jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [1]

EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN DDEE LLÍÍMMIITTEESS YY TTEEOORREEMMAASS DDEE CCOONNTTIINNUUIIDDAADD

1. Calcular los valores de a y b para que la función

( ) 2

2

3 2 0

2 cos 0

x si x

f x x a x si x

ax b si x

ππ

+ <= + ≤ < + ≥

sea continua para todo valor de x .

Solución:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2

3 2 0 ,0 , .

2 cos 0 0, , .

, ,

x si x en f x está definida por un polinomio por tanto es continua

f x x a x si x en f x es suma de funciones continuas por tanto es continua

ax b si x en f x está definida por un polinomio por tanto es continu

π π

π π

+ < → −∞

= + ≤ < →

+ ≥ → + ∞

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2

0

0 0

20

0 0

.

, , 0 .

0 lim 0 ; 0 0 2 0 2

lim lim 3 2 2lim 2 2 1

lim lim 2 2

x

x x

x

x x

a

Entonces para que f x sea continua en todo debe ser continua enx y en x

f x es continua en x f x f f a cos a

f x xf x a a

f x x a cosx a

f x es con

π

− −

+ +

→

→ →

→

→ →

= =

= ⇔ = = + ⋅ =

= + == → = → =

= + ⋅ =

ℝ

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1

lim ; 1

lim lim 2 2 2lim 2 2

lim lim

2.

x

x x

x

x x

tinua en x f x f f a b b puesto que a

f

f x es cont

x x a cosx af x b b

f x

inua en todo cuando a

ax b a b b

y b

π

π π

π

π π

π π π π π

π ππ π

π π

− −

+ +

→

→ →

→

→ →

= ⇔ = = + = + =

= + ⋅ = − = −= → − = +

=

→ = −= + = + = +

= −

ℝ

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [2]

2. Qué podemos decir sobre la continuidad de la función ( ) ( )2lima

f x a x a a→+∞

= + − .

Solución:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

2 2 2 22

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

lim lim lim lim

lim lim1 1 20 1 1

1 1

indeterminación

a a a a

indeterminación

a a

a x a a x a a a x a a x aa x a a

x a a x a a x a a

x ax x x xa

x a a x

aa

Entonc

∞−∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ − + + + − ⋅+ − = → = = = =+ + + + + +

⋅

= → = = = = =++ ++ + + +

( )2

2.es que al ser una función po

xf x es continua eli n tnómica odo= ℝ

3. Razónese que la función ( ) ( ) 23 2xf x sen x e += ⋅ es continua.

Solución:

( ) ( )

( )( )

( )

23 2

0

0 0 0

3

,

, .

xf x sen x e

Para que la composición de dos funciones f g sea continua en unpunto x x tiene que cumplirse que la función

g sea continua en el punto x y que la función f sea continua en elpunto y g x

y sen x es la composición de las fun

+= ⋅

=

=

=

�

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2 2

31 3

2 1

2

3 31 2 2 1

232 2

4 3

4

23

;

.

2;

2

x x

x

g x xciones g g x sen x

g x sen x

g x x es continua en todo y g x sen x es continua en todo g g x sen x escontinua en todo

g x xy e es la composición de las funciones g g x e

g x e

g x x es cont

+ +

= ==

= = ⇒ =

= += ==

= +

�

ℝ ℝ � ℝ

�

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2

2

24 4 3

3 2

.

, .

x x

x

inua en todo y g x e es continua en todo g g x e es continua en todo

Ahora la función f x sen x e es producto de dos funciones continuas en to f x es continua en tod doo

+

+

= ⇒ =

= ⋅ ⇒

ℝ � ℝ

ℝ ℝ

ℝ

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [3]

4. Obtener el valor de k sabiendo que

523

limkx

x

xe

x

+

→∞

+ =

.

Solución:

( )

52

35 5

35 5

1

3 1lim lim 1

3 3 1 1 1lim lim 1 lim 1 lim 1 lim 1

3 3 3

xkx

x x

x xkx kx

xkx kx

indeterminación

x x x x x

xe sabemos que e

x x

xx x xx x

∞

+

→∞ →∞

+ ⋅ ⋅ +

+ +

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

+ = → + =

+ = → = + = + = + = +

( )

( )

3lim 5

3

3 153 15lim 5 lim 3lim 3 3 2 3 22

3

x

x xx

kxx

kxkx kk kx xxe e e e como e k ke

→∞

→∞ →∞→∞

⋅ +

+⋅ + +

=

= = = → ⇒ = ⇒ == =

5. Sea ( )1

11 xf x

x

−+= , hallar el dominio de f y el valor que debe asignarse a ( )0f para que la función

esté definida y sea continua en el intervalo cerrado 1 1

,2 2

− .

Solución:

( )1

11 , ,

.

: 0 1

xPara el dominio de f x debemos tener en cuenta que en las fracciones los denominadores no puedenx

ser cero y las raíces de índice par no pueden tener radicando negativo

Atendiendo a los denominadores x y x

Atendiendo a la raí

−+=

≠ ≠ − ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

: 1 0 1

1 1.

1,0

,2 2

0.

00

0,

00

z x x

f x es suma y cociente de funciones continuas es continua en todo su dominio Todos los puntos del intervalo

están contenidos en Dom f salvo x

Veamos que ocurre con f x en el punt

D m f

o f

o

x

⇒+ ≥ ⇒ ≥ −

⇒ −

=

=

−

→

= +

=

∞∪

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 2

0 0 0 0 0 0

3 4

0 0

1 0 ,

0 .

1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 1lim lim lim lim lim lim

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1lim lim

21 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

x x x x x x

x x

Al sustituir x por nos encontramos

f no existe

xx x xxx xf x

x x x x x x x x x x

x

x x x x x

→ → → → → →

→ →

⇒

− +− − + + + − +− ++ += = = = = =+ + + + + + +

− − − −= = = =+ + + + + + + + +

( ) ( )( )

0. .

0

02 . 1 1 .

0

3

con la indeterminación Operamos para reducir la expresión

Continuamos con la indeterminación Multiplicamos y dividimos por x para quitar el problema del numerador

Podemos dividir por x al numerador y al denominador por

+ +

( ), , 0.

4 , 0.

que en el límite x es un valor muy próximo a cero pero x

Ya no hay indeterminación resolvemos el límite sustituyendo x por

≠

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [4]

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

0 0

0

0 , lim 0. 0 ,

lim 0 lim , , 0

,

x

x x

f no existe pero sí existe f x f x presenta una discontinuidad evitable en x Como f no existe

podemos asignarle el valor de f x con lo que conseguimos f f x y entonces f x sería continua en x

Así tenemos quesi f

→

→ →

⇒ =

= =

( )1 1 1, .

2 2 2f x será continua en el intervalo

= − ⇒ −

6. La función ( )2

3 2

2

14

x x nf x

x mx x

− +=+ −

tiene una discontinuidad evitable en 2x = . Hállense ,m n y todas sus

discontinuidades.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

3 2 2

2, 2 lim .

2, lim

14

2 ,

x

x

Que f x tenga una discontinuidad evitable en x implica que f noexiste pero f x si existe

x x nComo f x está definida por una fracción algebraica la opción de que f x sea un número y que

x mx x

f no exista pasa por que

→

→

=

− +=+ −

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

2

3 2

2 2

3 2 3 22 2 2

2 0 202

0 14 0 2 8 4 28 0

22 2 1 1 1lim lim lim 2

5 14 5

0

5

14 2 7 7 9 9

2.

x x x

x x n para xf

x mx x para x m

x xx x x xAhora f x si definimos f

x x x x x x x x x x

la función f x será continua en x

Las posibles

n

m

di

→ → →

− + = = ⇒= ⇒ + − = = ⇒ + − = ⇒

−− −= ⇒ = = = → =+ − + − +

=

− +

=

=

( )

( )( )

( )

( )( )

2

3 2

3 2

2

3 20 0

2.

5 14

5 14 2 7 2, 0 7

00

00

22lim lim

5 14 2x x

x xscontinuidades de f x estarán en los puntos donde el denominador se anule

x x x

x x x x x x ya hemos analizado la función en x ahora lo haremos en xy x

f

En xx xx x

x x x x x x→ →

−=+ −

+ − = − + ⇒ = = = −

== −− =

+ − − +( ) ( )( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )

0

2 7

3 27 7

7

.1 1

lim7 7 7

637

01 1

lim7 7 022lim lim

1 15 14 2 7lim

7 0

x

x

x x

x

f x presenta un discontinuidad evitable

x

f

f x presenta un discontinuidadEn x xx xx x de ti

x x x x x x

x

−

+

→

−→−

→− →−

+→−

⇒ = = +

− = → ∞

= → −∞= − ⇒ +−− = = + − − + = → +∞ +

( )

.

.0 2 7f x presenta discontinuidades evitables en x y x y discontinuidad de tipo infini

po inf

to en x

inito

= = = −

7. Probar que la función

2 1

3 cos

xy

x

+=−

alcanza el valor 2 en algún punto de su dominio.

Solución:

, .

.

Para probar lo que nos piden aplicaremos el teorema de los valores intermedios o de Darboux También podríamos

resolverlo utilizando el teorema de Bolzano

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [5]

( ) [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2

, . , , ,

, ,

:

Sea f x una función continua en a b Si x x son dos puntos cualesquiera de a b tales que f x f x entonces

la función f x toma todos los valores comprendidos entre f x y fx al menos una vez en el intervalo

El teorema de Darboux nos afirma

< ≠

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

, .

13 cos 0 .

3 cos

2 2 , 0

1 10 2 2 0 2

2 4

x x

xLa función f x es continua en todo porque es cociente de funciones continuas y x x

xDom f

Buscamos dos puntos x y x tales que f x y f x por ejemplo x y x

f y f f f

Tenemos que f x

πππ π

+= − ≠ ∀ ∈−

=

< > = =

+= < = > ⇒ < <

ℝ ℝ

ℝ

[ ] ( ) ( )

( ) ( )( )

2

0, 0 ,

1 10 , ,

2 40, , ,

es continua en y f f estamos en las hipótesis del teorema de Darboux que nos

garantiza que la función toma todos los valorescomprendidos entre f y f al menos una vez en el

intervalo esto quiere decir que al menos e

π π

ππ

π

≠ ⇒

+= =

⇒ ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0, 2

., 0, ,f x alcanza el valor e

xiste un punto c tal qu

n x c c c Dom f

e f c

π

π∈ =

= ∈ ∈

8. Supongamos que f y g son funciones continuas en [ ],a b y que ( ) ( )f a g a< , pero ( ) ( )f b g b> . Probar

que ( ) ( )g c f c= para algún número [ ],c a b∈ .

Solución:

( ) [ ] ( ) ( ), ,

, . .

:

,Sea f x una función continua en a b tal que signo de f a signo de f bentonces ex

Para probar lo que nos piden aplicaremos el teorema Bolzano También podríamos resolverlo utilizando el teorema de Darboux

El teorema de Bolzano nos afirma

≠ ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , 0.

.

,.

0 0

iste al menos un punto c a b tal que f c

Definimos la función h x f x g x

h x es continua en a b puesto que f x y g x lo sonse cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

h a f a g a y h b f b g b

Este teorema nos garantiza quexistee c

∈ =

= −

= − < = − >

∈( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0h ca b tal f cque f c g cg c= ⇒ ⇒ =− =

9. Probar que las gráficas de las funciones ( ) ( )ln xf x x y g x e−= = se cortan en algún punto, y localizarlo

aproximadamente.

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

ln

1, ..1 1

1 1 1 0 1 1 0

x

ee

Definimos la función h x f x g x h x x e

h x es continua en e puesto que f x y g x lo sonse cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

h f g e y h e f e g e ee e

−

− −

= − → = −

= − = − = − < = − = − = − >

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [6]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

01

,

.

0

,

,existe c e tal que las gráficas de las

funciones f x y g x se cortan e

Este teorema nos garantiza que h c f c g c f c g c

Encontremos ese punto c aproximadamente reduciendo el intervalo en el que camb

n

i

el punto x c

a de signo la función

= ⇒∈ ⇒

=

− = ⇒ =

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

1 0 1 0 1 3 0 1 3 01, 2 1, 1 5 1 3, 1 4 1 3, 1 35

2 0 1 5 0 1 4 0 1 35 0

, , 3.1

h x

h h h hc c c c

h h h h

Podemos decir que el está aproximadamenpunto de cort te ene de ambas gráficas x

′ ′< < < < ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ ′ ′ ′> > > >

′

≃

10. La ecuación 326xx = tiene una solución positiva. Hállese dicha solución con una cifra decimal exacta. (La función

( ) xf x x= es continua x +∀ ∈ℝ )

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]( ) ( )1 5

0, . 326 326

1, 5 .

1 1 326 325 0 5 5 326 3125 326 2799 0

x xf x x es continua x Definimos la función g x f x g x x

g x es continua en puesto que es suma de funciones continuasse cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

g y g

= ∀ ∈ + ∞ = − → = −

= − = − < = − = − = >

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

.

0 326 0 3261,

, .

4 0 4

5

326

04, 5

5 0 5

.

4

x

c cEste teorema nos garantiza que existe tal que g c c c

Encontremos ese valor c reduciendo el intervalo en el que cambia de signo la función

c x c es solución de la

ecu

g x

g

aci n

c

x

g

ó

g g

∈ == ⇒ − = ⇒ = ⇒

< <⇒ ∈ → ′>

=

>( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

4 0 4 1 04, 4 5 4, 4 2 4 1, 4 2

0 4 2 0 4 2 0

1, .4,

g gc c c

g g

Podemos decir que la solución de la ecuación aproximada a unacifra decimal ex xacta es

′< < ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ ′ ′> >

′

≃

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11. La ecuación 2 1xx ⋅ = tiene alguna solución en el intervalo [ ]0,1 . Razónese por qué y hállese la misma con una

cifra decimal exacta.

Solución:

( )

( ) [ ]

( ) [ ]( ) ( )0 1

2 1 2 1 0

2 1, .

, 0, 1 , :

0, 1

0 0 2 1 1 0 1 1 2

x x

x

x x

Definimos la función f x x que es continua x por ser producto y suma de funciones continuas

En particular f x será continua en el intervalo con lo que tenemos

f x es continua en

f y f

⋅ = → ⋅ − == ⋅ − ∀ ∈

= ⋅ − = − < = ⋅ −

ℝ

( ) ( )

.1 1 0

0 2 1 0 20, 1

2 1

,

.

1c

x

c

se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

Este teorema nos garantiza que existe tal que f c c c

Encontremos ese valor c reduciendo el interval

c x c es solución de l

o en e

a

ecuación x

l que cam

⇒

= >

= ⇒ ⋅ − = ⇒∈ =

⋅ =

⋅ = ⇒

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

.

0 5 0 0 5 0 0 6 00 5, 1 0 5, 0 7 0 6, 0 7 0 6

1 0 0 7 0 0 7

, , 0

0

.6

bia de signo la función f x

f f fc c c c

f f f

Podemos decir que la solución de la ecuación aproximada a unacifra decimal exacta exs

′ ′ ′< < < ′ ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ → = ′ ′> > >

′

≃

…

12. Hállese la menor solución positiva de la ecuación tg x x= con dos cifras decimales exactas.

Solución:

( ) ( )2 1 2 10 ,

2 2

, .

,2 2

k kLa función y tg x es discontinua cuando cos x es continua en losintervalos de la forma

En cada uno de esos intervalos y tg x es estrictamente creciente sólo corta una vez a la recta y x

Para el intervalo

π π

π π

− + = = ⇒

= ⇒ =

−

3, 0. , ,

2 2tg x x en el punto x Nos piden la primera solución positiva la buscamos en

π π = =

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [8]

( ) ( )

( )

( ) ( )

3, .

2 2

9 9 32, 2, ,

2 2 2 2

9 9 92 2 2 4,19 0 0,1

2 2 2

Definimos la función f x x tg x f x será continua en por ser suma de funciones continuas en ese intervalo

f x es continua en puesto que

f tg y f tg

π π

π π

= − →

⊂

= − > = − −

≃ ≃

( ) ( ) ( )

( )

92,

2

.

4 0

0 0

,

se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

Este teorema nos garantiza que existe tal quc x c es la menor solución

positiva de la ecuación t

e f c c tg c tg c c

Encontremos ese valor c reduciendo el i

g x x

∈ =

=

⇒

<

= ⇒ − = ⇒ = ⇒

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

4 0 4 4 0 4 45 0 4 49 04, 4 5 4 4, 4 5 4 45, 4 5 4 49, 4 5

4 5 0 4 5 0 4 5 0 4 5 0

, 4 49

ntervalo en el que cambia de signo la función f x

f f f fc c c c

f f f f

Entonces c podemos decir que la menor solución po

′ ′ ′> > > > ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ ′ ′ ′ ′< < < <

′= ⇒… 4 49, , .sitiva de la ecuación con dos cifras decimales exactas exs ′≃

13. Demostrar que toda ecuación polinómica de grado impar y coeficientes reales tiene por lo menos una solución

real.

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 2 12 1 2 1 0

2 1 2 2 12 1 2 1 0

0

.

lim lim lim

n n nn n

n n nn nx x x

Un polinomio de grado impar es de la forma p x a x a x a x a y suponemos que a

Definimos la función f x p x que es continua en todos los números reales

f x a x a x a x a x a

+ ++

+ ++→−∞ →−∞ →−∞

= + + + + >

=

= + + + + =

⋯

⋯ ( ) 2 1 2 12 012 1 2 2 1

lim

0 0 0

n nnn n n x

a aaa porque x

x x x+ +

+ + →−∞↓ ↓ ↓

+ + + + → −∞ ⋅ = −∞ → −∞

+ + +

⋯

⋯

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [9]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 2 1 2 1 2 12 012 1 2 1 0 2 1 2 2 1

lim lim lim lim

0 0 0

, 0, , 0

n n n n nnn n n n nx x x x

a aaf x a x a x a x a x a a porque x

x x x

Entonces existe un número real M suficientemente grande talque f M y f M

+ + + ++ + +→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

↓ ↓ ↓

= + + + + = + + + + → +∞ ⋅ = +∞ → +∞

+ + +> − <

⋯ ⋯

⋯

( ) [ ]( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1

0

,.

0 0

0 0

0

,

,

0

k

f x es continua en M Mse cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

f M y f M

Este teorema nos garantiza q c M M x c es solución de la ecue existe tal que f c p c

Si a la ecuación polinómic

u

a de

ación p x

grado imp+

>

− ⇒

− < >

∈ − = == ⇒ = ⇒

>

( ) ( )2 1

.

0 , 0 0.

, .

k

ar tiene al menos una solución real

Para a se haría igual teniendo en cuenta que f M y f M

toda ecuación polinómica de grado impar tiene al menos una soEntonces lución real

+ < − > <

14. Sea f una función definida en un entorno del punto x a= . ¿Cómo puede expresarse en términos de ε y δ la

frase “ f no es continua en x a= ”?

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

lim :

0 , 0, , ,

x aComo f x no es continua en x a f x f a entonces

Podemos encontrar tal que para todo si x a a f x f a f aε δ δ δ ε ε→

= ⇒ ≠

> > ∈ − + ⇒ ∉ − +

15. Hállense todas las soluciones de la ecuación 3 3 1 0x x− + = con una cifra decimal exacta.

Solución:

3 3 1 0 , 3 , .

, , , , ;

x x al ser una ecuación polinómica de grado con coeficientes reales tendrá una o tres raíces reales

Sabemos que toda ecuación polinómica con coeficientes reales tiene a lo sumo tantas raíces reales como su grado

y en el cas

− + =

( )

( )

3

, , .

3 1, .

,

o de tener raíces complejas éstas se encuentran de dos en dos cada una emparejada con su conjugada

Definimos la función f x x x que es continua x por ser una función polinómica

En particular f x será continua en los intervalos

= − + ∀ ∈

−

ℝ

[ ] [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )

2, 1 , 0, 1 1, 2 :

2, 1 , 2 1 0 1 3 0

0, 1 , 0 1 0 1 1 0

1, 2 , 1 1 0 2 6 0

y con lo que tenemos

f x es continua en con f y fse cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano

f x es continua en con f y fen los tres interval

f x es continua en con f y f

−

− − − = − < − = >

= > = − < ⇒= − < = >

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 11 2 3 2

33

2, 1 , 0, 1 1, 0

1 0

.

2 ,

3 .

os

Este teorema nos garantiza que existen tales quc c y c x c x c

y x c son soluciones de la ecuac

e f c f c f

ió

c

n x x

= = =∈ − − ∈ ∈ = =

= − + =

⇒

( )1 2 3, , .Encontremos esos valores de c c y c reduciendo los intervalosen los que cambia el signo de la función f x

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [10]

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

2 0 2 0 1 9 02, 1 5 2, 1 8 1 9, 1 8 1 8

1 5 0 1 8 0 1 8 0

0 0 0 3 0 0 3 00, 0 5 0 3, 0 5 0 3, 0 4 0 3

0 5 0 0 5 0 0 4 0

1 5 0

2 0

f f fc c c c

f f f

f f fc c c c

f f f

f

f

′− < − < − < ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ − − → ⇒ ∈ − − → ⇒ ∈ − − → = − ′ ′ ′− > − > − >

′ ′> > > ′ ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ → = ′ ′ ′< < <

′ <

>

…

…

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

3 3

32

3 3

33 1 0, , 1,8 , 0,3 1,

1 5 0 1 5 01 5, 2 1 5, 1 7 1 5, 1 6 1 5

1 7 0 1 6

5.

0

,

f fc c c c

f f

Entonces las soluciones de la ecuación x x soncon una cifra decimal exac ca c y ct

′ ′< < ′ ′ ′ ′ ′ ′⇒ ∈ → ⇒ ∈ → ⇒ ∈ → = ′ ′> >

− +

−

=

≃ ≃ ≃

…

16. Dada la función ( )5 8

61

x xf x

x

−=−

, encontrar los puntos de discontinuidad de f y determinar razonadamente

si alguna de las discontinuidades es evitable.

Solución:

( )

( )( )

5 8

6

6 6 6 3 3

,1

, .

1 0. 1 : 1 1 1

x xLa función f x es cociente de funciones continuas en todo y será una función continua en todos losnúmeros

xreales salvo en los que anulen al denominador

Veamos cuándo x Descomponemos x en factores x x x y

−=−

− = − − = − +

ℝ

( )( )( )( )

( )

( )

6 2 2 6

5 8

6

1

11 1 1 1 1 1 0 , 2º .

1

,

01

01

li

1 1.1

mx

aplicamos Ruffini a cada factor

xx x x x x x x x puesto que los polinomios de grado

x xf x es discontinua en los punt

son primosx

Entonces la función

f no existe

E

os x yx

n x

x

f→

→

=− = − + + + − + → − = ⇒

−=

= −

=

= →

= = −−

( ) ( )( )( ) ( )

5 35 8 5

6 3 3 31 1 1

.1 1lim lim lim

1 21 1 1

1

x x x

en x la discontinux xx xidad es

xx

evitable

x x x x→ → →

⇒ −− = = ==

= − − + +

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [11]

( )

( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

5 35 8 5

6 3 3 31 1 1

5 31 5 8 5

6 3 3 31 1 1

21

0

1 1 1lim lim lim1 1 01 1 1lim

1 1lim lim lim

1 01 1 1

x x x

x

x x x

f no existe

x xx x x en x la discontinuidad esEn x x x x x de ti

f xx xx x x

x x x x

− − −

+ + +

−→ → →

→−

+→ → →

− − =

−− − = = = = → +∞= − → ⇒ − − + + = − − − = = = → −∞ − − + +

.po infinito

17. Se considera la ecuación 3 2 2 1x x xλ+ − = . Utilizando el Teorema de Bolzano,

a. Probar que si 2λ > , la ecuación admite alguna solución menor que 1.

b. Probar que si 2λ < , la ecuación admite alguna solución mayor que 1.

Solución:

( ) ( )( )

3 2 3 2 3 2

0 0

2 1 2 1 0 ; 2 1 ,

, 0 .

x x x x x x sea la función f x x x x f x es una función siempre

continua por ser polinómica y los puntos x tales que f x son raíces de la ecuación

λ λ λ+ − = ⇒ + − − = = + − −

=

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

0 0

) 2 , 0,1 , 0 1 0 1 2 0 , ,

, 0,1 0 1.

) 0 2 , 1,2 , 1 2 0 2 4 3 0 , ,

a Para f x es continua en con f y f entonces por el teorema de

Bolzano x tal que f x la ecuación admite alguna solución menor que

b Para f x es continua en con f y f entonces p

λ λ

λ λ λ

> = − < = − >

∃ ∈ = ⇒

≤ < = − < = + >

( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0

3 2

2 3 2 3 2 2

, 1,2 0

0 , 1 , 2 , 1 2 0 2 2 2 2 2 1

2 8 12 6 4 4 4 2

1

1 2 6 3 2 3 0 0

.

6

or el teorema

de Bolzano x tal que f x

Para f x es continua e

la ecuación admite alguna soluci

n co

ón may

n f

or que

y f

f

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

∃ ∈ = ⇒

< − = − < − = − + − − − −

− = − + − + − + − + − = − + ⇒ − + > ∀ <

( ) ( )0 0, 1 , 2 0 1.la ecuapor el teorema de ción admite alguBolzano x tal qu na solución mayor quee f xλ⇒

∃ ∈ − = ⇒

jlmat.es Límites y continuidad. Matemáticas II. [12]

18. Calcular ( )( )

1

13

3lim

3

n

xm

x

x→

−

− en los siguientes casos:

a. Si m n>

b. Si m n≤

Solución:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

11 1

13 3 3

3lim lim 3 lim 3 ; , 0 0.

3

3 3, .

m nnn m n m

x x xm

m n

n m

xx x para que el límite tenga sentido suponemos que m y n

x

m nDebemos tener en cuenta que f x x puede no existir para x eso va adepender del valor

n m

En el caso de que el dom

−−⋅

→ → →

−⋅

−= − = − ≠ ≠

−−= − <⋅

( ) ( ) [ ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

3 3

3

3 3

3

3

3 3, , lim 3 lim 3 .

)

lim 3 00 0 lim 3 lim 3 0

lim 3 0

0 0 lim

m n m n m n

n m n m n mx x

m n

n mm n m n

xn m n m

m nx xn m

x

x

inio de la función f x x sea tendremos que x x

a m n

xm nSi m n x x

n mx

m nSi m n

n m

+

+

−

− − −⋅ ⋅ ⋅

→ →

−⋅− −

→⋅ ⋅−→ →⋅

→

→

= − + ∞ − = −

>

− =−> > ⇒ > ⇒ − = ⇒ − =⋅ − =

−> > ⇒ < ⇒⋅

( )( )

( )

( )

( )( )

3

3,

3

3

3

3

1 1lim

031 13 lim

1 03 lim130

lim 3 00 0 lim 3

lim

n mx

n m

m n

n mn mx n m

dependiendo del valor de puede sern m n mn m

xn m

m n

n mm n

xn m

x

x

x

xx

x

xm nSi m n x

n mx

+

−

+

−

− +→⋅

−⋅

−→ − −⋅ ⋅−→⋅

+

−⋅−

→⋅→

→

= = +∞−

− = = = −∞− = →

− = +∞

− =−> > ⇒ > ⇒ − =⋅ −( )

( )

( )( )

( )

( )

3

3

3 3,

3

lim 3 0

3 0

)

1 1lim

031 10 0 lim 3 lim

1 03 lim130

m n

n mm n xn m

n mx

n m

m n

n mn mx x n m

dependiendo del valor de puede sern m n mn m

xn m

x

b m n

xm n

Si m n xn m x

x

+

−

−⋅

− →⋅

− +→⋅

−⋅

−→ → − −⋅ ⋅−→⋅

+

⇒ − = =

≤

= = +∞−

− < < ⇒ < ⇒ − = = = −∞⋅ − = →− = +∞

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

3

3 3

3

3

3 3

3

lim 3 00 0 lim 3 lim 3 0

lim 3 0

1 1lim

031

0 0 lim 3 lim13 lim3

m n

n mm n m n

xn m n m

m nx xn m

x

n mx

n m

m n

n mn mx x

dependiendo del van m

n mx

n m

xm nSi m n x x

n mx

xm n

Si m n xn m x

x

+

−

+

−

−⋅− −

→⋅ ⋅−→ →⋅

→

− +→⋅

−⋅

−→ →⋅

−→⋅

− =−< < ⇒ > ⇒ − = ⇒ − =⋅ − =

= = +∞−

−< < ⇒ < ⇒ − = =⋅ − =

−

( ) ( )

,

0

3 3 3

1

01

0

0 lim 3 lim 3 lim1 1

n mlor de puede ser

n m

m n

n mx x x

m nSi m n x x

n m

− −⋅

+

−⋅

→ → →

= −∞ → = +∞

−= ⇒ = ⇒ − = − = =⋅