TEMA 6. ROTACIÓN

Conocer el concepto de sólido rígido. Comprender que el movimiento general de un sólido rígido es el resultado de dos movimientos elementales: traslación y rotación. Expresar con sus propias palabras el concepto de momento de inercia y comprender cómo varía su valor al cambiar de eje de giro. Conocer las propiedades de la rotación de un sólido rígido en su rotación alrededor de un eje principal de inercia. Observar el paralelismo entre las magnitudes cinemáticas, dinámicas y energéticas en los movimientos de traslación y rotación. Aplicar las relaciones entre las magnitudes características del movimiento de rotación a la resolución de problemas de dinámica.

OBJETIVOS

ÍNDICE

TEMA 6. ROTACIÓN

6.1 Definición y movimiento general de un sólido rígido 6.2 Rotación alrededor de un eje fijo: Momento de inercia 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.4 Ecuación del movimiento de rotación 6.5 Energía cinética de rotación

TEMA 6. ROTACIÓN

6.1 Definición y movimiento general de un sólido rígido 6.1.1 Definición de sólido rígido

Las distancias entre sus partículas siempre permanecen constantes, esto es, siempre conserva su forma

TEMA 6. ROTACIÓN

6.1 Definición y movimiento general de un sólido rígido 6.1.1 Tipos de movimiento: traslación y rotación

Todas las partículas describen Trayectorias paralelas, esto es, la línea que une dos puntos cualesquiera se desplaza paralela

Traslación Rotación alrededor de un eje Todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor del eje de rotación y recorren una circunferencia en el mismo tiempo

TEMA 6. ROTACIÓN

6.1 Definición y movimiento general de un sólido rígido 6.1.1 Tipos de movimiento: traslación y rotación

Movimiento general

TEMA 6. ROTACIÓN

6.1 Definición y movimiento general de un sólido rígido 6.1.1 Tipos de movimiento: traslación y rotación

Movimiento general

TEMA 6. ROTACIÓN

6.2 Movimiento alrededor de un eje fijo: momento de inercia 6.2.1 Momento angular de un sólido con respecto al eje de rotación

𝐿𝐿𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑖𝑖 × �⃗�𝑝𝑖𝑖

𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐿𝐿𝑖𝑖 cos𝜋𝜋2 − 𝜑𝜑𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜑𝜑𝑖𝑖

𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝜔𝜔

𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖2𝜔𝜔 𝐿𝐿 = ∑𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖,∑𝐿𝐿𝑖𝑖𝑦𝑦 ,∑𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖

mi

O

𝐿𝐿𝑖𝑖 = ∑𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = ω∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖2

TEMA 6. ROTACIÓN 6.2 Movimiento alrededor de un eje fijo: momento de inercia 6.2.3 Relación entre I y la componente Z de L

𝐿𝐿𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝜔𝜔

En general, L ≠ Lz = Iω

𝐿𝐿𝑖𝑖 = ∑𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = ω∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖2

TEMA 6. ROTACIÓN 6.2 Movimiento alrededor de un eje fijo: momento de inercia 6.2.4 Ejes y momentos principales de inercia

𝐿𝐿 = 𝐼𝐼𝜔𝜔

TEMA 6. ROTACIÓN 6.2 Movimiento alrededor de un eje fijo: momento de inercia 6.2.2 Momento de inercia con respecto a un eje

TEMA 6. ROTACIÓN 6.2 Movimiento alrededor de un eje fijo: momento de inercia 6.2.4 Ejes y momentos principales de inercia

TEMA 6. ROTACIÓN 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.3.1 Expresión integral del momento de inercia

𝐼𝐼 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2 = ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑚𝑚

𝜌𝜌 = 𝑑𝑑𝑚𝑚/𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼 = ∫ 𝑟𝑟2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

dm

TEMA 6. ROTACIÓN 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.3.2 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Conocido el momento de inercia Ic con respecto a un eje que pasa por el centro de masas, se quiere calcular el momento de inercia I respecto de un eje paralelo a una distancia h.

TEMA 6. ROTACIÓN 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.3.2 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Conocido el momento de inercia Ic con respecto a un eje que pasa por el centro de masas, se quiere calcular el momento de inercia I respecto de un eje paralelo a una distancia d.

Rc2 = x2+y2

R2 = x2+(y+d)2 = x2+y2+2yd+d2 = Rc2+2yd+d2

𝐼𝐼 = ∑𝑚𝑚𝑅𝑅2 = ∑𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑐𝑐2 + 2𝑦𝑦𝑑𝑑 + 𝑑𝑑2 = ∑𝑚𝑚𝑅𝑅𝑐𝑐2 + 2𝑑𝑑 ∑𝑚𝑚𝑦𝑦 + 𝑑𝑑2∑𝑚𝑚 = 𝐼𝐼𝑐𝑐 + 𝑀𝑀𝑑𝑑2

TEMA 6. ROTACIÓN 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.3.3 Teorema de los ejes perpendiculares

Para un elemento de volumen en un sólido con forma arbitraria

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼𝑦𝑦 = ∫ (𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2)𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ (𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

En el caso de una figura plana, z = 0

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑥𝑥2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ 𝑦𝑦2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑖𝑖 + 𝐼𝐼𝑦𝑦 ⟹

O

TEMA 6. ROTACIÓN 6.3 Cálculo del momento de inercia 6.3.4 Teorema del momento de inercia respecto de un punto

Para un elemento de volumen en un sólido con forma arbitraria se define el momento de inercia con respecto a un punto:

𝐼𝐼𝑜𝑜 = ∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2 = ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑚𝑚

𝐼𝐼𝑖𝑖 +𝐼𝐼𝑦𝑦 +𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 𝑑𝑑𝑚𝑚 + ∫ 𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 𝑑𝑑𝑚𝑚 + ∫ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑚𝑚

𝑟𝑟2 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2

𝐼𝐼𝑖𝑖 +𝐼𝐼𝑦𝑦 +𝐼𝐼𝑖𝑖 = 2∫ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 𝑑𝑑𝑚𝑚

𝐼𝐼𝑜𝑜 =12 (𝐼𝐼𝑖𝑖 +𝐼𝐼𝑦𝑦 +𝐼𝐼𝑖𝑖)

TEMA 6. ROTACIÓN 6.4 Ecuación general del movimiento de rotación 6.4.1 Analogía traslación-rotación

𝑠𝑠 = 𝑠𝑠0 + 𝑣𝑣0𝑡𝑡 +12𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡

2

𝜑𝜑 = 𝜑𝜑0 + 𝜔𝜔0𝑡𝑡 +12𝛼𝛼𝑡𝑡

2

Traslación

Rotación

�⃗�𝑝 = 𝑚𝑚�⃗�𝑣

𝐿𝐿 = 𝐼𝐼𝜔𝜔

TEMA 6. ROTACIÓN 6.4 Ecuación general del movimiento de rotación 6.4.1 Analogía traslación-rotación

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones ¿En qué situación es mayor la aceleración angular con la que gira el tubo de sección circular? ¿Por qué?

(c)

(d)

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones ¿Cómo influye la dirección y el punto de aplicación de una fuerza sobre un sólido rígido en el valor de la aceleración angular que produce?

𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 × �⃗�𝐹 = 𝑟𝑟𝐹𝐹𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 = 𝑟𝑟𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 × �⃗�𝐹

𝑀𝑀 = 𝑟𝑟 × �⃗�𝐹 = 𝐹𝐹𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙 = 𝐹𝐹𝐹𝐹

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones ¿Puede producir el peso un giro? ¿Por qué una tostada siempre cae hacia abajo? ¿Por qué diferentes objetos de la misma masa sobre un plano inclinado experimentan aceleran de distinto modo?

𝑀𝑀 =𝑑𝑑𝐿𝐿𝑑𝑑𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐼𝐼𝜔𝜔 = 𝐼𝐼�⃗�𝛼

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones Análisis del movimiento de rodadura

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones Cálculo del momento de inercia de distribuciones de masa sencillas respecto de ejes de simetría

Anillo respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑅𝑅2∫ 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝑅𝑅2

Anillo respecto de un eje que coincide con uno de sus diámetros

𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 =12 𝐼𝐼𝑖𝑖 =

12𝑀𝑀𝑅𝑅

2

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones Cálculo del momento de inercia de distribuciones de masa sencillas respecto de ejes de simetría

Disco uniforme respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑚𝑚 = ∫ 𝑟𝑟2𝜎𝜎𝑑𝑑𝐴𝐴 =12𝑀𝑀𝑅𝑅

2

Disco uniforme respecto de un eje que coincide con uno de sus diámetros

𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑦𝑦 =12 𝐼𝐼𝑖𝑖 =

14𝑀𝑀𝑅𝑅

2

𝑑𝑑𝐴𝐴 = 2𝜋𝜋𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟

TEMA 6. ROTACIÓN 6.5 Aplicaciones Cálculo del momento de inercia de distribuciones de masa sencillas respecto de ejes de simetría

Disco uniforme respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro

𝐼𝐼𝑖𝑖 = ∫ 𝑑𝑑𝐼𝐼 = ∫12𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑅𝑅2 =

12𝑅𝑅

2∫ 𝑑𝑑𝑚𝑚 =12𝑀𝑀𝑅𝑅

2

𝑑𝑑𝐼𝐼 =12 (𝑑𝑑𝑚𝑚)𝑅𝑅2