límites y continuidad(2)
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LÍMITES Y CONTINUIDAD
BIENVENIDOS AL CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
LÍMITES Y CONTINUIDAD
El concepto de límite es la base fundamental con la
que se construye el cálculo infinitesimal(diferencial e
integral) Informalmente hablando se dice que el
límite es el valor al que tiende una función cuando la
variable independiente tiende a un determinado
número o al infinito.
La palabra “cálculo” proviene del latín “calculus”, que
significa contar con piedras. Precisamente desde
que el hombre ve la necesidad de contar, comienza
la historia del cálculo, o de las matemáticas.
ALGO DE HISTORIA
La historia del
cálculo, comienza
desde que
comenzó la historia
del hombre,
cuando este vio la
necesidad de
contar
ALGO DE HISTORIA
Las matemáticas, actualmente son la base detodas las ciencias que maneja el hombre, debidoa que su campo de acción cubre la totalidad delos conocimientos científicos.
En el renacimiento, los matemáticos de esaépoca, trabajaron en lo relacionado aprocedimientos y métodos de solución denumerosos problemas que aumentabanrápidamente. Estos métodos se dividen en tresgrandes grupos, los relacionados con el cálculodiferencial, el cálculo integral y la teoría deecuaciones diferenciales. Con estosfundamentos se constituyó en lo queactualmente se conoce como teoría de límites yde funciones.
ALGO DE HISTORIA
Bernard Bolzano, fue
pionero en el análisis de
funciones, en sus
trabajos estudió el
criterio de convergencia
de sucesiones y
proporcionó una
definición rigurosa de
continuidad de
funciones.
ALGO DE HISTORIA
Estudió las propiedades de las funcionescontinuas y demostró en relación con éstasuna serie de importantes teoremas,destacándose el teorema de Bolzano: unafunción continua toma todos los valorescomprendidos entre su máximo y sumínimo. También amplió la clase de curvascontinuas, aplicando el método deacumulación de singularidades y obtuvo,entre otras funciones originales, la funciónque no tiene derivada en ningún punto yconocida actualmente como función deBolzano.
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Si f(x) = (x2 − 1)/(x −1) y
evaluamos
(reemplazamos el valor
de x) en uno, nos queda
una indeterminación de la
forma 0/0 , esto significa
que el cálculo que se
está realizando no tiene
sentido desde el punto de
vista matemático ya que
no existe la división entre
cero.
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Pero nos podemos acercar al punto uno através de valores cercanos a uno.
A través de valores menores que uno, puedeser 0,5 luego 0,6 y así sucesivamente tantocomo se quiera , pero sin que el valor seauno.
O se puede acercar a través de valoresmayores a uno, por ejemplo 1,5 se vadisminuyendo a 1,1 luego a 1,01 y asísucesivamente tanto como se quiera pero sinque se llegue al valor de 1 donde no sepuede hacer la operación que convierte eldenominador en cero.
Analice las tablas que se presentan en lasigiente diapositiva.
ACERCÁNDOSE A UNO A TRAVÉS DE VALORES MENORES
QUE UNO:
x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999
F(x) 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999
ACERCÁNDOSE A UNO A TRAVÉS DE VALORES MAYORES
QUE UNO
x 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001
F(x) 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
¿A qué valor se acerca la función amedida que f(x) se aproxima a uno, através de valores menores que uno y através de valores mayores que uno?
Se observa que se acerca al valor 2
Entonces se puede concluir que la funciónf(x) = (x2-1)/(x-1) tiene como límite el valor
2 cuando x tiende al valor 1.
PARA DESARROLLAR
De manera similar al ejemplo, realice el
cálculo del límite de las funciones:
F(x) = 1/(x -1) en el punto x = 1
G(x) = (1 +x) / (x -1) en el punto x = 1
H(x) = (x2 -1) / (x +1) en el punto x = -1
ALGUNOS TICS PARA RECORDAR Y TENER ÉXITO CON LOS PROBLEMAS DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
En cálculo diferencial no se puede
dividir por cero. No es cierto que 5 / 0
es infinito.
El logaritmo de un número negativo, o
sea que es menor que cero. No es
número real. LOG (-2) No está
definido.
Toda raíz de índice par de un número
negativo no es número real.2√-4 No es número real