5. Conductores en equilibrio electrostatico

1. Introduccion: Cargas libres y ligadas. Caractersticasde los materiales conductores.

2. Equilibrio electrostatico: Condicion de equilibrio.Propiedades de los conductores en equilibrio.

3. Sistemas de conductores en equilibrio: Problemafundamental de la electrostatica de conductores. Inuencia

y apantallamiento entre conductores. Coecientes de capa-cidad. Propiedades. Concepto de condensador. Asociacionde condensadores. Energa y fuerzas sobre conductores enequilibrio. Presion electrostatica.

4. Metodos de resolucion de problemas de potencialMetodo de las imagenes. Metodo de separacion de variables.Otros metodos.

5.1 Introduccion

Hasta el momento hemos desarrollado la teora electro-magnetica de distribuciones de carga (r, t) y corriente(r, t) conocidas en todo el espacio. En la practica estasituacion ideal no se suele dar, sino que los materiales, cons-tituidos por un enorme numero de cargas elementales, so-portan distribuciones no conocidas a priori. Las formulasencontradas para los potenciales y campos no pueden apli-carse por falta de datos.

El problema de aplicar los postulados vistos a la materiaes extremadamente complicado si lo formulamos en todasu generalidad, puesto que las distribuciones de carga estanformadas por un numero enorme de portadores sobre los queactuan las fuerzas electromagneticas (fuerza de Lorentz) yotros agentes mecanicos. Son necesarias herramientas de ti-po estadstico y una serie de simplicaciones que dependende la naturaleza de los distintos materiales para sacar deeste formidable problema microscopico consecuencias utilesa nivel macroscopico.

Dicho esto para prevenir sobre posibles dicultadesteoricas en los captulos que siguen, hay que anadir inme-diatamente que existen una serie de modelos de comporta-miento macroscopico de la materia que se han revelado comoextremadamente utiles en un gran numero de situaciones yque dan lugar a las llamadas leyes constitutivas.

Nos interesa caracterizar la materia segun sus propieda-des electricas, y esto se puede hacer a partir de la distincionentre cargas libres y ligadas. Una carga libre es aquellaque puede moverse sin restriccion dentro del material, sinformar parte de una unidad neutra. Un material se con-sidera conductor cuando posee una densidad volumetricade cargas libres apreciable. La gama de valores que paraesta densidad de carga libre se da en la naturaleza es am-plsima, y de ah surgen comportamientos dispares que vandel de los materiales aislantes hasta el de los superconduc-tores. Por otra parte, al igual que la expresion densidadapreciable es ambiguo, el concepto de conductor tambien

lo es, de manera que se puede dar el caso de que un ma-terial se considere buen conductor en ciertas circunstanciasy en otras no. Todos estos matices seran discutidos en elproximo captulo.

Como es bien sabido, existen distintos estados de agre-gacion de la materia, segun el tipo de interaccion entresus partculas constituyentes (gases, lquidos, solidos, etc.),aunque no siempre son claros los lmites entre unos esta-dos y otros. Para claricar ideas podemos considerar enprimer lugar los gases, formados por atomos o moleculaselectricamente neutros que tienen la capacidad de mover-se libremente. Los protones y electrones que constituyen elatomo o molecula no son cargas libres, puesto que formanparte de una unidad neutra. Sin embargo dentro de ese gases posible la ionizacion por choques debidos a la agitaciontermica. A mayor temperatura, mayor grado de ionizaciontendremos (y como caso lmite se obtiene lo que se denomi-na un plasma). Estos iones son cargas libres, o portadoresde carga.

La situacion en lquidos no diere cualitativamente de lodescrito para gases, y solo se aprecia una mayor interaccionentre moleculas debido a las cortas distancias que las se-paran. El agua en condiciones normales, como ejemplo delquido con conductividad apreciable, posee cierta propor-cion de moleculas disociadas en equilibrio dinamico (haydisociacion y recombinacion a igual ritmo), ademas de po-sibles impurezas tambien disociadas.

Con respecto al estado solido, el caracter conductor vieneexclusivamente determinado por la existencia de electroneslibres dentro de una estructura esencialmente rgida. Ensolidos moleculares, a cuya clase pertenecen los gases no-bles o el nitrogeno molecular, todos a bajas temperaturas,la fuerza que mantiene su estructura tiene su origen en lasfuerzas ejercidas entre momentos dipolares de moleculas,llamada fuerzas de van der Waals (que se comentaran enel tema 7) y por tanto no existen portadores de carga li-bre. Tampoco son buenos conductores los solidos ionicos,como el cloruro sodico, puesto que los atomos constituyen-

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tes captan o ceden electrones para formar iones negativos opositivos respectivamente, que se ordenan en una red tridi-mensional muy estable. A diferencia del caso anterior, lossolidos covalentes, tales como el diamante, forman redesmediante enlaces con electrones no captados ni cedidos, sinocompartidos; no obstante, los posibles movimientos de es-tos electrones se restringen a las inmediaciones de un gruporeducido de atomos y por ello no pueden ser consideradoslibres. Finalmente, los solidos metalicos (hierro, cobre,plata, etc.) pueden considerarse como un caso lmite deltipo anterior, en el que los electrones compartidos estan tandebilmente ligados que es posible encontrarlos en cualquierpunto del material. De hecho una representacion habitualde la situacion es la de una red muy rgida de iones posi-tivos coexistente con un gas de electrones encerrado en unrecipiente cuya pared es la supercie de la pieza metalica.Se trata pues de sustancias a traves de las cuales el trans-porte de carga es muy facil. La teora de bandas, de tipocuanticos, describe estos comportamientos mediante nivelesde energa permitidos para los electrones compartidos.

En resumen, en cualquier material tenemos una gran can-tidad de carga ligada y una cantidad muy variable de cargalibre. Los campos electromagneticos pueden afectar a am-bas distribuciones, dando lugar a la aparicion de densidadesnetas de carga y corriente apreciables macroscopicamente.En este captulo nos ocuparemos de todo lo relacionado conlas distribuciones estaticas de carga libre.

5.2 Equilibrio electrostatico

Condicion de equilibrio

Consideremos un cuerpo conductor libre de toda fuerzaque no sea de origen electrostatico, al que se ha suminis-trado una cierta carga q, y al que se ha dejado evolucionarel tiempo suciente para alcanzar una situacion de equili-brio, caracterizada por no haber cambios posteriores en eltiempo. En el equilibrio debe cumplirse que

E = 0

en todo punto donde existan portadores de carga, puestoque en caso contrario existira una fuerza neta sobre ellosque modicara la distribucion de carga en el material, biensea en su volumen, bien en su supercie.

Esta ecuacion es el verdadero punto de partida para ana-lizar los campos producidos por un conductor en equilibrio.Desde un punto de vista fsico podemos entender este resul-tado teniendo en cuenta que un campo no nulo en el interioractuara sobre la carga libre en cada punto produciendo undesplazamiento y por tanto una acumulacion (proceso de-pendiente del tiempo) en otro lugar. Este proceso tienelugar de hecho durante un cierto tiempo, extremadamentecorto en buenos conductores, hasta que la redistribucion decargas libres en el material consigue anular el campo totalen el interior.

Propiedades de los conductores en equilibrio

Consecuencias de que el campo en el interior sea nulo sonlas siguientes:

1. No hay densidad volumetrica de carga en el interior.

En efecto, = 0 E = 0.2. La carga que se suministra al conductor se acumula enla superficie.

Esto es consecuencia trivial de lo anterior: si no hay carganeta en volumen, todo exceso o defecto de carga se acumulaen la supercie.

3. El conductor es equipotencial.

En Electrostatica podemos denir un potencial escalar talque E = V . La diferencia de potencial entre dos puntosA y B es VB VA =

BA

E dr, usando cualquier caminode integracion. En particular, para dos puntos cualesquieradel conductor y usando un camino de integracion completa-mente incluido en el el calculo resulta ser nulo por serlo elcampo, de donde VA = VB .

4. El campo en la superficie del conductor sufre un salto ensu valor, que pasa de cero en el interior a

E(r) =S(r)0

n(r)

en el exterior, donde S(r) es la densidad supercial de car-ga en ese punto de la supercie y n(r) el vector normal enla direccion saliente. El campo solo tiene por tanto compo-nente normal a la supercie del conductor.

Para demostrar esto basta recordar, por un lado, que si elconductor es equipotencial el gradiente de V en la region ex-terior es perpendicular a su supercie, por la propiedad quese vio en el primer captulo. Como E = V , podemos es-cribir entonces Eext = En. Aplicando la condicion de saltopara la componente normal del campo electrico, establecidaen el captulo 2, y teniendo en cuenta que el campo en elinterior es nulo se obtiene n ( Eext Eint) = E = S(r)/0.Por supuesto, este resultado solo es valido en las inmedia-

ciones de la supercie conductora, y cuando nos separamosde ella el campo se modicara en general.

5.3 Sistemas de conductores en equilibrio

Problema fundamental de la electrostatica

En electrostatica la magnitud fundamental que necesita-mos conocer es el potencial en todo punto del espacio, comoya vimos en el tercer captulo. Si todas las distribucionesde carga son conocidas basta aplicar la formula integral ob-tenida en dicho captulo. Conocido el potencial, el campose obtiene por aplicacion del gradiente.

Cuando estamos en presencia de piezas conductoras la si-tuacion se complica, puesto que existen distribuciones de

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carga desconocidas en la supercie de los conductores. Yano es posible seguir el procedimiento anterior. En cambiopodemos plantear un problema de valores de contorno parael cual existen varias tecnicas de resolucion, algunas de lascuales estudiaremos mas adelante. El problema fundamen-tal que debemos resolver es la ecuacion de Poisson

2V = 0,

valida en , la region exterior a los conductores, donde ladensidad (r) se supone conocida. Para tener completa-mente determinado el problema debemos imponer condi-ciones en la frontera de . Si el innito forma parte dela frontera de , pongamos S, se exige habitualmenteV (S) = 0. Tambien la supercie de los n conductorespresentes (Si , i = 1, 2, . . . , n) forman parte de la fronterade . Existen dos posibles condiciones impuestas sobre cadasupercie conductora:

(i) Conocemos el potencial, V (Si) = Vi.

(ii) Conocemos la carga total del conductor, qi.

En cualquiera de las dos situaciones el potencial de cadapieza es constante. En el primer caso su valor es conocidoy en el segundo no; a cambio conocemos el dato de su car-ga, que podemos relacionar con la solucion para el potencialV (r):

qi =Si

S(r)dS = 0Si

E(r) ndS = 0Si

V

ndS.

Si la distribucion de carga volumetrica en no existe laecuacion de Poisson se reduce a la de Laplace y V es unafuncion armonica en . Una de las propiedades vistas en elprimer captulo fue la unicidad de la solucion de la ecuacionde Laplace con condiciones para la funcion sobre la frontera.Esto permite asegurar que el problema de los n conducto-res esta bien denido para el primer caso (potencial jadoen la frontera). Si de algun conductor solo se conoce lacarga debemos modicar ligeramente el argumento corres-pondiente al segundo tipo de condiciones. Esto se presentaen la siguiente nota avanzada.

Nota avanzada: Unicidad de la solucion para conductores con cargajada

Para simplicar los argumentos consideraremos el caso de un soloconductor en el espacio, delimitado por una supercie S.

Sean V1(r) y V2(r) dos soluciones que verican las condiciones decarga q1 jada en el conductor, pero con V1(S) = V2(S). Se tendraentonces que

q1 = 0S

V1

ndS = 0

S

V2

ndS.

Construyamos la funcion = V1 V2, que cumpliraS

ndS = 0, (S) = V1(S) V2(S) = k, (S) = 0

(k constante). Teniendo en cuenta que S = S S podemos utilizarla primera identidad de Green y escribir

SS dS =

[2 + ||2

]d.

La integral de supercie se descompone en dos, una en el innito yotra sobre el conductor. En el innito = 0 y la integral es nula;sobre el conductor se tiene

S

dS = kS

ndS = 0.

Finalmente en la integral de volumen usamos que 2 = 0 y se llegaa que

||2d = 0.

Como el integrando nunca puede ser negativo se tiene || = 0. Elgradiente es nulo en todo punto y por tanto es una funcion constan-te. Como debe valer cero en el innito, se concluye que = 0 y lassoluciones V1 y V2 coinciden.

Lo anterior demuestra la unicidad de la solucion en el segundo ca-so (carga jada), en el supuesto de que no haya carga fuera de losconductores ( = 0).

Nota avanzada: Unicidad de la solucion con carga entre conductores

Es sencillo extender los resultados anteriores a una situacion concarga entre conductores. Basta construir la solucion del siguiente mo-do:

V (r) = (r) + V(r), V(r) =1

40

(r1)d1

|r r1|.

De esta forma la funcion verica la ecuacion de Laplace en y su

valor, aunque no constante, esta determinado en la supercie de los

conductores presentes (Si) = V (Si) V(Si) (o bien conocemos qi yesto da una condicion suciente). Los detalles se dejan como ejercicio.

Ejemplo:Entre dos electrodos planos y paralelos, de extension innita y separa-dos una distancia d se establece una diferencia de potencial V0. En laregion intermedia existe una densidad de carga uniforme 0. Halleseel potencial y el campo electrostaticos en la region entre electrodos.

z

n1

x

y

n2

z=0 z=d

V=0 V=V0

E(z)

S2S1

Establezcamos origen de coordenadas en el electrodo a menor poten-cial, que tomaremos como cero. Segun los ejes de la gura, tendremosV (z = 0) = 0 y V (z = d) = V0. Dado que los electrodos son innitosen las direcciones OX y OY , el potencial es funcion solo de z. El pro-blema electrostatico consiste en resolver la ecuacion de Poisson, queen este caso se reduce a

d2V

dz2= 0

0.

Las condiciones de contorno son las ya jadas sobre los electrodos.Integrando dos veces esta ecuacion obtenemos

V (z) = 00

z2

2+ C1z + C2,

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donde C1 y C2 son constantes de integracion que debemos determinara partir de las dos condiciones de contorno:

V (0) = C2 = 0; V (d) = 00

d2

2+ C1d = V0.

Resulta entonces

C1 =V0

d+0d

20y la expresion nal para el potencial es

V (z) = 020

(z2 zd) + V0zd

.

El campo electrico es E = V , o sea,

E = dVdz

uz =

[0

20(2z d) V0

d

]uz .

La densidad de carga sobre cada electrodo se calcula una vez conoci-do el campo a partir de la formula S = 0 E n. En z = 0 se tiene n1 =uz y E = (0d/(20) + V0/d)uz , por lo que S1 = 0d/2 0V0/d.En z = d tenemos n2 = uz y E = (0d/(20) V0/d)uz , con lo queS2 = 0d/2 + 0V0/d.Si 0 = 0 el campo es uniforme, con modulo E = V0/d, y dirigido

hacia los potenciales decrecientes; las densidades superciales de cargason iguales pero de signo opuesto.

Influencia y apantallamiento entre conductores

La presencia de un conductor cargado en las inmediacio-nes de otro conductor produce una redistribucion de cargasen la supercie de ambos. Esto es lo que se conoce como in-fluencia electrostatica. La redistribucion esta motivadapor la exigencia de que el campo en el interior del conduc-tor sea nulo. Al acercar el conductor cargado (conductor1 en la gura) este producira un campo en todo el espacioque debe ser neutralizado dentro de los conductores por elcampo producido por la nueva distribucion de cargas en elconductor 2.

1E=0 E

E=0

2

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

+

+++

+

+

+

+

Recprocamente, la carga sobre el conductor 1 tambien seredistribuye en el proceso, aun cuando el otro conductorestuviera descargado!. Piensese que aunque la carga netafuera cero, habra separacion de carga dando lugar a re-giones con densidad positiva y negativa respectivamente, locual produce un campo no nulo en el conductor 1, que pro-duce la separacion. Se trata pues de procesos acoplados queconducen a una distribucion nal con la cual los campos enel interior de ambos conductores son nulos.

Un caso particular importante se tiene cuando una piezaconductora hueca rodea a otro conductor, lo cual da lugara lo que se denomina apantallamiento.

S2ext

S2int

SG

S1

2

1q1

q2intq2ext

La pieza interior posee una carga q1 y la pieza hueca unacarga q2, que en general se distribuira en las dos super-cies cerradas que la delimitan, Sint2 y Sext2 . Podemos saberque carga se acumula en cada supercie utilizando la leyde Gauss en forma integral aplicada sobre una superciegaussiana SG interior al conductor 2 que englobe a Sint2 (vergura). El calculo da

SG

E dS = qint0

0 = q1 + qint2

0,

puesto que en los puntos donde se evalua el campo este esnulo, y por otra parte la carga encerrada por SG es la delconductor 1 y la almacenada en la supercie interior del con-ductor 2. La conclusion es que qint2 = q1. En la supercieexterior a 2 se deposita el resto de la carga suministrada aeste conductor.

Otra caracterstica propia del apantallamiento es que to-das las lneas de campo van de una supercie a la otra, esdecir, de S1 a Sint2 o viceversa. En efecto, en ausencia de car-ga volumetrica en la region intermedia, E es solenoidal y nohay fuentes ni sumideros de lneas de campo. Tampoco esposible que una lnea nazca y muera en la misma supercie,puesto que ello implicara una diferencia de potencial entredos puntos de un conductor en equilibrio electrostatico. Launica opcion es la propuesta.

Finalmente establezcamos, en relacion a una situacion deapantallamiento, que un conductor hueco divide el espacioen dos regiones libres de influencia mutua. Estas son elhueco y el espacio exterior a dicha pieza. En efecto, si elpotencial de la pieza hueca se ja al valor V2, para el huecose establece un problema de potencial con solucion unica:

2V = 0, V (Sint2 ) = V2, V (S1) = cte. q(S1) = q1Llamemos V (r) a la solucion de este problema. Un cambioque tenga lugar en el exterior modicara el valor de V2, quepasara a ser V2 + k, con k cierta constante. Si proponemosV (r) + k como nueva solucion para el potencial interior, lanueva condicion en la frontera Sint2 se satisface y de ma-nera trivial se encuentra la carga correcta en el conductorinterior:

q(S1) = 0S1

(V + k)n

dS = q1.

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Se trata pues de la solucion buscada, que solo se ha vistomodicada en una constante, lo cual es intrascendente: ni elcampo ni las distribuciones de carga en el interior cambian.

Con respecto al problema exterior, ni siquiera el valor delpotencial se modica cuando tiene lugar un cambio en elhueco (que no involucre por supuesto un aporte de cargadesde el exterior). El problema exterior esta perfectamentedeterminado porque la carga sobre su frontera no vara.

Ejemplo:Consideremos una esfera conductora A de radio a y carga total qA,rodeada de otra esfera hueca B de radios interior y exterior b y c res-pectivamente, concentrica con la primera, con carga total qB. (a) Siconectamos la esfera hueca a tierra, como se redistribuye la carga delsistema?. (b) Y si en lugar de esto conectamos su supercie interiora la esfera interior?.

A B

a

b

c

qA

q =q +qB int ext

qext

qint

Tenemos dos regiones libres de inuencia mutua, separadas por laesfera hueca. El primer proceso afecta a la region exterior, mientrasque el segundo afecta al interior. Comenzamos describiendo la distri-bucion de carga y potencial iniciales.

La simetra esferica nos asegura una distribucion uniforme de lacarga depositada en cada una de las tres supercies. La carga qB sereparte entre las supercies interior (r = b) y exterior (r = c) en laforma qint = qA (por haber inuencia total o apantallamiento delconductor interior) y qext = qB+qA respectivamente. Aplicando la leyde Gauss en forma integral encontramos el valor del campo electricopara las distintas regiones, a saber, E = E(r)ur , con

E(r) =

qA

40r2(a < r < b)

qA + qB

40r2(r > c),

y nulo en ambos conductores. Usando la relacion V (r) = r

E drse tiene a su vez

V (r) =qA + qB

40r

para r > c. En b < r < c (dentro del conductor exterior) el potencialse mantiene constante,

VB =qA + qB

40c,

y en el hueco aplicamos

V (r)VB = rb

qA

40r2dr V (r) = qA

40

(1

r 1

b

)+qA + qB

40c.

A partir de r = a el potencial queda nuevamente constante y vale

VA =qA

40

(1

a 1

b+

1

c

)+

qB

40c.

(a) Conexion del conductor B a tierra.

En el proximo apartado se explicara con mas detalle que se entiendepor conexion a tierra. Por el momento nos basta saber que en esascondiciones el conductor ja su potencial a cero.

A B

a

b

c

qA

q =0ext

=-qint=qA

V =0B

Hacer que el potencial de un conductor sea cero no implica necesa-riamente que su carga sea nula. En nuestro caso podemos justicarque solo la carga de la supercie exterior se escapa a traves de la cone-xion a tierra. En efecto, como no hay otras cargas en la region r > c,el problema de potencial en dicha region consiste en resolver la ecua-cion de Laplace con condiciones de potencial nulo en toda la frontera(supercie r = c y supercie en el innito). Es claro que la solucionV (r) = 0 satisface la ecuacion y todas las condiciones de contorno, ypor unicidad establecemos que es la solucion buscada. Por otra partela densidad supercial de carga es S = 0En = 0dV/dr = 0, con locual la carga total tras la conexion a tierra es qext =

SdS = 0. La

carga sobre la supercie interior no se modica puesto que para anularel campo en el conductor exterior debe seguir siendo qA. El campoen el hueco tampoco cambia, aunque s el potencial, en una constanteaditiva:

V (r) =qA

40

(1

r 1

b

).

El nuevo potencial del conductor interior es

V A =qA

40

(1

a 1

b

).

(b) Conexion del conductor A al conductor B.

A B

a

b

c

q =0A

q =q +qext A B

=qint

Ahora en el problema interior debemos satisfacer la ecuacion deLaplace sujeta a las condiciones V A = V

B . La solucion constante,

V (r) = V B , es admisible e implica que no hay carga depositada enlas supercies localizadas en r = a y r = b (por el mismo calculo quese vio en el apartado anterior). Sin embargo esta redistribucion decarga en el hueco, consistente en la anulacion mutua, no afecta al pro-blema exterior, que mantiene la misma distribucion de carga, campoy potencial:

qext = qA + qB; V(r) =

qA + qB

40r(r > c),

y por tanto

V B =qA + qB

40c.

Coeficientes de capacidad

En lo que sigue nos centraremos en el estudio de un siste-ma de n conductores situados en una region libre de cargaen volumen ( = 0). Cada conductor recibe una carga qi,

60

de resultas de lo cual adquieren potenciales Vi. Hemos vis-to anteriormente que es equivalente plantear el problemaelectrostatico con cargas o con potenciales jados. Por co-modidad vamos a suponer conocidos los potenciales de cadaconductor.

El objetivo de este apartado es demostrar que existe li-nealidad entre cargas y potenciales en el sistema de nconductores, as como caracterizar los coecientes que liganunas y otros.

El caso mas simple es el de una esfera conductora de ra-dio R y con carga q, sin otro conductor en su cercana. Porsimetra la carga se distribuye uniformemente en la super-cie, dando lugar a un campo tambien con simetra radial,E = E(r)ur, que ya se determino en el tema 3. La relacionentre la carga y el potencial del conductor esferico es

V = V (r = R) =q

40R.

En esta situacion que puede ser resuelta explcitamente seobserva proporcionalidad entre q y V . La razon entre ambasse conoce como coeficiente de capacidad de la esferaaislada y vale C = q/VS = 40R. En el Sistema Interna-cional la capacidad se mide en faradios (F), equivalente acoulombio/voltio.

Es interesante aqu hacer notar que una esfera conductorade radio muy grande posee una gran capacidad; si ademasposee una carga no excesiva tendra un potencial casi nulo.Si conectamos un cuerpo conductor de menores dimensio-nes, mediante un hilo delgado, a la esfera de gran radio, ysituada a gran distancia, estaremos jando el potencial delconductor practicamente a cero, puesto que cualquier ujode carga entre ambos no va a cambiar apreciablemente elpotencial de la gran esfera. Este proceso es lo que se co-noce como conexion a tierra. En la practica cualquierconductor de grandes dimensiones en comparacion con lasdel objeto que queremos poner a potencial nulo puede hacerde tierra.

Siguiendo con la discusion sobre la relacion carga-potencial en conductores, el problema se complica si la pie-za tiene forma arbitraria, con supercie S. Aunque no seconozca la solucion explcita, podemos demostrar la propor-cionalidad entre carga y potencial del siguiente modo: su-pongamos que hemos resuelto el problema cuando la piezaesta a potencial VS = 1 V. Esta solucion puede escribirse

(r) =1

40

S

S(r1)dS|r r1| ,

con S(r1) la distribucion supercial de carga sobre el con-ductor. La carga total sera

q0 =S

S(r1)dS = 0

ndS.

Si en lugar de un voltio el potencial es V veces mayor pode-mos proponer una solucion construida en base a la anterior,V (r) = V (r), que evidentemente satisface tambien la ecua-cion de Laplace y cumple la nueva condicion impuesta para

el potencial en la supercie conductora. La carga sera ahora

q = 0

V

ndS = V 0

ndS = V q0.

Por tanto carga y potencial se ven multiplicados por el mis-mo factor: son proporcionales.

La demostracion anterior es extensible al caso general den conductores de supercies Si a potenciales Vi. Construi-mos las n funciones auxiliares i(r) denidas en la regionexterior a los conductores, donde verican la ecuacion deLaplace, y que se caracterizan por satisfacer distintas con-diciones de contorno sobre los conductores. Estas condicio-nes son las de potencial nulo sobre todos los conductoresexcepto el iesimo, donde vale la unidad:

2i = 0, i(Sj) = ij .Es claro que la combinacion lineal

V (r) =nj=1

Vjj(r)

satisface todas las condiciones de nuestro problema original,puesto que verica la ecuacion de Laplace y adquiere el valorVi prescrito sobre Si. La carga total del conductor iesimose puede obtener conocidas las n funciones auxiliares:

qi = 0Si

V

ndS = 0

Si

nj=1

Vjjn

dS =nj=1

Vjcij ,

donde hemos denido los llamados coeficientes de capa-cidad del sistema mediante la expresion

cij = 0Si

jn

dS.

Con esto queda demostrada la linealidad entre cargas y po-tenciales denidos sobre los conductores. En forma matri-cial se puede escribir

q1q2 qn

=

c11 c12 c1nc21 c22 c2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .cn1 cn2 cnn

V1V2 Vn

,

o, en notacion mas compacta, q = CV , donde q =(q1, q2, . . . , qn), V = (V1, V2, . . . , Vn) y la matriz, C de di-mension nn construida con los coecientes cij se la deno-mina matriz de capacidad del sistema.

Cada coeciente cij tiene un signicado fsico claro: setrata de la carga en coulombios que adquiere el conductoriesimo cuando todos los conductores se ponen a tierra ex-cepto el jesimo, que se pone a un voltio. Sin embargo,a pesar de esta interpretacion, debe quedarnos claro que setrata de magnitudes puramente geometricas, puesto que suvalor queda totalmente determinado por la forma y disposi-cion espacial de los n conductores. Tambien conviene notarque en el calculo de cij no solo intervienen los conductorescorrespondientes a esos dos subndices, sino todos, a travesde la funcion j .

61

Los potenciales pueden ser calculados, conocidas las car-gas de cada conductor, usando la relacion inversa V =C1q. Los elementos de la matriz inversa se denominancoeficientes de potencial y se simbolizan por pij .

Demostramos que los coecientes de la matriz de capaci-dad son simetricos. Para ello nos servimos de la segundaidentidad de Green en la que los dos campos escalares queintervienen son dos de las funciones auxiliares genericas quehemos estado manejando, i(r) y j(r), denidas en la re-gion exterior a los conductores, y cuya frontera la cons-tituyen las supercies de los n conductores, Sk (normalentrante en el conductor), y una supercie denida en elinnito, S. Con todo esto escribimosS

(ij j i

)dS =

(i2j j2i

)d = 0,

donde hemos usado que ambas funciones satisfacen la ecua-cion de Laplace. Segun se ha dicho, la frontera se desglosaen S = S (S1) (S2) . . . (Sn). En el innitoel integrando tiende asintoticamente a cero y por tanto laecuacion anterior equivale a

nk=1

Sk

(i j j i

) dS = 0.

En el integrando evaluamos el potencial i en la supercieSk, pero este valor es cero salvo cuando k = i, que valela unidad, y algo analogo ocurre con la funcion j . Delsumatorio solo sobreviven dos terminos,

Si

j dS Sj

i dS = 0.

En estos terminos podemos identicar, salvo una constan-te multiplicativa, los coecientes cij y cji, que resultan seriguales.

Otra propiedad facilmente demostrable es que cii > 0 pa-ra todo valor del ndice i. La idea es que estos coecientesrepresentan la carga de uno de los conductores cuando estaa potencial unidad y el resto a tierra. Teniendo en cuentaque el campo electrico va en direccion a los potenciales de-crecientes y que las funciones armonicas no poseen maximossalvo en la frontera, las lneas de campo deben ser salientesdel conductor a potencial unidad. Esto implica una car-ga neta positiva y con ello queda determinado el signo delcoeciente cii.

Ejemplo:Dos esferas conductoras de igual radio, R, separados sus centros unadistancia D adquieren cargas q10 y q20 respectivamente cuando la pri-mera se conecta a un potencial V0 y la otra a tierra. Que cargasadquieren cuando se conectan a potenciales V1 y V2?

Se trata de un sistema de dos conductores en el que la relacion entrecargas y potenciales es

q1 = C11V1 + C12V2

q2 = C12V1 + C11V2,

donde hemos tenido en cuenta que ambas esferas son iguales para sus-tituir C22 por C11 en la formula general.

A partir de los datos iniciales tenemos que q10 = C11V0 y q20 =C12V0, con lo que los coecientes C11 y C12 quedan determinados.Cualquier otra electricacion de las dos esferas queda completamentedeterminada; en particular para potenciales jados V1 y V2 las cargasresultan

q1 = (q10V1 + q20V2)/V0; q2 = (q20V1 + q10V2)/V0.

Concepto de condensador

En los circuitos de corriente electrica se utiliza como unode los elementos basicos el condensador, que se caracterizapor su capacidad de almacenar carga de signo opuesto endos electrodos enfrentados, o visto de otro modo, de alma-cenar energa electrica. Para entender el dispositivo y daruna denicion precisa del concepto de condensador vamosa estudiar una conguracion particular dentro de los siste-mas de conductores, formada por tres piezas, una de ellascontenida en otra hueca (ver gura).

2q1

V1 V2V3

q2

q33

1

Hemos elegido esta conguracion porque es a la vez simpley con suciente riqueza topologica para ilustrar las propie-dades de apantallamiento que requiere un condensador.

La linealidad entre cargas y potenciales se escribe ex-plcitamente en nuestro caso

q1 = c11V1 + c12V2 + c13V3,q2 = c12V1 + c22V2 + c23V3,q3 = c13V1 + c23V2 + c33V3.

Si consideramos en particular la situacion V2 = V3 = 0y V1 = 0 se tiene un problema interior no trivial, con elconductor 1 cargado con carga q1 = c11V1, pero un pro-blema exterior muy simple. En efecto todas las condicionesse satisfacen si proponemos la solucion V (r) = 0 en todo elespacio salvo en el hueco. Las consecuencias son:

(i) q3 = 0. En efecto, sobre este conductor el campo es cero,su derivada normal tambien, la densidad supercial tambieny, por ultimo, la integral de esta distribucion extendida atoda la supercie.

(ii) qext2 = 0. El argumento es totalmente analogo.

(iii) q2 = q1. Al haber inuencia total entre la supercieinterior del conductor 2 y la supercie del conductor 1 sededuce como vimos qint2 = q1, pero esta es toda la cargaque tiene el conductor 2.

Trasladando estos resultados al sistema de tres ecuacio-nes se deduce que q3 = c13V1 = 0 c13 = 0 y queq1 = c11V1 = q2 = c12V1 c11 = c12. Estas relaciones

62

entre coecientes constituyen la formulacion matematica delapantallamiento del conductor 1 con el exterior y su inuen-cia total con la supercie del 2. Para potenciales arbitrariosen los tres conductores sabemos ahora que la carga q1 essiempre

q1 = c11(V1 V2),es decir, dependiente exclusivamente de la diferencia de po-tencial entre los conductores 1 y 2.

Un condensador se dene como dos superficies conduc-toras en influencia total, y que por tanto almacenan cargasopuestas cuyo valor es proporcional a la diferencia de po-tencial entre ambas, independientemente del estado de cargadel resto del sistema del que formen parte. A la constan-te de proporcionalidad entre carga y d.d.p. se la denominacapacidad del condensador:

C =q

V

Ejemplos:Rigurosamente hablando, solo con un conductor hueco dentro del cualcolocamos otro conductor podemos construir un condensador; sin em-bargo existen situaciones que se aproximan bastante a las condicionesde inuencia total/apantallamiento que se requieren. Analicemos lasgeometras mas sencillas.

plano cilndrico esfrico

i) Condensador plano: Esta formado por dos placas planas con-ductoras de area S, paralelas entre s, enfrentadas y separadas unadistancia d. Si la separacion es pequena respecto de la menor distan-cia que podemos denir en las placas el campo resulta ser uniforme enla mayor parte de la region entre placas y nulo en el exterior. Existeuna zona de inhomogeneidad del campo en la cercana de los bordes,en la que se produce la transicion a un campo nulo (efectos de bor-de). El calculo de la capacidad del condensador plano es sencilla siconsideramos la aproximacion de placas innitas. Entonces la cargase distribuye uniformemente sobre los dos electrodos. Por otra partela superposicion de los campos producidos por dos planos cargadosuniforme y opuestamente origina un campo uniforme E = V/d entreambos y nulo en el exterior, que estara relacionado con la densidadde carga segun la formula n E = E = S/0. Teniendo en cuentaque, por ser una distribucion uniforme de carga, q = SS, se obtieneC = 0S/d.

ii) Condensador cilndrico: Esta formado por dos supercies con-ductoras cilndricas concentricas de radios a y b, y longitud L. Des-preciando efectos de borde, la carga se distribuye uniformemente enambas supercies. Usando la ley de Gauss en forma integral con unasupercie cilndrica de radio a < r < b se obtiene el campo dentro delcondensador, que es radial y de modulo E = q/(20r), segun se vioen un ejemplo en el tema anterior. Integrando este campo entre a y bobtenemos la relacion entre la carga total y la diferencia de potencial,lo cual conduce a una capacidad C = 20L/ ln(b/a). La condicionque debemos imponer para que los efectos de borde sean despreciables

es b a

ecuacion anterior resulta

1Ceq

=ni=1

1Cn

.

(ii) Conexion en paralelo: todos los condensadores seconectan entre dos puntos comunes a distintos potencialesVA y VB (ver gura). Ahora la carga que el conjunto puedeintercambiar con el exterior es la suma de cargas de los elec-trodos conectados a un mismo punto: q = q1+ q2+ . . .+ qn.La diferencia de potencial es VAB = VA VB para cadacondensador, por lo que

VAB =q1C1

=q2C2

= . . . =qnCn

=q1 + q2 + . . .+ qnC1 + C2 + . . .+ Cn

=q

Ceq

y por tanto

Ceq =ni=1

Cn.

(iii) Otras conexiones: En muchas ocasiones podemosidenticar en una asociacion de condensadores subgruposconectados en serie o en paralelo, que pueden ser sustitui-dos por condensadores equivalentes segun las formulas en-contradas. En otras, la asociacion es irreducible, como enel ejemplo siguiente.

Ejemplo:Obtengase la capacidad del condensador equivalente al de la gura,conocidas las capacidades C1, C2, . . . , C5.

C1

C2

C3

C4

C5

q1

q2

q5

q3

q4

V0

Esta asociacion no puede ser clasicada como serie o paralelo. Debe-mos obtener las cargas q1, q2, . . . , q5 sobre los condensadores, deni-das como aquellas situadas en los electrodos que se indican en la gura,una vez que conectamos el sistema a un generador que suministra unatension V0.

Partiendo de que (i) la carga total de conductores aislados internosal sistema (tales como los conjuntos de armaduras conectadas a lospuntos M y N de la gura) es nula, y (ii) la suma de cadas de poten-cial de condensadores encontrados en cualquier circuito debe ser nula,obtenemos las ecuaciones que permiten obtener las cargas. El sistemalineal resultante es

q1/C1 + q3/C3 = V0

q1/C1 q2/C2 + q5/C5 = 0q3/C3 q4/C4 q5/C5 = 0

q1 + q3 + q5 = 0q2 q5 + q4 = 0.

Como la carga que se intercambia con el resto del circuito es la sumaq1 + q2, la capacidad equivalente es C = (q1 + q2)/V0. La resoluciondel sistema da nalmente

C =(C1 + C2)(C3C4 + C4C5 + C3C5) + C1C2(C3 + C4)

C3C4 + C4C5 + C3C5 + C2(C3 + C5) + C1(C2 + C4 + C5).

Energa y fuerzas sobre conductores en equilibrio

Para un conjunto de n conductores en equilibrio elec-trostatico las formulas de energa electrostatica se particula-rizan y simplican debido al caracter equipotencial de cadapieza. Al tratarse de distribuciones superciales de carga setiene

Ue =12

ni=1

Si

V SdS =12

ni=1

Vi

Si

SdS =12

ni=1

Viqi.

Teniendo en cuenta los conceptos de coecientes de capaci-dad y de potencial obtenemos tres expresiones alternativas:

Ue =12

ni=1

Viqi =12

ni=1

nj=1

cijViVj =12

ni=1

nj=1

pijqiqj .

En el caso de un condensador, formado por dos electrodoscon cargas opuestas, la primera forma encontrada nos da

Ue =12(q1V1 + q2V2) =

12q1(V1 V2),

y usando el concepto de capacidad se obtienen nuevamentetres expresiones alternativas:

Ue =12qV =

q2

2C=

12C(V )2

siendo q la carga del electrodo positivo y V la diferenciade potencial entre el electrodo positivo y el negativo.

Podemos encontrar la fuerza que se realiza sobre una par-te movil del sistema de n conductores a partir de la energaelectrostatica utilizando el principio de los trabajos vir-tuales. El punto de partida es un balance de energa encualquier proceso, dado por el teorema de la energacinetica, que establece que la variacion de energa cinetica,T es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas sobreel sistema, que en nuestro caso pueden ser: (i) fuerzas elec-trostaticas de las cargas presentes en el sistema, (ii) fuerzasrealizadas por generadores para mantener piezas conducto-ras a potencial constante (lo cual implica bombeo de car-ga al sistema), y (iii) fuerzas de otro origen, tpicamentemecanicas, tales como ligaduras para jar piezas, etc.:

T = We +Wg +Wm,

donde los subndices se reeren a trabajo electrico, de ge-neradores y mecanico respectivamente, tal y como se acabade discutir. El trabajo de las fuerzas electricas es conser-vativo, por lo que existe una energa potencial que no esotra que la energa electrostatica del sistema, que cumple

64

We = Ue. El trabajo de los generadores, si existe, secalcula a partir de la interpretacion energetica de potencial,de manera que si la carga del conductor i-esimo se incremen-ta en qi en el proceso, el trabajo del generador conectado,con potencial Vi, sera simplemente Wg,i = qiVi. Final-mente, el trabajo realizado por eventuales fuerzas mecanicaso de otro tipo debe ser calculado a partir de la situacionconcreta que se estudie; si las fuerzas son conservativas po-dremos igualmente denir una energa potencial Um, tal queWm = Um.Si en una situacion de equilibrio consideramos un proceso

virtual caracterizado por un desplazamiento x de una coor-denada susceptible de ser variada en el sistema (la distanciaentre placas en un condensador plano, por ejemplo) se ten-dra que la variacion en la energa cinetica es nulo, T = 0.Por otra parte las fuerzas electrostatica y de otro tipo quemantienen la pieza en reposo cumpliran Fe + Fm = 0. Dis-tinguimos dos posibles procesos que permiten calcular lafuerza electrostatica sobre la pieza desplazada: i) proceso acarga constante, y ii) proceso a potencial constante.

i) Proceso a carga constante: Las piezas conductorasestan aisladas y no hay trabajo de generadores: Wg = 0.Del balance de energa se deduce, teniendo en cuenta queWm = Fmxx = Fexx,

T = 0 = Ue + 0 Fexx.

Por tanto,

Fex = Uex

qi

es decir, que podemos obtener la fuerza en la direccionde variacion de la coordenada x derivando la energa elec-trostatica, expresada en funcion de la cargas constantes delos conductores, respecto de dicha coordenada, y cambiandoel signo.

ii) Proceso a potencial constante: Las piezas conducto-ras estan conectadas a generadores que mantienen el poten-cial jado a ciertos valores Vi; el trabajo de los generadoressera

Wg =ni=1

Viqi.

Pero esta es dos veces la variacion de la energa elec-trostatica, 12

ni=1 Viqi, cuando los potenciales estan jados,

por lo que, de manera general en estos procesos, se puededecir que Wg = 2Ue. Del balance de energa se deduceahora

T = 0 = Ue + 2Ue Fexx.Por tanto,

Fex =Uex

Vi

donde ahora la energa debe expresarse en funcion de lospotenciales y el signo no se cambia.

Cualquiera de las dos formulas proporciona la fuerza elec-trostatica en el equilibrio. Es posible obtener otras expresio-nes usando procesos mixtos, en los que parte de los conduc-tores estan aislados (con carga constante) y los restantesestan conectados a generadores (con potencial constante);para estos procesos ya no es cierto en general que el traba-jo de los generadores sea doble que la variacion de energaelectrostatica del sistema.

La coordenada x debe entenderse como coordenada ge-neralizada, y por tanto puede tratarse de una longitud,de un angulo o cualquier otra magnitud fsica. Si se tratade un angulo, la correspondiente fuerza generalizada quese obtiene de las formulas anteriores es la componente delmomento de las fuerzas electricas en la direccion del eje degiro denido por la coordenada angular.

Ejemplo:Hallese la fuerza que se ejercen mutuamente las armaduras de un con-densador plano, as como la evolucion temporal de la distancia entreambas, para (i) un proceso a carga constante; (ii) un proceso a poten-cial constante.

(i) Proceso a carga constante. Supongamos que las armaduras tienenun area S, masam y una separacion x que variara con el tiempo debidoexclusivamente a las fuerzas electricas. La capacidad es C(x) = 0S/x.Si la carga esta jada a un valor q0, la energa del condensador es

UE =q202C

=q20x

20S,

y la fuerza electrica entre armaduras

Fx = dUEdx

= q20

20S.

Se trata logicamente de una fuerza atractiva, puesto que las placasestan cargadas opuestamente.

La evolucion temporal de la posicion, x(t), suponiendo que en t = 0se parte del reposo a una distancia x0, es simplemente m(d2x/dt2) =Fx, y por ser constante la fuerza el movimiento hasta el choque entrearmaduras es uniformemente acelerado:

x(t) = x0 q20t

2

40S.

(ii) Proceso a potencial constante. Ahora la diferencia de potencialentre armaduras se ja en el valor V0. La energa del condensador es

UE =1

2CV 20 =

0SV 202x

,

y la fuerza electrica entre armaduras

Fx =dUE

dx= 0SV

20

2x2.

La fuerza vara con la distancia entre armaduras, aumentando confor-me ambas se acercan debido a que la carga aumenta. Para la situacioninicial, si q0 = C(x0)V0, la fuerza electrica coincide con el calculo re-alizado en el apartado anterior.

La evolucion temporal se obtiene integrando la ecuacion de movi-miento

d2x

dt2=

Fx(x)

m= A

x2, con A =

0SV 202m

.

Multiplicando ambos miembros por x = dx/dt obtenemos una integralprimera del movimiento:

xx =1

2

d

dt(x2) = Ax

x2= A

d

dt

(1

x

),

es decir, x2/2 A/x = B (= const). El valor de B se obtiene im-poniendo que en t = 0 es x = x0 y x = 0, con lo cual B = A/x0.Debemos integrar otra vez para hallar la evolucion temporal:

dx

dt=2A

1

x0 1x

2A

xx0

dx1/x 1/x0

= t.

65

Esta integral no es inmediata pero puede ser consultada en tablas. Elhecho importante es que la evolucion a potencial constante es distintade la evolucion a carga constante.

Presion electrostatica

Sobre la supercie de un conductor se localiza en generaluna distribucion de carga S(r) y se produce una transicionen el valor del campo electrico, que va de cero en el interiora E(r) = nS(r)/0 en el exterior, en un punto innita-mente proximo a la supercie. Como consecuencia apareceuna fuerza normal en cada punto de esta supercie, que po-dremos evaluar usando un campo medio denido sobre ladistribucion, E = nS(r)/(20). Como la carga en un dSsituado en r es dq = S(r)dS, la fuerza sera el producto delcampo medio por la carga. Se dene por tanto la presionelectrostatica ejercida en cada punto, pE = dFe/dS, porlas formulas

pe =2S20

=120E

2

donde se presenta alternativamente en funcion de la densi-dad de carga o del campo en el exterior del conductor.

Ejemplo:

Una esfera conductora de radio R con carga q se divide en dos porsu plano ecuatorial. Cual es el comportamiento de cada uno de loshemisferios resultantes?

La carga que antes del corte se reparte uniformemente por la super-cie no se modica tras el corte, siempre y cuando permanezcan juntas.Logicamente habra una fuerza de repulsion entre ambos hemisferios,puesto que tienen carga de igual signo. Podemos calcular la fuerza quese ejercen mutuamente a partir del concepto de presion electrostatica.La densidad supercial es S = q/(4R

2) y la presion electrostatica

pE =q2

3202R4.

Sobre cada elemento de supercie se ejerce una fuerza normal dF =pEndS, que debemos integrar sobre un hemisferio. Aqu es dS =R2sen d d. Sin embargo la fuerza resultante esta dirigida segun eleje OZ, por lo que

F = Fz = F uz =

dS pEn uz = 2

0

d

0

q2R2sen cos d

3202R4.

El resultado es

F =q2

320R2

Hay que insistir en que cuando los hemisferios se separan la distribu-

cion de carga deja de ser uniforme y el calculo deja de ser valido; la

fuerza encontrada corresponde a un valor inicial del proceso.

5.4 Metodos de resolucion de problemas depotencial

Existen muchas tecnicas de resolucion para el problema depotencial. De ellas nos centraremos en dos: el metodode las imagenes, que permite resolver de forma muy sim-ple un numero restringido de problemas, caracterizados por

tener alta simetra, y elmetodo de separacion de varia-bles, que tambien requiere la existencia de simetra en lageometra del problema pero tiene un mayor rango de apli-cabilidad. Otros metodos importantes son el de la funcionde Green, bastante potente, el de transformacion confor-me para problemas bidimensionales, y nalmente una seriede metodos numericos, tales como el de diferencias nitas,elementos nitos y elementos de contorno.

Metodo de las imagenes

Consideremos un conjunto de n conductores sujetos a con-diciones de potenciales Vi o cargas qi conocidos en cadapieza. Las distribuciones reales de carga son superciales,S(r), denidas en las supercies conductoras Si. Se esta-blece una distribucion de potencial en el espacio, tal que suvalor en cada pieza es constante:

V (r) =1

40

ni=1

Si

S(r1)dS1|r r1| , V (ri) = ki,

donde ri Si y ki es un valor constante, conocido (Vi) odesconocido pero determinable por la condicion de cargadada, qi. Si sustituimos las distribuciones reales por otrascticias, (r), en las regiones interiores a los conductores,i, de forma que los potenciales generados en las superciesconductoras coincidan con los del problema real, podemosdecir, por la unicidad del problema de potencial, que la so-lucion del problema es tambien

V (r) =1

40

ni=1

i

(r1)d1|r r1| ,

aunque la nueva solucion no es valida en el interior de losconductores (cosa que no debe preocupar puesto que no esla region que nos interesa). El metodo resulta util cuan-do i) es posible encontrar por procedimientos elementalesla distribucion de carga cticia, llamada carga imagen, yii) su integracion es facil. No siempre existe una distribu-cion adecuada al problema, por lo que no se trata de unmetodo sistematico, sino basado en la experiencia y la in-tuicion fsica.

Ejemplo:Hallese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntualenfrentada a un plano conductor innito a masa.

qq'

d d

x

z

Este es un ejemplo basico y obligado, dada su importancia. Sea d ladistancia plano-carga. Es evidente que si colocamos una carga q enuna posicion simetrica respecto del plano, es decir, a una distancia ddetras de este, segun la recta normal que pasa por la carga q, la suma

66

de los potenciales creados por la carga real y la carga imagen sera ceroen el plano conductor, que es la condicion que debemos cumplir. Elproblema original es de difcil solucion, puesto que la carga induce enel plano una distribucion supercial no conocida a priori. Esta dis-tribucion es facil de calcular ahora mediante la formula S = 0En,puesto que conocemos V y En = n V .En denitiva, tomando un sistema de referencia como en la gura,

el potencial pedido es V = 0 para x < 0 y para x > 0 tenemos

V (x, y, z) =q

40

[1

(x d)2 + y2 + z2 1

(x+ d)2 + y2 + z2

].

Ejemplo:Hallese el potencial creado en todo el espacio por una carga puntualq enfrentada a una esfera conductora a tierra de radio R, siendo d ladistancia desde su centro a la carga.

q

x

Rq'

d

z

Suponemos para comenzar que la esfera esta a potencial cero. Puedecomprobarse que un sistema formado por dos cargas de signo opuesto,q1 y q2, con q1 y q2 cantidades positivas, poseen una supercie apotencial cero con forma esferica (demuestrese). Con esa informacionproponemos que dentro de la esfera conductora, en algun punto deleje de simetra del sistema, se coloque una carga imagen q a distanciax del centro de la esfera, que haga que la supercie de la esfera tengapotencial cero. En particular esta condicion se aplica a los puntos decorte de la esfera y el eje de simetra, dando un par de condiciones quedeterminan los valores de q y x:

VA = 0 =q

40(d R)+

q

40(R x),

VB = 0 =q

40(d+ R)+

q

40(R + x).

Por tanto, despejando en ambas q/q se tiene

q

q=

R xd R =

R+ x

d+ R=

R

d=

x

R,

donde las dos ultimas igualdades surgen de aplicar la propiedad trivial

a

b=

c

d=

a cb d .

De aqu se obtiene denitivamente

q = qRd, x = R

R

d,

con lo que la carga imagen es opuesta a la original y menor en valor ab-soluto en un factor R/d, y esta situada dentro de la esfera (x < R). Lasolucion puede ser escrita, respecto del centro de la esfera y tomandoeje OZ como aquel que pasa por la carga,

V (r) =q

40

[1

|r duz | R/d|r (R2/d)uz |

].

Existen dos propiedades importantes acerca de las cargasimagen:

1) La carga total sobre una pieza conductora es igual a lacarga imagen total que contiene. La demostracion consis-te simplemente en darnos cuenta de que la carga real y lacarga imagen encerrada por la supercie del conductor es,por la ley de Gauss en forma integral, 0 por el ujo del

campo electrico en dicha supercie; pero el campo creadopor ambas distribuciones es el mismo en la region exterior,y el ujo tambien.

2) La fuerza sobre una pieza conductora es igual a la fuer-za sobre las cargas imagen que contiene. La demostracionde esta propiedad es algo mas elaborada, pero se basa enla misma idea de expresar la fuerza en funcion del campoevaluado en el exterior del conductor. La ofrecemos comonota avanzada.

Nota avanzada: Demostracion de la segunda propiedad.

La fuerza sobre la distribucion de carga imagen interior al conductori-esimo es

F =

i

Ed = 0

i

( E)Ed,

donde se ha usado la ley de Gauss para eliminar . El campo es elproducido en el interior por las cargas reales no sustituidas (es decir,no localizadas en las supercies de los conductores) y por las cargasimagen del sistema. A partir del desarrollo visto en el primer captulopara la divergencia de un producto diadico se deduce que

(E E) = E( E) + ( E )E.Por otra parte

(E E) = 2 E ( E) + 2( E )E,y como el campo es irrotacional obtenemos

E( E) = (E E) 12(E E),

Usando el teorema de la divergencia para diadas y el teorema del gra-diente conseguimos expresar la integral de volumen original en unaintegral de supercie:

F = 0

Si

[E E n E

2

2n

]dS.

(Por cierto, esta forma de expresar la fuerza sobre todas las cargas con-tenidas en un volumen dado, consistente en una integral de supercieT ndS de una magnitud tensorial, T = 0 E E 0 E22 I, con I el

tensor unidad, es un resultado general, y aplicable por tanto a muchasotras situaciones. Al tensor T se le denomina tensor de Maxwell.)Dado que en la supercie del conductor el campo se puede escribir

E = En, ambos terminos dentro del corchete se pueden agrupar paradar nalmente

F =0

2

Si

E2ndS.

Pero esto no es otra cosa que la fuerza en funcion de los campos exter-nos a la pieza, calculada mediante el concepto de presion electrostatica.Se demuestra as que ambos calculos coinciden.

Metodo de separacion de variables

El metodo de separacion de variables busca la solucion al problemade potencial dado por la ecuacion de Laplace junto con condicionesde contorno apropiadas, mediante la formulacion de soluciones gene-rales en forma de combinacion lineal de productos de funciones de unasola variable. Estas soluciones generales incluyen un numero inni-to de constantes de integracion que se encuentran una vez aplicadassistematicamente las condiciones de contorno.

Para exponer el metodo consideraremos primero la ecuacion de La-place en coordenadas cartesianas:

2V

x2+2V

y2+2V

z2= 0.

67

Proponemos una solucion basica factorizada V (x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z). El apelativo separacion de variables proviene ob-viamente de que la dependencia con las tres variables se tiene a travesde funciones de cada una de ellas por separado. Sustituyendo estadependencia en la ecuacion y dividiendo por X(x)Y (y)Z(z) resulta

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+

1

Z

d2Z

dz2= 0,

que tiene una estructura del tipo f(x) + g(y) + h(z) = 0. Esta ecua-cion solo tiene solucion si las funciones f , g y h son constantes , y respectivamente, que cumpliran + + = 0. Las tres ecuacio-nes resultantes son analogas. Como ejemplo tenemos para la funcionX(x),

1

X

d2X

dx2= d

2X

dx2 X = 0,

que tiene como solucion general

X(x) = Aex + Be

x

donde A y B son constantes de integracion, que dependen del valorconsiderado de , tambien por deteminar. Si realizamos un analisis si-milar con Y (y) y Z(z) llegaremos al mismo tipo de soluciones que paraX(x). La solucion mas general a la ecuacion de Laplace se obtendramediante una combinacion de soluciones factorizadas:

V (x, y, z) =,,

++=0

(Ae

x + Be

x) (Ae

y + Be

y)(Ae

z + Be

z) .Una particularidad esencial en la expresion propuesta es que al me-

nos una de las constantes , o debe ser negativa para cumplirla restriccion impuesta sobre su suma. Si por ejemplo es la cons-tante negativa, se tendra que

es un numero imaginario puro y la

dependencia en x no sera exponencial sino combinacion de senos ycosenos. En consecuencia no es posible una solucion exponencial enlas tres coordenadas: al menos en una de ellas la solucion debe seroscilatoria.

Hasta aqu el metodo es general y la solucion encontrada no hacereferencia a las condiciones de contorno que debe cumplir la funcionV . Estas condiciones son las que debemos utilizar para determinar lasinnitas constantes de integracion que aparecen en la expresion ante-rior. Es conveniente ver con un ejemplo el tipo de razonamiento quese sigue.

x

d

z

V=0

y

V=0

V=F(x)

En la gura se muestra un sistema formado por dos placas conduc-toras a tierra, paralelas entre s y a una distancia d. Hacia arriba yen la direccion perpendicular al papel son ilimitadas. En la super-cie horizontal que une sus bordes se ha establecido, mediante unacombinacion adecuada de generadores, una distribucion conocida depotencial. Tomando un sistema de referencia como el descrito en lagura la funcion incognita es V (x, y, z) y las condiciones de contornose expresan del siguiente modo:

V (0, y, z) = V (d, y, z) = 0; V (x, 0, z) = F (x); limy

V = 0

donde la funcion F (x) es conocida. La condicion nal es de tipoasintotico (no se aplica en un punto nito como las otras). Esto ocurreen problemas en los que el recinto considerado es ilimitado.

La primera informacion que debemos usar es la ausencia de depen-dencia de las condiciones con la coordenada z. Esto implica direc-tamente que el potencial no depende de z, es decir = 0, y pode-mos omitir el tercer parentesis en la expresion general del potencial.Ademas queda = .A continuacion hacemos uso de la condicion asintotica. Debemos

hacer > 0 y A = 0 para que la dependencia en y sea exponencialdecreciente ( si < 0 se tendra un comportamiento oscilatorio y no secumplira el lmite impuesto, y si A = 0 la solucion crecera ilimita-damente, lo cual no es admisible desde un punto de vista fsico). Conlas simplicaciones encontradas el potencial se puede escribir ahora

V (x, y) =

(Ae

ix + Be

ix)ey

donde hemos agrupado constantes para denir otras nuevas, A y B ,

aun por determinar, al igual que .

Imponemos seguidamente las condiciones en x = 0 y x = d:

0 = V (0, y) =

(A + B)e

y

0 = V (d, y) =

(Ae

id + Be

id)ey .

De la primera se obtiene necesariamente B

= A

y de la se-

gunda, usando ya esta nueva informacion, y teniendo en cuenta quesen(x) = (eix eix)/(2i),

2iAsen(

d) = 0

d = n,

con n = 1, 2, . . .. Con toda esta informacion el potencial queda

V (x, y) =

n=1

Cnsennx

deny/d.

Falta encontrar los nuevos coecientes Cn que surgen de agrupar cons-tantes con los antiguos A . Para ello debemos utilizar la condicion decontorno restante, V (x, 0) = F (x), que con la expresion encontradapara el potencial se escribira

n=1

Cnsennx

d= F (x).

La serie que aparece en esta expresion es justamente el desarrollo deFourier en senos correspondiente a la funcion F (x)2. Los coecientesdel desarrollo se relacionan con integrales de nuestra funcion en virtudde la ortogonalidad de las funciones base: d

0

sennx

dsen

mx

ddx =

{0 si n = mm/2 si n = m

Si multiplicamos nuestra ecuacion por sen(mx/d) e integramos entre0 y d solo sera no nulo un termino, de lo que se deduce

Cmm

2=

d0

senmx

dF (x)dx,

con lo que los coecientes quedan determinados.

Como ejemplo sencillo consideremos el caso F (x) = V0, es decirun potencial constante, que puede ser jado por un generador conec-tado a una lamina conductora situada en y = 0. Entonces se tendraCn = 2[1cos(n)]V0/(n), que es no nulo si n es impar. El resultadonal se escribe

V (x, y) =4V0

n=1impar

1

nsen

nx

deny/d

La distribucion de lneas equipotenciales se representa en la gurasiguiente:

2Hay que recordar que toda funcion denida en el intervalo [d, d] puede desarrollarse en serie de senos y cosenos de argumento nx/d,y que si nuestra funcion F (x) esta denida en el intervalo [0, d] podemos extender su dominio de denicion por la izquierda exigiendo queF (x) = F (x) (funcion impar), con lo que conseguimos que no aparezcan cosenos en el desarrollo.

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0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

y/d

0.2 0.4 0.6 0.8 1x/d

V/V =0.10

0.2

0.3

0.4

Los problemas con simetra esferica o cilndrica se describen mejor enlos sistemas coordenados correspondientes, para los cuales la ecuacionde Laplace admite separacion de variables. Las ecuaciones diferencialesque verican las funciones de una sola variable en que descomponemos

el potencial son en general mas complicadas que las exponenciales yfunciones sinusoidales que hemos manejado en cartesianas, y sus solu-ciones son funciones especiales (polinomios de Legendre, funciones deBessel) cuyo valor y propiedades de ortogonalidad se pueden encontraren libros especializados.

Otros metodos

Existe un amplio muestrario de metodos de resolucion de problemas

de potencial. Para problemas bidimensionales es en particular muy

ecaz el metodo de transformacion conforme, que hace uso de la

posibilidad de expresar el potencial bidimensional en forma compleja.

Para problemas con geometra arbitraria son necesarios metodos mas

generales, de caracter numerico, tales como el de diferencias fini-

tas, el de elementos finitos o el de elementos de contorno. Su

exposicion se sale del proposito de esta asignatura.

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