tema2 (tendencia central)-1

Ing. Tania N. Colque Ortiz

CAPITULO 2

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Una de las características más sobresalientes de la distribución de datos es su tendencia a

acumularse hacia el centro de la misma. Esta característica se denomina Tendencia central.

Las medidas de tendencia central más usuales son:

También llamadas de centralización o de tendencia central. Sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Veamos su significado con un ejemplo:

Supongamos que queremos describir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos

por un conjunto de alumnos en un cierto examen; diríamos:

a) La nota media de la clase es de 6,5.

b) La mitad de los alumnos han obtenido una nota inferior a 5.

c) La nota que más veces se repite es el 4,5.

En la expresión a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemente la media.

En la b) se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja por debajo

de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. Y en la c) se usa el valor de

la nota que más veces se ha repetido en ese examen, este valor es la moda.

MEDIA ARITMETICA.-

La media aritmética (X) es una medida algebraica de esa posición media; para cuyo cálculo se tienen en cuenta los valores de todas las observaciones de la serie. En el lenguaje no técnico es el conocido como promedio; aunque, estadísticamente, promedio es sinónimo de medida de tendencia central. Matemáticamente, se obtiene por la sumatoria de los valores de cada una de las observaciones dividido el número de esas observaciones:

1


a) Datos No tabulados.-

Ejemplo:

Sean los siguientes valores las calificaciones la asignatura de matemáticas de estudiantes de primer año:

10 8 6 7.5 7 7.5 8 9.5 10 10

8 6 9 10 7.5 6 9.5 10 6.5 8

6 6 9 10 7 8 9.5 5 8 7.5

Sumando los valores de las 30 calificaciones y dividiéndolas entre los 30 datos obtendremos:

830

240

n

xx i

Por lo que la media de calificaciones obtenida por el grupo considerado es igual a 8.

b) Datos agrupados

Ejemplo: A partir de los datos tabulados en la siguiente tabla que corresponden a las edades de un grupo de personas tomadas al azar, calcular la media aritmética

2

X Media Aritmetica

x Suma de las muestras

n numero total de las muestras


Calculo de la Media Aritmética para variables cuantitativas discretas

Ejemplo: Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de los siguientes datos expresados en kg.

xi fi xi fi

54 2 10859 3 17763 4 25264 1 64

10 601

kg

NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DE GRAVEDAD de la distribución.

CARACTERISTICAS DE LA MEDIA ARITMETICA.-

3

Li - Ls fi

32 – 4242 – 5252 – 6262 – 7272 – 82

361072

Li - Ls fi MC

32 – 4242 – 5252 – 6262 – 7272 – 82

361072

3747576777

111282570469154

28 1.586

Calculamos primero la marca de clase. Luego la columna de las marcas de clase se las multiplica con las frecuencias absolutas.

El promedio de las edades de este grupo de personas es: 56,64 años.


- Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de características cuantitativas.

- En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.- Es lógica desde el punto de vista algebraico.- La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.- No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.- La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos numéricos tiene una y solo

una media aritmética.- Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo número, la

media queda multiplicada o dividida por dicho número. - Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará en

dicha cantidad.

MEDIA GEOMETRICA.-

El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como

porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la

variable presenta variaciones acumulativas. Además, cuando la variable toma al menos un x

= 0 entonces G se anula, y si la variable toma valores negativos se pueden presentar una

gama de casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de

las raíces de índice par de números negativos.

La media geométrica (G) de n valores no negativos es la enésima raíz del producto de los n

valores.

Si algunos valores son muy grandes en magnitud y otros muy pequeños, la media

geométrica proporciona una mejor representación de los datos que un simple promedio. In

una “serie geométrica”, el average más significativo es la media geométrica (G). La media

aritmética es muy favorecida por valores grandes de la serie.

4


Una aplicación: Suponga que las ventas de un determinado producto incrementan en 110% en el primer año y en 150% en el segundo. Por simplicidad, asuma que usted inicialmente vendió 100 unidades. Entonces el número de unidades vendidas en el primer año fueron 110 y en el segundo fueron 150% x110= 165. Usando la media aritmética de 110% y 150% que es 130%, estimaríamos incorrectamente las unidades vendidas en el primer año de 130 y las del segundo año de 169. Mediante la media geométrica de 110% y 150% obtendríamos G = (1,65)1/2 la cual es la estimación correcta, por lo cual venderíamos 100 (G)2 = 165 unidades en el segundo año.

a) Datos no agrupados

Ejemplo: Encontrar la Media Geométrica de: 7 8 2 6 5

b) Datos agrupados

5

Esta fórmula es complicada de usar cuando los valores son grandes. Por lo que es necesario hacerle algunos arreglos matemáticos

Aplicamos una propiedad de raiz cuadrada

Aplicamos propiedades logarítmicas

Aplicamos propiedades logarítmicas

Obtenemos una ecuación de fácil uso.


Calcular la media geométrica para la siguiente tabla:

Características de la Media Geométrica.-

En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética Es única. No puede ser calculada en distribuciones con clases abiertas. Cuando la variable toma al menos un valor de cero (0), entonces XG se anula, y si la

variable toma valores negativos se puede presentar una gama de casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de las raíces de índice de números negativos.

6

Li - Ls fi MC Log. MC

32 – 4242 – 5252 – 6262 – 7272 – 82

361072

3747576777

1,5861,6721,7551,8261,826

4,70410,03217,55012,7823,772

28 = 48,851


La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

MEDIA ARMONICA (XH).- La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios, etc

La media armónica otro average especializado, el cual es útil para calcular promedios de variables expresadas en proporciones de unidades por tiempo, tales como kilómetros por hora, número de unidades de producción por día. La media armónica (G) de n valores no cero x(i) es: H = n/[ (1/x(i)].

a) Datos no agrupados

Ej: Calcular la Media Armónica de los siguientes valores: 7 5 10 6 (n = 4)

b) Datos Agrupados

Encontrar la media armónica de la siguiente tabla:

7


Características de la Media Armónica.-

Se toman en cuenta todos los valores de la variable Es afectada por valores extremos aunque en menor medida que la media aritmética. La media geométrica de un número y su recíproco será siempre igual a uno. No puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas. Es mayormente usada para promediar tazas de cambio, razones y valores que

muestren una progresión geométrica

RELACION ENTRE LAS MEDIAS.-

Entre la media aritmética la media geométrica y media armónica se da siempre la siguiente relación:

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Caso particular de la media aritmética, que aparece cuando se otorga a cada valor de la

variable x una ponderación o peso w , distinto de la frecuencia o repetición n . En este

8

Li - Ls fi MC

32 – 4242 – 5252 – 6262 – 7272 – 82

361072

3747576777

0,0810,1280,1750,1040,025


caso no todos los valores de la distribución intervienen con el mismo peso en el cálculo de

la media. La cuantía de dichos pesos define la importancia de cada valor de la distribución

en el cálculo de la media.

Si la distribución de frecuencias es (X , w ), siendo X los valores de la variable o las

marcas de clase, y siendo w los pesos o ponderaciones, la media aritmética ponderada que

denotaremos por , se define como sigue:

W =

En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia

que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será

como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Ejemplo.-

Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los siguientes resultados: 5, 8 y 7. El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3 respectivamente. Se pide calcular la nota media.

XiWi XiWI

5 1 58 2 167 3 21

6 42

Ahora bien, si calculamos la media ponderada, obtendremos:

Ejemplo

9


Para ocupar un puesto de trabajo vacante en la recepción-administración de un hotel, se realizan diferentes pruebas a los aspirantes, cada una de ellas con una importancia determinada. El resultado de las pruebas por parte de dos aspirantes es la siguiente:

Importancia PruebaNota

ASPIRANTE 1

Nota ASPIRANTE

21 Cultura General 9 73 Contabilidad 6 56 Idiomas 7 102 Manejo de

ordenadores10 4

¿Qué aspirante obtendrá la plaza?3

Solución:Primero se calculará la media ponderada para cada aspirante y después se compararán los resultados.

Aspirante 1 Aspirante 2xi wi xi.wi yi wi yi.wi

9 1 9 7 1 76 3 18 5 3 157 6 42 10 6 6010 2

122089

4 212

890

ASPIRANTE 1: _ 89 ASPIRANTE 2: _ 90xP = --------- = 7,4 puntos; yp = --------- = 7,5 puntos;

12 12

Obtendrá la plaza el Aspirante 2 (ya que es el que tiene la nota más alta)

LA MEDIANA.-

Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana al primer valor de la variable que deja por debajo de sí al 50 %de las observaciones. En otras palabras es el valor que se encuentra exactamente en el centro del conjunto de datos.

10


Es el valor de la variable que, ordenados los datos de menor a mayor, deja a izquierda y derecha el mismo número de observaciones. El valor de la variable que tiene una frecuencia acumulada de N/2.

En el caso de una distribución "no agrupada" su determinación no presenta problemas.

En el caso de una distribución con los valores agrupados por intervalos: habrá de detectarse primero el "intervalo mediano"(aquel intervalo en el que se produzca una acumulación de frecuencia de N/2).Después obtendremos el valor "intrapolando" gráficamente, suponiendo que la distribución de frecuencias dentro del intervalo es "uniforme":

Una vez detectado el intervalo mediano, aquél en el que la frecuencia acumulada llega a sobrepasar la mitad del total de las observaciones, consideraremos como valor de la mediana la abscisa correspondiente al punto de corte del polígono acumulativo y la recta Y=N/2 .La determinación de ese valor puede resolverse fácilmente por semejanza de triángulos:

11


Ej: Analizando el siguiente gráfico, el dibujo correspondiente a la posición 4 será la mediana de este grupo

a) Datos no agrupados:

1 2 2 3 5 6 8 9 9 10 10 10 13 15 17

El valor central corresponde a la mediana

Para su cálculo es necesario seguir los siguientes pasos:

12

= 5,510 + 12

= 5,510 + 12


1) Ordenar los datos. (Es decir, hacer del conjunto de datos una serie).2) Hallar el lugar donde cae la mediana.3) Hallar el valor de la mediana.

Ordenada la serie se busca el lugar. Para ello se aplica la fórmula: Siguiendo con el ejemplo anterior:

2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6

“5” es el lugar donde cae la mediana. Hallar el valor, en este caso en que hay un número impar de observaciones, es fácil: es la quinta observación (contando de izquierda a derecha o de derecha a izquierda). Esa observación tiene el valor 4. Por lo tanto, la mediana de esta serie es de 4 años de edad.

Si el número de observaciones fuera par:

2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 8

“5,5” es el lugar donde cae la mediana; es decir en la mitad entre el 5º y el 6º lugar. Para hallar el valor deberá sacarse la media de los valores de las observaciones que corresponden a esos lugares; ya que 5,5 representa la mitad del espacio comprendido entre ambas. El quinto y el sexto lugar lo ocupan observaciones que tienen valores 4 y 5, respectivamente. Por lo tanto, la mediana será la media de 4 y 5; es decir: 4,5 años de edad.Si existiera un valor aberrante:

2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 24

Como puede verse el lugar de la mediana no cambia y su valor tampoco; es decir, no se ve influido por un valor aberrante.

b) Datos agrupados

Donde:

Eje mplo:

13

Li - Ls MC f fa

40 – 50 45 5 550 – 60 55 10 1560 – 70 65 21 3670 - 80 75 11 4780 - 90 85 5 5290 - 100 95 3 55

100 – 130 115 3 58

9 + 12

n + 12

= 5


Primero debemos determinar en que clase se encuentra la mediana, para ello:

14

583115100 – 130

58

55395 90 - 100

52585 80 - 90

471175 70 - 80

362165 60 – 70

151055 50 – 60

5545 40 – 50

fafMC Li - Ls

Con este valor nos vamos a la columna de frecuencia acumulada (fa), y observamos en que clase está contenido el valor de 29 (La mediana se ubica en la tercer clase).


Por lo tanto, el valor que se encuentra exactamente en el centro de este conjunto de datos es: 66,67

Calculo de la Mediana para variables cuantitativas discretas.-

Ejemplos:

A) Edades de un grupo de jóvenes que han realizado un curso para aprender a montar a caballo.

xi fi fai

-------------------------------- 20 3 3 21 2 5 N/2 = 10/2 = 5 22 2 8 Edad mediana: Me = 21 años 23 1 9 24 1 10

10

Características de la Mediana.-

En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable. La Mediana no es afectada por valores extremos. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas. No es lógica desde el punto de vista algebraico.

LA MODA

La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo.

Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal según el caso.

Por lo tanto el cálculo de la moda en distribuciones discretas o cualitativas no precisa de una explicación mayor; sin embargo, debemos detenernos un poco en el cálculo de la moda para distribuciones cuantitativas continuas.

a) Datos no agrupados.-

15


Se selecciona el dato que esté mas repetido.

b) Datos agrupados.-

Ejemplo:

Veamos sus cálculos con un ejemplo para lo cual utilizaremos la distribución de los ingresos semanales en dólares

Li - Ls fi

65 - 75 475 - 85 1185 - 95 2095 - 105 9105 - 115 6

Total 50

Como el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta es el tercero, en esta clase se encuentra la Moda. Entonces, al reemplazar en las formulas anteriores se tiene lo siguiente:

El valor mas frecuente es 89,50 dólares.

Características de la moda.-

En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.

16

Mo = ModaLi = Límite Inferior de la clase modal

= fi – fi-1 = Frec. Absoluta de la clase modal menos la frecuencia absoluta de la clase premodal

= fi – fi+1 = Frec. Absoluta de la clase modal menos la frecuencia absoluta de la clase postmodalAC = Ancho de clase

Clase Modal


El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación de los intervalos de clases.

No está definida algebraicamente. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas. No es afectada por valores extremos.

Las características principales de estos tres estadísticos son tabuladas a continuación:

Principales Características de la Moda, Mediana y Media Hechos

Moda Mediana Media

1

Es el valor mas frecuente en la

distribución. Es el punto de más alto

densidad.

Es el valor del punto medio de la selección (no del rango), tal que la mitad de los datos están por arriba y por

debajo de ella.

Es el valor en algún agregado, el cual se

obtendría si todos los valores fueran iguales.

2

Su valor es establecido por la frecuencia

predominante, no por los valores en la

distribución.

El valor de la media es fijado por su posición en la selección, y no

refleja valores individuales.

La suma de las desviaciones en

cualquier lado de la media son iguales; por lo tanto la suma algebraica de sus desviaciones es

cero.

3Este es el valor más

probable, por lo tanto el más común.

La distancia agregada entre la mediana y

cualquier otro punto de la muestra es menor que en cualquier otro

punto.

Esta refleja la magnitud de cada valor.

4

Una distribución puede tener más de 2 modas, pero no existe

moda en una distribución rectangular.

Cada selección tiene solo una mediana.

Una muestra tiene solo una media.

5

No puede ser manipulada

algebraicamente. Modas de subgrupos

no pueden ser ponderadas o combinadas.

No puede ser manipulada

algebraicamente. Medianas de subgrupos

no pueden ser ponderadas o combinadas.

Pueden ser manipuladas algebraicamente. Medias de subgrupos pueden ser combinadas cuando son

ponderadas apropiadamente.

17


6

Es inestable, puede ser influenciada en el

proceso de agrupación.

Es estable en cuanto a que procedimientos

para agrupar no afecta su apreciación.

Es estable en cuanto a que procedimientos para

agrupar no afecta su apreciación.

7La moda no refleja el grado de modalidad.

No es aplicable para datos cualitativos.

Podría ser calcula igualmente cuando los

valores individuales son desconocidos, si se

posee la suma de los valores y el tamaño de la

muestra.

8

Puede ser calculada cuando los extremos de los valores de los grupos son abiertos.

Puede ser calculado cuando los valores

extremos son abiertos.

No puede ser calculado de una tabla de

frecuencia cuando sus valores extremos son

abiertos.

9Valores deben ser ordenados para su

cálculo.

Valores deben ser ordenados y agrupados

para su cálculo.

Los valores no necesitan ser ordenados para su

cálculo.

CUARTILES.-

Son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.

Q1, primer cuartil, al menos el 25% de los datos son menores o iguales que el y al menos el 75% de los datos son mayores o iguales que él.

18

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre504S.htm#rQualQuany


Q2, segundo cuartil, es la mediana, Q2 = Me. Al menos el 50 % de los datos son menores o iguales que el y al menos el 50 % de los datos son mayores o iguales que el.

Q3, tercer cuartil, al menos el 75% de los datos son menores o iguales que el y al menos el 25% de los datos son mayores o iguales que él.

Q4, cuarto cuartil, es el mayor valor que se alcanza en la muestra.

Resumiendo: Q1= Valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de la distribución. Q2= Valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de la distribución =

mediana. Q3= Valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de la distribución.

Ejemplo: Se tiene a 15 personas en filas ordenadas de menor a mayor estatura

Representación.-

b) Datos tabulados

19

100 110 120

150

140

130 11eerr ccuuaarrttiill

33eerr ccuuaarrttiill

MMeeddiiaannaa

Q1 Q3Q2

0 % 25 % 50 % 100 %75 %

Donde:= Límite Inferior de la clase donde se encuentra el Cuartil

= Indica el número del cuartil =La cantidad de valores u observaciones

= La frecuencia acumulada “menor que” de la clase anterior a la del Cuartil

= Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentra el Cuartil

=Ancho de clase


Ejemplo: Utilicemos la distribución de los ingresos por familia semanal en dólares.

Límites fi fa

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Calcular los cuartiles 1 y 3:

Con la relación determinamos en la columna de fa (-) en que clase está contenido el

cuartil deseado, donde “ ”, representa el cuartil.

Primer Cuartil.- (Q1)

20

Límites fi fa

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Lo que nos indica que el primer cuartil se encuentra en el segundo intervalo

Q1


Reemplazando en la ecuación:

Interpretación.- Significa que el 25 % de todas las familias encuestadas tienen un ingreso menor o igual a 82,73 dólares.

Tercer Cuartil.- (Q3)



DECILES.-

Son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.

21

Límites fi fa

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Lo que nos indica que el tercer cuartil se encuentra en el cuarto intervalo o clase.

Q3

D2

0 % 10% 20% 100 %40%30% 60%50% 70% 80% 90%

D1 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9


b) Datos tabulados


Límites fi fa

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Calcular los Deciles 2 y 4:


decil deseado, donde “ ”, representa el decil.

Decil 2.-

22

Donde:= Límite Inferior de la clase donde se encuentra el Decil

= Indica el número del decil (1,2,3,4,5,6,7,8,9) =La cantidad de valores u observaciones

= La frecuencia acumulada “menor que” de la clase anterior a la del Decil

= Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentra el Decil

=Ancho de clase

Lo que nos indica que el Decil 2 se encuentra en el segundo intervalo




PERCENTILES.-

Son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.

Los Percentiles son 99 y dividen a la muestra en cien partes iguales Los Percentiles se pueden calcular del siguiente modo:

b) Datos tabulados

23

Límites fi fa

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

D2

Donde:= Límite Inferior de la clase donde se encuentra el Percentil

= Indica el número del percentil =La cantidad de valores u observaciones

= La frecuencia acumulada “menor que” de la clase anterior a la del percentil

= Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentra el percentil

=Ancho de clase



Límites fi fa(-)

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Calcular el percentil 43:


percentil deseado, donde “ ”, representa el percentil.

Percentil 43.- (P43)


24

Límites fi fa(-)

65 - 75 4 475 - 85 11 1585 - 95 20 3595 - 105 9 44105 - 115 6 50

Total 50

Lo que nos indica que el percentil 43 se encuentra en el tercer intervalo

P43


Interpretación.- Significa que el 43 % de todas las familias encuestadas tienen un ingreso menor o igual a dólares.

RECORRIDO INTERCUARTILICO.-

Es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil

RI = Q3 – Q1

RECORRIDO INTERDECILICO.-

Es la diferencia entre los percentiles 90avo y décimo. P90 - P10

GRAFICO DE CAJAS

Los diagramas de cajas y bigotes –también llamados “boxplots o box and whiskers” son representaciones gráficas de una distribución estadística unidimensional en las que se reflejan cinco parámetros: límite inferior, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y límite superior. A partir de estos cinco parámetros se pueden obtener fácilmente otros dos: el rango y el rango intercuartílico. Además, también dan una medida de la simetría o asimetría de la distribución, del sesgo y de la dispersión.

Esta presentación visual, asocia las cinco medidas que suelen trabajarse de forma individual. Presenta al mismo tiempo, información sobre la tendencia central, dispersión y simetría de los datos de estudio. Además, permite identificar con claridad y de forma individual, observaciones que se alejan de manera poco usual del resto de los datos. A estas observaciones se les conoce como valores atípicos.

25Mínimo

Máximo

Mediana

1er cuartil

3er cuartil

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#Simetria

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#Dispersi%C3%B3n

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#Tendencia


Las partes del Boxplot se identifican como sigue:

1.-Límite superior: Es el extremo superior del bigote. Las opiniones por encima de este límite se consideran atípicas. Para más detalles consulte sobre la construcción de los límites y los valores atípicos.

2.-Tercer cuartil (Q3): Por debajo de este valor se encentran como máximo el 75% de las opiniones de los estudiantes.

3.-Mediana: Coincide con el segundo cuartil. Divide a la distribución en dos partes iguales. De este modo, 50% de las observaciones están por debajo de la mediana y 50% está por encima.

4.-Primer cuartil (Q1): Por debajo de este valor se encuentra como máximo el 25% de las opiniones de los estudiantes

5.-Límite inferior: Es el extremo inferior del bigote. Las opiniones por debajo de este valor se consideran atípicas. Para más detalles consulte sobre la construcción de los límites y los valores atípicos.

6.-Valores atípicos: Opiniones que están apartadas del cuerpo principal de datos. Pueden representar efectos de causas extrañas, opiniones extremas o en el caso de la tabulación manual, errores de medición o registro.

Se colocan en la gráfica con asteriscos (*) o puntos (.) según se alejan menos o más del conjunto de datos. Se utiliza un superíndice numérico para indicar el número de veces que aparece ese dato como atípico. NOTA:

26

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#L%C3%ADmites





Esta presentación en línea del Boxplot está en primera versión y aun en proceso de mejora. Se señalan los datos atípicos con una circunferencia (o) en el caso de ser única la observación. En caso contrario, usted sólo verá un triángulo ($). Si esto sucede, debe remitirse al reporte numérico para verificar la cantidad de observaciones atípicas por pregunta.

7.-Media aritmética: Es lo que tradicionalmente se conoce como promedio. Originalmente no forma parte del boxplot, sin embargo, se consideró su inclusión para dar una idea del puntaje general obtenido por pregunta. Actualmente se trabaja en la elaboración de estadísticos más representativos que la media aritmética para describir el conjunto de datos.

EJERCICIO RESUELTO No. 1

1. Los siguientes datos corresponden a tiempos de vida (en horas) de unas ratitas de laboratorio expuestas a un cierto veneno. Se quiere ver la efectividad de dicho veneno.

0,03 0,03 0,04 0,05 0,07 0,11 0,12 0,14 0,22 0,220,23 0,24 0,29 0,29 0,31 0,33 0,36 0,47 0,51 0,600,61 0,73 0,85 0,86 0,86 0,93 0,97 0,99 1,05 1,061,11 1,14 1,18 1,21 1,35 1,40 1,44 1,71 1,79 1,881,91 1,93 1,96 2,21 2,34 2,63 2,66 2,93 3,20 3,53

(a) Construir la respectiva tabla de Frecuencias, (CON 7 INTERVALOS) calculando: marca de clase, intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada

(b) Elaborar un histograma absoluto(c) Calcular la Media Aritmética y Mediana.

RESPUESTA.-

27

Li - Ls fi fa hi Hi hi % Hi %

0,03 - 0,530,53 -1,031,03 – 1,531,53 – 2,032,03 – 2,532,53 – 3,033,03 – 3,53

19996232

19283743454850

0,380,180,180,120,040,060,04

0,380,560,740,860,900,961,00

38181812464

385674869096100

50 1,00 100%

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#Estad%C3%ADsticos

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm#Media


b) Elaborar un histograma absoluto

c) Calcular la Media Aritmética y Mediana.

28

Li - Ls fi MC MC.fi

0,03 - 0,530,53 -1,031,03 – 1,531,53 – 2,032,03 – 2,532,53 – 3,033,03 – 3,53

19996232

0,280,781,281,782,282,783,28

50 54

0,03 1,03 1,530,53 2,532,03 3,03

4

2

14

10

16

6

12

8

18

Límites

20

fi

3,53


Primero debemos determinar en que clase se encuentra la mediana, para ello:

0,863 horas.

29

5023,283,03 – 3,53

50

4832,78 2,53 – 3,03

4522,28 2,03 – 2,53

4361,78 1,53 – 2,03

3791,281,03 – 1,53

2890,78 0,53 -1,03

19190,28 0,03 - 0,53

fafMC Li - Ls

Con este valor nos vamos a la columna de frecuencia acumulada (fa), y observamos en que clase está contenido el valor de 25 (La mediana se ubica en la segunda clase.


Interpretación.- El valor que se encuentra exactamente en el centro del conjunto de datos es 0,863.

d) Obtenga el intervalo donde se encuentra el 40 % central de la distribución:

30

Li - Ls fi fa

0,03 - 0,530,53 -1,031,03 – 1,531,53 – 2,032,03 – 2,532,53 – 3,033,03 – 3,53

19996232

19283743454850

50

100 %0 % 30% 50% 70%

D3 D7

P30 P70

40% central

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el P30 está ubicado en la 1er. clase

P30

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el P70 está ubicado en la 3era. Clase

P70


Reemplazando en la fórmula:

Conclusión: El 40 % central se encuentra entre el P30 y el P70, es decir entre: 0,42 y 1,41 horas.

e) ¿En qué intervalo de tiempo mueren el 90 % de las ratitas?

31

Li - Ls fi fa

0,03 - 0,530,53 -1,031,03 – 1,531,53 – 2,032,03 – 2,532,53 – 3,033,03 – 3,53

19996232

19283743454850

50

100 %0 %

90 %

90%

P90

D9

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el D9 está ubicado en la 5ta. Clase

D9


EJERCICIOS RESUELTOS No. 2

Los siguientes datos corresponden a la cantidad de minutos que un grupo de universitarios tardan en llegar desde su domicilio hasta la universidad. Calcular el intervalo en que están concentrados el 50 % de los universitarios

Li - Ls fi fa

20 , 25 100 10025 , 30 150 25030 , 35 200 45035 , 40 180 63040 , 45 41 671

N = 671

Calcularemos la Mediana:

La mediana se encuentra en la tercera clase, es decir en el intervalo 30 – 35.

Conclusión: El intervalo en que están concentrados el 50 % está entre los valores de 20 – 32,14 minutos.

32

Significa que entre 0,03 y 2,53 horas mueren el 90 % de las ratitas.

100 %0 % 50 %

D5=P50=Q2=Me

Mediana



- Ejemplo de cálculo de cuartiles con una variable discreta

Dada la siguiente distribución en el número de hijos de 100 familias, calcular sus cuartiles

Cantidad de hijos fi fa0 14 141 10 242 15 393 26 654 20 855 15 100

Solución:

- Primer Cuartil (Q1):

- Segundo Cuartil (Q2):

- Tercer Cuartil (Q3):

33

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el Q1 está ubicado en la 3era. Clase. Por lo tanto el Q1 = 2 hijos

Q1

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el Q2 está ubicado en la 4ta. Clase. Por lo tanto el Q2 = 3 hijos

Q2

Con este valor observamos en la columna de frecuencia acumulada, y vemos que el Q3 está ubicado en la 5ta. Clase. Por lo tanto el Q3 = 4 hijos

Q3



Han sido ordenados los pesos de 21 personas en la siguiente tabla:

Li - Ls fi fa

38 - 4545 – 5252 – 5959 – 6666 – 73

32736

35121521

21

Calcular los cuartiles 1 y 3:


cuartil deseado, donde “ ”, representa el cuartil.

Primer Cuartil.- (Q1)

Li - Ls fi fa

38 - 4545 – 5252 – 5959 – 6666 – 73

32736

35121521

21

34

Lo que nos indica que el primer cuartil se encuentra en el tercer intervalo

Q1



Interpretación.- Significa que el 25 % de todas las personas tienen un peso menor o igual a 52,25 dólares.

Segundo Cuartil- (Q2)

Li - Ls fi fa

38 - 4545 – 5252 – 5959 – 6666 – 73

32736

35121521

21



Tercer Cuartil (Q23)

35

Lo que nos indica que el segundo cuartil se encuentra en el tercer intervalo

Q2

Lo que nos indica que el tercer cuartil se encuentra en el quinto intervalo


Li - Ls fi fa

38 - 4545 – 5252 – 5959 – 6666 – 73

32736

35121521

21



EJERCICIO RESUELTO 5

En la siguiente tabla tenemos tabulados la cantidad de minutos que un grupo de 50 personas ingresan al Internet un día cualquiera de la semana.

36

Q3


Calcular las medidas de tendencia central.-

Cálculo de la Moda

Cálculo de la Mediana.-

Calculo del Cuartil 2.- (Q2)

37

Como el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta es el segundo, en esta clase se encuentra la Moda. Entonces, al reemplazar en las formulas anteriores se tiene lo siguiente:

Con este valor nos fijamos en la columna de fa(-), vemos que la mediana se encuentra en la segunda clase

Con este valor nos fijamos en la columna de fa (-), vemos que el Cuartil 2 se encuentra en la segunda clase

utosACfi

fain

LiQ min23,9439*17

142569*

14

2


Calculo del Decil 7.- (D7)

Calculo del Percentil 90.- (P90)

38

Con este valor nos fijamos en la columna de fa (-), vemos que el Decil 7 se encuentra en la tercer clase

Con este valor nos fijamos en la columna de fa (-), vemos que el P90 se encuentra en la quinta clase

tema2 (tendencia central)-1

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