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TEMA 8. OSCILACIONES

Comprender que toda partícula sometida a una fuerza (o momento de fuerzas), proporcional y de signo contrario al desplazamiento, describe un movimiento armónico simple (MAS). Identificar cuando un sistema describe un MAS. Describir las características del MAS. Definir las propiedades básicas de osciladores amortiguados y forzados: coeficiente de amortiguamiento, decremento logarítmico, constante de tiempo, tiempo de relajación, resonancia. Resolver por aplicación de métodos dinámicos y/o energéticos, problemas que puedan ser descritos como un MAS.

OBJETIVOS

ÍNDICE

8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.3 Energía del movimiento armónico simple 8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia



8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.1 Movimiento oscilatorio

Al separar una partícula de su posición de equilibrio, ésta adquiere un movimiento vibratorio

(a) Masa-muelle horizontal (b) Péndulo (c) Masa-muelle vertical


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.1 Movimiento oscilatorio

Al separar una partícula de su posición de equilibrio, ésta adquiere un movimiento vibratorio

(d) Péndulo de torsión (e) Molécula de hidrógeno (f) Circuito L-C

L

C i

εL

εC


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.2 Movimiento armónico simple

Por definición:

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ⟹ 𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ⟹ 𝛼𝛼 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜙𝜙


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.3 Elongación y velocidad del MAS

𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐2 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑣𝑣 =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐 = −𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 = 𝜔𝜔 𝑀𝑀2 − 𝑥𝑥2

𝑎𝑎 =𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑐𝑐 =

𝑑𝑑2𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2 = −𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.3 Elongación y velocidad del MAS

𝑎𝑎 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐2

= −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥


𝑣𝑣 =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐 = −𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑎𝑎 =𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑐𝑐 =

𝑑𝑑2𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2 = −𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 + 𝜋𝜋/2 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿′


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.4 Amplitud, fase y constante de fase


𝑀𝑀:𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑

( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿): 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

𝛿𝛿: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛿𝛿 =

𝜋𝜋2 ⟹ 𝑥𝑥0 = 0

𝛿𝛿 = 𝜋𝜋 ⟹ 𝑥𝑥0 = −𝑀𝑀


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.5 Periodo, frecuencia y frecuencia angular

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 + 2𝜋𝜋 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑐𝑐 + 𝑇𝑇) + 𝛿𝛿

𝑇𝑇 =2𝜋𝜋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑓𝑓 =1𝑇𝑇

𝜔𝜔 =2𝜋𝜋𝑇𝑇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑣𝑣 = −𝑀𝑀𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑎𝑎 = −𝑀𝑀𝜔𝜔2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 = −𝜔𝜔2𝑥𝑥


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.6 Ejemplo: masa unida a un muelle

𝐹𝐹 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑥𝑥

𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥

𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑘𝑘𝑎𝑎

𝑇𝑇 =2𝜋𝜋𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋

𝑎𝑎𝑘𝑘

En un MAS, el periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.7 MAS y movimiento circular

𝜃𝜃 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 𝑀𝑀 cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

Cuando una partícula se mueve con velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se mueve con un MAS

𝑣𝑣 = −𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜃𝜃 = −𝜔𝜔𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)


8.1 Movimiento armónico simple: masa unida a un muelle 8.1.7 MAS y movimiento circular

Cuando una partícula se mueve con velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se mueve con un MAS

El movimiento de la hoja de una sierra es un MAS

La rueda giratoria con una espiga, activa un brazo ranurado de ida y vuelta

8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.1 Péndulo simple


𝐹𝐹 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜙𝜙

𝑐𝑐 = 𝜙𝜙𝜙𝜙

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜙𝜙 ≈ 𝜙𝜙 𝑎𝑎 = −𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝜙𝜙

𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑚𝑚𝜙𝜙


𝜙𝜙𝑚𝑚


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.2 Péndulo físico

𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜙𝜙

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜙𝜙 ≈ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 = −

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼 𝜙𝜙

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼

𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝐼𝐼


𝐼𝐼𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋𝐼𝐼

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2𝜋𝜋𝜙𝜙𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚

𝜙𝜙𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝐼𝐼𝑎𝑎𝑚𝑚 Longitud equivalente


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.3 Péndulo de torsión

𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝐾𝐾𝜙𝜙 ⟹ 𝛼𝛼 = −𝐾𝐾𝐼𝐼 𝜙𝜙

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝐾𝐾𝐼𝐼

𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝐾𝐾𝐼𝐼


𝐼𝐼𝐾𝐾


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.4 Circuito L-C

𝜀𝜀𝐿𝐿 = −𝜙𝜙𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐 = −𝜙𝜙

𝑑𝑑2𝑞𝑞𝑑𝑑𝑐𝑐2

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =1𝜙𝜙𝐿𝐿

𝜔𝜔 = 𝐿𝐿 =1𝜙𝜙𝐿𝐿

𝑇𝑇 =2𝜋𝜋𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 𝜙𝜙𝐿𝐿

L

C i

εL

εC

Las dos diferencias de potencial son iguales: εL = εC

𝑑𝑑2𝑞𝑞𝑑𝑑𝑐𝑐2 = −

1𝜙𝜙𝐿𝐿 𝑞𝑞

𝜀𝜀𝐶𝐶 =𝑞𝑞𝐿𝐿


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.5 Ejemplos

Un coche de 1.100 kg de masa está sostenido por cuatro resortes verticales iguales unidos a los ejes de las ruedas. Para probar la suspensión, se empuja hacia abajo el automóvil y después se libera súbitamente. El coche se mueve arriba y abajo con un periodo de 0,75 s. ¿Cuál es la constante de resorte de cada uno de los resortes?

𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖


𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑘𝑘𝑖𝑖 = 1,9 ∙ 104𝑁𝑁/𝑎𝑎



Una masa de 150 g se une a un resorte con constante k = 8,0 N/m y oscila sin fricción. La masa se desplaza 20 cm del equilibrio y, en t = 0, se libera del reposo. Si la posición en función del tiempo se escribe como x = A cos(ωt + δ), determine los valores de A, ω y δ. ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa y cuál es su aceleración máxima?

𝑀𝑀 = 0,2 𝑎𝑎

𝜔𝜔 =𝑘𝑘𝑎𝑎 = 7,3 𝐻𝐻𝐻𝐻

𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝜔𝜔 = 1,46 𝑎𝑎/𝑐𝑐

𝑥𝑥0 = 𝑀𝑀 ⟹ 𝛿𝛿 = 0

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝜔𝜔2 = 10,7 𝑎𝑎/𝑐𝑐2



Una masa m = 2,5 kg cuelga del techo mediante un resorte con k = 90 N/m. Inicialmente, el resorte está en su configuración no estirada y la masa se mantiene en reposo con su mano. Si, en el tiempo t = 0, usted libera la masa, ¿cuál será su posición en función del tiempo?

A y’=0 -A

𝐹𝐹 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑦𝑦0 ⟹ 𝑦𝑦0 = 0,27 𝑎𝑎

𝑦𝑦′ = 𝑀𝑀 cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑀𝑀 = 0,27 𝑎𝑎

𝑦𝑦′(𝑡𝑡=0) = 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛿𝛿 ⟹ 𝛿𝛿 = 0

𝜔𝜔 =𝑘𝑘𝑎𝑎 = 6

𝑦𝑦′ = 0,27 cos (6𝑐𝑐)


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.5 Ejemplos Un oscilador armónico simple, de 0,60 kg de masa, oscila con una frecuencia de 3,0 Hz y una amplitud de 0,15 m. Suponga que, mientras la masa está instantáneamente en reposo en su punto de retomo, rápidamente se le une otra masa de 0,60 kg. ¿Cómo cambia esto la amplitud del movimiento, la frecuencia, la energía, la rapidez máxima y la aceleración máxima?

𝑀𝑀′ = 𝑀𝑀

𝑓𝑓′ =1𝑇𝑇 =

𝜔𝜔2𝜋𝜋 =

12𝜋𝜋

𝑘𝑘2𝑎𝑎 =

𝑓𝑓2

= 2,12 𝐻𝐻𝐻𝐻

𝐸𝐸′ = 𝐸𝐸

𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝜔𝜔 = 2 𝑎𝑎/𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝜔𝜔2 = 26,7 𝑎𝑎/𝑐𝑐2

x

a kx

Fr/4



Un carro de masa m tiene cuatro ruedas uniformes de masas M y radios R. El carro rueda, sin deslizarse, de ida y vuelta, sobre un plano horizontal bajo la influencia de un resorte, de constante k, unido a uno de sus extremos. Considerando momento de inercia de las ruedas, encuentre una ecuación para la frecuencia del movimiento de ida y vuelta del carro.

𝑎𝑎 = �̈�𝑥

𝐹𝐹𝑟𝑟 − 𝑘𝑘𝑥𝑥 = (𝑎𝑎 + 4𝑀𝑀)𝑎𝑎 ∑𝐹𝐹 = 𝑎𝑎 + 4𝑀𝑀 𝑎𝑎 ⟹

∑𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 ⟹ −𝐹𝐹𝑟𝑟𝑅𝑅 = 412𝑀𝑀𝑅𝑅

2 𝑎𝑎𝑅𝑅 ⟹ −𝐹𝐹𝑟𝑟= 2𝑀𝑀𝑎𝑎

𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝑅𝑅

𝑎𝑎 = −𝑘𝑘

(𝑎𝑎 + 6𝑀𝑀) 𝑥𝑥

𝑓𝑓 =1

2𝜋𝜋𝑘𝑘

(𝑎𝑎 + 6𝑀𝑀)

El momento de una fuerza es positivo en el sentido de α que viene dado por esta relación



El péndulo más largo que existe es el péndulo de Foucault, que mide 27 m, en Portland, Oregon ¿Cuál es el periodo de este péndulo?

𝑎𝑎 = −𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑐𝑐

𝜔𝜔 =𝑚𝑚𝜙𝜙


𝜙𝜙𝑚𝑚 = 10,4 𝑐𝑐



Una pintura circular tiene 2,00 m de diámetro y un grosor uniforme. Cuelga de una pared, suspendida por un clavo a 10 cm de su borde superior. Si se empuja ligeramente, ¿cuál es el periodo de las oscilaciones pequeñas de la pintura?

𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋𝐼𝐼

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋12𝑎𝑎𝑅𝑅

2 + 𝑎𝑎𝑑𝑑2

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑑𝑑 = 2,4 𝑐𝑐

d


8.2 Péndulo simple, físico y de torsión 8.2.5 Ejemplos Un disco uniforme horizontal de masa M y radio R unido en su centro al extremo de una fibra vertical sin masa, de constante de torsión K. (a) Calcular la frecuencia angular de oscilación. (b) Si el disco se gira un ángulo inicial de φ0 y se libera, ¿cuál es la máxima velocidad angular de rotación del movimiento posterior? (c) ¿Para qué valor de φ0 coinciden las respuestas (a) y (b)?

𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝛼𝛼 = −𝐾𝐾𝜙𝜙 ⟹ 𝛼𝛼 = −2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2 𝜙𝜙 ⟹ 𝜔𝜔 =

2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2 (a)

𝜙𝜙 = 𝜙𝜙0cos 2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 ; 𝜙𝜙𝑡𝑡=0= 𝜙𝜙0 ⟹ 𝛿𝛿 = 0

𝜔𝜔 =𝑑𝑑𝜙𝜙𝑑𝑑𝑐𝑐 = − 𝜙𝜙0

2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2 sen

2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2 𝑐𝑐 ⟹ 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜙𝜙0

2𝐾𝐾𝑀𝑀𝑅𝑅2

(b)

(c)

𝜙𝜙0 = 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠


8.3 Energía del MAS 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑣𝑣 = −𝑀𝑀𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝐾𝐾 =12𝑎𝑎𝑣𝑣

2 =12𝑎𝑎𝜔𝜔

2𝑀𝑀2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 =12𝑘𝑘𝑀𝑀

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑈𝑈 =12𝑘𝑘𝑥𝑥

2 =12 𝑘𝑘𝑀𝑀

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡 =12 𝑘𝑘𝑀𝑀

2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿 =12𝑘𝑘𝑀𝑀

2


8.3 Energía del MAS

Gráficos de x, U y K en función de t Función de la energía potencial U en el caso de un objeto de masa m unido a un muelle de masa despreciable


8.3 Energía del MAS 8.3.1 Ejemplos

Un extremo de un resorte horizontal, con constante k, está fijo y el otro extremo está unido a una masa m sobre una superficie sin fricción. El resorte está inicialmente en su posición de equilibrio. En t = 0, se aplica una fuerza constante F en la dirección de elongación del resorte. Transcurrido un tiempo t, la masa se ha movido una distancia d en la dirección de la fuerza ¿Cuál es la variación de energía cinética en dicho tiempo?

F 𝑊𝑊𝑛𝑛𝑛𝑛 = Δ𝐸𝐸𝑡𝑡 = Δ𝐸𝐸𝑛𝑛 + Δ𝐸𝐸𝑝𝑝

Δ𝐸𝐸𝑛𝑛 = 𝑊𝑊𝑛𝑛𝑛𝑛 − Δ𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑑𝑑 −12 𝑘𝑘𝑑𝑑

2

d


8.3 Energía del MAS 8.3.1 Ejemplos

El péndulo de un reloj regular consiste de una masa de 120 g en el extremo de una barra de madera (sin masa) de 44 cm de longitud. (a) ¿Cuál es la energía total (cinética más potencial) de este péndulo cuando oscila con una amplitud de 4°? (b) ¿Cuál es la rapidez de la masa cuando está en su punto más bajo?

L

m

φ0

(a) 𝑎𝑎 = −

𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑐𝑐 ⟹ 𝑐𝑐 = 𝜙𝜙𝜙𝜙0 cos

𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿

𝑀𝑀 = 𝜙𝜙𝜙𝜙0

𝐸𝐸𝑛𝑛 =12𝑎𝑎𝑣𝑣

2 =12𝑎𝑎𝑚𝑚𝜙𝜙𝜙𝜙0

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑐𝑐 + 𝛿𝛿

𝐸𝐸𝑝𝑝 = −∫ �⃗�𝐹 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟 = −∫𝑎𝑎𝑚𝑚𝜙𝜙 𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝜙𝜙

12𝑐𝑐2 =

12𝑎𝑎𝑚𝑚𝜙𝜙𝜙𝜙0

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑚𝑚𝜙𝜙𝑐𝑐 + 𝛿𝛿

𝐸𝐸𝑡𝑡 =12𝑎𝑎𝑚𝑚𝜙𝜙𝜙𝜙0

2 = 1,26 ∙ 10−3 𝐽𝐽 (b)

𝑣𝑣 = 𝑀𝑀𝜔𝜔 = 𝜙𝜙𝜙𝜙0𝑚𝑚𝜙𝜙 = 0,145 𝑎𝑎/𝑐𝑐


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.1 Movimiento vibratorio amortiguado

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔0𝑐𝑐 + 𝛿𝛿)

𝑎𝑎𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑥𝑥

𝜔𝜔0 =𝑘𝑘𝑎𝑎

MAS

𝐸𝐸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡 =12 𝑘𝑘𝑀𝑀

2


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.1 Movimiento vibratorio amortiguado

t

En los movimientos oscilatorios reales existen rozamientos que conllevan pérdidas energéticas, y con ello, una disminución de la amplitud de las oscilaciones


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.2 Ecuación diferencial del movimiento amortiguado

𝐹𝐹𝑟𝑟𝑡𝑡𝑟𝑟 = −𝑏𝑏𝑣𝑣

b: Coeficiente de amortiguamiento ≡ [M T-1] Representa el efecto disipativo

𝑎𝑎�̈�𝑥 = −𝑏𝑏�̇�𝑥 − 𝑘𝑘𝑥𝑥

�̈�𝑥 +2𝜏𝜏𝑅𝑅

�̇�𝑥 + 𝜔𝜔02𝑥𝑥 = 0

𝜔𝜔0 =𝑘𝑘𝑎𝑎 :𝐹𝐹𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎

𝜏𝜏𝑅𝑅 =2𝑎𝑎𝑏𝑏 :𝑇𝑇𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑠𝑠

𝑣𝑣 = �̇�𝑥

𝑎𝑎 = �̈�𝑥


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.2 Ecuación diferencial del movimiento amortiguado

𝜀𝜀𝐿𝐿 + 𝜀𝜀𝑅𝑅 + 𝜀𝜀𝐶𝐶 = 𝜙𝜙�̈�𝑞 + 𝑅𝑅�̇�𝑞 +𝑞𝑞𝐿𝐿 = 0

�̈�𝑞 +𝑅𝑅𝜙𝜙 �̇�𝑞 +

1𝜙𝜙𝐿𝐿 𝑞𝑞 = 0

𝑣𝑣 = �̇�𝑥

𝑎𝑎 = �̈�𝑥

L

C R

Condensador con carga inicial q0. Al cerrar el circuito:

�̈�𝑞 +2𝜏𝜏𝑅𝑅

�̇�𝑞 + 𝜔𝜔02𝑞𝑞 = 0

En este caso, el único efecto disipativo corresponde a la resistencia: Efecto Joule

A(t)

x(t)

A1 A2 A0/e

A0

τR


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.3 Caso ω0>1/τR. Movimiento armónico amortiguado �̈�𝑥 +

2𝜏𝜏𝑅𝑅

�̇�𝑥 + 𝜔𝜔02𝑥𝑥 = 0

𝜔𝜔0 > 1/𝜏𝜏𝑅𝑅

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿) 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔02 −

1𝜏𝜏𝑅𝑅2

𝑀𝑀 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅

Decremento logarítmico, Δ: Logaritmo neperiano de la relación entre dos elongaciones máximas sucesivas

𝑀𝑀1 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅

𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−(𝑡𝑡+𝑇𝑇)/𝜏𝜏𝑅𝑅 𝑀𝑀1𝑀𝑀2

= 𝑐𝑐𝑇𝑇/𝜏𝜏𝑅𝑅

Δ = ln𝑀𝑀1𝑀𝑀2

=𝑇𝑇𝜏𝜏𝑅𝑅

Factor e-Δ


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.3 Caso ω0>1/τR. Movimiento armónico amortiguado Energía del movimiento: El tiempo que tarda la energía promedio en disminuir a

1/e del valor inicial, se denomina constante de tiempo, τ

𝐸𝐸𝑡𝑡 =12 𝑘𝑘𝑀𝑀

2 =12 𝑘𝑘𝑀𝑀0

2𝑐𝑐−(𝑏𝑏/𝑚𝑚)𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0𝑐𝑐−(𝑏𝑏/𝑚𝑚)𝑡𝑡 = 𝐸𝐸0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏

𝜏𝜏 =𝜏𝜏𝑅𝑅2 =

𝑎𝑎𝑏𝑏

Q = 𝜔𝜔0𝜏𝜏 = 2𝜋𝜋𝐸𝐸𝑠𝑠𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝐸𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎

𝐸𝐸𝑠𝑠𝑐𝑐𝑟𝑟𝑚𝑚𝐸𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡=𝜋𝜋Δ

Factor de calidad del movimiento amortiguado: Coincide aproximadamente con el número de ciclos antes de que el movimiento se amortigüe

E0/e

τ

E0


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.4 Caso ω0≤1/τR. Movimiento sobreamortiguado y críticamente amortiguado �̈�𝑥 +

2𝜏𝜏𝑅𝑅

�̇�𝑥 + 𝜔𝜔02𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 + 𝛿𝛿) 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔02 −

1𝜏𝜏𝑅𝑅2

𝑀𝑀 = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅

𝜏𝜏𝑅𝑅 =2𝑎𝑎𝑏𝑏

𝜔𝜔0 <1𝜏𝜏𝑅𝑅

⟹ 𝑏𝑏 > 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑎𝑎𝜔𝜔0

𝜔𝜔0 =1𝜏𝜏𝑅𝑅

⟹ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑎𝑎𝜔𝜔0

Sobreamortiguado:

Amortiguado críticamente:


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.5 Oscilaciones forzadas

La persona de la fotografía impulsa el columpio y varía su energía interna. También cambia, en menor cuantía, la energía mecánica del oscilador. El valor de ésta última aumenta cuando la frecuencia del oscilador forzado (columpio impulsado) es similar a la frecuencia natural del columpio (sin amortiguamiento)


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.5 Oscilaciones forzadas

𝐹𝐹𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝐹𝐹0cos (𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐)

𝑎𝑎𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑣𝑣 + 𝐹𝐹0cos (𝜔𝜔𝑒𝑒𝑐𝑐)

𝐹𝐹0 cos 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐2 + 𝑏𝑏

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑐𝑐 + 𝑘𝑘𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐 − 𝛿𝛿 + 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 − 𝛿𝛿′)

Estacionaria Transitoria


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.5 Oscilaciones forzadas 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐 − 𝛿𝛿 + 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏cos (𝜔𝜔𝑐𝑐 − 𝛿𝛿′)

Estacionaria Transitoria

𝑀𝑀 =𝐹𝐹0

𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2

=𝐹𝐹0

𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑎𝑎 𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2

𝑐𝑐𝑚𝑚 𝛿𝛿 =𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡

𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2=

𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑎𝑎 𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡

2


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.6 Resonancia

𝑀𝑀 =𝐹𝐹0

𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2

=𝐹𝐹0

𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑎𝑎 𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2

𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡𝑐𝑐 − 𝛿𝛿 Solución estacionaria

𝑍𝑍 = 𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑎𝑎 𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2 Impedancia

𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 0 𝑦𝑦 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝜔𝜔0 ⟹ 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟶ ∞

𝑑𝑑𝑍𝑍𝑑𝑑𝜔𝜔 = 0 ⟹ 𝜔𝜔𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝜔𝜔02 −

𝑏𝑏2

2𝑎𝑎2

Resonancia: la amplitud de la oscilación forzada es máxima

En general, b≠0. Operando



𝜔𝜔𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝜔𝜔02 −𝑏𝑏2

2𝑎𝑎2

Para un amortiguamiento relativamente pequeño se cumple:

Δ𝜔𝜔𝜔𝜔 =

1𝑄𝑄



𝜔𝜔𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝜔𝜔02 −𝑏𝑏2

2𝑎𝑎2

𝑀𝑀 =𝐹𝐹0𝑘𝑘 𝑄𝑄

Amplitud de un oscilador armónico amortiguado forzado en función de la frecuencia de la fuerza osciladora


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.7 Ejemplos Un péndulo de 1,50 m de longitud se pone a balancear con una amplitud inicial de 10°. Después de 12 min, la fricción reduce la amplitud a 4° ¿Cuál es el valor de Q para este péndulo?

𝑀𝑀(𝑡𝑡) = 𝑀𝑀0𝑐𝑐−𝑡𝑡/𝜏𝜏𝑅𝑅 ⟹ 1,54𝜋𝜋

180 = 1,510𝜋𝜋180 𝑐𝑐

−12∙60/𝜏𝜏𝑅𝑅

𝜏𝜏𝑅𝑅 = 786 𝑐𝑐

𝜔𝜔0 =𝑚𝑚𝜙𝜙 = 6,5 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑐𝑐

𝑄𝑄 = 𝜔𝜔0𝜏𝜏𝑅𝑅2 = 1 ∙ 103


8.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas: resonancia 8.4.7 Ejemplos Una fuerza armónica F = F0 cos ωt, donde F0 = 0,20 N, se aplica a un oscilador armónico

amortiguado con constante de resorte k = 15 N/m y masa m, donde ω = (k/m)1/2. La amplitud de oscilación aumenta rápidamente al principio, y luego permanece en un valor constante, A= 40 cm ¿Cuál es el Q del sistema? ¿Cuál sería la amplitud si la frecuencia angular de la fuerza F fuese mucho menos que (k/m)1/2?

𝑄𝑄 = 𝑀𝑀𝑘𝑘𝐹𝐹0

= 30

𝑍𝑍 = 𝑏𝑏𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡 2 + 𝑎𝑎 𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑡𝑡2 2

𝑀𝑀𝑎𝑎 𝜔𝜔 ⟶ 0 ⟹ 𝑍𝑍 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⟹ 𝑀𝑀 ≈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

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