Límites y continuidad

Cálculo 1

Razones de cambio y límites

La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo.

Ejemplo 1Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1 segundo del segundo 1 al segundo 2?

La caída esta gobernada por la siguiente ecuación

y = 5.1 t2 m

a) los primeros 2 segundos: m/s2.10

0201.521.5 22

ty

b) del segundo 1 al 2: m/s4.20

1211.521.5 22

ty

Ejemplo 2Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2.

La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es

Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y obtenemos la siguiente tabla

h

thtty 2

02

0 1.51.5

Longitud del intervalo de tiempo h

Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t0 = 1

Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t0 = 2

1 15.3 25.5

0.1 10.71 20.91

0.01 10.251 20.451

0.001 10.2051 20.4051

0.0001 10.20051 20.40051

Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.

Rectas secantesLa razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2] es

h

xfhxfxx

xfxfty 11

12

12

x1 x2

x

ysecante

P(x1,f(x1))

Q(x2,f(x2))

y = f(x)

x

y

Límites de funciones

Analicemos la función: 112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

111

112

x

xxx

xx

xf x 1

x

y

1

1

–1

0

112

xx

xfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores 1ue 1

0.9

1.1

0.99

1.01

0.999

1.001

0.999999

1.000001

1.9

2.1

1.99

2.01

1.999

2.001

1.999999

2.000001

1112

x

xx

xf x 1

Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe

Lxfx

10

lim

x

y

1

1

–1

0

11

)2

xx

xfa

2

x

y

1

1

–1

0

1) xxhc

2

x

y

1

1

–1

0

1,1

1,11

)

2

x

xxx

xgb

2

Funciones sin límite en un punto

0,1

0,0)

x

xyb

La función salta

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

0,0

0,1

)x

xxyb

Crece demasiado

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0,1

sen

0,0)

xx

xyc

Oscila demasiado

Ejercicio

1

1

2 3

y = g(x)

y

x

xgx 1lim

Encontrar

xgx 2lim

xgx 3lim

Tarea #9

Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?

124

62

xx

xxg

Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t0 = 0 por arriba y por abajo. Luego estime limt0 G(t).

2

cos1t

ttG

Reglas para calcular límites

Teorema #1

Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)

1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M

2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M

3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M

4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL

por una constante

5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0

6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Límites de Polinomios

Teorema #2

Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución

Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Teorema #3

Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Eliminación de denominador cero

Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

xxxx

x

2

2

1

2lim

hh

h

22lim

0

Teorema del emparedado

supóngase que g(x) f(x) h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que

Lxhxgcxcx

limlim

Entonces Lxfcx

lim

g

f

h

c

L

y

x

ejemplos

yy

y 5lim

2

5

245

5lim

0 hh

5103

lim2

5

xxx

x

23

1lim

1

x

xx

Uso del teorema del emparedadoDemostración del límite de sen()/ cuando tiende a 0

1

P

T

tan

sen

cos

1

A(1, 0)QO

arco de longitud

De la figura se ve que:

sen tan

Dividiendo entre sen :

1 /sen tan sen = 1/cos

Invirtiendo cada término

1 sen / cos

Tomando el límite

lim0 1 lim0 sen / lim0 cos

pero

lim0 cos = 1

Por el teorema del emparedado lim0 sen = 1

Límites de razones de cambio

En cálculo aparecen límites de la forma:

h

xfhxfh

0

lim

Ejemplo:

Sea f(x) = x2 encuentre el límite de la razón de cambio en x = –2

xhx

hhhx

hxhx

hxfhxf

hhhh22lim

2limlimlim

0

2

0

22

00

Sustituyendo valores

422lim0

h

xfhxfh

Tarea #10

652

lim 22

yyy

y

x

xxx

2

4lim

2

4

232 242

limxx

xx

138

lim2

1

xx

x

h

xfhxfh

0

lim

Evalúe el límite de la razón de cambio para:

f(x) = 3x – 4, x = 2

f(x) = 1/x , x = –2

Valores objetivoControl de una función lineal

¿Qué tan cerca de x0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar seguros de que el resultado de y = 2x – 1 a menos de 2 unidades de y = 7?

Para que valores de x es | y – 7 | < 2

| y – 7 | = | (2x – 1) – 7 | = | 2x – 8 |

o | 2x – 8 | < 2

Resolviendo

3 < x < 5 o –1 < x – 4 < 1

3 4 5

9

7

5

Restringe esto

Par

a co

ntro

lar

esto

y = 2x – 1

Cota superior

Cota inferior

y

x

ejemplo¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?

Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es

V = 62h = 36h

¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)?

Para que valores de h se satisface

| V – 1000 | = | 36h – 1000 | 10

| 36h – 1000 | 10

–10 36h – 1000 10

990 36h 1010

990 /36 h 1010 /36

8.8 h 8.9

8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm

h

r = 6 cm

Proceso del cálculo de un límite

x0

L

L +1/10

L–1/10

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < = 1/10

x0

L

L +1/10

L–1/10

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < 1/10 (un número)

x0+1/10x0+1/10

x0

LL +1/100

L–1/100

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < = 1/100

x0

LL +1/100

L–1/100

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < 1/100

x0+1/100x0+1/100

x0

L

L +1/1000

L–1/1000

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < = 1/1000

x0

L

L +1/1000

L–1/1000

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < 1/1000

x0+1/1000x0+1/1000

x0

L

L +1/1000000

L–1/1000000

y = f(x)

O

hacer que | f (x) – L| < = 1/1000

x0

L

L +1/1000000

L–1/1000000

y = f(x)

O

Respuesta: | x – x0 | < 1/1000000

x0+1/1000000x0+1/1000000

Definición de límite

Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos

si, para cada número > 0, existe un número correspondiente > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <

Lxfxx

0

lim

Como encontrar una Cómo encontrar algebraicamente una para f, L, x0, y > 0 dados

Para hallar una > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < | f(x) –L | <

Deben seguirse dos pasos

Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.

Paso 2. Hallar un valor > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – , x0 + ) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por .

Tarea #11Hallar una > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <

Dados f(x) = 2x – 2, L = – 6, x0 = – 2, = 0.02

f(x) = 19 – x , L = 3, x0 = 10, = 1

Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.

Paso 2. Hallar un valor > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – , x0 + ) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por .

Demostración de teoremasRegla para el límite de una sumaDado que lim xc f(x) = L y limxc g(x) = M, demostrar que

lim xc (f(x) + g(x)) = L + M

Sea > 0, se quiere hallar un número positivo tal que para toda x

0 < | x – x0 | < | f(x) + g(x) – (L + M)| < Reagrupando

| f(x) + g(x) – (L + M)| = | (f(x) – L) + (g(x) – M)| ≤ | f(x) – L | + |g(x) – M |

Ya que limxc f(x) = L, Existe 1 > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < 1 | f(x) – L | < /2Análogamente

0 < | x – x0 | < | g(x) – M| < /2Sea = min(1, ) por lo tanto

| f(x) + g(x) – (L + M)| < /2 + /2 = Esto muestra que

lim xc (f(x) + g(x)) = L + M

Límites por un ladoDefinición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos

Lxfax

lim

Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

Mxfax

lim

Límites por un lado y bilateralesUna función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:

Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L

Ejemplo

1lim0

xfx

existennoxfyxfxx 00limlim

0lim1

xfx

1lim1

xfx

existenoxfx 1lim

1lim2

xfx

1lim2

xfx

1lim2

xfx

23limlimlim333

fxfxfxfxxx

1lim4

xfx

existennoxfyxfxx 44limlim

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Tarea #12¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos?

1lim1

xfx

0lim0

xfx

1lim0

xfx

xfxfxx

00

limlim

existexfx

0

lim 0lim0

xfx

1lim0

xfx

1lim1

xfx

0lim1

xfx

2lim2

xfx

existenoxfx

1

lim 2lim2

xfx

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Límites infinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

xfcx

lim

Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

xfcx

lim

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplos

xx

1lim

0

x

y

xx

1lim

0

y = 1/x

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2 3

11

lim1 xx

11

lim1 xx

x

y

y = 1/(x – 1)

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

20

1lim

xx

20

1lim

xx

2

1x

y

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

23 3

1lim

xx

23 3

1lim

xx

23

1

xy

Límites de funciones racionales

0

22

lim22

2lim

42

lim2

2

22

2

2

xx

xxx

xx

xxx

41

21

lim22

2lim

42

lim2222

xxxx

xx

xxx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

existenoxx

xxx

xx

223

lim43

lim222

223232 2

1lim

2

2lim

2

2lim

xx

x

x

xxxx

Definición formal de límite lateral

Límite por la derecha

Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x0, y escribimos

Si para cada número > 0 existe un número > 0 tal que para toda x

x0 < x < x0 + | f(x) – L | <

Lxfxx

0

lim

Límite por la izquierda

Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x0, y escribimos

Si para cada número > 0 existe un número > 0 tal que para toda x

x0 – < x < x0 | f(x) – L | <

Lxfxx

0

lim

Definición formal de límites infinitos

Límites infinitos

Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x0, y escribimos

Si para cualquier número real positivo B existe un número > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 |< f(x) > B

xfxx 0

lim

Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x0, y escribimos

xfxx 0

lim

Si para cualquier número real negativo –B existe un número > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 |< f(x) < –B

ContinuidadContinuidad en un punto

Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

cfxfcx

lim

Ejemplos

1

1

0

y

x

y = f(x)

1

0

y

x

y = f(x)

1

0 x

y = f(x)

y = f(x)

y

x

2

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

1

xxfy

Tipos de discontinuidades

xy Discontinuidad escalonada

xseny

1 Discontinuidad oscilante

21

x

y Discontinuidad infinita

2

22

x

xy Discontinuidad removible

Continuidad en los extremosUna función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si

afxfax

lim

Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si

bfxfbx

lim

y = f(x)

a c b

Criterio de continuidad

Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. f(c) existe (c está en el dominio de f)

2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)

3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

Ejemplo

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Continua

Discontinua

Reglas de continuidadTeorema 6

Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en:

1. f + g y f – g

2. f g

3. kf, donde k es cualquier número

4. f/g (si g(c) ≠ 0)

5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

Continuidad de polinomiosTeorema 7

Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.

25

20x4

xxxg

xfxr

Ejemplo:

Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.

La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

Continuidad de la composición

Teorema 8

Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.

f g

g ° f

f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)

Continua en c

Ejemplos

1033

2 xx

xy

211 2x

xy

xx

ycos

2

xsenx

y 2

4

11

Tarea #14

1

1

20

Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.

¿En qué puntos son continuas las siguientes funciones?

341

2 xx

xy xsenxy 1 1

tan2

x

xxya) b) c)

-1

Extensión continua en un punto

Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla

f(x) si x está en el dominio de fF(x) =

L si x = c

Ejemplo:

4

62

2

xxx

xf

Se puede simplificar en:

2

32232

46

2

2

xx

xxxx

xxx

xf

Que es continua en x = 2

Teorema del valor intermedioTeorema 9

Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I. Entonces, si y0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que f(c) = y0.

f(a)

f(b)

f(c)

a b c x

y

0

Consecuencias del teorema del valor intermedio

Conexidad

La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva ininterrumpida.

Búsqueda de raíces

Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.

EjemplosDefinir g(3) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 9)/(x – 3) y sea continua en x = 3.

Definir g(4) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 16)/(x2 – 3x – 4) y sea continua en x = 4.

Explicar por qué la ecuación cos x =x tiene al menos una solución

Demuestra que la ecuación x3 – 15x + 1 = 0 tiene 3 soluciones en el intervalo [-4, 4].

Dar un ejemplo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las cuales la composición f ° g sea discontinua en x = 0. ¿Contradice el teorema 8?

Tarea #15¿Para que valor de a, f(x) es continua para toda x?

x2 – 1 x<3 f(x) =

2ax x ≥ 3

Definir f(4) de modo que extienda a f(x) = (x3 – 1)/(x2 – 1) y sea continua en x = 1.

Demuestra que la función f(x) = (x – a)2 (x – b)2 + x toma el valor (a + b)/2.

Rectas tangentes

P

L

O

La recta L es tangente al círculo en el punto P.La tangente es perpendicular al radio OP.

Definición de tangente(?)1. L pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y por el centro de C.

2. L pasa por un solo punto de C, a saber, P.

3. L pasa por P y queda de un solo lado de C.

P

L

C

P

LC

P

L

C

L toca un solo punto de C L es tangente a C en P, pero toca a C en varios puntos

L es tangente a C en P, pero está en ambos lados de C