ≤ r1 < d...

10rn−1 = dan + rn con 0 ≤ rn < d...

1O cualquier otro subconjunto de numeros contenido en los complejos.

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58 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

Tenemos que comprobar dos propiedades de la sucesion (an)n∈N: una, quees periodica y la otra, que es decimal.

Para ver que es eventualmente periodica, observemos que todos los restosson 0 ≤ r < d, por lo tanto, a lo mas en d pasos se produce una repeticion delresto, es decir, existen m ≥ 0 y q > 0 con rm = rm+q. Entonces es facil ver porinduccion, usando que el cociente y el resto al dividir por d son unicos, que paracada i > m se tiene ai = ai+q (y ri = ri+q), de donde se deduce que (an) eseventualmente periodica.

Ahora vamos a ver que es decimal.

10rn−1 = dan + rn ⇒ 0 ≤ dan ≤ 10rn−1 < d10 ⇒⇒ 0 ≤ an ≤ 10

rn−1

d< 10 ⇒ 0 ≤ an < 10.

por tanto, (an)n∈N es decimal. Vamos a ver que satisface la condicion (5.1).Se tiene, senalando con “ ∗

︸︷︷︸” lo que vamos a sustituir

k

d= a0 +

r0d︸︷︷︸

y 0 ≤ r0d

< 1 =⇒ 0 ≤ k

d− a0 < 1.

Como 10r0 = da1 + r1 entonces r0d = a1

10 + r1d · 1

10 , de donde

k

d= a0 +

a110

+r1d

· 1

10︸ ︷︷ ︸

y 0 ≤ r1d

1

10<

1

10⇒

=⇒ 0 ≤ k

d− a0 −

a110

<1

10

Como 10r1 = da2 + r2 entonces 110

r1d = a2

102 + r2d · 1

102 , de donde

k

d= a0 +

a110

+a2102

+r2d

· 1

102︸ ︷︷ ︸

y 0 ≤ r2d

· 1

102<

1

102

=⇒ 0 ≤ k

d− a0 −

a110

− a2102

<1

102

ası, sucesivamente llegamos a la desigualdad (5.1).Para terminar de ver que la correspondencia α 7→ (an)n∈N es aplicacion, solo

falta ver que la sucesion es unica.Supongamos que existe (bn)n∈N tal que 0 ≤ α −∑n

i=1bi10i < 1

10n . se afirmaque an = bn para todo n ∈ N.

Vamos a probar esto por induccion. Para n = 0, se tiene

0 ≤ α− b0 <1

100y 0 ≤ α− a0 <

1

100

de dondeb0 ≤ α < b0 + 1 y a0 ≤ α < a0 + 1

luego a0 = b0.

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5.4. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. 59

Supongamos valido para k ≤ n, entonces a0 = b0, . . . , an = bn.Para n+ 1, hacemos A =

∑ni=1

ai

10i =∑n

i=1bi10i = B. Entonces

0 ≤ α−n+1∑

i=1

ai10i

<1

10n+1y 0 ≤ α−

n+1∑

i=1

bi10i

<1

10n+1,

entonces

0 ≤ α−A− an+1

10n+1<

1

10n+1y 0 ≤ α−B − bn+1

10n+1<

1

10n+1.

En la desigualdad de la izquierda sumamos an+1

10n+1 y en la otra, bn+1

10n+1 , luegomultiplicamos en ambas por 10n+1 y queda

an+1 ≤ 10n+1(α−A) < an+1 + 1 y bn+1 ≤ 10n+1(α −B) < bn+1 + 1,

lo que implica an+1 = bn+1.

5.4. Estructuras algebraicas.

Llamamos estructuras algebraicas a conjuntos dotados de operaciones bina-rias que poseen algunas de las propiedades basicas de la suma y el producto.

Recordemos que una operacion binaria, digamos ◦, en un conjunto no vacıoA, es una aplicacion ◦ : A× A → A, y que para a, a′ ∈ A denotamos ◦(a, a′) =a ◦ a′.5.4.1. Definicion. Sea A un conjunto no vacıo con una operacion binaria + :A×A → A (suma). Decimos que A es un grupo abeliano si se verifican:

La suma es conmutativa.

La suma es asociativa.

Existe un neutro para la suma, que denotamos 0 ∈ A.

Todo elemento a ∈ A tiene opuesto, o sea existe b ∈ A con a+ b = 0.

5.4.2. Definicion. Sea A un conjunto no vacıo con dos operaciones binarias

+ : A×A → A

· : A×A → A

Decimos que A es un anillo si se verifica que:

A con la suma es un grupo abeliano

El producto es asociativo.

Existe un neutro para el producto, que denotamos 1 ∈ A.

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60 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

El producto distribuye a la suma. O sea, a(b+ b′) = ab+ ab′ para cuales-quiera a, b, b′ ∈ A.

Decimos que A es anillo conmutativo si ademas de lo anterior se verifica que elproducto es conmutativo.

Decimos que A es un cuerpo si ademas de todo lo anterior se verifica quecada elemento a ∈ A no nulo tiene inverso multiplicativo, es decir, si existe unb ∈ A tal que ab = 1.

Ası, Z es un anillo conmutativo y Q es un cuerpo. Otro anillo conmutativolo forman los polinomios (por ejemplo, con coeficientes enteros). Un ejemplo deanillo no conmutativo es el conjunto de las matrices cuadradas de un tamanofijo junto con la suma y el producto habituales de matrices.

5.4.3. Ejercicio. Probar que en cualquier anillo A:

1. El neutro bajo la suma y el neutro bajo producto son unicos.

2. El opuesto de un elemento a ∈ A es unico. Se denota −a.

3. El inverso de un elemento no nulo a ∈ A, si existe, es unico. Se denotapor a−1.

4. Si a, b ∈ A tienen inverso entonces lo tiene su producto ab.

5. Si a ∈ A tiene inverso entonces a es cancelable, o sea ab = ab′ implicab = b′.

(Observacion: el recıproco no es cierto: en el anillo Z el elemento 2 escancelable pero no tiene inverso).

5.5. Numeros reales

A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidadde fundamentar rigurosamente el analisis matematico y con ello llegaron a laconstruccion de los numeros reales partiendo de los racionales [5, p. 130]. Usaron3 caminos:

1. Identificar a los numeros reales con los desarrollos decimales infinitos ;es decir, al hilo de los descrito en racionales, expresandolos como a0 +∑∞

n=1 an10−n, con a0 ∈ Z y ai ∈ {0, . . . , 9}. Esta idea fue desarrollada

por Weierstrass.

2. Definir las llamadas cortaduras de Dedekind en Q. Una cortadura es unsubconjunto β ⊂ Q tal que

a) ∅ 6= β ( Q.

b) β esta acotado superiormente y no tiene elemento maximo.

c) Si x ∈ β e y < x entonces y ∈ β.

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5.6. NUMEROS COMPLEJOS 61

Ası, si q ∈ Q, definimos q∗ = {x ∈ Q | x < q}, esto no es novedoso.Lo interesante es definir

√2 = {q ∈ Q | q < 0 o q2 < 2} y ası se van

obteniendo los irracionales.

Despues se elabora una aritmetica de cortaduras, de forma natural y seobtienen ası los numeros reales. Esta idea fue desarrollada por Dedekind.

3. Considerar el conjunto cociente de cierta relacion de equivalencia de lassucesiones que actualmente llamamos sucesiones de Cauchy en Q y que seestudiaran en los cursos de analisis matematico. Esta idea fue desarrolladapor Cantor y Meray.

Nosotros no abordaremos su fundamento pues eso corresponde a otros cur-sos. Vamos a asumir que los numeros reales es un conjunto no vacıo (R,+, ·)que contiene a los racionales, Q y que satisfacen los axiomas que listamos acontinuacion.

5.5.1. Axiomas de cuerpo. El conjunto de los numeros reales junto con lasuma y el producto forman un cuerpo, que tiene como subcuerpo a los racionales.

5.5.2. Axiomas de orden.

1. El conjunto R esta totalmente ordenado. Escribimos x > y cuando x ≥ yy ademas, x 6= y.

2. Si x < y entonces para cada z ∈ R se tiene que x+ z < y + z.

3. Si x > 0 e y > 0 entonces xy > 0.

5.5.3. Definicion. Un numero real x ∈ R, se llama positivo si x > 0 y negativosi x < 0.

5.5.4. Observacion. Si x ∈ R es positivo, se puede probar que el opuesto, −xes negativo, ya que, si x > 0 entonces x− x > 0− x, de donde 0 > −x.

5.5.5. Axioma de completitud. Todo conjunto no vacıo S ⊆ R, que esteacotado superiormente admite un supremo.

5.6. Numeros complejos

5.6.1. Definicion. Llamamos numeros complejos al conjunto

C = {(a, b) | a, b ∈ R}

junto con las operaciones

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) y (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

Los representamos en el plano cartesiano como

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62 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

R

R ✻

✲p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

······ · · · · · ·

a

b (a, b)•

5.6.2. Teorema. El conjunto C, junto con las operaciones descritas, tiene es-tructura de cuerpo.

Demostracion. Es cuestion de hacer los calculos. Observese que (a, b)−1 =1

a2+b2 (a,−b) =(

aa2+b2 ,

−ba2+b2

)

y (0, 1)2 = (−1, 0).

5.6.3. Observacion. Identificamos R con {(a, 0) ∈ C | a ∈ R}.5.6.4. Notacion. Escribimos tambien a los numeros complejos como

C ={a+ bı | a, b ∈ R e ı2 = −1

}

junto con el producto habitual de los numeros reales y rı = ır para todo r ∈ R,ademas de ser asociativo.

5.6.5. Conjugado. El conjugado de un numero complejo z = a + bı ∈ C esz = a− bı y tiene, entre otras, las siguientes propiedades. Sean z, w ∈ C.

1. z = z.

2. z + w = z + w.

3. zw = z w.

4. Si z 6= 0 entonces z−1 = z−1.

5. z ∈ R si y solo si z = z.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

5.6.6. Definicion. Sea z = a+ bı ∈ C.

1. Al coeficiente “a” se le llama la parte real, Re(a + bı), y a “b” la parteimaginaria, Im(a+ bı).

2. Su modulo es |z| = |a+ bı| =√a2 + b2.

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5.6. NUMEROS COMPLEJOS 63

3. Su argumento es el (unico, salvo multiplos de 2π) angulo θ que verifica

cos(θ) =a

|z| y sen(θ) =b

|z| ;

es decir, Arg(z) = θ = arctan(ba

)(estableciendo, como siempre, primero

el cuadrante).

5.6.7. Propiedades. Sean z, w ∈ C.

1. |z| =√z · z (equivalentemente, |z|2 = zz).

2. |z| = |z|.

3. |zw| = |z||w|.

4.∣∣z−1

∣∣ = |z|−1.

5. |Re(z)| ≤ |z|.

6. |z + w| ≤ |z|+ |w| (desigualdad triangular).

Demostracion. Notese primero que zw y zw son conjugados y por lo tantozw + zw = 2Re(zw). Usando lo anterior y el apartado anterior, tenemos |z +w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw) ≤|z|2 + |w|2 + 2|zw| = (|z|+ |w|)2.

Formas polar y trigonometrica.

5.6.8. Notacion. Sea z = a + bı ∈ C, con modulo r =√a2 + b2 y argumento

θ = arctan(ba

)(como siempre, estableciendo previamente el cuadrante).

1. La representacion polar de z es

z 7−→ (r, θ).

R

R ✻

✲p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

r (r, θ)•

✑✑✑✑✑✑✸

.

....................................

θ

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64 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

2. La representacion triginometrica de z es

z 7−→ r(cos θ + ı sen θ).

R

R ✻

✲p p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

r

r cos(θ)

r sen(θ) (r cos(θ), r sen(θ))•

✑✑✑✑✑✑✸

.

.........

...........................

θ ppppp

5.6.9. Producto. Sean z = (r, θ) y w = (s, σ). Entonces

zw = (rs, θ + σ) = rs(cos(θ + σ) + ı sen(θ + σ)).

La forma trigonometrica se obtiene sin mas, ejecutando el producto y utili-zando las identidades trigonometricas fundamentales. En particular, si z ∈ C esz = r(cos θ + ı sen θ)

z−1 =1

r(cos(−θ) + ı sen(−θ)) =

1

r(cos θ − ı sen θ)

como corresponde con las formulas de la definicion del producto. Aun mas, sepuede probar por induccion el siguiente resultado clasico.

5.6.10. Teorema [Teorema de De Moivre]. Sea z ∈ C, con |z| = r yArg(z) = θ. Para n ∈ N se tiene

zn = (rn, nθ) = rn(cos(nθ) + ı sen(nθ)).

Demostracion. Inmediata por induccion y las formulas anteriores.

Pasamos ahora a estudiar las raıces de un numero complejo. Partimos de unnumero complejo w = r(cos θ + ı sen θ). Entonces su n-esima potencia sera

wn = s(cosα+ ı senα).

Trivialmente, se tiene que

r = n√s y θ =

α+ 2kπ

n, k ∈ Z.

El problema consiste entonces solo en determinar cuantas raıces hay (aunqueesto es retorico, pues ya sabemos que hay exactamente n). Para ello, primero

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5.6. NUMEROS COMPLEJOS 65

acotamos en funcion del divisor n. Supongase que k > n y sea k = nq + k′, con0 ≤ k′ < n. Entonces

α+ 2kπ

n=

α+ 2(nq + k′)π

n=

α+ 2k′π

n+

2nπq

n=

α+ 2k′π

n+ 2πq.

Lo cual nos muestra que los argumentos seran iguales y por tanto basta consi-derar

θk =α+ 2kπ

n, k = 0, . . . n− 1.

Es claro que cualesquiera dos argumentos anteriores dintintos daran lugar adistintos numeros complejos. Esto prueba el siguiente toerema.

5.6.11. Teorema. Sean z ∈ C y n ∈ N no nulos. La ecuacion Xn = z tieneexactamente n raıces en C. En otras palabras, todo numero complejo no nulotiene exactamente n raıces n-esimas complejas.

Aun mas, si w ∈ C se escribe w = r(cos θ+ ı sen θ) entonces todas las raıcesn-esimas son

n√r

(

cos

(θ + 2kπ

n

)

+ sen

(θ + 2kπ

n

))

, k = 0, . . . , n− 1.

Demostracion. Inmediata del parrafo anterior.

5.6.12. Ejemplo. Vamos a encontrar todas las soluciones de la ecuacion X5 =1; es decir, buscamos todos los w = r(cos θ+ ı sen θ) tales que w5 = 1. Entoncesw5 = 1 = cos 0, luego α = 0, r = 1 y θk = 0+2πk

5 , con k = 0, . . . , 4.

5.6.13. Definicion. Sea n ≥ 2. decimos que ω ∈ C es una raız n-esima de launidad si ωn = 1 y diremos que es una raız nesima primitiva de la unidad deademas de ser raız, se tiene que ωm 6= 1 si 0 < m ≤ n.

5.6.14. Ejemplo. Vamos a estudiar las raıces cuartas de la unidad. En estecaso nos salen los siguientes angulos: θ0 = 0, θ1 = 2π

4 = π2 , θ2 = 4π

4 = π yθ3 = 6π

4 = 3π2 . Haciendo zi = cos θi + ı sen θi se tiene que z0 = 1, que no es

primitiva, z1 sı lo es, z22 = 1, luego no es primitiva y z3 sı lo es.

El ejemplo anterior nos dice que zi es primitiva para i coprimo con 4. Estoes verdadero en general y muy facil de demostrar.

5.6.15. Corolario. Sea z ∈ C, arbitrario. Entonces z tiene exactamente

|{m ∈ {1, . . . , n− 1} | mcd(m,n) = 1}|

raıces n-esimas primitivas.

5.6.1. Forma exponencial de un numero complejo.

En las asignaturas de calculo se estudiaran las formulas

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66 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ · · · =

∞∑

n=0

xn

n!

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!+ · · · =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!

senx = x− x3

3!+

x5

5!+ · · · =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!

Estas identidades nos sirven de motivacion para escribir

eıρ = 1 + ıρ+(ıρ)2

2!+

(ıρ)3

3!+ . . .

= 1 + ıρ− ρ2

2!− ıρ3

3!+

ρ4

4!+

ıρ5

5!− . . .

= cos ρ+ ı sen ρ

Desde luego, lo anterior no es una demostracion, pero justifica definir

eıρ = cos ρ+ ı sen ρ, ρ ∈ [0, 2π)

de tal forma que escribimos el complejo z = r(cos θ + ı sen θ) como

z = reθı.

En particular, obtenemos la famosa identidad de Euler.

eπı + 1 = 0.

Nota: mas alla de los numeros complejos

Existen estructuras algebraicaqs mas recientes que extienden los conjuntosnumericos anteriores. Uno de ellos son los llamados numeros hipercomplejos oalgebras. Las algebras se definen a traves de numeros y sımbolos junto conreglas artimeticas. Para motivar esto, pensemos en los numeros complejos comolas algebras de la forma {a+bı | a, b ∈ R}, junto con las reglas ı2 = −1, xı = ıxpara todo x ∈ R.

Ahora, por ejemplo, se considera el conjunto ZC4 = {a0+a1j+a2j2+a3j

3 |a0, . . . , a3 ∈ R}, junto con j4 = 1 y aij = jai. Este es un anillo conmutativo.

Un ejemplo de un algebra de este tipo no conmutativa es los cuaternionesde Hamilton. Es el conjunto H = {a0+ a1i+ a2j+ a3k | a0, . . . , a3 ∈ R}, juntocon atx = xat con t ∈ {0, 1, 2, 3} y x ∈ {i, j, k}; ademas, ij = k = −ji, ki =j = −ik, i2 = j2 = k2 = −1.

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5.7. CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLES 67

5.7. Conjuntos numerables y no numerables

Vamos a terminar esta parte abordando algunos aspectos mas de la cardi-nalidad. Hasta ahora tenemos la definicion de finito e infinito. Recordemos.

1. Un conjunto A, decimos que es infinito si existe B ( A, junto con unaaplicacion inyectiva f : A → B.

2. Un conjunto es finito si no es infinito.

3. Recordemos que la cardinalidad de un conjunto A se denota |A|.5.7.1. Definicion. Sea A un conjunto.

1. Decimos que A es a lo mas numerable si |A| ≤ |N|; es decir si existe unaaplicacion inyectiva f : A → N.

2. Decimos que A es numerable si |A| = |N|.3. Decimos que A es mas que numerable si |N| < |A|; es decir, existe una

aplicacion inyectiva f : N→ A pero no existe ninguna aplicacion inyectivag : A → N

5.7.2. Teorema [Bernstein]. Sean A y B conjuntos, tales que existen apli-caciones inyectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyeccionβ : A → B.

Demostracion. La demostracion se omite porque excede el interes de este curso.Puede consultarse [5, p. 51].

5.7.3. Corolario. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones sobre-yectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyeccion β : A → B.

Demostracion. Se deja como ejercicio. Una forma de hacerlo es probar, usandoel axioma de eleccion, que si f : A → B es sobre entonces existe una aplicacioninyectiva f ′ : B → A.

5.7.4. Lema. |N| = |N× N|.Demostracion. Para simplificar los argumentos de conteo vamos a interpretarN = {1, 2, 3, . . .}, sin el 0. Vamos a exhibir una aplicacion inyectiva ϕ : N×N→N. Es un poco laborioso, pero muy ilustrativo. La idea es ordenar las parejas enel orden lexicografico y luego ir contando “en diagonal”. Podemos ilustrarlo ası:

(1, 1) ✲ (1, 2)

✟✟✙(2, 1) ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✶

(2, 2)

✟✟✙

(1, 3)

✟✟✙

(3, 1) ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✶ . . .

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68 CAPITULO 5. CONJUNTOS NUMERICOS

Notese que en cada diagonal desde (1, n) hasta (n, 1) estan exactamente losn pares cuyas coordenadas suman n+1, y antes de llegar a esa diagonal se hancontado

∑n−11=1 i pares. Luego, al terminar la diagonal habremos contado

n−1∑

i=1

i + n =

n∑

i=1

i

parejas. Si llamamos S(n) a la suma de los primeros n numeros naturales pode-mos observar que se asignaran (1, n) 7→ S(n− 1) + 1, (2, n− 1) 7→ S(n− 1) + 2y ası (n, 1) 7→ S(n− 1) + n = S(n).

De este modo, la correspondencia queda como sigue. Se considera un elemen-to arbitrario (i, j). Entonces vive en la diagonal de (1, i+j−1) 7→ S(i+j−2)+1.Luego (i, j) 7→ S(i + j − 2) + i, y aplicando la conocida formula de la suma seobtiene

ϕ(i, j) =(i+ j − 1)(i+ j − 2)

2+ i.

5.7.5. Teorema. |N| = |Z| = |Q|

Demostracion. Inmediata de la construccion que hemos hecho.

5.7.6. Teorema. Considerese el intervalo (0, 1) ⊂ R. Existe una aplicacioninyectiva f : N→ (0, 1), pero no existe ninguna aplicacion inyectiva (0, 1) → N.

Es decir, el infinito de R es “mayor” que el de N.

Demostracion. Como aplicacion inyectiva f : N→ (0, 1) sirve f(n) = 1n+1 . Para

ver que no hay aplicaciones inyectivas (0, 1) → N vamos a dar un argumentoconocido como “metodo de la diagonal de Cantor”. Supongamos que sı se tieneuna aplicacion inyectiva. Eso finalmente significa que hay una aplicacion biyec-tiva y que hemos numerado a todos los elementos del intervalo (0, 1). Entonceslos escribimos x1, x2, . . . , en su forma decimal

x1 = 0, x11x12x13 · · ·x2 = 0, x21x22x23 · · ·x3 = 0, x31x32x33 · · ·

etcetera. Considerese el numero

x = 0, x11x22x33 · · ·

o sea, que sus decimales son “la diagonal” de la lista anterior (no importa quetodos fuesen 9 o 0, porque lo vamos a cambiar).

Ahora vamos a construir otro numero, de la siguiente forma. A cada xnn

asignamos otro dıgito ynn ∈ {0, . . . , 9} \ {xnn}, procurando que no todas laselecciones sean 0 o 9, para que y = 0, y11y22 · · · ∈ (0, 1).

Es inmediato comprobar que y no puede estar en la lista anterior.

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Capıtulo 6

Analisis combinatorio.

Recordemos que dado un numero natural p ∈ N se denota Np = {1, . . . , p}.A lo largo de este capıtulo denotaremos con A un conjunto finito que tienecardinalidad n; es decir, |A| = n y p sera tal que p ≤ n.

6.1. Variaciones.

6.1.1. Definicion. Se llama variacion de los n objetos de A tomados de p enp a cualquier aplicacion inyectiva f : Np → A.

En la situacion de la definicion anterior, denotamos ai = f(i) y escribi-mos la variacion como lista ordenada f(Np) = (a1, . . . , ap). Intuitivamente, unavariacion es una eleccion ordenada de p elementos de A, sin repeticiones.

6.1.1. Numero de variaciones.

Vamos a calcular el numero de variaciones de los n objetos de A tomados dep en p. Denotamos dicho numero con V p

n .

6.1.2. Teorema. Sea A un conjunto con |A| = n y p ≤ n, un numero natural.El numero de variaciones de los n objetos de A tomados de p en p es

V pn =

n!

(n− p)!= n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p+ 1) (p factores).

Demostracion. Primero notese que n!(n−p)! = n(n−1) · · · (n−p+1). Procederemos

por induccion sobre p. El caso p = 1 es trivial. Supongamos valido que para1 ≤ p < n se tiene el resultado. Queremos probar la formula para p+1. Primero,notemos que (n− p)V p

n = V p+1n .

Sea A un conjunto finito con cardinalidad n ≥ p + 1 y f : Np → A unaaplicacion inyectiva. Queremos extender el dominio de la aplicacion f a Np+1.Para lograr esto, solo tenemos que hacer corresponder p+1 con un elemento delconjunto A \ Imf . Esto puede hacerse de n− p maneras diferentes y por tantohay (n− p)V p

n aplicaciones inyectivas.

69

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70 CAPITULO 6. ANALISIS COMBINATORIO.

Como caso particular, notese que V nn = n!. Si sustituimos ahora Np por cual-

quier conjunto con p elementos, aparte de que no podemos utilizar la notacionai, no perdemos ninguna propiedad, como se dice en el siguiente resultado.

6.1.3. Corolario. Sean A y P conjuntos con cardinalidad n y p respectivamen-te, con p ≤ n. El numero de aplicaciones inyectivas de P en A es V p

n

6.2. Permutaciones.

Como vimos en el Ejemplo 2.4.15, una permutacion de A es una biyeccionde A en sı mismo. Si numeramos los elementos de A = {a1, . . . , an} podemosescribir una permutacion σ : A → A como

σ =

(a1 · · · an

σ(a1) . . . σ(an)

)

El siguiente ejercicio nos muestra que toda permutacion puede ser vista comouna variacion de n objetos tomados de n en n.

6.2.1. Ejercicio. Sean A y B conjuntos finitos, tales que |A| = |B|. Probar quesi f : A → B es inyectiva entonces ya es biyectiva.

Denotamos el conjunto de permutaciones de A como S(A). En caso de queA = Nn escribimos Sn en vez de S(Nn). Por el resultado de recuento que vimospara las variaciones tenemos lo siguiente.

6.2.2. Teorema. Sea A un conjunto finito con n elementos. Entonces el nume-ro de permutaciones |S(A)| = n!.

6.3. Combinaciones.

6.3.1. Definicion. Sea A un conjunto con n elementos y p ∈ N con p ≤ n.Una combinacion de los n elementos de A tomados de p en p, es cualquiersubconjunto de A que tenga p elementos.

En este punto es recomendable que nos detengamos a observar con cuidadola diferencia entre variacion y combinacion.

6.3.2. Ejemplo. Sea A = {a1, a2, a3}. En este caso, si definimos f, g : N2 → Atales que f(1) = a1, f(2) = a2 y g(1) = a2, g(2) = a1 son variaciones distintas;que podemos escribir de forma abreviada (a1, a2) y (a2, a1). Por otra parte, solohay una combinacion {a1, a2} = {a2, a1}.

Vamos a calcular el numero de combinaciones de un conjunto finito.

6.3.3. Teorema. Sea A un conjunto con n elementos. El numero de combina-ciones de los n elementos de A tomados de p en p es

Cpn =

n!

p!(n− p)!.

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6.3. COMBINACIONES. 71

Demostracion. Notemos que todo subconjunto P ⊂ A con p elementos puedeconsiderarse como la imagen de (al menos) una aplicacion inyectiva f : Np → A.El caso aquı es determinar cuantas aplicaciones inyectivas de Np pueden tener

a P como imagen. Estas son las biyecciones de Np en P y por lo visto en la

seccion anterior son p!. Ese es el factor por el que tendremos que dividir V pn . Ası

que

Cpn =

V pn

p!=

n!

p!(n− p)!.

6.3.4. Notacion. El numero de combinaciones de los n elementos de Nn to-mados de p en p se escribe

Cpn =

(n

p

)

y se le conoce como coeficiente binomial.

Vamos a ver un problema que involucra al coeficiente binomial.

6.3.5. Lema [Teorema de Pascal]. Sean n, p ∈ N, con p ≤ n. Entonces

(n

p+ 1

)

+

(n

p

)

=

(n+ 1

p+ 1

)

.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Este lema permite construir la siguiente figura, conocida como triangulo deTartaglia (o de Pascal), en la que bajo cada par de numeros de una lınea sepone su suma. Entonces en cada fila aparecen en orden

(n0

)= 1,

(n1

)= n,

(n2

),

(n3

), . . . ,

(nn

)= 1.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

6.3.6. Teorema [Teorema del binomio]. Sean a, b numeros reales y n ∈ N.Entonces

(a+ b)n =

n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i.

Demostracion. Procederemos por induccion.Para n = 0, se tiene que (a+ b)0 = 1 =

(00

)a0b0.

Supongamos valido para n. Procedemos a probar la afirmacion para n+ 1.

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72 CAPITULO 6. ANALISIS COMBINATORIO.

(a+ b)n+1 = (a+ b)

n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i =

=n∑

i=0

(n

i

)

ai+1bn−i +n∑

i=0

(n

i

)

aibn−i+1 =

(n

0

)

abn + · · ·+(n

i

)

ai+1bn−i + . . . +

(n

n− 1

)

anb+ an+1b0 +

a0bn+1+

(n

1

)

abn + · · ·+(

n

i+ 1

)

ai+1bn−i + · · ·+(n

n

)

anb =

=

n+1∑

i=0

(n+ 1

i+ 1

)

aibn−i.

por el teorema de Pascal.

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Parte II

Numeros y polinomios

73

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Capıtulo 7

El anillo de los numeros

enteros.

En este capıtulo se estudiaran las propiedades aritmeticas de los numerosenteros, es decir, las relacionadas con las operaciones y la divisibilidad. Tam-bien veremos que existen otros conjuntos dotados de operaciones binarias quecomparten propiedades con los enteros. De ahı surgiran los conceptos de anilloy cuerpo.

7.1. Artimetica de los enteros.

En esta seccion vamos a repasar los conceptos y propiedades basicos de losnumeros enteros y su descomposicion. Todo desde un punto de vista mas formaly con el lenguaje de los conjuntos, que hemos desarrollado en la parte anterior.

7.1.1. Division entera y maximo comun divisor.

Vamos a demostrar algunas de las propiedades de la suma y el producto delos enteros.

7.1.1. Proposicion. En Z se verifican las siguientes propiedades:

1. (Unicidad de los neutros) Solo hay un entero e tal que e + a = a paratodo a ∈ Z. Se denota 0. Y solo hay un entero u tal que ua = a para todoa ∈ Z. Se denota 1.

2. (Unicidad de los opuestos) Para cada a ∈ Z existe un unico a′ ∈ Z tal quea+ a′ = 0. Este unico elemento se llama el opuesto de a y se denota por−a; la suma b+ (−a) se denota por b− a.

3. (Cancelacion en sumas) Dados a, b, c ∈ Z, la igualdad a+b = a+c implicab = c.

75

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76 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

4. (Multiplicacion por cero) Para cada a ∈ Z se verifica a 0 = 0.

5. (Reglas de signos) Dados a, b ∈ Z se verifican -(-a) = a, a(-b) = (-a)b =-(ab) y (-a)(-b) = ab.

6. (Cancelacion en productos) Dados a, b, c ∈ Z con a 6= 0, la igualdad ab =ac implica b = c.

Una de las propiedades mas notables del conjunto de los numeros enteros esla llamada division entera que enunciamos y demostramos a continuacion:

7.1.2. Teorema [de la division entera]. Dados a, b ∈ Z, con b 6= 0, existenq, r ∈ Z unicos tales que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|.

Demostracion. En primer lugar demostraremos la existencia de q y r. Distin-guimos cuatro casos:

(1) Supongamos a, b > 0. Consideremos el conjunto de numeros enteros

R = {x ∈ Z | x ≥ 0, y x = a− bn para algun entero n}.

Entonces, R es, por definicion, un subconjunto de N que no es vacıo ya que,por ejemplo, a = a− b · 0 ∈ R. Por tanto, R tiene un primer elemento, digamosr = a − bq ∈ R. Vamos a ver que r < b. Si r ≥ b, entonces r − b ≥ 0 yr − b = a − bq − b = a − b(q + 1), y por tanto, r − b ∈ R y r − b < r, lo cualcontradice que r sea el primer elemento de R. Por tanto, hemos hallado q, r quecumplen a = bq + r y 0 ≤ r < b.

(2) Supongamos a < 0 y b > 0. Entonces, −a > 0 y, por el caso anterior,−a = bq + r con 0 ≤ r < b. Si r = 0, a = b(−q) + 0 y se cumple r = 0 < b. Sir 6= 0, hacemos a = b(−q)− r = b(−q) + b− b− r = b(−q − 1) + (b − r). Dadoque 0 < r < b, se cumple 0 < b− r < b.

(3) Supongamos a 6= 0 y b < 0. Entonces, −b > 0 y, por los casos anteriores,a = (−b)q + r con 0 ≤ r < −b = |b|. Por tanto, a = b(−q) + r con 0 ≤ r < |b|.(4) Si a = 0, entonces 0 = b · 0 + 0 y 0 < |b|, ya que por hipotesis b 6= 0.

Finalmente, para demostrar la unicidad de q y r supongamos que a = bq+r =bq′ + r′ con 0 ≤ r, r′ < |b|. Entonces, b(q − q′) = r − r′. Igualando los valoresabsolutos |b||q − q′| = |r − r′|, lo cual, dado que 0 ≤ r, r′ < |b|, solo puedecumplirse si q − q′ = 0 y r − r′ = 0.

7.1.3. Definicion. En la situacion del teorema anterior, si a = bq + r, conb 6= 0 y 0 ≤ r < |b|, a q se le llama el cociente de la division y a r el resto.

7.1.4. Ejemplo. Si a = −7 y b = 3, siguiendo la demostracion del teoremaanterior tenemos que 7 = 3 · 2 + 1, de donde

−7 = 3 · (−2)− 1 = 3 · (−2)− 3 + 3− 1 = 3 · (−3) + 2.

Tenemos pues que el cociente es −3 y el resto 2.

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7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 77

7.1.5. Definicion. Sean a, b ∈ Z. Decimos que b divide al numero a, y lodenotamos por b | a, si existe un c ∈ Z tal que a = bc. En este caso, se dice quea es multiplo de b. Si a 6= 0, decimos tambien que b es un divisor de a.

Notese que si b 6= 0, decir que b divide a a es lo mismo que decir que ladivision entera de a entre b da resto cero. Veamos ahora algunas propiedadeselementales que usaremos constantemente:

7.1.6. Proposicion. Sean a, b, c, d ∈ Z.1. La divisibilidad es una relacion reflexiva y transitiva.

2. La divisibilidad no es antisimetrica, pero casi lo es. Si a | b y b | a entonces|a| = |b|.

3. a | b si y solo si a | −b. Entonces, si b 6= 0, b y −b tienen los mismosdivisores.

4. b | a si y solo si −b | a (luego, todo numero tiene al menos un divisorpositivo, y b y −b tienen los mismos multiplos).

5. Si c | a y c | b, entonces c | ra+ sb, para todo r, s ∈ Z.

6. Si a | b y c | d entonces ac | bd.

7. Si a|b entonces ca|cb. El recıproco es cierto si c 6= 0.

8. Si a | b entonces |a| ≤ |b|.Demostracion. Se deja como ejercicio.

El maximo comun divisor es uno de los conceptos clasicos de la aritmeti-ca. Desde primaria concemos la definicion, pero falta demostrar su existencia.Comenzamos repasando la definicion y algunas propiedades basicas.

7.1.7. Definicion. Dados dos numeros enteros a, b, con, al menos, uno de ellosdistinto de cero, el maximo comun divisor de a y b se define como el mayorentero d tal que d | a y d | b. Si a = b = 0, su maximo comun divisor es cero.El maximo comun divisor de a y b se denotara por mcd(a, b) o mcd(b, a).

El maximo comun divisor existe pues el conjunto de divisores comunes dedos numeros es no vacıo (contiene al 1) y finito y por tanto tiene maximo (recor-demos que por el Ejercicio 5.1.27(c) todo conjunto finito linealmente ordenadoesta bien ordenado y tiene maximo); aun mas, el maximo comun divisor siemprees positivo.

7.1.8. Proposicion. Si a, b ∈ Z, entonces:(1) mcd(a, b) = mcd(a, |b|) = mcd(|a|, |b|).

(2) mcd(a, 0) = |a|.

(3) mcd(a, b) = 0 si y solo si a = b = 0.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

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78 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Vamos a estudiar el maximo comun divisor utilizando las herramientas delos conjuntos que hemos desarrollado en capıtulos anteriores.

7.1.9. Teorema. Sean a, b ∈ Z, no cero ambos. El maximo comun divisor dea y b es el mınimo del conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b; esdecir,

mcd(a, b) = mın{ra+ sb > 0 | r, s ∈ Z}.

Demostracion. Sea D = {ra + sb > 0 | r, s ∈ Z}. Notese primero que como ao b no son cero, D 6= ∅ y por tanto siempre existe δ = mınD. Se afirma que δes el maximo comun divisor de a y b. Como δ ∈ D existen α, β ∈ Z tales queδ = αa+βb. Primero vamos a ver que δ es divisor comun. Por el algoritmo de ladivision (7.1.2) a = δq+ r, con 0 ≤ r < δ. Entonces r = (1−αq)a+(−qβ)b, conlo que r ∈ D o r = 0. Lo primero es imposible porque δ es mınimo. Luego r = 0y por tanto δ | a. Analogamente δ | b. Que es maximo se desprende directamentede las propiedades de la divisibilidad (7.1.6); de hecho, todo divisor comun dea y b es divisor de δ.

7.1.10. Corolario. Sean a, b ∈ Z. Entonces existen r, s ∈ Z tales que mcd(a, b) =ra+ sb.

Demostracion. Si a = b = 0 hacemos r = s = 0 y tenemos el resultado. Si no sonambos cero, el resultado se desprende directamente del teorema anterior.

7.1.11. Definicion. Sean a, b ∈ Z y d = mcd(a, b). A una expresion d = ra+sbse le conoce como identidad de Bezout.

En la demostracion del teorema anterior hemos visto que el maximo comundivisor es, de hecho, multiplo de cualquier divisor comun. Vamos a expresar esojunto con otras propiedades que caracterizan al maximo comun divisor.

7.1.12. Proposicion. Sean a, b, c, d ∈ Z. Entonces d = mcd(a, b) si y solo sise cumplen las condiciones

(1) d | a y d | b.

(2) Si c | a y c | b, entonces c | d.

(3) d ≥ 0.

Demostracion. Supongamos d = mcd(a, b). De la definicion de maximo comundivisor tenemos las propiedades (1) y (3). La segunda es inmediata del Corola-rio 7.1.10.

Recıprocamente, supongamos que a, b, d cumplen las tres condiciones delenunciado. Si a 6= 0 o b 6= 0, es obvio que d es el mayor de los enteros quedividen a a y b. Si a = b = 0, como 0 | a y 0 | b, la condicion (2) nos garantizaque 0 | d por lo que d = 0. Tambien en este caso se tiene d = mcd(a, b).

Este resultado puede generalizarse a un numero finito de enteros como ve-remos a continuacion.

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7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 79

7.1.13. Definicion. Sean a1, . . . , an ∈ Z con algun ai 6= 0. El maximo comundivisor de a1, . . . , an, que denotaremos por mcd(a1, . . . , an), se define como elmayor entero d que los divide a todos, y existe por la misma razon que existe elmcd de dos enteros. Definimos mcd(0, . . . , 0) = 0.

7.1.14. Proposicion. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces

mcd(a1, . . . , an) = mcd(mcd(a1, a2), a3, . . . , an).

Demostracion. Sea d = mcd(a1, . . . , an), e = mcd(mcd(a1, a2), a3, . . . , an) yf = mcd(a1, a2). Entonces, como d divide a a1, . . . , an, tenemos por la proposi-cion anterior que d divide a f, a3, . . . , an. Luego d ≤ e. Recıprocamente, e dividea f, a3, . . . , an y, por tanto, e divide a a1, a2, . . . , an. Luego e ≤ d. Como d, e ≥ 0debe ser d = e.

7.1.15. Teorema. Sean a1, . . . , an ∈ Z tales que ai 6= 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.Entonces

mcd (a1, . . . , an) = mın

{n∑

i=1

riai > 0 | ri ∈ Z, ∀i ∈ {1, . . . , n}}

.

Demostracion. Inmediato por induccion, usando el Teorema 7.1.9.

7.1.16. Corolario. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces d = mcd(a1, . . . , an) si ysolo si se cumplen las condiciones

(1) d | ai para todo i = 1, . . . , n.

(2) Si c | ai para todo i = 1, . . . , n, entonces c | d.

(3) d ≥ 0.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

7.1.17. Ejemplo. Para calcular el maximo comun divisor de los numeros 45, 81, 12y 51 podemos proceder de la siguiente manera:

mcd(45, 81, 12, 51) = mcd(mcd(45, 81), 12, 51) = mcd(9, 12, 52) =

mcd(mcd(9, 12), 51) = mcd(3, 51) = 3.

7.1.18. Definicion. Dos enteros a, b se llaman primos entre sı o coprimos simcd(a, b) = 1.

7.1.19. Proposicion. Sean a y b dos enteros no nulos. Entonces a y b soncoprimos si y solo si existen α, β ∈ Z tales que αa+ βb = 1.

Demostracion. Inmediato de la definicion de coprimos y del Corolario 7.1.10.

7.1.20. Corolario. Sean a y b dos enteros no nulos y d = mcd(a, b). Si a = da′

y b = db′, entonces mcd(a′, b′) = 1.

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80 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Demostracion. Basta con dividir por d en una identidad de Bezout ra + sb =d.

7.1.21. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z tales que a | bc. Si a y b son coprimos,entonces a | c.

Demostracion. Sea 1 = αa + βb una identidad de Bezout. Multiplicando por ctenemos c = αac+ βbc. Como a | bc, tambien a | c.

7.1.22. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z. Si a y b son coprimos y a | c y b | centonces ab | c.

Demostracion. Considerese la identidad de Bezout ra + sb = 1. Por hipotesisca ,

cb ∈ Z. Entonces c

ara+ casb =

ca , luego cr + c

asb =ca y ası c

b br +casb =

ca , de

donde b( cbr +cas) =

ca , pasamos a multiplicando y se tiene ab | c.

El algoritmo de Euclides

Una forma efectiva de calcular el maximo comun divisor es mediante elalgoritmo de Euclides, para el cual necesitamos el siguiente resultado:

7.1.23. Proposicion. Sean a, b ∈ Z. Entonces, para todo s ∈ Z se tiene

mcd(a, b) = mcd(a− sb, b) = mcd(a, b− sa).

En particular, si b 6= 0 y a = bq + r es la division entera de a entre b, tenemosque

mcd(a, b) = mcd(b, r).

Demostracion. Si c | a y c | b, entonces c | a − sb por la Proposicion 7.1.6.Recıprocamente, si c | b y c | a − sb, entonces c | a − sb + sb = a, tambien porla misma proposicion de antes.

7.1.24. Algoritmo de Euclides Vamos a calcular el maximo comun divisorde dos enteros mediante el algoritmo de Euclides que consiste en la aplicacionrepetida de la proposicion anterior. Podemos suponer que a y b son positivos ytenemos:

a = bq1 + r1 (a, b) = (b, r1) r1 < bb = r1q2 + r2 (b, r1) = (r1, r2) r2 < r1r1 = r2q3 + r3 (r1, r2) = (r2, r3) r3 < r2

......

...

Dado que b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 debe obtenerse resto cero en unnumero finito de pasos:

rn−2 = rn−1qn + rn (rn−2, rn−1) = (rn−1, rn)rn−1 = rnqn+1 (rn−1, rn) = rn.

Luego (a, b) = rn.

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7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 81

Los valores x e y de la expresion rn = ax+ by pueden obtenerse eliminandolos r1, . . . , rn−1 con una sustitucion regresiva, en las igualdades anteriores apartir de la penultima igualdad. Es decir, si hemos llegado a rn = rk+2u +rk+3v entonces, como rk+1 = rk+2qk+3 + rk+3, se tiene rn = rk+2u + (rk+1 +rk+2(−qk+3))v = rk+1u

′ + rk+2v′.

Finalmente, si r1 = 0 trivialmente se tiene a = a(q − 1) + b.

Por ejemplo, para los enteros a = 252 y b = 198 hacemos las divisiones y setiene

252 = 198 · 1 + 54

198 = 54 · 3 + 36

54 = 36 · 1 + 18

36 = 18 · 2.

y, a partir de la penultima igualdad vamos despejando y sustituyendo, obtene-mos

18 = 54(1) + 36(−1) = 54 + (198− 54 · 3)(−1)

= 198(−1) + 54(4) = 198(−1) + (252− 198 · 1) · 4= 198(−5) + 252(4).

La igualdad 18 = 198(−5) + 252(4) es entonces una identidad de Bezout.

7.1.2. Mınimo comun multiplo

7.1.25. Definicion. Dados dos numeros enteros a, b distintos de cero, el mıni-mo comun multiplo de a y b se define como el menor entero positivo que esmultiplo de a y de b a la vez.

Si a o b son cero, entonces el mınimo comun multiplo de a y b es 0. Sedenotara por mcm(a, b).

La existencia del mınimo comun multiplo esta garantizada ya que el conjuntode todos los enteros positivos que son multiplos comunes a a y b es no vacıo y,por tanto, debe tener un primer elemento.

7.1.26. Proposicion. Si a, b ∈ Z, entonces:

(1) mcm(a, b) = mcm(a, |b|) = mcm(|a|, |b|).

(2) mcm(a, b) = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

(3) mcm(a, ab) = |ab|.

Demostracion. Se deja como ejercicio. Se desprende de la Proposicion 7.1.6.

7.1.27. Teorema. Sean a, b ∈ Z. Entonces:

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82 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

(1) mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|.

(2) Si c es multiplo de a y de b, entonces c es multiplo de mcm(a, b).

Demostracion. Si a = 0 o b = 0 el enunciado es evidente. Por tanto, por laproposicion anterior, podemos suponer que a, b > 0. Sea d = mcd(a, b) y su-pongamos que a = da′ y b = db′ para ciertos enteros a′, b′ ∈ Z. Sea m = a′b′d.Observemos que m es multiplo de a y de b. Supongamos que c > 0 es multiplode a y de b, es decir,

c = αa = βb (7.1)

para ciertos α, β ∈ Z. Entonces tenemos αda′ = βdb′ y, por tanto, αa′ = βb′.Por el Corolario 7.1.20, a′ y b′ son coprimos, entonces la Proposicion 7.1.21 nosgarantiza que a′ | β y podemos escribir

β = γa′ para cierto γ ∈ Z.

Sustituyendo β en la igualdad (7.1) obtenemos

c = γa′b = γa′db′ = γm (7.2)

que es mayor o igual que m y, en consecuencia, m = mcm(a, b). Ademas

ab = a′db′d = md = mcd(a, b) mcm(a, b).

De la igualdad (7.2) se desprende que si c es multiplo de a y b, entoncestambien lo es de su mınimo comun multiplo.

El concepto de mınimo comun multiplo de un numero finito de enteros esanalogo al de dos y tambien tenemos, usando el teorema anterior, un resultadoparecido al Corolario 7.1.16 para el maximo comun divisor.

7.1.28. Definicion. Sean a1, . . . , an numeros enteros no nulos. El mınimocomun multiplo de a1, . . . , an, que denotaremos por mcm(a1, . . . , an), se defi-ne como el menor entero positivo que es multiplo de a1, . . . , an a la vez. Siai = 0 para algun i, definimos mcm(a1, . . . , an) = 0.

7.1.29. Corolario. Sean a1, . . . , an ∈ Z. Entonces m = mcm(a1, . . . , an) si ysolo si se cumplen las condiciones

(1) m es multiplo de a1, . . . , an.

(2) Si c es multiplo de a1, . . . , an, entonces c es multiplo de m.

(3) m ≥ 0.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

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7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 83

7.1.3. La ecuacion diofantica lineal

El precio del cafe en la maquina de la planta baja es de 40 cts. Ana solotiene monedas de 50 cts y la maquina solo devuelve cambio en monedas de20 cts. Ana sabe por experiencia que si la maquina no tiene el cambio exacto,simplemente no lo devuelve. Si Ana no quiere perder dinero ¿podra tomarse uncafe? Si llamamos x al numero de monedas de 50 cts. que introduce Ana e y elnumero de monedas de 20 cts. que le devuelve la maquina, se tiene que cumplirla ecuacion

50x− 20y = 40

Una ecuacion de este tipo, en la que se buscan soluciones que sean numerosenteros, se llama una ecuacion diofantica lineal. Veamos su solucion.

7.1.30. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). La ecuacion diofanticaax + by = c tiene solucion si y solo si d divide a c. En este caso, la soluciongeneral son todos los numeros enteros de la forma

{x = x0 + x′

y = y0 + y′

donde x0, y0 es una solucion particular de la ecuacion y x′, y′ es una solucionde la ecuacion ax+ by = 0, llamada ecuacion homogenea asociada.

Demostracion. Si existen x, y ∈ Z tales que ax+by = c, entonces d | ax+by = c.Recıprocamente, supongamos que d|c y pongamos c = c′d. Si αa+βb = d es unaidentidad de Bezout, multiplicando por c′ tenemos (c′α)a + (c′β)b = c′d = c yla ecuacion tiene solucion. Veamos ahora como son las soluciones. Supongamosque x0, y0 es una solucion particular. Si x, y es una solucion, entonces

ax+ by = ax0 + by0 = c,

es decir, a(x−x0)+b(y−y0) = 0, luego poniendo x′ = x−x0 e y′ = y−y0 vemos

que la solucion x, y tiene la forma deseada. Recıprocamente, si x e y verificanlas condiciones del enunciado, claramente son solucion de la ecuacion.

7.1.31. Proposicion. Sean a, b, c ∈ Z, d = mcd(a, b), a = a′d y b = b′d. Lassoluciones de la ecuacion homogenea ax+ by = 0 son

{

x = −b′t

y = a′t

donde t es un entero cualquiera.

Demostracion. Si existen x, y ∈ Z tales que ax + by = 0, entonces ax = −by ydividiendo por d tenemos

a′x = −b′y. (7.3)

Dado que a′ y b′ son coprimos y a′ divide a −b′y, a′ debe dividir a y, luego existet ∈ Z tal que y = a′t. Sustituyendo en la igualdad (7.3) se tiene a′x = −b′a′ty, por tanto, x = −b′t. Por otra parte, se comprueba facilmente que todos losenteros de esa forma son solucion de la ecuacion.

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84 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Volviendo al ejemplo del inicio, tenemos que resolver la ecuacion 50x−20y =40. Dado que mcd(50,−20) = 10 vemos que la ecuacion tiene solucion. Si calcula-mos una identidad de Bezout obtenemos, por ejemplo, como solucion particularx0 = 4 e y0 = 8. Por otra parte, las soluciones de la ecuacion homogenea son

{x = 2ty = 5t.

Por tanto, la solucion general de la ecuacion es{

x = 4 + 2ty = 8 + 5t

Tenemos que ver ahora si hay soluciones positivas y cual es la mas pequena. Siexigimos que x, y ≥ 0 deber ser t ≥ −1. Tomando t = −1 vemos que Ana puedeintroducir 2 monedas de 50 cts y la maquina le devolvera 3 monedas de 20 ctsy un cafe.

7.1.4. Numeros primos. Teorema Fundamental de

la Aritmetica

En esta seccion vamos a probar el Teorema Fundamental de la Aritmetica queafirma que todo numero entero se puede escribir de forma escencialmente unicacomo producto de numeros primos. Comenzamos precisamente con el conceptode numero primo.

7.1.32. Definicion. Un entero p 6= 1,−1 se dice que es primo si sus unicosdivisores son 1, −1, p y −p.

7.1.33. Ejemplo. El primo positivo mas pequeno es el 2 y es tambien el unicoprimo par junto con el −2. Los primos siguientes son 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, . . . , 997, . . . , 252097800623, . . . , 243112609 − 1, . . . , 274 207 281 − 11

7.1.34. Proposicion. Para un entero p 6= 0, 1,−1, las condiciones siguientesson equivalentes:

1. p es primo.

2. Si p | ab (con a, b ∈ Z) entonces p | a o bien p | b.

3. Si p | a1a2 · · · an (con los ai ∈ Z) entonces p | ai para algun i.

Demostracion. [1 ⇒ 2] Si p | a ya esta. Si no, mcd(p, a) = 1 y por la Proposi-cion 7.1.21 se tiene que p | b.

[2 ⇒ 3] Por induccion, poniendo a1a2 · · ·an = a1(a2 · · · an).[3 ⇒ 1] Si a | p entonces p = ab para cierto b, y por (c) o bien se tiene p | a

(de donde se deduce que a = p o a = −p) o bien se tiene p | b (de donde sededuce que a = 1 o a = −1).

1El primo 274 207 281− 1 es el mayor conocido actualmente. Fue descubierto el 7 de enero

de 2016 por el proyecto de informatica distribuida GIMPS (Great Internet Mersenne PrimeSearch) de informatica distribuida el 23 de agosto de 2008 y tiene 22 338 618 cifras.

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7.1. ARTIMETICA DE LOS ENTEROS. 85

7.1.35. Teorema [Teorema Fundamental de la Aritmetica]. Todo nume-ro entero distinto de 0 y ±1 puede escribirse como producto de numeros primos.

Aun mas, la factorizacion es unica salvo signo y orden, en el siguiente sen-tido: si a ∈ Z, con a 6= 0,±1 se factoriza a = p1p2 · · · pn = q1q2 · · · qm conpi, qj primos, para i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . ,m} entonces n = m y podemosreordenar los primos qi, de modo que qi = ±pi para cada ındice i ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion. Veamos primero que la factorizacion existe. Procederemos porreduccion al absurdo. Supongamos que hay enteros positivos que no se factorizanen primos y consideremos el conjunto de todo esos numeros (positivos). Entoncesel conjunto tiene un mınimo, digamos a ∈ Z, con a > 1. Obviamente a no puedeser primo y en consecuencia a = bc con b, c ∈ Z y b, c 6= ±1; de hecho, cambiandoel signo si hace falta, podemos suponer que b y c son numeros positivos y portanto, estrictamente menores que a. Ahora, como a es mınimo con la propiedadde que no se factoriza en primos, debera ocurrir que b y c sı se factorizan enprimos, lo cual a su vez, implica que a tambien, lo cual es imposible.

Esto prueba que todo entero a > 1 se factoriza, y para a < −1 basta confactorizar −a = p1p2 · · · pr, pues entonces a = (−p1)p2 · · · pr.

Vamos ahora con la unicidad de la descomposicion. Supongamos

a = p1 · · · pn = q1 · · · qm (7.4)

con p1, . . . , pn, q1 . . . , qm primos. Supongamos que n ≤ m y procedamos porinduccion sobre n. Si n = 1, entonces a = p1 = q1 · · · qm. Dado que p1 esprimo no tiene mas divisores primos que −p1 y p1. Por tanto, debe ser m = 1 yq1 = p1. Supongamos ahora el resultado valido para factorizaciones de, a lo mas,n− 1 primos y para el paso inductivo, consideremos la situacion a = p1 · · · pn =q1 · · · qm. Entonces pn divide a q1 · · · qm y ası, por el resultado anterior, dividea qi para algun i ∈ {1, . . . ,m}. Reordenando los factores qj podemos suponerque i = m; es decir, pn|qm. Como los unicos divisores primos de qm son −qm yqm tenemos que qm = ±pn. Sustituyendo en (7.4) obtenemos

p1 · · · pn−1pn = q1 · · · qm−1(±pn)

y cancelando pn,p1 · · · pn−1 = ±q1 · · · qm−1.

La hipotesis de induccion nos dice entonces que n− 1 = m − 1 (luego n = m)y que, despues de reordenar si hace falta, se tiene qi = ±pi para todo i ∈{1, . . . , n− 1}; como ya sabıamos que qm = ±pn, hemos terminado.

7.1.36. Corolario. Sea a ∈ Z, a 6= 0,±1. Entonces,

a = ±pn1

1 · · · pns

s

para ciertos primos positivos diferentes p1, . . . , ps y numeros naturales no ceron1, . . . , ns. Ademas, estos primos y sus respectivos exponentes son unicos (salvoel orden).

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86 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

7.1.37. Corolario. Sean a, b ∈ Z con descomposiciones en primos

a = ±pn1

1 · · · pns

s y b = ±qm1

1 · · · qmr

r .

Entonces, el mcd(a, b) puede calcularse haciendo el producto de los primos co-munes de a y b elevados a la mınima potencia, y el mcm(a, b) puede calcularsehaciendo el producto de los primos comunes y no comunes de a y b elevados ala maxima potencia.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Finalmente, vamos a demostrar que existen infinitos numeros primos.

7.1.38. Teorema. El conjunto de los numeros primos es infinito.

Demostracion. Procedemos por reduccion al absurdo. Supongamos que es finitoy que p1, . . . , pn son todos los numeros primos y consideremos el numero

N = p1 · · · pn + 1.

Dado que N es mayor que pi para todo i, no puede ser primo y, por tanto,debe ser divisible por alguno de los primos anteriores. Pero si pi | N , entoncespi | N − p1 · · · pn = 1 lo cual es imposible.

7.2. Congruencias.

A lo largo de esta seccion,m denotara siempre un entero mayor que 1. Vamosa definir la relacion de congruencia modulo m que ya hemos visto como ejemploal estudiar las relaciones de equivalencia.

7.2.1. Definicion. Dados un entero positivo m y dos numeros x, y ∈ Z, de-cimos que x e y son congruentes modulo m, y escribimos x ≡ y mod m, ox ≡ y (m), si x− y es multiplo de m.

7.2.2. Proposicion. La relacion de congruencia modulo m es una relacion deequivalencia.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

7.2.3. Proposicion. Sean a, b ∈ Z y m un entero mayor que 1.

(1) Si r es el resto de la division de a entre m, entonces a ≡ r mod m.

(2) Si a ≡ b mod m y 0 ≤ a, b < m, entonces a = b.

(3) a ≡ b mod m si y solo si a y b dan el mismo resto al dividirlos por m.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

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7.2. CONGRUENCIAS. 87

Vamos a ver que cada clase de equivalencia modulom, que tambien llamamosclase de congruencia modulo m, tiene un unico representante entre 0 y m− 1 alcual llamaremos representante canonico y se obtiene como el resto de la divisionentera de cualquier elemento de la clase entre m. Por este motivo, a las clasesde congruencia modulo m tambien se las llama clases de restos modulo m.

Dado un entero a, denotemos por a su clase de equivalencia. Por las propie-dades de las clases en una relacion de equivalencia, sabemos que

a = b o a ∩ b = ∅.

a = b si y solo si a ≡ b mod m.

a ∩ b = ∅ si y solo si a 6≡ b mod m.

Denotamos por Z/(m) o Zm el conjunto cociente de Z por la relacion decongruencia modulo m, es decir,

Zm = {a | a ∈ Z}.

Por lo anterior, Zm tiene exactamente m elementos:

Zm = { 0, 1, . . .m− 1 }.

Los enteros 0, 1, . . . ,m−1 son los representantes canonicos de las clases que men-cionamos al principio, y se corresponden con los posibles restos que se obtienenal dividir un entero entre m.

7.2.1. Propiedades aritmeticas de las congruencias

Veamos como se comportan las congruencias con la suma y el producto denumeros enteros.

7.2.4. Proposicion. Sea m un entero mayor que 1 y sean a, b, a′, b′ y c numerosenteros arbitrarios. Entonces:

1. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces a+ b ≡ a′ + b′ mod m.

2. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces ab ≡ a′b′ mod m.

3. Si a ≡ b mod m, entonces ac ≡ bc mod m. El recıproco es cierto si c ym son coprimos.

4. Si c 6= 0, entonces a ≡ b mod m si y solo si ac ≡ bc mod mc.

Demostracion. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m tenemos que a− a′ = λm yb− b′ = µm para ciertos λ, µ ∈ Z. Entonces,

(a+ b)− (a′ + b′) = (a− a′) + (b− b′) = (λ + µ)m,

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88 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

y, por tanto, a+b ≡ a′+b′ mod m. Por otra parte, sustituyendo a por a′+λm,

ab− a′b′ = (a′ + λm)(b′ + µm)− a′b′

= a′b′ + (a′µ+ b′λ+ λµm)m− a′b′

= (a′µ+ b′λ+ λµm)m,

y, por tanto, ab ≡ a′b′ mod m. Con esto hemos probado los apartados (1 ) y(2 ).

La primera parte del apartado (3 ) sigue del (2 ). Recıprocamente, si c y mson coprimos y ac ≡ bc mod m, tenemos (a− b)c = λm para cierto λ ∈ Z. Estosignifica que c | λm y, como c y m son coprimos, tenemos que c divide a λ, esdecir, λ = cλ′. Por tanto, (a− b)c = cλ′m y, entonces a ≡ b mod m.

Finalmente, para demostrar (4 ), observemos que para un c 6= 0 se tiene quea− b = λm si y solo si ac− bc = λmc.

Esto nos permite definir las siguientes operaciones en Zm.

7.2.5. Definicion. Sean m un entero positivo. La suma y el producto de doselementos a, b ∈ Zm estan dados por

a+ b = a+ b.

a · b = a · b.

La definicion anterior esta escrita en terminos de representantes de clasesde equivalencia, ası que lo primero es probar que estan bien definidas (vease elEjemplo 4.3.4(1)).

7.2.6. Proposicion. La suma y el producto en Zm estan bien definidas.

Demostracion. Sean a = a′ y b = b′. Tenemos que ver que a+ b = a′ + b′. Peroesto es inmediato de la Proposicion 7.2.4.

7.2.7. Corolario. Zm es un anillo conmutativo con 1.

7.2.8. Ejemplo. En el caso n = 6 las tablas de las operaciones en Z6 son:

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

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7.2. CONGRUENCIAS. 89

Observamos en la tabla del producto que los unicos elementos invertibles,o sea los unicos a para los que existe un b con ab = 1 son 1 y 5 (1 · 1 = 1 y5 · 5 = 1).

Observemos tambien que hay elementos no nulos a, b tales que ab = 0, porejemplo 2 · 3 = 0. Estos elementos no son cancelables, en el sentido del Ejerci-cio 5.4.3. De hecho, si m = rs con r, s > 1, entonces en Zm se tiene r · s = 0 conr 6= 0 y s 6= 0.

Las clases de restos modulo m junto con las operaciones definidas son unejemplo mas en la lista de conjuntos dotados de suma y producto, que no sonnumeros.

7.2.9. Proposicion. Sea m un entero positivo. Para un elemento a de Zm, lascondiciones siguientes son equivalentes:

1. a tiene un inverso en Zm (o sea, existe b ∈ Zm con a · b = 1).

2. a es cancelable en Zm (o sea, si a · x = a · y entonces x = y).

3. mcd(a,m) = 1.

Demostracion. [1 ⇒ 2] Multiplıquese por el inverso de a en ambos miembros dea · x = a · y.

[2 ⇒ 3] Vemos el contrarrecıproco: Si mcd(a,m) = d > 1, ponemos a = a′dy m = m′d; entonces en Zm se tiene

a ·m′ = a′ · d ·m′ = a′ ·m = 0 = a · 0

pero m′ 6= 0.[3 ⇒ 1] Si mcd(a,m) = 1 sabemos que existen r, s ∈ Z con ra + sm = 1,

lo que da lugar a la igualdad r · a = 1 en Zm, y por tanto a tiene a r porinverso.

7.2.10. Corolario. Sea m un entero positivo. En Zm, un elemento a tieneinverso si y solo si mcd(a,m) = 1.

En este caso, tambien diremos que a tiene inverso modulo m.

7.2.11. Corolario. Zm es un cuerpo si y solo si m es primo.

Demostracion. Zm es un cuerpo si y solo si todo elemento a 6= 0 tiene inverso.Por la proposicion anterior, se tiene que Zm es un cuerpo si y solo si mcd(a,m) =1 para todo a = 1, . . . ,m− 1. Eso solo es posible si m es primo.

7.2.12. Ejemplo. Para calcular el inverso de 7 en Z100, buscamos un x tal que7 · x = 1, es decir, debemos resolver la ecuacion diofantica 7x− 100y = 1 en laque solo nos interesa una solucion particular (y no nos interesa el valor de lavariable y). Usando el algoritmo de Euclides, como vimos en el tema anterior,tenemos

7 · 43− 100 · 3 = 1.

Luego (7)−1 = 43 en Z100.

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90 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

7.2.2. Algunas aplicaciones

La aritmetica modular; es decir, el estudio de la aritmetica de los anillos Zm,nos proporciona el marco adecuado para tratar cuestiones de divisibilidad connumeros enteros.

7.2.13. Proposicion. Un numero entero es divisible por 3 si y solo si la sumade sus cifras es divisible por 3.

Demostracion. Sea m ∈ Z, m > 0 y supongamos que sus cifras se escriben comoanan−1 · · · a0 con los ai entre 0 y 9. Entonces

m = an10n + · · ·+ a110 + a0.

m es divisible por 3 si y solo si m ≡ 0 mod 3. Pero, como 10s ≡ 1 mod 3 paratodo s, tenemos

m = an10n + · · ·+ a110 + a0 ≡ an + · · ·+ a1 + a0 mod 3

7.2.14. Ejercicio. Enunciar y demostrar criterios de divisibilidad por 9 y 11.

Vamos ahora a estudiar las ecuaciones del tipo a x = b en Zm. En este caso,existe una solucion facil si a tiene inverso en Zm. Por ejemplo, consideremos laecuacion 3x = 5 en Z20. Como mcd(3, 20) = 1, entonces, por el Corolario 7.2.10,3 tiene inverso. En este caso es 7. Luego,

x = 7 · 3x = 7 · 5 = 35 = 15

en Z20. Lo que hemos hecho se puede expresar tambien en lenguaje de congruen-cias: la solucion de la ecuacion 3x ≡ 5 mod 20 esta formada por los numerosde la forma x = 15 + 20λ, con λ ∈ Z.7.2.15. Proposicion. Sean a, b, t ∈ Z. Las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(1) t es solucion de la ecuacion a x = b en Zm.

(2) t es solucion de la congruencia ax ≡ b mod m.

(3) (t, s) es solucion de la ecuacion diofantica ax−my = b para algun s ∈ Z.Demostracion. Solo es un cambio de lenguaje entre aritmetica modular, con-gruencias y ecuaciones diofanticas.

7.2.16. Proposicion. Sean a, b,m ∈ Z con m > 1 y d = mcd(a,m). La ecua-cion ax ≡ b mod m tiene solucion si y solo si d divide a b. En este caso, lassoluciones son todos los enteros x de la forma x = x0 + λm

d , con λ ∈ Z.Ademas, la ecuacion tiene d soluciones distintas modulo m que vienen dadas

por los enteros

x0, x0 +m

d, x0 + 2

m

d, . . . , x0 + (d− 1)

m

d

donde x0 es una solucion particular.

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7.2. CONGRUENCIAS. 91

Demostracion. La congruencia ax ≡ b mod m es equivalente a la ecuacion ax−my = b y esta tiene solucion si y solo si d divide a b. En este caso, pongamosb = db′, a = da′ y m = dm′. Entonces, la ecuacion diofantica ax −my = b esequivalente a a′x−m′y = b′ y las soluciones son (vease la Proposicion 7.1.30)

{

x = x0 +m′λ

y = y0 + a′λ

donde (x0, y0) es una solucion particular y λ es un entero arbitrario; en parti-cular, x = x0 +

md λ.

Finalmente, si x0 +λm′ y x0 +µm′ son dos soluciones, tenemos x0 + λm′ ≡x0 + µm′ mod m si y solo si λm′ ≡ µm′ mod dm′ si y solo si λ ≡ µ mod d ypor el apartado 4 de la Proposicion 7.2.4 se tiene el resultado.

7.2.17. Ejemplos. Vamos a resolver algunas congruencias.

1. 4x ≡ 3 mod 7.

Solucion. Como 4 y 7 son primos entre sı, buscamos el inverso de 4 en Z7.Se puede ver facilmente que 4·2 = 1, luego multiplicamos ambos miembrosde la congruencia por 2 y obtenemos

x ≡ 2 · 3 = 6 mod 7.

Por tanto, la solucion unica modulo 7 es x = 6, pues mcd(4, 7) = 1. Enotras palabras, los numeros enteros que satisfacen la congruencia son losde la forma x = 6 + 7λ, con λ ∈ Z.

2. 77x ≡ 30 mod 180.

Solucion. En este caso tenemos 77 = 7 · 11 y 180 = 22 · 32 · 5, luegotambien son primos entre sı y la congruencia tiene solucion unica modulo180. Para calcular el inverso de 77 en Z180 recurrimos a la identidad deBezout. Despues de realizar los calculos tenemos

180 · 3 + 77 · (−7) = 1,

de donde 77(−7) ≡ 1 mod 180. Multiplicamos la congruencia por −7 yobtenemos

x ≡ −7 · 30 = −210 ≡ −30 mod 180.

Por tanto, la solucion unica modulo 180 es x = −30. Las soluciones sonde la forma x = −30 + 180λ, con λ ∈ Z.

3. 572x ≡ 20 mod 700.

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92 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Solucion. Calculamos el maximo comun divisor de 572 y 700 mediante elalgoritmo de Euclides y obtenemos mcd(572, 700) = 4. Como 4 divide a20 la congruencia tiene 4 soluciones distintas modulo 700. Aprovechamoslos calculos hechos para expresar 4 como combinacion lineal entera de 572y 700. Obtenemos

572 · 82 + 700 · (−67) = 4.

Como 204 = 5, multiplicamos la congruencia por 5 y nos queda

572(410) + 700(−335) = 20

de donde una solucion paticular es x = 410. Finalmente, como 7004 = 175,

la solucion general modulo 700 es x = 410 + 175t, con t = 0, . . . , 3. Estoda x = 410, x = 410 + 175 = 585, x = 410 + 350 = 760 ≡ 60 mod 700,x = 410 + 525 = 935 ≡ 235 mod 700.

4. Calcular las soluciones enteras de 35x+ 8y = 5.

Solucion. Veamos que podemos usar las congruencias para resolverla. Con-sideramos la congruencia

3x ≡ 5 mod 8.

El inverso de 3 modulo 8 es 3, luego x = 8λ − 1. Sustituyendo x en laecuacion tenemos 35(8λ − 1) + 8y = 5; es decir, 35λ + y = 5. Por tanto,(x, y) es solucion de la ecuacion inicial si y solo si x = 8λ − 1 y (λ, y) essolucion de 35λ+ y = 5. Entonces, la solucion general de la ecuacion es

{

x = −1 + 8λ

y = 5− 35λ

con λ ∈ Z.

5. Calcular las soluciones enteras de 2x2 − 5y2 = 74.

Solucion. Si (x, y) es una solucion entonces se tiene 2x2 ≡ 4 mod 5, ymultiplicando por 3 para despejar x2 se tiene x2 ≡ 2 mod 5. Pero podemoshacer la lista de todos los cuadrados modulo 5 y ninguno vale 2, por loque la ecuacion no tiene soluciones enteras.

7.3. Teorema Chino de los Restos

Vamos a abordar ahora el estudio de la resolucion de sistemas de congruen-cias, con ciertas restricciones. En vista de que hay congruencias que no se puedenresolver, es claro que habra sistemas de congruencias que no puedan resolverse.Vamos a comenzar por establecer el sentido de las restricciones en los sistemasde congruencias lineales. Considerese el sistema

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7.3. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS 93

a1x ≡ b1 mod c1...

akx ≡ bk mod ck

En primer lugar observemos que para que el sistema tenga solucion, cadacongruencia por separado debe tenerla. Por tanto, para cada i = 1, . . . k, di-vidimos la ecuacion i-esima por mcd(ai, ci), resultando una ecuacion del tipoa′ix ≡ b′i mod mi donde ahora mcd(a′i,mi) = 1. Si ahora multiplicamos por elinverso de a′i modulo mi tenemos una ecuacion del tipo x ≡ ri mod mi. Enconsecuencia, el problema se reduce a estudiar sistemas de congruencias del tipo

x ≡ r1 mod m1

...x ≡ rk mod mk.

El Teorema Chino de los Restos toma su nombre de ser artribuido al ma-tematico chino Sun Tsu o Sun Zi. De este personaje no se sabe nada, exceptoque escribio el libro Sunzi suanjing (Manual de matematicas de Sun Zi) y quemuy probablemente vivio entre el siglo I y el siglo III dC. El manual tiene trescapıtulos. El primero sobre medida, aritmetica y algebra. Los otros dos capıtu-los son problemas (28 y 36, respectivamente) sobre aritmetica y geometrıa. ElProblema 26 del Capıtulo 3 dice:

Problema: Encontrar un numero que deje restos 2, 3 y 2, al divi-dirlo por 3, 5 y 7.

Solucion original: Tomo un multiplo de 5 y 7 que deje resto 1 aldividir modulo 3, que siempre existe. Tomo ahora un multiplo de 3y 7 que deje resto 1 al dividir modulo 5, que tambien existe siempre.Hago lo mismo con 3 y 5, modulo 7. Por ejemplo, 70, 21 y 15 nosvalen.

Ahora, cada uno se multiplica por los restos que queremos.

70 · 2 + 21 · 3 + 15 · 2 = 233.

Ese numero es solucion.

Vamos entonces a ver el resultado general.

7.3.1. Teorema [Teorema Chino de los Restos].Sean b1, . . . , bk enteros arbitrarios y m1, . . . ,mk enteros positivos coprimos

dos a dos; es decir, tales que mcd(mi,mj) = 1 para todo i 6= j. Entonces, elsistema de congruencias

x ≡ b1 mod m1

...x ≡ bk mod mk

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94 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

tiene solucion unica modulo M = m1 · · ·mk.

Demostracion. Consideremos los enteros M = m1 · · ·mk y Mi =Mmi

. Se afirmaque Mi y mi son coprimos. Si p es un numero primo que divide a Mi y mi,entonces p divide a algun mj con j 6= i lo cual es imposible, pues mcd(mi,mj) =1. Por tanto, Mi tiene un inverso modulo mi. Sea Ni tal que MiNi ≡ 1 mod mi

y observese que MiNi ≡ 0 mod mj si j 6= i. Se puede comprobar directamenteque el numero

x0 = b1M1N1 + · · ·+ bkMkNk

es una solucion del sistema de congruencias.Ahora nos ocuparemos de la unicidad; es decir, vamos a ver que de haber

solucion, esta es unica moduloM = m1 · · ·mk. Si x, y son soluciones del sistema,entonces x, y ≡ bi mod mi, luego x ≡ y mod mi. Por tanto, x− y es multiplode todos los mi y, en consecuencia x ≡ y mod M .

Ahora podemos ver como hallar una solucion en el caso en que los mi seanprimos entre sı.

7.3.2. Ejemplos. Vamos a resolver los siguientes sistemas de congruencias.

1.

x ≡ r1 mod 3

x ≡ r2 mod 4 ,

x ≡ r3 mod 5

con r1, r2, r3 enteros arbitrarios.

Solucion. Tenemos M = 3 · 4 · 5 = 60, M1 = 20, M2 = 15 y M3 = 12, ydebemos calcular N1, N2 y N3 tales que

20N1 ≡ 1 mod 3; 15N2 ≡ 1 mod 4; 12N3 ≡ 1 mod 5.

Directamente se ve que podemos tomar N1 = 2, N2 = 3 y N3 = 3, dedonde la solucion unica modulo 60 del sistema es

x = 40r1 + 45r2 + 36r3.

2.

8x ≡ 2 mod 10

15x ≡ 6 mod 21

9x ≡ 15 mod 24

Solucion. Primero comprobamos que que cada congruencia por separadotiene solucion y dividiendo cada una por el maximo comun divisor apro-piado el sistema es equivalente a este otro:

4x ≡ 1 mod 5

5x ≡ 2 mod 7

3x ≡ 5 mod 8

.

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7.4. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 95

Ahora buscamos los inversos de 4, 5 y 3 modulo 5, 7 y 8 respectivamente.A simple vista vemos que

4 · (−1) ≡ 1 mod 5; 5 · 3 ≡ 1 mod 7; 3 · 3 ≡ 1 mod 8.

Multiplicando cada ecuacion por el numero correspondiente tenemos

x ≡ −1 mod 5

x ≡ 6 ≡ −1 mod 7

x ≡ 15 ≡ −1 mod 8.

Sin hacer mas calculos vemos que x = −1 es solucion. En conclusion, lasolucion del sistema inicial es x = −1 modulo 280.

3.

x ≡ 1 mod 6

x ≡ 5 mod 10

x ≡ 11 mod 14

Solucion. En este caso, los modulos no son primos entre sı. Notese quemcm(6, 10, 14) = 210 y no podemos aplicar el Teorema Chino de los Res-tos. Aun ası podemos proceder de la siguiente manera: las soluciones dela primera ecuacion son los enteros de la forma

x = 6t+ 1.

Sustituyendo en la segunda, tenemos

6t+ 1 ≡ 5 mod 10.

Como mcd(6, 10) = 2, obtenemos 3t ≡ 2 mod 5 y podemos despejar laincognita, t ≡ 4 mod 5.

Ası que x = 6t+ 1 = 6(5u + 4) + 1 = 30u + 25. Ahora sustituimos en laultima,

30u+ 25 ≡ 11 mod 14

nos da 30u ≡ 0 mod 14 de donde 15u ≡ 0 mod 7, por lo que u = 7v.Finalmente, sustituimos x = 30 · 7v + 25 = 210v + 25. Ası que x ≡ 25mod 210.

7.4. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson

A lo largo de esta seccion, seguiremos suponiendo que m es un entero posi-tivo.

7.4.1. Notacion. Denotamos Z∗n = {x ∈ Zn | x es invertible}.

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96 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

7.4.2. Definicion. Definimos la funcion φ de Euler de la siguiente forma:φ : N→ N asigna a cada numero natural m el numero

φ(m) = |{x ∈ N | 1 ≤ x ≤ m, mcd(x,m) = 1}|.Es decir, φ(m) es el cardinal del conjunto de elementos que tienen inverso

en Zm. Por ejemplo, φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(12) = 4. Estafuncion puede calcularse con un metodo que se desprende del siguiente resultado:

7.4.3. Proposicion. Si φ es la funcion de Euler entonces

1. φ(p) = p− 1 si p es primo.

2. φ(pn) = pn−1(p− 1) si p es primo.

3. Si mcd(n,m) = 1, entonces φ(nm) = φ(n)φ(m).

4. Si m = pn1

1 · · · pnss es la descomposicion de m en factores primos con

p1, . . . , ps primos distintos, entonces

φ(m) =

s∏

i=1

pni−1i (pi − 1) = m(1 − 1

p1) · · · (1 − 1

ps).

Demostracion. 1. Es obvio.

2.De los pn enteros x con 1 ≤ x ≤ pn, los no-coprimos con pn son precisa-mente los multiplos de p. Como estos aparecen uno cada p veces, su nume-ro es pn/p = pn−1. El numero de los que sı son coprimos con pn es puespn − pn−1 = pn−1(p− 1).

3. Definimos la aplicacion f : Z∗nm → Z∗

n × Z∗m tal que f(x) = (xn, xm),

donde x ≡ xn mod n y x ≡ xm mod m, donde xn y xm son los representantescanonicos.

Probar que esta bien definida se deja como ejercicio. Vamos a ver que esbiyectiva. Si f(x) = (xn, xm) = (yn, ym) = f(y) entonces x ≡ y mod n y x ≡ ymod m, luego n | (x − y) y m | (x − y) de donde, por la Proposicion 7.1.22,nm | (x− y). Para ver que es sobre, considerese (a, b) ∈ Z∗

n ×Z∗m. Por hipotesis

existe una identidad de Bezout 1 = rn+sm. Hacemos x = brn+asm. Entoncesx ≡ a mod n y x ≡ b mod m; es decir a = xn y b = xm.

4. Por el apartado anterior φ(m) =∏s

i=1 φ(pni) y por el apartado (2) se tiene

la primera igualdad. La otra proviene de inmediato de multiplicar la igualdadanterior por

∏si=1 pi/

∏si=1 pi

7.4.4. Ejemplo. Para calcular φ(1000) descomponemos en factores primos

1000 = 23 · 53

y, entonces

φ(1000) = φ(23 · 53) = φ(23)φ(53) = 22 · 1 · 52 · 4 = 400

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7.4. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 97

7.4.5. Teorema [Euler]. Sea m > 1 un entero. Si a es coprimo con m, en-tonces

aφ(m) ≡ 1 mod m.

Demostracion. Sabemos que aφ(m) ≡ 1 mod m es equivalente a aφ(m) = 1 enZm. Sabemos que |Z∗

m| = φ(m). Sea Z∗m =

{x1, . . . , xφ(m)

}. Multiplicamos,

a · Z∗m = {a · x | x ∈ Z∗

m}.Se afirma que a · Z∗

m = Z∗m

⊆] Sea x ∈ a ·Z∗m. Entonces x = axi, luego xa−1x−1

i = 1, por tanto, x ∈ Z∗m.

⊇] Sea xi ∈ Z∗m. Entonces xi = a(a−1xi) y es claro que a−1xi ∈ Z∗

m. Portanto xi ∈ a · Z∗

m.Finalmente,

φ(m)∏

i=1

xi =

φ(m)∏

i=1

axi = aφ(m)

φ(m)∏

i=1

xi.

Cancelando∏φ(m)

i=1 xi porque es invertible, tenemos el resultado.

7.4.6. Corolario [Teorema Pequeno de Fermat]. Sea p > 1 un numeroprimo. Si a ∈ Z es tal que p ∤ a entonces

ap−1 ≡ 1 mod p.

Por tanto, para todo entero x se tiene que

xp ≡ x mod p.

Demostracion. Sigue del resultado anterior dado que φ(p) = p− 1 y el resto esobvio.

7.4.7. Ejemplo. Queremos encontrar las dos ultimas cifras del numero 1031243.Este problema es equivalente a saber cual es el representante canonico de 1031243

modulo 100. Para empezar

1031243 ≡ 31243 mod 100.

Ahora, dado que mcd(3, 100) = 1 podemos usar la congruencia de Euler, quedice, en este caso,

3φ(100) ≡ 1 mod 100 =⇒ 340 ≡ 1 mod 100

dado que φ(100) = φ(22 · 52) = φ(22)φ(52) = 40. Si dividimos 1243 entre 40tenemos 1243 = 31 · 40 + 3 y, por tanto,

31243 = 331·40+3 = (340)31 · 33 ≡ 33 = 27 mod 100.

Luego las dos ultima cifras de 1031243 son 2 y 7.

Vamos a terminar con otro resultado clasico de la teorıa de los numeros.

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98 CAPITULO 7. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

7.4.8. Teorema [Teorema de Wilson]. Sea p un numero primo positivo.Entonces (p− 1)! ≡ −1 mod p.

Demostracion. Si p = 2 o p = 3 el resultado se puede comprobar directa-mente. Supongamos que p ≥ 5. La lista de elementos invertibles de Zp es{1, 2, . . . , p− 1}. En este conjunto tenemos un numero par de elementos. Vamosa probar que, excepto 1 y p− 1 = −1, el resto de elementos tiene un inversodistinto a el. Supongamos que existiese a = k ∈ Zp tal que a2 = 1. Entoncesa2 − 1 = 0 y de aquı, (a+ 1)(a− 1) = 0. Pero Zp es un cuerpo. Luego a = 1 obien a = −1.

Lo anterior significa que en la lista {1, 2, . . . , p− 1} aparecen los elementosjunto con sus inversos, excepto p− 1 = −1, ası que el producto de los elementosde la lista ha de ser −1. En terminos de congruencias (p− 1)! ≡ −1 mod p.

El teorema de Wilson nos descubre propiedades muy interesantes de losnumeros, como los siguientes ejemplos.

7.4.9. Ejemplos. (1) Sea p un primo positivo. Entonces p | (p−1)!+1, ya que(p− 1)! + 1 ≡ −1 + 1 ≡ 0 mod p.(2) Recordemos que U8 = {1, 3, 5, 7}. En este caso, 32 = 1 y 52 = 1. En cambio,U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este caso, 2 · 4 ≡ 1 mod 7 y 3 · 5 ≡ 1 mod 7, ası que1 · · · 6 ≡ −1 mod 7.

7.4.10. Observacion. Al margen del teorema de Wilson, se tiene que paracualquier numero primo p, las raıces cuadradas de la unidad en Zp son unica-mente ±1. Veamoslo. Supongamos que a2 ≡ 1 mod p, entonces p | (a−1)(a+1).Como p es primo, p mod a+ 1 o bien p | a− 1, de donde a ≡ ±1 mod p.

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Capıtulo 8

Polinomios

En este capıtulo vamos a estudiar los anillos de polinomios en una variablecon coeficientes en un cuerpo, haciendo especial enfasis en los cuerpos numericos.

8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo.

8.1.1. Definicion. Sea K un cuerpo.

1. Un polinomio con coeficientes en K es una expresion de la forma

a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anX

n o bienn∑

i=0

aiXi

para un entero n ≥ 0 y elementos a0, . . . , an ∈ K.

2. Al sımbolo X se llama indeterminada y los elementos a0, . . . , an se llamanlos coeficientes del polinomio.

3. Los polinomios de la forma a0 se llaman constantes y se identifican conlos elementos del cuerpo K.

8.1.2. Notacion. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K sedenota por K[X ].

8.1.3. Definicion. Diremos que dos polionomios a0 + · · ·+ anXn y b0 + · · ·+

bmXm con m ≥ n son iguales en K[X ] si ai = bi para todo i = 1, . . . , n y bj = 0para j = n+ 1, . . . ,m.

8.1.4. Ejemplos. Hemos visto que Q, R, C y Zp con p primo son cuerpos.Podemos considerar polinomios con coeficientes en cualquiera de estos cuerpos.

(1) 5 + 2X2 es un polinomio de Z7[X ].

(2) 1 + 2X −√5X2 − πX3 es un polinomio de R[X ].

(3) 1 + 178 X

15 es un polinomio de Q[X ].

99

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100 CAPITULO 8. POLINOMIOS

(4) X − (1 + i)X3 −X7 es un polinomio de C[X ].

(5) Q[X ] ⊆ R[X ] ⊆ C[X ].

Veamos ahora como se definen la suma y producto de polinomios.

8.1.5. Definicion. Dados dos polimomios de K[X ]

P = P (X) = a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anX

n

Q = Q(X) = b0 + b1X + b2X2 + · · ·+ bmXm

se define su suma como

P +Q = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + · · ·+ (an + bn)Xn

si n ≥ m (se sobreentiende que bk = 0 si k ≥ m).El producto PQ se define como el polinomio R = c0+c1X+ · · ·+cn+mXn+m

cuyos coeficientes son

ck =∑

i+j=k

aibj = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0

(se sobreentiende que ai = 0 cuando i > n y que bj = 0 cuando j > m).

8.1.6. Ejemplos. (1) En Q[X ], R[X ] o C[X ] se tiene

(3 +X)(X2 + 2X3) = 3X2 + 7X3 + 2X4

(2) En Z3[X ],

(3 +X)(X2 + 2X3) = 3X2 + 7X3 + 2X4 = X3 + 2X4.

8.1.7. Proposicion. K[X ] es un anillo conmutativo con las operaciones desuma y producto de polinomios.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

8.1.8. Grado de un polinomio. Sea P =∑n

i=0 aiXi un polinomio con

coeficientes en un cuerpo K en la indeterminada X.

1. Decimos que P tiene grado n, si an 6= 0. El grado se denota con gr(P ).

2. Por convencion, si P (X) = 0 se define gr(P ) = −∞.

3. Para cada ındice i ∈ {0, . . . , n} al coeficiente ai se le llama coeficiente degrado i.

4. Al coeficiente a0 se le llama termino independiente mientras que an seconoce como coeficiente principal o lıder.

5. Decimos que P es monico si an = 1.

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8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 101

La siguiente proposicion describe las propiedades del grado, utilizando si hacefalta el convenio siguiente: −∞ + n = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞ y −∞ < npara todo n.

8.1.9. Proposicion. Sean PQ ∈ K[X ]. Entonces

1. gr(PQ) = gr(P ) + gr(Q).

2. gr(P +Q) ≤ max {gr(P ), gr(Q)}.

3. Si PQ = 0, entonces P = 0 o Q = 0 (entonces, K[X ] es un dominioentero. Se deja como ejercicio buscar esa definicion).

4. P tiene inverso si y solo si Q es de grado 0.

Demostracion. Se deja como ejercicio. Se deduce facilmente de la definicion degrado.

8.1.10. Funcion polinomial. Si P (X) = a0+a1X+a2X2+ · · ·+anX

n es unpolinomio de K[X ] y b ∈ K, se define el valor de P (X) en b como el elementode K

P (b) = a0 + a1b+ a2b2 + · · ·+ anb

n

Como consecuencia, P define una aplicacion P : K → K que llamaremos fun-cion polinomial asociada a K.

8.1.11. Ejemplos. 1. Consideremos el cuerpo Z2 = {0, 1}. En Z2[X ] lospolinomios A = X+1, B = X2+1 y C = X3+X2+X+1 son diferentes,pero todos determinan la misma funcion polinomial pues A(0) = B(0) =C(0) = 1 y A(1) = B(1) = C(1) = 0.

2. Consideremos el cuerpo K = Zp con p primo. Por el Teorema Pequeno deFermat, el polinomio no nulo Xp −X define la misma funcion polinomialque el polinomio 0.

3. Estos hechos pueden chocar con una identificacion intuitiva entre un po-linomio y su funcion asociada. Mas tarde veremos que, si el cuerpo K esinfinito (en particular, si es Q, R o C) entonces dos polinomios distintosdan lugar a funciones polinomicas distintas.

8.1.1. Division entera y divisibilidad en K[X ]

8.1.12. Teorema [de la division entera]. Sea K un cuerpo y A,B ∈ K[X ]dos polinomios con B 6= 0. Entonces, existen dos unicos polinomios Q, llamadocociente, y R, llamado resto, en K[X ] tales que A = BQ+R y gr(R) < gr(B).

Demostracion. Empecemos por ver la existencia del cociente y el resto. Sigr(A) < gr(B), podemos tomar Q = 0 y R = A. Supongamos, por tanto,gr(A) ≥ gr(B) y procedamos por induccion sobre el grado de A. Si gr(A) = 0,entonces A = a0 ∈ K con a0 6= 0. Como el grado de B es menor o igual que el

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102 CAPITULO 8. POLINOMIOS

grado de A, tambien es B = b0 ∈ K \ {0}. Entonces, podemos tomar Q = b−10 a0

y R = 0.Supongamos que el resultado es valido para todos los polinomios A y B con

gr(B) ≤ gr(A) ≤ n − 1 y demostremoslo para un polinomio de grado n. SeanA = a0 + · · · + anX

n y B = b0 + · · · + bmXm con an, bm 6= 0 y n ≥ m ≥ 0.Recordando el algoritmo de la division, consideremos el polinomio

C = A− (anb−1m Xn−m)B. (8.1)

Es claro que gr(C) < gr(A) = n, ya que el termino de grado maximo de(anb

−1m Xn−m)B se cancela con el de grado maximo de A. Luego, por hipotesis

de induccion, existen polinomios E y R tales que

C = BE +R con gr(R) < gr(B). (8.2)

Combinando (8.1) y (8.2) se obtiene

A− (anb−1m Xn−m)B = BE +R

yA = (anb

−1m Xn−m + E)B +R

con gr(R) < gr(B).La unicidad la dejamos como ejercicio.

8.1.13. Corolario [Teorema del resto]. Sean K un cuerpo, a ∈ K y P ∈K[X ]. El resto de la division de P entre X − a es P (a).

Demostracion. Inmediata.

8.1.14. Definicion. Dados dos polinomios A,B ∈ K[X ], decimos que A dividea B o que B es multiplo de A, y se escribe A | B, si existe un polinomio C talque B = AC, es decir, la division entera de B entre A da resto 0.

Si A divide a B y B 6= 0, decimos que A es un divisor de B.

8.1.15. Ejemplos.

1. El polinomio X + 1 divide a X2 − 1 en R[X ].

2. El polinomio X + 1 divide a X2 + 1 en Z2[X ].

3. Todo polinomio divide al polinomio 0.

4. Un polinomio de grado cero (por tanto de la forma A = λ ∈ K con λ 6= 0)divide a todos los polinomios.

8.1.16. Proposicion. Sean A,B,C ∈ K[X ].

1. A | B y A | C ⇒ A | B + C; de hecho, A |PB +QC para cualesquieraP,Q ∈ K[X ].

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8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 103

2. A | B ⇒ A | B · C

3. A | B y B | C ⇒ A | C

Demostracion. Completamente analoga a la de la Proposicion 7.1.6.

8.1.17. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ]. Si A | B y B | A, entonces A = µBpara algun µ ∈ K, µ 6= 0.

Demostracion. Tenemos A = BC y B = AD para ciertos polinomios C yD. Si A = o entonces B = 0 y se cumple todo trivialmente. En otro caso,como A = ADC, entonces gr(DC) = 0, por lo que gr(D) = gr(C) = 0 y ası,A = µB.

8.1.18. Definicion. Dado un polinomio A ∈ K[X ], a los polinomios de laforma λA para λ ∈ K, λ 6= 0 los llamaremos polinomios asociados de A. Ob-servemos que cada polinomio tiene un unico polinomio asociado monico.

8.1.19. Definicion. Dados dos polinomios A,B ∈ K[X ], decimos que un poli-nomio D es el maximo comun divisor de A y B si cumple

1. D | A y D | B.

2. Dado S ∈ K[X ], si S | A y S | B, entonces S | D.

3. D es monico

En algunos textos, se llama maximo comun divisor a cualquier polinomioasociado al polinomio D de la definicion anterior, pues, como se vera en lasiguiente proposicion, verifican las condiciones 8.1.19(1 ) y 8.1.19(2 ).

Denotamos el maximo comun divisor de los polinomios A y B, al igual queen los enteros D = mcd(A,B).

8.1.20. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ]. Si D′ verifica las condiciones 8.1.19(1)y 8.1.19(2) de la definicion anterior entonces mcd(A,B) y D′ son asociados.

Demostracion. Sea D = mcd(A,B). De las condiciones deducimos que D | D′

y D′ | D.

8.1.21. Observacion. Se puede probar de forma completamente analoga alcaso de los enteros que el maximo comun divisor de dos polinomios no nulos,A y B es el unico polinomio monico de grado mınimo que se expresa comocombinacion lineal de A y B.

El maximo comun divisor puede calcularse tambien mediante el algoritmo deEuclides, pues este se basa unicamente en la division entera. Por tanto, no hacefalta repetir los argumentos teoricos que usamos con Z. Veamos un ejemplo.

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104 CAPITULO 8. POLINOMIOS

8.1.22. Ejemplo. Para calcular el maximo comun divisor de los polinomiosA = X5 −X4 +X3 −X2 y B = X3 − 2X2 +X − 2 procedemos de la siguienteforma:

X5 −X4 +X3 −X2 = (X2 +X + 2)(X3 − 2X2 +X − 2) + 4X2 + 4

X3 − 2X2 +X − 2 = (1

4X − 1

2)(4X2 + 4) + 0.

Ası que 4X2 + 4 o cualquier otro de la forma µ(4X2 + 4) con µ 6= 0 esasociado del maximo comun divisor que es, en este caso, X2 + 1.

Tambien podemos calcular polinomios R y S tales que X2+1 = A ·R+B ·S(identidad de Bezout). Solo tenemos que despejar en la primera ecuacion delejemplo anterior

4X2 + 4 = A+B(−X2 −X − 2),

dividimos por 4 y obtenemos la expresion del maximo comun divisor,

X2 + 1 = A(1

4) +B(−1

4X2 − 1

4X − 1

2).

8.1.23. Definicion. Dos polinomios A,B ∈ K[X ] se llaman coprimos o primosentre sı en caso de que mcd(A,B) = 1.

Al igual que en Z tenemos los siguientes resultados:

8.1.24. Proposicion. Sean A,B,C ∈ K[X ]. Entonces A y B son coprimos siy solo si existen S, T ∈ K[X ] tales que SA+ TB = 1.

Demostracion. Completamente analoga a la de la Proposicion 7.1.19.

8.1.25. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ] tales que A | BC. Si A y B soncoprimos, entonces A | C.

Demostracion. Completamente analoga a la de la Proposicion 7.1.21.

8.1.26. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ] con alguno de los dos no nulo. SiD = mcd(A,B) entonces A

D y BD son coprimos.

Demostracion. Completamente analoga a la de la Proposicion 7.1.20.

Vamos ahora a definir el mınimo comun multiplo

8.1.27. Definicion. Dados dos polinomios A,B ∈ K[X ], decimos que un poli-nomio M es el mınimo comun multiplo de A y B si cumple

1. A | M y B | M .

2. Dado N ∈ K[X ], si A | N y B | N , entonces M | N .

3. M es monico.

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8.2. RAICES DE POLINOMIOS. 105

Al igual que con el maximo comun divisor, cualquier polinomio que cumplalas condiciones 8.1.27(1 ) y 8.1.27(2 ) sera asociado al mınimo comun multiplo,como se mostrara mas adelante. Como en el caso de los numeros enteros, deno-tamos el mınimo comun multiplo de A y B con mcm(A,B).

8.1.28. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ]. Si M ′ cumple las condiciones 8.1.27(1)y 8.1.27(2) entonces mcm(A,B) y M ′ son asociados.

Demostracion. Sea M = mcm(A,B). De las condiciones 8.1.27(1 ) y 8.1.27(2 )deducimos que M | M ′ y M ′ | M .

El mınimo comun multiplo puede calcularse a partir del maximo comundivisor al igual que ocurre con los numeros enteros:

8.1.29. Proposicion. Sean A,B ∈ K[X ] dos polinomios no nulos. Entonces

mcm(A,B) = µ · AB

mcd(A,B)

donde µ ∈ K es un escalar adecuado para obtener un polinomio monico.

Demostracion. Analoga a la de (7.1.27)

8.1.30. Ejemplo. Segun el ejemplo de (8.1.22) tenemos que

(X5 −X4 +X3 −X2)(X3 − 2X2 +X − 2)

X2 + 1

es un polinomio monico, de donde,

mcm(A,B) = X6 − 3X5 + 3X4 − 3X3 + 2X2.

El Teorema Fundamental de la Aritmetica nos dice que todo numero enterodescompone como producto de primos. Vamos a abordar este problema para elanillo de polinomios sobre un cuerpo, pero antes vamos a ver algunos resultadossobre raıces de polinomios, pues el Corolario 8.1.13 nos lleva a pensar que existerelacion entre factorizacion y existencia de raıces.

8.2. Raıces de polinomios.

8.2.1. Definicion. Dado un polinomio P ∈ K[X ] y un elemento r ∈ K, deci-mos que r es una raız de P en K si P (r) = 0.

8.2.2. Ejemplos.

1. Segun la definicion anterior, todo elemento de K es raız del polinomiocero.

2. r = 12 es raız del polinomio 3X3 − 29

10X2 − 1

10X + 25 ∈ Q[X ].

3. r = 3 es raız del polinomio X2 +X + 1 ∈ Z13[X ].

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106 CAPITULO 8. POLINOMIOS

4. El polinomio P (X) = X2 + X + 1 no tiene raıces en R, pues para cadab ∈ R se tiene P (b) = (b + 1

2 )2 + 3

4 > 0.

5. r = −12 +

√32 i es raız del polinomio X2 +X + 1 ∈ C[X ].

6. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX + b con a 6= 0 y, por tanto,tiene tiene la raız − b

a .

8.2.3. Proposicion. Sea P = a0 + a1X + · · · + anXn un polinomio de grado

n con coeficientes enteros. Si un numero racional pq con p y q primos entre sı

es raız de P , entonces p divide a a0 y q divide a an.

Demostracion. Si pq es raız de P , entonces

a0 + a1p

q+ · · ·+ an(

pn

qn) = 0,

es decir,

a0qn + a1pq

n−1 + · · ·+ an−1pn−1q + anp

n = 0.

Luego vemos que p divide a0qn y q divide a anp

n. Como p y q son primos entresı, obtenemos la conclusion deseada.

8.2.4. Ejemplos. 1. Un polinomio monico con coeficientes enteros solo pue-de tener raıces racionales enteras (ademas de raıces reales y complejas,claro).

2. Las posibles raıces racionales del polinomio 18X3 + 15X2 − 4X − 4 son

±1, ±2, ±4, ±1

2, ±1

3, ±1

6, ±1

9, ± 1

18, ±2

3, ±2

9, ±4

3, ±4

9.

Entre estas posibilidades comprobamos que 12 y − 2

3 son efectivamenteraıces.

8.2.5. Proposicion [Ruffini]. Sea K un cuerpo y P un polinomio de K[X ].Un elemento a ∈ K es raız de P si y solo si X − a divide a P .

Demostracion. Inmediato del Teorema del Resto (8.1.13)

8.2.6. Definicion. Un elemento a ∈ K es una raız de multiplicidad s ≥ 1 deun polinomio P ∈ K[X ] si (X − a)s divide a P pero (X − a)s+1 no divide a P .Decimos que a es una raız multiple de P si tiene multiplicidad mayor que 1. Sitiene multiplicidad 1 decimos que a es una raız simple.

8.2.7. Proposicion. Sea K un cuerpo y sea P un polinomio no nulo de K[X ]de grado n ∈ N. Entonces, P tiene a lo sumo n raıces en K, contando cada raıztantas veces como indique su multiplicidad.

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8.3. FACTORIZACION Y RAICES DE POLINOMIOS. 107

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n. Para n = 0 el polinomioes una constante no nula y por tanto no tiene raıces. Supongamos cierto elenunciado para polinomios de grado n y sea P de grado n + 1. Si P no tieneraıces, el enunciado es trivialmente cierto. Si, por el contrario, a es una raız deP , entonces P = (X − a)Q con Q un polinomio de grado n. Por la hipotesisde induccion, Q tiene a lo sumo n raıces y, por tanto, P tiene a lo sumo n+ 1raıces.

8.2.8. Corolario. Sea K un cuerpo.

1. Si P ∈ K[X ] es un polinomio de grado a lo sumo n y existen m raıcesdistintas de P en K, con m > n, entonces P es el polinomio 0.

2. Si P y Q son polinomios de grado a lo sumo n ≥ 0 y existen m elementosdistintos a1, . . . , am de K tales que P (ai) = Q(ai) con m > n, entoncesP = Q.

3. Si K es un cuerpo infinito y P,Q ∈ K[X ] son polinomios distintos, en-tonces las funciones polinomiales P,Q : K → K son distintas.

Demostracion. (1) Inmediato.(2) En este caso P −Q es un polinomio de grado a lo sumo n y con m > n

raıces. Luego P −Q = 0.(3) Hacemos el contrarrecıproco: si las funciones polinomiales son iguales

entonces, al ser K infinito, se cumplen las hipotesis del apartado 2 y por tantoP = Q.

8.2.9. Corolario. Sea P = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ K[X ] un polinomio de

grado n que tiene n raıces r1, . . . , rn (no necesariamente distintas). Entonces

P = an(X − r1) · · · (X − rn).

Demostracion. Sea Q = an(X − r1) · · · (X − rn). Entonces Q = anXn+Q′, con

gr(Q′) < n y, en consecuencia, el polinomio P − Q tiene grado menor o igualque n− 1 y tiene n raıces. Por tanto, P = Q.

8.3. Factorizacion y raıces de polinomios.

8.3.1. Definicion. Sea K un cuerpo. Un polinomio P ∈ K[X ] con gr(P ) >0 decimos que es irreducible o equivalentemente, primo, si la relacion Q | Pimplica que gr(Q) = 0 o bien Q = kP con k ∈ K.

Al igual que en el caso de los enteros, se tiene el siguiente resultado.

8.3.2. Proposicion. Sea K un cuerpo y P ∈ K[X ] un polinomio de grado ≥ 1.Las condiciones siguientes son equivalentes:

1. P es irreducible.

2. Si P | QR (con Q,R ∈ K[X ]) entonces P | Q o bien P | R.

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108 CAPITULO 8. POLINOMIOS

3. Si P | Q1Q2 · · ·Qn (con los Qi ∈ K[X ]) entonces P | Qi para algun i.

Demostracion. Completamente analoga a la de la Proposicion 7.1.34.

En el estudio de la factorizacion de elementos en anillos mas generales sellama elemento primo exclusivamente aquel que verifica el apartado 2 de laproposicion anterior. En general, no siempre un irreducible es primo, pero en elcaso de los polinomios sobre un cuerpo, como acabamos de ver, los dos conceptosconfluyen.

8.3.3. Ejemplos.

1. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX+ b con a 6= 0 y es irreducible.En efecto, si aX + b = PQ entonces 1 = gr(P ) + gr(Q) y necesariamenteP o Q es de grado cero.

2. Si un polinomio de grado 2 no es irreducible, entonces tiene dos raıces enK que pueden ser dos raıces de multiplicidad 1 o una raız de multiplicidad2. Dejamos como ejercicio la demostracion.

3. Un polinomio P de grado 3 es irreducible si y solo si no tiene ningunaraız en K. En efecto: si P descompone debe hacerlo como producto de unpolinomio de grado 1 por un polinomio de grado 2. El polinomio de grado1 tiene una raız en K.

4. El polinomio X2−2 no tiene raıces en Q, luego es irreducible en Q[X ]. Sinembargo, como polinomio de R[X ] o C[X ] es reducible pues se descomponecomo (X +

√2)(X −

√2).

Para polinomios de grado mayor que 3, no es cierto en general que el poli-nomio sea irreducible en K[X ] si y solo si no tiene ninguna raız en K. Veamosdos ejemplos mas:

5. El polinomio P = X4+2X3+3X2+2X+1 no tiene raıces enQ (ejercicicio)pero no es irreducible en Q[X ] pues P = (X2 +X + 1)2.

6. Considerese P ∈ Z2[X ], tal que P = (X3 + X + 1)(X2 + X + 1) =X5 +X4 + 1. En este caso, P no tiene raıces en Z2.

El siguiente resultado es el analogo al Teorema Fundamental de la Aritmeticay, de hecho, su demostracion tambien lo es.

8.3.4. Teorema. Sea K un cuerpo. Todo polinomio de K[X ] de grado mayoro igual que 1 factoriza como producto de polinomios irreducibles. Esta factori-zacion es unica salvo asociados y el orden de los factores.

Demostracion. Se deja como ejercicio.Basta reproducir la demostracion del Teo-rema Fundamental de la Aritmetica; en la reduccion al absurdo inicial hay queconsiderar un contraejemplo que tuviese grado mınimo.

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8.4. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 109

8.4. Polinomios irreducibles en R[X] y C[X]Teorema Fundamental del Algebra

Hasta ahora hemos visto dos hechos sobre la factorizacion de polinomiossobre cuerpos. Una es que la factorizacion en irreducibles existe y la otra es quela forma que tienen los polinomios irreducibles depende del cuerpo en el queesten definidos. Vamos a describir primero como son los polinomios irreducibleso primos sobre los cuerpos complejo y real para luego hacer lo propio parapolinomios sobre los racionales.

El siguiente resultado, conocido como el Teorema Fundamental del Algebra,cuya demostracion se atribuye a C. F. Gauss aunque no por consenso (vease,por ejemplo, [8, pp. 95-97]), nos llevara a la primera respuesta.

8.4.1. Teorema [Teorema Fundamental del Algebra]. Todo polinomio deC[X ] de grado mayor que cero tiene al menos una raız en C.

Demostracion. La demostracion esta fuera del alcance de nuestro curso.

8.4.2. Corolario.

1. Un polinomio de C[X ] es irreducible si y solo si es de grado 1.

2. Todo polinomio P de grado n ≥ 1 de C[X ] factoriza como

P = r(X − r1) · · · (X − rn)

para ciertos numeros complejos r, r1, . . . , rn.

Demostracion. Consecuencia inmediata del teorema anterior.

8.4.3. Ejemplo. Consideremos el polinomio X8 − 1 ∈ C[X ]. Sus raıces son lasraıces octavas de la unidad. A simple vista vemos que 1, −1, i y −i son raıces,por lo que el polinomio es divisible por (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i):

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X4 + 1).

Las raıces de (X4 + 1) corresponderan con las raıces octavas primitivas de launidad, que son:

z1 = cos π4 + i sin π

4 =√22 +

√22 i

z3 = cos(π4 + π2 ) + i sin(π4 + π

2 ) = −√22 +

√22 i

z5 = cos(π4 + π) + i sin(π4 + π) = −√22 −

√22 i = z3

z7 = cos(π4 + 3π2 ) + i sin(π4 + 3π

2 ) =√22 −

√22 i = z1.

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110 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Por tanto, la factorizacion de X8 − 1 en producto de polinomios irreducibles enC[X ] es

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X − z1)(X − z1)(X − z3)(X − z3).

Si partimos de la factorizacion de un polinomio como elemento de C[X ]podemos encontrar la factorizacion en R[X ] de forma muy simple. Basta agruparlas parejas de factores con terminos conjugados. Agrupamos entonces

X8−1 = (X−1)(X+1) [(X − i)(X + i)] [(X − z1)(X − z1)] [(X − z3)(X − z3)] .

y multiplicamos, obteniendo

X8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X2 + 1)(X2 +√2X + 1)(X2 −

√2X + 1).

Mas adelante veremos la factorizacion en Q[X ] que en este caso es

(X − 1)(X − 1)(X2 + 1)(X4 + 1).

El siguiente resultado justifica el procedimiento anterior.

8.4.4. Proposicion. Si z = a + bi es una raız compleja de un polinomio P ∈R[X ], entonces su conjugado z = a− bi tambien es raız de P .

Demostracion. Sea P = a0 + a1X + a2X2 + · · · + anX

n. Por hipotesis, a0 +a1z + a2z

2 + · · ·+ anzn = 0 y como 0 = 0 entonces

0 = a0 + a1z + · · ·+ anzn = a0 + a1z + · · ·+ anzn,

de ahı el resultado.

8.4.5. Corolario. Sea P ∈ R[X ] un polinomio irreducible. Entonces, o bien Ptiene grado 1, o bien P es un polinomio de grado 2 sin raıces reales.

Demostracion. Es claro que los polinomios de grado 1 o de grado 2 sin raıcesreales son irreducibles. Supongamos que P tiene grado mayor que 2. Queremosver que no es irreducible. Por el Teorema Fundamental del Algebra, P tienealguna raız α ∈ C. Si α ∈ R entonces P es divisible por X−α y no es irreducible.Si α 6∈ R entonces α tambien es raız y P es divisible por (X − α)(X − α). Seaα = a+ bi. Entonces (X − α)(X − α) = X2 − 2aX + (a2 + b2) ∈ R[X ] y P noes irreducible.

8.5. Polinomios irreducibles en Q[X].

En Q[X ] no tenemos una descripcion de los polinomios irreducibles parecidaal caso real pero vamos a dar algunos criterios utiles y, para ello, necesitamosdemostrar algunos resultados previos.

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8.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN Q[X ]. 111

8.5.1. Definicion. Dado un polinomio P con coeficientes enteros, se llamacontenido de P al maximo comun divisor de los coeficientes de P y se denotarapor c(P ).

Un polinomio P con coeficientes enteros se llama primitivo si c(P ) = 1, esdecir, si el maximo comun divisor de sus coeficientes es 1.

8.5.2. Lema. Dado un polinomio A ∈ Q[X ] existe un numero p/q ∈ Q tal queA = p

qA′ con A′ primitivo.

Es decir, todo polinomio de Q[X ] es asociado de un polinomio primitivo.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

8.5.3. Ejemplo.

6

5X2 +

10

3X +

2

5=

2

15

15

2

(6

5X2 +

10

3X +

2

5

)

=2

15(9X2 + 25X + 5)

8.5.4. Notacion. Dado un polinomio P = a0 + a1X + · · ·+ anXn con ai ∈ Z

y un numero primo p, denotaremos por P , al polinomio

P = a0 + a1 X + · · ·+ an Xn ∈ Zp[X ].

En ocasiones, con el fin de simplificar la notacion, se omitira la raya queindica la clase modulo p.

8.5.5. Lema. Sea p un numero primo y sean P,Q dos polinomios con coefi-cientes enteros.

(a) Si R = P +Q, entonces R = P + Q en Zp[X ].

(b) Si R = PQ, entonces R = P Q en Zp[X ].

Demostracion. Se deja como ejercicio.

8.5.6. Proposicion [Lema de Gauss]. Sean P y Q dos polinomios con co-eficientes enteros. Entonces c(PQ) = c(P )c(Q).

Demostracion. Veamos primero que el producto de polinomios primitivos esprimitivo. Procederemos por reduccion al absurdo. Supongamos pues que c(P ) =c(Q) = 1, pero que c(PQ) 6= 1. Sea R = PQ. Entonces existe un numero primop tal que p | c(R) y por tanto, en Zp[X ] se tiene que 0 = R = P Q. Luego P = 0

o bien Q = 0, ası que p | c(P ) o bien p | c(Q), lo cual es absurdo.En general, si hacemos A = c(P )P ′ y Q = c(Q)Q′ con P ′ y Q′ primiti-

vos, entonces PQ = c(P )c(Q)P ′Q′. Dado que P ′Q′ es primitivo, es claro quec(PQ) = c(P )c(Q).

8.5.7. Proposicion. Si un polinomio P con coeficientes enteros factoriza comoproducto de dos polinomios de grado mayor que cero en Q[X ], entonces P facto-riza como producto de dos polinomios de grado mayor que cero con coeficientesenteros.

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112 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Demostracion. Supongamos que P = QR con Q,R ∈ Q[X ] de grado mayor quecero. Por el Lema 8.5.2, P = rP ′, Q = (a/b)Q′ y R = (c/d)R′ con a, b, c, d, r ∈ Zy P ′, Q′, R′ primitivos (con coeficientes enteros). Entonces

rbdP ′ = acQ′R′

y por el lema de Gauss rbd = ac, es decir, (a/b)(c/d) = r. En consecuenciaP = (rQ′)R′ y P es producto de dos polinomios de grado mayor que cero concoeficientes enteros.

8.5.8. Proposicion [Criterio de reduccion]. Sea P un polinomio con coefi-cientes enteros y sea p un numero primo que no divide al coeficiente lıder de P .Entonces, si P es irreducible en Zp[X ], P es irreducible en Q[X ].

Demostracion. Primero notese que, como p no divide al coeficiente lıder de Pse tiene que grP = grP . Supongamos que P se factoriza, digamos P = QR.Por el resultado anterior, podemos suponer que Q y R son polinomios concoeficientes enteros, y por otra parte grP = grQ+grR. Como P = QR entoncesgrQ+grR = grP = grP , luego grQ = grR y grR = grR. Como P es irreducible,uno de los sumandos debe de ser 0.

8.5.9. Ejemplo. Consideremos el polinomio

P =2

3X3 + 2X2 +

8

3X +

2

3.

P irreducible en Q[X ] si y solo si lo es el polinomio

3

2P = X3 + 3X2 + 4X + 1.

Este ultimo modulo 2 es (no ponemos rayitas) X3 +X2 + 1 que es irreducibleen Z2[X ] pues es de grado 3 y no tiene raıces. Luego el criterio anterior nosasegura que P es irreducible en Q[X ].

8.5.10. Proposicion [Criterio de irreducibilidad de Eisenstein]. Sea P =a0 + a1X + · · · + anX

n un polinomio con coeficientes enteros de grado n ≥ 1.Supongamos que existe un numero primo p tal que p | aj con j = 0, . . . , n − 1,pero p ∤ an y p2 ∤ a0. Entonces, P es irreducible en Q[X ].

Demostracion. Teniendo en mente la Proposicion 8.5.7, supongamos que P =QR con Q,R dos polinomios de grado mayor que cero y coeficientes enteros. Enconcreto, pongamos Q = b0 + b1X + · · ·+ buX

u y R = c0 + c1X + · · ·+ cvXv.

En Zp[X ] tenemos que P = anXn, un monomio y por el Lema 8.5.5 tendra

que ocurrir que Q = bsXs y R = ctX

t con s, t ≥ 1; es decir, que tambien seobtengan monomios. En particular, p divide a b0 y c0 y, por tanto, p2 divide aa0 = b0c0, lo cual contradice las hipotesis.

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8.6. FACTORES MULTIPLES EN CUERPOS NUMERICOS. 113

8.5.11. Ejemplos. 1. El polinomio 2X4+6X3− 15X2+6 es irreducible enQ[X ] por el criterio anterior con el primo p = 3.

2. Sea p un numero primo. El polinomio Xn + p es irreducible en Q[X ] porel criterio de Eisenstein. Por tanto, en Q[X ] hay polinomios irreduciblesde cualquier grado.

8.5.12. Proposicion [Criterio de sustitucion]. Sea K un cuerpo y P unpolinomio de K[X ]. El polinomio P (X) es irreducible si y solo si P (X − a) cona ∈ K es irreducible, con a ∈ X.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

8.5.13. Ejemplos. 1. Si en el polinomio X4− 6X3+12X2− 10X+5 susti-tuimos X porX+1 se obtiene el polinomioX4−2X3+2 que es irreduciblepor el criterio de Eisenstein.

2. Sea p un numero primo y consideremos el polinomio Xp−1. Factorizamospor X − 1 y obtenemos

Xp − 1 = (X − 1)(Xp−1 +Xp−2 + · · ·+X + 1).

Φp = Xp−1 +Xp−2 + · · · + X + 1 se denomina el p-esimo polinomio ci-clotomico y vamos a ver que es irreducible enQ[X ]. Para ello, sustituyamosX por X + 1 y desarrollemos por el binomio de Newton

(X + 1)p − 1 = Xp +

(p1

)

Xp−1 + · · ·+(

pp− 1

)

X.

Por tanto,

Φp(X + 1) =(X + 1)p − 1

(X + 1)− 1= Xp−1 +

(p1

)

Xp−2 + · · ·+(

pp− 1

)

.

Dado que los numeros combinatorios

(pk

)

con 1 ≤ k ≤ p − 1 son

divisibles por p (¿por que?) podemos aplicar el criterio de Eisenstein paraobtener la conclusion deseada.

8.6. Factores multiples en cuerpos numericos.

Vamos a ver un criterio que nos permite saber cuando un polinomio tienefactores irreducibles de multiplicidad mayor que 1.

8.6.1. Definicion. Sea K un cuerpo y P un polinomio de K[X ]. Dado F , unpolinomio irreducible de K[X ], decimos que F es un factor de P de multiplicidads ≥ 0 si F s divide a P pero F s+1 no divide a P (esto incluye el caso s = 0cuando F no divide a P ).

Decimos que F es un factor multiple de P si s > 1. Si s = 1 decimos que Fes un factor simple.

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114 CAPITULO 8. POLINOMIOS

8.6.2. Definicion. Dado un cuerpo K, se define la derivada formal de un po-linomio P = a0 + a1X + · · ·+ anX

n ∈ K[X ] como el polinomio

P ′ = a1 + 2a2X + 3a3X2 + · · ·+ nanX

n−1.

8.6.3. Observacion. Es facil ver, y se deja como ejercicio, que la derivadaformal cumple las propiedades que cumple la derivada de funciones reales devariable real respecto de la suma y producto de funciones.

8.6.4. Proposicion. Sea K = Q, R o C y sea P un polinomio de K[X ] degrado mayor o igual que 1. El polinomio P tiene factores irreducibles multiplesen K[X ] si y solo si mcd(P, P ′) 6= 1.

Demostracion. Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s ≥ 1. Enton-ces, P = QsR para cierto polinomio R no divisible por Q. Vamos a probar queQ es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s− 1. En efecto, derivando

P ′ = sQs−1Q′R+QsR′ = Qs−1(sQ′R+QR′).

Luego Qs−1 divide a P ′. Supongamos que Qs | P ′. Cancelamos Qs−1 yobtenemos que Q divide a sQ′R+QR′, luego Q | sQ′R. Como Q es irreducibley no puede dividir a Q′ pues el grado de Q′ es menor que el de Q 1, tenemosque Q divide a R, lo cual es contradictorio.

Procedamos ahora a la demostracion del resultado.(⇒) Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s > 1. Entonces, como

hemos visto, Q es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s− 1 ≥ 1 y, portanto, mcd(P, P ′) 6= 1.

(⇐) SupongamosD = mcd(P, P ′) con gr(D) ≥ 1. SeaQ un factor irreduciblede D y supongamos que la multiplicidad de Q en P es s. Vamos a demostrarque s > 1. Hemos visto al principio que Q es un factor irreducible de P ′ conmultiplicidad s − 1. Como, por hipotesis, Q divide a P ′, vemos que s − 1 nopuede ser cero, es decir, s > 1.

1Es en este punto en el que utilizamos que K es un cuerpo numerico. Si K fuese, porejemplo, Zp, se podrıa dar el caso de que Q′ fuese nulo. A pesar de ello, el resultado tambienes cierto en Zp.

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Apendice A

A.1. La funcion sucesor

El siguiente ejercicio nos muestra que la definicion de sucesor es consistente.

A.1.1. Ejercicio. Sea n un cardinal. Probar que si |A| = |B| entonces |A ∪ {x}| =|B ∪ {y}|, con x 6∈ A e y 6∈ B.

Vamos a justificar las afirmaciones hechas en (5.1.15).

A.1.2. Proposicion. Si A es un conjunto finito y x 6∈ A entonces A ∪ {x}tambien es finito.

Demostracion. Sea B = A ∪ {x} y supongamos que B es infinito. Entoncesexiste B′ ( B, junto con una biyeccion f : B → B′.

Si B′ ⊂ A entonces componemos Ai→ B

f−−→ B′, donde i : A → B es lainclusion natural. Se tiene que |A| = |Im(f ◦ i)| y por tanto A es infinito, lo cuales imposible. Si ocurre que B′ * A entonces ha de ocurrir que x ∈ B′ y existea ∈ A \B′. Hacemos C = (B′ \ {x}) ∪ {a}. Claramente |C| = |B′| y aplicamosa C el caso anterior.

Ahora, podemos definir una aplicacion σ : N→ N tal que σ(n) = n∗. Vamosa ver que es inyectiva.

Supongamos que n y m son cardinales tales que n∗ = m∗. Queremos probarque n = m. Sean A y B representantes de n y m, respectivamente. Por hipotesis,existen x 6∈ A e y 6∈ B, junto con una aplicacion f : A∪{x} → B∪{y}, biyectiva.Queremos construir una biyeccion g : A → B. Para ello, vamos a considerar doscasos. Primero, si f(x) = y, definimos g(a) = f(a), para todo a ∈ A. Es obvioque g es biyectiva. Segundo caso: f(x) 6= y. Sean ay ∈ A tal que f(ay) = y ybx ∈ B tal que f(x) = bx. Es claro que x 6= ay e y 6= bx. Entonces definimos

g(a) =

{

f(a) si a 6= ax

bx si a = ay

que tambien claramente es una biyeccion.

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116 APENDICE A. APENDICE

A.2. Operaciones en N

Vamos a ver algunas demostraciones de las propiedades de las operacionesdefinidas en (5.1.30 y 5.1.32).

Recordemos la defincion de suma. Para n ∈ N, definimos

1. n+ 0 = n.

2. Si tenemos definida n+m entonces n+m∗ = (n+m)∗.

Lo anterior viene a decir que n+(m+1) = (n+m)+1. Probaremos algunasde las siguientes propiedades, donde ya escribiremos n+ 1 en vez de n∗.

Propiedades de la suma en N.

1. (n+ 1) +m = n+ (m+ 1)

2. n+m = m+ n (conmutatividad).

3. (n+m) + r = n+ (m+ r) (asociatividad).

4. Si a+ c = b+ c entonces a = b (cancelacion).

Demostracion. 1. Fijado n ∈ N, procederemos por induccion sobre m. Param = 0 se tiene, por definicion, (n + 1) + 0 = n+ 1 = n+ (0 + 1). Supongamosvalido que (n + 1) + m = n + (m + 1). Para m + 1, usando la definicion yla hipotesis de induccion hacemos (n + 1) + (m + 1) = ((n + 1) + m) + 1 =(n+ (m+ 1)) + 1 = n+ ((m+ 1) + 1).

2. Fijado n, procederemos por induccion sobre m. Primero tenemos queprobar que n+0 = 0+n. Para este primer paso de induccion, ya procederemospor induccion. Para n = 0, se tiene que 0 + 0 = 0 por la definicion de suma.Supongamos valido que n+ 0 = 0+ n. Ahora, por hipotesis de induccion y pordefinicion, 0+ (n+1) = (0+n)+1 = n+1 = (n+1)+0. Esto prueba el primerpaso de la induccion.

Supongamos que n+m = m+ n. Ahora, por la definicion y la Propiedad 1,n+ (m+ 1) = (n+m) + 1 = (m+ n) + 1 = m+ (n+ 1) = (m+ 1) + n.

3. Procederemos por induccion sobre r. Para r = 0, (n+m)+0 = n+(m+0),por la definicion. Supongamos valido que (n+m)+r = n+(m+r). Ahora, por ladefinicion y por la hipotesis de induccion, (n+m)+(r+1) = ((n+m)+r)+1 =(n+ (m+ r)) + 1 = n+ ((m+ r) + 1) = n+ (m+ (r + 1)).

4. Procedemos por induccion sobre c. Para cualesquiera a, b ∈ N y c = 0,notese que a+ 0 = b + 0. Supongamos valido que a + c = b + c implica a = b,para todo a, b ∈ N. Ahora a+(c+1) = b+(c+1) implica (a+c)+1 = (b+c)+1ası que (a + c)∗ = (b + c)∗ y esto a su vez implica que a+ c = b + c porque lafuncion sucesor es inyectiva. Por hipotesis de induccion se tiene que a = b.

Tambien se pueden consultar en [10, pp. 56-59], por ejemplo.

Recordemos la definicion de producto en N. Para n,m ∈ N, definimos

1. n · 0 = 0.

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A.2. OPERACIONES EN N 117

2. Si tenemos definido n ·m entonces n · (m+ 1) = n ·m+ n.

Propiedades del producto.

1. (n+ 1)m = nm+m.

2. nm = mn (conmutatividad).

3. n(m+ k) = nm+ nk (distributividad).

4. n(mk) = (nm)k (asociatividad).

Demostracion. 1. Procederemos por induccion sobre m. Para m = 0 es trivial.Supongamos valido (n+1)m = nm+m. Ahora, por la definicion, por hipotesis deinduccion y por las propiedades de la suma, (n+1)(m+1) = (n+1)m+(n+1) =(nm+m) + (n+ 1) = nm+ n+ (m+ 1) = n(m+ 1) + (m+ 1).

2. Primero probaremos que 0 · n = 0, por induccion. Para n = 0 es obvio.Supongamos valido que 0 · n = 0. Ahora 0 · (n+ 1) = 0n+ 0 = 0. Ahora, fijadon, procedemos por induccion sobre m. Para m = 0, por definicion y lo anterior,n ·0 = 0 = 0 ·n. Supongamos valido que nm = mn. Entonces, por la Propiedead1 y la definicion, (n+ 1)m = nm+m = mn+m = m(n+ 1).

3. Fijamos m, k ∈ N. Para n = 0 es obvio. Para n = 1 viene de la definicion yla conmutatividad. Supongamos valido n(m+k) = nm+nk. Ahora (n+1)(m+k) = n(m+k)+m+k = nm+nk+m+k = nm+m+nk+k = (n+1)m+(n+1)k.

4. Fijamos m, k. Para n = 0 y n = 1 es obvio. Supongamos valido n(mk) =(nm)k. Ahora, por definicion, conmutatividad y distributividad, (n+1)(mk) =n(mk) +mk = (nm)k +mk = (nm+m)k = ((n+ 1)m)k.

Puede consultarse tambien [10, pp. 59-61] para ver estas demostraciones.

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118 APENDICE A. APENDICE

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