tema 6: el interÉs simple · al término (1 + i·n) se le denomina “factor de capitalización...

T.6: EL INTERÉS SIMPLE TESORERÍA

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TEMA 6: EL INTERÉS SIMPLE

1- CAPITALIZACIÓN SIMPLE

1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CALCULO DEL MONTANTE Y DE LOS INTERESES

1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL

1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN

2- RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO Y EL TIPO DE INTERÉS

2.1- CÁLCULO DE LOS TANTOS O TIPOS DE INTERÉS EQUIVALENTES

3- EL DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN SIMPLE

3.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN

4- EL DESCUENTO RACIONAL

4.1- CÁLCULO DEL VALOR EFECTIVO

4.2- CÁLCULO DE OTRAS VARIABLES

5- EL DESCUENTO COMERCIAL


5.2- CÁLCULO DE LAS VARIABLES

5.3- EL DESCUENTO DE EFECTOS COMERCIALES

6- CAPITALES EQUIVALENTES

6.1- EQUIVALENCIA DE DOS CAPITALES

6.2- EQUIVALENCIA DE VARIOS CAPITALES

7- CÁLCULO DEL CAPITAL EQUIVALENTE

7.1- UN CAPITAL EQUIVALENTE A OTRO DADO

7.2- UN CAPITAL EQUIVALENTE A UN CONJUNTO DE CAPITALES DADOS

8- EL VENCIMIENTO COMÚN

9- EL VENCIMIENTO MEDIO


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1- CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Se denomina capitalización a la operación financiera:

- que tiene por objeto la constitución de un capital en un momento futuro del tiempo a

partir de uno dado,

- o bien a la que nos permite la obtención de un capital financiero equivalente con

vencimiento posterior a otro con vencimiento presente,

- o aquella que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento presente por

otro con vencimiento posterior

Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen simple,

decimos entonces que se trata de la capitalización simple.

Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo, es decir, de duración

inferior a un año

A- CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

- a medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos

intereses en el futuro.

- los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tanto de

interés vigente en dicho período, por lo que si no se modifica el tipo de interés, la

cuantía de los intereses será constante.

B- ELEMENTOS DE LA OPERACIÓN

Co: Capital inicial

n: duración de la operación (número de periodos)

i: tipo de interés anual en tanto por uno

I: Interés de un periodo. En capitalización simple, para periodos anuales, se calcula así:

I = Co · i

IT = Interés total. Se calcula sumando los intereses generados en cada uno de los

periodos

IT = I + I + I + I +…+ I = Co · i + Co · i + Co · i + ... + Co · i = Co · i · n

Cn: Capital final o montante. Es la suma del capital inicial más los intereses.

Cn = Co + IT

Para calcular Cn necesitamos saber: Co, i, n


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1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CÁLCULO DEL MONTANTE Y DE LOS INTERESES

Partiendo de un capital del que se dispone inicialmente (Co), se trata de determinar la

cuantía final o montante (Cn) que se obtendrá en el futuro, conociendo las condiciones

en las que la operación se contrata (tiempo (n) y tipo de interés (i)).

Este capital final o montante se obtendrá por la acumulación al capital inicial de los

intereses que genera la operación periódicamente. Dichos intereses se calculan siempre

sobre el capital inicial

El interés (I) es la cuantía de la remuneración que se obtiene por aplazar el capital a un

momento posterior del tiempo. Cada periodo que transcurre se genera un interés igual al

resultado de multiplicar el capital inicial por el tipo de interés

I = Co·i

La evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0·(1 + i)

Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0 i + C0 i = C0·(1 + 2 i)

Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0 i + C0 i + C0 i = C0·(1 + 3 i)

…

Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + … + In = C0 + C0 i + … + C0 i = C0 + C0·i·n

Cn = Co · (1+i·n)

Esta última es la expresión que permite calcular el montante en capitalización simple.

Al término (1 + i·n) se le denomina “factor de capitalización simple”, y permite

calcular el valor de un capital inicial en cualquier momento futuro del tiempo utilizando

la ley de capitalización simple. Se utiliza para trasladar capitales de un momento dado a

otro posterior.

Una vez conocidos el capital inicial y el final, podemos calcular el interés generado en

la operación mediante la diferencia de ambas cuantías

I = Cn – Co = Co (1 + in) – Co = Co·i·n

Gráficamente:


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CASO PRÁCTICO 1: Cálculo de Cn

Calcula el montante que se obtendrá mediante la inversión de un capital de 70.000€ al

cabo de tres años si se aplica un 4'25% de interés anual simple Cn = 78.925

CASO PRÁCTICO 2: Cálculo de I

Si el capital inicial de una operación fue de 7.243'24€ y el final de 7.722'72€, ¿a cuánto

ascendieron los intereses? I = 479'48€

CASO PRÁCTICO 3: Cálculo de I

Calcula los intereses producidos por un capital de 7.473'21€ que ha estado colocado a

un 7'21% anual de interés simple durante siete años I = 3.771'73€

EJERCICIOS: 1, 2, 3 .4, 5, 6 y 7


5

1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL

Podemos calcular Co de tres maneras:

a) A partir de la fórmula principal: Cn = Co · (1+i·n)

despejamos Co

1)1(1

niCnni

CnCo

b) A partir de la fórmula de los intereses: I = Co·i·n

ni

ICo

c) A partir de la fórmula de los intereses: I = Cn – Co

Co = Cn – I

CASO PRÁCTICO 4: Cálculo de Co

¿Cuál fue el capital invertido durante un cierto periodo de tiempo que generó unos

intereses de 498€ y un montante de 7.747'25€? Co = 7.249'25€


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CASO PRÁCTICO 5: Cálculo de Co

Se ha recibido una notificación de ingreso en cuenta de 85.476'85€ por una inversión

cuyo importe desconocemos. Si el tipo aplicado fue de un 4'5% anual, y la duración de

la inversión de tres años, ¿a cuánto ascendió la inversión inicial? Co = 75.310€

EJERCICIOS: 8, 9 y 10

1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

A partir de la fórmula principal: Cn = Co · (1+i·n)

despejamos i, y operando llegaríamos a esta expresión: nCo

CoCni

También se puede calcular a partir de la fórmula de los intereses: I = Co·i·n

nCo

Ii

CASO PRÁCTICO 6: Cálculo del i

¿Cuál fue el tipo de interés simple al que se colocó un capital de 8.974€ para que se

obtuvieran al cabo de cinco años unos intereses de 1.678'14€? i = 3'74%


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CASO PRÁCTICO 7: Cálculo del i

Un capital de 125.000€ ha producido un montante de 142.850€ al cabo de cuatro años.

¿Cuál ha sido el tipo de interés simple aplicado? i = 3'57%


1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN

A partir de la fórmula principal:

Cn = Co · (1+i·n)

despejamos n, y operando llegamos a:

iCo

CoCnn

También se puede calcular a partir de la fórmula de los intereses: I = Co·i·n

iCo

In

CASO PRÁCTICO 8: Cálculo de n

¿Qué tiempo necesita un capital de 4.000€ para obtener unos intereses de 1.600€ a un

tipo del 5% simple anual? n = 8 años



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2- RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO Y EL TIPO DE INTERÉS

En los cálculos realizados hasta ahora, hemos supuesto que los periodos de tiempo eran

anuales. Sin embargo, los periodos no tienen por que ser siempre anuales

La capitalización simple se utiliza para periodos de tiempo inferiores al año, por lo

tanto, los periodos suelen ser de amplitud inferior al año: meses, trimestres, semestres,

etc,

En las fórmulas, el tipo de interés y el tiempo han de estar referidos a periodos

homogéneos, es decir, expresados en la misma unidad temporal.

Por ejemplo, si se habla de meses, el tipo de interés debe ser mensual

Lo habitual, es que el tipo o tanto de interés se exprese de forma anual, y que el tiempo

se mida en días, meses, trimestres o semestres.

Así pues, si la unidad temporal del tipo de interés y del tiempo es diferente, tendremos

que homogeneizarla. Para ello:

- o se transforma el tiempo a años:

- 1 trimestre es 1/4 de año

- 1 semestre es 1/2 año

- o bien se transforma el tipo de interés anual en otro mensual, trimestral,...

Periodos en los que se puede dividir el año:

Periodos Frecuencia de fraccionamiento (m)

Años 1

Semestres 2

Cuatrimestres 3

Trimestres 4

Meses 12

Semanas 52

Días (año natural) 365

Días (año comercial) 360


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2.1- CÁLCULO DE LOS TANTOS O TIPOS DE INTERÉS EQUIVALENTES

Vamos a trasformar un tanto anual en un tanto fraccionado, es decir, referido a una

fracción del año

Para ello, se define el tanto equivalente como aquel que, aplicado a un mismo capital,

produce idéntico montante que otro durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se

refiera a diferentes periodos o frecuencias de capitalización

Nos tiene que resultar indiferente cualquiera de estas dos opciones:

a) Cobrar los intereses y la devolución del capital invertido al final del año:

b) Cobrar los intereses cada “m” periodos, y que nos devuelvan el capital en al

final del año

Relación entre el tipo de interés anual y el de un periodo fraccionado

Denominamos:

i: tipo de interés anual

m: frecuencia de fraccionamiento

im: tipo de interés equivalente de un periodo fraccionado

El montante (Cn) de un euro al tipo i, al cabo de un año, será:

Cn = 1 · (1 + i·1) = 1 + i

El montante Cn de un euro al tipo im, al cabo de un año, será:

Cn = 1 · (1+ m · im)

Si el tanto im es equivalente al tanto i, ambas expresiones han de coincidir, luego:

1 + i = (1+ m · im)

Simplificando obtenemos que: i = m · im o también: m

iim


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CASO PRÁCTICO 9: Relación entre el tipo de interés anual y el fraccionado

Calcula los tipos de interés equivalentes al 6% simple anual cuando el periodo de

tiempo viene expresado en…

a) Meses

b) Trimestres

c) Semestres

d) Días (año comercial)

CASO PRÁCTICO 10: Cálculo de Cn con periodos inferiores al año

Calcula el montante de un capital de 12.000€ al 5% de interés anual simple, colocado

durante:

a) cinco meses Cn = 12.250

b) tres trimestres Cn = 12.450

c) 90 días (año comercial) Cn = 12.150

d) 90 días (año natural) Cn = 12.147'95€

HACER EJERCICIOS: 17, 18, 19, 20 y 21


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EL AÑO COMERCIAL Y EL NATURAL

El año comercial, es el que tiene exclusivamente una utilidad comercial. La costumbre

ha sido la que ha impuesto su uso., ya que facilitaba los cálculos. Se considera que cada

mes tiene 30 días

El problema que genera la existencia del año comercial y del año natural, es que al

hacer los cálculos siguiendo uno y otro camino, los intereses obtenidos varían

Con el año comercial: 360

360

inCoI

Con el año natural: 365

365

inCoI

El interés comercial es mayor que el interés natural

I360 > I365

3- EL DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN SIMPLE

Se denomina descuento a la operación financiera:

- que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento futuro por otro con

vencimiento presente

- o bien a la que nos permite obtener, a partir de un capital dado, un capital financiero

equivalente con vencimiento anterior

Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen simple,

decimos entonces que se trata del descuento simple.

En estas operaciones, en ocasiones cambia la terminología:

Capital inicial (Co) = Efectivo (E)

Capital final (Cn) = Nominal (N)

Esta operación se utiliza habitualmente para el "descuento de efectos"

Un efecto es un documento mediante el cual se da una orden de pago a una entidad

financiera para que abone una determinada cantidad de dinero a la persona a quien

va destinado o lo presente a cobro en el momento de su vencimiento


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Cuando una empresa posee un efecto puede hacer dos cosas:

- Cobrarlo el día de su vencimiento

- Descontarlo o adelantar su cobro

Si lo descuenta o adelantar su cobro:

Existen 2 tipos de descuento:

- El racional o matemático: utiliza el valor efectivo (E o Co)

- El comercial o bancario: utiliza el valor nominal (N o Cn)

3.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN

Partiendo de un capital futuro conocido (Cn), se trata de adelantar su vencimiento y

determinar la cuantía del capital con vencimiento anterior (Co) que lo sustituye,

conociendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo que se anticipa

el capital futuro y tanto aplicado).

El capital que resulte de esta operación de descuento (Co), será de cuantía inferior,

siendo la diferencia entre ambos capitales la cuantía del descuento

En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle

intereses, hacer la operación inversa, es decir, anticipar su vencimiento, supondrá la

minoración de esa misma carga financiera

Por tanto, el capital presente (Co), también conocido como valor efectivo (E), es inferior

al capital futuro (Cn), también denominado valor nominal (N), y la diferencia entre

ambos es lo que se denomina descuento (D).

Cn > Co → diferencia: DESCUENTO (D)


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Se cumple la siguiente expresión:

D = Cn - Co o también D = N – E

CASO PRÁCTICO 11:

Calcula el descuento aplicado en una operación financiera, sabiendo que el nominal o

capital final es de 162.202€ y que el efectivo o capital inicial es de 159.720'42€ D = 2.481'58

Existen dos tipos de descuento:

- el descuento racional, que es la operación contraria a la capitalización

- el descuento comercial, que es un “invento bancario” que le permite ganar más dinero

a las entidades financieras

4- EL DESCUENTO RACIONAL

Esta es la operación contraria a la capitalización simple

El capital sobre el que se calculan los intereses que se tienen que descontar es el capital

inicial Co, igual que ocurría en la capitalización, y por lo tanto, resulta válida la fórmula

de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (Co)

La cuantía del descuento racional (Dr) es igual al interés que generaría el valor

efectivo (Co) durante el tiempo que falta hasta su vencimiento. La cuantía del descuento

racional será:

Dr = Co·i·n .

CASO PRÁCTICO 12:

Calcula el descuento racional de un efecto por el que nos entregaron un efectivo de

8.754'20€, sabiendo que se aplicó un tipo del 4% anual, y que el mismo vencía dentro

de 72 días. Aplica el año natural Dr = 69'07 €

También se puede calcular como la diferencia entre el nominal y el efectivo

Dr = Cn - Co


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CASO PRÁCTICO 13:

Si por un pagaré de 7.500€ de nominal nos han entregado en el banco 7.150€, ¿a cuanto

asciende el importe del descuento realizado por el banco? Dr = 350 €

EJERCICIOS 22, 23, 24 Y 25


La forma de calcular el valor efectivo (Co), dependerá de los datos de los que

dispongamos

a) Si conocemos Cn y Dr:

Co = Cn - Dr .

CASO PRÁCTICO 14:

Calcula el efectivo que recibiremos de un pagaré de 12.000€ de nominal del que nos han

descontado 650€ Co = 11.350


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b) Si conocemos Cn, i y n:

Cn = Co·(1 + i·n) → in

CnCo

1 (igual que en la capitalización simple)

CASO PRÁCTICO 15:

¿Cuál será el efectivo que se recibirá por el descuento racional de un pagaré de

147.250€ que vence dentro de 30 días? El tipo aplicado es el 6'22% anual Co = 146.501'04

c) Si conocemos Dr, i y n:

Dr = Co·i·n → ni

DrCo

CASO PRÁCTICO 16:

Al llevar a descontar un pagaré nos han descontado 500€. Si el tipo de interés es el 8%

anual y nos han anticipado el cobro 3 meses, ¿a cuánto ascenderá el valor efectivo que

nos ha entregado el banco? Co = 25.000


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CASO PRÁCTICO 17:

Por un efecto descontado racionalmente hemos percibido 720'32€ menos de lo que

indica su nominal. El vencimiento del pagaré era dentro de un trimestre, ¿cuál fue el

efectivo? El tipo aplicado es el 5'25% anual Co = 54.881'52€

Ahora también podemos calcular el importe del descuento racional (Dr) a partir del

nominal (Cn). Para ello calculamos el efectivo (Co) y luego el importe descontado

in

CnCo

1 → Dr = Cn - Co



A) CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL (Cn)

a) Si conocemos Co y Dr:

Cn = Co + Dr .

CASO PRÁCTICO 18:

Calcula el nominal de un efecto por el que nos han entregado un efectivo de 25.000€, si

el banco nos ha descontado racionalmente 670€ Cn = 25.670€


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b) Si conocemos Co, i y n:

Cn = Co·(1 + i·n) (la misma fórmula que en la capitalización simple) .

CASO PRÁCTICO 19:

Calcula en nominal de un efecto por el que nos han entregado un efectivo de 48.500€ al

descontarlo 60 días a un tipo del 5% anual (año natural) Cn = 48.898'63€

c) Si conocemos Dr, i y n:

Primero tendríamos que calcular el valor efectivo (Co), y luego podríamos calcular el

nominal (Cn)

Primero: ni

DrCo

→ y luego: Cn = Co + Dr

CASO PRÁCTICO 20:

El descuento racional de un efecto fue de 72'41€. Halla el nominal sabiendo que vence

el 12 de diciembre, que el descuento se efectúa el 10 de octubre y que se aplica un tipo

de interés del 7'12% anual (año natural) Cn = 5.964'52€

EJERCICIOS 30. 31 Y 32


18

B) CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS (i)

A partir de la fórmula del descuento racional simple Dr = Co·i·n, y la fórmula general,

Cn = Co·(1 + i·n), podemos calcular:

nCo

Dri

nCo

CoCn

n

Co

Cn

i

1

(igual que en la capitalización simple)

CASO PRÁCTICO 21:

¿Cuál es el tipo de interés anual que hizo que al descontar racionalmente un efecto de

55.601'84€, con vencimiento dentro de 3 meses, se obtuviera un efectivo de 54.881'52€? i = 5'25%

EJERCICIOS 33 Y 34

C) CÁLCULO DE LA DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n)

A partir de la fórmula del descuento racional simple Dr = Co·i·n, y la fórmula general,

Cn = Co·(1 + i·n), podemos calcular:

iCo

Drn

iCo

CoCn

i

Co

Cn

n

1

(igual que en la capitalización simple)


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CASO PRÁCTICO 22:

El día 22 de mayo se descontó racionalmente un efecto. Sabiendo que el descuento

ascendió a 327'40€, que el tipo aplicado fue de un 7'42% anual, y que el efectivo

percibido de 40.263'14€, ¿cuál será la fecha de vencimiento? N = 40 días → 1 de julio

EJERCICIOS 35, 36 Y 37

5- EL DESCUENTO COMERCIAL

En este tipo de descuento, el capital sobre el que se calculan los intereses que se tienen

que descontar es el capital final o nominal Cn, al contrario de lo que ocurría en la

capitalización, y por lo tanto, no resultan válidas las fórmulas de la capitalización

simple

La cuantía del descuento comercial (Dc) es igual al interés que generaría el nominal

(Cn) durante el tiempo que transcurre desde que se descuenta el efecto hasta que vence.

Ahora, en lugar de aplicar un tipo de interés (i), se aplica un tipo de descuento (d)

La cuantía del descuento comercial Dc se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Dc = Cn·d·n .

CASO PRÁCTICO 23:

Calcula el descuento comercial de un efecto cuyo nominal es de 9.000€, sabiendo que se

aplicó un tipo de descuento del 5% anual, y que el mismo vencía dentro de 90 días,

considerando el año comercial Dc = 112'5 €


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También se puede calcular como la diferencia entre el nominal y el efectivo

Dc = Cn - Co .

CASO PRÁCTICO 24:

Si por un pagaré de 12.500€ de nominal nos han entregado en el banco 10.150€, ¿a

cuanto asciende el importe del descuento comercial realizado por el banco? Dr = 2.350 €

Si el tipo de interés y el tipo de descuento coinciden, el importe del descuento comercial

es superior al importe del descuento racional

Dc > Dr .

CASO PRÁCTICO 25:

Llevamos a descontar un efecto cuyo nominal es de 10.000€, y su vencimiento se

anticipa 3 meses. Calcula:

a) El importe del descuento comercial si se aplica un tipo de descuento del 5% anual Dc = 125€

b) El importe del descuento racional si se aplica un tipo de interés del 5% anual

(primero tendremos que averiguar Co) Co = 9.876'54 → Dr = 123'46

c) ¿A que crees que se debe la diferencia entre ambos descuentos?



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a) Si conocemos Cn y Dc:

A partir de la fórmula Dc = Cn – Co, podemos despejar Co

Co = Cn – Dc .

CASO PRÁCTICO 26:

¿Cuál es el valor efectivo resultante de aplicar a un nominal de 800.000€ un descuento

de 5.242'23€? Co = 794.757'77€

b) Si conocemos Cn, d y n

Si sustituimos Dc por su fórmula en la expresión anterior, llegaríamos a:

Co = Cn (1 - d·n) .

Siendo ésta la fórmula principal para calcular el valor efectivo en los casos en los que

se aplica el descuento comercial

CASO PRÁCTICO 27:

Calcula el valor efectivo que resultará de aplicar a un nominal de 44.444'44€, que vence

dentro de 180 días, un tipo de descuento comercial del 7% anual (año natural) Co = 42.910'19€


22

c) Si conocemos Dc, d y n

Primero tendríamos que calcular el nominal Cn, y luego el efectivo Co

Primero: nd

DcCn

→ y luego: Co = Cn - Dc

CASO PRÁCTICO 28:

Nos han descontado 625€ por adelantarnos 2 meses el cobro de un efecto. La tasa de

descuento aplicada en la operación ha sido el 3%. Calcula el importe del efectivo que

nos entregarán Co = 124.375€



A) CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL (Cn)

a) Si conocemos Co y Dc:

Cn = Co + Dc .

CASO PRÁCTICO 29:

Calcula el nominal de un efecto, sabiendo que el efectivo entregado por el banco ha sido

de 12.380€, y el que el importe del descuento comercial de 352€ Cn = 12.732€


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b) Si conocemos Co, n y d

Despejando Cn de la expresión Co = Cn (1 - d·n):

nd

CoCn

1

CASO PRÁCTICO 30:

Como consecuencia de un descuento efectuado el 15 de abril, nos han ingresado en

nuestra cuenta 224.422€. Sabemos que se aplicó a la operación un tipo de descuento del

8'22% anual, y que el efecto descontado tenía como fecha de vencimiento el día 31 de

mayo. Halla el nominal (año natural) Cn = 226.771'23€

c) Si conocemos Dc, n y d

Despejando Cn de la expresión Dc = Cn·d·n

nd

DcCn

CASO PRÁCTICO 31:

Sabiendo que el descuento comercial de un efecto fue de 508'03€, que faltan 45 días

para el vencimiento y que se aplicó un tipo de descuento del 9% anual, calcula el valor

nominal. Considerar el año natural Cn = 45.785'42€



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B- CÁLCULO DEL TIPO DE DESCUENTO (d)

El tipo de descuento d lo podemos calcular de dos formas:

a) A partir de la fórmula del descuento comercial simple, Dc = Cn·d·n

Tipo de descuento → nC

Dcd

n

b) A partir de la fórmula del efectivo, Co = Cn (1-d·n) .

nCn

CoCnd

CASO PRÁCTICO 32:

¿Qué tipo de descuento es el que se aplicó en una operación en la que a un nominal de

10.000€ se le descontaron 100€ en un periodo de 100 días? (año natural) d365 = 0'01% diario ó d= 3'65% anual


C- CÁLCULO DE LA DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n)

A partir de la fórmula del descuento comercial simple, Dr = Cn·d·n

Duración de la operación → dC

Dcn

n

b) A partir de la fórmula del efectivo, Co = Cn (1-d·n)

dCn

CoCnn

CASO PRÁCTICO 33:

¿Cuánto tiempo estuvo descontado comercialmente un efecto de 1.000.000€ de

nominal, por el que nos entregaron 975.000€ y al que se aplicó un 7% anual de

descuento? n = 0'357 años = 128 días



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5.3- EL DESCUENTO DE EFECTOS COMERCIALES

Al descontar un efecto no se obtiene todo el importe que indica el pagaré, es decir, tiene

un coste para la empresa

La cantidad obtenida se calcula así:

Cantidad obtenida = Nominal del efecto – Descuento – Comisión – Otros gastos

Comisiones y gastos

Las comisiones y los gastos dependerán de la entidad financiera y del cliente

Las comisiones se expresan en forma de porcentaje, y se calculan sobre el nominal.

Suele existir una comisión mínima, que será la comisión que se cobre en el caso de que

el porcentaje no alcance dicho mínimo

CASO PRÁCTICO 34:

Una empresa descuenta un pagaré de 25.000€, con vencimiento dentro de 42 días (año

comercial). El banco aplica un tipo de descuento del 5'25% anual, cobra unas

comisiones del 0'3%, con un mínimo de 5€, y también cobra 0'5€ por gastos de correo

Calcula la cantidad obtenida por la empresa Dc = 153'13€

Comisión = 75€

Correo = 0'5€

Cantidad obtenida = 24.771'37€


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CASO PRÁCTICO 35:

Una empresa dispone de tres pagarés de 7.248'12€, 8.123'71€ y 1.874'73€, que vencen

respectivamente dentro de 20, 25 y 28 días. Efectúa la liquidación sabiendo que se

aplica un tipo de descuento del 7'14% anual, que se cobra una comisión del 0'325% y

que los gastos de correo ascienden a 0'25€ por pagaré. Considera el año comercial Cantidad obtenida = 17.110'32€

EJERCICIOS 56 Y 57


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6- CAPITALES EQUIVALENTES

6.1- EQUIVALENCIA DE DOS CAPITALES

Dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor financiero.

Que tengan el mismo valor financiero no significa que sean del mismo importe.

Significa, que aunque estén situados en distintos momentos del tiempo, para la persona

que tiene que elegir entre uno u otro tendrán el mismo valor.

Para poder comparar dos o más capitales, y decir si son o no son equivalentes, tenemos

que conocer el tipo de interés y el momento del tiempo en el que está disponible cada

uno de los capitales, es decir, el vencimiento de cada capital.

Además, tenemos que tener una cosa muy clara: para poder comparar dos capitales,

éstos tienen que encontrarse en el mismo momento del tiempo.

Si me hoy me dan a elegir entre pagarme 100€ ó 110€, evidentemente prefiero que me

paguen 110€. Pero si me dan a elegir 100€ hoy o 110€ dentro de seis meses no podría

tomar mi decisión de forma tan rápida. Tendría que estudiar qué es lo que más me

conviene

Así pues, para poder comparar dos capitales, también tenemos que fijar el momento del

tiempo en el que vamos a hacer la comparación

Lo más conveniente, es compararlos en el momento t = 0, es decir, en el momento

actual. Para ello, tenemos que calcular el valor actual de todos los capitales que

queremos comparar

Cuando el valor actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales,

diremos que son financieramente equivalentes

Al calcular el valor actual de un capital tenemos que desplazarlo "hacia atrás" en el

tiempo. Para ello, en el apartado anterior, vimos que se puede utilizar el descuento

racional o el descuento comercial. Nosotros utilizaremos el descuento racional

Si utilizamos el descuento racional: in

CnCo

1

Este podría ser un caso: que tengamos un capital de importe Co en el momento to y otro

de importe Cn en el momento tn

Este podría ser otro caso: que tengamos un capital de importe Ch en el momento th y

otro de importe Cn en el momento tn. Tenemos que calcular la equivalencia en to.


28

CASO PRÁCTICO 36:

Si el tipo de interés es del 9% anual, ¿son equivalentes 100€ disponibles hoy y 110€

disponibles dentro de seis meses? En el caso de que no lo sean, ¿cuál de los dos

capitales tiene un mayor valor? Para realizar la comparación utiliza el descuento

racional No. Mejor 110€

CASO PRÁCTICO 37:

Si el tipo de interés es del 9% anual, ¿son equivalentes 100€ disponibles dentro de 3

meses y 110€ disponibles dentro de seis meses? En el caso de que no lo sean, ¿cuál de

los dos capitales tiene un mayor valor? Para realizar la comparación utiliza el descuento

racional No. Mejor 110€

EJERCICIOS: 58 y 59


29

6.2- EQUIVALENCIA DE VARIOS CAPITALES

Si una serie de capitales de nominal C1, C2, C3, ..., Ch, con sus respectivos vencimientos

en t1, t2, t3,...th, se desean sustituir por uno equivalente, de nominal Cn, y con

vencimiento en tn

bastará con que la suma del valor actual de los primeros sea igual al valor actual de

este último, es decir

C0n = C01 + C02 + C03 +...+ C0h

Para que los capitales del esquema anterior sean equivalentes, debe ocurrir que:

h

h

n ti

C

ti

C

ti

C

ti

C

ti

Cn

1...

1111 3

3

2

2

1

1

CASO PRÁCTICO 38:

Deseamos sustituir tres capitales de 50.000€ cada uno, que vencen dentro de 27, 57 y 88

días respectivamente, por otro de 148.000€ con vencimiento en el día de hoy. ¿Son

equivalentes? Suponer un tipo de interés del 12% y el año comercial No son equivalentes. 147.196’86 ≠ 148.000


30

CASO PRÁCTICO 39:


días respectivamente, por otro de 148.000€ con vencimiento dentro de 30 días. ¿Son

equivalentes? Suponer un tipo de interés del 12% y el año comercial No son equivalentes. 147.196’86 ≠ 146.534’65

CASO PRÁCTICO 40:

Deseamos sustituir tres capitales de 20.000€, 25.000€ y 30.000€ cada uno, que vencen

dentro de 20, 50 y 80 días respectivamente, por otro de 80.000€ con vencimiento dentro

de 90 días. ¿Son equivalentes? Suponer un tipo de interés del 6% y el año natural No son equivalentes. 74.341’26 ≠ 78.833’69

EJERCICIOS: 60 y 61


31

7- CÁLCULO DEL CAPITAL EQUIVALENTE

Hasta ahora hemos comparado capitales para ver si eran o no equivalentes. En este

apartado, lo que vamos a hacer es calcular cual debe ser el importe de un capital para

que sea equivalente a otro u otros dados previamente

7.1- UN CAPITAL EQUIVALENTE A OTRO DADO

En este caso no conocemos el importe del capital C que sustituye al otro capital del que

disponemos.

Para poder calcular el capital equivalente tenemos que conocer el tipo de interés y la

fecha de vencimiento de ambos capitales

CASO PRÁCTICO 41:

Si el tipo de interés es del 6% anual, y hoy disponemos de un capital de 350€, calcula el

importe del capital equivalente al anterior con vencimiento dentro de 2 meses 353,50

CASO PRÁCTICO 42:

Si el tipo de interés es del 6% anual, y disponemos de un capital de 350€ dentro de 3

meses, calcula el importe del capital equivalente al anterior con vencimiento dentro de 8

meses 358’62

EJERCICIOS: 62 y 63


32

7.2- UN CAPITAL EQUIVALENTE A UN CONJUNTO DE CAPITALES DADOS

Igual que antes, no conocemos el importe del capital C que sustituye al conjunto de

capitales del que disponemos.

Para poder calcular el capital equivalente tenemos que conocer el tipo de interés y la

fecha de vencimiento de todos los capitales

CASO PRÁCTICO 43:


días respectivamente, por otro con vencimiento en el día de hoy. ¿Cuál debe ser el

importe de dicho capital? Suponer un tipo de interés del 6%. Considerar el año

comercial 148.582’74

CASO PRÁCTICO 44:


días respectivamente, por otro con vencimiento dentro de 30 días. ¿Cuál debe ser el

importe de dicho capital? Suponer un tipo de interés del 6% y el año comercial 149.325’65


33

CASO PRÁCTICO 45:


dentro de 20, 50 y 80 días respectivamente, por otro con vencimiento dentro de 90 días.

¿Cuál debe ser el importe de dicho capital? Suponer un tipo de interés del 6% y el año

natural 75.441,10

EJERCICIOS: 64, 65, 66, 67 y 68


34

8- VENCIMIENTO COMÚN

En este caso, conocemos el importe del capital que va a sustituir al conjunto de capitales

dados, pero lo que no conocemos es el vencimiento del mismo

El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del

conjunto de capitales por uno único

Lo que tenemos que hacer en este caso es despejar “n” de la fórmula de la equivalencia

financiera

h

h

n ti

C

ti

C

ti

C

ti

C

ti

Cn

1...

1111 3

3

2

2

1

1 → despejar “n”

CASO PRÁCTICO 46:


dentro de 13, 30 y 45 días respectivamente, por otro de 80.000€. ¿Qué día tendremos

que colocar dicho capital para que sea equivalente al resto si el tipo de interés es del

8%? (vencimiento común). Considerar el año comercial 1.546 días

EJERCICIOS: 69, 70 Y 71


35

9- VENCIMIENTO MEDIO

El vencimiento medio es un caso particular del vencimiento común

El vencimiento medio es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del

conjunto de capitales por uno único, que coincide con la suma del nominal de todos los

anteriores

hj

j

jh CCCCCCn1

321 ...

Para calcular el vencimiento medio partimos de la fórmula de equivalencia financiera y

despejamos “n”, igual que hacíamos en el vencimiento común

h

h

n ti

C

ti

C

ti

C

ti

C

ti

Cn

1...

1111 3

3

2

2

1

1 → despejar “n”

CASO PRÁCTICO 47:


dentro de 13, 30 y 45 días respectivamente, por otro de 60.000€. ¿Qué día tendremos

que colocar dicho capital para que sea equivalente al resto si el tipo de interés es del 8%

y consideramos el año comercial? (vencimiento medio) 34 días

Cuando en un ejercicio se pide el vencimiento medio, no es necesario dar entre los datos

el importe del capital que sustituye al resto. Tienes que saber que el importe de este

capital coincide con la suma de los otros


tema 6: el interÉs simple · al término (1 + i·n) se le denomina “factor de capitalización...

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