tema 7: los polÍgonos y la...
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TEMA 7: LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................1
2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS ............................1
3. CUADRILÁTEROS ........................................................................................2
4. POLÍGONOS REGULARES ..........................................................................3
5. TESELACIONES ...........................................................................................7
6. PERÍMETROS Y ÁREAS ...............................................................................8
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se hará un breve estudio de los polígonos de más de tres lados, se
describirán los elementos integrantes de los polígonos y las relaciones fundamentales
de los mismos, dedicando un especial interés a los cuadriláteros, sobre los que se
hará una clasificación de los diferentes tipos. Se enunciará el teorema de Gauss sobre
polígonos regulares construibles con regla y compás y se describirán procedimientos
gráficos para construirlos de forma exacta. Finalmente se estudiará el perímetro y la
superficie de los mismos y, por, ende de la circunferencia y del círculo, de donde surge
el número pi.
2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS.
Un polígono es la zona del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los
segmentos de la poligonal constituyen los lados del polígono. Los extremos de dichos
segmentos son los vértices del polígono En un polígono convexo se distinguen dos
tipos de ángulos:
o Ángulo interior: el formado por las
semirrectas que contienen a dos
lados y cuyo origen está en el vértice
común de los mismos.
o Ángulo exterior: el formado por las
semirrectas que contienen a un lado y
a la prolongación del siguiente con
origen en el vértice común.
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Un polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y de ángulos, tanto
interiores como exteriores.
Los segmentos que unen vértices no consecutivos
son las diagonales del polígono. Si desde un
vértice se trazan todas las diagonales se obtienen
n-2 triángulos siendo n el número de lados del
polígono. Como los ángulos interiores de un
triángulo suman 180º, los ángulos interiores de un
polígono de n lados sumarán (n-2)·180º.
Los ángulos exteriores son suplementarios de los interiores correspondientes, por lo
que su suma es n.180º-(n-2)·180º = 2·180º = 360º
Tarea 1: Deduce la siguiente fórmula para calcular el número de diagonales de un
polígono de n lados:
n2
)1n(n
2
)3n(n −−=−
3. CUADRILÁTEROS
Son polígonos de cuatro lados y
cuatro ángulos. Pueden ser
cóncavos y convexos. Son los
polígonos con menor número de
lados que tienen diagonales (2
diagonales). Sus ángulos interiores
suman 360º, al igual que los
exteriores.
Los cuadriláteros reciben nombres diferentes según sean sus lados y sus ángulos:
Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos:
o Cuadrado. Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro
ángulos iguales (son rectos). Sus diagonales son iguales y perpendiculares.
o Rectángulo. Sus lados son iguales dos a dos y sus cuatro ángulos son iguales (son
rectos). Sus diagonales son iguales.
o Rombo. Sus cuatro lados son iguales y sus ángulos son iguales dos a dos. Las
diagonales son perpendiculares.
o Romboide. Los lados son iguales dos a dos y los ángulos son iguales dos a dos.
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Trapecios. Son los cuadriláteros que tienen sólo dos de sus lados paralelos:
o Trapecio rectángulo. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos ángulos
rectos.
o Trapecio isósceles. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados iguales.
o Existen otros trapecios que no son ni isósceles ni rectángulos.
Trapezoides. Son los cuadriláteros que no tienen ninguno de sus cuatro lados
paralelos. Un tipo de trapezoide con nombre específico son los cometas, que tienen
los lados iguales consecutivos dos a dos y los ángulos que forman los lados
consecutivos desiguales son iguales. Se puede probar que las diagonales son
perpendiculares.
Tarea 2. Representa en un geoplano de nueve puntos todos los polígonos descritos en
el texto anterior y dibújalos.
Tarea 3. Construye con el mecano las diagonales de los cuadriláteros y coloca gomas
para formar los lados. Observa las figuras resultantes según los diferentes criterios (se
cortan o no en el punto medio; se cortan o no perpendicularmente; tienen la misma
longitud o diferente longitud) y elabora un mural en A3, dibujando los cuadriláteros y
clasificando atendiendo a los criterios anteriores.
4. POLÍGONOS REGULARES.
A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares.
Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo
equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (exágono).
Todos los polígonos regulares son inscribibles en una
circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus
vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un
polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales
como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia,
O, un vértice común a todos los triángulos.
Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de
lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos
regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices
correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.
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El segmento OM que es la altura del triángulo isósceles BCO se denomina apotema.
Es evidente que un polígono regular tiene tantas apotemas como lados.
Construcciones exactas de polígonos regulares
De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles
de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay
muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone
de manifiesto el teorema de Gauss.
Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados
que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en
que
Obsérvese que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir.
En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el
radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por
tanto, con el compás se obtienen los vértices
inmediatamente como aparece en la figura del margen a
partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este
hexágono se puede construir el triángulo inscrito como se
indica en la misma figura.
El cuadrado también se construye de forma sencilla
considerando dos diámetros perpendiculares. Éstos
determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado
regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32,
64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices
a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales).
Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del
hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados.
La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada
caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la
construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado. En
este caso la longitud del lado es la longitud de la hipotenusa del triángulo NOA de
catetos r y r
2
15 − (no se demuestra) y para dibujar este segmento se procede
como se indica en la figura adjunta:
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o Partiendo de la circunferencia de centro O y radio OR, se traza el punto medio de
OR, M. Este punto determina con A, punto de la circunferencia situado en un radio
perpendicular a OR, y con O un triángulo rectángulo en O cuya hipotenusa AM
mide r
2
5
o Como NO = r
2
15 − (pues a NM = AM = r
2
5 se le resta
2
r) y OA=r, se obtiene
que el lado del pentágono es la hipotenusa de NOA.
o Los vértices B y E se obtienen mediante la intersección de la circunferencia de
partida y la de radio AN centrada en A y los vértices C y D como intersección de la
circunferencia de partida y la de radio AN centrada en B y en E.
Otra construcción se basa en que la proyección del radio OE sobre el diámetro que
pasa por A es r
4
15 −. La figura adjunta se ha construido dibujando el segmento OP
= OM2 = r
4
15 −.
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o Para ello en primer lugar se construye OS= r5 como hipotenusa de un triángulo
rectángulo ORS de lados r y 2r. Se toma T tal que ST = SR = r y, por tanto,
OT= r)15( − .
o Se halla el punto medio de OT, M1, de donde OM1= r
2
15 − y el punto medio de
OM1, M2, de donde OM2= r
4
15 −.
o Se toma P sobre OA tal que OP=OM2. La perpendicular al diámetro por P
determina los vértices B y E.
Como en los casos anteriores, los polígonos de 10, 20, 40,… lados se construyen
duplicando este número de lados con las mediatrices.
El polígono de 15 lados tiene un ángulo central
de 24º y este ángulo se consigue duplicando la
diferencia 72-60, que son los ángulos centrales
del pentágono y del hexágono. Por tanto su
construcción, una vez que se ha dibujado el
pentágono es muy sencilla. A partir del vértice A
del pentágono se dibuja la circunferencia
centrada en A y radio el de la circunferencia de
partida AO. Ésta corta a la circunferencia de
partida en D y la diferencia entre los ángulos
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AOB (ángulo central del pentágono) y AOD (ángulo central del hexágono) es el
semiángulo central del pentadecágono. Ya sólo queda duplicarle con una
circunferencia auxiliar y llevar esta cuerda 14 veces sobre la circunferencia.
Tarea 4. Construye con regla y compás un cuadrado, un hexágono, un octógono y un
polígono regular de 12 lados.
Polígonos estrellados
Otro tipo interesante de polígonos está formado por los polígonos estrellados. Estos se
construyen a partir de los polígonos regulares al unir consecutivamente los vértices
separados por un número fijo de vértices (salto) hasta llegar al primero. Se denotan
por n/m siendo n el número de vértices del polígono regular convexo y m el salto entre
vértices. Estos polígonos tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales, pero son
cóncavos. En la dirección
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/polirestrellado.htm,
aparecen las características de estos polígonos y un applet para generarlos y
comprobar sus propiedades.
En la figura adjunta están representados los tres pentadecágonos estrellados que
existen: 15/2, 15/4 y 15/7. El polígono estrellado 15/3 no existe porque las diagonales,
saltando de tres en tres vértices, generan el pentágono regular, 15/5 tampoco porque
genera el triángulo equilátero y 15/6=5/3 tampoco porque genera el pentágono
estrellado. Finalmente, si el salto está comprendido entre n/2 y n, los polígonos que se
generan son los mismos (por ejemplo, el polígono 15/2 es el mismo que 15/13), y en lo
único que se diferencian es en el sentido de la generación (dextrógiro, sentido horario,
o levógiro, sentido antihorario). De hecho, se verifica el siguiente resultado:
Teorema. A partir de un polígono regular de n lados se generan tantos polígonos
regulares como fracciones irreducibles n/p se puedan obtener, siendo p, el salto, un
número entero mayor o igual que 2 y menor o igual que n/2.
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Tarea 5: Localiza, si es posible, un polígono estrellado en las siguientes imágenes de
La Alhambra.
5. TESELACIONES
Por teselar (recubrir, embaldosar, enlosar, alicatar) el plano se entiende recubrir todo
el plano por medio de polígonos sin que queden fisuras ni haya solapamientos. Los
únicos polígonos regulares que teselan el plano son: el triángulo equilátero, el
cuadrado y el hexágono regular. Esto es así porque, como se indican en las figuras, se
forman nudos, N, (vértices de varios polígonos) de manera que los ángulos con el
mismo vértice suman 360º. Con el resto de polígonos regulares o no llegan o se
exceden.
Todos los cuadriláteros teselan el plano y, por
consiguiente, también le teselan todos los
triángulos. La figura es un ejemplo de esta
afirmación.
Otra forma de teselar el plano consiste en intercambiar polígonos.
Por ejemplo, la figura siguiente inserta entre cada dos
pentágones triángulos isósceles tales que el lado desigual mide
12º. Lógicamente, se harán piezas en forma de rombo con
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ángulos de 12º y de 168º para que puedan ser encajadas entre cuatro pentágonos
regulares.
Tarea 6. Diseña un mosaico en el que se utilicen tres polígonos distintos.
Tarea 7: Señala qué polígonos teselan el plano en el
siguiente mosaico de la Alambra.
6. PERÍMETROS Y ÁREAS
Perímetros
Todo polígono está limitado por una línea poligonal cerrada. Si se considera un
segmento de longitud unidad, el perímetro de un polígono es el número de veces que
la poligonal contiene a dicho segmento y equivale a la suma de las longitudes de los
lados del polígono.
En el caso de los polígonos regulares, como todos los lados tienen la misma longitud,
el perímetro P, se obtiene multiplicando el número de lados por la longitud del lado.
El perímetro de los polígonos regulares también se puede calcular en función del radio
de la circunferencia circunscrita, r, y de una constante, Cn, que depende del número de
lados, n, mediante la siguiente fórmula P=2·Cn·r, ya que
la mitad del lado y el radio están siempre en la misma
proporción Kn (únicamente depende del ángulo central y,
por tanto, del número de lados), así que lado=2·Kn·radio
y el perímetro se obtiene multiplicando por n la
expresión anterior, de donde se deduce, si se hace
Cn=nKn la fórmula Pn=2·Cn·r.
Tarea 8: Partimos de una circunferencia de radio r donde se construye un triángulo
equilátero, un cuadrado y un hexágono. Calcula el valor de C3, C4 y C6. hallando la
relación entre la mitad del lado y el radio, y multiplicando por el número de lados.
Comprueba que C3<C4 <C6. (recuerda que en un triángulo equilátero todos los puntos
notables son iguales y que el baricentro divide a la mediana en dos partes, una el
doble de la otra).
Si se fija el radio de la circunferencia, r, y se inscriben polígonos regulares en ella,
cada vez con un número mayor de lados, resulta que la constante, Cn, va aumentando
progresivamente. Además, el perímetro de los polígonos inscritos está acotado
superiormente por la longitud de la circunferencia, por lo que también lo están dichas
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constantes. Así, se obtiene una sucesión creciente y acotada superiormente, lo que
implica que existe un número, la menor de las cotas superiores, al que se aproximan
los valores de la sucesión mejorando cualquier número cercano a dicha cota, éste es
el número π y, por tanto, la longitud de la circunferencia es 2πr. Esto implica que los
perímetros de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia son
aproximaciones de la longitud de la circunferencia, tanto mejores cuanto mayor sea el
número de lados.
Tarea 9: Investiga las particularidades del número π (¿qué tipo de número es?, ¿cómo
se define?, ¿cómo se pueden calcular aproximaciones?,…) Enrolla una cinta métrica
que aprecie milímetros en un objeto redondo, mide el diámetro y halla la razón entre la
longitud de la circunferencia y el diámetro. Si lo haces con cuidado obtendrás una
aproximación de π superior a las centésimas.
Áreas
Considerando el cuadrado de lado unidad como unidad básica, el área de una
superficie es el número de cuadrados de lado unidad que contiene. Es inmediato
calcular el área de cuadrados y de rectángulos cuando la longitud de sus lados son
unidades enteras (3, 7, 45, …), ya que haciendo una rejilla cuadrada se puede contar
el número de cuadrados unitarios que contiene.
El área del cuadrado es el cuadrado del lado (Ac=l2) y el área del rectángulo es el
producto de sus dos lados perpendiculares, que reciben el nombre de base y altura
(Ar=b·a). En el caso en el que las longitudes de los lados no sean números enteros el
área se calcula igual.
Tarea 10: Justifica que el área de un rectángulo de 7 unidades y altura 4 unidades es
28 unidades cuadradas. Ídem cuando la base es 9/4 unidades y altura 7/3 unidades es
63/12 unidades cuadradas. En el segundo caso se cuentan cuadraditos de lado 1/12
del cuadrado de partida (12=m.c.m. (3,4)).
Área del romboide y del rombo. Es igual al
producto de la base por la altura.
Considerando la figura adjunta, es claro que el
romboide ABCD de base AB y altura DH tiene el
mismo área que el rectángulo HKCD y ambos tienen la misma base (AB=HK) y la
misma altura (HD o KC), ya que los triángulos AHD y BKC tienen el mismo área
(Aparal=b·a unidades cuadradas).
Área de triángulos. Es la mitad del producto de la base por la altura.
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Considerando el triángulo ABC, y trazando por B y
C las paralelas a los lados AC y AB,
respectivamente, es claro que se obtiene un
romboide y que los triángulos ABC y BDC tienen el
mismo área porque tienen los tres lados iguales.
Como el área de este cuadrilátero es igual al
producto de la base, b, por la altura, a, entonces el área del triángulo es la mitad del
producto de la base por la altura (At=b·a/2 unidades cuadradas).
Herón de Alejandría dio una fórmula para calcular el área del triángulo cuando no se
conoce la longitud de la altura (que es un caso muy común, por ejemplo en la medida
de terrenos). Siendo a, b, y c los lados del triángulo y denotando por p al
semiperímetro (p=(a+b+c)/2):
Área de trapecios. Para determinar la fórmula se argumenta teniendo presente una
de las figuras adjuntas. En la primera de ellas, se observa la igualdad de los triángulos
MBQ=PMA y SDM’=M’RC siendo M el punto medio de AB y M’ el punto medio de CD.
En consecuencia el área del trapecio ABCD es igual que el área del rectángulo PQRS
cuya base, m, es la semisuma de las bases m1=BC y m2=AD. Por tanto, el área es:
Quizás sea más fácil un razonamiento sobre la segunda de las figuras, que representa
un paralelogramo formado por dos trapecios iguales (b1=b’1 y b2=b’2). El área de este
paralelogramo es (b1+b2)·h y, por tanto, como el trapecio
es la mitad, se obtiene la fórmula anterior.
Área de los polígonos regulares. Considerando un
polígono regular de n lados, su área es la suma de los n
triángulos isósceles iguales que componen el polígono de
manera que uno de sus lados coincida con el lado del
polígono y los otros dos sean sendos radios de la
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circunferencia circunscrita. El área de cada triángulo es
siendo an la apotema y, por tanto, el área del polígono regular de n lados es
.
Como n·ln es el perímetro Pn, finalmente,
Para calcular el área de otros polígonos no regulares, éstos se descomponen en
triángulos y el área total será la suma de las áreas correspondientes.
Procediendo como en el caso de longitudes, el área de los polígonos regulares
inscritos en una circunferencia de radio r se puede calcular mediante el producto de
una constante Kn, que depende del número de lados, n, por el cuadrado del radio.
A polígono regular de n lados=Kn ·r2 unidades cuadradas
En el caso del cuadrado se puede comprobar que
En el caso del hexágono se puede comprobar que
En el caso del octógono es más complicado, pero se puede comprobar que
En suma, lo mismo que antes, Kn es una sucesión monótona creciente y acotada
superiormente y el valor de su límite es el número π. Así, el área del círculo es Ac=π r2
Área de la corona circular . Es el área de la región delimitada
por las dos circunferencias concéntricas. Se calcula mediante
la diferencia entre el área del círculo mayor, de radio R, y la
del círculo menor, de radio r. Por tanto:
Acorona=πR2-πr2=π(R2-r2) unidades cuadradas.
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Área del sector circular . Es proporcional a la amplitud del
ángulo central que determina dicho sector. Se calcula
mediante una regla de tres comparando la amplitud del
ángulo central con toda la circunferencia, si el ángulo
central, α, se expresa en grados se compara esta amplitud
con los 360º de la circunferencia completa y si α está
expresado en radianes con los 2π radianes de la
circunferencia. En uno y otro caso se obtiene:
Área del segmento circular. En este caso el área se calcula mediante la diferencia
del área del sector de ángulo β y el área del triángulo OAB, cuyos lados son radios de
la circunferencia y cuyo ángulo comprendido es el ángulo central cuyo arco es el del
segmento.
El área de figuras irregulares se calcula descomponiendo la figura en cuestión en otras
cuyas áreas se puedan calcular con los datos disponibles.
Nota: Todas las longitudes se miden mediante unidades lineales (segmentos unitarios)
y todas las áreas mediante unidades cuadradas (cuadrados de lado unidad).
Tarea 11: Entra en http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/areas.htm
y responde a las preguntas de cada apartado.
Tarea individual: Resuelve los siguientes problemas.
1. Queremos rodear la parcela siguiente con una malla de
alambre. Si el metro de malla nos cuesta 30 euros, ¿cuánto
gastaremos en cercar la parcela?
2. El cuadrado ABCD tiene 10 cm de lado. Se ha construido un nuevo cuadrado
MNPQ, siendo M, N, P y Q los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Halla el
perímetro y el área del cuadrado MNPQ.
3. La planta de una biblioteca pública es rectangular, donde la base mide el triple
que la altura y su área es igual a 108 m2. Calcula:
a) El perímetro de la biblioteca.
b) El área de otra parcela cuadrada que tenga el mismo perímetro que la biblioteca.
65 m
40 m
105 m
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4. Se dispone de 24 m de alambre para construir polígonos regulares, con el mismo
perímetro. Halla el área del triángulo equilátero y del hexágono regular que así pueden
construirse. ¿Observas alguna relación entre las áreas?
5. De un polígono regular conocemos que su ángulo exterior tiene una amplitud de
15º. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
6. ¿En qué polígono regular el número que expresa la amplitud en grados de su
ángulo interior es igual a 10 veces el número de lados del mismo?
7. En cada uno de los siguientes casos, halla el polígono regular:
a) Cuyo ángulo interior vale 60º.
b) Cuyo ángulo exterior vale 30º.
c) Cuya suma de ángulos interiores es 1440º.
d) Cuya suma de ángulos exteriores es 360º.
e) Cuya suma de ángulos interiores y exteriores es 900º.
f) Que tenga 77 diagonales.
8. El número total de diagonales que pueden
trazarse en un polígono regular es 170. ¿Cuánto
mide el ángulo interior de dicho polígono?
9. Sabiendo que el pentágono de la figura de la
derecha es regular, halla la medida de los ángulos
1, 2 y 3.
10. Hallar el perímetro y el área de un trapecio rectángulo de 12 metros de altura y
diagonales de 15 y 20 metros de longitud.
11. Las dimensiones de un rectángulo ABCD son: AD=3cm y DC=5cm. Halla un
punto P sobre AB cuya distancia x=AP sea tal que el área del trapecio PBCD sea
cuatro veces el área del triángulo APD.
12. Halla el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro mide 25m.
13. A continuación se indica cómo se construye una lúnula. Calcula el área de la
misma si AB=4cm.
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Triángulo rectángulo
isósceles
Arco CB con centro en A Arco CB con centro en el
punto medio de CB
Lúnula
14. Calcula el perímetro y el área de un rombo sabiendo que uno de sus lados mide 4
centímetros y dos de sus ángulos interiores valen 60º.
15. La aguja del minutero de un reloj mide 18 cm de largo. Calcula la distancia que
recorre su extremo en treinta y cinco minutos.
16. Halla el perímetro y el área de la
estrella que aparece debajo sabiendo que
el lado del cuadrado mide 8 cm.
17. Calcula el perímetro de cada una de
las figuras sabiendo que la circunferencia
grande tiene 12 cm de diámetro.
18. Dos arcos de circunferencia de la misma longitud han sido trazados sobre
circunferencias de radios de 25 y 20 centímetros respectivamente. Uno es los arcos
mide 45º. ¿Cuál es el valor del otro arco?
19. A un cuadrado de 24 cm de perímetro se le inscribe una circunferencia y se le
circunscribe otra. Dibuja la figura resultante y calcula el área de la corona circular
formada por las dos circunferencias.
20. Dadas tres circunferencias de 3 cm de radio
tangentes entre sí, se obtiene un triángulo curvilíneo
limitado por las tres circunferencias, como puede
verse en la figura de la derecha. Calcula el área de
dicho triángulo curvilíneo.
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21. El tangram es un antiguo juego chino que consta de siete figuras que forman un
cuadrado como el que aparece a continuación.
a) Si el lado del cuadrado interior es de 12 cm,
determina el lado de cada una de las figuras.
b) Si el área del cuadrado interior es de 16 cm2,
averigua el área de cada una de las figuras.
22. Dibuja un hexágono regular de 2 cm de lado, sobre cada uno de sus lados y
hacia el exterior dibuja un cuadrado de lado el del hexágono, une con segmentos los
vértices consecutivos exteriores de los cuadrados y obtendrás un dodecágono.
a) Justifica razonadamente si el dodecágono construido es regular o no.
b) Halla el área del dodecágono.