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TEMA 9. FLUIDOS

Definir el concepto de presión y relacionar las distintas unidades empleadas para expresar esta magnitud. Relacionar la determinación de la presión en un fluido con alguna de sus consecuencias más importantes, como el teorema de Arquímedes. Comprender el significado de las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli. Aplicar las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli a los fluidos ideales y establecer sus limitaciones para el estudio de fluidos reales. Identificar las características básicas que distinguen los flujos laminar y turbulento, y explicar su relación con el número de Reynolds. Aplicar la ley de Poiseuille y comprender sus limitaciones.

OBJETIVOS

ÍNDICE

9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.2 Flotación y teorema de Arquímedes 9.3 Fluidos ideales en movimiento 9.4 Movimiento de fluidos reales

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.1 Densidad

Moléculas en a) un sólido, b) un líquido y c) un gas

𝜌𝜌 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑑𝑑𝐷𝐷𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑑𝑑𝐷𝐷𝐷𝐷 =𝑑𝑑𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷

𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝐷𝐷𝐷𝐷

Ec/Ep

𝜌𝜌 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷 𝜌𝜌 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌(𝑇𝑇, 𝑝𝑝)

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.1 Densidad

Densidades de varias sustancias en condiciones estándar (presión atmosférica y T=0°C) 𝜌𝜌𝑒𝑒,𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝜌𝜌𝐴𝐴𝐴𝐴𝜌𝜌𝐻𝐻2𝑂𝑂

= 2,7

Densidad específica:

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.1 Densidad. Ejemplo

Una pelota de 50 g consiste en una corteza esférica de plástico llena de agua. La esfera tiene un radio exterior de 5O mm y un radio interior de 20 mm. ¿Cuál es la densidad del plástico?

𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = 103𝑘𝑘𝑘𝑘𝑑𝑑3 ∙

43𝜋𝜋 0,020 3𝑑𝑑3 = 0,034 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝜌𝜌𝑝𝑝 =𝑑𝑑𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑝𝑝=

0,050 − 0,03443𝜋𝜋(0,0503 − 0,0203)

= 33,6 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑑𝑑3

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión

Pequeños cubos de fluido adyacentes que ejercen fuerzas de presión unos sobre otros

𝑝𝑝 =𝐹𝐹𝐴𝐴

Cada pequeño cubo de fluido ejerce fuerzas de presión en todas direcciones sobre el fluido circundante

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Valores aproximados de módulo de compresibilidad B de varios materiales

𝐵𝐵 = −Δ𝑝𝑝Δ𝑑𝑑/𝑑𝑑 > 0

B: Módulo de compresibilidad. Se puede calcular B para sólidos, líquidos (B ≈ cte) y gases (B = B(T,p))

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La presión p en un punto interior de un fluido depende de su profundidad Δh, de la presión en la superficie p0 y de la densidad del fluido ρ. Por tanto, p no depende de la forma del recipiente y es la misma en todos los puntos a la misma profundidad.

mg

F0 = p0 A

F = p A

𝐹𝐹 = 𝐹𝐹0 + 𝑑𝑑𝑘𝑘

𝑝𝑝𝐴𝐴 = 𝑝𝑝0𝐴𝐴 + 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑘𝑘 = 𝑝𝑝0𝐴𝐴 + 𝜌𝜌𝑘𝑘𝐴𝐴Δℎ

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝0 + 𝜌𝜌𝑘𝑘Δℎ

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𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝑘𝑘Δℎ 𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝2

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión (paradoja hidrostática)


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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Aplicaciones

Prensa o elevador hidráulico. Sistema de frenos hidráulicos. Una fuerza pequeña F1 ejercida sobre un embolo pequeño produce una variación de presión F1/A1 que se transmite por el líquido hasta el émbolo grande. Por tanto, F1/A1= F2/A2. Esto es, F2= F1(A2/A1). Si A2>>A1, entonces F2>>F1.

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Manómetro de tubo abierto para medir una presión desconocida p. La diferencia p – patm es igual a ρgh

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El pistón presiona la varilla hacia la derecha hasta que la fuerza del muelle más la fuerza debida a la presión atmosférica equilibran a la fuerza ejercida por la presión del aire interior al neumático.

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Barómetro de mercurio. En el espacio del extremo superior del tubo no hay nada a excepción del vapor de mercurio. A temperatura ambiente, la presión de vapor del mercurio es inferior a 1 Pa (10-5 atm). Se cumple pat = ρgh.

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Unidad SI: 1 Pascal = 1 N/m2

𝑝𝑝 =𝐹𝐹𝐴𝐴

Unidad CGS: 1 baria = 1 dyn/cm2 = 0,1 Pa

Otras: 1 bar = 106 baria = 105 Pa

1 atm = 101.325 Pa ≈ 105 Pa

1 torr = 1 mm Hg = 1/760 atm = 133,3 Pa

1 atm-técnica = 1 kg/cm2 = 0,968 atm

1 mca = 9.800 Pa 1 atm ≈ 1 bar ≈ 1 kg/cm2 ≈ 10 mca

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Ejemplo (Principio de Pascal)

Se utiliza un elevador hidráulico para levantar un automóvil de 1.500 kg de masa. El radio del eje del elevador es 8 cm y el del pistón es de 1 cm. ¿Cuánta fuerza debe aplicarse al pistón para levantar el automóvil? Ayuda: el eje del elevador es otro pistón.

𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑒𝑒

𝐹𝐹𝑝𝑝𝐴𝐴𝑝𝑝

=𝐹𝐹𝑒𝑒𝐴𝐴𝑒𝑒

𝐹𝐹𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑝𝑝𝐹𝐹𝑒𝑒𝐴𝐴𝑒𝑒

𝐹𝐹𝑝𝑝 = 230 𝑁𝑁

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Ejemplo

¿Qué presión se necesita para reducir el volumen de 1 kg de agua desde 1,00 L hasta 0,99 L? ¿Se podría producir esta compresión en el océano, donde la máxima profundidad es de 11 km? Dato: Bagua = 2,0 GN/m2

𝐵𝐵 = −Δ𝑝𝑝Δ𝑑𝑑/𝑑𝑑

∆𝑝𝑝 = −𝐵𝐵Δ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 19,96 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐷𝐷 = 197 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑

A tan sólo una profundidad de 2 km se produce una compresión de un 1%, que es lo que sucede en los océanos

TEMA 9. FLUIDOS 9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Ejemplo

En el siglo XVII, Blaise Pascal realizó un experimento en el que un barril de vino reventó al llenarlo con agua, después de conectar un tubo largo en la parte superior y añadir agua. El radio de la tapa del barril era de 20 cm y la altura del agua en el tubo era de 12 m. (a) Calcular la fuerza ejercida sobre la tapa debido al aumento de presión; (b) Si el tubo tenía un radio interior de 3 mm, ¿qué masa de agua del tubo produjo la presión que reventó el barril?

1

2

𝑝𝑝2 =𝐹𝐹𝑡𝑡𝐴𝐴𝑡𝑡

= 𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝑘𝑘ℎ ⟹ 𝐹𝐹𝑡𝑡 = 15 𝑘𝑘𝑁𝑁

(a)

(b)

𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜋𝜋𝑟𝑟2ℎ = 0,34 𝑘𝑘𝑘𝑘

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Ejemplo (Ley barométrica)

Aproximadamente, la densidad de un gas es proporcional a la presión. Calcular la altitud a la cual la presión es la mitad de su valor a nivel del mar.

𝑑𝑑𝑝𝑝 = −𝜌𝜌𝑘𝑘𝑑𝑑𝜌𝜌

𝜌𝜌𝑝𝑝 =

𝜌𝜌0𝑝𝑝0

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝 = −

𝜌𝜌0𝑝𝑝0𝑘𝑘𝑑𝑑𝜌𝜌

�𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑝𝑝𝑓𝑓

𝑝𝑝0= −

𝜌𝜌0𝑝𝑝0𝑘𝑘� 𝑑𝑑𝜌𝜌

𝑦𝑦𝑓𝑓

0

𝑝𝑝𝑓𝑓 = 𝑝𝑝0𝐷𝐷− 𝜌𝜌0𝑝𝑝0

𝑔𝑔𝑦𝑦

𝑆𝑆𝐷𝐷 𝑝𝑝𝑓𝑓 =𝑝𝑝02 ⟹ ℎ = 𝜌𝜌 =

𝑝𝑝0𝜌𝜌0𝑘𝑘

𝑣𝑣𝐷𝐷𝑙 = 5,5 𝑘𝑘𝑑𝑑

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9.1 Densidad y presión en un fluido estático 9.1.2 Presión. Ejemplo (Fuerza sobre una presa)

Una presa rectangular de 30 m de anchura soporta una masa de agua que alcanza una altura de 25 m. (a) Determinar la fuerza horizontal sobre la presa debida tanto al agua como a la presión atmosférica; (b) El momento que tiende a volcar el dique alrededor del eje x; (c) la línea de acción de la fuerza resultante.

(a) La presión atmosférica actúa a ambos lados de la presa

𝐹𝐹 = �𝑑𝑑𝐹𝐹 = �𝑝𝑝𝑑𝑑𝐴𝐴 =� 𝜌𝜌𝑘𝑘(𝐻𝐻 − 𝑧𝑧)𝐿𝐿𝑑𝑑𝑧𝑧 =12𝜌𝜌𝑘𝑘𝐿𝐿𝐻𝐻

2𝐻𝐻

0

𝜏𝜏𝑂𝑂𝑂𝑂 = �𝑑𝑑𝜏𝜏 = � 𝑧𝑧𝑑𝑑𝐹𝐹𝐻𝐻

0=

16𝜌𝜌𝑘𝑘𝐿𝐿𝐻𝐻

3 (b)

(c) 𝜏𝜏𝐹𝐹,𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐹𝐹𝑧𝑧𝐹𝐹 =

16𝜌𝜌𝑘𝑘𝐿𝐿𝐻𝐻

3 ⟹ 𝑧𝑧𝐹𝐹 =13𝐻𝐻

dF

F zF

x

z

y O

dz

z A = Ldz

H - z

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(a) Forma de pesar un objeto sumergido en un fluido; (b) Diagrama de fuerzas en el que puede verse el peso, 𝐹𝐹𝑔𝑔, la fuerza ejercida por el muelle, 𝐹𝐹𝑠𝑠 y las fuerzas 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 ejercidas por el fluido que lo rodea; (c) La fuerza ascensional o de flotación 𝐵𝐵 = 𝐹𝐹1 +𝐹𝐹2 es la fuerza neta ejercida por el fluido sobre el objeto

9.2 Flotación y teorema de Arquímedes

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La misma situación que se daba en la figura anterior, pero ahora el objeto se ha sustituido por un volumen igual de fluido. Las fuerzas 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 debidas a la presión del fluido, son las mismas que las fuerzas correspondientes ejercidas sobre el objeto en la figura anterior. La fuerza ascensional o de empuje es igual al peso del fluido desplazado, Fgf.


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El Rey Hierón II encomendó a Arquímedes (287 – 212 AC) determinar si una corona era de oro o contenía algún metal más barato. Arquímedes encontró la solución y exclamó: ¡Eureka! (¡Lo encontré!). El peso aparente Fg ap de un objeto sumergido en un fluido es la diferencia entre su peso Fg y la fuerza ascensional B: 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 − 𝐵𝐵


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9.2 Flotación y teorema de Arquímedes 𝐹𝐹𝑔𝑔 = 𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑣𝑣𝑏𝑏𝑣𝑣𝐷𝐷 (𝑑𝑑𝑏𝑏𝑘𝑘 = 𝜌𝜌𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏𝑘𝑘)

𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝐹𝐹𝑣𝑣𝐷𝐷𝑟𝑟𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑣𝑣𝐷𝐷𝑑𝑑𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑣𝑣𝑏𝑏𝑟𝑟𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑣𝑣𝑏𝑏𝑣𝑣𝐷𝐷

𝐹𝐹𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑣𝑣𝐷𝐷𝑟𝑟𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝐷𝐷𝑐𝑐𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑣𝑣𝑏𝑏𝑟𝑟𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑣𝑣𝑏𝑏𝑣𝑣𝐷𝐷

𝐹𝐹𝑔𝑔′ = 𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑣𝑣𝐷𝐷𝑑𝑑𝑣𝑣 (𝑑𝑑𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑓𝑓)

𝐹𝐹𝑓𝑓′ = 𝐹𝐹𝑣𝑣𝐷𝐷𝑟𝑟𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑣𝑣𝐷𝐷𝑑𝑑𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷𝑟𝑟𝐷𝐷𝑣𝑣𝑟𝑟 𝐷𝐷𝑣𝑣𝑏𝑏𝑟𝑟𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑣𝑣𝐷𝐷𝑑𝑑𝑣𝑣

𝐹𝐹𝑝𝑝′ = 𝐹𝐹𝑣𝑣𝐷𝐷𝑟𝑟𝑧𝑧𝐷𝐷 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝐷𝐷𝑐𝑐𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑣𝑣𝑏𝑏𝑟𝑟𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑣𝑣𝐷𝐷𝑑𝑑𝑣𝑣

𝐹𝐹𝑔𝑔 + 𝐹𝐹𝑝𝑝 + 𝐹𝐹𝑓𝑓 = 0

𝐹𝐹𝑔𝑔′ + 𝐹𝐹𝑝𝑝′ + 𝐹𝐹𝑓𝑓′ = 0

(a)

(b)

𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝐹𝐹𝑓𝑓′

𝐹𝐹𝑝𝑝 − 𝐹𝐹𝑝𝑝′ = 𝐹𝐹𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝑔𝑔′

𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑝𝑝 − 𝐹𝐹𝑝𝑝′ = 𝐹𝐹𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝑔𝑔′

𝐵𝐵 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 − 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑔𝑔′

Restando (a) – (b):


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Suponiendo que una persona está compuesta por grasa (gr) y tejido magro (tm: músculos y huesos), determinar el porcentaje de grasa corporal de una persona cuyo peso aparente en agua es el 5% de su peso. Datos: ρgr = 0,9·103 kg/m3; ρtm = 1,1·103 kg/m3.

𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 − 𝐵𝐵 = 0,05 𝐹𝐹𝑔𝑔 ⟹ 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑔𝑔/0,95

𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔 =𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔

𝑑𝑑 = 1 − 𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡 =𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑

𝑑𝑑𝜌𝜌 =

𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔

𝜌𝜌𝑔𝑔𝑔𝑔+𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝜌𝜌𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑑𝑑𝜌𝜌 =

𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔𝜌𝜌𝑔𝑔𝑔𝑔

+𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡𝜌𝜌𝑡𝑡𝑡𝑡

1𝜌𝜌 =

𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔𝜌𝜌𝑔𝑔𝑔𝑔

+(1 − 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔)𝜌𝜌𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔 = 0,21 = 21%

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Cincos vasos idénticos se sitúan sobre sendas balanzas. Los dos barcos (a y b), el cubito de hielo (c) y el bloque de madera (d) tienen la misma masa. La densidad del barco hundido es el doble de la del agua y la del bloque de madera es la mitad de la del agua. Ordenar sus lecturas de mayor a menor Un cuerpo que flota, desplaza su propio peso de agua

Un cuerpo sumergido, desplaza su propio volumen de agua 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 − 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎 + 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸

𝐿𝐿𝐵𝐵 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 −12𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑏𝑏 + 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑏𝑏 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 +

12𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑏𝑏

𝐿𝐿𝐶𝐶 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 − 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑐𝑐 + 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸

𝐿𝐿𝐷𝐷 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 − 2𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 − 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑑𝑑

𝐿𝐿𝐸𝐸 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸 − 0 + 0 = 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝐸𝐸

𝐿𝐿𝐵𝐵 > 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝐶𝐶 = 𝐿𝐿𝐸𝐸 > 𝐿𝐿𝐷𝐷


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Velocidad de flujo. Es una magnitud macroscópica que informa del comportamiento promedio de las partículas en regiones dentro de un fluido y puede medirse de forma sencilla. (a) Movimiento de una partícula en agua. Por lo general, los segmentos rectos del movimiento son de 10-10 m de largo. (b) Rueda de paletas del velocímetro de un velero.

9.3 Fluidos ideales en movimiento (a) (b)

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9.3 Fluidos ideales en movimiento

(a) (b)

(a) Vectores velocidad para un fluido que fluye alrededor de un cilindro. Los vectores velocidad más largos se encuentran justo arriba y abajo del cilindro (b) Líneas de corriente para un fluido que fluye alrededor de un cilindro. La mayor densidad de líneas de corriente se encuentra justo arriba y abajo del cilindro

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Tubo de corriente en el seno de un fluido en movimiento estacionario. Sus paredes están formadas por líneas de corriente y el material interior al tubo de corriente no puede abandonarlo lateralmente.

9.3 Fluidos ideales en movimiento

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Volumen de control (vc)

t = t t = t + Δt

𝑑𝑑 = 𝑑𝑑1(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) + 𝑑𝑑2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡)

𝑑𝑑 = 𝑑𝑑1(𝑡𝑡) + 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) + 𝑑𝑑2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡)

𝑑𝑑1(𝑡𝑡) −𝑑𝑑2(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) −𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡)

𝑑𝑑1(𝑡𝑡) −𝑑𝑑2(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡)

∆𝑐𝑐 =𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) −𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡)

∆𝑐𝑐

lim∆𝑡𝑡→0

𝑑𝑑1(𝑡𝑡)

∆𝑐𝑐 − lim∆𝑡𝑡→0

𝑑𝑑2(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡)

∆𝑐𝑐 = lim∆𝑡𝑡→0

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) −𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡)

∆𝑐𝑐

𝑑𝑑1̇ − 𝑑𝑑2̇ =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

9.3 Fluidos ideales en movimiento. Balance de materia

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡)

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�̇�𝑑1 =∆𝑑𝑑1∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌

Δ𝑑𝑑1∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌𝐴𝐴1𝑣𝑣1 �̇�𝑑2 =

∆𝑑𝑑2∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌

Δ𝑑𝑑2∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌𝐴𝐴2𝑣𝑣2

𝑑𝑑1̇ − 𝑑𝑑2̇ =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐

Flujo másico (kg/s)

Flujo volumétrico o caudal (m3/s) �̇�𝑑 = lim∆𝑡𝑡→0

𝑑𝑑∆𝑐𝑐 = 𝑣𝑣𝐴𝐴


Fluido incompresible (líquido)

𝜌𝜌 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷

�̇�𝑑1 = �̇�𝑑2

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ρ2

ρ1


Fluido compresible (gas)

𝜌𝜌 ≠ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷

�̇�𝑑1 =∆𝑑𝑑1∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌1

Δ𝑑𝑑1∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌1𝐴𝐴1𝑣𝑣1 �̇�𝑑2 =

∆𝑑𝑑2∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌2

Δ𝑑𝑑2∆𝑐𝑐 = 𝜌𝜌2𝐴𝐴2𝑣𝑣2 Flujo másico (kg/s)

Flujo volumétrico o caudal (m3/s) �̇�𝑑 = lim∆𝑡𝑡→0

𝑑𝑑∆𝑐𝑐 = 𝑣𝑣𝐴𝐴

Flujo estacionario (constante en el tiempo): 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 0 ⟹ 𝑑𝑑1̇ = 𝑑𝑑2̇

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t = t t = t + Δt

𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,1(𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡)

Δ𝐸𝐸𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) − 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) − 𝐸𝐸𝑡𝑡,1(𝑡𝑡)

𝐹𝐹1 = 𝑝𝑝1𝐴𝐴1


𝐸𝐸𝑡𝑡,1(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑖𝑖1 + 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑖𝑖1 +12𝑑𝑑1𝑣𝑣12 + 𝑑𝑑1𝑘𝑘𝑧𝑧1 = 𝑈𝑈1 +

12𝑑𝑑1𝑣𝑣12 + 𝑑𝑑1𝑘𝑘𝑧𝑧1

9.3 Fluidos ideales en movimiento. Balance de energía

𝐸𝐸𝑡𝑡,2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑖𝑖2 + 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑖𝑖2 +12𝑑𝑑2𝑣𝑣22 + 𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑧𝑧2 = 𝑈𝑈2 +

12𝑑𝑑2𝑣𝑣22 + 𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑧𝑧2

Δ𝐸𝐸𝑡𝑡 = 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 = 𝑊𝑊1 −𝑊𝑊2 = 𝑝𝑝1𝐴𝐴1𝑣𝑣1 − 𝑝𝑝2𝐴𝐴2𝑣𝑣2

l1

l2

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t = t t = t + Δt

𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,1(𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) 𝐹𝐹1 = 𝑝𝑝1𝐴𝐴1


9.3 Fluidos ideales en movimiento. Balance de energía

Flujo estacionario: Δ𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐 = 0

𝑈𝑈1 +12𝑑𝑑1𝑣𝑣12 + 𝑑𝑑1𝑘𝑘𝑧𝑧1 + 𝑝𝑝1𝐴𝐴1𝑣𝑣1 = 𝑈𝑈2 +

12𝑑𝑑2𝑣𝑣22 + 𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑧𝑧2 + 𝑝𝑝2𝐴𝐴2𝑣𝑣2

12𝜌𝜌1𝑣𝑣1

2 + 𝜌𝜌1𝑘𝑘𝑧𝑧1 + 𝑝𝑝1 =12𝜌𝜌2𝑣𝑣2

2 + 𝜌𝜌2𝑘𝑘𝑧𝑧2 + 𝑝𝑝2

𝐽𝐽

𝐽𝐽𝑑𝑑3 = 𝑀𝑀𝐷𝐷

1𝑙𝑘𝑘 𝑣𝑣1

2 + 𝑧𝑧1 +𝑝𝑝1𝜌𝜌1𝑘𝑘

=1

2𝑘𝑘 𝑣𝑣22 + 𝑧𝑧2 +

𝑝𝑝2𝜌𝜌2𝑘𝑘

𝐽𝐽 𝐷𝐷2

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

l1

l2

Fluido no viscoso (U = cte)

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t = t t = t + Δt

𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,1(𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡) 𝐸𝐸𝑡𝑡(𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) + 𝐸𝐸𝑡𝑡,2(𝑡𝑡+∆𝑡𝑡) 𝐹𝐹1 = 𝑝𝑝1𝐴𝐴1


9.3 Fluidos ideales en movimiento. Ecuación de Bernoulli

Fluido incompresible y flujo estacionario: Δ𝐸𝐸𝑡𝑡,𝑣𝑣𝑐𝑐 = 0

12𝜌𝜌𝑣𝑣1

2 + 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧1 + 𝑝𝑝1 =12 𝜌𝜌𝑣𝑣2

2 + 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧2 + 𝑝𝑝2 𝐽𝐽𝑑𝑑3 = 𝑀𝑀𝐷𝐷

1𝑙𝑘𝑘 𝑣𝑣1

2 + 𝑧𝑧1 +𝑝𝑝1𝜌𝜌𝑘𝑘 =

12𝑘𝑘 𝑣𝑣2

2 + 𝑧𝑧2 +𝑝𝑝2𝜌𝜌𝑘𝑘

𝐽𝐽 𝐷𝐷2

𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

l1

l2

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9.3 Fluidos ideales en movimiento. Aplicaciones Un depósito grande de agua, abierto por arriba, tiene un orificio pequeño a una distancia Δz por debajo de la superficie del agua. Hallar la distancia x a la que el agua incide sobre el suelo en función de z1 e Δz. Aplicación para z1 = 1 m e Δz = 0,7 m.

12𝜌𝜌𝑣𝑣1

2 + 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧1 + 𝑝𝑝1 =12 𝜌𝜌𝑣𝑣2

2 + 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑧𝑧2 + 𝑝𝑝2

𝑒𝑒 = 𝑣𝑣2𝑐𝑐

𝑧𝑧2 =12𝑘𝑘𝑐𝑐

2 𝑒𝑒 = 𝑣𝑣2

2𝑧𝑧2𝑘𝑘

Para calcular v2 se aplica la ecuación de Bernoulli x

z1

1

2

z2

Δz

𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑣𝑣1 = 0 𝑣𝑣2 = 𝑙𝑘𝑘∆𝑧𝑧 ⟹ 𝑒𝑒 = 2 𝑧𝑧2∆𝑧𝑧 = 2 (𝑧𝑧1−∆𝑧𝑧)∆𝑧𝑧 = 0,9 𝑑𝑑

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9.3 Fluidos ideales en movimiento. Aplicaciones Un tubo de Venturi permite medir la velocidad de un fluido en una tubería y consta de un manómetro en forma de U instalado entre un área A1 de la tubería y un estrechamiento de área A2. Expresar la velocidad v1 en función de los datos indicados en la figura (r = A1/A2, h, ρF y ρL).

ℎ1 = ℎ2 ⟹ 𝑝𝑝1 +12𝜌𝜌𝑣𝑣1

2 = 𝑝𝑝2 +12𝜌𝜌𝑣𝑣2

2

Se aplica la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2:

�̇�𝑑 = 𝑣𝑣1𝐴𝐴1 = 𝑣𝑣2𝐴𝐴2

𝐴𝐴1 > 𝐴𝐴2 ⟹ 𝑣𝑣1 < 𝑣𝑣2 ⟹ 𝑝𝑝1 > 𝑝𝑝2

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9.3 Fluidos ideales en movimiento. Aplicaciones Un tubo de Venturi permite medir la velocidad de un fluido en una tubería y consta de un manómetro en forma de U instalado entre un área A1 de la tubería y un estrechamiento de área A2. Expresar la velocidad v1 en función de los datos indicados en la figura (r = A1/A2, h, ρF y ρL).

3 4 5

𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝1 + 𝜌𝜌𝐹𝐹𝑘𝑘𝐻𝐻

H

𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝4

𝑝𝑝4 = 𝑝𝑝5 + 𝜌𝜌𝐿𝐿𝑘𝑘ℎ

𝑝𝑝5 = 𝑝𝑝2 + 𝜌𝜌𝐹𝐹𝑘𝑘(𝐻𝐻 − ℎ)

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 𝜌𝜌𝐿𝐿 − 𝜌𝜌𝐹𝐹 𝑘𝑘ℎ

𝑝𝑝1 +12𝜌𝜌𝑣𝑣1

2 = 𝑝𝑝2 +12 𝜌𝜌𝑣𝑣2

2

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = 𝜌𝜌𝐿𝐿 − 𝜌𝜌𝐹𝐹 𝑘𝑘ℎ

𝑣𝑣1 =2 𝜌𝜌𝐿𝐿 − 𝜌𝜌𝐹𝐹 𝑘𝑘ℎ𝜌𝜌𝐹𝐹(𝑟𝑟2 − 1)

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9.4 Movimiento de fluidos reales. Flujo viscoso

Cuando un fluido real (viscoso) fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro de la misma. Próximo a las paredes de la tubería, el fluido tiende a permanecer en reposo

𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 = �̇�𝑑𝑅𝑅

𝑅𝑅 = 𝑅𝑅(𝐿𝐿, 𝑟𝑟, 𝜂𝜂)

r

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Fluido viscoso entre dos placas iguales de área A. Cuando se mueve la plaza superior respecto a la placa inferior, cada capa de fluido ejerce una fuerza de arrastre sobre las capas adyacentes. La fuerza necesaria para desplazar la placa superior es proporcional a la velocidad v y al área a e inversamente proporcional a la separación entre las placas z. La viscosidad dinámica es η.

𝐹𝐹 = 𝜂𝜂𝑣𝑣𝐴𝐴𝑧𝑧

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Coeficientes de viscosidad de varios fluidos

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9.4 Movimiento de fluidos reales. Ley de Poiseuille

Cuando un fluido real (viscoso) fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro de la misma. Próximo a las paredes de la tubería, el fluido tiende a permanecer en reposo

𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝐿𝐿, 𝑟𝑟, 𝜂𝜂 =8𝜂𝜂𝐿𝐿𝜋𝜋𝑟𝑟4

r

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9.4 Movimiento de fluidos reales. Número de Reynolds

El número de Reynolds es la relación entre la fuerza que mantiene el fluido en movimiento y la fuerza que se opone al mismo. El flujo es laminar si su valor es inferior a 2.000 y turbulento si es mayor a 3.000. Entre dichos valores, el flujo es inestable. La viscosidad cinemática es ѵs.

𝑁𝑁𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝐷𝐷 =𝐹𝐹𝐹𝐹𝑔𝑔

=𝑑𝑑𝐷𝐷

𝜂𝜂𝑣𝑣𝐴𝐴/𝑧𝑧=𝜌𝜌𝑣𝑣𝜂𝜂𝐿𝐿

r

𝑁𝑁𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝐷𝐷 =𝑙𝑟𝑟𝜌𝜌𝑣𝑣𝜂𝜂 =

𝐷𝐷𝜌𝜌𝑣𝑣𝜂𝜂 =

𝐷𝐷𝑣𝑣𝜈𝜈𝑐𝑐

𝜈𝜈𝑐𝑐 =𝜂𝜂𝜌𝜌

𝑑𝑑2

𝐷𝐷

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