tema6 t fourier

1

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT)17/11/99

Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier(DFT)(DFT)

❒❒ Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier

❒❒ FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)

2



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier❒ Antes de definir la DFT, analizaremos primero la Transforma-

da de Fourier en tiempo discreto (DTFT).

❒ La DTFT describe el espectro de señales discretas. Deducire-mos la DFT a partir de la convolución discreta explicada en elCapítulo 2.

❒ Allí se definió la convolución discreta como

◆ Si tenemos una señal de entrada armónica x[n]=exp(j2πnfts), larespuesta y[n] es

◆ H(f) es la DTFT de la señal discreta h[n] . Nótese que la función H(f)es periódica, debido a que h[n] es una función discreta.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n x n h n x k h n ks sk

= ∗ = −=−∞

∞

∑

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( )

y n j n k ft h k

j nft j kft h k x n H f

sk

s sk

= − ⋅

= − ⋅ = ⋅

=−∞

∞

=−∞

∞

∑

∑

exp ( )

exp( ) exp( )

2

2 2

π

π π

3



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier

❒ Se define la DTFT de una señal discreta x[n] como

❒ Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT◆ Tenemos una señal periódica continua xp(t). Mediante las series de

Fourier transformamos esa señal periódica continua en una funciónaperiódica y discreta (los coeficientes espectrales XS[k] ).

◆ De una manera dual, podemos intercambiar tiempo y frecuencia deforma

donde SF=1/ts . Ahora tenemos una señal aperiódica discreta xs[k] y latransformamos en una señal periódica continua (Xp(f)) mediante laDTFT.

( ) [ ]X f x k j kftsk

= −=−∞

∞

∑ exp( )2π

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )X kT

x t j kf t dt x t X k j kf tS pT p Sk

= − =∫ ∑=−∞

∞12 20 0exp expπ π

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∑∫∞

−∞=

−==k

sSPS sPF

S kftjnxfXdfkftjfXS

kxF

ππ 2exp 2exp1

4



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier◆ El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se

manifiesta en lo siguiente :✦ En las series de Fourier parto de una señal x(t), temporal, continua y perió-

dica (periodo T) y obtengo los coeficientes X[k] , que es una función de lafrecuencia, aperiódica y discreta con una distancia entre dos valoresconsecutivos de f0=1/T.

✦ En la DTFT parto de una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo demuestreo ts=1/fs y aperiódica y obtengo una función X(f), que es funcióncontinua de la frecuencia y periódica con periodo fs.

◆ Todas las propiedades que se vieron para las series de Fourier tienen sucorrespondientes equivalencias en la DTFT.

◆ Ejemplo : DTFT de la secuencia x[n]= δ[n] :

Si tenemos una secuencia x[n]={1,0,3,-2}, a partir de la anterior ecuacióny aplicando la propiedad del desplazamiento,

[ ] ( )X f k j kftsk

( ) exp= − ==−∞

∞

∑δ π2 1

( ) ( )X f j ft j fts s( ) exp exp= + − − −1 3 4 2 6π π

5




❒ Sin embargo, a la hora de realizar operaciones tenemos losmismos problemas que en las series de Fourier ya queseguimos tratanto con señales continuas o con series de datosde longitud infinita. La electrónica nos obliga a trabajar conun número finito de datos discretos que además tienen unaprecisión finita.

❒ De lo que se trata es de conseguir discretizar las variablescontinuas y de limitar el números de muestras en los dosdominios (temporal y frecuencial).

❒ Esto nos lleva a definir las series discretas de Fourier y laTransformada Discreta de Fourier (DFT).

6




❒ De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier◆ Para las Series de Fourier se cumple (f0=1/T)

◆ Para limitar xp(t), tomamos N muestras de xp(t) durante un periodo aintervalos ts, de forma que N·ts=T. Al calcular los coeficientes X[k] mequeda,

◆ La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódicamuestreada xP[n] .

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )∑ ∫∞

−∞=

⋅−⋅==k

T PSSP dttkfjtxT

kXtkfjkXtx 00 2exp1

2exp ππ

[ ] [ ] ( )

[ ] ( ) 1,2,1,0 /2exp1

2exp1

1

0

1

00

−=−⋅=

⋅−⋅=

∑

∑−

=

−

=

NkNknjnxN

tntkfjnxNt

kX

N

nP

s

N

nsP

s

�π

π

7




❒ De la DTFT a la DFT◆ Tenemos una señal x[n] limitado a N muestras con un periodo de

muestreo ts.

◆ La DTFT se define como

◆ XP(f) es periódica con periodo 1/ts. Muestreamos esta señal N vecessobre un periodo, por tanto XT[k] será sustituir f por k/(Nts) :

◆ Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta deFourier de una señal x[n] . Excepto por el término 1/N es idéntica a laSerie Discreta de Fourier.

( ) [ ] ( )X f x n j nftP sn

N

= ⋅ −=

−

∑ exp 20

1

π

[ ] [ ] ( )[ ][ ] [ ]

X k x n j nkt Nt

x n j nk N k N

T s sn

N

n

N

= ⋅ −

= ⋅ − = −

=

−

=

−

∑

∑

exp /

exp / , , , ,

2

2 0 1 2 1

0

1

0

1

π

π �

8



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier❒ Transformada Discreta inversa (IDFT),

❒ Convolución Circular o Cíclica◆ La convolución normal entre dos señales periódicas es cero o infinito. Para

este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias xp[n] yhp[n] con periodo N :

◆ La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismotamaño. Si no fuera así habría que llenar de ceros la secuencia más corta.

[ ] [ ] ( )x nN

X k j nk N n NTk

N

= = −=

−

∑12 0 1 2 1

0

1

exp / , , , ,π �

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n x n h nN

x k h n kp p p p pk

N

= • = −=

−

∑1

0

1

9




❒ Propiedades de la DFT

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

Simetria Conjugada

Linealidad

Desplazamiento

Modulacion

Producto

Simetria

Conjugado

Convolucion Circular

Correlacion

X k X k X N k

x n y n X k Y k

x n m X k j km N X k W

W x n X k m

x n y nN

X k Y k

x n X k X k

x n X k

x n y n X k Y k

x n y n X k

T T T

T T

T T Nkm

Nnm

T

T T

T T

T

T T

T

− = = −+ ↔ +

− ↔ ⋅ − = ⋅

⋅ ↔ −

↔ •

− ↔ − =

↔ −• ↔

• − ↔

∗

−

∗

∗ ∗

∗

α β α β

πexp /2

1

[ ]

[ ] [ ]

Y k

x nN

X k

T

T

∗

=∑ ∑Ecuacion de Parseval 2 21

10




❒ Ejemplos◆ x[n]={1,2,1,0}

por tanto la DFT de x[n] es XT[k]={4,-j2,0,j2} para k=0,1,2,3

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

k X x n

k X x n j j j j

k X x n j j j

k X x n j j j j

T

T

T

T

= = = + + + =

= = − = + − + − = −

= = − = + − + − =

= = − = + − + − =

∑∑∑∑

0 0 1 2 1 0 4

1 1 2 4 1 2 2 2

2 2 2 2 4 1 2 2 0

3 3 2 3 4 1 2 3 2 3 2

exp / exp / exp

exp / exp exp

exp / exp / exp

π π π

π π π

π π π

11




❒ Podemos interpretar los resultados del DFT de una secuenciaxs[n] desde dos puntos de vista:

◆ Como los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señalperiódica discreta cuyos muestreos coinciden con la secuencia xs[n] .

◆ Como el espectro de una señal aperiódica discreta cuyos muestreoscorresponden a la secuencia xs[n] .

❒ EL DFT es una aproximación al espectro de la señal analógicaoriginal. Su magnitud se ve influenciada por el intervalo demuestreo, mientras que su fase depende de los instantes demuestreo.

12




❒ Como hacer la DFT a partir de una señal x(t), muestreadadurante D segundos, con periodo de muestreo ts :

◆ Elegir el intervalo de muestreo ts de forma que se cumpla el Teoremadel muestreo.

◆ Crear la expensión periodica (xp(t)) de x(t) con periodo D.

◆ Tomar N muestras de xp(t) empezando en t=0.

◆ Si hay discontinuidades, los valores de muestreo los tomaremos en elpunto medio de la señal.

TT

x(t)

0-1 321-3 -2 0-1 321-3 -2

x p(t)

13




❒ DFT de señales periódicas◆ Siendo x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1ms y N=8 tenemos la siguien-

te secuencia de muestreos :

x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071}

El resultado de hacer el DFT es XT[k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}.

XS[k]=1/8{0,-4j,0,0,0,0,0,4j}={0,-j/2,0,0,0,0,0,j/2}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10

-3

-1

-0.5

0

0.5

1Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8

Tiempo (s)

Am

plitu

d

14




-4000 -2000 0 20000

1

2

3

4

5DFT

Mag

nitu

d D

FT

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d D

FT

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5DFT

Indice k

◆ x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=0.5ms y N=8, tenemos la secuencia demuestreos: x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}.

Los coeficientes del DFT son {5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}

Y los coeficientes del DFS son X[k]=1/8{5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}

15




◆ En este nuevo ejemplo, la frecuencia de muestreo es 16KHz. Los X[k]son reales, por lo que la función tiene simetría par. Para la onda dada,los coeficientes exactos de Fourier son :

✦ XS[0]=1/ π XS[k]=2/ π(1-4k2)

✦ Comparando XS[0] ≈X[0]

XS[1] ≈X[1] dentro del 5% de precisión

✦ Para los términos con k=2,3..., X[k] se desvía bastante del término exactodebido a que la señal no tiene un espectro limitado, produciéndose aliasing.

0 1 2 3 4 5

x 10-4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8

Tiempo (s)

Am

plitu

d

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8DFT

Mag

nitu

d D

FT

Indice k-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

16



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier◆ x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1.5ms y N=24.

0 0.5 1 1.5

x 10-3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8

Tiempo (s)

Am

plitu

d

0 5 10 15 200

5

10

15

20

DFT

Mag

nitu

d D

FT

Indice k

-5000 0 50000

5

10

15

20

DFT

Mag

nitu

d D

FT

Frecuencia (Hz)

17



Transformada DiscretaTransformada Discreta de Fourier de Fourier✦ En este ejemplo se ha producido el denominado “leakage”, que consiste

en que las componentes originales de la señal se derraman hacia lasnuevas componentes de la señal. Para evitarlo, se debe muestrear unnúmero entero de periodos, o bien utilizar alguna de las ventanasespectrales (ventana de Hamming, etc).

◆ Podría ocurrir que no conocieramos el periodo de la señal de la cualqueremos calcular el DFT. En ese caso se muestrea una señal deduración lo más larga posible. De esta forma, se reduce el “leakage” yel espacio entre frecuencias obteniéndose una buena estimación delespectro original.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-1

-0.5

0

0.5

1

Sinusoide 1KHz

Tiempo (s)

Am

plitu

d

18




❒ DFT de señales aperiódicas◆ La señal aperiódica x(t) debe ser muestreada durante un tiempo D. El

DFT produce los coeficientes espectrales correspondientes a laextensión periódica de x(t) con periodo D. El espacio entre frecuenciases f0=1/D. A f0 se le denomina resolución frecuencial. Esta dependesólo de la duración. Si la señal está limitada en el tiempo, la forma deaumentar la duración es añadir ceros.

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000

20

40

60

80DFT

Mag

nitu

d D

FT

Frecuencia (Hz)

19




0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Mag

nitu

dSeñal x(t)=exp(-t)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

20




❒ Tal y como se observa en las figuras de la páginas anterioreshay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de unasecuencia de datos.

❒ Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. Sepuede observar que |XT[k]| es simétrico respecto a N/2.

❒ Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuen-cia. De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de laDFT es 1/(Nts). La DFT nos da la Transformada de Fourierpara las frecuencias

f -(N/2)/(Nts),...,-1/(Nts),0, 1/(Nts), 2/(Nts)...(N/2-1)/(Nts)

k (N/2) ,..., N-1 ,0, 1 , 2 ... (N/2-1)

❒ La máxima frecuencia detectable por la DFT es lógicamentefs/2, de acuerdo con el Teorema del Muestreo.

21




❒ En general, el DFT es una aproximación a las series o a latransformada de Fourier. Es muy importante elegircorrectamente los parámetros del DFT (frecuencia demuestreo fs=1/ts, resolución de frecuencia f0=1/D).

❒ La frecuencia de muestreo se determina a partir del teoremade muestreo. Si queremos detectar el espectro de una señalhasta una máxima frecuencia B , la frecuencia de muestreodeberá ser 2B.

❒ La duración del muestreo se elige para una determinadaresolución de frecuencia.

❒ Una regla de diseño muy útil es: Si queremos los M primerosarmónicos de una señal con un error máximo del 5%, elnúmero de muestreos N=8M.

22




❒ Ejemplo: Queremos determinar mediante un algoritmo digitalel espectro de la señal x(t)=exp(-t). La máxima frecuencia dela que pide su coeficiente es fB=1Hz. Además el armónicocorrespondiente a f=0.3Hz debe tener un error menor que el5%. Calcular fs,D y N.

◆ De acuerdo con el Teorema del Muestreo fs=2fB=2Hz.

◆ Escogemos una resolución frecuencial de f0=0.1Hz, de forma queD=1/0.1=10s.

◆ La frecuencia 0.3Hz se corresponde con el índice k=3, por lo queN=3·8=24 muestreos. Esto me indica que fs=N/D=24/10=2.4 > 2.

◆ Si el objetivo es hacer que N sea lo menor posible (para facilitar loscálculos del DFT), se puede elegir f0=0.3Hz, D=1/0.3=3.33s, k=1 yN=1·8=8.

23




Tiempo (s)0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

Mag

nitu

dSeñal x(t)=exp(-t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Señal x(t)=exp(-t)

24




❒ Ventanas espectrales: Si tenemos señales truncadas, elespectro de la señal muestra unos picos que no decaen losuficientemente rápido con la frecuencia. Para ello podemosutilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esasdiscontinuidades. Los picos serán menores aunque el ancho debanda de cada lóbulo aumentará.

25



ResumenResumen de Series y de Series y Transformadas Transformadas de Fourier de Fourier

❒ Series de Fourier◆ Señal Continua Periódica (periodo T), Espectro Discreto Aperiódico

(intervalo de discretización 1/T)

❒ Transformada de Fourier◆ Señal Continua Aperiódica, Espectro Continuo Aperiódico.

❒ Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo◆ Señal Discreta Aperiódica (intervalo de discretización ts), Espectro

Continuo Periódico (periodo 1/ ts)

❒ Transformada Discreta de Fourier◆ Señal Discreta Periódica (intervalo de discretización ts, periodo T),

Espectro Discreto (intervalo de discretización 1/T)

26



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)

❒ La importancia de DFT estriba en que es posible utilizar unalgoritmo, llamado FFT, que lo realiza de forma eficiente yrápida.

❒ El DFT de una secuencia x[n] es :

Una primera aproximación al cálculo del DFT requeriría la sumacompleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de lassalidas. En total, N2 multiplicaciones complejas y N2 sumas complejaspara realizar un DFT de N puntos.

Lo que consigue el algoritmo FFT es simplicar enormemente elcálculo del DFT introduciendo “atajos” matemáticos para reducirdrasticamente el número de operaciones.

[ ]X k x n W k N

W e

Nnk

n

N

Nj N

[ ] , , ,

/

= = −

==

−

−

∑0

1

2

0 1 1

donde

�

π

27




❒ La optimización del proceso de cálculo del DFT está basadoen las siguientes ideas :

◆ Simetría y Periodicidad de los términos WN.

◆ Elegimos el valor de N de forma que N=rm. Al factor r se le denominaradix y su valor más habitual es 2, de forma que N=2m y algoritmo sedenomina FFT radix-2.

❒ Radix-2 FFT-Decimación en el Tiempo.◆ Dividimos la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de

índices par y el otro de índices impar. Con estas sub-secuencias serealiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para formarel DFT de N puntos.

W W

W W

Nn N

Nn

Nn N

Nn

+

+

=

= −/2

W

W W

NNk

N N

=

=

12

2/

28




[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

X k x n W x n W x n W W x n W

Sustituimos x n x n

x n x n

W W

X k x n W W x n W Y k W Z k k

Nnk

n

N

Nn k

n

N

Nnk

n

N

Nk

Nnk

n

N

Nnk

Nnk

Nnk

n

N

Nk

Nnk

n

N

Nk

= + + = + +

=

= +

=

= + = + =

=

−+

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2 2 1 2 2 1

2

2 1

0 1 2

2

0

2 12 1

0

2 12

0

2 12

0

2 1

1

2

22

1 20

2 1

2 20

2 1

/( )

/ / /

/

/

/

/

/

, ,

, ,� N −1

◆ Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dosDFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k] ) realizadas con las secuencias par e imparde la secuencia original x[n] . Cada término Z[k] es multiplicado por unfactor WN

k, llamado “twiddle factor”. Ya que WNk+N/2=-WN

k y debido a laperiodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) podemos poner X[k] como

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

X k Y k W k Z k

X k N Y k W k Z k

Para k N

Nk

Nk

= + ⋅

+ = − ⋅= −/

, , , /

2

0 1 2 1 �

29




◆ Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTsde N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones

D F TN/2 Puntos

x[0]

x[2]

x[N-2]

Y[0]

Y[1]

Y[N/2-1]

D F TN/2 Puntos

x[1]

x[3]

x[N-1]

Z[0]

Z[1]

Z[N/2-1]

xW0

xW1

xWN/2-1

+

+

+

+

+

+

X[0]

X[N-1]

X[N/2+1]

X[N/2]

X[N/2-1]

X[1]

-1

-1

-1

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

Y k U k W V k

Y k N U k W V k

Para k N

Nk

Nk

= +

+ = −= −

2

24

0 1 4 1

/

, , , / �

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

Z k R k W S k

Z k N R k W S k

Para k N

Nk

Nk

= +

+ = −= −

2

24

0 1 4 1

/

, , , / �

30



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)◆ El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el

DFT de dos valores x[n] , en concreto x[k] y x[k+N/2], parak=0,1,...,N/2-1. Para una DFT de N=8 puntos tenemos el siguienteesquema

x [0 ]

x [ 4 ]

x [ 2 ]

x [ 6 ]

x [ 1 ]

x [ 5 ]

xW

0

+

+ X [ 0 ]

X [ 4 ]-1

xW

1

+

+ X [ 1 ]

X [ 5 ]-1

xW

2

+

+ X [ 2 ]

X [ 6 ]-1

xW

3

+

+ X [ 3 ]

X [ 7 ]-1

+

+

+

+

xW

0

xW

2

-1

-1

+

+

+

+

xW

0

xW

2

-1

-1

+

+xW

0

-1

+

+xW

0

-1

+

+xW

0

-1

+

+xW

0

-1x [7 ]

x [ 3 ]

E tapa 1 Etapa 2 Etapa 3

But ter f ly

31



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)◆ Las características de una FFT de N puntos decimada en el tiempo se

sumarizan en la siguiente tabla :

◆ Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas.Hay N/2 butterflies por etapa y log2N etapas.

✦ El número total de multiplicaciones es ½N·log2N .

✦ El número total de sumas es N·log2N .

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2NNúmero de

GruposN/2 N/4 N/8 1

Butterflies porGrupo

1 2 4 N/2

ExponentesTwiddle Factors

(N/2)k,k=0

(N/4)k,k=0,1

(N/8)k,k=0,1,2,3

k,k=0,1,...,N/2-1

32



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)◆ Para pequeños valores de N, la diferencia puede parecer pequeña, pero

para valores grandes la diferencia es enorme. Para un DFT de 1024puntos, el número de multiplicaciones en un FFT es aprox. 5000mientras que para un DFT normal es de aprox. 106.

❒ Radix-2 FFT-Decimación en Frecuencia◆ Expresaremos el FFT como suma de los FFT de dos secuencias, la

primera con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ][ ]

X k x n W x n W x n W

x n W x n N W

x n W x n N W

x n x n N W k N

Nnk

n

N

Nnk

n

N

Nnk

n N

N

Nnk

n

N

Nn N k

n

N

Nnk

n

Nk

Nnk

n

N

kNnk

n

N

= = +

= + +

= + − +

= + − + = −

=

−

=

−

=

−

=

−+

=

−

=

−

=

−

=

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

0

1

0

2 1

2

1

0

2 12

0

2 1

0

2 1

0

2 1

0

2 1

2

1 2

1 2 0 1 2 1

/

/

/( / )

/

/ /

/

/

/

/ , , , , �

33



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)◆ La decimación en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de

salida (X[k] ) en dos ecuaciones, una para los índices pares y otro paralos impares.

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

X k x n x n N W

x n x n N W k N

Nnk

n

N

Nnk

n

N

2 2

2 0 1 2 1

2

0

2 1

20

2 1

= + +

= + + = −

=

−

=

−

∑

∑

/

/ , , , /

/

/

/

�

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

X k x n x n N W

x n x n N W W k N

Nn k

n

N

Nn

Nnk

n

N

2 1 2

2 0 1 2 1

2 1

0

2 1

20

2 1

+ = − +

= − + = −

+

=

−

=

−

∑

∑

/

/ , , , /

( )/

/

/

�

◆ X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizadocon las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de lasecuencia de entrada.

34




D F TN/2 Puntos

x [0 ]

x [1 ]

x [N /2 -1 ]

D F TN/2 Puntos

xW

0

+

+

+

+

+

+

X [ 0 ]

X [N -1 ]

X [N -2 ]

X [ 2 ]

X [ 3 ]

X [ 1 ]-1

-1

-1 xW

1

xW

N/2-1

x [N /2 ]

x [N /2+1 ]

x [N-1 ]

35




x [0 ]

x [1 ]

x [2 ]

xW0

+

+

+

+

+

+

X [ 0 ]

X [ 3 ]

X [ 2 ]

X [ 4 ]

X [ 5 ]

X [ 1 ]-1

-1

-1 xW1

xW2

x [3 ] +

+-1 xW3

x [4 ]

x [5 ]

x [7 ]

x [6 ]

+

+

+

+ xW2

xW0

-1

-1

+

+

+

+ xW2xW0

-1

-1

+

+ xW0

+

+ xW0

+

+ xW0

+

+ xW0

X [ 6 ]

X [ 7 ]

-1

-1

-1

-1

E tapa 1 Etapa 3Etapa 2

Butter f ly

36



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)◆ Las característica del FFT decimado en frecuencia son

❒ Se puede observar que en el caso de decimación en el tiempo, la secuenciade entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el ordencorrecto.

❒ Para la decimación en frecuencia, la secuencia está en orden mientras quela salida habrá que reordenarla.

❒ Se da la circunstancia que esa reordenación es simplemente invertir elíndice en binario. Por ejemplo, en la misma posición que x[1] apareceX[4] , y 001 invertido es 100.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2NNúmero de

Grupos1 2 4 N/2

Butterflies porGrupo

N/2 N/4 N/8 1

ExponentesTwiddle Factors

n,n=0,...,N/2-1

2n,n=0,...,N/4-1

4n,k=0,...,N/8-1

(N/2)n,n=0

37




❒ DFT en 2 dimensiones◆ En aplicaciones como procesamiento de imagen, las señales dependen

de dos variables n1 y n2 (el eje x y el eje y en una imagen bidimensio-nal). Por tanto necesitamos extender el concepto de DFT a dos dimen-siones.

◆ Dada una secuencia x(n1,n2), se define la DFT como

◆ La IDFT de X(k1,k2) se define como

( )( ) ( ) ( )

X k k

x n n e e n N n N

aso

j N k n j N k n

n

N

n

N

1 2

1 2

2 2

0

1

0

1

1 1 2 21 1 1 2 2 2

2

2

1

1

0 1 0 1

0

,

, ,

,

=≤ ≤ − ≤ ≤ −

− −

=

−

=

−

∑∑ π π

en otro c

( )( ) ( ) ( )

x n nN N

X k k e e n N n N

aso

j N k n j N k n

k

N

k

N

1 21 2

1 2

2 2

0

1

0

1

1 1 2 2

10 1 0 1

0

1 1 1 2 2 2

2

1

1

1

,

, ,

,

=≤ ≤ − ≤ ≤ −

=

−

=

−

∑∑ π π

en otro c

38




❒ FFT-2D◆ Al igual que en el caso de señales unidimensionales, disponemos de un

eficiente algoritmo para realizar el DFT.

◆ Descomposición Fila-Columna✦ Reescribimos la ecuación anterior

✦ Si consideramos n2 fijo (pe, n2 =0), f(k1,n2) es el DFT unidimensional dex(n1,n2)|n2=0 con respecto a la variable n1. De esta forma obtenemos unamatriz f(k1,n2) para todos los posibles valores de n2 (Figura).

✦ Ahora podemos calcular X(k1,k2) a partir de f(k1,n2),

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X k k x n n e e

f k n e k n x n n e

j N k n j N k n

n

N

n

N

n

Nj N k n j N k n

n

N

1 2 1 2

2 2

0

1

0

1

1 20

12

1 2 1 2

2

0

1

1 1 1 2 2 2

2

2

1

1

1

12 2 2 1 1 1

2

2

, ,

, , , ,

=

=

− −

=

−

=

−

=

−− −

=

−

∑∑

∑ ∑

π π

π π donde f =

( ) ( ) ( )X k k f k n ej N k n

n

N

1 2 1 2

2

0

12 2 2

2

2

, ,=−

=

−

∑ π

39



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)✦ Fijamos k1 (pe, k1=0), por lo que f(k1,n2)|k1=0 es una columna de f(k1,n2) y

X(0,k2) es la DFT unidimensional de f(k1,n2)|k1=0 con respecto a la variablen2. Obtendremos X(k1,k2) haciendo N1 DFT 1D para cada valor de k1

(Figura).

n2

n1N1-1

N2-1

n2

k1N1-1

N2-1

F F T 1 DN1 pun tos

x(n1,n2) f(k1,n2)

40



FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)n2

k1

N 1-1

N 2-1

k2

k1

N 1-1

N 2-1

F F T 1 DN 2 pun tos

X(k1,k2)f(k1,n2)

Número deMultiplicaciones

Número deSumas

Calculo Directo N N12

22 N N1

222

DescomposiciónFila-Columna con

FFT 1D

( )N NN N1 2

2 1 22log ( )N N N N1 2 2 1 2log

41



FFT con MATLABFFT con MATLAB >> X = fft(x)

Hace la FFT del vector x. “X” es un vector de números complejosordenados desde k=0...N-1. Se recomienda que la longitud del vectorx sea una potencia de 2. Lo que no se recomienda es que la longitudde x sea un número primo.

Otra opción del la FFT es especificar el número de puntos con elque se quiere hacer la FFT.

>> X = fft(x,N)

Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena conceros. Si es mayor, el vector es truncado.

>> x = ifft(X)

Hace la FFT inversa del vector X. También se puede especificar elnúmero de puntos N con el que quiero hacer la IFFT.

>> x = ifft(X,N)

>> X = fftshift(X)

Reordena el vector X en orden creciente de frecuencia. Si “X” es elvector resultante de hacer una FFT, utilizando esta funciónreordenamos los puntos en función de la frecuencia.

❒ A continuación tienen unos ejemplos del uso de las FFT. Los programas deMATLAB utilizados los pueden conseguir en el Web de la asignatura.

42



FFT con MATLAB: fftej1.m FFT con MATLAB: fftej1.m → → x(t)=sin(2·x(t)=sin(2·ππ·20·t)+chirp(5-40)·20·t)+chirp(5-40)N=128 D=1 sN=128 D=1 s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

x(t)

x(t)

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|

Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]|

43




-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Frecuencia (Hz)

Fas

e (º

)

Fase de Coeficientes Espectrales X[k]

Comparación entre x(t) y su reconstrucción a partir de X[k]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

Tiempo (t)

x(t)

44




0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (t)

x(t)


45




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

2.5

Tiempo (t)

x(t)


Frecuencia (Hz)-20 -15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

|X[k

]|

Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]|

Aliasing 32-20=12 Hz

46



FFT con MATLAB: fftej2.m FFT con MATLAB: fftej2.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)+0.2·chirp(60-100)(-2·t)+0.2·chirp(60-100)N=256 D=1 sN=256 D=1 s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

x(t)

x(t)=exp(-2t)+0.2·chirp(60-100)

-150 -100 -50 0 50 100 1500

0.05

0.1

0.15

0.20.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|

Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]|

47



FFT con MATLAB: fftej2.mFFT con MATLAB: fftej2.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)+0.2·chirp(60-100)(-2·t)+0.2·chirp(60-100)N=256 D=1 sN=256 D=1 s

-150 -100 -50 0 50 100 150-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Frecuencia (Hz)

Fas

e(X

[k])

(º)

Fase de los coeficientes espectrales X[k]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (t)

x(t)


48



FFT con MATLAB: fftej2.mFFT con MATLAB: fftej2.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)+0.2·chirp(60-100)(-2·t)+0.2·chirp(60-100)N=256 D=1 sN=256 D=1 s

0.96 0.97 0.98 0.99 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (t)

x(t)


49



FFT con MATLAB: fftej2.mFFT con MATLAB: fftej2.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)+0.2·chirp(60-100)(-2·t)+0.2·chirp(60-100)N=64 D=0.1 sN=64 D=0.1 s

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 40000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.1

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|

Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]|

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2Comparación entre x(t) y su reconstrucción a partir de X[k]

Tiempo (t)

x(t)

50



FFT con MATLAB: fftej3.mFFT con MATLAB: fftej3.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)·sin(2·(-2·t)·sin(2·ππ·200·t)·200·t)N=128 D=0.2 sN=128 D=0.2 s

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

Tiempo (t)

x(t)

x(t)=exp(-2t)·sin(2·p·200· t)

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

0.01

0.020.03

0.040.05

0.060.07

0.08

0.09

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|

Módulo de los coeficientes espectrales de x(t)

51



FFT con MATLAB: fftej3.mFFT con MATLAB: fftej3.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)·sin(2·(-2·t)·sin(2·ππ·200·t)·200·t)N=128 D=0.2 sN=128 D=0.2 s

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Frecuencia (Hz)

Fas

e X

[k]


52



FFT con MATLAB: fftej4.mFFT con MATLAB: fftej4.m → → x(t)=sin(2·x(t)=sin(2·ππ·200·t+5·sin(2··200·t+5·sin(2·ππ·2· t))·2· t))N=256 D=0.5 sN=256 D=0.5 s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

Tiempo (t)

x(t)

x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2·pi·2· t)

Frecuencia (Hz)-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.1

|X[k

]|


53




-300 -200 -100 0 100 200 300-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Frecuencia (Hz)

Fas

e X

[k]


54




0 0.05 0.1 0.15 0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

Tiempo (t)

x(t)

x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2·pi·2· t)

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|


55




-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

Frecuencia (Hz)

Fas

e X

[k]


56



FFT con MATLAB: fftej5.mFFT con MATLAB: fftej5.m → → x(t)=sin(2·x(t)=sin(2·ππ·200·t-5··200·t-5·expexp(-2·t))(-2·t))N=256 D=0.5 sN=256 D=0.5 s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.2

0

0.20.40.60.8

1

Tiempo (t)

x(t)

x(t)=sin(2·pi·200·t-5·exp(-2t))

-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|


57



FFT con MATLAB: fftej5.mFFT con MATLAB: fftej5.m → → x(t)=sin(2·x(t)=sin(2·ππ·200·t-5··200·t-5·expexp(-2·t))(-2·t))N=256 D=0.5 sN=256 D=0.5 s

-300 -200 -100 0 100 200 300-150

-100

-50

0

50

100

150

Frecuencia (Hz)

Fa

se X

[k]


160 170 180 190 200 210 220 230 2400

10

20

30

40

50

60

70

80

Comparación entre el espectro de señales moduladasen amplitud (x) y moduladas en frecuencia (o)

58



FFT con MATLAB: fftej7.mFFT con MATLAB: fftej7.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)·sin(2·(-2·t)·sin(2·ππ·3·t)·3·t)N=16 D=1 sN=16 D=1 s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

x(t)

Puntos de muestreo (--) y Reconstrucción a partir de X[k] (o)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|


59



FFT con MATLAB: fftej7.mFFT con MATLAB: fftej7.m → → x(t)=x(t)=expexp(-2·t)·sin(2·(-2·t)·sin(2·ππ·3·t)·3·t)N=16 D=1 sN=16 D=1 s

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Frecuencia (Hz)

Fa

se X

[k]


0 0.5 1 1.5 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (t)

x(t)


60



FFT con MATLAB: fftej7.mFFT con MATLAB: fftej7.m → → x(t)= (1+tx(t)= (1+t22/2)·sin(2·/2)·sin(2·ππ·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)N=128 D=1 sN=128 D=1 s

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frecuencia (Hz)

|X[k

]|

Módulo de los coeficientes espectrales de x(t) |X[k]|

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Frecuencia (Hz)

Fa

se X

[k]


61



FFT con MATLAB: fftej8.mFFT con MATLAB: fftej8.m → → x(t)= (1+tx(t)= (1+t22/2)·sin(2·/2)·sin(2·ππ·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)N=128 D=1 sN=128 D=1 s

0 0.5 1 1.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (t)

x(t)


62



FFT con MATLAB: goodbye.mFFT con MATLAB: goodbye.mN=4096 Fs=22050 HzN=4096 Fs=22050 Hz Nh Nh=1000=1000

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10 4

0123456789 x 10 -4

Espectro de goodbye.au

|X[k

]|

Frecuencia (Hz)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.25-0.2

-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

0.150.2

0.25goodbye.au

Tiempo (s)

63



FFT con MATLAB: goodbye.mFFT con MATLAB: goodbye.mN=4096 Fs=22050 HzN=4096 Fs=22050 Hz Nh Nh=1000=1000

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-4 Espectro de goodbye.au filtrado

|X[k]

64



FFT con MATLAB: good_FFT con MATLAB: good_wndwnd.m.mNiNi=1245=1245 Nw Nw=128=128 Nh Nh=10 Fs=22050 Hz=10 Fs=22050 Hz

0.056 0.057 0.058 0.059 0.06 0.061 0.062 0.063-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Tiempo (s)

Am

plitu

d y(

t)

Señal (--) y Recontrucción con 10 armónicos (--)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.40.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Frecuencia (Hz)

|Y[k

]|

Espectro de la señal (--) y filtrado (--)

tema6 t fourier

Documents