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Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net

Asignatura: Matemáticas Ciencias – 1ºBachillerato

Teoría – Tema 5: Diapositivas proyectadas en clase

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Teoría – Tema 5

Vector: longitud, dirección y sentido

Un vector es una flecha contenida entre un punto de inicio (A) y un puntode fin (B). Se denota con los nombres de los puntos de inicio y fin AB , obien con una letra en mínúscula u .

Un vector posee tres características:

• Longitud (módulo)

• Dirección (el de la recta que une A y B)

• Sentido (indicado por la punta de la flecha)

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Componentes de un vector

Dados dos puntos en dos dimensiones A(a x , a y) y B (b x , b y) , lascomponentes del vector AB se obtienen restando a las componentes de

B las componentes de A (final menos inicial). Es decir:

AB=(bx−a x , b y−a y)

Si los puntos fuesen en tres dimensiones A(a x , a y , az) y B (b x , b y , bz) , lascomponentes del vector serían:

AB=(bx−a x , b y−a y , bz−az)

Veamos un par de ejemplos:

A(2 ,3) , B (4 ,−1) → AB=(4−2,−1−3) → AB=(2,−4)

A(2 ,3,−5) , B (4 ,−1, 0) → AB=(4−2,−1−3, 0−(−5)) → AB=(2,−4,5)

¿Cuántas componentes puede tener un vector?

Infinitas...





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Vector libre

Si no conocemos los puntos de inicio y final del vector, hablamos devector libre. Por ejemplo: u=(2,1)

¿Cómo representar un vector libre en el plano?

Hay infinitas posibilidades.

Los vectores que comparten módulo, dirección y sentido se llaman

vectores equipolentes.

Dos rectas paralelas

marcan la misma dirección.

¿Cuál elegir, entonces?

El representante canónico, que

es el que tiene

por origen el punto (0,0) .





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Módulo de un vector

Esto nos sonará de estudiar los números complejos.

Dado un vector u=(ux , u y) su módulo es igual a:

∣u∣=√ux2+u y

2

Si el vector fuese en tres dimensiones u=(ux , u y , uz) , el móduloquedaría:

∣u∣=√ux2+u y

2+uz

2

Recuerda, el módulo indica la longitud del vector. Por lo tanto siempre esuna cantidad positiva.





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Vector unitario a partir de un vector conocido

Dado un vector conocido u=(ux , u y) , su vector unitario es aquel quetiene la misma dirección y sentido, pero módulo unidad. Se obtienedividiendo cada componente por el módulo del vector. Y se denota u .

u=(ux

∣u∣,u y

∣u∣) → ∣u∣=1

Si el vector fuese en tres dimensiones u=(ux , u y , uz) el unitario es:

u=(ux

∣u∣,u y

∣u∣,uz

∣u∣) → ∣u∣=1

Vectores unitarios especialmente importantes en dos dimensiones son:

i=(1,0) , j=(0,1)

Y en tres dimensiones:

i=(1,0,0) , j=(0,1 ,0) , k=(0,0 ,1)





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Ángulo de un vector respecto al eje horizontal OX

Al igual que en la fase de los números complejos, el ángulo que forma elvector u=(ux , u y) con respecto al eje horizontal OX, en sentidoantihorario, viene dado por la expresión:

α=arcotg (u y

u x

)

Recuerda que es importante saber el signo de cada componente paraconocer en qué cuadrante está el ángulo.

Ejemplos para practicar:

a) Obtener el ángulo que forma el vector u=(1, 3) y el vector v=(3,−1)con el eje horizontal OX.

b) ¿Existe alguna relación especial entre los ángulos del apartadoanterior? ¿Podríamos sacar alguna conclusión general sobre lascomponentes de dos vectores perpendiculares?





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Pendiente de un vector

La pendiente de un vector u=(ux , u y) es simplemente la tangente delángulo que forma el vector con el eje horizontal OX. Suele denotarsecon la letra mu .

mu=tg (α) , α=arcotg (u y

u x

) → mu=tg (arcotg (u y

ux

)) → mu=u y

ux

Es decir, basta con dividir la segunda componente entre la primerapara obtener la pendiente del vector.

El concepto de pendiente es propio únicamente de los vectores en dosdimensiones.


a) Obtener la pendiente del vector u=(1, 3) y el vector v=(3,−1) .

b) ¿Existe alguna relación especial entre las pendiente del apartadoanterior? ¿Podríamos sacar alguna conclusión general sobre laspendientes de dos vectores perpendiculares?





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Vectores paralelos, opuestos y perpendiculares

Dos vectores u=(ux , u y) , v=(v x , v y) paralelos tienen la mismapendiente. Es decir → mu=m v

Ojo, dos vectores opuestos también tienen la misma pendiente. A losvectores paralelos y opuestos también se les llama vectoresproporcionales, porque el cociente de sus componentes se mantiene

proporcional. Es decir → ux

v x

=u y

v y

=k

Siendo k la constante de proporción. Si k es positiva, los vectores sonparalelos. Si k es negativa, los vectores son opuestos.

Dos vectores son perpendiculares si el producto de sus pendientes esigual a -1. Es decir → mu · m v=−1

Dado un vector u=(ux , u y) en dos dimensiones, podremos obtener susdos vectores perpendiculares intercambiando las posiciones de las doscomponentes y cambiando el signo a solo una de las componentes.





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Producto de un número por un vector

Un número real k multiplica a un vector u=(ux , u y) , mulplicando cadauna de las componentes del vector. Es decir:k · u=(k · ux , k · u y)





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Suma y resta de vectores

Para sumar dos vectores u=(ux , u y) , v=(v x , v y) , operamos componentea componente.u+ v=(u x , u y)+(v x , v y)=(ux+v x , u y+v y)

u− v=(ux , u y)−(v x , v y)=(u x−v x , u y−v y)


Dados los vectores u=(1, 4) , v=(2,−1) , calcula:

a) u+3 v

b) 5 u−2 v





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Expresar un vector de dos dimensiones en función de los vectores unitarios i , j

Recordamos los vectores unitarios i=(1,0) , j=(0,1) . Son vectoresparalelos a los ejes de coordenadas.

Dado un vector u=(ux , u y) podemos expresarlo en función de esosvectores unitarios:

u=(ux , u y)=ux ·(1, 0)+u y ·(0,1)=ux · i+u y · j

Esta expresión se conoce como proyección ortogonal del vector sobre losvectores unitarios paralelos a los ejes de coordenadas.


a) Expresa los vectores u=(1, 4) , v=(2,−1) en función de los vectoresunitarios i , j

b) ¿Cómo sería en el caso de un vector en tres dimensiones? ¿Cuálesserían los tres vectores unitarios paralelos a los ejes?





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Proyección ortogonal de un vector sobre otro

Dados dos vectores u y v , que forman entre sí un ángulo α , definimosla proyección ortogonal de u sobre v como el módulo del vector u por elcoseno del ángulo.

Proyección de u sobre v=∣u∣· cos(α)

El ángulo α entre dos vectores

es positivo en sentido antihorario,

y siempre se elige el ángulo

más pequeño que forman los

vectores entre sí.





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Producto escalar de dos vectores: definición

El producto escalar de dos vectores se define como el producto de losmódulos por el coseno del ángulo que forman.u · v=∣u∣·∣v∣· cos(α)

Propiedades importantes del producto escalar son:

• Es conmutativou · v=∣u∣·∣v∣· cos(α)

v · u=∣v∣·∣u∣· cos(−α)

cos(α)=cos(−α) → u · v= v · u

• Si los vectores son perpendiculares, el producto escalar es nulo:u⊥ v→ u · v=0

• El producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadradodel módulo del vector.

u · u=∣u∣·∣u∣· cos(0º) → u · u=∣u∣2





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Producto escalar de dos vectores: expresión analítica a partir de los vectores unitarios paralelos alos ejes

Expresamos los vectores u y v en función de los vectores unitarios:

u=ux i+u y j , v=v x i +v y j

Así, podemos expresar el producto escalar haciendo el producto entre losdifrentes términos:

u · v=(ux i +u y j)·(v x i+v y j)

u · v=ux · v x i · i +ux · v y i · j+u y · v x j · i+u y · v y j · j

Recuerda: el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo.Y el producto escalar de un vector consigomo mismo es el cuadrado delmódulo del vector.

u · v=ux · v x(√1)2+u x · v y ·0+u y · v x · 0+u y · v y(√1)

2

u · v=ux · v x+u y · v y → En tres dimensiones → u · v=ux · v x+u y · v y+uz · v z





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Ángulo formado por dos vectores

Conociendo las componentes de dos vectores, ¿podemos obtener elángulo que forman?

¡Afirmativo!

Para ello, recordamos las dos ecuaciones que hemos obtenido para elproducto escalar:u · v=∣u∣·∣v∣· cos(α)

u · v=ux · v x+u y · v y

Igualamos ambas expresiones entre sí.∣u∣·∣v∣· cos(α)=ux v x+u y v y

Despejamos el coseno del ángulo

cos(α)=ux v x+u y v y

∣u∣·∣v∣→ α=arcocos

u x v x+u y v y

∣u∣·∣v∣ , α∈[0º ,180º ]





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Perpendicularidad y producto escalar

De la definición del producto escalar queda claro que si dos vectores sonperpendiculares, su producto escalar es cero.

¿Pero es cierta la afirmación contraria? Es decir, ¿si el productoescalar es cero, implica que los vectores son perpendiculares?

La respuesta es sí. Demostrémoslo.

De la expresión analítica del producto escalar:u · v=ux · v x+u y · v y → Si lo anulamos → u x · v x+u y · v y=0

u y · v y=−ux · v x → u y · v y

u x · v x

=−1 → u y

ux

·v y

v x

=−1 → mu · m v=−1

Donde llegamos a la condición de producto de pendientes igual a -1, quees propio de vectores perpendiculares.

Esta demostración en dos dimensiones se puede generalizar a cualquierdimensión: producto escalar nulo implica vectores perpendiculares.





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Ejercicios para practicar

De la Hoja de Problemas del Tema 5, vamos a practicar con lossiguientes ejercicios relacionados con la teoría de vectores que hemosvisto hasta ahora:

• Hoja 3 – Problemas 4-8

• Hoja 4 – Problemas 3-7





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Visión gráfica de la suma y resta de vectores

La suma de dos vectores u+ v es un nuevo vector que coincide con ladiagonal del paralelogramo que forman los vectores sumandos.

La resta de dos vectores u− v es un nuevo vector que coincide con ladiagonal menor del paralelogramo que forman los vectores que serestán, con sentido desde el final del vector sustraendo v al final delprimer vector minuendo u .





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Dimensión de un espacio vectorial

Llamamos espacio vectorial al conjunto de vectores, con la operaciónsuma y la operación producto escalar.

La dimensión del espacio vectorial coincide con el número decomponentes de sus vectores.

Es decir, los vectores con dos componentes forman un espacio vectorialde dimesión dos. Los vectores con tres componenes forman un espaciovectorial de dimensión 3... Los vectores con n-componentes forman unespacio vectorial de dimensión n...





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Exprear un vector como combinación lineal de otros vectores

Cuando un vector se puede expresar en función de otros vectores, sedice que ese vector es combinación lineal de los otros.

Por ejemplo:u=(2,3) , v=(1,−2) , w=(7,0) → w=2 · u+3 · v

El vector w=(7,0) se puede escribir como dos veces el vector u=(2,3)más tres veces el vector v=(1,−2) . Se dice que w es combinación linealde u y v .

Otro ejemplo:u=(1,3,0) , v=(3,2 ,1) , w=(−1,4 ,−1) → w=2 · u− v

El vector w=(−1,4 ,−1) es dos veces el vector u=(1,3 ,0) menos una vezel vector v=(3,2 ,1) . Nuevamente, se afirma que w es combinación linealde u y v .





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Obtener los factores de la combinación lineal (parte 1 de 3)

Si me dan un conjunto de vectores, ¿cómo puedo saber si un vector escombinación lineal de ese conjunto de vectores?

Planteando un sistema y resolviéndolo. Veamos un ejemplo:

Expresar w=(7,0) como combinación lineal de u=(2,3) y v=(1,−2) .

w=a · u+b· v → Debo obtener los factores a y b .

(7,0)=a ·(2,3)+b ·(1,−2) → (7,0)=(2 a ,3 a)+(b ,−2 b)

(7,0)=(2 a+b ,3 a−2 b)

Dos vectores son iguales si sus componente son iguales.

{ 7=2 a+b0=3 a−2 b } → Resuelvo el sistema → a=2 , b=3

Si el sistema es SCD significa que puedo expresar w comocombinación lineal de u y v .





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Veamos otro ejemplo:

Expresar w=(7,0) como combinación lineal de u=(2,3) y v=(−4,−6) .

w=a · u+b· v → Debo obtener los factores a y b .

(7,0)=a ·(2,3)+b ·(−4,−6) → (7,0)=(2 a ,3 a)+(−4 b ,−6 b)

(7,0)=(2 a−4 b ,3 a−6 b)

Dos vectores son iguales si sus componente son iguales.

{7=2 a−4 b0=3 a−6 b } → Resuelvo por reducción → {−21=−6 a+12 b

0=6 a−12 b }Sumamos las ecuaciones → −21=0 → Absurdo matemático

El sistema no tiene solución, es Sistema Incompatible. Significa queno puedo expresar w como combinación lineal de u y v .

En estos ejercicios, no aparecen sistemas SCI con infinitas soluciones.





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Veamos otro ejemplo, ahora con vectores en tres dimensiones.

Expresar w=(7,10,12) como combinación lineal de u=(2,3,2) , v=(0,1,2)y t =(3,1 ,2) .

w=a · u+b· v+c · t → Debo obtener los factores a , b y c .(7,10 ,12)=a ·(2,3,2)+b·(0,1,2)+c ·(3,1,2)

(7,10 ,12)=(2 a ,3 a , 2 a)+(0, b , 2 b)+(3 c , c , 2c)

(7,10 ,12)=(2 a+3c ,3 a+b+c , 2 a+2 b+2 c)

Dos vectores son iguales si sus componente son iguales. Así, obtenemosun sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas.

{7=2a+3 c

10=3 a+b+c12=2 a+2 b+2 c } → Resolvemos → a=2 , b=3 , c=1

Al ser SCD, significa que w es combinación lineal de u , v , t





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Sistema generador (parte 1 de 3)

En el apartado anterior hemos visto ejemplos de un vector que se puedeescribir como combinación lineal de otro conjunto de vectores; y ejemplosde un vector que no se puede expresar como combinación lineal de otroconjunto de vectores.

La siguente pregunta es: ¿Existe un conjunto de vectores que permitaexpresar cualquier vector como combinación lineal respecto a eseconjunto?

La respues es sí. Y hay infinitos conjuntos de vectores que cumplen estacondición. A cada uno de estos conjuntos se les llama sistemagenerador.





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Ejemplo:

¿Forman los vectores u=(2,3) y v=(1,−2) un sistema generador en dosdimensiones? Para ello escribimos un vector arbitrario ( x , y) comocombinación lineal de esos dos vectores:(x , y)=a(2, 3)+b(1,−2) → ( x , y)=(2 a+b ,3 a−2 b)

Igualamos componentes → { x=2 a+by=3 a−2 b }

En este sistema, las incógnitas son a y b . Si conseguimos despejarlasen función de x , y , significa que tenemos solución única (SCD) y losvectores u y v son sistema generador.

Resolvemos → { x=2 a+by=3 a−2 b } → a=

27

x+17

y , b=37

x−27

y

Los vectores u y v sí son sistema generador.





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Ejemplo:

¿Forman los vectores u=(2,3) y v=(4,6) un sistema generador en dosdimensiones? Para ello escribimos un vector arbitrario ( x , y) comocombinación lineal de esos dos vectores:

( x , y)=a(2, 3)+b(4,6) → ( x , y)=(2 a+4 b ,3 a+6 b)

Igualamos componentes → {x=2 a+4 by=3 a+6 b }

Resolvemos. Recuerda que las incógnitas son a y b , mientras que x yy son cualquier número arbitraro que pueda imaginar.

Al resolver → 3 x−2 y=0 → Sólo los vectores ( x , y) que cumplan esacondición se pueden expresar como combinación lineal. Por lo tanto, losvectores u y v no son sistema generador.





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Rango de un conjunto de vectores

Dado un conjunto de vectores, si los escribimos en filas o en columnasformando una matriz, y aplicamos el método de Gauss haciendo cerospor debajo o por encima de la diagonal principal, el rango coincide conel número de vectores no nulos.

Ejemplos:

Calcula el rango de:

a) u=(2,3) y v=(1,−2)

b) u=(2,3) y v=(4,6)

c) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(−3,2 ,1)

d) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(5,6 ,1)





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Rango y sistema generador

Dado un conjunto de vectores en un espacio vectorial de dimensiónn, formarán un sistema generador si su rango es igual a n.

Ejemplos:

Utilizando los resultados del ejemplo anterior, decide si los siguientesconjuntos de vectores son un sistema generador:

a) u=(2,3) y v=(1,−2)

b) u=(2,3) y v=(4,6)

c) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(−3,2 ,1)

d) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(5,6 ,1)





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Vectores linealmente independientes y vectores linealmente dependientes

Un conjunto de n-vectores son linealmente independientes si su rango esigual a n. En este caso, no existe combinación lineal de ninguno de susvectores respecto del resto.

Un conjunto de n-vectores son linealmente dependientes si su rango esinferior a n. En este caso, sí existe combinación lineal de al menos unode sus vectores respecto del resto.





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Base (parte 1 de 2)

En un espacio vectorial de dimensión n, ¿cuántos sistemas generadoreshay? Infinitos.

¿Existen algunos sistemas generadores especialmente importantes?

Sí, aquellos que cuenten con el menor número de vectores posibles.

¿Cómo se llaman estos sistemas generador formados por el menornúmero de vectores posibles?

Base.

En otras palabras, una base es un sistema generador que además eslinealmente independiente.

¿Cuántos vectores tienen las bases en dos dimensiones? Dos.

¿Cuántos vectores tienen las bases en tres dimensiones? Tres.

Conclusión: Una base en un espacio vectorial de dimensión n estáformada por n-vectores con rango n.





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Base (parte 2 de 2)

Ejemplos:

¿Forman una base los siguientes conjuntos de vectores?

a) u=(2,3) y v=(1,−2)

b) u=(2,3) y v=(4,6)

c) u=(2,3) , v=(−8,2) , w=(0,1)

d) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(−3,2 ,1)

e) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(5,6 ,1)

f) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) , w=(−3,2 ,1) , t =(0,1 , 2)





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Base ortogonal, ortonormal y canónica

Una base es ortogonal si todos los vectores que forman la base sonperpendiculares entre sí.

Una base es ortonormal si es ortogonal y, además, los vectores queforman la base son de módulo unidad.

La base canónica es una base ortonormal formal por los vectoresunitarios paralelos a los ejes: en dos dimensiones i=(1,0) , j=(0,1) ; y entres dimensiones i=(1,0 ,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1) .

Recuerda: la forma más sencilla de comprobar si dos vectores sonperpendiculares, es comprobar que su producto escalar es nulo.





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Rango en función de un parámetro

Dado un conjunto de vectores, con un parámetro en al menos una de lascomponentes de un vector, podemos determinar el rango del conjunto devectores aplicando Gauss a la matriz formada por los vectores yhaciendo una discusión de casos en función de los coeficientes de ladiagonal principal que contienen al parámetro.

Un conjunto de vectores nunca podrá tener un rango mayor que ladimensión del espacio vectorial. Es decir, un conjunto de vectores dedos dimensiones nunca podrán tener un rango mayor que dos. Unconjunto de vectores de tres dimensiones nunca podrán tener un rangomayor que tres.

Ejemplos:

Estudiar el rango de los siguientes vectores en función de k :

a) u=(1,7) , v=(k ,−10)

b) u=(1,0 ,1) , v=(4,6 ,0) y w=(5,6 , k )





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Introducción al producto vectorial en tres dimensiones

El producto vectorial en tres dimensioes da comoresultado otro vector perpendicular al plano queforman los vectores que se multiplican. Con elsentido marcado por la regla de la mano derecha.

Se simboliza → u× v

En 1ºBach solo nos vamos a centrar en obtener elmódulo del vector resultante del producto vectorial.

Su módulo es igual al producto de los módulos de los vectores de iniciopor el seno del ángulo que forman.∣u×v∣=∣u∣·∣v∣· sen(α)

Aplicaciones:

Área de un parelelogramo → Aparalelogramo=∣u× v∣=∣u∣·∣v∣· sen(α)

Área de un triángulo → Atriángulo=12∣u× v∣=

12∣u∣·∣v∣· sen(α)


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