tema25.límites de funciones. continuidad y

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas

TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas Infinitas

1. Introducción

La continuidad es una de las propiedades más importantes que definen a una función. Mu-chos teoremas del análisis funcional se apoyan en la continuidad de las funciones. Concep-tualmente una función es continua en un intervalo [a,b] si en está definida en cada punto del intervalo y no se producen saltos en su representación.

La mayoría de las situaciones en la Naturaleza describen situaciones entre dos o más va-riables que se relacionan por funciones de forma continua. Los fenómenos físicos desde un punto de vista macroscópico siguen la mecánica Newtoniana, que es continua (así si empuja-mos un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad máxima este pasa por todas las velocida-des reales que hay entre ambas).

Existen funciones en la Naturaleza que no son continuas, la mayoría de ellas son debidas a cambios de contorno. Así por ejemplo el campo eléctrico creado por un conductor en función

de las distancia del centro no es continuo, pues en su interior es nulo y en la superficie es 0

Para describir la continuidad previamente hay que describir el límite de una función en un punto, que explica el comportamiento de dicha función en un entorno del punto. Los límites en la naturaleza se utilizan para explicar el comportamiento en puntos inalcanzables, un ejem-plo típico es el estudio de las propiedades termodinámicas en el cero absoluto (0K).

Históricamente el concepto de límite y continuidad recibieron una formulación precisa en el siglo XIX especialmente realizados por Cauchy, y están estrechamente ligados al concepto matemáticos del número real.

2. Límite de una función

2.1. Conceptos previos. Función real

Una función f, es una correspondencia entre Dℝ y ℝ definida de la forma:

f: D ℝ

x y= f(x) y tal que xD se cumple que f(x) es único.

La variable x se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos xD se deno-mina dominio de la función Dom(f). La variable y se denomina dependiente y el conjunto de

valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y ℝ : f(x)=y, x ℝ }.

2.2. Definición de límites finitos.

Una función real f(x) se dice que tiene límite l ℝ cuando x tiende a un valor a ℝ, y se denota como

lxfax

)(lim si se cumple >0 >0: 0<|x-a|< |f(x)-l|<

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Conceptualmente implica que si definimos un entorno

de f alrededor de l (|f(x)-l|<) siempre podemos encon-

trar un entorno de x=a (|x-a|<) donde los valores de la imagen en el entorno de f antes definido.

En la mayoría de funciones los valores de los límites coinciden con el valor de la función en dicho punto (concepto que como veremos describe la continuidad), pero existen funciones donde esto no ocurre como ve-remos a continuación.

Ejemplos de límites:

1) f(x)=c·x, acxfax

·)(lim

. Demostración >0 >0: 0<|x-a|< |c·x-c·a|<,

|c|·|x-a|<, luego tomando </|c| se cumple la desigualdad anterior.

En este caso f(a)= )(lim xfax

2) Si definimos ahora la función

03

0·)(

xsixsixc

xf podemos demostrar que

0)(lim0

xfx

de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero. Pero

ahora a diferencia con 1) f(0)=3 0)(lim0

xfx

2.2.1. Límites laterales

En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos a definir ahora de forma matemática los denominados límites laterales.

Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a por la iz-quierda y se denota

lxfax

)(lim si cumple >0 >0: x(a-,a) |f(x)-l|<

Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a por la dere-cha y se denota

lxfax

)(lim si cumple >0 >0: x(a,a+) |f(x)-l|<

Ejemplo

0201

)(xsixsi

xf

1

2

2)(lim0

xfx

1)(lim0

xfx




Proposición: la función real f(x) tiene límite en x=a si y sólo si existen los dos límites latera-les y son iguales.

Demostración:

si se cumple que lxfax

)(lim implica que >0 >0: 0<|x-a|< |f(x)-l|< por lo

tanto se cumple en x(a-,a+) y por tanto en x(a-,a) y x(a,a+) y por tanto cumple

>0 >0: x(a-,a) |f(x)-l|< por tanto lxfax

)(lim

>0 >0: x(a,a+) |f(x)-l|< por tanto lxfax

)(lim

sean

)(lim xfax

lxfax

)(lim , entonces se cumple:

>0 1>0: x(a-1,a) |f(x)-l|< por tanto lxfax

)(lim

>0 2>0: x(a,a+2) |f(x)-l|< por tanto lxfax

)(lim

Tomando =min{1, 2} cumple >0 >0: x(a-,a+) |f(x)-l|< por tanto lxfax

)(lim

Explicación gráfica de la demostración

1+

1-

1-1

1+

1-

1+2

1- 1+

1+

1-

lxfax

)(lim

lxfax

)(lim

lxfax

)(lim




2.2.2. Propiedades de los límites

Proposición 1: si una función f(x) es real tiene límite en un punto x=a entonces la función está acotada en un entorno de a.

Demostración: si se cumple lxfax

)(lim >0 >0: 0<|x-a|< |f(x)-l|<, toman-

do =1, entonces >0: 0<|x-a|< |f(x)-l|<1 luego en (a-,a+) la función f(x) acotada inferiormente por l-1 y superiormente por l+1.

Proposición 2: si una función f(x) tiene límite en un punto x=a este límite es único.

Demostración: lo haremos por reducción a lo absurdo: supongamos que tiene dos límites

l1l2, es decir

1)(lim lxfax

>0 1>0: 0<|x-a|< |f(x)-l1|<

2)(lim lxfax

>0 2>0: 0<|x-a|<2 |f(x)-l2|<

Sea =min{1,2} en <|x-a|<

|)(||)(|

2

1

lxflxf

|l1-l2|=|l1-f(x)-(l2-f(x)||l1-f(x)|+ |l2-f(x)|<2

Se cumple así que |l1-l2|<2 >0 | l1-l2|=0, es decir l1=l2 que contradice la hipótesis.

2.2.3. Álgebra de límites

Se cumplen las siguientes propiedades (sean 1)(lim lxfax

, 2)(lim lxgax

)

1. Suma y resta: 21)()(lim llxgxfax

2. Producto 21·)()·(lim llxgxfax

3. División: 2

1

)()(lim

ll

xgxf

ax

Demostraciones: utilizaremos 1)(lim lxfax

>0 1>0: 0<|x-a|< |f(x)-l1|< y

2)(lim lxgax

2>0 2>0: 0<|x-a|<2 |g(x)-l2|<2

1. Tomando >0 =min(1,2): |f(x)+g(x)-(l1+l2)||f(x)-l1|+|g(x)-l2|<1+2=. Luego

cumple definición de 21)()(lim llxgxfax

2. Al existir límite f(x) acotada por K superiormente en entorno de a (f(x)<a) Tomando

>0 =min(1,2): |f(x)·g(x)-(l1·l2)|=|f(x)·g(x)-f(x)l2+f(x)·l2-l1·l2||f(x)|·|g(x)-

l2|+l2·|f(x)-l1|<K·2+l2·1=. Luego cumple definición de 21·)()·(lim llxgxfax

3. Se cumple al existir limites que f(x)K1 y K2g(x)k20 Tomando >0 =min(1,2):

2

1

22

12211221

22

22

12

2

12

2

1

)()(lim

·|·||·||)(||||)(|||

·1

·)()()()·()·()·(

)·()·()·(

)()(

ll

xgxf

lkKKlxfKlxgK

lk

lkxgxfxgxflxglxf

lxglxglxf

ll

xgxf

ax




2.3. Límites Infinitos

2.3.1. Ampliación de ℝ.

Para definir los límites infinitos primero tenemos que describir el concepto de infinito, para luego ampliar el conjunto de los números reales e incluir el infinito en este nuevo conjunto:

ℝ = ℝ∪ {∞,−∞} con ±∞ definidos de la siguiente forma -∞<x<∞ x ℝ (idea intuitiva)

Operaciones con ±∞

1) Suma y resta en ℝ

(x±∞)=±∞ +x=±∞ x-(±∞) = ∓∞ ∞ + ∞ = ∞ -∞−∞ = −∞

Indeterminaciones: ∞−∞ y −∞ + ∞

2) Producto en ℝ (suponemos x ℝ+)

x·(±∞) = ±∞ -x·(±∞) = ∓∞ (±∞)·(±∞) = ∞ (±∞)·(∓∞) = −∞

Indeterminaciones: (±∞) · 0 y 0·(±∞)

3) Cociente en ℝ (suponemos x ℝ+)

±

= 0 ± = ±∞

± = ∓∞

Indeterminaciones: ±±

, , para todo xℝ

4) Potencia en ℝ

si x>1 x= y x-=0 si 0<x<1 x=0 y x-=

Indeterminaciones 0, 1, 00, 0

2.3.2. Definiciones de límites infinitos

Definiciones:

1) Una función f(x) tiende a cuando x tiende hacia “a” y se denota 퐥퐢퐦풙→풂 풇(풙) = ∞ si se cumple M>0 >0 : x(a-,a+) f(x)>M

2) Una función f(x) tiende a - cuando x tiende hacia “a” y se denota 퐥퐢퐦풙→풂 풇(풙) = −∞ si se cumple m<0 >0 : x(a-,a+) f(x)<m

3) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = 풍 si se cumple >0 K>0 : x>K |f(x)-l|<

4) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia - y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = 풍 si se cumple >0 k<0 : x<k |f(x)-l|<

5) Una función f(x) tiende a cuando x tiende hacia y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = ∞ si se cumple M>0 K>0 : x>K f(x)>M

6) Una función f(x) tiende a - cuando x tiende hacia y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = −∞ si se cumple m<0 K>0 : x>K f(x)<m

7) Una función f(x) tiende a cuando x tiende a - y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = ∞ si se cumple M>0 k<0 : x<k f(x)>M

8) Una función f(x) tiende a - cuando x tiende a - y se denota 퐥퐢퐦풙→ 풇(풙) = −∞ si se cumple m<0 k<0 : x<k f(x)<m




Interpretación gráfica

1) y 2) lim → 푓(푥) = ∞ y lim → 푓(푥) = −∞

3) y 4) lim → 푓(푥) = 2 , lim → 푓(푥) = −2

5) y 7) lim → 푓(푥) = ∞ y lim → 푓(푥) = ∞ 6) y 8) lim → 푓(푥) = −∞ y lim → 푓(푥) = −∞

Ejemplos analíticos:

lim → | |= M>0 tomamos < se cumple si x(-,) f(x)>M

lim → 푥 = M>0 tomamos K>√푀 se cumple si x>K f(x)>M lim → =0 >0 tomamos M> se cumple si x>M |f(x)-0|<

2.3.3. Resolución indeterminaciones

Caso 1: -. Domina el que tienda a más rápido el orden de crecimiento de menor a mayor

en infinito es de la siguiente forma (donde > indica que domina su crecimiento en x)

log(x)< xn<kx<xx dentro de xn crecimiento mayor cuanto mayor sea n y dentro de

kx mayor el crecimiento cuanto mayor k. Ej:

x

x

x

xxx 2lim2)ln(lim 2

En caso de que el crecimiento sea el mismo y no se pueda operar (raíces) se multi-

plica por el conjugado quedando una indeterminación del tipo

. Ejemplo:

22lim

2)2(lim2lim

3333

3333

xxxx

xxxxxxxxx

xxx




Caso 2: /. Domina el que tienda a más rápido, pudiendo ocurrir:

a) Si domina el numerador límite es :

44

2lim32limxx

x x

x

x

x

b) Si domina numerador límite es 0: 02

1lim2

lim2

2lim333

xx

xxxx

xxxx

c) Si el crecimiento es el mismo, cociente coeficientes: 52

52lim

45332lim 3

3

23

3

xx

xxxx

xx

Caso 3: ·0 se transforma en /:

x

xxx

xxxx

3lim0·1)·3(lim2

2

Caso 4: 0/0 se calcula factorizando por la raíz: 21

)1(lim)1(

)1)(1(lim00

11lim

11

2

1

xx

xxxx

xxx

Caso 5: k/0 factorizar denominador y tomar límites laterales (límite puede ser o no existir):

2·03

)1)(1(2lim

2·03

)1)(1(2lim

03

)1)(1(2lim

12lim

1

1

121

xxx

xxx

xxx

xx

x

x

xxNo existe

2·03

)1(3lim

2·02

)1(3lim

02

)1(3lim

123lim

221

221

2121

xxxx

xx

xxx

x

x

xx

Caso 6: 1, 0, 0, 00: se calcula tomando logaritmos a ambos lados:

02lim 2

x

x xxxl ,

)·()ln(2)ln(·lim)ln()2ln(·lim2·lnlim)ln( 22 xxxxxxx

xxxxl

xxx l=e-=0

3. Funciones continuas.

3.1. Continuidad puntual.

Una función real f(x) es continua en un punto x=a cuando se cumple )()(lim afxfax

.

Podemos hablar de continuidad lateral, siendo continua por la izquierda si )()(lim afxfax

y por la derecha si )()(lim afxfax

. Evidentemente para que la función sea continua en x=a

tiene que serlo por la izquierda y por la derecha.

3.2. Continuidad en un intervalo

Una función f(x) continua en un intervalo (a,b)dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del

intervalo, es decir x0(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

.

Una función f(x) continua en un intervalo [a,b]dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del

intervalo (a,b), es decir x0(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

y además continua por la derecha en

x=a y por la izquierda en x=b ( )()(lim afxfax

, )()(lim bfxfbx

)




Una función f(x) continua en un intervalo [a,b) ( o en (a,b]) cuando lo es en todo punto del

intervalo (a,b), es decir x0(a,b) )()(lim 00

xfxfxx

y además continua por la derecha en

x=a (por la izquierda en x=b).

3.3. Álgebra de funciones continuas.

Proposición: sean f(x) y g(x) funciones continuas en x=a entonces se cumple que (1)

(fg)(x), (2) (f·g)(x), (3) (f/g)(x) son continuas en x=1.

Demostraciones:

1) ))(()()()(lim agfagafxgfax

2) ))(·()()·()(·lim agfagafxgfax

3) ))(/()(/)()(/lim agfagafxgfax

Corolario 1: Podemos extender el planteamiento para la suma y/o producto de más de dos

funciones continuas en x=a: fi continuas en x=a

n

ii xf

1)(

n

ii xf

1)( continua en x=a.

Corolario 2: Como f(x)=x continua en ℝ entonces toda función polinómica f(x)=an·xn+…+a0 es también continua en ℝ.

Corolario 3: Se cumple que el conjunto de las funciones continuas en D ℝ con las opera-ciones suma y producto escalar, denotadas como (C0(D),+,·) es un subespacio de las funciones reales definidas en D, ( F(D),+,·).

Demostración: tanto la suma como el producto (en particular por las funciones constantes) es cerrado en las funciones continuas, por tanto es subespacio.

4. Propiedades de las funciones continuas en un punto.

4.1. Acotación de la función en torno al punto.

Proposición: si una función real f(x) es continua en un punto x=a entonces esta función acotada en torno a este punto.

Demostración: aplicamos la definición de continuidad )()(lim afxfax

, luego al existir el

límite tomando =1 >0: |x-a|< se cumple |f(x)-f(a)|<1, por tanto f(a)-1<f(x)<f(a)+1 en un

entrono de x=a, x(a-,a+).

4.2. Conservación del signo de la función en un entorno de un punto.

Proposición: sea f(x) una función continua en x=a, tal que f(a)0 entonces existe un entor-no de x=a donde la función conserva el signo, es decir si f(a)>0 la función es positiva, y si f(a)<0 la función es negativa.

Demostración: veremos sólo el caso f(a)>0 pues el otro es equivalente. Por definición de

continuidad >0 >0: x(a-,a+) |f(x)-f(a)|<. Tomando el valor de =f(a)/2 se cumple:

x(a-,a+) |f(x)-f(a)|<f(a)/2, luego f(a)-f(a)/2<f(x)<f(a)+f(a)/2, luego f(x)>0 en x(a-,a+).




5. Propiedades de las funciones continuas.

5.1. Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano: sea f(x) una función continua en [a,b] y tal que f(a)·f(b)<0 (cambia de

signo) existe al menos un c(a,b) donde se cumple f(c)=0.

Demostración: supondremos que f(a)>0 y f(b)<0 (sino se demuestra de forma equivalente).

Dividimos el intervalo en dos: 1,2

, cabaa

y bcbba ,,2 1

, si se cumple que

f(c1)=0 hemos demostrado el teorema, sino tomamos el intervalo donde los extremos cambien el signo. Se vuelve a dividir el intervalo en el punto el punto medio, c2, si f(c2)=0 se cumple el teorema siendo c=c2 y se termina el teorema. Si no volvemos a coger el intervalo con extremos de diferente signo. Repetimos el procedimiento de forma paulatina pudiendo ocurrir:

1. Que en algún punto cn cumpla f(cn)=0 y entonces cumple el teorema. 2. No se anula nunca, con lo que construiremos intervalos encajados con extremos de di-

ferente signo y cada vez más pequeños (cada paso el intervalo mide la mitad del ante-rior): [a,b] con f(a)·f(b)<0; [a1,b1] con f(a1)·f(b1)<0,…, [an,bn] con f(an)·f(bn)<0. El límite

de los intervalos encajados es un punto [an,bn]=lim(an)=lim(bn)=c que cumple f(c)≤0 y

f(c)0, luego f(c)=0.

Gráficamente:

5.2. Teorema del valor intermedio (Darboux)

Teorema de Darboux: Sea f una función real continua en [a,b] entonces f toma todos los

valores comprendidos ente f(a) y f(b). Es decir αℝ con f(a)<α<f(b) o f(b)<α<f(a) se cumple

existe al menos un c(a,b) tal que f(c)=α.

Demostración: supongamos f(a)<α<f(b) (demostración equivalente si f(b)<α<f(a)). Defini-mos la función g(x)=f(x)-α que será continua en [a,b] y se cumple g(a)=f(a)-α<0 y g(b)=f(b)-α>0

y por tanto g(x) cumple Bolzano, y por tanto c[a,b]: g(c)=f(c)-α=0, y por tanto f(c)=α.




5.3. Teorema de acotación (Weierstrass)

Teorema de la acotación: Sea f(x) una función continua en [a,b] entonces f(x) acotado en

[a,b] y tiene un máximo y un mínimo. Es decir existen dos puntos c,d[a,b] tal que

f(c)=sup{f(x): x[a,b]} y f(d)=inf{f(x):x[a,b]}

Demostración: por reducción a lo absurdo, llamamos s=sup{f(x): x[a,b]} y supondremos

que no existe x[a,b] donde f(x)=s. Se cumple que la función )(

1)(xfs

xg

será continua

al no anularse el denominador y ser f(x) continua. Al ser continua g(x) acotada, y por tanto

x[a,b] donde g(x)<k sk

sxfkxfs

1)()(

1 en x[a,b], luego s no es el su-

premo será s-1/k y contradice la proposición, y por tanto el supremo se toma en x[a,b]. De igual forma para el ínfimo.

6. Tipos de discontinuidades en una función.

Decimos que una función f(x) es discontinua en x0 D si no es continua en dicho punto y

por tanto no cumple )()(lim 00

xfxfxx

Existen varias clasificaciones de los tipos de discontinuidades de una función, una de las más extendida es la siguiente:

1. Evitable: existe el límite cxfxx

)(lim0

y no existe el f(x0) o el valor de f(x0)c. Se llama

así porque redefiniendo la función en x0 de la forma

0

0)()(

xxsicxxsixf

xf esta

se vuelve continua. Ejemplos:




2. Discontinuidad de salto finito: el límite en x0 no existe por ser distintos los límites late-

rales.

3. Discontinuidad de salto infinito: el límite en x0 no existe por ser uno de los dos límites

laterales o los dos infinitos.

7. Ramas infinitas. Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la función se acerca a ella sin llegar a tocar, coincidiendo el comportamiento de la función con la recta en el infinito. Tres tipos de asíntotas:

a) Asíntota vertical: es una recta x=x0 y ocurre en los puntos de la función donde se cum-

ple

)(lim0

xfxx

y/o

)(lim0

xfxx

, es decir tiene una discontinuidad de salto

infinito. Las asíntotas verticales son típicas de funciones con denominador, siendo las asíntotas los valores que anulen el denominar (a no ser que también anulen el nume-rador) y las funciones con logaritmo, siendo las asíntotas en este caso los valores que anulen el argumento del logaritmo. Una función puede tener el número que se desee de asíntotas verticales. Ejemplos:




b) Asíntotas horizontales: son de la forma y=a. La función tiene asíntota si se cumple que

1)(lim axfx

(asíntota y=a1) y/o 2)(lim axfx

(asíntota y=a2). Por tanto una fun-

ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser el mismo y si tiene asíntota horizontal es única. Veamos un ejemplo con dos asíntotas:

c) Asíntota Oblicua: son de la forma y=mx+n con m0. Una función f(x) tiene una asínto-

ta oblicua cuando al tender a y/0 a - la gráfica de esta función tiende al de la recta.

En la práctica ocurre cuando xxfm

x

)(lim

ℝ* y mxxxfn

x

)(lim ℝ y lo mismo

para el límite a -, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal

si tiene es que sea la misma para . Veamos un ejemplo con dos asíntotas oblicuas

8. Contexto con secundaria.

La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fun-ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite.

En bachillerato, en las dos ramas, es donde se trabajan los conceptos de límite y de conti-nuidad, así como los teoremas vistos en el tema. Es además la continuidad y los límites una prueba recurrente en la PAU.

y=|2|

1)( 3

3

xxxf

1)(lim

xfx

1)(lim

xfx


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