capítulo 3. límites y continuidad

1

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 3 Límites y Continuidad

ENTORNO O VECINDAD

0 0 0; ,x x x v x

0 0 0 0x x x x x x x

00 x x

“entorno reducido” o “vecindad agujerada”

EJEMPLOS PARA UNA MEJOR COMPRENSIÓN DEL LÍMITE

Ejemplo. Simbólicamente, si al ser humano se le denota con

" "H , con " "n al número de actos de humanidad y con " "P

a la perfección, entonces se puede escribir que:

limnH P

Ejemplo. Analogía de una célebre paradoja del famoso

científico griego Zenón de Elea: A un ingeniero se le pide que

realice un levantamiento geológico de un camino recto de

longitud " "L , que unirá dos puntos A y B. Este individuo se

traza como plan de trabajo el siguiente: “cada día estudiaré

la mitad de lo que me falte”.

L

A B 01

02 03

04 05


2

2 4 8 16 32

L L L L L

limnS L

Ejemplo. Considérese un polígono regular con " "n lados y

cuya área es " "a . Dicho polígono está inscrito en un círculo

cuya área es " "c .

limna c

Ejemplo. Considérese el cociente 1

n y véase qué sucede si

se hace crecer indefinidamente el valor " "n partiendo del

valor “uno”.

Si se hace 1

n x y yn

, entonces se tiene que:

1

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

n

n

Área del

Polígono="a"

(n=8)

Área del

Círculo="c"


3

1 1

; 1, lim 0x

y xx x

Ejemplo. Ahora se tiene el caso de analizar la siguiente

función considerando diversos entornos reducidos.

2

1 ; 0,42

xy f x x

2

2lim 1 3

2x

x

x

3

4 2 1 3

1

2

4

5

6

7

8

9

y

2

12

xf x


4

DEFINICIÓN. Una función f tiene límite L cuando la variable

independiente f

x D tiende a un valor " "a y se escribe

como

limx af x L

si la función está en el interior de una vecindad de L con

radio 0 tan pequeño como se desee, siempre que x

pertenezca a una vecindad de " "a con radio 0 , siendo

función de . Esto se expresa, analíticamente, como:

siempre que 0f x L x a

LÍMITES LATERALES

lim Ix a

f x L

lim

Dx a

f x L

x a x

x x a

x

y

L

L

y

L

a x a a

y f x


5

Teorema. lim lim limx a x a x af x L f x L f x

EXISTENCIA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Primer Caso Sea f una función definida en un intervalo

,a b y sea ,c a b . Entonces, como ya se trató

limx cf x L

si L y lim limx c x c

f x f x

siempre que 0f x L x c

Segundo caso Sea f una función definida en 0, .

x

y

f x

L

c

x x

f f

y y

IL I DL L L

a a

"el límite sí existe"

DL

"el límite no existe"


6

Entonces limx

f x L

si para toda 0 y tan pequeña

como se desee, existe un número " "n (función de y de f ), tal que:

siempre quef x L x n

limx

f x L

y L es una asíntota horizontal.

Tercer caso

Sea f una función definida en ,a b y sea ,c a b .

Entonces el límite de f no existe o que tiende a infinito, lo

cual se escribe como limx cf x

si para todo número

" "m tan grande como se desee, existe un valor 0 (que

depende de m y de f ) tal que:

siempre quef x m x c

limx cf x

x c es una asíntota vertical.

x c

f

y

x

y

f

a

L


7

Cuarto caso Sea f una función definida en ,a . Entonces

el límite de f no existe o que tiende a infinito, lo cual se

escribe como:

limx

f x

si al crecer f

x D indefinidamente, la función también crece

de manera indefinida.

De la misma forma se pueden construir los límites:

lim ; lim ; limx x x

f x f x f x

Quinto caso Sea f una función definida en un intervalo

cerrado ,a b . Entonces se pueden definir los límites en los

extremos del intervalo, es decir, por la derecha de " "a y por

la izquierda de " "b , siempre que existan. A través de los

límites laterales, se puede plantear la existencia de los

siguientes límites:

lim limD I

x a x af x L y f x L

a

y

x

f

x

y

DL

IL

a

b

f

x

x


8

Para demostrar formalmente la existencia del límite de una

función en un punto habría que obtener para qué valores de

" " y " " se cumple la definición, pero esto se sale de los

objetivos de este tema. Sin embargo, se ilustrará esto para las

funciones constante e identidad.

LÍMITE DE LA FUNCIÓN CONSTANTE

Como ya se vio en el Capítulo I, la función constante y su

gráfica son:

Teorema. lim limx a x a

y f x k f x k k

LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

Como ya se vio también, esta función y su gráfica son:

Teorema lim limx a x a

y f x x f x x a

y

x

f x x

k

y

x

f x k


9

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Teorema. Unicidad. El límite de una función f es único.

Teorema.

1 31 2 3

1 2 3 2

lim lim; ;

lim

x a x a

x a

f x L f xf x f x f x

f x f x f x f x L

Teorema. Límite de una suma

1 2; ; ;

nf x f x f x

1 1 2 2lim ; lim ; ; lim

n nx a x a x af x L f x L f x L

1 2 1 2lim

n nx a

f x f x f x L L L

Teorema. Límite de un producto

1 2; ; ;

nf x f x f x

1 1 2 2lim ; lim ; ; lim

n nx a x a x af x L f x L f x L

1 2 1 2lim

n nx a

f x f x f x L L L

lim limx a x a

k f x k f x

Teorema. Límite del cociente

1 2 1 1 2 2; lim lim

x a x af x y f x f x L y f x L

11 1

2

2 2 2

limlim ; 0

limx a

x a

x a

f xf x LL

f x f x L


10

Teorema. Límite de la potencia

lim lim ; n, entero positivonn

x a x af x f x

Teorema. Límite de la raíz

lim lim ; n, entero positivon nx a x a

f x f x

CÁLCULO DE LÍMITES

Formas determinadas

Formas indeterminadas

0 00, , 0 , , 0 , ,1

0

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites: 2 2

2 22 5

3

9 6 2 2 6) lim ; ) lim

1 3 18 3 10xx

x x x xi ii

x x x x

2 3

2 23 5

18 2 125) lim ; ) lim

2 10 3 13 10x x

x xiii iv

x x x x


11

Ejemplo. Obtener el valor de los siguientes límites: 2

3 5

9 1 6) lim ; ) lim

12 3 20 5x x

x xi ii

x x

43

2 6

10 2 22 2) lim ; ) lim

2 4 22x x

x xiii iv

x x

33

13 4) lim

5 122x

xv

x


12


13

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:

3 2 6

2 3 3

5 6 2 5 21) lim ; ) lim

1 15 2 4 3x x

x x xi ii

x x x x

3 327 9) lim

15 7x

xiii

x

Ejemplo. Calcular el siguiente límite:

2

4lim 2 4x

x x

y decir si existe una razón del porqué se pida calcular el

límite lateral por la izquierda.


14

Ejemplo. Calcular el valor del límite, si existe, de la siguiente

función, cuando la variable independiente tiende a los

valores " 2" y " 0" . Apoyarse en la gráfica de la función.

2

2

2 5 2

4 2 0

1 0 32

x si x

f x x si x

xsi x


15

LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para resolver límites que involucran funciones circulares

directas, resulta conveniente conocer los límites de las

siguientes funciones:

0 0 0lim 0 ; limcos 1 ; lim 1x x x

senxsenx x

x

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites: 2

0 0

4

tan 1 tan) lim ; ) lim ; ) lim

5 cosx xx

x sen x xi ii iii

x x senx x

2

20 0

2 2) lim ; ) lim

3secx x

sen x sen xiv v

sen xx x

20 1

cos1 cos 2

) lim ; ) lim1x x

x

xvi vii

xx


16

OTRO LÍMITE

2

1 2

3

3

11 1 11 1 1 1

1! 2!

1 2 11

3!

x

x x x

x

x xx

x x x

x x x

x

1 1 1 1 1 1 21 1

1! 2! 3!

xx x x

x x x x

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1

1! 2! 3!

x

x x x x


17

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:

1

20

1 1) lim 1 ; ) lim 1 ; ) lim 1

x x

x

x x xi ii x iii

x x

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Definición intuitiva. Una función es continua si al dibujar su

gráfica no hay necesidad de despegar del papel la punta

del lápiz.

La continuidad de una función, básicamente es un problema

puntual, es decir, que se estudia en un determinado punto.

Considérense las gráficas de las funciones de la siguiente

figura, cuyo análisis conduce al concepto de continuidad de

una función en un punto.


18

Definición. Una función f es continua en x a sí y solo si:

) Que existei f a

) Que lim existex a

ii f x

) Que limx a

iii f a f x

Continuidad en un intervalo. Una función f es continua en un

intervalo cerrado ,a b si se cumple que:

)a Que f sea continua en todos los puntos del intervalo

abierto ,a b .

)b Que f sea continua por la derecha de " "a , lo que

implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:

) Que existai f a

) Que lim existax a

ii f x

) Que limx a

iii f a f x

x x

y y y

f

f

a

f a

a a

f a

f

existe

lim no existe

no es cont en

x a

f a

f x

f x x a

no existe

no es cont en

f a

f x x a

existe

lim existe

lim

no es cont en

x a

x a

f a

f x

f a f x

f x x a

x


19

)c Que f sea continua por la izquierda de " "b , lo que

implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:

) Que existai f b

) Que lim existax b

ii f x

) Que limx b

iii f b f x

Teoremas sobre continuidad

)i La suma, resta, producto y cociente de dos funciones

que son continuas en un punto, también son funciones

continuas en dicho punto (con tal de que la función del

divisor no se anule en el punto).

)ii Toda función polinomial es continua en su dominio, esto

es, para todo valor real de la variable independiente.

)iii Toda función algebraica o trascendente es continua en

su dominio.

Ejemplo. Analizar la continuidad en el punto correspondiente

a 3x para la siguiente función y hacer un trazo

aproximado de su gráfica:

12 3

1

4 153 6

3

si xx

f xx

si x


20

Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función en

0x y trazar su gráfica:

2

cos 0

1 0 2

x si xf x

x si x


21

Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función,

tanto en puntos como en intervalos:

2

3 5 2

3 4 2 0

cos 02

4 105

10 2

si x

x si x

f x x si x

xsi x


22


23

Ejemplo. Determinar el valor de las constantes

" " " "c y k de tal forma que la función dada sea

continua para todo valor real de " "x . Hacer un trazo

aproximado de la gráfica de la función resultante.

1

1 4

2 4

x si x

f x cx k si x

x si x

Ejemplo. Un ingeniero está trazando el perfil de un camino y

hay un tramo de 24m en línea recta, en el que deberán

realizarse determinados trabajos por la presencia del cauce

de un río cuyo ancho es de 10m. Con respecto a un cierto

sistema coordenado, este tramo de 24m se sitúa de

acuerdo con los puntos

125,500 ; 131,499.5 ; 141,499 ; 149,500A B C D


24

de tal manera que el cauce del río está entre las abscisas

131 141y . ¿Cómo representaría el ingeniero dicho tramo a

partir de una función, qué diría de su continuidad y cómo

removería la discontinuidad, lo que en realidad sería hecho

con un puente para cruzar el río? ¿Cómo quedaría la función

con la discontinuidad removida?

2 11 1

2 1

6125125 131

12;

3851141 149

8

xsi x

y yy y x x f x

x x xsi x

Por la derecha de 125x

) 125 500 cumplei f

125

) lim 500 cumplex

ii f x

125

) 125 lim cumplex

iii f f x

Por lo que f x es continua por la derecha de 125x .

Por la izquierda de 131x

496

495

497

498

499

500

501

125 130 135 140 145 150

y

x

río

A

B C

D


25

) 131 499.5 cumplei f

131

) lim 499.5 cumplex

ii f x

131

) 131 lim cumplex

iii f f x

Por lo que f x es continua por la izquierda de 131x .

Por la derecha de 141x

) 141 499 cumplei f

141

) lim 499 cumplex

ii f x

141

) 141 lim cumplex

iii f f x

Por lo que f x es continua por la derecha de 141x .

Por la izquierda de 149x

) 149 500 cumplei f

149

) lim 500 cumplex

ii f x

149

) 149 lim cumplex

iii f f x

Por lo que f x es continua por la izquierda de 149x .

Al considerar el intervalo de 125x a 149x , concluye

que la función f x es continua en

125,131 141,149y y discontinua en 131,141 .


26

6125125 131

12

1021131 141

20

3851141 149

8

xsi x

xf x si x

xsi x

Forma alternativa para estudiar la continuidad

0x x x

0 0 0y f x f x y f x x f x

1 1 1

2 1

2 2 2

;;

;

x y f xy y y

x y f x

496

495

497

498

499

500

501

125 130 135 140 145 150

y

x

río

A B

C

D puente


27

Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener su incremento: 3 22 5 1y x x x

Ejemplo. Supóngase una esfera metálica de radio

25r cm , la que, por efecto de variaciones de

temperatura, aumenta su diámetro en 0.002 cm. ¿Cuál será

la variación de su volumen y de su superficie?


28

Teorema (Continuidad por incrementos). Una función f es

continua en un valor 0

x x si se cumple que

0lim 0x

y

Prueba.

0

0 0 0

00

0 0 0

lim 0 lim 0

lim lim lim

x x x

x x x x x x

y f x x f x

f x x x f x f x f x

Ejemplo. Dada la función 22 1y f x x , determinar el

incremento de la función cuando la variable independiente

cambia de 0

0.5x a 0.7x . Estudiar también si la función

es continua en 0

0.5x a través del límite 0

lim 0x

y

.

Mostrar de manera explícita, con una tabla, cómo se

cumple este límite, es decir, cómo al tender a cero el

incremento de " "x , lo mismo le sucede al incremento y de

la función.


29

ASÍNTOTAS

Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite no existe

cuando la variable independiente " "x tiende a un cierto

valor 0

" "x , el cual anula el denominador de la función;

entonces, esta tiene una asíntota vertical, cuya ecuación es

0x x .

Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las

asíntotas verticales para las siguientes funciones:

2

5 1) ; )

15 6

x xi f x ii y

xx x

3 26

)6

x xiii f x

x


30

Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite sí existe

cuando la variable independiente " "x tiende a ; entonces,

la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es:

limx

y f x

o bien limx

y f x


asíntotas horizontales para las siguientes funciones:

2

2 2

4 1 4) ; )

2 5 6

xi y ii f x

x x x

42 4)

2

xiii y

x x


31


asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función y

hacer un trazo aproximado de su gráfica en la cual se

señalen las asíntotas.

2

2

1

2

xf x

x x

capítulo 3. límites y continuidad

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