instrumentos matemáticos para la empresa (2/4) · descuento simple 1.1.4. vencimientos común y...

Instrumentos

matemáticos para la

empresa (2/4)

1º GRADO DERECHO-ADE

CURSO 2011-2012.

Prof. Pedro Ortega Pulido

1. Matemática Financiera 1.0. Introducción a la matemática financiera.

1.1. Capitales financieros

1.1.1. Interés

1.1.2. Capitalización simple

1.1.3. Descuento simple

1.1.4. Vencimientos común y medio

1.1.5. Capitalización y descuento compuestos

1.1.6. Capitalización fraccionada

1.1.7. Tasas equivalentes

1.1.8. Capitalización continua

1.2. Rentas financieras

1.3. Valoración de inversiones


1.1.1. INTERÉS

Cuando una persona o entidad (PRESTAMISTA)

Presta un capital o dinero (CAPITAL PRINCIPAL)

A otra persona o entidad (PRESTATARIO)

El prestamista renuncia a su capacidad de consumo o de

inversión del CAPITAL PRINCIPAL por lo que COBRA al

PRESTATARIO uno INTERESES como pago.

EL PRECIO DEL DINERO = INTERÉS

El interés se puede expresar en:

- Tanto por ciento: 3,5%

- En puntos básicos: 350 puntos básicos

- En puntos porcentuales: 3,5 p.p.


1.1.1. INTERÉS

Ejemplo 13

El Banco X nos presta 1.000€ a un interés simple del 5% anual a

devolver en 1 año. ¿qué interés nos cobra?

PRINCIPAL= 1.000€

INTERÉS = 1.000·0,05·1=50€

LOS INTERESES SE CALCULARÁN CON UNA LEY DE

CAPITALIZACIÓN DETERMINADA

PRESTAMISTAPRESTATARIO

Capital PRINCIPAL

PRINCIPAL + INTERESES


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLEEs una de las leyes de capitalización basada en el interés simple, en la

que el cálculo de los intereses se realiza UNICAMENTE SOBRE EL

PRINCIPAL, los intereses que genera el capital son improductivos.

Ejemplo 14. La entidad financiera DERECHOSA nos presta 1.000€ a

un interés simple del 8% anual. ¿Cuánto dinero tendremos que

devolver si el vencimiento es a los 5 años?

PRINCIPAL = 1.000€

Intereses del 1er año = 1.000·0,08 = 80 €

Intereses del 2º año = 1.000·0,08 = 80€

Intereses del 3er año = 1.000·0,08 = 80 €

Intereses del 4º año = 1.000·0,08 = 80 €

Intereses del 5º año = 1.000·0,08 = 80 €

TOTAL INTERESES = 400 €

A devolver PRINCIPAL + INTERESES =MONTANTE = 1.400 €


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLEDE FORMA GENERAL:

)1(000 trCtrCCCt

)1(0 trCCt

trCIt 0

tr 1 simpleción capitaliza deFactor


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLEEjemplo 15. Calcula el interés que producen 500 € dentro de 9 años

a un interés simple del 12% anual y el montante final

¿qué ocurre si la unidad de medida de los periodos y del tipo

de interés son diferentes?

Ejemplo 16. Calcula el interés que producen 500 € dentro de 18

meses a un interés simple del 12% anual

Observación. En las fórmulas de capitalización simple:

El tipo de interés r y t deben ser homogéneos, es decir, deben

expresarse en la misma unidad de tiempo.


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLEEjemplo 17 Juan pide prestados 1.500 e a Ana a devolver dentro

de 20 meses. Si Ana le pide un interés simple del 7% semestral.

¿Cuánto tendrá que devolver Juan a Ana dentro de 20 meses?

En el proceso de HOMOGENEIZACIÓN de la unidades de tiempo

debemos tener en cuenta que:

- Nº de días del año comercial = 360

- Nº de días del año natural = 365

- Nº de día del año natural bisiesto = 366

- Nº de semanas del año = 52

Otra forma de expresar la fórmula del interés simple es:

con r (anual)

k=1 si t en años; k=2 si t semestres,

k=3 si t en cuatrimestres,….


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLEEjemplo 18. Hemos recibido un préstamo de 6.000 € a devolver

dentro de 7 meses a un 12% de interés simple anual. ¿Cuánto

tendremos que pagar por los intereses del préstamo?

Ejemplo 19. Tenemos que pagar 5.000 € a un proveedor, y hemos

negociado retrasar el pago 75 días. El proveedor acepta el retraso

pero dice que tendremos que pagarle 93,7 € de intereses. ¿qué tipo

de interés simple nos cobra el proveedor?

Ejemplo 20 Tenemos una deuda de 5.000 € con el proveedor del

ejemplo anterior. Sabiendo que nos cobra el mismo tipo de interés.

¿Cuántos días podremos aplazar el pago si sólo deseamos pagar

75 e de intereses?


1.1.2. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Ejemplo 21. Hemos invertido 10.000 € en unos fondos que ofrecen

un interés simple anual del 15%. ¿Cuál será el saldo de dicha

cuenta dentro de 8 meses?

Ejemplo 22. Un inversor retira 5.160 € de un fondo en el que colocó

3.000 €. Calcule el tiempo que ha durado la inversión si la

rentabilidad del fondo era de un 12% anual.


1.1.3. DESCUENTO SIMPLE

a) Descuento simple racional o matemático

La ley de capitalización simple viene dada por:

Por tanto para calcular el VALOR ACTUAL de un

Capital basta despejar y obtenemos

r·t1

1 simple descuento deFactor


1.1.2. a) DESCUENTO SIMPLE RACIONAL

Ejemplo 23. Dentro de 10 meses tenemos que pagar 6.000 € de una

deuda pendiente. ¿Cuánto tendría que invertir en un fondo que nos

ofrece un 6% de interés simple anual para poder hacer frente a

dicho pago?

Ejemplo 24. Dentro de 4 años queremos regalar a nuestros padres un

viaje valorado en 2.640 € (suponiendo que el importe del viaje no

varia a lo largo del tiempo). Para ello decidimos invertir en un

depósito que nos garantiza obtener dicho importe si aportamos hoy

2.000 € ¿cuál es el tipo de interés simple que nos ofrece el

depósito?


1.1.3. b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIALLETRAS DE CAMBIO.

En ocasiones para ejecutar los pagos entre empresas se suelen

extender letras de cambio donde el LIBRADOR (el que presta o

realiza la venta) cobrará al LIBRADO (el prestatario o comprador)

un cierto importe NOMINAL en un plazo de devolución

VENCIMIENTO.

Ejemplo 25. Nuestra empresa vende a JUAN S.A. unos productos por

80.000 €. Para ello deciden extender una letra de 80.000 € a pagar

en 60 días. Determina en esta operación

LIBRADOR -- LIBRADO --- NOMINAL --- VENCIMIENTO


1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIALVENTA DE LETRAS DE CAMBIO

Las letras de cambio en si mismas no tienen LIQUIDEZ, pero pueden

ser vendidas por el LIBRADOR a un banco que se convierte ahora

en el TENEDOR de la letra. El Banco nos dará liquides a la letra y

para ello

cobrará al LIBRADOR unos intereses (DESCUENTO COMERCIAL)

Y luego cobrará al LIBRADO el NOMINAL al VENCIMIENTO.

El banco cobrará intereses sobre un CAPITAL FUTURO (a diferencia

del descuento racional) y el LIQUIDO que obtenemos es:

Es el denominado DESCUENTO COMERCIAL


1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

Ejemplo 25. Si negociamos la letra de 80.000 € con el banco ¿cuál

será el importe líquido que recibiremos?

OBSERVACIONES:

Si al vencimiento el LIBRADO no pagase el NOMINAL al banco

entonces lo tendría que pagar el LIBRADOR.

El importe de la contraprestación, es decir, el valor de la letra se

llama NOMINAL ,lo que el banco nos da es la prestación es el

LÍQUIDO : LIQUIDO = NOMINAL – DTO. COMERCIAL

En el DESCUENTO COMERCIAL el interés se calcula sobre el

capital final, mientras que en el DESCUENTO RACIONAL el interés

se calcula sobre el capital inicial



Ejemplo 26. La empresa MOVILES S.A. ha vendido a la distribuidora

JJONE una partida de teléfonos móviles por un importe de 50.000€.

Para ello ha extendido un efecto a 90 días. MOVILES S.A. necesita

liquidez por lo que negocia la letra con el BANCO-H que le aplica

un descuento del 10%.

a) Calcula el importe líquido que recibe MOVILES S.A.

b) Dibuja el gráfico de flujo de fondos

c) Determina el interés que resultaría de este descuento si fuese

descuento racional (interés vencido)

d) ¿qué relación guardan el descuento comercial d=0,1 (interés

anticipado) y el descuento racional r (interés vendido


1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIALRELACIÓN ENTRE DESCUENTO COMERCIAL Y RACIONAL

El tipo de interés que aplica el descuento racional r se llama INTERÉS

VENCIDO ya que se aplica sobre el capital inicial

El tipo de interés que aplica el descuento comercial d se llama

INTERÉS ANTICIPADO ya que se aplica sobre el capital final.

Demostrar que



Ejemplo 28. Un cliente debe pagar 35.000€ dentro de 45 días a la

empresa tecnológica ORDENA S.A. Para ello se extiende una letra

de cambio por dicho importe. La empresa vende la letra al BANCO-

MMH y este aplica un 12% de descuento.

a) Determina LIBRADOR, LIBRADO, NOMINAL, TENEDOR de la

letra de cambio.

b) ¿Cuál es el importe LÍQUIDO que recibe la empresa a través de

BANCO-MMH?

c) ¿Cuál es el tipo de interés vendido de la financiación?

(realiza este apartado por 2 métodos)



Es muy frecuente que el vencimiento de un capital o de un

conjunto de capitales con distintos capitales requiera

efectuar sobre el modificaciones.

Estas modificaciones pueden dar lugar a dos tipos de

vencimientos común y medio.

a) VENCIMIENTO MEDIO

Cuando un conjunto de capitales con distintos

vencimientos puede SUSTITUIRSE por un SOLO

CAPITAL que es SUMA de los capitales anteriores en

un vencimiento único, a dicho vencimiento le

denominamos VENCIMIENTO MEDIO


1.1.4. Vencimientos común y medioEjemplo 28 La empresa A debe a un proveedor 3 capitales de 3.000€,

2.000€ y 1.000€ que vencen a 30, 60 y 90 días. ¿En qué fecha

podría pagar la empresa A los 3 capitales juntos sin ningún tipo de

interés?

¿Cómo se calcula el VENCIMIENTO MEDIO?

Calcularlo para el ejemplo anterior.

Es decir, el vencimiento medio es la MEDIA PONDERADA de los

vencimientos de varios capitales.


1.1.4. Vencimientos común y medioEjemplo 29 Un cliente debe 50.000€ a 30 días y 100.000€ a 120 días

y quiere hacer un único pago de 150.000€ ¿cuándo será dicho

pago?

b) VENCIMIENTO COMÚN

Ejemplo 30 Un cliente debe 50.000€ a 30 días y 100.000€ a 120 días

y quiere hacer un único pago el día 100 ¿Cuánto deberá pagar si se

pacta un interés del 12%?

OBSERVACIONES:

1) En el ejemplo anterior 150.500€ NO es la suma de los capitales.

2) El VENCIMIENTO MEDIO es 90 días

3) Como el vencimiento deseado es 100 días , no coincidente con VM

el capital sustituto no es suma de capitales.



Ejemplo 31. Debemos pagar a un proveedor 8.000€ a 30 días, 1.000€

a 60 días y 1.000€ a 90 días. Se quiere hacer un único pago el día

80. ¿cuánto se debe pagar en dicha fecha si se pacta un 9% de

interés simple anual? (RESOLVER 2 MÉTODOS)

Ejemplo 32. Mi empresa debe a un proveedor 3 capitales de 8.000€,

1.000€ y 1.000€ que vencen a 30, 60 y 90 días respectivamente.

Hemos pedido al proveedor que agrupe esos pagos en 85 días. El

proveedor acepta la propuesta si le pagamos 10.230€ en esa fehca

¿qué interés pagamos al proveedor?



a) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.

En la ley de capitalización compuesta, los intereses se

vuelven productivos de tal forma que en un periodo se

capitaliza el capital y los intereses generados en el

periodo anterior:

Año Intereses Capital acumulado

0 0

1

2

3

… … …

t



Capitalización compuesta:

se denomina factor de capitalización compuesta.

Ejemplo 33. Juan ingresó 1.200€ en la supercuenta del BancoM

que ofrece un interés anual compuesto del 10%.

¿Cuánto dinero tendrá Juan en esa cuenta dentro de 1 años?

¿Y dentro de 2 años?

¿Y dentro de 3 años?

¿Y dentro de t-años?



b) Descuento compuesto.

La fórmula para ACTUALIZAR un capital que ha sufrido

un interés compuesto es:

Ejemplo 34. María se graduará en la univesidad dentro de dos

años. Su madre quiere regalarla un reloj y supone que para

dentro de dos años necesitará 238€ para poderlo adquirir.

¿Cuánto tendrá que ingresar la madre de María en una cuenta

de ahorro que le produce un 14% de interés compuesto anual?



Ejemplo 35. ¿Cuánto tiempo deberemos invertir 5.000€ en una

cuenta que nos ofrece un interés del 13% de interés compuesto

anual para obtener 8.152,37€?

Ejemplo 36. María presta 100 € a Ana al 12% de interés

compuesto anual. ¿Después de cuántos años Ana deberá

devolver a María 157,35€?

Ejemplo 37. Verónica compró dólares por un importe de 1.000€ y

tres años los vendió por 1.331€. ¿Cuál fue la rentabilidad de la

inversión si aplicó interés compuesto?



c) Capital y descuento compuesto en periodos en los

que varía el tipo de interés

¿qué ocurre cuando el tipo de interés varía a lo largo de la

operación financiera?

Ejemplo 38. Hace 5 años ingresé 1.000€ en una cuenta que

ofrecía un interés variable en régimen de capitalización

compuesta anual.

a) Calcular el saldo dentro de 5 años si los 2 primeros años el

interés fue del 8% ;los años 3º y 4º del 11% y el 5º año del 12%.

b) Calcular la rentabilidad global de la inversión durante estos 5

años.



En general, si tenemos un capital inicial al que se

le aplica un r1% durante t1 periodos, luego un r2%

durante t2,…, rk% durante tk, el capital final será:

Y por tanto:


1.1.5. Capitalización y descuento compuestos.

Ejemplo 39. Mi madre quiere tener ahorrados 12.000 € dentro de

4 años para celebrar sus bodas de oro. Una cuenta le ofrece

un 12% de interés compuesto anual los dos primeros años y

luego un 9%. ¿Qué cantidad debe depositar en la cuenta?



• Hasta ahora la capitalización compuesta se realizaba con

periodos anuales, pero puede ocurrir que los intereses se

CAPITALICEN: mensualmente, trimestralmente,

semestralmente, semanalmente, diariamente o en cualquier

otro periodo. A este tipo de capitalización la llamaremos

CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA: los intereses se capitalizan

en FRACCIONES DE AÑO incorporándose al principal para

producir nuevos intereses.

Ejemplo 41. Verónica, Ana, María, Carlos y Pedro invierten cada

uno 500€ en 5 bancos distintos con un interés compuesto

anual del 9% pero con distintos periodos de capitalización.

¿Cuál será el saldo en sus cuentas durante un 1 año si Verónica

utiliza capitalización anual, Ana semestral, María trimestral,

Carlos mensual y Pedro diaria?



Observación Si es el TIPO EFECTIVO

que se aplica a una operación financiera y es

CAPITALIZABLE n-veces al año, cada periodo se

infresarán la n-ésima parte del tipo nominal:

Tenemos dos TASAS.

TASA NOMINAL: la que se pagará durante un periodo

de inversión sin tener en cuenta la acumulación de

intereses.

TASA EFECTIVA: la que realmente se aplica a la

operación financiera y que refleja cuándo se

capitalizan los intereses.



Ejemplo En el ejemplo 41 9% es la TASA NOMINAL, y:

- cuando la capitalización es semestral la TASA EFECTIVA ES

9/2 %

- Cuando la capitalización es mensual la TASA EFECTIVA es

9/12 %

Si el tipo de interés NOMINAL es r, capitalizable n-veces al año

cada periodo ofrece una tasa EFECTIVA:

Así: Y si invertimos t-años



Ejemplo 43. El Banco Amarillo ha lanzado dos cuentas que

ofrecen:

1ª) Interés semestral del 3%

2ª) Interés semanal del 0,2%

Si María ingresa 3.000€ en la cuenta 1 y Ana la misma cantidad en

la cuenta 2.

a)¿Qué importe tienen cada una de ellas después de 2 años?

b) ¿Cuál de las dos cuentas es más rentable?

Ejemplo 44. Supongamos que voy a comprar un coche de

segunda mano a través de una entidad financiera que me

permite pagarlo al contado por 5.800€ o dentro de un año por

6.200€. Podría pagarlo al contado, pero tengo dinero en una

cuenta que me está rentando un 6% de interés cuatrimestral.

¿Qué opción es más interesante?



Ejemplo 45. Tenemos un capital de 5.000€ en una cuenta que nos

renta un 13% de interés nominal anual capitalizable

mensualmente. ¿Cuánto habremos acumulado dentro de 3

meses?

Ejemplo 46. Un cliente me debe 3.200€ pero no puede pagarme

hoy y me propone posponer el pago 6 meses por 3.300€.

Actualmente yo podría invertir mi dinero en una letras del

tesoro que ofrecen un 7% de interés anual. ¿Conviene aplazar

el pago?


1.1.7. Tasas equivalentes.

Definición: Las tasas o tipos equivalentes son aquellos que

referidos a DISTINTA UNIDAD DE TIEMPO pero aplicados sobre

el MISMO CAPITAL INICIAL y durante EL MISMO PERIODO de

tiempo producen el MISMO CAPITAL FINAL (Se refiere a

capitalizaciones distintas)

Ejemplo 47. Comprobar que dados 10.000 € invertidos a un año

con un 11,66% de interés anual con capitalización semestral es

equivalente a 11,387% de interés anual con capitalización

mensual y a su vez es equivalente a un 12% de interés anual

con capitalización anual.



OBSERVACIÓN: esa equivalencia de tasas es

INDEPENDIENTE del capital inicial.

Ejemplo 48. Calcular cual es la tasa anual equivalente (tasa anual

y capitalización anual) que ofrece un TIPO NOMINAL del 12%

capitalizable mensualmente.

GENERALIZANDO:

Si es un tipo de interés anual capitalizable n-veces al año

Y es el tipo interés nominal capitalizable k-veces al año se

verifica:



Ejemplo 49. Calcular el tipo de interés capitalizable

semestralmente equivalente al 10% de interés capitalizable

bimensualmente.

TASA ANUAL EQUIVALENTE (T.A.E.) es la anualización del tipo

de interés efectivo realizado en una operación financiera.

Una operación financiera que ofrece un anual capitalizable n-

veces al año tiene un T.A.E.



Ejemplo 50. Hemos recibido una herencia de 40.000€ y tenemos

distintas alternativas de inversión:

a) Ingresarlo en la entidad A que ofrece un 8% de interés nominal

capitalizable semestralmente.

b) Ingresarlo en la entidad B que ofrece un 8,6% de interés

nominal capitalizable mensualmente.

c) Ingresarlo en la entidad C que ofrece un 8,4% de interés

nominal capitalizable bimensualmente.

1) Calcula el capital final después de un año de cada entidad.

2) Calcula la T.A.E. de cada operación

3) ¿qué entidad ofrece una mayor rentabilidad?



¿Cómo afectan las comisiones y los gastos a los intereses?

Ejemplo 51. Juan desea realizar obras en su casa por un importe

de 6.000 €. Le ofrecen financiar dichas obras con las siguientes

condiciones:

Entrada 1.500€

6 pagos mensuales de 825€ cada uno.

Calcular la TAE de esta financiación.


1.1.8. Capitalización continua.

Recordemos la fórmula de la capitalización fraccionada:

Siendo el capital inicial; r el interés nominal

Capitalizable n-veces al año durante t años.

Ejemplo 52. Calcular el valor futuro de 12.000€ dentro de tres

años a un tupo anual del 10%

a) Capitalizable anualmente b) capitalizable semestralmente

c) Capitalizable trimestralmente d) capitalizable mensualmente

e) Capitalizable semanalmente f) capitalizable diariamente

g) Capitalizable CADA HORA h) capitalizable cada minuto


1.1.8. Capitalización continua.a) ANUALMENTE:

b) SEMESTRALMENTE

c) TRIMESTRALMENTE

d) MENSUALMENTE

e) SEMANALMENTE

f) DIARIAMENTE

g) CADA HORA

h) CADA MINUTO



Si hacemos que n tienda a infinito, el número de veces que se

capitaliza es muy grande y por consiguiente el periodo de

capitalización es casi “INSTANTÁNEO” en cuyo caso:

Y como :

Entonces:

Cuando se invierte un capital durante cierto tiempo t en años a

una tasa anual del r % con CAPITALIZACIÓN CONTINUA



En el ejemplo 52 si invertimos con capitalización CONTINUA:

Ejemplo 53. El Banco H acaba de lanzar un novedoso producto

financiero en la red. Se trata de una cuenta que ofrece un

interés anual del 8% en capitalización continua, ingreso mínimo

20.000€. Si ingresamos 25.000€ en esta cuenta, calcular el

saldo de la cuenta en 5 años.

Ejemplo 54. Un amigo nos pregunta por la cuenta del ejemplo 53:

¿Cuánto tendré que ingresar hoy en la cuenta si quiero

disponer de 30.000€ dentro de 6 años?

instrumentos matemáticos para la empresa (2/4) · descuento simple 1.1.4. vencimientos común y...

Documents